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第八章　圆锥曲线方程
课时作业40　椭圆

时间：45分钟　　　　分值：100分
一、选择题(每小题5分，共30分)
1．(2009·陕西高考)“m>n>0”是“方程mx2＋ny2＝1表示焦点在y轴上的椭圆”的
(　　)
A．充分而不必要条件　　　 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：把椭圆方程化为＋＝1.若m>n>0，则>>0.所以椭圆的焦点在y轴上．反之，若椭圆的焦点在y轴上，则>>0即有m>n>0.故选C.
答案：C
2．已知椭圆＋＝1，长轴在y轴上．若焦距为4，则m等于 (　　)
A．4 B．5
C．7 D．8
解析：因为椭圆＋＝1的长轴在y轴上，所以
?6所以m－2－10＋m＝4?m＝8，选择D.
答案：D
3．若椭圆＋＝1(m>n>0)上的点到右准线的距离是到右焦点距离的3倍，则m?n＝
(　　)
A. B.
C. D.
解析：由题意得该椭圆的离心率e＝＝，因此1－＝，＝，m?n＝，选D.
答案：D
4．(2009·江西高考)过椭圆＋＝1(a>b>0)的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P，F2为右焦点，若∠F1PF2＝60°，则椭圆的离心率为 (　　)
A. B.
C. D.
图1
解析：∵|PF1|＋|PF2|＝2a，
又∠F1PF2＝60°，
∴|PF1|＝|PF2|，
∴|PF2|＝2a?|PF2|＝a，|PF1|＝a，
在Rt△PF1F2中，|PF1|2＋
|F1F2|2＝|PF2|2，
∴2＋(2c)2＝2?e＝＝，故选B.
答案：B
5．(2010·长望浏宁模拟)从一块短轴长为2b的椭圆形玻璃镜中划出一块面积最大的矩形，其面积的取值范围是[3b2,4b2]，则这一椭圆离心率e的取值范围是 (　　)
A．[，] B．[，]
C．[，] D．[，]
解析：设椭圆的长轴长为2a，则矩形的最大面积为2ab，∴3b2≤2ab≤4b2，即≤≤2，又∵b＝，∴∈[，]，即∈[，]，解得：e∈[，]．
答案：A
6．(2009·全国卷Ⅰ)已知椭圆C：＋y2＝1的右焦点为F，右准线为l，点A∈l，线段AF交C于点B.若＝3，则||＝ (　　)
图2
A.　　　 B．2
C.　　　 D．3
解析：如图2，BM垂直于右准线于M，右准线与x轴交于N，易求得椭圆的离心率为e＝，由椭圆的第二定义得BM＝，在Rt△AMB中，＝＝＝，它为等腰直角三角形，则△ANF也为等腰直角三角形，FN＝＝1，则||
＝.故选A.
答案：A
二、填空题(每小题5分，共20分)
7．(2009·北京高考)椭圆＋＝1的焦点为F1、F2，点P在椭圆上．若|PF1|＝4，则|PF2|＝__________；∠F1PF2的大小为__________．
解析：依题知a＝3，b＝，c＝.由椭圆定义得|PF1|＋
|PF2|＝6，∵|PF1|＝4，∴|PF2|＝2.又|F1F2|＝2.在△F1PF2中由余弦定理可得cos∠F1PF2＝－，∴∠F1PF2＝120°
答案：2　120°
8．(2009·广东高考)已知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为，且G上一点到G的两个焦点的距离之和为12，则椭圆G的方程为________．
解析：由题意得2a＝12，＝，所以a＝6，c＝3，b＝3.故椭圆方程为＋＝1.
答案：＋＝1
9．已知A、B为椭圆C：＋＝1的长轴的两个端点，P是椭圆C上的动点，且∠APB的最大值是，则实数m的值是__________．
解析：由椭圆知识知，当点P位于短轴的端点时∠APB取得最大值，根据题意则有tan＝?m＝.
答案：
图3
10．(2010·武汉调研)如图3，已知A、B两点分别是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左顶点和上顶点，而F是椭圆C的右焦点，若·＝0，则椭圆C的离心率e＝________.
解析：A(－a,0)，B(0，b)，F(c,0)，
∴＝(a，b)，＝(c，－b)
∴ac＝b2，即ac＝a2－c2，∴e＝1－e2，解得e＝.
答案：
三、解答题(共50分)
11．(15分)已知A(－2,0)，B(2,0)，过点A作直线l交以A、B为焦点的椭圆于M、N两点，线段MN的中点到y轴的距离为，且直线l与圆x2＋y2＝1相切，求该椭圆的方程．
解：易知直线l与x轴不垂直，设直线l的方程为y＝k(x＋2)．①
又设椭圆方程为＋＝1(a2>4)． ②
因为直线l与圆x2＋y2＝1相切，故＝1，
解得k2＝.将①代入②整理得，
(a2k2＋a2－4)x2＋4a2k2x＋4a2k2－a4＋4a2＝0，而k2＝，即(a2－3)x2＋a2x－a4＋4a2＝0，
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1＋x2＝－，
由题意有＝2×(a2>3)，求得a2＝8.经检验，此时Δ>0.
故所求的椭圆方程为＋＝1.
图4
12．(15分)如图4，两束光线从点
M(－4,1)分别射向直线y＝－2上两点P(x1，y1)和Q(x2，y2)后，反射光线恰好通过椭圆C：＋＝1(a>b>0)的两焦点，已知椭圆的离心率为，且x2－x1＝，求椭圆C的方程．
解：设a＝2k，c＝k，k≠0，则b＝k，
其椭圆的方程为＋＝1.
由题设条件得＝－，①
＝－，②
x2－x1＝，③
由①②③解得k＝1，x1＝－，x2＝－1，
所求椭圆C的方程为＋＝1.
13．(20分)(2009·四川高考)已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，离心率e＝，右准线方程为x＝2.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过点F1的直线l与该椭圆相交于M、N两点，且|＋|＝，求直线l的方程．
解析：(1)由条件有解得a＝，c＝1.
∴b＝＝1.
所以，所求椭圆的方程为＋y2＝1.
(2)由(1)知F1(－1,0)、F2(1,0)．
若直线l的斜率不存在，则直线l的方程为x＝－1，
将x＝－1代入椭圆方程得y＝±.
不妨设M、N，
∴＋＝＋＝(－4,0)．
∴|＋|＝4，与题设矛盾．
∴直线l的斜率存在．
设直线l的斜率为k，则直线l的方程为y＝k(x＋1)．
设M(x1，y1)、N(x2，y2)，联立
消y得(1＋2k2)x2＋4k2x＋2k2－2＝0.
由根与系数的关系知x1＋x2＝，从而y1＋y2＝k(x1＋x2＋2)＝.
又∵＝(x1－1，y1)，＝(x2－1，y2)，
∴＋＝(x1＋x2－2，y1＋y2)．
∴|＋|2＝(x1＋x2－2)2＋(y1＋y2)2
＝2＋2＝.
∴＝2.
化简得40k4－23k2－17＝0，
解得k2＝1或k2＝－(舍)．∴k＝±1.
∴所求直线l的方程为y＝x＋1或y＝－x－1.
课时作业41　双曲线

时间：45分钟　　　　分值：100分
一、选择题(每小题5分，共30分)
1．(2009·安徽高考)下列曲线中离心率为的是(　　)
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
解析：双曲线离心率e＝＝＝＝，知＝，只有B选项符合，故选B.
答案：B
2．(2009·宁夏/海南高考)双曲线－＝1的焦点到渐近线的距离为 (　　)
A．2 B．2
C. D．1
解析：双曲线－＝1的焦点为(4,0)、(－4,0)．渐近线方程为y＝±x.由双曲线的对称性可知，任一焦点到任一渐近线的距离相等．d＝＝2.
答案：A
3．设a>1，则双曲线－＝1的离心率e的取值范围是 (　　)
A．(，2) B．(，)
C．(2,5) D．(2，)
解析：e＝＝
＝＝.
∵a>1，∴0<<1，
∴1<1＋<2，
∴答案：B
4．(2009·全国卷Ⅰ)设双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线与抛物线y＝x2＋1相切，则该双曲线的离心率等于 (　　)
A. B．2
C. D.
解析：双曲线的渐近线方程为y＝±x，与抛物线方程联立得x2±x＋1＝0，Δ＝2－4＝0?b2＝4a2，
∴c2－a2＝4a2，∴c2＝5a2，e＝.故选C.
答案：C
5．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线为y＝kx(k>0)，离心率e＝k，则双曲线方程为 (　　)
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
解析：由题意知，k＝，
∵e＝k＝·，即＝，
∴c＝b，c2＝5b2，∴a2＝c2－b2＝4b2.
故选C.
答案：C
6．双曲线－＝1(a>0，b>0)的两个焦点为F1、F2，若P为其上一点，且|PF1|＝2|PF2|，则双曲线离心率的取值范围为 (　　)
A．(1,3) B．(1,3]
C．(3，＋∞) D．[3，＋∞)
解析：∵|PF1|－|PF2|＝|PF2|＝2a，而双曲线右支上到右焦点距离最近的点为右顶点，∴有c－a≤2a，∴1答案：B
二、填空题(每小题5分，共20分)
7．已知双曲线的右焦点为(5,0)，一条渐近线方程为2x－y＝0，则双曲线的标准方程为__________．
解析：据题意由c＝5，＝2，a2＋b2＝c2?a2＝5，b2＝20，故双曲线方程为－＝1.
答案：－＝1
8．已知P是双曲线－＝1右支上的一点，双曲线的一条渐近线方程为3x－y＝0.设F1、F2分别为双曲线的左、右焦点．若|PF2|＝3，则|PF1|＝________.
解析：∵双曲线－＝1的渐近线方程为3x－y＝0，∴a＝1，又P是双曲线的右支上一点，|PF2|＝3，|PF1|－|PF2|＝2，|PF1|＝5.
答案：5
9．(2009·湖南高考)已知以双曲线C的两个焦点及虚轴的两个端点为顶点的四边形中，有一个内角为60°，则双曲线C的离心率为________．
图1
解析：如图1，∵c>b，∴∠B1F1B2＝60°，∠B1F1O＝30°，在△B1OF1中，＝tan30°，∴＝，∴＝，∴1－＝?＝，∴e2＝＝，∴e＝.
答案：
10．(2009·东北三校)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率的取值范围是e∈[，2]，则两渐近线夹角的取值范围是__________．
解析：e2∈[，4]，∴≤≤4，∴≤≤，设夹角为α，可得≤≤，∵α≤，∴≤α≤.
答案：[，]
三、解答题(共50分)
11．(15分)已知双曲线的方程是16x2－9y2＝144.
(1)求这双曲线的焦点坐标、离心率和渐近线方程；
(2)设F1和F2是双曲线的左、右焦点，点P在双曲线上，且
|PF1|·|PF2|＝32，求∠F1PF2的大小．
解：(1)由16x2－9y2＝144得－＝1，
∴a＝3，b＝4，c＝5.
焦点坐标F1(－5,0)，F2(5,0)，离心率e＝，渐近线方程为y＝±x.
(2)||PF1|－|PF2||＝6，
cos∠F1PF2＝
＝
＝＝0.
∴∠F1PF2＝90°.
12．(15分)设x，y∈R，i、j为直角坐标平面内x，y轴正方向上的单位向量，若向量a＝xi＋(y＋2)j，b＝xi＋(y－2)j，且|a|－|b|＝2.
(1)求点M(x，y)的轨迹C的方程；
(2)已知直线l过点A(，0)，斜率为k(0解：(1)由|a|－|b|＝2以及a＝xi＋(y＋2)j，b＝xi＋(y－2)j知M(x，y)到点(0，－2)和(0,2)的距离之差为常数2，所以，M(x，y)的轨迹为以(0，－2)和(0,2)为焦点，实轴长为2的双曲线的上支，其方程为－＝1(y>0)．
(2)显然，直线l的方程为y＝k(x－)，与直线l平行且距离为的直线为l′：y＝kx＋d，则由＝可求得d＝－k.所以，l′的方程为y＝kx＋－k.
由于l′与C的渐近线不平行，因此，根据题设可知，直线l′与双曲线C相切．将直线l′的方程代入双曲线C的方程－＝1，有(kx＋－k)2－x2＝2，即
(k2－1)x2＋2(－k)kx＋(－k)2－2＝0.
由
可以解得k＝.
图2
13．(20分)已知M(－2,0)，N(2,0)两点，动点P在y轴上的射影为H，且使·与·分别是公比为2的等比数列的第三、四项．
(1)求动点P的轨迹C的方程；
(2)已知过点N的直线l交曲线C于x轴下方两个不同的点A、B，设R为AB的中点，若过点R与定点Q(0，－2)的直线交x轴于点D(x0,0)，求x0的取值范围．
解：(1)M(－2,0)，N(2,0)，设动点P的坐标为(x，y)，所以H(0，y)，所以＝(－x,0)，＝(－2－x，－y)，＝
(2－x，y)，·＝x2，·＝－(4－x)2＋y2由条件得y2－x2＝4，又因为是等比，所以x2≠0，所求动点的轨迹方程y2－x2＝4(x≠0)．
(2)设直线l的方程为y＝k(x－2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立方程得
∴y2－y－8＝0.
∴y1＋y2＝，y1·y2＝－.
∴解得：R，kRQ＝.
直线RQ的方程为y＋2＝x，
∴x0＝＝，
∴2
课时作业42　抛物线

课时作业42　抛物线
时间：45分钟　　　　分值：100分
一、选择题(每小题5分，共30分)
1．若点P到直线x＝－1的距离比它到点(2,0)的距离小1，则点P的轨迹为 (　　)
A．圆　　　　　　　　　 B．椭圆
C．双曲线 D．抛物线
解析：由题意知，点P到点(2,0)的距离与P到直线x＝－2的距离相等，由抛物线定义得点P的轨迹是以(2,0)为焦点，以直线x＝－2为准线的抛物线，故选D.
答案：D
2．AB是抛物线y2＝2x的一条焦点弦，|AB|＝4，则AB中点C的横坐标是 (　　)
A．2 B.
C. D.
解析：|AB|＝xA＋xB＋1＝4，xC＝＝.
答案：C
3．(2009·四川高考)已知直线l1：4x－3y＋6＝0和直线l2：x＝－1，抛物线y2＝4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是 (　　)
A．2 B．3
C. D.
解析：∵直线l2：x＝－1恰为抛物线y2＝4x准线，∴P到l2的距离d2＝|PF|(F(1,0)为抛物线焦点)，所以P到l1、l2距离之和最小值为F到l1距离＝2，故选A.
答案：A
4．(2008·四川非延考区)已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，准线与x轴的交点为K，点A在C上且|AK|＝|AF|，则△AFK的面积为 (　　)
图1
A．4 B．8
C．16 D．32
解析：如图1：y2＝8x的焦点
F(2,0)，准线x＝－2，K(－2,0)．
设A(x，y)，由|AK|＝|AF|，得：
＝，
即：(x＋2)2＋y2＝2[(x－2)2＋y2]，化简得：y2＝－x2＋12x－4与y2＝8x联立求解得：x＝2，y＝±4，
∴S△AFK＝|FK|·|yA|＝×4×4＝8.故选B.
答案：B
5．(2009·全国卷Ⅱ)已知直线y＝k(x＋2)(k>0)与抛物线C：y2＝8x相交于A、B两点，F为C的焦点．若|FA|＝2|FB|，则k＝ (　　)
A. B.
C. D.
图2
解析：过A、B作抛物线准线l的垂线，垂足分别为A1、B1(如图2)，由抛物线定义可知，|AA1|＝|AF|，|BB1|＝|BF|，
∵2|BF|＝|AF|，
∴|AA1|＝2|BB1|，即B为AM的中点．
从而yA＝2yB，联立方程组

?消去x得：y2－y＋16＝0，
∴??消去yB得k＝.
答案：D
6．已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，A为抛物线上异于原点O的任意一点，过A作AT垂直y轴于T，OT的中点为M，则直线AM一定经过△ATF的 (　　)
A．内心 B．外心
C．重心 D．垂心
图3
解析：如图3所示，设AT交准线于N，连结FN，由NT＝OF可证M为NF中点，又由AN＝AF，可知AM为∠FAT的角平分线，∴AM经过△ATF的内心．
答案：A
二、填空题(每小题5分，共20分)
7．已知有以点(0,3)为顶点，点(0,6)为焦点的抛物线，设点P(a，b)在该抛物线上，且点Q(a,0)满足∠FPQ＝60°，则b＝________.
解析：由题意知，该抛物线的准线是x轴，且|FP|＝|PQ|，∠FPQ＝60°，∴△FPQ是正三角形，b＝12.
答案：12
8．如果直线l过定点M(1,2)且与抛物线y＝2x2有且仅有一个公共点，那么直线l的方程为__________．
解析：当直线l的斜率不存在，即直线l的方程是x＝1时，显然该直线与抛物线y＝2x2只有一个公共点，满足题意；当直线l的斜率存在时，设直线l的方程是y－2＝k(x－1)，由消去y得2x2－kx＋(k－2)＝0，Δ＝k2－8(k－2)＝0，k＝4，直线l的方程是y－2＝4(x－1)，即4x－y－2＝0.综上所述，直线l的方程是x＝1或4x－y－2＝0.
答案：x＝1或4x－y－2＝0
9．(2009·宁夏/海南高考)已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点为F(1,0)，直线l与抛物线C相交于A、B两点．若AB的中点为(2,2)，则直线l的方程为________．
解析：抛物线C的顶点在坐标原点，焦点为F(1,0)，∴＝1，抛物线方程为y2＝4x.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝4，y＝4x1　①，y＝4x2　②，①－②得y－y＝4(x1－x2)，
∴(y1＋y2)(y1－y2)＝4(x1－x2)，∴＝1，
∴直线l的斜率为1，且过点(2,2)，
∴直线方程为y－2＝x－2，∴y＝x.
答案：y＝x
10．已知抛物线y2＝4x的一条弦AB，A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB所在直线与y轴交点坐标为(0,2)，则＋＝__________.
解析：取特例，AB为焦点弦，则AB：y＝－2x＋2，
由得x2－3x＋1＝0，∴x1＋x2＝3.
∴y1＋y2＝－2(x1＋x2)＋4＝－2
y1y2＝4(x1x2－x1－x2＋1)＝－4
＋＝＝
答案：
三、解答题(共50分)
11．(15分)已知抛物线方程为标准方程，焦点在y轴上，抛物线上一点M(a，－4)到焦点F的距离为5，求抛物线的方程和a的值．
解：∵抛物线顶点在原点，对称轴为y轴，
∴设抛物线方程为x2＝2py(p≠0)．
又点M(a，－4)在抛物线上，且与焦点F的距离为5.
∴p<0且－＋4＝5.
∴p＝－2，即抛物线方程为x2＝－4y.
将点M(a，－4)代入方程，可知是a＝±4.
12．(15分)抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，点
P(1,2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)均在抛物线上．
(1)写出该抛物线的方程及其准线方程；
(2)当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，求y1＋y2的值及直线AB的斜率．
解：(1)由已知可设抛物线方程为y2＝2px.
∵点P(1,2)在抛物线上，∴p＝2.
故所求抛物线的方程是y2＝4x，
准线方程是x＝－1.
(2)设直线PA的斜率为kPA，直线PB的斜率为kPB，则kPA＝(x1≠1)，kPB＝(x2≠1)．
∵PA与PB斜率存在且倾斜角互补，
∴kPA＝－kPB.
又∵A、B点均在抛物线上，
∴y＝4x1，y＝4x2.
∴x1＝，x2＝.
∴＝－.
∴y1＋2＝－(y2＋2)．
∴y1＋y2＝－4.
由两式相减得(y1＋y2)(y1－y2)＝4(x1－x2)，
∴kAB＝＝＝＝－1.
13．(20分)(2009·湖北高考)过抛物线y2＝2px(p>0)的对称轴上一点A(a,0)(a>0)的直线与抛物线相交于M、N两点，自M、N向直线l：x＝－a作垂线，垂足分别为M1、N1.
(1)当a＝时，求证：AM1⊥AN1；
(2)记△AMM1、△AM1N1、△ANN1的面积分别为S1、S2、S3.是否存在λ，使得对任意的a>0，都有S＝λS1S3成立．若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．
解：依题意，可设直线MN的方程为x＝my＋a，M(x1，y1)，N(x2，y2)，则有M1(－a，y1)，N1(－a，y2)．
由消去x可得y2－2mpy－2ap＝0.
从而有
于是x1＋x2＝m(y1＋y2)＋2a＝2(m2p＋a)．
又由y＝2px1，y＝2px2，
可得x1x2＝＝＝a2.③
图4
(1)如图4，当a＝时，点A
即为抛物线的焦点，l为其准线x＝－.
此时M1，N1，并由①可得y1y2＝－p2.
证法1：∵＝(－p，y1)，＝
(－p，y2)，
∴·＝p2＋y1y2＝p2－p2＝0，即AM1⊥AN1.

(2)存在λ＝4，使得对任意的a>0，都有S＝4S1S3成立．证明如下：
证法1：记直线l与x轴的交点为A1，则|OA|＝|OA1|＝a.于是有
S1＝·|MM1|·|A1M1|＝(x1＋a)|y1|，
S2＝·|M1N1|·|AA1|＝a|y1－y2|，
S3＝·|NN1|·|A1N1|＝(x2＋a)|y2|.
∴S＝4S1S3?(a|y1－y2|)2＝(x1＋a)|y1|·(x2＋a)|y2|?a2[(y1＋y2)2－4y1y2]＝[x1x2＋a(x1＋x2)＋a2]|y1y2|.
将①、②、③代入上式化简可得
a2(4m2p2＋8ap)＝2ap(2am2p＋4a2)?4a2p(m2p＋2a)＝4a2p(m2p＋2a)．
上式恒成立，即对任意a>0，S＝4S1S3成立．
图5
证法2：如图5，连结MN1、NM1，则由y1y2＝－2ap，y＝2px1可得
kOM＝＝＝＝＝＝kON1，
所以直线MN1经过原点O.
同理可证直线NM1也经过原点O.
又|OA|＝|OA1|＝a，设|M1A1|
＝h1，|N1A1|＝h2，|MM1|＝d1，|NN1|＝d2，则S1＝d1h1，S2＝·2a(h1＋h2)＝a(h1＋h2)，S3＝d2h2.
∵MM1∥NN1∥AA1，
∴△OA1M1∽△NN1M1，△OA1N1∽△MM1N1，
∴＝，＝，
即a(h1＋h2)＝h1d2＝h2d1. ④
而λ＝＝
＝4·· ⑤
将④代入⑤，即得λ＝4，故对任意a>0，S＝4S1S3成立．
课时作业43　直线与圆锥曲线的位置关系

时间：45分钟　　　　分值：100分
一、选择题(每小题5分，共30分)
1．已知椭圆C：＋＝1，过点(1,0)作直线l，使l被C所截得的弦长为，则满足条件的直线l共有 (　　)
A．1条　　　　　　　　　 B．2条
C．3条 D．4条
解析：过点(1,0)垂直于x轴的直线被C截得的弦长恰好是，所以仅有一条符合条件．
答案：A
2．已知双曲线C：x2－＝1，过点(1,1)作直线l，使l与C只有一个交点，满足这个条件的直线l共有 (　　)
A．1条　　　 B．2条
C．3条　　　 D．4条
解析：数形结合可知过点(1,1)当斜率不存在时和与两条渐近线平行时所在的直线都符合．除此之外还应考虑设直线方程y＝kx＋(1－k)与双曲线联立消元利用判别式为0可求得k＝也符合．所以有4条．
答案：D
3．过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F作一条直线l交抛物线于A(x1，y1)、B(x2，y2)两点，则等于 (　　)
A．－4 B．4
C．－p2 D．p2
解析：特殊值法．设l的方程为x＝，则x1＝x2＝.
∴y1＝－y2＝p.∴＝＝－4.
答案：A
4．(2010·河南六市一模)已知AB为半圆的直径，P为半圆上一点，以A、B为焦点且过点P做椭圆，当点P在半圆上移动时，椭圆的离心率有 (　　)
A．最大值 B．最小值
C．最大值 D．最小值
解析：椭圆的离心率e＝≥＝，故选D.
答案：D
5．(2009·福建质检)若点P到A(1,0)的距离与到直线x＝－1的距离相等，且点P到直线l：x－y＝0的距离等于，则满足条件的点P的个数是 (　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：P点轨迹方程为y2＝4x，设P(t2,2t)，则P点到x－y＝0的距离为，令＝，解得：4t2－8t±5＝0，∴t＝－或t＝，共2个．故选B.
答案：B
6．(2010·洛阳模拟)直线y＝x与双曲线C：－＝1(a>0，b>0)左右两支分别交于M、N两点，与双曲线C的右准线交于P点，F是双曲线C的右焦点，O是坐标原点，若|FO|
＝|MO|，则等于 (　　)
A.　　　 B.
C.　　　 D.
图1
解析：由于|FO|＝|MO|，c＝，xM＝－，yM＝－，xN＝，把M的坐标代入双曲线方程得－＝1,4a4－8a2c2＋c4＝0，e4－8e2＋4＝0，e2＝4±2，又直线y＝x与双曲线C：－＝1(a>0，b>0)左右两支分别交于M、N两点，则>，e2＝1＋2>4，则e2＝4＋2，＝＝＝＝，故选B.
答案：B
二、填空题(每小题5分，共20分)
7．(2009·湖南郴州三模)已知抛物线y＝ax2(a≠0)的焦点为F，准线l与对称轴交于R点，过已知抛物线上一点P(1,2)作PQ⊥l于Q，则(ⅰ)抛物线的焦点坐标是__________；(ⅱ)梯形PQRF的面积是__________．
解析：抛物线上一点P(1,2)，求得a＝2.焦点坐标为；梯形PQRF的面积是.故填(ⅰ)；(ⅱ).
答案：(ⅰ)　(ⅱ)
8．直线y＝kx－2与抛物线y2＝8x交于不同的两点P、Q，若PQ中点的横坐标为2，则|PQ|＝__________.
解析：将y＝kx－2代入y2＝8x
?k2x2－4(k＋2)x＋4＝0(*)
易知k≠0，
Δ＝16(k＋2)2－16k2＝64(k＋1)>0，
∴k>－1，且k≠0.
由韦达定理，＝2，∴k2－k－2＝0，
即(k－2)(k＋1)＝0，∴k＝2或k＝－1(舍)．
此时方程(*)化为：
x2－4x＋1＝0，x1＋x2＝4，x1·x2＝1，
∴|PQ|＝·|x1－x2|
＝·
＝·＝2.
答案：2
9．若曲线y2＝|x|＋1与直线y＝kx＋b没有公共点，则k、b分别应满足的条件是__________．
图2
解析：数形结合：
y2＝依题设与图象可知k＝0且－1答案：k＝0且－110．(2010·河南调考)椭圆＋＝1(a>b>0)的中心、右焦点、右顶点及右准线与x轴的交点依次为O、F、G、H，则的最大值为__________．
解析：＝＝＝－e2＋e＝－2＋≤，故填.
答案：
三、解答题(共50分)
11．(15分)已知双曲线的中心在坐标原点，焦点在x轴上，实轴长为2.一条斜率为1的直线l过右焦点F与双曲线交于A、B两点，以AB为直径的圆与右准线交于M、N两点．
(1)若双曲线的离心率为2，求圆的半径；
(2)设AB的中点为H，若·＝－，求双曲线的方程．
解：(1)设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)．由已知2a＝2，∴a＝1，又e＝＝2，∴c＝2.
∴双曲线方程为x2－＝1，右焦点F(2,0)，直线l：y＝x－2，代入x2－＝1，得2x2＋4x－7＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－2，x1x2＝－，
∴|AB|＝＝6，∴r＝3.
(2)设双曲线方程为x2－＝1，由题意得直线l：y＝x－c，将其代入双曲线方程并整理得(c2－2)x2＋2cx－2c2＋1＝0，∴xH＝(x1＋x2)＝，yH＝xH－c＝.
设半径为R，与所成的角为θ，
则R2cosθ＝－.∵cos＝，R＝＝＝2，∴cos＝.
∴cosθ＝2cos2－1＝，代入R2cosθ＝－，可得：c2＝3.∴x2－＝1为所求．
12．(15分)(2009·辽宁高考)已知，椭圆C经过点A，两个焦点为(－1,0)，(1,0)．
(1)求椭圆C的方程；
(2)E，F是椭圆C上的两个动点，如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，证明直线EF的斜率为定值，并求出这个定值．
解：(1)由题意，c＝1，可设椭圆方程为＋＝1.
因为A在椭圆上，所以＋＝1，
解得b2＝3，b2＝－(舍去)．所以椭圆方程为＋＝1.
(2)设直线AE方程为y＝k(x－1)＋，代入＋＝1得(3＋4k2)x2＋4k(3－2k)x＋42－12＝0.
设E(xE，yE)，F(xF，yF)．因为点A在椭圆上，
所以xE＝，yE＝kxE＋－k.
又直线AF的斜率与AE的斜率互为相反数，在上式中以－k代k，可得xF＝，yF＝－kxF＋＋k.
所以直线EF的斜率
kEF＝＝＝.
即直线EF的斜率为定值，其值为.
13．(20分)在直角坐标系xOy中，椭圆C1：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，F2也是抛物线C2：y2＝4x的焦点，点M为C1与C2在第一象限的交点，且|MF2|＝.
(1)求C1的方程；
(2)平面上的点N满足＝＋，直线l∥MN，且与C1交于A、B两点，若·＝0，求直线l的方程．
解：(1)由C2：y2＝4x知F2(1,0)．
设M(x1，y1)，M在C2上，
因为|MF2|＝，所以x1＋1＝，得x1＝，y1＝.
M在C1上，且椭圆C1的半焦距c＝1，
于是
消去b2并整理得9a4－37a2＋4＝0.
解得a＝2.
故椭圆C1的方程为＋＝1.
(2)由＋＝知四边形MF1NF2是平行四边形，其中心为坐标原点O，因为l∥MN，所以l与OM的斜率相同．故l的斜率k＝＝.
设l的方程为y＝(x－m)．由消去y并化简得9x2－16mx＋8m2－4＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1＋x2＝，x1x2＝.
因为⊥，所以x1x2＋y1y2＝0.
x1x2＋y1y2＝x1x2＋6(x1－m)(x2－m)
＝7x1x2－6m(x1＋x2)＋6m2
＝7·－6m·＋6m2＝(14m2－28)＝0.
所以m＝±.
此时Δ＝(16m)2－4×9(8m2－4)>0，
故所求直线l的方程为y＝x－2，或y＝x＋2.
课时作业44　轨迹问题

时间：45分钟　　　　分值：100分
一、选择题(每小题5分，共30分)
1．设椭圆C1的离心率为，焦点在x轴上且长轴长为26.若曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C2的标准方程为 (　　)
A.－＝1　　　　　 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
解析：在椭圆C1中，由得椭圆C1的焦点为F1(－5,0)，F2(5,0)，曲线C2是以F1、F2为焦点，实轴长为8的双曲线，故C2的标准方程为：－＝1，故选A.
答案：A
2．若△ABC的两个顶点B、C的坐标分别是(－1,0)和(2,0)，而顶点A在直线y＝x上移动，则△ABC的重心G的轨迹方程是 (　　)
A．y＝＋1(y≠0) B．y＝－1(y≠0)
C．y＝x－(y≠0) D．y＝x＋(y≠0)
解析：设A(x0，x0)，G(x，y)，
则，消去x0得y＝x－.
答案：C
3．已知圆C的方程为x2＋y2－10x＝0，则与y轴相切且与圆C外切的动圆圆心P的轨迹方程为 (　　)
A．y2＝20x
B．y2＝20x(x<0)
C．y2＝20x(x>0)和y＝0
D．y2＝20x(x≥0)和y＝0(x<0)
解析：设点P的坐标为(x，y)，半径为R.
∵动圆P与y轴相切，∴R＝|x|.
∵动圆与定圆C：(x－5)2＋y2＝25外切，
∴|PC|＝R＋5，即|PC|＝|x|＋5.
当点P在y轴上或右侧，即x≥0时，|PC|＝x＋5，
即点P的轨迹是以(5,0)为焦点的抛物线，
故方程为y2＝20x.
当点P在y轴左侧，即x<0时，|PC|＝－x＋5，
此时，点P的轨迹是x轴负半轴，即y＝0(x<0)，
∴点P的轨迹方程为y2＝20x(x≥0)和y＝0(x<0)．
答案：D
4．设x1，x2∈R，常数a>0，定义运算“*”：x1]x*a))的轨迹是 (　　)
A．圆 B．椭圆的一部分
C．双曲线的一部分 D．抛物线的一部分
解析：
则P(x,2)，设P(x1，y1)，
即，消去x得y＝4ax1(x1≥0，y1≥0)．
故点P的轨迹为抛物线的一部分．故选D.
答案：D
5．(2009·武汉四月调研)已知点A(1,0)和圆C：x2＋y2＝4上一点R，动点P满足＝2，则点P的轨迹方程为 (　　)
A．(x－)2＋y2＝1 B．(x＋)2＋y2＝1
C．x2＋(y－)2＝1 D．x2＋(y＋)2＝1
解析：设P(x，y)，R(x1，y1)，∴＝(1－x1，－y1)，＝(x－1，y)．又∵＝2
∴∴
∴(3－2x)2＋4y2＝4，即(x－)2＋y2＝1，故选A.
答案：A
6．已知F1、F2分别是双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，P为双曲线上一点，过F1作∠F1PF2的平分线的垂线，垂足为H，则点H的轨迹为 (　　)
A．椭圆 B．双曲线
C．圆 D．抛物线
图1
解析：如图1，过F1作∠F1PF2的平分线的垂线，垂足为H.交PF2的延长线于G，则PF1＝PG，F1H＝GH，而PF1－PF2＝PG－PF2＝F2G＝2a，
∴G点的轨迹是以F2为圆心，以2a为半径的圆．
因为F1为定点，G为动点，F1G的中点H亦为动点．设H点的坐标为(x，y)，G(x1，y1)．
则，即，
而(x1－c)2＋y＝4a2，∴(2x＋c－c)2＋(2y)2＝4a2即x2＋y2＝a2为圆，故选C.
答案：C
二、填空题(每小题5分，共20分)
7．曲线x2＋4y2＝4关于点M(3,5)对称的曲线方程为______．
解析：代入法(或相关点法)．
答案：(x－6)2＋4(y－10)2＝4
8．已知圆C1：x2＋y2＋4x＋3＝0，及圆C2：x2＋y2－4x＝0，动圆M与圆C1和圆C2分别相切，则动圆圆心M的轨迹方程为__________．
解析：①若⊙M与⊙C1与⊙C2外切，
则|MC2|－|MC1|＝1，
若⊙M与⊙C1和⊙C2内切，则|MC1|－|MC2|＝1，
此时轨迹方程为4x2－y2＝1.
②若⊙M与⊙C1内切，与⊙C2外切，或与⊙C1外切，与⊙C2内切，则||MC1|－|MC2||＝3，
圆心M的轨迹方程为x2－y2＝1.
答案：4x2－y2＝1或x2－y2＝1
9．自抛物线y2＝2x上任意一点P向其准线l引垂线，垂足为Q，连结顶点O与P的直线和连结焦点F与Q的直线交于R点，则R点的轨迹方程是__________．
解析：设P(x1，y1)、R(x，y)，则Q(－，y1)、F(，0)，
∴OP的方程为y＝x， ①
FQ的方程为y＝－y1(x－)． ②
由①②，得x1＝，y1＝，
代入y2＝2x，可得y2＝－2x2＋x.
答案：y2＝－2x2＋x
10．长为4的线段两端点A、B分别在直线y＝2x和y＝－2x上滑动，则线段AB中点M的轨迹方程是__________．
解析：设M(x，y)，A(x1,2x1)，则B(2x－x1,2y－2x1)．由|AB|＝4，得：(2x－2x1)2＋(2y－4x1)2＝16，①又∵B在y＝－2x上，∴2y－2x1＝－2(2x－x1) ∴x1＝，代入①即得答案．
答案：＋x2＝1
三、解答题(共50分)
图2
11．(15分)如图2，椭圆Q：＋＝1(a>b>0)的右焦点为F(c,0)，过点F的一动直线m绕点F转动，并且交椭圆于A、B两点，P为线段AB的中点．求点P的轨迹H的方程．
解：设椭圆Q：＋＝1上的点A(x1，y1)、B(x2，y2)，又设P点坐标为P(x，y)，则

故AB不垂直x轴时，x1≠x2，
由①－②得b2(x1－x2)2x＋a2(y1－y2)2y＝0，
∴＝－＝，
∴b2x2＋a2y2－b2cx＝0(*)
当AB垂直于x轴时，点P即为点F，满足方程(*)．
故所求点P的轨迹H的方程为b2x2＋a2y2－b2cx＝0.
12．(15分)A、B分别是直线y＝x和y＝－x上的动点．O是坐标原点，且|OA|·|OB|＝a2＋b2(a，b为实值，b≠0)．求线段AB的中点P的轨迹方程．
解：设P、A、B三点的坐标分别为(x，y)、(x1，y1)、(x2，y2)则x＝①
y＝ ②
y1＝x1 ③
y2＝－x2 ④
又|OA||OB|＝|x1||x2|＝|x1x2|，且|OA||OB|＝a2＋b2，∴|x1x2|＝a2⑤
将③④代入②得y＝(x1－x2)，即y＝⑥
①2－⑥2得x2－y2＝x1x2，即x2－y2＝±a2.
∴所求轨迹方程为－＝±1.
13．(20分)(2009·宁夏/海南高考)已知椭圆C的中心为直角坐标系xOy的原点，焦点在x轴上，它的一个顶点到两个焦点的距离分别是7和1.
(1)求椭圆C的方程；
(2)若P为椭圆C上的动点，M为过P且垂直于x轴的直线上的点，＝λ，求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．
解：(1)设椭圆长半轴长及半焦距分别为a、c，
由已知得解得a＝4，c＝3，
所以椭圆C的方程为＋＝1.
(2)设M(x，y)，其中x∈[－4,4]．由已知＝λ2及点P在椭圆C上可得＝λ2，
整理得(16λ2－9)x2＋16λ2y2＝112，其中x∈[－4,4]．
(ⅰ)λ＝时，化简得9y2＝112，
所以点M的轨迹方程为y＝±(－4≤x≤4)，轨迹是两条平行于x轴的线段．
(ⅱ)λ≠时，方程变形为＋＝1，其中x∈[－4,4]．
当0<λ<时，点M的轨迹为中心在原点、实轴在y轴上的双曲线满足－4≤x≤4的部分；
当<λ<1时，点M的轨迹为中心在原点、长轴在x轴上的椭圆满足－4≤x≤4的部分；
当λ≥1时，点M的轨迹为中心在原点、长轴在x轴上的椭圆．

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