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陕西省汉中市2024-2025学年八年级下学期数学期末试卷
一、选择题（共8个小题，每小题3分，共24分，每小题只有一个选项符合题意）
1．已知a＞b，下列不等式中，不正确的是（　　）
A．a+4＞b+4 B．a﹣8＞b﹣8 C．5a＞5b D．﹣6a＞﹣6b
2．下列图形中，是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
3．在平行四边形中，若，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
4．将分式中的字母x，y的值分别扩大为原来的n倍，则分式的值（ ）
A．扩大为原来的n倍 B．扩大为原来的2n倍
C．不变 D．扩大为原来的倍
5．因式分解 时，甲看错了 的值，分解的结果是 ，乙看错了 的值，分解的结果为 ，那么 分解因式正确的结果为（　　）
A． B． C． D．
6．如图，在中，，将绕点顺时针旋转角至，使得点恰好落在边上，则等于（　　）
A． B． C． D．
7．学校要重新铺设400米的跑道，为减少对同学们上体育课的影响，须缩短施工时间，实际施工时每天铺设跑道的长度是原计划的1.2倍，结果提前2天完成任务，求原计划每天铺设管道的长度，若设原计划每天铺设管道的长度为x米，则所列方程为（　　）
A． B．=2
C． D．
8．已知，如图，是等边三角形，，于Q，交于点P，下列说法：①，②，③，④，其正确的个数有（　　）个
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题（共5个小题，每小题3分，共15分）
9．分解因式： 　 　．
10．要使分式 有意义，则 的取值范围是　 　．
11．在同一平面直角坐标系中，函数y1＝kx+b与y2＝mx+n的图像如图所示，则关于x的不等式kx+b≥mx+n的解集为　 　．
12．如图，平行四边形ABCD中，∠A的平分线AE交CD于E，连接BE，点F、G分别是BE、BC的中点，若AB=6，BC=4，则FG的长　 　.
13．如图等腰三角形的底边长为，腰长为，一动点P(不与B，C重合)，在底边上从B向C以的速度移动，当P运动　 　秒时，三角形是直角三角形．
三、解答题（共13小题，计81分，解答应写出过程）
14．分解因式：．
15．解不等式组：，并求不等式组的整数解．
16．先化简，再求值：，请你从，，，这几个数中，给赋予一个恰当的值，并求出代数式的值．
17．解方程： = -3
18．如图．已知锐角，，请用尺规作图法，在内部求作一点．使．且．（保留作图痕迹，不写作法）
19．若关于的方程无解，求的值．
20．如图，是的边上的中点，，，垂足分别为，，且，求证：是等腰三角形．
21．在如图所示的平面直角坐标系中，每个小正方形的边长均为1，的三个顶点都在格点上，且三个顶点的坐标分别为，，．
（1）将各顶点的横坐标不变，纵坐标分别减去5，得到，在图中画出，并写出是由经过怎样的平移变换得到的？
（2）将绕坐标原点O顺时针旋转90°，得到，在图中画出，并写出点C的对应点的坐标．
22．如图，点在一条直线上，．
（1）求证：；
（2）连接，求证：四边形是平行四边形．
23．为落实“双减政策”，某学校购进“红色教育”和“传统文化”两种经典读本，花费分别是12000元和5000元，已知“红色教育”经典读本的订购单价是“传统文化”经典读本的订购单价的倍，并且订购的“红色教育”经典读本的数量比“传统文化”经典读本的数量多500本．求该学校订购的两种经典读本的单价分别是多少元？
24．已知直线经过点；
（1）求直线的解析式；
（2）若直线与直线相交于点，求点的坐标；
（3）根据图象，写出关于的不等式的解集．
25．教科书中这样写道：“我们把多项式及叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能求代数式的最大值、最小值．如：，如：求代数式的最小值．．可知当时，有最小值，最小值是．根据阅读材料用配方法解决下列问题：
（1）分解因式：______．
（2）当为何值时，多项式有最小值？并求出这个最小值．
26．如图，在四边形中，，，．点从点出发，以的速度向点运动，同时点从点出发，沿着射线以的速度向右运动，当动点到达端点时另一个动点也随之停止运动．设运动时间为．
（1）在点，运动过程中，___________，___________；
（2）连接，，若与互相平分，求此时的值；
（3）在点，运动过程中，是否存在以点，，，为顶点的四边形是平行四边形．若存在，求出此时的运动时间；若不存在，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：∵a＞b，
∴a＋4＞b＋4，
∴选项A正确；
∵a＞b，
∴a 8＞b 8，
∴选项B正确；
∵a＞b，
∴5a＞5b，
∴选项C正确；
∵a＞b，
∴ 6a＜ 6b，
∴选项D不正确．
故选D．
【分析】
根据不等式的基本性质，对各个选项逐一进行验证，找出其中不成立的那一个即可.
2．【答案】C
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，故不是中心对称图形，不符合题意；
B、绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，故不是中心对称图形，不符合题意；
C、绕某一点旋转后，能够与原图形重合，故是中心对称图形，符合题意；
D、绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，故不是中心对称图形，不符合题意；
故选：C．
【分析】
根据中心对称图形的概念：若一个图形绕某一点旋转后，可以和原图形自身重合，这个图形就是中心对称图形.
3．【答案】A
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：在平行四边形中，与为邻角，
故．
由，设，，
则，
解得，
因此．
根据平行四边形对角相等，．
故选：A．
【分析】
结合平行四边形邻角互补、对角相等的性质来完成求解.
4．【答案】A
【知识点】分式的基本性质
【解析】【解答】解：将分式中的、分别用、代替，则，即分式的值扩大为原来的倍．
故选：．
【分析】
依据分式的基本性质求解答案.
5．【答案】C
【知识点】因式分解的应用
【解析】【解答】∵甲看错了 的值，
∴ ，
∴ ；
∵乙看错了 的值，
∴ ，
∴ ，
∴ 分解因式正确的结果为：
，
故答案为：C．
【分析】先根据多项式乘以多项式法则进行计算，再根据已知条件求出m、n的值，最后求出答案即可。
6．【答案】D
【知识点】等腰三角形的判定；等边三角形的判定与性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：，
．
将绕点顺时针旋转角至，
，，
是等腰三角形，且，
是等边三角形，
．
故选：D．
【分析】
根据旋转的性质可以得到，，进一步推导即可证明为等边三角形，进而可以求出的度数.
7．【答案】C
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：由题意得：实际施工时每天铺设跑道的长度为米，
则可列方程为，
故选：C．
【分析】
先设出原计划每天铺设跑道的长度为x米，由此可以得到实际施工时每天铺设跑道的长度为米，再结合工程最终提前2天完成任务的条件，就可以列出对应的分式方程.
8．【答案】C
【知识点】等腰三角形的判定与性质；等边三角形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】证明：∵是等边三角形，
∴，，
在和中，，
∴，
∴，
∴，
∴，故①正确
∵，
∴，
∴．故③正确，
∵．，
∴，
∴，故④正确，
若，则，，与题干条件不符，
∴无法判断，故②错误，
故答案为：C．
【分析】根据等边三角形的性质可得，，从而利用“边角边”证明，由全等三角形的对应角相等得，然后根据三角形外角性质、等量代换及角的构成可推出，从而可判断①；由直角三角形两锐角互余求出∠PBQ=30°，由函30°角直角三角形的性质得BP=2PQ，据此可判断③；根据等量减去等量差相等得出BD=CE，然后根据线段和差、等量代换可推出AE+BD=AB，据此可判断④；利用反证法可判断②不成立.
9．【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解： = ．
故答案为： ．
【分析】先提取公因式3x，再利用平方差公式因式分解即可。
10．【答案】x≠4
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】要使分式 有意义，则x-4≠0，
解得x≠4，
故答案为：x≠4．
【分析】分式有意义的条件是分母不等于0，据此列式求解即可.
11．【答案】x≥2
【知识点】一次函数的图象；一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：如图所示：不等式kx+b＞mx+n的解集为：x≥2．
故答案为：x≥2．
【分析】
本结合给出的函数图象，结合kx+b≥mx+n 的几何含义，也就是直线y=kx+b的图象位于直线y=mx+n图象上方（含交点）时对应的x的范围，来确定不等式的解集.
12．【答案】1
【知识点】平行四边形的性质；角平分线的概念；三角形的中位线定理
【解析】【解答】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC=4，DC=AB=6，DC//AB，
∴∠EAB=∠AED，
∵∠EAB=∠DAE，
∴∠DAE=∠DEA，
∴DE=AD=4，
∴CE=CD-DE=6-4=2，
∵点F、G分别是BE、BC的中点，
∴FG=EC=1，
故答案为1.
【分析】
首先根据平行四边形的性质，结合角平分线的定义，可以推出∠DAE=∠DEA ，由此先计算出CE的长度，最后再利用三角形中位线定理计算出所求结果即可.
13．【答案】或4
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；分类讨论
【解析】【解答】解：如图，作，
∵，
∴，
当点P运动到与点D重合，即为直角时，是直角三角形，
此时，
∴运动时间为(秒)；
当时，设
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
所以运动时间为(秒)；
综上可得：当P运动4秒或秒时，是直角三角形；
故答案为：或4．
【分析】
先根据等腰三角形“三线合一”的性质，求出、，以及边上的高，之后分两种情况进行讨论：分别是为直角和为直角，再借助勾股定理计算出两种情况下的长度，最终就可以得到运动所需的时间.
14．【答案】解：

【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【分析】
按照先提公因式、再用公式法的思路完成因式分解即可.
15．【答案】解：
解不等式①，得：，
解不等式②，得：，
则不等式组的解集为，
∴不等式组的整数解为：、、．
【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解
【解析】【分析】
分别求出不等式组中①和②两个不等式的解集，再得到不等式组的总解集后，从中找出所有整数解，就可以完成计算求解.
16．【答案】解：
∵
∴当时，原式
【知识点】分式有无意义的条件；分式的化简求值-择值代入
【解析】【分析】
先计算括号内的分式加减法，同时把原式的除法运算转化为乘法运算，之后依据分式的基本性质将所得式子化为最简形式，最后把给定的字母数值代入化简后的式子计算出最终结果即可.
17．【答案】解：先去分母，把分式方程转化为整式方程，解一元一次方程，最后检验即可.
检验：当x=2时，x-2=0
∴原方程无解
【知识点】解分式方程
【解析】【分析】先去分母，把分式方程转化为整式方程，解一元一次方程，最后检验即可.
18．【答案】解：如图，点即为所求．
【知识点】尺规作图-作角的平分线；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】本题属于尺规作图综合题，核心在于将文字条件“PB = PC”和“∠PBC = 24°”转化为几何轨迹：“PB = PC” → 点P在线段BC的垂直平分线上（到线段两端距离相等的点的轨迹）；“∠PBC = 24°” 且 ∠ABC = 48° → 点P在∠ABC的角平分线上（因为24°是48°的一半，说明P在角内平分位置）。因此，点P是两条轨迹线（角平分线 + 垂直平分线）的交点。只需正确作出这两条线，其交点即唯一满足条件的点。
19．【答案】解：，
去分母得，
去括号得，
移项得，
合并同类项得，
系数化为1得，
关于的方程无解，
，即，则，
解得：．

【知识点】分式方程的解及检验；分式方程的增根；分式方程的无解问题
【解析】【分析】
先按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤求解，得到，再结合分式方程无解的条件，推出增根为，代入后得到关于的方程，求解即可得到最终结果.
20．【答案】证明：∵是 的边的中点，，，
∴、 均为直角三角形，
在中
，
，
，
∴是等腰三角形．
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；等腰三角形的判定；全等三角形中对应角的关系
【解析】【分析】
先利用判定定理证明，再根据全等三角形的性质推出，最后结合等腰三角形的判定定理即可推导出题目要求的结论.
21．【答案】（1）如图，即为所求；是由向下平移5个单位长度得到的．
（2）如图，即为所求；点C的对应点的坐标为．

【知识点】坐标与图形变化﹣平移；作图﹣平移；坐标与图形变化﹣旋转；作图﹣旋转
【解析】【分析】（1）保持△ABC各顶点的横坐标不变，将每个顶点的纵坐标都减去5，即可得到△A1B1C1三个顶点A1、B1、C1的坐标，根据得到的坐标描点连线即可得到△A1B1C1，再根据画出的图形即可判断两个三角形的位置变换关系；
（2）结合网格特征与旋转的性质，分别确定旋转后点A、B、C的对应点A2、B2、C2，再依次连线即可得到旋转后的三角形.
22．【答案】证明：
即
证明：
四边形是平行四边形．
【知识点】平行四边形的判定；三角形全等的判定-SSS；全等三角形中对应角的关系
【解析】【分析】（1）首先根据线段和差关系，由已知的，给等式两边同时加上公共线段，即可推得，再结合题目给出的，，就可以通过边边边（SSS）判定定理证明；
（2）根据第一问证得的全等，可得对应角，由此可推出，再结合已知条件，根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”，即可证明四边形是平行四边形．
23．【答案】解：设“传统文化”经典读本的单价是x元，则“红色教育”经典读本的单价是元，由题意得：，解得：，
经检验，是原分式方程的解，
，
答：“红色教育”的订购单价是12元，“传统文化”经典读本的单价是10元.
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【分析】本题属于分式方程在实际问题中的应用，核心在于：找准等量关系：数量差 = 500 本，这是列方程的关键桥梁。正确设定变量：以“传统文化”单价为基准（设为 x），可自然表达“红色教育”的单价（1.2x）。数量表达方式：必须用“总价 ÷ 单价”来表示数量，这是分式方程建模的常见模式。解后必须检验：因为是分式方程，必须验证分母是否为0，以及是否符合题意。单位和现实意义：结果均为正整数，符合实际购买场景，合理。
24．【答案】（1）解：直线经过点，，
，
解得，
直线的解析式为：；
（2）解：若直线与直线相交于点C，
．
解得，
点
（3）解：由（2）得，
根据图象可得不等式的解集为：．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数与不等式（组）的关系；一次函数与二元一次方程（组）的关系
【解析】【分析】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，以及一次函数的交点，一次函数与一元一次不等式的关系．
（1） 待定系数法求解析式，利用两点代入建立二元一次方程组，解出斜率k与截距b；
（2）求两直线交点，联立方程组，通过代数法或图象法求解交点坐标；
（3） 利用图像解不等式，将不等式转化为函数图象上下位置关系，结合交点横坐标确定解集。
（1）直线经过点，，
，
解得，
直线的解析式为：；
（2）若直线与直线相交于点C，
．
解得，
点；
（3）由（2）得，
根据图象可得不等式的解集为：．
25．【答案】（1）
（2）解：
∵
∴
当时，多项式有最小值．
【知识点】配方法的应用；因式分解﹣添（拆）项法
【解析】【解答】（1）解：
；
故答案为：；
【分析】（1）模仿阅读材料中配方法的方法将原多项式变形为(x2-4x+4)-9，然后将括号内的部分利用完全平方差公式分解因式，进而将正格式子利用平方差公式分解因式，最后分别合并括号里同类项即可；
（2）模仿阅读材料中配方法的方法将原多项式变形为(x2-4x+4)-1，然后将括号内的部分利用完全平方差公式分解因式，根据偶数次幂的非负性得出(x-2)2≥0，再根据不等式性质即可得出(x-2)2-1≥-1，从而即可求出该多形式的最小值.
（1）解：
；
故答案为：．
（2）解：
∵
∴
当时，多项式有最小值．
26．【答案】（1）；
（2）解：若与互相平分，则是平行四边形，
，
即，
解得：；
（3）解：存在，理由如下：
分两种情况：点在线段上，
当时，以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，
此时，，
即，
解得；
点在线段的延长线上，
当时，以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，
此时，，
即，
解得；
综上所述，存在以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，此时的运动时间为或．
【知识点】平行四边形的判定与性质；一元一次方程的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解：（1），点从点出发，以的速度向点运动，
，
，
，点从点出发，沿着射线以的速度向右运动，
，
故答案为：； .
【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、等腰梯形的性质、列代数式、解一元一次方程等知识点。
(1)直接由速度×时间得到路程，注意 P 从 D 到 A，所以 AP = AD DP。
(2)利用“对角线互相平分 平行四边形”的性质，得到 AP = BQ，解方程即可。
(3)是存在性问题，通过坐标法或平行四边形判定条件（一组对边平行且相等）列出方程，注意 Q 可以在 BC 延长线上，因此有两个解，点在线段上，点在线段的延长线上，根据平行四边形对边相等列出方程解答即可。
（1）解：，点从点出发，以的速度向点运动，
，
，
，点从点出发，沿着射线以的速度向右运动，
，
故答案为：，；
（2）解：若与互相平分，则是平行四边形，
，
即，
解得：；
（3）解：存在，理由如下：
点在线段上，
当时，以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，
此时，，
即，
解得；
点在线段的延长线上，
当时，以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，
此时，，
即，
解得；
综上所述，存在以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，此时的运动时间为或．
1 / 1陕西省汉中市2024-2025学年八年级下学期数学期末试卷
一、选择题（共8个小题，每小题3分，共24分，每小题只有一个选项符合题意）
1．已知a＞b，下列不等式中，不正确的是（　　）
A．a+4＞b+4 B．a﹣8＞b﹣8 C．5a＞5b D．﹣6a＞﹣6b
【答案】D
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：∵a＞b，
∴a＋4＞b＋4，
∴选项A正确；
∵a＞b，
∴a 8＞b 8，
∴选项B正确；
∵a＞b，
∴5a＞5b，
∴选项C正确；
∵a＞b，
∴ 6a＜ 6b，
∴选项D不正确．
故选D．
【分析】
根据不等式的基本性质，对各个选项逐一进行验证，找出其中不成立的那一个即可.
2．下列图形中，是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，故不是中心对称图形，不符合题意；
B、绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，故不是中心对称图形，不符合题意；
C、绕某一点旋转后，能够与原图形重合，故是中心对称图形，符合题意；
D、绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，故不是中心对称图形，不符合题意；
故选：C．
【分析】
根据中心对称图形的概念：若一个图形绕某一点旋转后，可以和原图形自身重合，这个图形就是中心对称图形.
3．在平行四边形中，若，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：在平行四边形中，与为邻角，
故．
由，设，，
则，
解得，
因此．
根据平行四边形对角相等，．
故选：A．
【分析】
结合平行四边形邻角互补、对角相等的性质来完成求解.
4．将分式中的字母x，y的值分别扩大为原来的n倍，则分式的值（ ）
A．扩大为原来的n倍 B．扩大为原来的2n倍
C．不变 D．扩大为原来的倍
【答案】A
【知识点】分式的基本性质
【解析】【解答】解：将分式中的、分别用、代替，则，即分式的值扩大为原来的倍．
故选：．
【分析】
依据分式的基本性质求解答案.
5．因式分解 时，甲看错了 的值，分解的结果是 ，乙看错了 的值，分解的结果为 ，那么 分解因式正确的结果为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】因式分解的应用
【解析】【解答】∵甲看错了 的值，
∴ ，
∴ ；
∵乙看错了 的值，
∴ ，
∴ ，
∴ 分解因式正确的结果为：
，
故答案为：C．
【分析】先根据多项式乘以多项式法则进行计算，再根据已知条件求出m、n的值，最后求出答案即可。
6．如图，在中，，将绕点顺时针旋转角至，使得点恰好落在边上，则等于（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】等腰三角形的判定；等边三角形的判定与性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：，
．
将绕点顺时针旋转角至，
，，
是等腰三角形，且，
是等边三角形，
．
故选：D．
【分析】
根据旋转的性质可以得到，，进一步推导即可证明为等边三角形，进而可以求出的度数.
7．学校要重新铺设400米的跑道，为减少对同学们上体育课的影响，须缩短施工时间，实际施工时每天铺设跑道的长度是原计划的1.2倍，结果提前2天完成任务，求原计划每天铺设管道的长度，若设原计划每天铺设管道的长度为x米，则所列方程为（　　）
A． B．=2
C． D．
【答案】C
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：由题意得：实际施工时每天铺设跑道的长度为米，
则可列方程为，
故选：C．
【分析】
先设出原计划每天铺设跑道的长度为x米，由此可以得到实际施工时每天铺设跑道的长度为米，再结合工程最终提前2天完成任务的条件，就可以列出对应的分式方程.
8．已知，如图，是等边三角形，，于Q，交于点P，下列说法：①，②，③，④，其正确的个数有（　　）个
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【知识点】等腰三角形的判定与性质；等边三角形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】证明：∵是等边三角形，
∴，，
在和中，，
∴，
∴，
∴，
∴，故①正确
∵，
∴，
∴．故③正确，
∵．，
∴，
∴，故④正确，
若，则，，与题干条件不符，
∴无法判断，故②错误，
故答案为：C．
【分析】根据等边三角形的性质可得，，从而利用“边角边”证明，由全等三角形的对应角相等得，然后根据三角形外角性质、等量代换及角的构成可推出，从而可判断①；由直角三角形两锐角互余求出∠PBQ=30°，由函30°角直角三角形的性质得BP=2PQ，据此可判断③；根据等量减去等量差相等得出BD=CE，然后根据线段和差、等量代换可推出AE+BD=AB，据此可判断④；利用反证法可判断②不成立.
二、填空题（共5个小题，每小题3分，共15分）
9．分解因式： 　 　．
【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解： = ．
故答案为： ．
【分析】先提取公因式3x，再利用平方差公式因式分解即可。
10．要使分式 有意义，则 的取值范围是　 　．
【答案】x≠4
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】要使分式 有意义，则x-4≠0，
解得x≠4，
故答案为：x≠4．
【分析】分式有意义的条件是分母不等于0，据此列式求解即可.
11．在同一平面直角坐标系中，函数y1＝kx+b与y2＝mx+n的图像如图所示，则关于x的不等式kx+b≥mx+n的解集为　 　．
【答案】x≥2
【知识点】一次函数的图象；一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：如图所示：不等式kx+b＞mx+n的解集为：x≥2．
故答案为：x≥2．
【分析】
本结合给出的函数图象，结合kx+b≥mx+n 的几何含义，也就是直线y=kx+b的图象位于直线y=mx+n图象上方（含交点）时对应的x的范围，来确定不等式的解集.
12．如图，平行四边形ABCD中，∠A的平分线AE交CD于E，连接BE，点F、G分别是BE、BC的中点，若AB=6，BC=4，则FG的长　 　.
【答案】1
【知识点】平行四边形的性质；角平分线的概念；三角形的中位线定理
【解析】【解答】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC=4，DC=AB=6，DC//AB，
∴∠EAB=∠AED，
∵∠EAB=∠DAE，
∴∠DAE=∠DEA，
∴DE=AD=4，
∴CE=CD-DE=6-4=2，
∵点F、G分别是BE、BC的中点，
∴FG=EC=1，
故答案为1.
【分析】
首先根据平行四边形的性质，结合角平分线的定义，可以推出∠DAE=∠DEA ，由此先计算出CE的长度，最后再利用三角形中位线定理计算出所求结果即可.
13．如图等腰三角形的底边长为，腰长为，一动点P(不与B，C重合)，在底边上从B向C以的速度移动，当P运动　 　秒时，三角形是直角三角形．
【答案】或4
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；分类讨论
【解析】【解答】解：如图，作，
∵，
∴，
当点P运动到与点D重合，即为直角时，是直角三角形，
此时，
∴运动时间为(秒)；
当时，设
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
所以运动时间为(秒)；
综上可得：当P运动4秒或秒时，是直角三角形；
故答案为：或4．
【分析】
先根据等腰三角形“三线合一”的性质，求出、，以及边上的高，之后分两种情况进行讨论：分别是为直角和为直角，再借助勾股定理计算出两种情况下的长度，最终就可以得到运动所需的时间.
三、解答题（共13小题，计81分，解答应写出过程）
14．分解因式：．
【答案】解：

【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【分析】
按照先提公因式、再用公式法的思路完成因式分解即可.
15．解不等式组：，并求不等式组的整数解．
【答案】解：
解不等式①，得：，
解不等式②，得：，
则不等式组的解集为，
∴不等式组的整数解为：、、．
【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解
【解析】【分析】
分别求出不等式组中①和②两个不等式的解集，再得到不等式组的总解集后，从中找出所有整数解，就可以完成计算求解.
16．先化简，再求值：，请你从，，，这几个数中，给赋予一个恰当的值，并求出代数式的值．
【答案】解：
∵
∴当时，原式
【知识点】分式有无意义的条件；分式的化简求值-择值代入
【解析】【分析】
先计算括号内的分式加减法，同时把原式的除法运算转化为乘法运算，之后依据分式的基本性质将所得式子化为最简形式，最后把给定的字母数值代入化简后的式子计算出最终结果即可.
17．解方程： = -3
【答案】解：先去分母，把分式方程转化为整式方程，解一元一次方程，最后检验即可.
检验：当x=2时，x-2=0
∴原方程无解
【知识点】解分式方程
【解析】【分析】先去分母，把分式方程转化为整式方程，解一元一次方程，最后检验即可.
18．如图．已知锐角，，请用尺规作图法，在内部求作一点．使．且．（保留作图痕迹，不写作法）
【答案】解：如图，点即为所求．
【知识点】尺规作图-作角的平分线；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】本题属于尺规作图综合题，核心在于将文字条件“PB = PC”和“∠PBC = 24°”转化为几何轨迹：“PB = PC” → 点P在线段BC的垂直平分线上（到线段两端距离相等的点的轨迹）；“∠PBC = 24°” 且 ∠ABC = 48° → 点P在∠ABC的角平分线上（因为24°是48°的一半，说明P在角内平分位置）。因此，点P是两条轨迹线（角平分线 + 垂直平分线）的交点。只需正确作出这两条线，其交点即唯一满足条件的点。
19．若关于的方程无解，求的值．
【答案】解：，
去分母得，
去括号得，
移项得，
合并同类项得，
系数化为1得，
关于的方程无解，
，即，则，
解得：．

【知识点】分式方程的解及检验；分式方程的增根；分式方程的无解问题
【解析】【分析】
先按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤求解，得到，再结合分式方程无解的条件，推出增根为，代入后得到关于的方程，求解即可得到最终结果.
20．如图，是的边上的中点，，，垂足分别为，，且，求证：是等腰三角形．
【答案】证明：∵是 的边的中点，，，
∴、 均为直角三角形，
在中
，
，
，
∴是等腰三角形．
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；等腰三角形的判定；全等三角形中对应角的关系
【解析】【分析】
先利用判定定理证明，再根据全等三角形的性质推出，最后结合等腰三角形的判定定理即可推导出题目要求的结论.
21．在如图所示的平面直角坐标系中，每个小正方形的边长均为1，的三个顶点都在格点上，且三个顶点的坐标分别为，，．
（1）将各顶点的横坐标不变，纵坐标分别减去5，得到，在图中画出，并写出是由经过怎样的平移变换得到的？
（2）将绕坐标原点O顺时针旋转90°，得到，在图中画出，并写出点C的对应点的坐标．
【答案】（1）如图，即为所求；是由向下平移5个单位长度得到的．
（2）如图，即为所求；点C的对应点的坐标为．

【知识点】坐标与图形变化﹣平移；作图﹣平移；坐标与图形变化﹣旋转；作图﹣旋转
【解析】【分析】（1）保持△ABC各顶点的横坐标不变，将每个顶点的纵坐标都减去5，即可得到△A1B1C1三个顶点A1、B1、C1的坐标，根据得到的坐标描点连线即可得到△A1B1C1，再根据画出的图形即可判断两个三角形的位置变换关系；
（2）结合网格特征与旋转的性质，分别确定旋转后点A、B、C的对应点A2、B2、C2，再依次连线即可得到旋转后的三角形.
22．如图，点在一条直线上，．
（1）求证：；
（2）连接，求证：四边形是平行四边形．
【答案】证明：
即
证明：
四边形是平行四边形．
【知识点】平行四边形的判定；三角形全等的判定-SSS；全等三角形中对应角的关系
【解析】【分析】（1）首先根据线段和差关系，由已知的，给等式两边同时加上公共线段，即可推得，再结合题目给出的，，就可以通过边边边（SSS）判定定理证明；
（2）根据第一问证得的全等，可得对应角，由此可推出，再结合已知条件，根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”，即可证明四边形是平行四边形．
23．为落实“双减政策”，某学校购进“红色教育”和“传统文化”两种经典读本，花费分别是12000元和5000元，已知“红色教育”经典读本的订购单价是“传统文化”经典读本的订购单价的倍，并且订购的“红色教育”经典读本的数量比“传统文化”经典读本的数量多500本．求该学校订购的两种经典读本的单价分别是多少元？
【答案】解：设“传统文化”经典读本的单价是x元，则“红色教育”经典读本的单价是元，由题意得：，解得：，
经检验，是原分式方程的解，
，
答：“红色教育”的订购单价是12元，“传统文化”经典读本的单价是10元.
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【分析】本题属于分式方程在实际问题中的应用，核心在于：找准等量关系：数量差 = 500 本，这是列方程的关键桥梁。正确设定变量：以“传统文化”单价为基准（设为 x），可自然表达“红色教育”的单价（1.2x）。数量表达方式：必须用“总价 ÷ 单价”来表示数量，这是分式方程建模的常见模式。解后必须检验：因为是分式方程，必须验证分母是否为0，以及是否符合题意。单位和现实意义：结果均为正整数，符合实际购买场景，合理。
24．已知直线经过点；
（1）求直线的解析式；
（2）若直线与直线相交于点，求点的坐标；
（3）根据图象，写出关于的不等式的解集．
【答案】（1）解：直线经过点，，
，
解得，
直线的解析式为：；
（2）解：若直线与直线相交于点C，
．
解得，
点
（3）解：由（2）得，
根据图象可得不等式的解集为：．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数与不等式（组）的关系；一次函数与二元一次方程（组）的关系
【解析】【分析】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，以及一次函数的交点，一次函数与一元一次不等式的关系．
（1） 待定系数法求解析式，利用两点代入建立二元一次方程组，解出斜率k与截距b；
（2）求两直线交点，联立方程组，通过代数法或图象法求解交点坐标；
（3） 利用图像解不等式，将不等式转化为函数图象上下位置关系，结合交点横坐标确定解集。
（1）直线经过点，，
，
解得，
直线的解析式为：；
（2）若直线与直线相交于点C，
．
解得，
点；
（3）由（2）得，
根据图象可得不等式的解集为：．
25．教科书中这样写道：“我们把多项式及叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能求代数式的最大值、最小值．如：，如：求代数式的最小值．．可知当时，有最小值，最小值是．根据阅读材料用配方法解决下列问题：
（1）分解因式：______．
（2）当为何值时，多项式有最小值？并求出这个最小值．
【答案】（1）
（2）解：
∵
∴
当时，多项式有最小值．
【知识点】配方法的应用；因式分解﹣添（拆）项法
【解析】【解答】（1）解：
；
故答案为：；
【分析】（1）模仿阅读材料中配方法的方法将原多项式变形为(x2-4x+4)-9，然后将括号内的部分利用完全平方差公式分解因式，进而将正格式子利用平方差公式分解因式，最后分别合并括号里同类项即可；
（2）模仿阅读材料中配方法的方法将原多项式变形为(x2-4x+4)-1，然后将括号内的部分利用完全平方差公式分解因式，根据偶数次幂的非负性得出(x-2)2≥0，再根据不等式性质即可得出(x-2)2-1≥-1，从而即可求出该多形式的最小值.
（1）解：
；
故答案为：．
（2）解：
∵
∴
当时，多项式有最小值．
26．如图，在四边形中，，，．点从点出发，以的速度向点运动，同时点从点出发，沿着射线以的速度向右运动，当动点到达端点时另一个动点也随之停止运动．设运动时间为．
（1）在点，运动过程中，___________，___________；
（2）连接，，若与互相平分，求此时的值；
（3）在点，运动过程中，是否存在以点，，，为顶点的四边形是平行四边形．若存在，求出此时的运动时间；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；
（2）解：若与互相平分，则是平行四边形，
，
即，
解得：；
（3）解：存在，理由如下：
分两种情况：点在线段上，
当时，以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，
此时，，
即，
解得；
点在线段的延长线上，
当时，以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，
此时，，
即，
解得；
综上所述，存在以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，此时的运动时间为或．
【知识点】平行四边形的判定与性质；一元一次方程的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解：（1），点从点出发，以的速度向点运动，
，
，
，点从点出发，沿着射线以的速度向右运动，
，
故答案为：； .
【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、等腰梯形的性质、列代数式、解一元一次方程等知识点。
(1)直接由速度×时间得到路程，注意 P 从 D 到 A，所以 AP = AD DP。
(2)利用“对角线互相平分 平行四边形”的性质，得到 AP = BQ，解方程即可。
(3)是存在性问题，通过坐标法或平行四边形判定条件（一组对边平行且相等）列出方程，注意 Q 可以在 BC 延长线上，因此有两个解，点在线段上，点在线段的延长线上，根据平行四边形对边相等列出方程解答即可。
（1）解：，点从点出发，以的速度向点运动，
，
，
，点从点出发，沿着射线以的速度向右运动，
，
故答案为：，；
（2）解：若与互相平分，则是平行四边形，
，
即，
解得：；
（3）解：存在，理由如下：
点在线段上，
当时，以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，
此时，，
即，
解得；
点在线段的延长线上，
当时，以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，
此时，，
即，
解得；
综上所述，存在以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，此时的运动时间为或．
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