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四川省德阳市旌阳区2024-2025学年七年级下学期期末考试数学试题
一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一个选项是符合题目要求的．
1．在平面直角坐标系中，下列各点在第二象限的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：
A、在第三象限，A不符合题意；
B、在第二象限，B符合题意；
C、在第四象限，C不符合题意；
D、在第一象限，D不符合题意；
故答案为：B
【分析】根据各个象限内点的特征对选项逐一判断即可求解。
2．如果，根据不等式的基本性质，下列变形正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A、∵，∴当时，，故该选项不正确，不符合题意；
B、∵，∴，故该选项不正确，不符合题意；
C、∵，∴，故该选项正确，符合题意；
D、∵，∴-a＜-b，∴，故该选项不正确，不符合题意.
故答案为：C．
【分析】不等式两边同时加上或减去同一个数或式子，不等号的方向不变；不等式两边同时乘以同一个正数，不等号方向不变，不等式两边同时乘以零，不等式变为等式；不等式两边同时除以同一个负数，不等号方向改变，据此进行逐项判断得出答案.
3．要调查某校初三学生星期天的睡眠时间，选取调查对象最合适的是（　　）
A．选取一个班级的学生 B．选取50名男生
C．选取50名女生 D．随机选取50名初三学生
【答案】D
【知识点】抽样调查的可靠性
【解析】【解答】解：∵要调查某校初三学生星期天的睡眠时间，
∴选取调查对象是随机选取50名初三学生；
故选：D．
【分析】
根据抽样调查中调查对象的选择，抽样时需要保证选取的对象具备代表性，同时满足随机性与代表性要求，因此只需要依据这一要点分析判断即可.
4．下列各数中，是不等式的解的是（　　）
A．2 B． C． D．
【答案】A
【知识点】解一元一次不等式
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
解得：
∵，
∴是不等式的一个解.
故答案为：A．
【分析】根据移项、合并同类项及系数化为1的步骤求出该不等式的解集，然后判断选项给出的数是否在解集范围内即可.
5．下列命题中是假命题的是（　　）
A．等角的补角相等
B．同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
C．如果，，那么
D．同旁内角互补
【答案】D
【知识点】等式的基本性质；垂线的概念；真命题与假命题；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：A、 等角的补角相等：若两角相等，其补角均为各自与的差，必相等，故此选项中的命题为真命题．
B、 “同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”此为垂直公理，故此选项中的命题为真命题．
C、 若且，则，符合等式的传递性，故此选项中的命题为真命题．
D、仅当两直线平行时，同旁内角互补，此题未限定平行条件，故此选项中的命题为假命题．
故答案为：D．
【分析】和为180°的两个角互为补角，据此可得等角的补角相等，从而可判断A选项；根据垂直公理可判断B选项；根据等式的传递性可判断C选项；根据平行线的性质“两直线平行时，同旁内角互补”可判断D选项.
6．如图，下面条件中，能判断的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：A、∠1与∠2是对顶角相等，虽然相等，但不能判断，故该选项不正确，不符合题意；
B、∠2与∠4不是同位角、内错角，即使相等，也不能不能判断，故该选项不正确，不符合题意；
C、 ∵，
∴
∴，故该选项正确，符合题意；
D、∠2与∠3是一对内错角，只有∠1=∠2时，才能判断，故该选项不正确，不符合题意.
故答案为：C．
【分析】由平行线的判定方法：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行，可直接判断A、B、D三个选项；由同角的补角相等推出∠1=∠3，然后根据同位角相等，两直线平行可判断C选项.
7．下列关于判断正确的是（　　）
A．表示5的平方根 B．不可以用数轴上的点来表示
C．是一个比大的数 D．是一个无理数
【答案】D
【知识点】实数在数轴上的表示；实数的大小比较；无理数的概念；求算术平方根
【解析】【解答】解：A、仅表示5的算术平方根，不包含负的平方根，5的完整平方根是，因此该选项错误；
B、根据实数的性质，所有实数都和数轴上的点一一对应，而是实数，所以它可以用数轴上的点表示，因此该选项错误；
C、因为，而圆周率，所以，因此该选项错误；
D、无理数的定义为无限不循环小数，无法写成两个整数的比值的形式，符合无理数的定义，因此该选项正确.
故答案为：D．
【分析】一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，据此可判断A选项；由实数都和数轴上的点一一对应可判断B选项；由估算无理数大小的方法可得，再结合圆周率π的近似值即可判断C选项；根据无理数定义“无限不循环小数就是无理数”就是其中开方开不尽这类无理数，据此可判断C选项.
8．点位于轴上方，且到轴的距离为2，到轴的距离为3，则点的坐标是（　　）
A． B．， C．， D．
【答案】B
【知识点】点的坐标
【解析】【解答】解：∵点位于轴上方，故纵坐标，
∵到轴的距离为2，即，得，
∵到轴的距离为3，即，得或，
∴点的坐标是和，
故答案为：B．
【分析】根据点A位于x轴上方可得点A的纵坐标b＞0，再根据一个点到x轴的距离等于其纵坐标的绝对值可得点A的纵坐标b=2，由一个点到y轴的距离等于其横坐标的绝对值可得|a|=3，即a=±3，从而可得点A的坐标.
9．将一张长方形的纸片折成如图所示的形状，已知比大，则为（　　）度．
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】翻折变换（折叠问题）；平行线的应用-求角度
【解析】【解答】解：如图，
∵长方形纸片两边平行，
∴，
∵比大，则
∴
又∵折叠，
∴
∴
∴
故答案为：C．
【分析】由二直线平行，同旁内角互补得出∠1+∠3=180°，由已知得∠1=∠2+a°可得∠2+a°+∠3=180°，由折叠性质及平角定义得∠3+2∠2=180°，则可得∠2=a°，进而即可得出∠1的度数.
10．《九章算术》方程章的一道题目：今有五雀六燕，集称之衡，雀俱重，燕俱轻．一雀一燕交而处，横适平．并雀，燕重一斤．问雀，燕一枚各重几何？大意是：五雀比六燕重，各交换一只后一样重，即4雀加上1燕与5燕加上1雀的重量相等．所有的燕雀共重一斤，问各重几两？（古题中，1斤等于16两），设每只雀两，每只燕两，下列方程组不满足题意的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：设每只雀两，每只燕两，
根据题意，五雀六燕总重16两，即：，
交换一只后平衡，即4雀+1燕与5燕+1雀重量相等，得：，化简为，
A、第二个方程为，与总重量方程不符，故此选项错误，不符合题意；
B、由交换后两边各重8两（总重16两），得和，故此选项正确，不符合题意；
C、直接列出正确方程和，故此选项正确，不符合题意；
D、由和联立，解得、满足总重量，故此选项正确，不符合题意.
故答案为：A．
【分析】设每只雀x两，每只燕y两，由“五雀六燕总重16两”列出方程5x+6y=16，由“交换一只后平衡”可列方程4x+y=5y+x，化简为3x=4y，从而逐一判断得出答案.
11．在综合与实践课上，同学们以“一副直角三角板和两条平行线”为主题开展活动，把一副直角三角板如图摆放，已知，，（），则下列结论：①；②；③；④当时，平分．其中正确的结论个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【知识点】角的运算；垂线的概念；角平分线的概念；平行线的应用-求角度
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∴，故①正确；
∵
∴，
∴，故②正确；
如图，延长交于点，
∵，，
∴
∵，
∴，
∴，故③正确；
当时，
∴
∴平分，故④正确，
故答案为：D．
【分析】根据学具性质及角的构成可求出∠BCD=∠BCA+∠ACD=90°，由垂直定义得出BC⊥DE，即可判断①；由同旁内角互补，两直线平行推出AB∥ED，即可判断②；延长AB交l2于点G，由二直线平行，同位角相等得出∠G=∠DEF+∠1=(45+a)°，由二直线平行，内错角相等得出∠2=∠G，从而可判断③，根据当时，，结合平角的定义以及三角板的角度，即可判断④．
12．如图，在平面直角坐标系中，，，是等边三角形的顶点，将向右滚动，第一次滚动后得到，，，，第二次滚动后得到，，按此规律滚动下去，的坐标是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】点的坐标；等边三角形的性质；探索规律-点的坐标规律
【解析】【解答】解： ∵，第一次滚动后得到，，第二次滚动后得到，，第三次滚动后得到，，
每次旋转，3次一循环，每3次横坐标，
∵，
∴的横坐标是，
∴的横坐标是，纵坐标是，
故答案为：D．
【分析】由A、C两点的坐标可得该等边三角形的边长为2，再根据滚动方式得出前几次滚动后点A的对应点的坐标，就会发现每次旋转120°，3次一循环，每3次横坐标增加6，而2026÷3=675……1，从而可找出A2025的坐标，再根据A1的坐标规律得出A2026的坐标.
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．
13．在平面直角坐标系中，若点在轴上，则点的坐标为　 　．
【答案】
【知识点】点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：∵点在y轴上，
∴，
解得：，
∴，
故答案为：．
【分析】根据y轴上点的横坐标为零列出关于字母m的方程，求解得出m的值，即可求出点P的坐标.
14．关于的方程的解为负数，则的取值范围为　 　．
【答案】
【知识点】解一元一次不等式；已知一元一次方程的解求参数
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵方程的解是负数，
∴，
解得：；
故答案为：．
【分析】将a作为常数，解方程用含a的式子表示出x，根据方程解是负数即x＜0，列出关于字母a的不等式，求解即可得出a的取值范围.
15．将沿方向平移得到，点，，分别对应点，，，若，，则　 　．
【答案】
【知识点】三角形内角和定理；平移的性质；邻补角
【解析】【解答】解：∵∠ACE=100°，
∴∠ACB=180°-∠ACE=80°，
∵△ABC沿BC方向平移得到△DEF，
∴∠DFE=∠ACB=80°，
∴∠DEF=180°-∠EDF-∠DFE=40°.
故答案为：40°．
【分析】首先由邻补角求出∠ACB的度数，然后根据平移性质得出∠DFE=∠ACB=80°，最后根据三角形的内角和定理求出∠DEF的度数.
16．已知为整数，当最小时，　 　．
【答案】
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：∵，
∴，即更接近
∴
∴
故答案为：．
【分析】利用估算无理数大小的犯法估算出，从而即可求出整数m的值.
17．若关于的不等式组的所有整数解的和大于且小于，则的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解；一元一次不等式组的含参问题
【解析】【解答】解：由得：，
由得：．
则不等式组的解集是：．
不等式组的所有整数解的和大于且小于，
则不等式组的整数解，是和，，．
∴．
解得： ．
故答案为：-2≤a＜-1.
【分析】将a作为常数，根据解不等式的步骤分别解出不等式组中每一个不等式的解集，然后根据口诀：同大取大，同小取小，小大大小中间找，大大小小无解了，确定出不等式组的解集，然后根据不等式组的所有整数解的和大于且小于，确定整数解，则可以得到一个关于a的不等式组求得a的范围．
18．如图，，，分别在，上，点是平行线间一点，连接，，作的角平分线与交于点，过点作，使，若，则　 　．
【答案】98°
【知识点】平行线的应用-求角度；平行公理的推论
【解析】【解答】解：如图，过点作，设，
∵，，
∴，
∴，
又∵，
∴
∵，，
∴MN∥CD，
∴
∴
故答案为：98°．
【分析】过点M作MN∥AB，设∠NMC=a，由二直线平行，内错角相等得∠EMN=∠BEM=20°，由角的构成得∠EMC=20°+a，∠NMD=a+102°，由平行于同一直线的两条直线互相平行得出MN∥CD，由二直线平行，同旁内角互补求出∠MDC，最后求出两个角的和即可.
三、解答题：本题共7小题，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤．
19．（1）计算；
（2）解不等式组，并在数轴上表示其解集．
【答案】解：（1）原式
；
（2），
解不等式①得：，
解不等式②得：，
不等式组的解集为，
不等式组解集在数轴上表示如下：
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】（1）先根据有理数乘方运算法则、算术平方根定义及绝对值性质分别计算，再计算加减法运算可得答案；
（2）分别解出不等式组中两个不等式的解集，根据口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了确定出解集，进而根据数轴上表示不等式组的解集的方法“大向右，小向左，实心等于，空心不等”将该不等式组的解集在数轴上表示出来即可.
20．已知的立方根为，4的算术平方根是，是的整数部分．
（1）求，，的值；
（2）求的平方根．
【答案】（1）解：∵的立方根是，
∴，
∵4的算术平方根是，
∴，
∵，
∴即，
∴的整数部分是5，
又是的整数部分，
∴，
综上可知，，；
（2）解：∵，，，
∴．
∴的平方根为．
【知识点】无理数的估值；开平方（求平方根）；求算术平方根；立方根的概念与表示
【解析】【分析】（1）先根据立方根和算术平方根的定义，分别计算得到a、b的取值；再利用夹逼法估算出的范围得出c的值；
（2）将求得的a、b、c代入-a+3b-2c计算出结果后，再根据平方根定义求解这个结果的平方根即可.
（1）解：∵的立方根是，
∴，
∵4的算术平方根是，
∴，
∵，
∴即，
∴的整数部分是5，
又是的整数部分，
∴，
综上可知，，；
（2）解：∵，，，
∴．
∴的平方根为．
21．蛇年春节联欢晚会以“巳巳如意，生生不息”为主题，汇聚歌曲，相声小品，舞蹈，戏曲，武术，杂技，魔术等多种类型节目，与全球观众共享年味，同庆新春．为了了解学生最喜欢的节目类型，某校对“歌曲，相声小品，舞蹈，其他”四个类型的节目在初一年级学生中进行抽样调查，每位参与调查的同学需要在以上四个类型中选择一种自己喜欢的节目类型．学校把收集到的数据绘制成了两幅不完整的统计图．请你根据图中提供的信息解答下列问题：
（1）本次抽样调查抽取了多少名同学进行调查？并请你补全条形统计图．
（2）求“其他”在扇形图中对应的圆心角的度数？
（3）请你估计该校初一年级1200名学生中，喜欢“相声小品”的学生人数比喜欢“歌曲”的学生人数多多少人？
【答案】（1）解：（名）
喜欢其他类的占比为：
喜欢相声小品的人数占比为：
∴喜欢相声小品的人数为：（名）
补全统计图如图，
（2）解：“其他”在扇形图中对应的圆心角的度数为
（3）解：（人）
∴喜欢“相声小品”的学生人数比喜欢“歌曲”的学生人数多人．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【分析】（1）根据统计图表提供的信息，用喜欢歌曲的人数除以占比求得抽样调查的人数，进而用喜欢其它类人数除以本次调查抽取的总人数求得喜欢其他类占比，进而根据喜欢四个类别的百分比之和等于1可求出喜欢相声小品的人数得出喜欢相声小品的人数占比，最后用本次调查的总人数乘以喜欢相声小品的人数的占比即可求出喜欢相声小品的人数，从而补全统计图；
（2）根据喜欢其他类的占比乘以，即可求得“其他”在扇形图中对应的圆心角的度数；
（3）用样本估计总体，用该校学生的总人数乘以喜欢样本中喜欢“相声小品”的学生人数的占比与喜欢“歌曲”的学生的占比之差即可求解．
（1）解：（名）
喜欢其他类的占比为：
喜欢相声小品的人数占比为：
∴喜欢相声小品的人数为：（名）
补全统计图如图，
（2）解：“其他”在扇形图中对应的圆心角的度数为
（3）解：（人）
∴喜欢“相声小品”的学生人数比喜欢“歌曲”的学生人数多人．
22．已知关于，的方程组和有相同的解．
（1）求，的值；
（2）证明：无论取何值，方程组的解都是关于，的方程的解．
【答案】（1）解：由题意可得：，
解得；
将代入含有m、n的方程得：，
解得：；
（2）证明：当时，方程的左边
，
∴无论取何值，方程组的解都是关于，的方程的解．
【知识点】二元一次方程（组）的同解问题；已知二元一次方程的解求参数
【解析】【分析】（1）因为这两个方程组拥有相同的解，因此我们可以将两个方程组里不含有、的方程联立，先求出这个共同解，再将得到的解代入两个方程组里含、的方程，就能得到一个只关于、的新方程组，解这个新方程组就可以得到、的值；
（2）我们把第一问求出的x与y的值，代入要证明的等式的左边计算化简，就可以完成证明.
（1）解：由题意可得：，
解得；
将代入含有m、n的方程得：，
解得：；
（2）证明：当时，方程的左边
，
∴无论取何值，方程组的解都是关于，的方程的解．
23．如图，已知，，．
（1）求证：；
（2）若平分，，求的度数．
【答案】（1）证明：∵，，
∴
∵，
∴
∴；
（2）解：如图，过点作
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∵EG∥CD
∴．
【知识点】角平分线的概念；平行线的应用-求角度；平行公理的推论
【解析】【分析】（1）根据二直线平行，同位角相等可得，进而得出，从而根据同旁内角互补，两直线平行得出AB∥CD；
（2）过点E作EG∥AB，由平行于同一直线的两条直线互相平行得出EG∥AB∥CD，由二直线平行，内错角相等得∠FEG=∠AFE=40°，∠DEG=∠D=20°，由角的构成求出∠DEF=60°，进而根据角平分线的定义得出∠CED=∠DEF=60°，再由角的构成求出∠CEG=80°，最后根据二直线平行，同旁内角互补求出∠ECD的度数.
（1）证明：∵，，
∴
∵，
∴
∴；
（2）解：如图，过点作
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴．
24．2025年1月29日，由饺子导演创作的影片《哪吒之魔童闹海》上映，自上映以来，精彩的剧情与震撼的视觉效果彰显了中国动画电影产业的崛起与文化自信，吸引了各个年龄段观众，掀起了一股观影热潮．电影院为了创收，分两次购进了电影周边产品，哪吒和敖丙手办进行售卖，第一次购入哪吒手办20只，敖丙手办15只共花费585元，第二次以相同的进价购入哪吒手办50只，敖丙手办50只共花费1650元．
（1）求每只哪吒和敖丙手办进价各多少元？
（2）电影院为了了解这两款手办的销售情况，对每天的销售进行记录，周一卖了6只哪吒手办，4只敖丙手办，收入250元，经核实记录正确．周二以相同的售价出售了哪吒手办15只，敖丙手办10只，销售额显示为615元，你认为周二的销售额记录正确吗？如正确，请说明理由；若不正确，请你计算出正确的销售额．
【答案】（1）解：设每只哪吒手办的进价为a元，每只敖丙手办的进价为b元，
根据题意得，
解得：，
答：每只哪吒手办进价为18元，每只敖丙手办进价为15元；
（2）解：设每只哪吒手办的售价为x元，每只敖丙手办的售价为元，
根据题意得，，
即，
∴，
答：周二的销售额记录不正确，正确的销售额为625元．
【知识点】二元一次方程的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设每只哪吒手办的进价为a元，每只敖丙手办的进价为b元，根据单价乘以数量等于总价及“ 第一次购入哪吒手办20只，敖丙手办15只共花费585元，第二次以相同的进价购入哪吒手办50只，敖丙手办50只共花费1650元 ”列出方程组，解方程组，即可求解；
（2）设每只哪吒手办的售价为x元，每只敖丙手办的售价为元，根据单价乘以数量等于总价及"销售6只哪吒手办，4只敖丙手办，收入250元得6x+4y=250，化简为3x+2y=125，进而求得出周二的销售记录额，即可求解．
（1）解：设每只哪吒手办的进价为 元，每只敖丙手办的进价为 元，
根据题意得，
解得：，
答：每只哪吒手办进价为元，每只敖丙手办进价为 元；
（2）解：设每只哪吒手办的售价为 元，每只敖丙手办的售价为 元，
根据题意得，，
即，
∴，
答：周二的销售额记录不正确，正确的销售额为 元．
25．如图1，在平面直角坐标系中，已知，，，且，满足．
（1）求点，点的坐标；
（2）如图1，把点向左平移（）个单位长度，再向下平移个单位长度至点，连接，，若的面积为12，求的值；
（3）如图2，点从点出发，沿水平方向以每秒一个单位长度的速度向右运动，连接，，若的面积为，当时，求运动时间的取值范围．
【答案】（1）解：∵
∴，
解得：，，
∴，
（2）解：∵，把点向左平移（）个单位长度，再向下平移个单位长度至点，
∴
如图，过点分别作轴的平行线，过点作轴的平行线，交点分别为，
又∵，
∴，
∴，，，
∴
∵的面积为12，
∴
解得：
（3）解：如图过点作于点，设交轴于点，
∵，，，
∴，，
∵，
∵的面积为，，点从点出发，沿水平方向以每秒一个单位长度的速度向右运动，的面积先减小后增大，
∴在点的右侧，
∴，
∴
∵，
∴，
解得：
【知识点】一元一次不等式组的应用；算术平方根的性质（双重非负性）；绝对值的非负性；几何图形的面积计算-割补法；三角形-动点问题
【解析】【分析】（1）由算术平方根及绝对值的非负性，由两个非负数的和为零，则每一个数都等于零，据此可求出a、b的值，从而可得点A、B的坐标；
（2）根据点的坐标平移规律“横坐标左移减 右移加，纵坐标上移加下移减”平移可得；过点E、B分别作y轴的平行线，过点A作x轴的平行线，交点分别为M、N，根据两点间的距离公式表示出MN、ME、NB、AM，根据S△ABE=12及S△ABE=S四边形EBNM-S△AEM-S△ABN建立方程，解方程即可求解；
（3）过点B作BD⊥CF于点D，设CF交y轴于点G，先根据S△ABC=S梯形AGBD-S△AGC-S△BCD算出△ABC的面积为3，结合△ABF面积的取值范围，及点F的运动方项得出△ABF的面积先减小后增大，则可得点F在点D的右侧，然后根据建立不等式，解不等式，即可求解．
（1）解：∵
∴，
解得：，，
∴，
（2）解：∵，把点向左平移（）个单位长度，再向下平移个单位长度至点，
∴
如图，过点分别作轴的平行线，过点作轴的平行线，交点分别为，
又∵，
∴，
∴，，，
∴
∵的面积为12，
∴
解得：
（3）解：如图过点作于点，设交轴于点，
∵，，，
∴，，
∵，
∵的面积为，，点从点出发，沿水平方向以每秒一个单位长度的速度向右运动，的面积先减小后增大，
∴在点的右侧，
∴，
∴
∵，
∴，
解得：
1 / 1四川省德阳市旌阳区2024-2025学年七年级下学期期末考试数学试题
一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一个选项是符合题目要求的．
1．在平面直角坐标系中，下列各点在第二象限的是（　　）
A． B． C． D．
2．如果，根据不等式的基本性质，下列变形正确的是（　　）
A． B． C． D．
3．要调查某校初三学生星期天的睡眠时间，选取调查对象最合适的是（　　）
A．选取一个班级的学生 B．选取50名男生
C．选取50名女生 D．随机选取50名初三学生
4．下列各数中，是不等式的解的是（　　）
A．2 B． C． D．
5．下列命题中是假命题的是（　　）
A．等角的补角相等
B．同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
C．如果，，那么
D．同旁内角互补
6．如图，下面条件中，能判断的是（　　）
A． B．
C． D．
7．下列关于判断正确的是（　　）
A．表示5的平方根 B．不可以用数轴上的点来表示
C．是一个比大的数 D．是一个无理数
8．点位于轴上方，且到轴的距离为2，到轴的距离为3，则点的坐标是（　　）
A． B．， C．， D．
9．将一张长方形的纸片折成如图所示的形状，已知比大，则为（　　）度．
A． B． C． D．
10．《九章算术》方程章的一道题目：今有五雀六燕，集称之衡，雀俱重，燕俱轻．一雀一燕交而处，横适平．并雀，燕重一斤．问雀，燕一枚各重几何？大意是：五雀比六燕重，各交换一只后一样重，即4雀加上1燕与5燕加上1雀的重量相等．所有的燕雀共重一斤，问各重几两？（古题中，1斤等于16两），设每只雀两，每只燕两，下列方程组不满足题意的是（　　）
A． B．
C． D．
11．在综合与实践课上，同学们以“一副直角三角板和两条平行线”为主题开展活动，把一副直角三角板如图摆放，已知，，（），则下列结论：①；②；③；④当时，平分．其中正确的结论个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
12．如图，在平面直角坐标系中，，，是等边三角形的顶点，将向右滚动，第一次滚动后得到，，，，第二次滚动后得到，，按此规律滚动下去，的坐标是（　　）
A． B． C． D．
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．
13．在平面直角坐标系中，若点在轴上，则点的坐标为　 　．
14．关于的方程的解为负数，则的取值范围为　 　．
15．将沿方向平移得到，点，，分别对应点，，，若，，则　 　．
16．已知为整数，当最小时，　 　．
17．若关于的不等式组的所有整数解的和大于且小于，则的取值范围是　 　．
18．如图，，，分别在，上，点是平行线间一点，连接，，作的角平分线与交于点，过点作，使，若，则　 　．
三、解答题：本题共7小题，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤．
19．（1）计算；
（2）解不等式组，并在数轴上表示其解集．
20．已知的立方根为，4的算术平方根是，是的整数部分．
（1）求，，的值；
（2）求的平方根．
21．蛇年春节联欢晚会以“巳巳如意，生生不息”为主题，汇聚歌曲，相声小品，舞蹈，戏曲，武术，杂技，魔术等多种类型节目，与全球观众共享年味，同庆新春．为了了解学生最喜欢的节目类型，某校对“歌曲，相声小品，舞蹈，其他”四个类型的节目在初一年级学生中进行抽样调查，每位参与调查的同学需要在以上四个类型中选择一种自己喜欢的节目类型．学校把收集到的数据绘制成了两幅不完整的统计图．请你根据图中提供的信息解答下列问题：
（1）本次抽样调查抽取了多少名同学进行调查？并请你补全条形统计图．
（2）求“其他”在扇形图中对应的圆心角的度数？
（3）请你估计该校初一年级1200名学生中，喜欢“相声小品”的学生人数比喜欢“歌曲”的学生人数多多少人？
22．已知关于，的方程组和有相同的解．
（1）求，的值；
（2）证明：无论取何值，方程组的解都是关于，的方程的解．
23．如图，已知，，．
（1）求证：；
（2）若平分，，求的度数．
24．2025年1月29日，由饺子导演创作的影片《哪吒之魔童闹海》上映，自上映以来，精彩的剧情与震撼的视觉效果彰显了中国动画电影产业的崛起与文化自信，吸引了各个年龄段观众，掀起了一股观影热潮．电影院为了创收，分两次购进了电影周边产品，哪吒和敖丙手办进行售卖，第一次购入哪吒手办20只，敖丙手办15只共花费585元，第二次以相同的进价购入哪吒手办50只，敖丙手办50只共花费1650元．
（1）求每只哪吒和敖丙手办进价各多少元？
（2）电影院为了了解这两款手办的销售情况，对每天的销售进行记录，周一卖了6只哪吒手办，4只敖丙手办，收入250元，经核实记录正确．周二以相同的售价出售了哪吒手办15只，敖丙手办10只，销售额显示为615元，你认为周二的销售额记录正确吗？如正确，请说明理由；若不正确，请你计算出正确的销售额．
25．如图1，在平面直角坐标系中，已知，，，且，满足．
（1）求点，点的坐标；
（2）如图1，把点向左平移（）个单位长度，再向下平移个单位长度至点，连接，，若的面积为12，求的值；
（3）如图2，点从点出发，沿水平方向以每秒一个单位长度的速度向右运动，连接，，若的面积为，当时，求运动时间的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：
A、在第三象限，A不符合题意；
B、在第二象限，B符合题意；
C、在第四象限，C不符合题意；
D、在第一象限，D不符合题意；
故答案为：B
【分析】根据各个象限内点的特征对选项逐一判断即可求解。
2．【答案】C
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A、∵，∴当时，，故该选项不正确，不符合题意；
B、∵，∴，故该选项不正确，不符合题意；
C、∵，∴，故该选项正确，符合题意；
D、∵，∴-a＜-b，∴，故该选项不正确，不符合题意.
故答案为：C．
【分析】不等式两边同时加上或减去同一个数或式子，不等号的方向不变；不等式两边同时乘以同一个正数，不等号方向不变，不等式两边同时乘以零，不等式变为等式；不等式两边同时除以同一个负数，不等号方向改变，据此进行逐项判断得出答案.
3．【答案】D
【知识点】抽样调查的可靠性
【解析】【解答】解：∵要调查某校初三学生星期天的睡眠时间，
∴选取调查对象是随机选取50名初三学生；
故选：D．
【分析】
根据抽样调查中调查对象的选择，抽样时需要保证选取的对象具备代表性，同时满足随机性与代表性要求，因此只需要依据这一要点分析判断即可.
4．【答案】A
【知识点】解一元一次不等式
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
解得：
∵，
∴是不等式的一个解.
故答案为：A．
【分析】根据移项、合并同类项及系数化为1的步骤求出该不等式的解集，然后判断选项给出的数是否在解集范围内即可.
5．【答案】D
【知识点】等式的基本性质；垂线的概念；真命题与假命题；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：A、 等角的补角相等：若两角相等，其补角均为各自与的差，必相等，故此选项中的命题为真命题．
B、 “同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”此为垂直公理，故此选项中的命题为真命题．
C、 若且，则，符合等式的传递性，故此选项中的命题为真命题．
D、仅当两直线平行时，同旁内角互补，此题未限定平行条件，故此选项中的命题为假命题．
故答案为：D．
【分析】和为180°的两个角互为补角，据此可得等角的补角相等，从而可判断A选项；根据垂直公理可判断B选项；根据等式的传递性可判断C选项；根据平行线的性质“两直线平行时，同旁内角互补”可判断D选项.
6．【答案】C
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：A、∠1与∠2是对顶角相等，虽然相等，但不能判断，故该选项不正确，不符合题意；
B、∠2与∠4不是同位角、内错角，即使相等，也不能不能判断，故该选项不正确，不符合题意；
C、 ∵，
∴
∴，故该选项正确，符合题意；
D、∠2与∠3是一对内错角，只有∠1=∠2时，才能判断，故该选项不正确，不符合题意.
故答案为：C．
【分析】由平行线的判定方法：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行，可直接判断A、B、D三个选项；由同角的补角相等推出∠1=∠3，然后根据同位角相等，两直线平行可判断C选项.
7．【答案】D
【知识点】实数在数轴上的表示；实数的大小比较；无理数的概念；求算术平方根
【解析】【解答】解：A、仅表示5的算术平方根，不包含负的平方根，5的完整平方根是，因此该选项错误；
B、根据实数的性质，所有实数都和数轴上的点一一对应，而是实数，所以它可以用数轴上的点表示，因此该选项错误；
C、因为，而圆周率，所以，因此该选项错误；
D、无理数的定义为无限不循环小数，无法写成两个整数的比值的形式，符合无理数的定义，因此该选项正确.
故答案为：D．
【分析】一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，据此可判断A选项；由实数都和数轴上的点一一对应可判断B选项；由估算无理数大小的方法可得，再结合圆周率π的近似值即可判断C选项；根据无理数定义“无限不循环小数就是无理数”就是其中开方开不尽这类无理数，据此可判断C选项.
8．【答案】B
【知识点】点的坐标
【解析】【解答】解：∵点位于轴上方，故纵坐标，
∵到轴的距离为2，即，得，
∵到轴的距离为3，即，得或，
∴点的坐标是和，
故答案为：B．
【分析】根据点A位于x轴上方可得点A的纵坐标b＞0，再根据一个点到x轴的距离等于其纵坐标的绝对值可得点A的纵坐标b=2，由一个点到y轴的距离等于其横坐标的绝对值可得|a|=3，即a=±3，从而可得点A的坐标.
9．【答案】C
【知识点】翻折变换（折叠问题）；平行线的应用-求角度
【解析】【解答】解：如图，
∵长方形纸片两边平行，
∴，
∵比大，则
∴
又∵折叠，
∴
∴
∴
故答案为：C．
【分析】由二直线平行，同旁内角互补得出∠1+∠3=180°，由已知得∠1=∠2+a°可得∠2+a°+∠3=180°，由折叠性质及平角定义得∠3+2∠2=180°，则可得∠2=a°，进而即可得出∠1的度数.
10．【答案】A
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：设每只雀两，每只燕两，
根据题意，五雀六燕总重16两，即：，
交换一只后平衡，即4雀+1燕与5燕+1雀重量相等，得：，化简为，
A、第二个方程为，与总重量方程不符，故此选项错误，不符合题意；
B、由交换后两边各重8两（总重16两），得和，故此选项正确，不符合题意；
C、直接列出正确方程和，故此选项正确，不符合题意；
D、由和联立，解得、满足总重量，故此选项正确，不符合题意.
故答案为：A．
【分析】设每只雀x两，每只燕y两，由“五雀六燕总重16两”列出方程5x+6y=16，由“交换一只后平衡”可列方程4x+y=5y+x，化简为3x=4y，从而逐一判断得出答案.
11．【答案】D
【知识点】角的运算；垂线的概念；角平分线的概念；平行线的应用-求角度
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∴，故①正确；
∵
∴，
∴，故②正确；
如图，延长交于点，
∵，，
∴
∵，
∴，
∴，故③正确；
当时，
∴
∴平分，故④正确，
故答案为：D．
【分析】根据学具性质及角的构成可求出∠BCD=∠BCA+∠ACD=90°，由垂直定义得出BC⊥DE，即可判断①；由同旁内角互补，两直线平行推出AB∥ED，即可判断②；延长AB交l2于点G，由二直线平行，同位角相等得出∠G=∠DEF+∠1=(45+a)°，由二直线平行，内错角相等得出∠2=∠G，从而可判断③，根据当时，，结合平角的定义以及三角板的角度，即可判断④．
12．【答案】D
【知识点】点的坐标；等边三角形的性质；探索规律-点的坐标规律
【解析】【解答】解： ∵，第一次滚动后得到，，第二次滚动后得到，，第三次滚动后得到，，
每次旋转，3次一循环，每3次横坐标，
∵，
∴的横坐标是，
∴的横坐标是，纵坐标是，
故答案为：D．
【分析】由A、C两点的坐标可得该等边三角形的边长为2，再根据滚动方式得出前几次滚动后点A的对应点的坐标，就会发现每次旋转120°，3次一循环，每3次横坐标增加6，而2026÷3=675……1，从而可找出A2025的坐标，再根据A1的坐标规律得出A2026的坐标.
13．【答案】
【知识点】点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：∵点在y轴上，
∴，
解得：，
∴，
故答案为：．
【分析】根据y轴上点的横坐标为零列出关于字母m的方程，求解得出m的值，即可求出点P的坐标.
14．【答案】
【知识点】解一元一次不等式；已知一元一次方程的解求参数
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵方程的解是负数，
∴，
解得：；
故答案为：．
【分析】将a作为常数，解方程用含a的式子表示出x，根据方程解是负数即x＜0，列出关于字母a的不等式，求解即可得出a的取值范围.
15．【答案】
【知识点】三角形内角和定理；平移的性质；邻补角
【解析】【解答】解：∵∠ACE=100°，
∴∠ACB=180°-∠ACE=80°，
∵△ABC沿BC方向平移得到△DEF，
∴∠DFE=∠ACB=80°，
∴∠DEF=180°-∠EDF-∠DFE=40°.
故答案为：40°．
【分析】首先由邻补角求出∠ACB的度数，然后根据平移性质得出∠DFE=∠ACB=80°，最后根据三角形的内角和定理求出∠DEF的度数.
16．【答案】
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：∵，
∴，即更接近
∴
∴
故答案为：．
【分析】利用估算无理数大小的犯法估算出，从而即可求出整数m的值.
17．【答案】
【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解；一元一次不等式组的含参问题
【解析】【解答】解：由得：，
由得：．
则不等式组的解集是：．
不等式组的所有整数解的和大于且小于，
则不等式组的整数解，是和，，．
∴．
解得： ．
故答案为：-2≤a＜-1.
【分析】将a作为常数，根据解不等式的步骤分别解出不等式组中每一个不等式的解集，然后根据口诀：同大取大，同小取小，小大大小中间找，大大小小无解了，确定出不等式组的解集，然后根据不等式组的所有整数解的和大于且小于，确定整数解，则可以得到一个关于a的不等式组求得a的范围．
18．【答案】98°
【知识点】平行线的应用-求角度；平行公理的推论
【解析】【解答】解：如图，过点作，设，
∵，，
∴，
∴，
又∵，
∴
∵，，
∴MN∥CD，
∴
∴
故答案为：98°．
【分析】过点M作MN∥AB，设∠NMC=a，由二直线平行，内错角相等得∠EMN=∠BEM=20°，由角的构成得∠EMC=20°+a，∠NMD=a+102°，由平行于同一直线的两条直线互相平行得出MN∥CD，由二直线平行，同旁内角互补求出∠MDC，最后求出两个角的和即可.
19．【答案】解：（1）原式
；
（2），
解不等式①得：，
解不等式②得：，
不等式组的解集为，
不等式组解集在数轴上表示如下：
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】（1）先根据有理数乘方运算法则、算术平方根定义及绝对值性质分别计算，再计算加减法运算可得答案；
（2）分别解出不等式组中两个不等式的解集，根据口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了确定出解集，进而根据数轴上表示不等式组的解集的方法“大向右，小向左，实心等于，空心不等”将该不等式组的解集在数轴上表示出来即可.
20．【答案】（1）解：∵的立方根是，
∴，
∵4的算术平方根是，
∴，
∵，
∴即，
∴的整数部分是5，
又是的整数部分，
∴，
综上可知，，；
（2）解：∵，，，
∴．
∴的平方根为．
【知识点】无理数的估值；开平方（求平方根）；求算术平方根；立方根的概念与表示
【解析】【分析】（1）先根据立方根和算术平方根的定义，分别计算得到a、b的取值；再利用夹逼法估算出的范围得出c的值；
（2）将求得的a、b、c代入-a+3b-2c计算出结果后，再根据平方根定义求解这个结果的平方根即可.
（1）解：∵的立方根是，
∴，
∵4的算术平方根是，
∴，
∵，
∴即，
∴的整数部分是5，
又是的整数部分，
∴，
综上可知，，；
（2）解：∵，，，
∴．
∴的平方根为．
21．【答案】（1）解：（名）
喜欢其他类的占比为：
喜欢相声小品的人数占比为：
∴喜欢相声小品的人数为：（名）
补全统计图如图，
（2）解：“其他”在扇形图中对应的圆心角的度数为
（3）解：（人）
∴喜欢“相声小品”的学生人数比喜欢“歌曲”的学生人数多人．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【分析】（1）根据统计图表提供的信息，用喜欢歌曲的人数除以占比求得抽样调查的人数，进而用喜欢其它类人数除以本次调查抽取的总人数求得喜欢其他类占比，进而根据喜欢四个类别的百分比之和等于1可求出喜欢相声小品的人数得出喜欢相声小品的人数占比，最后用本次调查的总人数乘以喜欢相声小品的人数的占比即可求出喜欢相声小品的人数，从而补全统计图；
（2）根据喜欢其他类的占比乘以，即可求得“其他”在扇形图中对应的圆心角的度数；
（3）用样本估计总体，用该校学生的总人数乘以喜欢样本中喜欢“相声小品”的学生人数的占比与喜欢“歌曲”的学生的占比之差即可求解．
（1）解：（名）
喜欢其他类的占比为：
喜欢相声小品的人数占比为：
∴喜欢相声小品的人数为：（名）
补全统计图如图，
（2）解：“其他”在扇形图中对应的圆心角的度数为
（3）解：（人）
∴喜欢“相声小品”的学生人数比喜欢“歌曲”的学生人数多人．
22．【答案】（1）解：由题意可得：，
解得；
将代入含有m、n的方程得：，
解得：；
（2）证明：当时，方程的左边
，
∴无论取何值，方程组的解都是关于，的方程的解．
【知识点】二元一次方程（组）的同解问题；已知二元一次方程的解求参数
【解析】【分析】（1）因为这两个方程组拥有相同的解，因此我们可以将两个方程组里不含有、的方程联立，先求出这个共同解，再将得到的解代入两个方程组里含、的方程，就能得到一个只关于、的新方程组，解这个新方程组就可以得到、的值；
（2）我们把第一问求出的x与y的值，代入要证明的等式的左边计算化简，就可以完成证明.
（1）解：由题意可得：，
解得；
将代入含有m、n的方程得：，
解得：；
（2）证明：当时，方程的左边
，
∴无论取何值，方程组的解都是关于，的方程的解．
23．【答案】（1）证明：∵，，
∴
∵，
∴
∴；
（2）解：如图，过点作
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∵EG∥CD
∴．
【知识点】角平分线的概念；平行线的应用-求角度；平行公理的推论
【解析】【分析】（1）根据二直线平行，同位角相等可得，进而得出，从而根据同旁内角互补，两直线平行得出AB∥CD；
（2）过点E作EG∥AB，由平行于同一直线的两条直线互相平行得出EG∥AB∥CD，由二直线平行，内错角相等得∠FEG=∠AFE=40°，∠DEG=∠D=20°，由角的构成求出∠DEF=60°，进而根据角平分线的定义得出∠CED=∠DEF=60°，再由角的构成求出∠CEG=80°，最后根据二直线平行，同旁内角互补求出∠ECD的度数.
（1）证明：∵，，
∴
∵，
∴
∴；
（2）解：如图，过点作
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴．
24．【答案】（1）解：设每只哪吒手办的进价为a元，每只敖丙手办的进价为b元，
根据题意得，
解得：，
答：每只哪吒手办进价为18元，每只敖丙手办进价为15元；
（2）解：设每只哪吒手办的售价为x元，每只敖丙手办的售价为元，
根据题意得，，
即，
∴，
答：周二的销售额记录不正确，正确的销售额为625元．
【知识点】二元一次方程的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设每只哪吒手办的进价为a元，每只敖丙手办的进价为b元，根据单价乘以数量等于总价及“ 第一次购入哪吒手办20只，敖丙手办15只共花费585元，第二次以相同的进价购入哪吒手办50只，敖丙手办50只共花费1650元 ”列出方程组，解方程组，即可求解；
（2）设每只哪吒手办的售价为x元，每只敖丙手办的售价为元，根据单价乘以数量等于总价及"销售6只哪吒手办，4只敖丙手办，收入250元得6x+4y=250，化简为3x+2y=125，进而求得出周二的销售记录额，即可求解．
（1）解：设每只哪吒手办的进价为 元，每只敖丙手办的进价为 元，
根据题意得，
解得：，
答：每只哪吒手办进价为元，每只敖丙手办进价为 元；
（2）解：设每只哪吒手办的售价为 元，每只敖丙手办的售价为 元，
根据题意得，，
即，
∴，
答：周二的销售额记录不正确，正确的销售额为 元．
25．【答案】（1）解：∵
∴，
解得：，，
∴，
（2）解：∵，把点向左平移（）个单位长度，再向下平移个单位长度至点，
∴
如图，过点分别作轴的平行线，过点作轴的平行线，交点分别为，
又∵，
∴，
∴，，，
∴
∵的面积为12，
∴
解得：
（3）解：如图过点作于点，设交轴于点，
∵，，，
∴，，
∵，
∵的面积为，，点从点出发，沿水平方向以每秒一个单位长度的速度向右运动，的面积先减小后增大，
∴在点的右侧，
∴，
∴
∵，
∴，
解得：
【知识点】一元一次不等式组的应用；算术平方根的性质（双重非负性）；绝对值的非负性；几何图形的面积计算-割补法；三角形-动点问题
【解析】【分析】（1）由算术平方根及绝对值的非负性，由两个非负数的和为零，则每一个数都等于零，据此可求出a、b的值，从而可得点A、B的坐标；
（2）根据点的坐标平移规律“横坐标左移减 右移加，纵坐标上移加下移减”平移可得；过点E、B分别作y轴的平行线，过点A作x轴的平行线，交点分别为M、N，根据两点间的距离公式表示出MN、ME、NB、AM，根据S△ABE=12及S△ABE=S四边形EBNM-S△AEM-S△ABN建立方程，解方程即可求解；
（3）过点B作BD⊥CF于点D，设CF交y轴于点G，先根据S△ABC=S梯形AGBD-S△AGC-S△BCD算出△ABC的面积为3，结合△ABF面积的取值范围，及点F的运动方项得出△ABF的面积先减小后增大，则可得点F在点D的右侧，然后根据建立不等式，解不等式，即可求解．
（1）解：∵
∴，
解得：，，
∴，
（2）解：∵，把点向左平移（）个单位长度，再向下平移个单位长度至点，
∴
如图，过点分别作轴的平行线，过点作轴的平行线，交点分别为，
又∵，
∴，
∴，，，
∴
∵的面积为12，
∴
解得：
（3）解：如图过点作于点，设交轴于点，
∵，，，
∴，，
∵，
∵的面积为，，点从点出发，沿水平方向以每秒一个单位长度的速度向右运动，的面积先减小后增大，
∴在点的右侧，
∴，
∴
∵，
∴，
解得：
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