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四川省成都市青羊区教育科学研究院附属实验学校2024-2025学年七年级下学期期中数学试卷
一、选择题（32分）
1．博物馆作为一个国家和民族的精神家园，是了解本土文化和历史遗产的最佳场所，各博物馆标志也独具特色．下列博物馆标志中，其文字上方的图案是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A、不是轴对称图形，则此项不符合题意；
B、是轴对称图形，则此项符合题意；
C、不是轴对称图形，则此项不符合题意；
D、不是轴对称图形，则此项不符合题意；
故选：B．
【分析】本题考查了轴对称图形的定义，即如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形．根据轴对称图形的定义逐项判断即可得．
2．石墨烯是单层碳原子组成的二维材料，结构是六边形晶格，当两层石墨烯以特定角度堆叠时，会出现超导现象．石墨烯中每两个相邻碳原子间的键长为米．数用科学记数法表示是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：，
给选：C．
【分析】本题主要考查了科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数，根据定义求解即可．
3．下列运算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；完全平方公式及运用；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，原计算错误，不符合题意；
B、，原计算错误，不符合题意；
C、，计算正确，此选项符合题意；
D、，原计算错误，不符合题意．
故选：C．
【分析】
本题主要考查了同底数幂的乘法法则，积的乘方法则，幂的乘方法则，完全平方公式．根据同底数幂的乘法法则，积的乘方法则，幂的乘方法则，完全平方公式逐项计算即可求解．
4．如图，某地进行城市规划，在一条新修公路旁有一村庄P， 现要建一个汽车站，且有A， B， C， D四个地点可供选择．若要使汽车站离村庄最近，则汽车站应建在C处，依据是（　　）
A．两点之间，线段最短 B．两点之间，垂线段最短
C．垂线段最短 D．两点确定一条直线
【答案】C
【知识点】垂线段最短及其应用
【解析】【解答】解：根据题意，若要使汽车站离村庄最近，则汽车站应建在C处，依据是“垂线段最短”．
故答案为：C．
【分析】抓住关键的已知条件：要使汽车站离村庄最近，汽车站应建在C处，据此利用“垂线段最短”可求解.
5．如图，AB∥CD，∠AGE=126°，HM平分∠EHD，则∠MHD的度数是（　　）
A．44° B．25° C．26° D．27°
【答案】D
【知识点】对顶角及其性质；角平分线的概念；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：根据对顶角相等得：∠BGF=∠AGE=126°，
∵AB∥CD，
∴∠EHD+∠BGF=180°
∴∠EHD=180° ∠BGF=54°，
又∵HM平分∠EHD，
∴∠MHD=∠EHD=27°.
故选D.
【分析】先求∠EHD的度数，再由HM平分∠EHD即可求出∠MHD的度数．
6．如图，点A，D，C，F在同一条直线上，AD＝CF，∠F＝∠ACB，再补充下列一个条件，不能证明△ABC≌△DEF的是（　　）
A．BC＝EF B．AB∥DE C．AB＝DE D．∠B＝∠E
【答案】C
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：∵AD＝CF，
∴AD+DC=CF+DC，
∴AC=DF，
∠ACB=∠F为已知条件，
A. 增加BC＝EF，符合SAS，能判定三角形全等，故该选项不符合题意；
B. 增加AB//DE，则∠A＝∠EDF，符合ASA，能判定三角形全等，故该选项不符合题意；
C.增加 AB＝DE，符合SSA，不能判定三角形全等，故该选项符合题意；
D.增加 ∠B＝∠E，符合AAS，能判定三角形全等，故该选项不符合题意．
故选C．
【分析】本题考查全等三角形的判定，先根据已知找出两个三角形中的相等元素，再分别考查各选项中的条件，看是否符合判定三角形全等的条件，特别注意SSA是不能判定两个三角形全等的。
7．如图，矩形纸片ABCD沿着BE折叠，使C、D两点分别落在C1、D1处，若∠ABC1＝45°，则∠ABE的度数为（　　）
A．22.5° B．21.5° C．22° D．21°
【答案】A
【知识点】角的运算；矩形的性质；轴对称的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：设∠ABE=，则∠C1BE=∠ABC1+∠ABE=根据折叠性质可知，∠CBE=∠C1BE=，
∵∠ABC=90°，
∴∠CBE+∠ABE=90°，
即，
解得．
故选：A．
【分析】本题考查了图形的翻折，设∠ABE=，先根据折叠的性质得出∠CBE=∠C1BE=45+x，再根据∠ABC为直角列方程进行求解即可．
8．已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为50°，则底角的度数为（　　）
A．40° B．70° C．40°或140° D．70°或20°
【答案】D
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：分两种情况讨论：①若∠A＜90°，如图1所示：
∵BD⊥AC，
∴∠A+∠ABD＝90°，
∵∠ABD＝50°，
∴∠A＝90°﹣50°＝40°，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C＝ （180°﹣40°）＝70°；②若∠A＞90°，
如图2所示：
同①可得：∠DAB＝90°﹣50°＝40°，
∴∠BAC＝180°﹣40°＝140°，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C＝ （180°﹣140°）＝20°；
综上所述：等腰三角形底角的度数为70°或20°，
故答案为：D.
【分析】分两种情况讨论：①若∠A＜90°；②若∠A＞90°；先求出顶角∠BAC，即可求出底角的度数.
二、选择题（20分）
9．计算：　 　．
【答案】
【知识点】单项式除以单项式
【解析】【解答】解：
故答案为：
【分析】本题考查单项式除法计算，根据单项式除法法则，便可求解.
10．已知等腰三角形的两条边长分别为和，则它的周长是　 　．
【答案】12
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：当为腰时，三边为，由三角形的三边关系可知2+2＜4，故不能构成三角形，
当为腰时，三边为，符合三角形的三边关系，周长为：．
故答案为：．
【分析】根据和可分别作等腰三角形的腰，利用等腰三角形的性质及三角形的三边关系，分别讨解答即可．
11．如图，平分，点P在上，于D，，点E是射线上的动点，则的最小值为　 　．
【答案】3
【知识点】垂线段最短及其应用；角平分线的性质
【解析】【解答】解：过点作于，如图，
平分，，，
，
点是射线上的动点，
的最小值为．
故答案为：3．
【分析】
本题考查了角平分线的性质，垂线段最短，熟知角平分线的性质是解题关键.
角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
过P点作PH⊥OB于点H，如图，根据角平分线的性质可得：PH=PD，再根据垂线段最短可知：PE的最小值为3，由此可得出答案．
12．若，，则　 　．
【答案】75
【知识点】同底数幂乘法的逆用；幂的乘方的逆运算
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∴．
故答案为：75．
【分析】本题主要考查了幂的乘方，同底数幂相乘．先逆用幂的乘方法则得，再逆用同底数幂相乘的法则计算即可．
13．如图，在中，以BC为底边在外作等腰，作的平分线分别交AB，BC于点F，E．若，，的周长为30，点M是直线PF上的一个动点，则周长的最小值为　 　．
【答案】18
【知识点】两点之间线段最短；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：是以为底边的等腰三角形，平分，
垂直平分，
点与点关于对称，
，如图所示，
当点与点重合时，，
此时的周长最小，
，，的周长为30，
，
周长的最小值为．
故答案为：18．
【分析】根据等腰三角形性质及角平分线性质额可得垂直平分，则点与点关于对称，即，当点与点重合时，，此时的周长最小，再根据三角形周长进行边之间的转换即可求出答案.
三、计算题
14．计算：
（1）
（2）
（3）
（4）
【答案】（1）
；
（2）
；
（3）
；
（4）
．
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；整式的混合运算
【解析】【分析】本题考查了整式的运算，幂的运算，多项式乘以多项式以及乘法公式．
（1）根据负整数指数幂以及零指数幂的计算方法进行计算即可；
（2）根据积的乘方以及同底数幂的乘除法的计算方法进行计算即可；
（3）根据多项式乘以多项式的计算方法，结合完全平方公式进行计算即可得到结果；
（4）利用平方差公式，完全平方公式进行计算即可得到结果．
（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
；
（4）解：
．
15．先化简，再求值．
（1），其中
（2），其中．
【答案】（1）解：原式
，
当时，
原式
；
，7
（2）解：原式
，
当时，
原式
．
【知识点】利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】本题主要考查了整式化简求值．
（1）根据整式的运算法则进行化简，再代入数值进行计算即可；
（2）根据整式的运算法则和乘法公式进行运算，化简后再代入数值进行计算即可；
（1）解：原式
，
当时，
原式
；
（2）解：原式
，
当时，
原式
．
16．已知，如图，，．求证：．
【答案】证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【知识点】垂线的概念；两直线平行，内错角相等
【解析】【分析】本题考查平行线的性质及垂线的定义，根据平行线的性质和已知条件得到，再结合求出的度数，即可得出结论．
17．【项目学习】“我们把多项式及叫做完全平方式”．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法．例如：求当a取何值，代数式有最小值？最小值是多少？
解：，
因为，所以，
因此，当时，代数式有最小值，最小值是．
【问题解决】利用配方法解决下列问题：
（1）代数式的最小值为 　 　，的最大值为 　 　．
【拓展提高】
（2）当x，y何值时，代数式取得最小值，最小值为多少？
（3）如图所示的第一个长方形边长分别是、，面积为；如图所示的第二个长方形边长分别是、，面积为．试比较与的大小，并说明理由．
【答案】（1），20；
（2）
，
∵，
∴，
∴当，，即时，代数式取得最小值，最小值为16；
故答案为：当时，代数式取得最小值，最小值为16；
（3），理由如下：
根据题意，可得，
，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【知识点】完全平方公式及运用；整式的混合运算；配方法的应用
【解析】【解答】解：（1），
∵，
∴
即，
∴当时，代数式有最小值，最小值是；
，
∵，
∴，
∴
∴当时，代数式有最大值，最大值是．
故答案为：，20；
【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用．
（1）仿照题目中所给的配方法的思路解答即可；
（2）结合题目中所给的配方法的思路，将整理为平方和的形式，再根据平方式的非负性质得出答案；
（3）根据面积公式分别计算与，然后再用比较法比较大小．
18．如图，直线，平分，过点作交于点；动点、同时从点出发，其中动点以的速度沿射线方向运动，动点以的速度沿直线上运动；已知，设动点，的运动时间为．
（1）若，试求动点的运动时间的值；
（2）试问当动点，在运动过程中，是否存在某个时间，使得与全等？若存在，请求出时间的值；若不存在，请说出理由．
【答案】（1）解：作，，
平分，
，
，
，
3AD=2CE，
当点在点左侧时，
∴，
，
解得：；
当点在点右侧时，，
∴，解得，
综上动点的运动时间或；
（2）解：当点在点上方时，
AB平分，∴
又 ，∴，
∴当时，或
此时t=或，
解得：或（舍去），
当点在点下方时，
，
∴，
，
∴；
综上，当或时，与全等．
【知识点】三角形全等及其性质；角平分线的性质；一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【分析】本题主要考查等腰直角三角形的性质、角平分线的性质定理、全等三角形的判定和性质、三角形的面积等知识．
（1）作，结合角平分线的性质及三角形面积公式可推导出的值，由此可求得的值；
（2）要分点在点上方和下方两种情形进行求解，根据已知条件可得出全等还需要的条件，再列方程求出t值即可。
（1）解：作，，则，
，
，
当点在点左侧时，
∴，
即，
解得：；
当点在点右侧时，，
∴，解得，
综上动点的运动时间或；
（2）当点在点上方时，
，，
∴当时，，
即或，
解得：或（舍去），
当点在点下方时，
，
∴，
，
∴；
答：或时，与全等．
四、选择题（20分）
19．已知，，求的值为　 　．
【答案】4
【知识点】同底数幂的除法；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：∵，，
∴，，
∴，
故答案为：4．
【分析】本题考查了幂的乘方以及逆运算，同底数幂相除，先根据，，得出，，再把数值代入进行计算，即可作答．
20．若的乘积中不含x的一次项，则＝　 　．
【答案】
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】==
∵乘积中不含x的一次项
∴
解得a=
故答案为：．
【分析】
先按照整式乘法的计算法则将原式展开，合并同类项后，根据乘积里不含有x的一次项，可知x一次项的系数为0，据此即可求解.
21．如图，是的边上任意一点，分别是线段的中点，且的面积为，则的面积是　 　．
【答案】5
【知识点】利用三角形的中线求面积
【解析】【解答】解：∵点是中点，
∴，
∴，
∴，
∵点是的中点，
∴，
故答案为： ．
【分析】本题考查了三角形中线平分面积的计算．根据点是中点，得到，根据点是的中点，得到，由即可求解．
22．如图，在中，，，，，则的度数是　 　．
【答案】
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等及其性质；等腰三角形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
，
故答案是：．
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定及性质，等边对等角，三角形内角和定理．先证明，得，再结合平角的定义和三角形内角和定理求出。
23．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AC＝6，点P在边AB上运动（不与端点重合），点P关于直线AC，BC对称的点分别为P1，P2．则在点P的运动过程中，线段P1P2的长度m的取值范围是　 　．
【答案】6≤m＜12
【知识点】垂线段最短及其应用；轴对称的性质
【解析】【解答】解：如图，连接PC，作CH⊥AB于H．
∵点P关于直线AC，BC对称的点分别为P1，P2，
∴CP＝CP1＝CP2，
∴P1P2＝2PC，
在Rt△ACH中，∵∠AHC＝90°，AC＝6，∠A＝30°，
∴CH＝AC＝3，
∵点P在边AB上运动（不与端点重合），
∴3≤PC＜6，
∴线段P1P2的长度m的取值范围是6≤m＜12，
故答案为6≤m＜12．
【分析】本题考查轴对称，直角三角形的性质，垂线段最短等知识．连接PC，作CH⊥AB于H．首先证明P1P2＝2PC，求出PC的取值范围即可解决问题．
24．（1）已知，．
①求的值．
②计算的结果．
（2）若，求的值．
【答案】解：（1）①，
，
，
；
②，
，
，
，
；
（2），
．
【知识点】积的乘方运算；幂的乘方运算；同底数幂乘法的逆用；积的乘方运算的逆用；同底数幂除法的逆用
【解析】【分析】本题考查了同底数幂的乘除法，幂的乘方，积的乘方，逆用这些法则是解题的关键．
（1）①把化为以2为底的幂的形式，再进行计算即可；②先根据同底数幂的乘法求得，再结合①中结果，逆用积的乘方公式进行求解即可；
（2）先把代数式化为含有的代数式的形式，再代入数值进行计算即可。
25．【知识生成】通常情况下，通过用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式．如图1，在边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的小正方形．把余下的部分沿虚线剪开拼成一个长方形（如图2）．图1中阴影部分面积可表示为：，图2中阴影部分面积可表示为，因为两个图中的阴影部分面积是相同的，所以可得到等式：．
【拓展探究】图3是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四个小长方形，然后按图4的形状拼成一个正方形．
（1）根据图形可得到一个关于、、的等量关系式是　 ▲ 　 ；
（2）结合以上信息，灵活运用公式，解决如下问题：
①已知，，则 ▲ ．
②已知，求的值．
【知识迁移】
（3）如图5，红岭中学前不久举办了第一届“智启未来，科技筑梦”校园科技节活动，其中创意竞赛要求设计一款由两个正方形构成的光学元件模型．其中大正方形与小正方形的边长分别为a和b．已知两正方形边长之和，边长之积，且E为中点．模型中阴影部分为特殊光线吸收区域，其面积大小直接影响光学元件对光线的吸收效果，进而决定模型的光学性能．为优化设计，需精确计算图中阴影部分的面积总和，求该阴影部分面积总和．
【答案】解：（1）
（2）①24
②∵，，
∴
，
∴；
（3）阴影部分面积和为：
，
∵，，
∴，
∴阴影部分面积和等于．
【知识点】完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】解：（1）方法1：用大正方形面积减去四个小长方形面积列式可得：，
方法2：用小正方形的边长列式可得：；
故答案为：；；
∵方法1和方法2表示的图形面积相等，
∴；
故答案为：；
（2）①∵，，
∴，
∴
，
故答案为：24；
【分析】
本题考查了完全平方公式与几何图形面积，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
（1）方法1：用大正方形面积减去四个小长方形面积可得：，；方法2：用小正方形的边长得正方形的面积为：，根据方法1和方法2表示的图形面积相等，可得到等量关系：，由此可得出答案；
（2）①先再根据多项式乘法计算法则可知：，再根据(1)中的等式：；代入数据可得：，最后将所有数据代入化简的代数式，求值即可得出答案；
②将(2024-a)看出一个整体m，将(a-2023)看出一个整体n，根据完全平方公式：，代入数据求解即可得出答案；
（3）根据阴影部分面积的计算方法可知：代入数据化简可得：，再根据(1)所得公式代入数据计算即可得出答案．
26．类比思维是根据两个具有相同或相似特征的事物间的对比，从某一事物的某些已知特征去推测另一事物的相应特征存在的思维活动．请尝试用类比思维解决以下问题：
（1）如图1，在等腰直角三角形中，，，直线l经过点C，过点A作于点D，过点B作于点E，直接写出、、之间的数量关系：　 　 ；
（2）如图2，在中，，点D、E分别在边、上，且，．若，，求的长度（用含a，b的代数式表示）．
（3）如图3，在中，，，点D、E分别是边、上的动点，以为腰向右作等腰，使得，且，连接、，．
①求证：；
②在点D、E运动过程中，点F位置也随之发生改变，若，当线段取得最小值时，求的面积．
【答案】（1）
（2）解：∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴；
（3）①证明：如图，在上取一点，使得，连接，
∵，，
∴，
∵，，
∴即，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
②∵，
∴为定直线，
∴当时，最小，
如图，过点作于点，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴的面积为．
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等及其性质；三角形全等的判定；等腰三角形的性质；三角形-动点问题
【解析】【分析】
本题主要考查了全等三角形的判定及性质，等角对等边，三角形的内角和定理，垂线短最短，熟练掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键．（1）证，得，，利用线段的和差即可得解；
（2）证明，得，，从而即可得解；
（3）①证明：如图，在上取一点，使得，连接，证明，得，，进而利用等角对等边及三角形的外角性质得，从而即可得证；
②由，得当时，最小，如图，过点作于点，利用等角对等边证，从而即可得解．
【解答】
（1）解：∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
故答案为：；
【分析】
本题主要考查了全等三角形的判定及性质，等角对等边，三角形的内角和定理，垂线短最短，熟练掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键．
（1）证，得，，利用线段的和差即可得解；
（2）证明，得，，从而即可得解；
（3）①证明：如图，在上取一点，使得，连接，证明，得，，进而利用等角对等边及三角形的外角性质得，从而即可得证；
②由，得当时，最小，如图，过点作于点，利用等角对等边证，从而即可得解．
（1）解：∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
故答案为：；
（2）解：∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴；
（3）①证明：如图，在上取一点，使得，连接，
∵，，
∴，
∵，，
∴即，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
②∵，
∴为定直线，
∴当时，最小，
如图，过点作于点，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴的面积为．
1 / 1四川省成都市青羊区教育科学研究院附属实验学校2024-2025学年七年级下学期期中数学试卷
一、选择题（32分）
1．博物馆作为一个国家和民族的精神家园，是了解本土文化和历史遗产的最佳场所，各博物馆标志也独具特色．下列博物馆标志中，其文字上方的图案是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．石墨烯是单层碳原子组成的二维材料，结构是六边形晶格，当两层石墨烯以特定角度堆叠时，会出现超导现象．石墨烯中每两个相邻碳原子间的键长为米．数用科学记数法表示是（　　）
A． B．
C． D．
3．下列运算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
4．如图，某地进行城市规划，在一条新修公路旁有一村庄P， 现要建一个汽车站，且有A， B， C， D四个地点可供选择．若要使汽车站离村庄最近，则汽车站应建在C处，依据是（　　）
A．两点之间，线段最短 B．两点之间，垂线段最短
C．垂线段最短 D．两点确定一条直线
5．如图，AB∥CD，∠AGE=126°，HM平分∠EHD，则∠MHD的度数是（　　）
A．44° B．25° C．26° D．27°
6．如图，点A，D，C，F在同一条直线上，AD＝CF，∠F＝∠ACB，再补充下列一个条件，不能证明△ABC≌△DEF的是（　　）
A．BC＝EF B．AB∥DE C．AB＝DE D．∠B＝∠E
7．如图，矩形纸片ABCD沿着BE折叠，使C、D两点分别落在C1、D1处，若∠ABC1＝45°，则∠ABE的度数为（　　）
A．22.5° B．21.5° C．22° D．21°
8．已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为50°，则底角的度数为（　　）
A．40° B．70° C．40°或140° D．70°或20°
二、选择题（20分）
9．计算：　 　．
10．已知等腰三角形的两条边长分别为和，则它的周长是　 　．
11．如图，平分，点P在上，于D，，点E是射线上的动点，则的最小值为　 　．
12．若，，则　 　．
13．如图，在中，以BC为底边在外作等腰，作的平分线分别交AB，BC于点F，E．若，，的周长为30，点M是直线PF上的一个动点，则周长的最小值为　 　．
三、计算题
14．计算：
（1）
（2）
（3）
（4）
15．先化简，再求值．
（1），其中
（2），其中．
16．已知，如图，，．求证：．
17．【项目学习】“我们把多项式及叫做完全平方式”．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法．例如：求当a取何值，代数式有最小值？最小值是多少？
解：，
因为，所以，
因此，当时，代数式有最小值，最小值是．
【问题解决】利用配方法解决下列问题：
（1）代数式的最小值为 　 　，的最大值为 　 　．
【拓展提高】
（2）当x，y何值时，代数式取得最小值，最小值为多少？
（3）如图所示的第一个长方形边长分别是、，面积为；如图所示的第二个长方形边长分别是、，面积为．试比较与的大小，并说明理由．
18．如图，直线，平分，过点作交于点；动点、同时从点出发，其中动点以的速度沿射线方向运动，动点以的速度沿直线上运动；已知，设动点，的运动时间为．
（1）若，试求动点的运动时间的值；
（2）试问当动点，在运动过程中，是否存在某个时间，使得与全等？若存在，请求出时间的值；若不存在，请说出理由．
四、选择题（20分）
19．已知，，求的值为　 　．
20．若的乘积中不含x的一次项，则＝　 　．
21．如图，是的边上任意一点，分别是线段的中点，且的面积为，则的面积是　 　．
22．如图，在中，，，，，则的度数是　 　．
23．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AC＝6，点P在边AB上运动（不与端点重合），点P关于直线AC，BC对称的点分别为P1，P2．则在点P的运动过程中，线段P1P2的长度m的取值范围是　 　．
24．（1）已知，．
①求的值．
②计算的结果．
（2）若，求的值．
25．【知识生成】通常情况下，通过用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式．如图1，在边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的小正方形．把余下的部分沿虚线剪开拼成一个长方形（如图2）．图1中阴影部分面积可表示为：，图2中阴影部分面积可表示为，因为两个图中的阴影部分面积是相同的，所以可得到等式：．
【拓展探究】图3是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四个小长方形，然后按图4的形状拼成一个正方形．
（1）根据图形可得到一个关于、、的等量关系式是　 ▲ 　 ；
（2）结合以上信息，灵活运用公式，解决如下问题：
①已知，，则 ▲ ．
②已知，求的值．
【知识迁移】
（3）如图5，红岭中学前不久举办了第一届“智启未来，科技筑梦”校园科技节活动，其中创意竞赛要求设计一款由两个正方形构成的光学元件模型．其中大正方形与小正方形的边长分别为a和b．已知两正方形边长之和，边长之积，且E为中点．模型中阴影部分为特殊光线吸收区域，其面积大小直接影响光学元件对光线的吸收效果，进而决定模型的光学性能．为优化设计，需精确计算图中阴影部分的面积总和，求该阴影部分面积总和．
26．类比思维是根据两个具有相同或相似特征的事物间的对比，从某一事物的某些已知特征去推测另一事物的相应特征存在的思维活动．请尝试用类比思维解决以下问题：
（1）如图1，在等腰直角三角形中，，，直线l经过点C，过点A作于点D，过点B作于点E，直接写出、、之间的数量关系：　 　 ；
（2）如图2，在中，，点D、E分别在边、上，且，．若，，求的长度（用含a，b的代数式表示）．
（3）如图3，在中，，，点D、E分别是边、上的动点，以为腰向右作等腰，使得，且，连接、，．
①求证：；
②在点D、E运动过程中，点F位置也随之发生改变，若，当线段取得最小值时，求的面积．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A、不是轴对称图形，则此项不符合题意；
B、是轴对称图形，则此项符合题意；
C、不是轴对称图形，则此项不符合题意；
D、不是轴对称图形，则此项不符合题意；
故选：B．
【分析】本题考查了轴对称图形的定义，即如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形．根据轴对称图形的定义逐项判断即可得．
2．【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：，
给选：C．
【分析】本题主要考查了科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数，根据定义求解即可．
3．【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；完全平方公式及运用；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，原计算错误，不符合题意；
B、，原计算错误，不符合题意；
C、，计算正确，此选项符合题意；
D、，原计算错误，不符合题意．
故选：C．
【分析】
本题主要考查了同底数幂的乘法法则，积的乘方法则，幂的乘方法则，完全平方公式．根据同底数幂的乘法法则，积的乘方法则，幂的乘方法则，完全平方公式逐项计算即可求解．
4．【答案】C
【知识点】垂线段最短及其应用
【解析】【解答】解：根据题意，若要使汽车站离村庄最近，则汽车站应建在C处，依据是“垂线段最短”．
故答案为：C．
【分析】抓住关键的已知条件：要使汽车站离村庄最近，汽车站应建在C处，据此利用“垂线段最短”可求解.
5．【答案】D
【知识点】对顶角及其性质；角平分线的概念；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：根据对顶角相等得：∠BGF=∠AGE=126°，
∵AB∥CD，
∴∠EHD+∠BGF=180°
∴∠EHD=180° ∠BGF=54°，
又∵HM平分∠EHD，
∴∠MHD=∠EHD=27°.
故选D.
【分析】先求∠EHD的度数，再由HM平分∠EHD即可求出∠MHD的度数．
6．【答案】C
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：∵AD＝CF，
∴AD+DC=CF+DC，
∴AC=DF，
∠ACB=∠F为已知条件，
A. 增加BC＝EF，符合SAS，能判定三角形全等，故该选项不符合题意；
B. 增加AB//DE，则∠A＝∠EDF，符合ASA，能判定三角形全等，故该选项不符合题意；
C.增加 AB＝DE，符合SSA，不能判定三角形全等，故该选项符合题意；
D.增加 ∠B＝∠E，符合AAS，能判定三角形全等，故该选项不符合题意．
故选C．
【分析】本题考查全等三角形的判定，先根据已知找出两个三角形中的相等元素，再分别考查各选项中的条件，看是否符合判定三角形全等的条件，特别注意SSA是不能判定两个三角形全等的。
7．【答案】A
【知识点】角的运算；矩形的性质；轴对称的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：设∠ABE=，则∠C1BE=∠ABC1+∠ABE=根据折叠性质可知，∠CBE=∠C1BE=，
∵∠ABC=90°，
∴∠CBE+∠ABE=90°，
即，
解得．
故选：A．
【分析】本题考查了图形的翻折，设∠ABE=，先根据折叠的性质得出∠CBE=∠C1BE=45+x，再根据∠ABC为直角列方程进行求解即可．
8．【答案】D
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：分两种情况讨论：①若∠A＜90°，如图1所示：
∵BD⊥AC，
∴∠A+∠ABD＝90°，
∵∠ABD＝50°，
∴∠A＝90°﹣50°＝40°，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C＝ （180°﹣40°）＝70°；②若∠A＞90°，
如图2所示：
同①可得：∠DAB＝90°﹣50°＝40°，
∴∠BAC＝180°﹣40°＝140°，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C＝ （180°﹣140°）＝20°；
综上所述：等腰三角形底角的度数为70°或20°，
故答案为：D.
【分析】分两种情况讨论：①若∠A＜90°；②若∠A＞90°；先求出顶角∠BAC，即可求出底角的度数.
9．【答案】
【知识点】单项式除以单项式
【解析】【解答】解：
故答案为：
【分析】本题考查单项式除法计算，根据单项式除法法则，便可求解.
10．【答案】12
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：当为腰时，三边为，由三角形的三边关系可知2+2＜4，故不能构成三角形，
当为腰时，三边为，符合三角形的三边关系，周长为：．
故答案为：．
【分析】根据和可分别作等腰三角形的腰，利用等腰三角形的性质及三角形的三边关系，分别讨解答即可．
11．【答案】3
【知识点】垂线段最短及其应用；角平分线的性质
【解析】【解答】解：过点作于，如图，
平分，，，
，
点是射线上的动点，
的最小值为．
故答案为：3．
【分析】
本题考查了角平分线的性质，垂线段最短，熟知角平分线的性质是解题关键.
角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
过P点作PH⊥OB于点H，如图，根据角平分线的性质可得：PH=PD，再根据垂线段最短可知：PE的最小值为3，由此可得出答案．
12．【答案】75
【知识点】同底数幂乘法的逆用；幂的乘方的逆运算
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∴．
故答案为：75．
【分析】本题主要考查了幂的乘方，同底数幂相乘．先逆用幂的乘方法则得，再逆用同底数幂相乘的法则计算即可．
13．【答案】18
【知识点】两点之间线段最短；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：是以为底边的等腰三角形，平分，
垂直平分，
点与点关于对称，
，如图所示，
当点与点重合时，，
此时的周长最小，
，，的周长为30，
，
周长的最小值为．
故答案为：18．
【分析】根据等腰三角形性质及角平分线性质额可得垂直平分，则点与点关于对称，即，当点与点重合时，，此时的周长最小，再根据三角形周长进行边之间的转换即可求出答案.
14．【答案】（1）
；
（2）
；
（3）
；
（4）
．
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；整式的混合运算
【解析】【分析】本题考查了整式的运算，幂的运算，多项式乘以多项式以及乘法公式．
（1）根据负整数指数幂以及零指数幂的计算方法进行计算即可；
（2）根据积的乘方以及同底数幂的乘除法的计算方法进行计算即可；
（3）根据多项式乘以多项式的计算方法，结合完全平方公式进行计算即可得到结果；
（4）利用平方差公式，完全平方公式进行计算即可得到结果．
（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
；
（4）解：
．
15．【答案】（1）解：原式
，
当时，
原式
；
，7
（2）解：原式
，
当时，
原式
．
【知识点】利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】本题主要考查了整式化简求值．
（1）根据整式的运算法则进行化简，再代入数值进行计算即可；
（2）根据整式的运算法则和乘法公式进行运算，化简后再代入数值进行计算即可；
（1）解：原式
，
当时，
原式
；
（2）解：原式
，
当时，
原式
．
16．【答案】证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【知识点】垂线的概念；两直线平行，内错角相等
【解析】【分析】本题考查平行线的性质及垂线的定义，根据平行线的性质和已知条件得到，再结合求出的度数，即可得出结论．
17．【答案】（1），20；
（2）
，
∵，
∴，
∴当，，即时，代数式取得最小值，最小值为16；
故答案为：当时，代数式取得最小值，最小值为16；
（3），理由如下：
根据题意，可得，
，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【知识点】完全平方公式及运用；整式的混合运算；配方法的应用
【解析】【解答】解：（1），
∵，
∴
即，
∴当时，代数式有最小值，最小值是；
，
∵，
∴，
∴
∴当时，代数式有最大值，最大值是．
故答案为：，20；
【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用．
（1）仿照题目中所给的配方法的思路解答即可；
（2）结合题目中所给的配方法的思路，将整理为平方和的形式，再根据平方式的非负性质得出答案；
（3）根据面积公式分别计算与，然后再用比较法比较大小．
18．【答案】（1）解：作，，
平分，
，
，
，
3AD=2CE，
当点在点左侧时，
∴，
，
解得：；
当点在点右侧时，，
∴，解得，
综上动点的运动时间或；
（2）解：当点在点上方时，
AB平分，∴
又 ，∴，
∴当时，或
此时t=或，
解得：或（舍去），
当点在点下方时，
，
∴，
，
∴；
综上，当或时，与全等．
【知识点】三角形全等及其性质；角平分线的性质；一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【分析】本题主要考查等腰直角三角形的性质、角平分线的性质定理、全等三角形的判定和性质、三角形的面积等知识．
（1）作，结合角平分线的性质及三角形面积公式可推导出的值，由此可求得的值；
（2）要分点在点上方和下方两种情形进行求解，根据已知条件可得出全等还需要的条件，再列方程求出t值即可。
（1）解：作，，则，
，
，
当点在点左侧时，
∴，
即，
解得：；
当点在点右侧时，，
∴，解得，
综上动点的运动时间或；
（2）当点在点上方时，
，，
∴当时，，
即或，
解得：或（舍去），
当点在点下方时，
，
∴，
，
∴；
答：或时，与全等．
19．【答案】4
【知识点】同底数幂的除法；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：∵，，
∴，，
∴，
故答案为：4．
【分析】本题考查了幂的乘方以及逆运算，同底数幂相除，先根据，，得出，，再把数值代入进行计算，即可作答．
20．【答案】
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】==
∵乘积中不含x的一次项
∴
解得a=
故答案为：．
【分析】
先按照整式乘法的计算法则将原式展开，合并同类项后，根据乘积里不含有x的一次项，可知x一次项的系数为0，据此即可求解.
21．【答案】5
【知识点】利用三角形的中线求面积
【解析】【解答】解：∵点是中点，
∴，
∴，
∴，
∵点是的中点，
∴，
故答案为： ．
【分析】本题考查了三角形中线平分面积的计算．根据点是中点，得到，根据点是的中点，得到，由即可求解．
22．【答案】
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等及其性质；等腰三角形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
，
故答案是：．
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定及性质，等边对等角，三角形内角和定理．先证明，得，再结合平角的定义和三角形内角和定理求出。
23．【答案】6≤m＜12
【知识点】垂线段最短及其应用；轴对称的性质
【解析】【解答】解：如图，连接PC，作CH⊥AB于H．
∵点P关于直线AC，BC对称的点分别为P1，P2，
∴CP＝CP1＝CP2，
∴P1P2＝2PC，
在Rt△ACH中，∵∠AHC＝90°，AC＝6，∠A＝30°，
∴CH＝AC＝3，
∵点P在边AB上运动（不与端点重合），
∴3≤PC＜6，
∴线段P1P2的长度m的取值范围是6≤m＜12，
故答案为6≤m＜12．
【分析】本题考查轴对称，直角三角形的性质，垂线段最短等知识．连接PC，作CH⊥AB于H．首先证明P1P2＝2PC，求出PC的取值范围即可解决问题．
24．【答案】解：（1）①，
，
，
；
②，
，
，
，
；
（2），
．
【知识点】积的乘方运算；幂的乘方运算；同底数幂乘法的逆用；积的乘方运算的逆用；同底数幂除法的逆用
【解析】【分析】本题考查了同底数幂的乘除法，幂的乘方，积的乘方，逆用这些法则是解题的关键．
（1）①把化为以2为底的幂的形式，再进行计算即可；②先根据同底数幂的乘法求得，再结合①中结果，逆用积的乘方公式进行求解即可；
（2）先把代数式化为含有的代数式的形式，再代入数值进行计算即可。
25．【答案】解：（1）
（2）①24
②∵，，
∴
，
∴；
（3）阴影部分面积和为：
，
∵，，
∴，
∴阴影部分面积和等于．
【知识点】完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】解：（1）方法1：用大正方形面积减去四个小长方形面积列式可得：，
方法2：用小正方形的边长列式可得：；
故答案为：；；
∵方法1和方法2表示的图形面积相等，
∴；
故答案为：；
（2）①∵，，
∴，
∴
，
故答案为：24；
【分析】
本题考查了完全平方公式与几何图形面积，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
（1）方法1：用大正方形面积减去四个小长方形面积可得：，；方法2：用小正方形的边长得正方形的面积为：，根据方法1和方法2表示的图形面积相等，可得到等量关系：，由此可得出答案；
（2）①先再根据多项式乘法计算法则可知：，再根据(1)中的等式：；代入数据可得：，最后将所有数据代入化简的代数式，求值即可得出答案；
②将(2024-a)看出一个整体m，将(a-2023)看出一个整体n，根据完全平方公式：，代入数据求解即可得出答案；
（3）根据阴影部分面积的计算方法可知：代入数据化简可得：，再根据(1)所得公式代入数据计算即可得出答案．
26．【答案】（1）
（2）解：∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴；
（3）①证明：如图，在上取一点，使得，连接，
∵，，
∴，
∵，，
∴即，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
②∵，
∴为定直线，
∴当时，最小，
如图，过点作于点，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴的面积为．
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等及其性质；三角形全等的判定；等腰三角形的性质；三角形-动点问题
【解析】【分析】
本题主要考查了全等三角形的判定及性质，等角对等边，三角形的内角和定理，垂线短最短，熟练掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键．（1）证，得，，利用线段的和差即可得解；
（2）证明，得，，从而即可得解；
（3）①证明：如图，在上取一点，使得，连接，证明，得，，进而利用等角对等边及三角形的外角性质得，从而即可得证；
②由，得当时，最小，如图，过点作于点，利用等角对等边证，从而即可得解．
【解答】
（1）解：∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
故答案为：；
【分析】
本题主要考查了全等三角形的判定及性质，等角对等边，三角形的内角和定理，垂线短最短，熟练掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键．
（1）证，得，，利用线段的和差即可得解；
（2）证明，得，，从而即可得解；
（3）①证明：如图，在上取一点，使得，连接，证明，得，，进而利用等角对等边及三角形的外角性质得，从而即可得证；
②由，得当时，最小，如图，过点作于点，利用等角对等边证，从而即可得解．
（1）解：∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
故答案为：；
（2）解：∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴；
（3）①证明：如图，在上取一点，使得，连接，
∵，，
∴，
∵，，
∴即，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
②∵，
∴为定直线，
∴当时，最小，
如图，过点作于点，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴的面积为．
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