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湖南省邵阳市隆回县2024-2025学年八年级下学期期末教学质量监测数学试题
一、选择题（共10个小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个选项正确）
1．我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．下列各组数中，不属于“勾股数”的是（　　）
A．3，4，5 B．5，7，9 C．8，15，17 D．7，24，25
2．“二十四节气”蕴含了悠久的文化内涵和历史积淀，是中华民族智慧的结晶．下列四幅作品分别代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“大雪”四个节气，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
3．已知数据：，，，，，其中无理数出现的频率是（　　）
A．0.2 B．0.8 C．0.6 D．0.4
4．点M在第四象限，点M到x轴的距离为3，到y轴的距离为4，则M点坐标是（　　）
A．（4，﹣3） B．（4，3） C．（3，﹣4） D．（﹣3，4）
5．一次函数y=2x+3的图像不经过的象限是（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
6．如图，是象棋盘的一部分．若“帅”位于点上，“相”位于点上，则炮位于（　　）上．
A． B． C． D．
7．已知一次函数y1=kx+b与y2=x+a的图象如图所示，则下列结论：①k＜0；②a＞0；③关于x的方程kx+b=x+a的解为x=3；④x＞3时，y1＜y2．正确的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．下列说法中不正确的是（　　）．
A．矩形的对角线互相垂直且相等 B．平行四边形的对角线互相平分
C．四条边相等的四边形是菱形 D．正方形的对角线相等
9．如图，在平行四边形中，平分交于点E，平分交于点F，若，，则为（　　）
A．2.5 B．3 C．3.5 D．4
10．如图，在中，，，是边上的中线，把线段沿着方向平移到点B，使得点C与点B重合，连接，，与相交与点O，则下列结论：①四边形为菱形；②；③；④的面积为四边形面积的一半．其中正确结论的个数为（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）
11．点关于y轴对称的点的坐标是　 　．
12．已知一个多边形的内角和是外角和的2倍．那么这个多边形的边数为　 　．
13．在函数y＝ 中，自变量x的取值范围是　 　.
14．已知点、都在直线上，则　 　．（填“”或“”或“”）
15．将直线向上平移3个单位长度后，得到的直线解析式为　 　．
16．如图，将沿对角线AC折叠，使点B落在点处，若，则　 　．
17．如图，直线分别与x轴，y轴交于点A，B，将绕着点A顺时针旋转得到，则点B的对应点D的坐标是　 　．
18．如图，中，，，线段的两个端点D、E分别在边，上滑动，且，若点M、N分别是、的中点，则的最小值　 　．
三、解答题（本大题共8个小题，第19至25题每小题8分，第26小题10分，满分66分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
19．已知一个一次函数的图象经过点和．
（1）求这个函数的解析式；
（2）若点是该函数图象上的一点，求a的值．
20．已知：如图，在平行四边形中，，，垂足分别为、．求证：四边形是平行四边形．
21．明朝数学家程大位在他的著作《算法统宗》中写了一首计算秋千绳索长度的词《西江月》：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步恰竿齐，五尺板高离地…”翻译成现代文为：如图，秋千静止的时候，踏板离地高一尺（尺），将它往前推进两步（尺，于E），此时踏板升高离地五尺（尺），求秋千绳索（或）的长度．
22．如图，三个顶点的坐标分别为，，．
（1）请画出向左平移5个单位长度后得到的；
（2）请画出关于原点对称的；
（3）P的坐标为，请求出的面积．
23．“机动车行驶到斑马线要礼让行人”等交通法规实施后，某校数学课外实践小组就对这些交通法规的了解情况在全校随机调查了部分学生，调查结果分为五种：A非常了解，B比较了解，C基本了解，D不太了解，E完全不知．实践小组把此次调查结果整理并绘制成下面不完整的条形统计图和扇形统计图请根据以上信息，解答下列问题：
（1）本次共调查了　　名学生，扇形统计图中D所对应扇形的圆心角为　　度；
（2）把这幅条形统计图补充完整（画图后请标注相应的数据）；
（3）该校共有800名学生，根据以上信息，请你估计全校学生中对这些交通法规“非常了解”的有　　名．
24．如图，在矩形中，点为对角线的中点，过点作，交于点，交于点，连接．
（1）试判断四边形的形状，并说明理由：
（2）若，求的长．
25．为了响应节能减排的号召，推动绿色生活方式，某品牌汽车4S店准备购进A型和B型两种不同型号的电动汽车共20辆进行销售
　 成本价（万元/辆） 售价（万元/辆）
A型 16 16.8
B型 28 29.4
（1）如果该4S店购进20辆两种型号的电动汽车所花费成本为416万元，那么购进A、B两种型号的电动汽车各多少辆？
（2）如果为了保证该4S店购进的A型电动汽车不少于B型电动汽车的2倍，那么20辆电动汽车全部售出后，求购进多少辆A型电动汽车可使4S店销售的利润最大，最大利润是多少？
26．综合与实践
问题情境：
已知四边形是正方形，点P是直角三角尺的直角顶点．
（1）如图1，将点P放在正方形的顶点A处，三角尺的两条直角边分别与，的延长线交于点E，F，则与之间的数量关系为_______．
操作发现：
（2）如图2，将点P放在正方形的对角线上，三角尺的两条直角边分别与，的延长线交于点E，F，则（1）中的结论还成立吗？请说明理由．
拓广探索：
（3）如图3，将点P放在正方形的边上（不包含点B，C），三角尺的一条直角边经过点A，另一条直角边与正方形的外角的平分线相交于点E，试判断与之间的数量关系，并说明理由．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】勾股定理的逆定理；勾股数
【解析】【解答】解：A：，满足勾股数条件，故该选项不符合题意；
B：，而，，不满足勾股数条件，故该选项符合题意；
C：，满足勾股数条件，故该选项不符合题意；
D：，满足勾股数条件，故该选项不符合题意．
故选：B．
【分析】本题以勾股数的历史背景为切入点，考查了勾股数的定义及验证。根据勾股数的定义（三个正整数满足 a2+b2=c2，c为最大数），逐项验证：3，4，5满足；5，7，9中 52+72=7481，不满足；8，15，17满足；7，24，25满足。故不属于勾股数的是B。
2．【答案】D
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；
故选：．
【分析】本题以二十四节气图案为背景，考查了轴对称图形与中心对称图形的识别。根据轴对称图形和中心对称图形的定义，逐一分析各选项的图形特征，找出既是轴对称图形又是中心对称图形的一项。
3．【答案】D
【知识点】频数与频率；无理数的概念
【解析】【解答】解：，，，，中无理数有，共2个，
故无理数出现的频率为：．
故选：D．
【分析】本题以无理数的识别与频率计算为背景，考查了无理数的定义及频率的求法。从所给数据中找出无理数的个数，再用无理数个数除以数据总个数，得到频率。
4．【答案】A
【知识点】点的坐标；点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：令点M的坐标为（a，b）
∵点M到x轴的距离为3，到y轴的距离为4，
∴，
∵点M在第四象限，
∴a=4，b=﹣3，
∴M（4，﹣3），
故答案为：A．
【分析】根据直角坐标系中第四象限里面x和y的符号：x>0，y<0，然后再根据点到坐标轴距离的意义，即可求解。
5．【答案】D
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解： ，图象过一三象限， ，图象过第一、二象限，
直线 经过一、二、三象限，不经过第四象限．
故答案为：D．
【分析】先求出 ，图象过一三象限， ，图象过第一、二象限，再求解即可。
6．【答案】C
【知识点】用坐标表示地理位置；平面直角坐标系的构成
【解析】【解答】解：“帅”位于点，“相”位于点上 ，
建立如图所示的平面直角坐标系，
则“炮”位于点，
故选：
【分析】本题以中国象棋盘为背景，考查了利用已知点的坐标建立平面直角坐标系并确定其他点的位置。由“帅”(1，-2)和“相”(3，-2)可确定x轴方向及单位长度，进而建立坐标系，得出“炮”的坐标为(-2，1)。
7．【答案】C
【知识点】一次函数与一元一次方程的关系；一次函数与不等式（组）的关系；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：根据图示及数据可知：①k＜0正确；
②a＜0，原来的说法错误；
③方程kx+b=x+a的解是x=3，正确；
④当x＞3时，y1＜y2正确．
故正确的个数是3．
故选：C．
【分析】本题以一次函数图象的交点与性质为背景，考查了根据图象判断函数系数符号、方程的解与函数图象交点的关系及函数值的大小比较。由图象的倾斜方向和与y轴交点位置判断k、a的符号；由两图象交点的横坐标确定方程的解；由交点右侧图象的上下位置判断y1与y2的大小。
8．【答案】A
【知识点】平行四边形的性质；菱形的判定；矩形的性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：
A、矩形的对角线不互相垂直但相等，A符合题意；
B、平行四边形的对角线互相平分，B不符合题意；
C、四条边相等的四边形是菱形，C不符合题意；
D、正方形的对角线相等，D不符合题意；
故答案为：A
【分析】根据矩形的性质、平行四边形的性质、菱形的判定、正方形的性质对选项逐一分析即可求解。
9．【答案】D
【知识点】等腰三角形的判定；平行四边形的性质；角平分线的概念；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：平行四边形中，
，，
平分，平分，
，，
，，
，，
又平行四边形中，，
，
，
，
，
故选：D．
【分析】本题以平行四边形与角平分线综合为背景，考查了平行线的性质、等腰三角形的判定及平行四边形对边相等的性质。由角平分线结合平行线得等角，推出AE＝AB、DF＝CD，再结合平行四边形对边相等及已知线段长，列方程求出AB。
10．【答案】A
【知识点】含30°角的直角三角形；菱形的判定；平移的性质；三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵在，是边上的中线，，
∴，
由平移可得，，，
∴四边形为平行四边形，
∵，
∴四边形为菱形，①正确，故符合要求；
∵四边形为菱形，
∴为中点，
又∵是的中点，
∴为的中位线，
∴，②正确，故符合要求；
∵四边形为菱形，
∴，
∴，③正确，故符合要求；
∵是的中线，
∴，
由菱形的性质可得，
∴，④正确，故符合要求；
综上，正确的结论个数为4，
故选：A．
【分析】本题以直角三角形与平移变换为背景，考查了菱形的判定与性质、三角形中位线定理、直角三角形斜边中线的性质及面积关系。
①由直角三角形斜边中线及平移得DC＝BC、CD∥AB且CD＝AB，证四边形ABCD为菱形；
②利用菱形对角线互相平分及中位线定理得OC与DF的关系；
③由菱形边长与BF的关系推出BF与OD的关系；
④利用三角形中线与菱形面积关系判断面积是否正确。
11．【答案】
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：根据轴对称的性质，得点关于y轴对称点的坐标．
故答案为：．
【分析】本题以平面直角坐标系中点的对称为背景，考查了关于y轴对称的坐标变化规律。根据关于y轴对称，纵坐标不变、横坐标互为相反数，得点A(-3，5)关于y轴的对称点为(3，5)。
12．【答案】6
【知识点】多边形内角与外角；一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：设这个多边形的边数为n，则该多边形的内角和为，
依题意得，
解得，
∴这个多边形的边数是6．
故答案为：6．
【分析】先设这个多边形的边数为n，得出该多边形的内角和为，结合所有多边形外加和都等于360°，从而根据多边形的内角和是外角和的2倍，列方程求解即可．
13．【答案】x＞1.5
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：由题意得2x﹣3＞0，
解得x＞1.5.
故答案为：x＞1.5.
【分析】本题主要考查二次根式有意义的条件，根式内的数据必须大于等于0，结合本题且分母不能为0.
14．【答案】
【知识点】有理数的大小比较-直接比较法；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵点、都在直线上，
∴，，
∴，
故答案为：．
【分析】本题以一次函数图象上的点坐标比较大小为背景，考查了一次函数图象上点的坐标特征及实数大小比较。将两点横坐标代入解析式求出纵坐标，再比较大小。
15．【答案】
【知识点】一次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：将直线向上平移3个单位长度后，
得到的直线解析式为；
故答案为：．
【分析】利用函数图象（解析式）平移的特征：左加右减，上加下减分析求解即可.
16．【答案】
【知识点】平行四边形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴．
根据折叠的性质可知，
∵，
∴．
∵在中，，，
∴．
故答案为：．
【分析】本题以平行四边形折叠为背景，考查了平行四边形的性质、平行线的性质、折叠的性质及三角形内角和定理。由平行四边形得AB∥CD，则∠1=∠BAB'=38°。由折叠得∠CAB=∠BAC，则∠BAC=19°。在△ABC中，∠2=38°，根据内角和得∠B=180°-38°-19°=123°。
17．【答案】
【知识点】坐标与图形性质；旋转的性质；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】解：当时，，则B点坐标为；
当时，，解得，则A点坐标为，
∴，
∵绕点A顺时针旋转后得到，
∴，，，，
∴轴，轴，
∴点D的坐标为，
故答案为：．
【分析】本题以一次函数图象与旋转变换为背景，考查了一次函数与坐标轴的交点坐标、旋转的性质及点的坐标确定。先求出A、B两点坐标，再根据旋转90°得对应边垂直且相等，确定点D的位置后写出坐标。
18．【答案】3
【知识点】三角形三边关系；勾股定理；三角形-动点问题；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：如图，连接、，
中，，
∴，
∵，点、分别是、的中点，
，
当、、在同一直线上时，取最小值，
∴的最小值为：．
故答案为：3．
【分析】本题以直角三角形中动线段与中点综合为背景，考查了直角三角形斜边中线的性质、三角形三边关系及线段最值问题。连接CM、CN，分别求出CM和CN的长，根据“两点之间线段最短”或三角形三边关系，当C、M、N共线时MN取最小值。
19．【答案】（1）解：设该函数的解析式为，
把、分别代入得
，
解得，，，
所以，这个函数的解析式为
（2）解：把代入得，
解得，
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】本题以一次函数图象经过两点为背景，考查了待定系数法求解析式及已知函数值求自变量。
（1）设 y=kx+b，代入A、B坐标得方程组，解得 k=-2，b=7，解析式为 y=-2x+7。
（2）将 (a，1) 代入解析式，解 -2a+7=1 得 a=3。
（1）解：设该函数的解析式为，
把、分别代入得
，
解得，，，
所以，这个函数的解析式为．
（2）把代入得，
解得，．
20．【答案】证明：四边形是平行四边形，
，，
，
，，
，，
在和中，
，
，
，
又，
四边形是平行四边形．
【知识点】垂线的概念；三角形全等及其性质；平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】本题以平行四边形与垂线综合为背景，考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质。利用平行四边形对边平行且相等得AB＝CD、∠ABE＝∠CDF，结合垂线证△ABE≌△CDF得AE＝CF，再由AE∥CF得四边形AECF为平行四边形。
21．【答案】解∶ 设秋千绳索长为尺，
则尺，
在中，，即，
解得：，
∴秋千绳索长为尺．
【知识点】勾股定理的实际应用-旗杆高度问题
【解析】【分析】设秋千绳索长为尺，用表示出的长，在直角三角形中，利用勾股定理列出关于的方程，解方程即可求出答案.
22．【答案】（1）解：所作如图所示：

（2）解：所作如图所示：
（3）解：P的坐标为，如图：
的面积为3．
【知识点】三角形的面积；作图﹣平移；中心对称及中心对称图形
【解析】【分析】
（1）把向左平移5个单位长度 ，各点的横坐标减5，纵坐标不变；
（2）根据关于原点对称的特征：纵横坐标互为相反数，得出 的各对应点即可；
（3）在x轴上找到点P，再利用三角形的面积公式：，求出的面积。
23．【答案】（1）300；54；
（2）25%×300＝75，条形统计图补充如下：
(3) 160.
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）共调查学生人数为：＝300，
扇形D比例：＝15%，圆心角：＝54°
故答案为300；54；
(3) ×800＝160.
故答案为160．
【分析】（1）从条形统计图中，可得到“B”的人数108人，从扇形统计图中可得“B”组占36%，用人数除以所占的百分比即可求出调查人数，求出“D”组所占整体的百分比，用360°去乘这个百分比即可得出D所对应扇形的圆心角度数；
（2）用总人数乘以“C”组所占百分比求出“C”组的人数，再补全统计图；
（3）求出“A”组所占的百分比，用样本估计总体进行计算即可．
24．【答案】（1）解：四边形是菱形，理由：∵四边形是矩形，
∴，
∴，，
∵点为对角线的中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形；
（2）解：∵四边形是菱形，∴，
∵四边形是矩形，，
∴，，
在中，由勾股定理得，
则，解得，
∴．
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定；菱形的判定与性质；矩形的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】本题以矩形与中点综合为背景，考查了全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、菱形的判定及勾股定理的应用。
（1）由矩形得AD∥BC，结合E为BD中点及FG⊥BD，证△DEF≌△BEG得EF＝EG，再证四边形BFDG为平行四边形，又由对角线互相垂直得菱形；
（2）利用菱形性质得BF＝BG，在Rt△ABF中设BF＝x，利用勾股定理列方程求解。
25．【答案】（1）解：设购进A型电动汽车x辆，购进B型电动汽车y辆，
可列方程组为：，
解得：，
答：购进A型电动汽车12辆，B型电动汽车8辆；
（2）解：设购进A型电动汽车m辆，则购进B型电动汽车（20﹣m）辆，
则m≥2（20﹣m），解得：m，
设销售的利润为，
则w＝（16.8﹣16）m+（29.4﹣28）（20﹣m），
＝﹣0.6m+28．
∵﹣0.6＜0，
∴w随m的增大反而减小，
∴当m最小时，w最大，
∵m，且m为整数，
∴当m＝14时，利润最大，最大值为：﹣0.6×14+28＝19.6万元，
∴购进14辆A型电动汽车可使4S店销售的利润最大，最大利润是19.6万元．
【知识点】二元一次方程组的其他应用；一元一次不等式的应用；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设购进A型电动汽车x辆，购进B型电动汽车y辆，根据“该4S店购进20辆两种型号的电动汽车所花费成本为416万元”，列出二元一次方程组求解；
（2）设购进A型电动汽车m辆，则购进B型电动汽车（20﹣m）辆，根据“购进的A型电动汽车不少于B型电动汽车的2倍”，列出一元一次不等式求出的范围，再根据一次函数的性质求得最大利润．
（1）解：设购进A型电动汽车x辆，购进B型电动汽车y辆，
根据题意，得：，
解得：，
答：购进A型电动汽车12辆，B型电动汽车8辆；
（2）设购进A型电动汽车m辆，则购进B型电动汽车（20﹣m）辆，
∵购进的A型电动汽车不少于B型电动汽车的2倍，
∴m≥2（20﹣m），
即m，
设销售的利润为，根据题意，得：w＝（16.8﹣16）m+（29.4﹣28）（20﹣m），
＝﹣0.6m+28．
∵﹣0.6＜0，
∴m＝14时，利润最大，最大值为：﹣0.6×14+28＝19.6万元，
∴购进14辆A型电动汽车可使4S店销售的利润最大，最大利润是19.6万元．
26．【答案】（1）；
（2）成立．
理由：如图，过点作于点于点，
则．
∵四边形为正方形，
，
由题意，得．
，
∴，
即．
在和中，
，
∴．
∴．
（3）．
理由：如图，在上截取，连接，
则．
四边形为正方形，
，
，
即．
，
是的平分线，
，
，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
．
【知识点】三角形全等及其性质；矩形的判定与性质；正方形的性质；三角形全等的判定-ASA；角平分线的概念
【解析】【解答】（1）∵四边形为正方形，
，，
由题意，得．
∴，
即．
在和中，
，
∴．
∴．
【分析】本题以正方形与直角三角尺的综合探究为背景，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、角平分线的性质及等腰直角三角形的性质。
（1）利用正方形边角关系及直角条件，证明△PED≌△PFB，得PE＝PF；
（2）过点P作BC、DC的垂线，构造全等三角形，同理证明结论仍成立；
（3）在BA上截取BF＝BP，构造等腰直角三角形，结合角平分线及外角性质，证△AFP≌△PCE，得PA＝PE。
1 / 1湖南省邵阳市隆回县2024-2025学年八年级下学期期末教学质量监测数学试题
一、选择题（共10个小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个选项正确）
1．我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．下列各组数中，不属于“勾股数”的是（　　）
A．3，4，5 B．5，7，9 C．8，15，17 D．7，24，25
【答案】B
【知识点】勾股定理的逆定理；勾股数
【解析】【解答】解：A：，满足勾股数条件，故该选项不符合题意；
B：，而，，不满足勾股数条件，故该选项符合题意；
C：，满足勾股数条件，故该选项不符合题意；
D：，满足勾股数条件，故该选项不符合题意．
故选：B．
【分析】本题以勾股数的历史背景为切入点，考查了勾股数的定义及验证。根据勾股数的定义（三个正整数满足 a2+b2=c2，c为最大数），逐项验证：3，4，5满足；5，7，9中 52+72=7481，不满足；8，15，17满足；7，24，25满足。故不属于勾股数的是B。
2．“二十四节气”蕴含了悠久的文化内涵和历史积淀，是中华民族智慧的结晶．下列四幅作品分别代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“大雪”四个节气，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；
故选：．
【分析】本题以二十四节气图案为背景，考查了轴对称图形与中心对称图形的识别。根据轴对称图形和中心对称图形的定义，逐一分析各选项的图形特征，找出既是轴对称图形又是中心对称图形的一项。
3．已知数据：，，，，，其中无理数出现的频率是（　　）
A．0.2 B．0.8 C．0.6 D．0.4
【答案】D
【知识点】频数与频率；无理数的概念
【解析】【解答】解：，，，，中无理数有，共2个，
故无理数出现的频率为：．
故选：D．
【分析】本题以无理数的识别与频率计算为背景，考查了无理数的定义及频率的求法。从所给数据中找出无理数的个数，再用无理数个数除以数据总个数，得到频率。
4．点M在第四象限，点M到x轴的距离为3，到y轴的距离为4，则M点坐标是（　　）
A．（4，﹣3） B．（4，3） C．（3，﹣4） D．（﹣3，4）
【答案】A
【知识点】点的坐标；点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：令点M的坐标为（a，b）
∵点M到x轴的距离为3，到y轴的距离为4，
∴，
∵点M在第四象限，
∴a=4，b=﹣3，
∴M（4，﹣3），
故答案为：A．
【分析】根据直角坐标系中第四象限里面x和y的符号：x>0，y<0，然后再根据点到坐标轴距离的意义，即可求解。
5．一次函数y=2x+3的图像不经过的象限是（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解： ，图象过一三象限， ，图象过第一、二象限，
直线 经过一、二、三象限，不经过第四象限．
故答案为：D．
【分析】先求出 ，图象过一三象限， ，图象过第一、二象限，再求解即可。
6．如图，是象棋盘的一部分．若“帅”位于点上，“相”位于点上，则炮位于（　　）上．
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】用坐标表示地理位置；平面直角坐标系的构成
【解析】【解答】解：“帅”位于点，“相”位于点上 ，
建立如图所示的平面直角坐标系，
则“炮”位于点，
故选：
【分析】本题以中国象棋盘为背景，考查了利用已知点的坐标建立平面直角坐标系并确定其他点的位置。由“帅”(1，-2)和“相”(3，-2)可确定x轴方向及单位长度，进而建立坐标系，得出“炮”的坐标为(-2，1)。
7．已知一次函数y1=kx+b与y2=x+a的图象如图所示，则下列结论：①k＜0；②a＞0；③关于x的方程kx+b=x+a的解为x=3；④x＞3时，y1＜y2．正确的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【知识点】一次函数与一元一次方程的关系；一次函数与不等式（组）的关系；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：根据图示及数据可知：①k＜0正确；
②a＜0，原来的说法错误；
③方程kx+b=x+a的解是x=3，正确；
④当x＞3时，y1＜y2正确．
故正确的个数是3．
故选：C．
【分析】本题以一次函数图象的交点与性质为背景，考查了根据图象判断函数系数符号、方程的解与函数图象交点的关系及函数值的大小比较。由图象的倾斜方向和与y轴交点位置判断k、a的符号；由两图象交点的横坐标确定方程的解；由交点右侧图象的上下位置判断y1与y2的大小。
8．下列说法中不正确的是（　　）．
A．矩形的对角线互相垂直且相等 B．平行四边形的对角线互相平分
C．四条边相等的四边形是菱形 D．正方形的对角线相等
【答案】A
【知识点】平行四边形的性质；菱形的判定；矩形的性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：
A、矩形的对角线不互相垂直但相等，A符合题意；
B、平行四边形的对角线互相平分，B不符合题意；
C、四条边相等的四边形是菱形，C不符合题意；
D、正方形的对角线相等，D不符合题意；
故答案为：A
【分析】根据矩形的性质、平行四边形的性质、菱形的判定、正方形的性质对选项逐一分析即可求解。
9．如图，在平行四边形中，平分交于点E，平分交于点F，若，，则为（　　）
A．2.5 B．3 C．3.5 D．4
【答案】D
【知识点】等腰三角形的判定；平行四边形的性质；角平分线的概念；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：平行四边形中，
，，
平分，平分，
，，
，，
，，
又平行四边形中，，
，
，
，
，
故选：D．
【分析】本题以平行四边形与角平分线综合为背景，考查了平行线的性质、等腰三角形的判定及平行四边形对边相等的性质。由角平分线结合平行线得等角，推出AE＝AB、DF＝CD，再结合平行四边形对边相等及已知线段长，列方程求出AB。
10．如图，在中，，，是边上的中线，把线段沿着方向平移到点B，使得点C与点B重合，连接，，与相交与点O，则下列结论：①四边形为菱形；②；③；④的面积为四边形面积的一半．其中正确结论的个数为（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】A
【知识点】含30°角的直角三角形；菱形的判定；平移的性质；三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵在，是边上的中线，，
∴，
由平移可得，，，
∴四边形为平行四边形，
∵，
∴四边形为菱形，①正确，故符合要求；
∵四边形为菱形，
∴为中点，
又∵是的中点，
∴为的中位线，
∴，②正确，故符合要求；
∵四边形为菱形，
∴，
∴，③正确，故符合要求；
∵是的中线，
∴，
由菱形的性质可得，
∴，④正确，故符合要求；
综上，正确的结论个数为4，
故选：A．
【分析】本题以直角三角形与平移变换为背景，考查了菱形的判定与性质、三角形中位线定理、直角三角形斜边中线的性质及面积关系。
①由直角三角形斜边中线及平移得DC＝BC、CD∥AB且CD＝AB，证四边形ABCD为菱形；
②利用菱形对角线互相平分及中位线定理得OC与DF的关系；
③由菱形边长与BF的关系推出BF与OD的关系；
④利用三角形中线与菱形面积关系判断面积是否正确。
二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）
11．点关于y轴对称的点的坐标是　 　．
【答案】
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：根据轴对称的性质，得点关于y轴对称点的坐标．
故答案为：．
【分析】本题以平面直角坐标系中点的对称为背景，考查了关于y轴对称的坐标变化规律。根据关于y轴对称，纵坐标不变、横坐标互为相反数，得点A(-3，5)关于y轴的对称点为(3，5)。
12．已知一个多边形的内角和是外角和的2倍．那么这个多边形的边数为　 　．
【答案】6
【知识点】多边形内角与外角；一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：设这个多边形的边数为n，则该多边形的内角和为，
依题意得，
解得，
∴这个多边形的边数是6．
故答案为：6．
【分析】先设这个多边形的边数为n，得出该多边形的内角和为，结合所有多边形外加和都等于360°，从而根据多边形的内角和是外角和的2倍，列方程求解即可．
13．在函数y＝ 中，自变量x的取值范围是　 　.
【答案】x＞1.5
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：由题意得2x﹣3＞0，
解得x＞1.5.
故答案为：x＞1.5.
【分析】本题主要考查二次根式有意义的条件，根式内的数据必须大于等于0，结合本题且分母不能为0.
14．已知点、都在直线上，则　 　．（填“”或“”或“”）
【答案】
【知识点】有理数的大小比较-直接比较法；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵点、都在直线上，
∴，，
∴，
故答案为：．
【分析】本题以一次函数图象上的点坐标比较大小为背景，考查了一次函数图象上点的坐标特征及实数大小比较。将两点横坐标代入解析式求出纵坐标，再比较大小。
15．将直线向上平移3个单位长度后，得到的直线解析式为　 　．
【答案】
【知识点】一次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：将直线向上平移3个单位长度后，
得到的直线解析式为；
故答案为：．
【分析】利用函数图象（解析式）平移的特征：左加右减，上加下减分析求解即可.
16．如图，将沿对角线AC折叠，使点B落在点处，若，则　 　．
【答案】
【知识点】平行四边形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴．
根据折叠的性质可知，
∵，
∴．
∵在中，，，
∴．
故答案为：．
【分析】本题以平行四边形折叠为背景，考查了平行四边形的性质、平行线的性质、折叠的性质及三角形内角和定理。由平行四边形得AB∥CD，则∠1=∠BAB'=38°。由折叠得∠CAB=∠BAC，则∠BAC=19°。在△ABC中，∠2=38°，根据内角和得∠B=180°-38°-19°=123°。
17．如图，直线分别与x轴，y轴交于点A，B，将绕着点A顺时针旋转得到，则点B的对应点D的坐标是　 　．
【答案】
【知识点】坐标与图形性质；旋转的性质；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】解：当时，，则B点坐标为；
当时，，解得，则A点坐标为，
∴，
∵绕点A顺时针旋转后得到，
∴，，，，
∴轴，轴，
∴点D的坐标为，
故答案为：．
【分析】本题以一次函数图象与旋转变换为背景，考查了一次函数与坐标轴的交点坐标、旋转的性质及点的坐标确定。先求出A、B两点坐标，再根据旋转90°得对应边垂直且相等，确定点D的位置后写出坐标。
18．如图，中，，，线段的两个端点D、E分别在边，上滑动，且，若点M、N分别是、的中点，则的最小值　 　．
【答案】3
【知识点】三角形三边关系；勾股定理；三角形-动点问题；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：如图，连接、，
中，，
∴，
∵，点、分别是、的中点，
，
当、、在同一直线上时，取最小值，
∴的最小值为：．
故答案为：3．
【分析】本题以直角三角形中动线段与中点综合为背景，考查了直角三角形斜边中线的性质、三角形三边关系及线段最值问题。连接CM、CN，分别求出CM和CN的长，根据“两点之间线段最短”或三角形三边关系，当C、M、N共线时MN取最小值。
三、解答题（本大题共8个小题，第19至25题每小题8分，第26小题10分，满分66分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
19．已知一个一次函数的图象经过点和．
（1）求这个函数的解析式；
（2）若点是该函数图象上的一点，求a的值．
【答案】（1）解：设该函数的解析式为，
把、分别代入得
，
解得，，，
所以，这个函数的解析式为
（2）解：把代入得，
解得，
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】本题以一次函数图象经过两点为背景，考查了待定系数法求解析式及已知函数值求自变量。
（1）设 y=kx+b，代入A、B坐标得方程组，解得 k=-2，b=7，解析式为 y=-2x+7。
（2）将 (a，1) 代入解析式，解 -2a+7=1 得 a=3。
（1）解：设该函数的解析式为，
把、分别代入得
，
解得，，，
所以，这个函数的解析式为．
（2）把代入得，
解得，．
20．已知：如图，在平行四边形中，，，垂足分别为、．求证：四边形是平行四边形．
【答案】证明：四边形是平行四边形，
，，
，
，，
，，
在和中，
，
，
，
又，
四边形是平行四边形．
【知识点】垂线的概念；三角形全等及其性质；平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】本题以平行四边形与垂线综合为背景，考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质。利用平行四边形对边平行且相等得AB＝CD、∠ABE＝∠CDF，结合垂线证△ABE≌△CDF得AE＝CF，再由AE∥CF得四边形AECF为平行四边形。
21．明朝数学家程大位在他的著作《算法统宗》中写了一首计算秋千绳索长度的词《西江月》：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步恰竿齐，五尺板高离地…”翻译成现代文为：如图，秋千静止的时候，踏板离地高一尺（尺），将它往前推进两步（尺，于E），此时踏板升高离地五尺（尺），求秋千绳索（或）的长度．
【答案】解∶ 设秋千绳索长为尺，
则尺，
在中，，即，
解得：，
∴秋千绳索长为尺．
【知识点】勾股定理的实际应用-旗杆高度问题
【解析】【分析】设秋千绳索长为尺，用表示出的长，在直角三角形中，利用勾股定理列出关于的方程，解方程即可求出答案.
22．如图，三个顶点的坐标分别为，，．
（1）请画出向左平移5个单位长度后得到的；
（2）请画出关于原点对称的；
（3）P的坐标为，请求出的面积．
【答案】（1）解：所作如图所示：

（2）解：所作如图所示：
（3）解：P的坐标为，如图：
的面积为3．
【知识点】三角形的面积；作图﹣平移；中心对称及中心对称图形
【解析】【分析】
（1）把向左平移5个单位长度 ，各点的横坐标减5，纵坐标不变；
（2）根据关于原点对称的特征：纵横坐标互为相反数，得出 的各对应点即可；
（3）在x轴上找到点P，再利用三角形的面积公式：，求出的面积。
23．“机动车行驶到斑马线要礼让行人”等交通法规实施后，某校数学课外实践小组就对这些交通法规的了解情况在全校随机调查了部分学生，调查结果分为五种：A非常了解，B比较了解，C基本了解，D不太了解，E完全不知．实践小组把此次调查结果整理并绘制成下面不完整的条形统计图和扇形统计图请根据以上信息，解答下列问题：
（1）本次共调查了　　名学生，扇形统计图中D所对应扇形的圆心角为　　度；
（2）把这幅条形统计图补充完整（画图后请标注相应的数据）；
（3）该校共有800名学生，根据以上信息，请你估计全校学生中对这些交通法规“非常了解”的有　　名．
【答案】（1）300；54；
（2）25%×300＝75，条形统计图补充如下：
(3) 160.
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）共调查学生人数为：＝300，
扇形D比例：＝15%，圆心角：＝54°
故答案为300；54；
(3) ×800＝160.
故答案为160．
【分析】（1）从条形统计图中，可得到“B”的人数108人，从扇形统计图中可得“B”组占36%，用人数除以所占的百分比即可求出调查人数，求出“D”组所占整体的百分比，用360°去乘这个百分比即可得出D所对应扇形的圆心角度数；
（2）用总人数乘以“C”组所占百分比求出“C”组的人数，再补全统计图；
（3）求出“A”组所占的百分比，用样本估计总体进行计算即可．
24．如图，在矩形中，点为对角线的中点，过点作，交于点，交于点，连接．
（1）试判断四边形的形状，并说明理由：
（2）若，求的长．
【答案】（1）解：四边形是菱形，理由：∵四边形是矩形，
∴，
∴，，
∵点为对角线的中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形；
（2）解：∵四边形是菱形，∴，
∵四边形是矩形，，
∴，，
在中，由勾股定理得，
则，解得，
∴．
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定；菱形的判定与性质；矩形的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】本题以矩形与中点综合为背景，考查了全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、菱形的判定及勾股定理的应用。
（1）由矩形得AD∥BC，结合E为BD中点及FG⊥BD，证△DEF≌△BEG得EF＝EG，再证四边形BFDG为平行四边形，又由对角线互相垂直得菱形；
（2）利用菱形性质得BF＝BG，在Rt△ABF中设BF＝x，利用勾股定理列方程求解。
25．为了响应节能减排的号召，推动绿色生活方式，某品牌汽车4S店准备购进A型和B型两种不同型号的电动汽车共20辆进行销售
　 成本价（万元/辆） 售价（万元/辆）
A型 16 16.8
B型 28 29.4
（1）如果该4S店购进20辆两种型号的电动汽车所花费成本为416万元，那么购进A、B两种型号的电动汽车各多少辆？
（2）如果为了保证该4S店购进的A型电动汽车不少于B型电动汽车的2倍，那么20辆电动汽车全部售出后，求购进多少辆A型电动汽车可使4S店销售的利润最大，最大利润是多少？
【答案】（1）解：设购进A型电动汽车x辆，购进B型电动汽车y辆，
可列方程组为：，
解得：，
答：购进A型电动汽车12辆，B型电动汽车8辆；
（2）解：设购进A型电动汽车m辆，则购进B型电动汽车（20﹣m）辆，
则m≥2（20﹣m），解得：m，
设销售的利润为，
则w＝（16.8﹣16）m+（29.4﹣28）（20﹣m），
＝﹣0.6m+28．
∵﹣0.6＜0，
∴w随m的增大反而减小，
∴当m最小时，w最大，
∵m，且m为整数，
∴当m＝14时，利润最大，最大值为：﹣0.6×14+28＝19.6万元，
∴购进14辆A型电动汽车可使4S店销售的利润最大，最大利润是19.6万元．
【知识点】二元一次方程组的其他应用；一元一次不等式的应用；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设购进A型电动汽车x辆，购进B型电动汽车y辆，根据“该4S店购进20辆两种型号的电动汽车所花费成本为416万元”，列出二元一次方程组求解；
（2）设购进A型电动汽车m辆，则购进B型电动汽车（20﹣m）辆，根据“购进的A型电动汽车不少于B型电动汽车的2倍”，列出一元一次不等式求出的范围，再根据一次函数的性质求得最大利润．
（1）解：设购进A型电动汽车x辆，购进B型电动汽车y辆，
根据题意，得：，
解得：，
答：购进A型电动汽车12辆，B型电动汽车8辆；
（2）设购进A型电动汽车m辆，则购进B型电动汽车（20﹣m）辆，
∵购进的A型电动汽车不少于B型电动汽车的2倍，
∴m≥2（20﹣m），
即m，
设销售的利润为，根据题意，得：w＝（16.8﹣16）m+（29.4﹣28）（20﹣m），
＝﹣0.6m+28．
∵﹣0.6＜0，
∴m＝14时，利润最大，最大值为：﹣0.6×14+28＝19.6万元，
∴购进14辆A型电动汽车可使4S店销售的利润最大，最大利润是19.6万元．
26．综合与实践
问题情境：
已知四边形是正方形，点P是直角三角尺的直角顶点．
（1）如图1，将点P放在正方形的顶点A处，三角尺的两条直角边分别与，的延长线交于点E，F，则与之间的数量关系为_______．
操作发现：
（2）如图2，将点P放在正方形的对角线上，三角尺的两条直角边分别与，的延长线交于点E，F，则（1）中的结论还成立吗？请说明理由．
拓广探索：
（3）如图3，将点P放在正方形的边上（不包含点B，C），三角尺的一条直角边经过点A，另一条直角边与正方形的外角的平分线相交于点E，试判断与之间的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）；
（2）成立．
理由：如图，过点作于点于点，
则．
∵四边形为正方形，
，
由题意，得．
，
∴，
即．
在和中，
，
∴．
∴．
（3）．
理由：如图，在上截取，连接，
则．
四边形为正方形，
，
，
即．
，
是的平分线，
，
，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
．
【知识点】三角形全等及其性质；矩形的判定与性质；正方形的性质；三角形全等的判定-ASA；角平分线的概念
【解析】【解答】（1）∵四边形为正方形，
，，
由题意，得．
∴，
即．
在和中，
，
∴．
∴．
【分析】本题以正方形与直角三角尺的综合探究为背景，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、角平分线的性质及等腰直角三角形的性质。
（1）利用正方形边角关系及直角条件，证明△PED≌△PFB，得PE＝PF；
（2）过点P作BC、DC的垂线，构造全等三角形，同理证明结论仍成立；
（3）在BA上截取BF＝BP，构造等腰直角三角形，结合角平分线及外角性质，证△AFP≌△PCE，得PA＝PE。
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