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湖南省邵阳市新邵县2024-2025学年八年级下学期6月期末数学试题
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．下列各点中，在第四象限的点是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：∵第四象限内点的横坐标为正数，纵坐标为负数，
∴在第四象限的点是，
故选：．
【分析】
第四象限内点的坐标的符号特征为．
2．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A．是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
B．是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
C．是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意；
D．不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不符合题意．
故选：C．
【分析】
如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．
3．如图，是的角平分线，，则点D到的距离为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【知识点】角平分线的性质；勾股定理
【解析】【解答】解：如图所示，过点D作于E，
在中，，由勾股定理得
，
∵是的角平分线，，，
∴，
∴D到的距离为3，
故选：B．
【分析】
由于角平分线上的点到角两边距离相等，可过点D作AB的垂线段DE，则DE＝DC，再利用勾股定理求出CD的长即可．
4．直线y＝kx+2过点（﹣1，0），则k的值是（　　）
A．2 B．﹣2 C．﹣1 D．1
【答案】A
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：把（﹣1，0）代入直线y＝kx+2，
得：﹣k+2＝0
解得k＝2．
故选A．
【分析】
由直线上点的坐标特征可把（﹣1，0）代入直线解析式得关于k的一元一次方程并求解即可．
5．如图，的两条对角线相交于点O，添加下列条件仍不能判定是矩形的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】等腰三角形的判定；平行四边形的性质；菱形的判定；矩形的判定
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
A、∵，
∴平行四边形是矩形，故选项A不符合题意；
B、∵，
∴平行四边形是矩形，故选项B不符合题意；
C、，
∴平行四边形是菱形，故选项C符合题意；
D、∵，
∴，
∵四边形ABCD是平行四边形，
，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴平行四边形是矩形，故选项D不符合题意；
故选：C．
【分析】
A、矩形的定义，即有一个角是直角的平行四边形是矩形，正确；
B、矩形的判定，即对角线相等的平行四边形是矩形，正确；
C、菱形的判定，即对角线互相垂直的平行四边形是菱形，错误；
D、由等角对等边可得OB＝OC，再由平行四边形的性质可得AC＝BD，即平行四边形是矩形．
6．已知点，若点B与点A关于原点成中心对称，则点B的坐标是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】关于原点对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：由题意，点B的坐标是；
故选D．
【分析】
关于原点成中心对称的点的坐标特征是横、纵坐标都互为相反数．
7．数“20242025”中，数字“2”出现的频率是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】频数与频率
【解析】【解答】解：数“20242025”中，数字“2”出现的次数为4，
∴数“20242025”中，数字“2”出现的频率，
故选：B
【分析】本题考查了频数与频率，先数出数字”2“出现的次数(频数），再确定总数字个数（总数），用频率=频数÷总数”计算.
8．已知点、、在一次函数的图象上，则，，的大小关系是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】比较一次函数值的大小；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：对于一次函数，
∵，
∴随的增大而减小，
∵，
故；
故选：A．
【分析】
先根据的符号确定函数随的增减变化趋势，再进一步计算求解即可.
9．如图，一次函数和的图象相交于点，则不等式的解集是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：把点代入得，
，
解得：，
，
不等式的解集为．
故选：A．
【分析】
先将点代入正比例函数解析式，计算得到点的具体坐标；再根据两个函数图象的位置关系，以两函数的交点为分界，结合函数图象就能直接得出不等式的解集.
10．如图，在菱形ABCD中，∠BAD=80°，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，垂足为E，连接DF，则∠CDF等于（　　）
A．50° B．60° C．70° D．80°
【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质；菱形的性质；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】解：如图，连接BF，
在菱形ABCD中，∵∠BAD=80°，
∴∠BAC=∠BAD=×80°=40°，∠BCF=∠DCF，BC=CD，
∠ABC=180°﹣∠BAD=180°﹣80°=100°．
∵EF是线段AB的垂直平分线，
∴AF=BF，∠ABF=∠BAC=40°．
∴∠CBF=∠ABC﹣∠ABF=100°﹣40°=60°．
∵在△BCF和△DCF中，BC=CD，∠BCF=∠DCF，CF=CF，
∴△BCF≌△DCF（SAS）．
∴∠CDF=∠CBF=60°．
故选B．
【分析】
利用菱形的对角线平分对角及邻角互补求出相关线段，结合线段垂直平分线的性质得到等腰三角形，进而通过证明进而求出.
二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分）
11．函数 中自变量x的取值范围是　 　．
【答案】x≥2
【知识点】二次根式有无意义的条件；函数自变量的取值范围
【解析】【解答】解：依题意，得x﹣2≥0，
解得：x≥2，
故答案为：x≥2．
【分析】根据二次根式的性质，被开方数大于等于0，就可以求解．
12．如图，在中，平分，则　 　．
【答案】
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；平行四边形的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
【分析】
由平行四边形的性质结合角平分线的概念可得，再利用三角形的内角和定理即可．
13．一个多边形的每一个外角都是，那么这个多边形的内角和为　 　．
【答案】
【知识点】多边形内角与外角；多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：一个多边形的每一个外角都是，多边形的外角和等于，
这个多边形的边数为：，
这个多边形的内角和为：．
故答案为：．
【分析】
先结合任意多边形的外角和固定为360°，求出这个多边形的边数，再借助多边形内角和公式计算出它的内角和即可.
14．如图，为的中位线，点F在上，且，若，，则的长为　 　．
【答案】
【知识点】三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：为的中位线，且，
，
，
，
故答案为：．
【分析】
先由三角形中位线定理可得DE等于BC的一半即7，再利用直角三角形斜边上中线的性质可得DF等于AB的一半即3，再利用线段的和差关系即可．
15．如图，在平面直角坐标系中，原点为对角线的中点，轴，点的坐标为，，点的坐标为　 　．
【答案】
【知识点】平行四边形的性质；关于原点对称的点的坐标特征；沿着坐标轴方向平移的点的坐标特征
【解析】【解答】解：如图，连接，
∵四边形是平行四边形，点为对角线的中点，是对角线，
∴点为的中点，即与相交于点，
∴点为的对称中心，
∴点和点关于原点对称，
∵点的坐标为，
∴，
又∵，且轴，
即点向左平移个单位得到点，
∴点的坐标为．
故答案为：．
【分析】
由于平行四边形是中心对称图形，则由题意知B、D两点关于原点对称，即点D的坐标可得，又AD＝6且AD平行x轴．即点A可由点D沿水平方向向左平移6个单位长度得到，即纵坐标不变横坐标减6即可得点A的坐标.
16．把64个数据分成8组，从第1组到第4组的频数分别是6，9，12，14，第5组到第7组的频率和是0.25，那么第8组的频数是　 　．
【答案】7
【知识点】频数与频率
【解析】【解答】∵把容量是64的样本分成8组，从第1组到第4组的频数分别是6，9，12，14，第5组到第7组的频率是0.25，
∴第8组的频数是：64 6 9 12 14 64×0.25=7.
故答案为7.
【分析】
先利用频率与频数的关系可得第5组到第7组的频数和，再利用数据总个数分别减去前7组的频数即可．
17．如图，在一棵树的高的处有两只猴子，其中一只猴子爬下树走到离树处的池塘处，另一只猴子爬到树顶处后直扑向池塘处（假设其下落的轨迹为直线）．如果两只猴子所经过的路程相等，那么这棵树高　 　m．
【答案】
【知识点】风吹树折模型
【解析】【解答】解：设树高为，则，
∵，，
∴，
∵两只猴子所经过的路程相等，
∴，
∵，
∴，
即，
解得：，
∴这颗树高．
故答案为：．
【分析】
如图，设树高为，则CD＝10-x，再由题意可得AC＝40-x，再利用勾股定理可得到关于的方程并求解即可．
18．如图，将正方形放在平面直角坐标系中，点D与坐标原点O重合，点A的坐标为，则点B的坐标为　 　．
【答案】
【知识点】坐标与图形性质；正方形的性质；同侧一线三垂直全等模型；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：过A作x轴的垂线段AM，再过点B作AM的垂线段BN.
四边形是正方形
（）
；
故答案为：．
【分析】
由于四边形ABCO是正方形，则可过A作x轴的垂线段AM，再过点B作AM的垂线段BN，则可利用一线三垂直全等模型证明 ，再利用全等的性质结合坐标与图形性质可得NM＝5、NB＝3，即．
三、解答题
19．已知点，解答下列各题：
（1）若点在轴上，求出点的坐标；
（2）若点的坐标为，且轴，求出点的坐标．
【答案】（1）解：∵点在轴上，
∴，
解得：，
∴，
∴点的坐标为；
（2）解：∵点的坐标为，且轴，
∴，
∴，
∴，
∴点的坐标为．
【知识点】点的坐标；坐标与图形性质
【解析】【分析】
（1）由于轴上所有点的纵坐标为，则可得关于a的一元一次方程并求解即可；
（2）由于平行于轴的直线上所有点的横坐标相同，则可得关于a的一元一次方程并求解即可．
（1）解：∵点在轴上，
∴，
解得：，
∴，
∴点的坐标为；
（2）解：∵点的坐标为，且轴，
∴，
∴，
∴，
∴点的坐标为．
20．如图，在平面直角坐标系中，．
（1）在图中做出关于轴的对称图形．
（2）直接写出点关于轴的对称点的坐标______________．
（3）在轴上是否存在点，使由构成的的周长最小？若存在，标出点的位置；若不存在，说明理由．
【答案】（1）解：如图所示：，即为所求；
（2）；
（3）答： 存在，作点关于轴的对称点，连接交轴于，
点为所求点．
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征；坐标与图形变化﹣对称；将军饮马模型-一线两点（一动两定）
【解析】【解答】（2）解：由（1）知：坐标为，
∴关于轴的对称点的坐标为，
故答案为：；
【分析】
（1）先分别作A、B、C关于y轴的对称点A1、B1、C1，再顺次连接A1、B1、C1即可；
（2）关于y轴对称的点的坐标特征是纵坐标不变，横坐标互为相反数；
（3）由于A、B1都是定点，即AB1长是定值，则的周长的最小值转化为求PA+PB1的最小值，此时可利用将军饮马模型先作点B1关于x轴的对称点B`，再连接AB`交x轴于点P即可．
（1）解：如图所示：，即为所求；
（2）解：由（1）知：坐标为，
∴关于轴的对称点的坐标为，
故答案为：；
（3）存在，作点关于轴的对称点，连接交轴于，
点为所求点．
21．如图，平分且平分，，点F在射线上，且．
（1）求证：；
（2）若，求的长度．
【答案】（1）证明：∵平分且平分，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）解：∵，平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【知识点】三角形外角的概念及性质；直角三角形全等的判定-HL；等腰三角形的判定与性质；三角形全等的判定-ASA；多边形的内角和公式
【解析】【分析】
（1）由角平分线的定义结合证明，则，，再利用HL证明即可；
（2）先由四边形的内角和可得，再由邻补角可得，再由全等的性质可得，再由直角三角形两锐角互余可得 ，再由角平分线的概念结合三角形外角的性质可得，再由等角对等边可得DE＝CE、AD＝AE，最后再利用勾股定理求出DE即可．
（1）证明：∵平分且平分，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）解：∵，平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
22．如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的顶点的坐标为的坐标为．
（1）请直接写出平行四边形的中心的坐标　 　.
（2）求出直线的解析式．
【答案】（1）
（2）解：设直线的解析式为，
则有，
，
直线的解析式为．

【知识点】待定系数法求一次函数解析式；平行四边形的性质
【解析】【解答】
（1）解：，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
故答案为：；
【分析】
（1）先根据平行四边形对边平行且相等的性质，得到点C的坐标，再结合点P是线段AC中点这个条件，就可以求出点P的坐标。
（2）得到点P和点B的坐标后，利用待定系数法，就可以求出一次函数的解析式.
（1）解：，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
故答案为：；
（2）解：设直线的解析式为，
则有，
，
直线的解析式为．
23．为了维护国家主权和海洋权力，海监部门对我国领海实行常态化巡航管理，如图，正在执行巡航任务的海监船以每小时30海里的速度向正东方航行，在处测得灯塔在北偏东60°方向上， 继续航行后到达处， 此时测得灯塔在北偏东30°方向上．
（1） 求的度数；
（2）已知在灯塔的周围15海里内有暗礁，问海监船继续向正东方向航行是否安全
【答案】解：（1）由题意得，∠CAB=30°，∠CBA=30°+90°=120°
∴∠ACB=180°-∠CBA-∠CAB=30°；
（2）由（1）可知∠ACB=∠CAB=30°，
∴AB=CB=30×=20（海里）， ∠CBD=60°，
过点C作CD⊥AB于点D，在Rt△CBD中，
10＞15
∴海监船继续向正东方向航行是安全的．
【知识点】三角形外角的概念及性质；等腰三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；方位角
【解析】【分析】（1）如图在△ABC中，由方位角的概念可得求出∠CAB=30°、∠CBA=120°，再利用三角形的内角和定理即可；
（2）如图，由等角对等边可得AB＝BC，再由路程公式可得BC的长，再过点C作CD⊥AB于D，由于∠CBA=120°，则由三角形外角的性质可得∠BCD=30°，则由直角三角形中30度角的性质可得BD等于BC的一半，再利用勾股定理可得CD的长，再与15进行比较即可．
24．跳绳是一种很好的运动方式，某校对八年级学生进行了1分钟跳绳次数的测试，所有学生的成绩绘制出频数分布表和频数直方图的一部分如下．
跳绳次数(x) 频数(人数) 频率
20 0.1
40 0.2
70 a
b c
10 0.05
请根据图表信息回答下列问题：
（1）在频数分布表中，a的值为______，b的值为______，c的值为______；
（2）将频数直方图补充完整；
（3）小健说“我的跳绳次数是此次测试所得数据的中位数”，小键的成绩在哪个范围内
（4）若跳绳次数在120次以上（含120次）属优良，求此次测试中成绩优良的人数占总人数的百分比．
【答案】（1），，
（2）解：根据（1）求出的数据，补全频数分布直方图如下：
（3）答： 中位数落在第3组内，
小健的成绩在的范围内；
（4）解： 此次测试中成绩优良的人数占总人数的百分比为．
【知识点】频数（率）分布表；频数（率）分布直方图；中位数
【解析】【解答】
（1）
抽取的总人数是：（人，
则，
，
（人，
故答案为：，，；
【分析】
（1）观察频数统计表，可根据跳绳次数在的频数和频率求出抽取的人数，再用70除以总人数求出，再用整体1减去其它视力段的频率求出，进而求出b即可；
（2）根据（1）求出的数据直接补图即可；
（3）中位数指把一组数据按照从小到大的顺序排列后，最中间的一个数据或最中间两个数据的平均值；
（4）用跳绳次数在120次以上（含120次）所占的比例乘以即可．
（1）抽取的总人数是：（人，
则，
，
（人，
故答案为：，，；
（2）根据（1）求出的数据，补全频数分布直方图如下：
（3）中位数落在第3组内，
小健的成绩在的范围内；
（4）此次测试中成绩优良的人数占总人数的百分比为．
25．如图，四边形为正方形，点E为线段上一点，连接，过点E作，交射线于点F，以为邻边作矩形，连接．
（1）求证：；
（2）若，，求的长度；
【答案】（1）证明：过点作于点，于点，
四边形是正方形，是对角线，
．
又，，
，四边形是正方形，
，
，
在和中，
，
．
；
（2）四边形是正方形，
，
．
，
，
四边形是矩形，，
矩形是正方形，
，
，
，
，
，
，
又，
在和中，
，
．
，
，
．
【知识点】勾股定理；矩形的性质；正方形的判定与性质；旋转全等模型；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】（1）由于正方形的一条对角线平分一组对角，则可过点E分别作CD、CB的垂线段EN、EM，则EN＝EM，由于四边形DEFG是矩形，则可利用旋转全等模型证明即可；
（2）由可知矩形是正方形，则可利用旋转全等模型证明，则AE＝CG，再利用勾股定理求出AC，再利用线段的和差关系即可．
（1）证明：过点作于点，于点，
四边形是正方形，是对角线，
．
又，，
，四边形是正方形，
，
，
在和中，
，
．
；
（2）四边形是正方形，
，
．
，
，
四边形是矩形，，
矩形是正方形，
，
，
，
，
，
，
又，
在和中，
，
．
，
，
．
26．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于，两点，点为直线上一点，直线过点．
（1）求m和b的值；
（2）直线与轴交于点，动点在线段上从点开始以每秒1个单位的速度向点运动．设点的运动时间为秒．
①若的面积为10，求的值；
②是否存在的值，使为等腰三角形？若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：把点代入直线中得：，
点，
直线过点，
∴，
解得：．
（2）解：①由题意得：，中，当时，，
，
，
中，当时，，
，
，
，
的面积为10，
，
，
则的值为7秒；
②设点，点、的坐标为：、，
当时，则点在的中垂线上，即，
解得：；
如图，当时，过点作轴于，则，
∵直线与轴，轴分别交于，两点，
∴当时，，即，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴点与点重合时，故，
解得：；
当时，由勾股定理得：，
∴，
∴
故：当秒或秒或秒时，为等腰三角形．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数图象与坐标轴交点问题；坐标系中的两点距离公式；一次函数图象上点的坐标特征；一次函数中的面积问题
【解析】【分析】（1）先利用直线上点的坐标特征可把点代入直线中得，同理再把点代入到直线求出b即可；
（2）①先利用直线上点的坐标特征可得点D的坐标，再由题意得，再利用三角形面积公式列关于t的方程即可；
②由题意知OD＝10，则OP＝10-t，即点P（10-t，0），此时再由等腰三角形的概念可分类讨论，即当、或、或三种情况，再利用两点距离公式列关于t的方程并求解即可．
（1）解：把点代入直线中得：，
点，
直线过点，
∴，
解得：．
（2）解：①由题意得：，
中，当时，，
，
，
中，当时，，
，
，
，
的面积为10，
，
，
则的值为7秒；
②设点，点、的坐标为：、，
当时，则点在的中垂线上，即，
解得：；
如图，当时，过点作轴于，则，
∵直线与轴，轴分别交于，两点，
∴当时，，即，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴点与点重合时，故，
解得：；
当时，由勾股定理得：，
∴，
∴
故：当秒或秒或秒时，为等腰三角形．
1 / 1湖南省邵阳市新邵县2024-2025学年八年级下学期6月期末数学试题
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．下列各点中，在第四象限的点是（　　）
A． B． C． D．
2．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
3．如图，是的角平分线，，则点D到的距离为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
4．直线y＝kx+2过点（﹣1，0），则k的值是（　　）
A．2 B．﹣2 C．﹣1 D．1
5．如图，的两条对角线相交于点O，添加下列条件仍不能判定是矩形的是（　　）
A． B． C． D．
6．已知点，若点B与点A关于原点成中心对称，则点B的坐标是（　　）
A． B． C． D．
7．数“20242025”中，数字“2”出现的频率是（　　）
A． B． C． D．
8．已知点、、在一次函数的图象上，则，，的大小关系是（　　）
A． B． C． D．
9．如图，一次函数和的图象相交于点，则不等式的解集是（　　）
A． B． C． D．
10．如图，在菱形ABCD中，∠BAD=80°，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，垂足为E，连接DF，则∠CDF等于（　　）
A．50° B．60° C．70° D．80°
二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分）
11．函数 中自变量x的取值范围是　 　．
12．如图，在中，平分，则　 　．
13．一个多边形的每一个外角都是，那么这个多边形的内角和为　 　．
14．如图，为的中位线，点F在上，且，若，，则的长为　 　．
15．如图，在平面直角坐标系中，原点为对角线的中点，轴，点的坐标为，，点的坐标为　 　．
16．把64个数据分成8组，从第1组到第4组的频数分别是6，9，12，14，第5组到第7组的频率和是0.25，那么第8组的频数是　 　．
17．如图，在一棵树的高的处有两只猴子，其中一只猴子爬下树走到离树处的池塘处，另一只猴子爬到树顶处后直扑向池塘处（假设其下落的轨迹为直线）．如果两只猴子所经过的路程相等，那么这棵树高　 　m．
18．如图，将正方形放在平面直角坐标系中，点D与坐标原点O重合，点A的坐标为，则点B的坐标为　 　．
三、解答题
19．已知点，解答下列各题：
（1）若点在轴上，求出点的坐标；
（2）若点的坐标为，且轴，求出点的坐标．
20．如图，在平面直角坐标系中，．
（1）在图中做出关于轴的对称图形．
（2）直接写出点关于轴的对称点的坐标______________．
（3）在轴上是否存在点，使由构成的的周长最小？若存在，标出点的位置；若不存在，说明理由．
21．如图，平分且平分，，点F在射线上，且．
（1）求证：；
（2）若，求的长度．
22．如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的顶点的坐标为的坐标为．
（1）请直接写出平行四边形的中心的坐标　 　.
（2）求出直线的解析式．
23．为了维护国家主权和海洋权力，海监部门对我国领海实行常态化巡航管理，如图，正在执行巡航任务的海监船以每小时30海里的速度向正东方航行，在处测得灯塔在北偏东60°方向上， 继续航行后到达处， 此时测得灯塔在北偏东30°方向上．
（1） 求的度数；
（2）已知在灯塔的周围15海里内有暗礁，问海监船继续向正东方向航行是否安全
24．跳绳是一种很好的运动方式，某校对八年级学生进行了1分钟跳绳次数的测试，所有学生的成绩绘制出频数分布表和频数直方图的一部分如下．
跳绳次数(x) 频数(人数) 频率
20 0.1
40 0.2
70 a
b c
10 0.05
请根据图表信息回答下列问题：
（1）在频数分布表中，a的值为______，b的值为______，c的值为______；
（2）将频数直方图补充完整；
（3）小健说“我的跳绳次数是此次测试所得数据的中位数”，小键的成绩在哪个范围内
（4）若跳绳次数在120次以上（含120次）属优良，求此次测试中成绩优良的人数占总人数的百分比．
25．如图，四边形为正方形，点E为线段上一点，连接，过点E作，交射线于点F，以为邻边作矩形，连接．
（1）求证：；
（2）若，，求的长度；
26．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于，两点，点为直线上一点，直线过点．
（1）求m和b的值；
（2）直线与轴交于点，动点在线段上从点开始以每秒1个单位的速度向点运动．设点的运动时间为秒．
①若的面积为10，求的值；
②是否存在的值，使为等腰三角形？若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：∵第四象限内点的横坐标为正数，纵坐标为负数，
∴在第四象限的点是，
故选：．
【分析】
第四象限内点的坐标的符号特征为．
2．【答案】C
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A．是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
B．是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
C．是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意；
D．不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不符合题意．
故选：C．
【分析】
如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．
3．【答案】B
【知识点】角平分线的性质；勾股定理
【解析】【解答】解：如图所示，过点D作于E，
在中，，由勾股定理得
，
∵是的角平分线，，，
∴，
∴D到的距离为3，
故选：B．
【分析】
由于角平分线上的点到角两边距离相等，可过点D作AB的垂线段DE，则DE＝DC，再利用勾股定理求出CD的长即可．
4．【答案】A
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：把（﹣1，0）代入直线y＝kx+2，
得：﹣k+2＝0
解得k＝2．
故选A．
【分析】
由直线上点的坐标特征可把（﹣1，0）代入直线解析式得关于k的一元一次方程并求解即可．
5．【答案】C
【知识点】等腰三角形的判定；平行四边形的性质；菱形的判定；矩形的判定
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
A、∵，
∴平行四边形是矩形，故选项A不符合题意；
B、∵，
∴平行四边形是矩形，故选项B不符合题意；
C、，
∴平行四边形是菱形，故选项C符合题意；
D、∵，
∴，
∵四边形ABCD是平行四边形，
，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴平行四边形是矩形，故选项D不符合题意；
故选：C．
【分析】
A、矩形的定义，即有一个角是直角的平行四边形是矩形，正确；
B、矩形的判定，即对角线相等的平行四边形是矩形，正确；
C、菱形的判定，即对角线互相垂直的平行四边形是菱形，错误；
D、由等角对等边可得OB＝OC，再由平行四边形的性质可得AC＝BD，即平行四边形是矩形．
6．【答案】D
【知识点】关于原点对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：由题意，点B的坐标是；
故选D．
【分析】
关于原点成中心对称的点的坐标特征是横、纵坐标都互为相反数．
7．【答案】B
【知识点】频数与频率
【解析】【解答】解：数“20242025”中，数字“2”出现的次数为4，
∴数“20242025”中，数字“2”出现的频率，
故选：B
【分析】本题考查了频数与频率，先数出数字”2“出现的次数(频数），再确定总数字个数（总数），用频率=频数÷总数”计算.
8．【答案】A
【知识点】比较一次函数值的大小；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：对于一次函数，
∵，
∴随的增大而减小，
∵，
故；
故选：A．
【分析】
先根据的符号确定函数随的增减变化趋势，再进一步计算求解即可.
9．【答案】A
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：把点代入得，
，
解得：，
，
不等式的解集为．
故选：A．
【分析】
先将点代入正比例函数解析式，计算得到点的具体坐标；再根据两个函数图象的位置关系，以两函数的交点为分界，结合函数图象就能直接得出不等式的解集.
10．【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质；菱形的性质；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】解：如图，连接BF，
在菱形ABCD中，∵∠BAD=80°，
∴∠BAC=∠BAD=×80°=40°，∠BCF=∠DCF，BC=CD，
∠ABC=180°﹣∠BAD=180°﹣80°=100°．
∵EF是线段AB的垂直平分线，
∴AF=BF，∠ABF=∠BAC=40°．
∴∠CBF=∠ABC﹣∠ABF=100°﹣40°=60°．
∵在△BCF和△DCF中，BC=CD，∠BCF=∠DCF，CF=CF，
∴△BCF≌△DCF（SAS）．
∴∠CDF=∠CBF=60°．
故选B．
【分析】
利用菱形的对角线平分对角及邻角互补求出相关线段，结合线段垂直平分线的性质得到等腰三角形，进而通过证明进而求出.
11．【答案】x≥2
【知识点】二次根式有无意义的条件；函数自变量的取值范围
【解析】【解答】解：依题意，得x﹣2≥0，
解得：x≥2，
故答案为：x≥2．
【分析】根据二次根式的性质，被开方数大于等于0，就可以求解．
12．【答案】
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；平行四边形的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
【分析】
由平行四边形的性质结合角平分线的概念可得，再利用三角形的内角和定理即可．
13．【答案】
【知识点】多边形内角与外角；多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：一个多边形的每一个外角都是，多边形的外角和等于，
这个多边形的边数为：，
这个多边形的内角和为：．
故答案为：．
【分析】
先结合任意多边形的外角和固定为360°，求出这个多边形的边数，再借助多边形内角和公式计算出它的内角和即可.
14．【答案】
【知识点】三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：为的中位线，且，
，
，
，
故答案为：．
【分析】
先由三角形中位线定理可得DE等于BC的一半即7，再利用直角三角形斜边上中线的性质可得DF等于AB的一半即3，再利用线段的和差关系即可．
15．【答案】
【知识点】平行四边形的性质；关于原点对称的点的坐标特征；沿着坐标轴方向平移的点的坐标特征
【解析】【解答】解：如图，连接，
∵四边形是平行四边形，点为对角线的中点，是对角线，
∴点为的中点，即与相交于点，
∴点为的对称中心，
∴点和点关于原点对称，
∵点的坐标为，
∴，
又∵，且轴，
即点向左平移个单位得到点，
∴点的坐标为．
故答案为：．
【分析】
由于平行四边形是中心对称图形，则由题意知B、D两点关于原点对称，即点D的坐标可得，又AD＝6且AD平行x轴．即点A可由点D沿水平方向向左平移6个单位长度得到，即纵坐标不变横坐标减6即可得点A的坐标.
16．【答案】7
【知识点】频数与频率
【解析】【解答】∵把容量是64的样本分成8组，从第1组到第4组的频数分别是6，9，12，14，第5组到第7组的频率是0.25，
∴第8组的频数是：64 6 9 12 14 64×0.25=7.
故答案为7.
【分析】
先利用频率与频数的关系可得第5组到第7组的频数和，再利用数据总个数分别减去前7组的频数即可．
17．【答案】
【知识点】风吹树折模型
【解析】【解答】解：设树高为，则，
∵，，
∴，
∵两只猴子所经过的路程相等，
∴，
∵，
∴，
即，
解得：，
∴这颗树高．
故答案为：．
【分析】
如图，设树高为，则CD＝10-x，再由题意可得AC＝40-x，再利用勾股定理可得到关于的方程并求解即可．
18．【答案】
【知识点】坐标与图形性质；正方形的性质；同侧一线三垂直全等模型；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：过A作x轴的垂线段AM，再过点B作AM的垂线段BN.
四边形是正方形
（）
；
故答案为：．
【分析】
由于四边形ABCO是正方形，则可过A作x轴的垂线段AM，再过点B作AM的垂线段BN，则可利用一线三垂直全等模型证明 ，再利用全等的性质结合坐标与图形性质可得NM＝5、NB＝3，即．
19．【答案】（1）解：∵点在轴上，
∴，
解得：，
∴，
∴点的坐标为；
（2）解：∵点的坐标为，且轴，
∴，
∴，
∴，
∴点的坐标为．
【知识点】点的坐标；坐标与图形性质
【解析】【分析】
（1）由于轴上所有点的纵坐标为，则可得关于a的一元一次方程并求解即可；
（2）由于平行于轴的直线上所有点的横坐标相同，则可得关于a的一元一次方程并求解即可．
（1）解：∵点在轴上，
∴，
解得：，
∴，
∴点的坐标为；
（2）解：∵点的坐标为，且轴，
∴，
∴，
∴，
∴点的坐标为．
20．【答案】（1）解：如图所示：，即为所求；
（2）；
（3）答： 存在，作点关于轴的对称点，连接交轴于，
点为所求点．
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征；坐标与图形变化﹣对称；将军饮马模型-一线两点（一动两定）
【解析】【解答】（2）解：由（1）知：坐标为，
∴关于轴的对称点的坐标为，
故答案为：；
【分析】
（1）先分别作A、B、C关于y轴的对称点A1、B1、C1，再顺次连接A1、B1、C1即可；
（2）关于y轴对称的点的坐标特征是纵坐标不变，横坐标互为相反数；
（3）由于A、B1都是定点，即AB1长是定值，则的周长的最小值转化为求PA+PB1的最小值，此时可利用将军饮马模型先作点B1关于x轴的对称点B`，再连接AB`交x轴于点P即可．
（1）解：如图所示：，即为所求；
（2）解：由（1）知：坐标为，
∴关于轴的对称点的坐标为，
故答案为：；
（3）存在，作点关于轴的对称点，连接交轴于，
点为所求点．
21．【答案】（1）证明：∵平分且平分，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）解：∵，平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【知识点】三角形外角的概念及性质；直角三角形全等的判定-HL；等腰三角形的判定与性质；三角形全等的判定-ASA；多边形的内角和公式
【解析】【分析】
（1）由角平分线的定义结合证明，则，，再利用HL证明即可；
（2）先由四边形的内角和可得，再由邻补角可得，再由全等的性质可得，再由直角三角形两锐角互余可得 ，再由角平分线的概念结合三角形外角的性质可得，再由等角对等边可得DE＝CE、AD＝AE，最后再利用勾股定理求出DE即可．
（1）证明：∵平分且平分，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）解：∵，平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
22．【答案】（1）
（2）解：设直线的解析式为，
则有，
，
直线的解析式为．

【知识点】待定系数法求一次函数解析式；平行四边形的性质
【解析】【解答】
（1）解：，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
故答案为：；
【分析】
（1）先根据平行四边形对边平行且相等的性质，得到点C的坐标，再结合点P是线段AC中点这个条件，就可以求出点P的坐标。
（2）得到点P和点B的坐标后，利用待定系数法，就可以求出一次函数的解析式.
（1）解：，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
故答案为：；
（2）解：设直线的解析式为，
则有，
，
直线的解析式为．
23．【答案】解：（1）由题意得，∠CAB=30°，∠CBA=30°+90°=120°
∴∠ACB=180°-∠CBA-∠CAB=30°；
（2）由（1）可知∠ACB=∠CAB=30°，
∴AB=CB=30×=20（海里）， ∠CBD=60°，
过点C作CD⊥AB于点D，在Rt△CBD中，
10＞15
∴海监船继续向正东方向航行是安全的．
【知识点】三角形外角的概念及性质；等腰三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；方位角
【解析】【分析】（1）如图在△ABC中，由方位角的概念可得求出∠CAB=30°、∠CBA=120°，再利用三角形的内角和定理即可；
（2）如图，由等角对等边可得AB＝BC，再由路程公式可得BC的长，再过点C作CD⊥AB于D，由于∠CBA=120°，则由三角形外角的性质可得∠BCD=30°，则由直角三角形中30度角的性质可得BD等于BC的一半，再利用勾股定理可得CD的长，再与15进行比较即可．
24．【答案】（1），，
（2）解：根据（1）求出的数据，补全频数分布直方图如下：
（3）答： 中位数落在第3组内，
小健的成绩在的范围内；
（4）解： 此次测试中成绩优良的人数占总人数的百分比为．
【知识点】频数（率）分布表；频数（率）分布直方图；中位数
【解析】【解答】
（1）
抽取的总人数是：（人，
则，
，
（人，
故答案为：，，；
【分析】
（1）观察频数统计表，可根据跳绳次数在的频数和频率求出抽取的人数，再用70除以总人数求出，再用整体1减去其它视力段的频率求出，进而求出b即可；
（2）根据（1）求出的数据直接补图即可；
（3）中位数指把一组数据按照从小到大的顺序排列后，最中间的一个数据或最中间两个数据的平均值；
（4）用跳绳次数在120次以上（含120次）所占的比例乘以即可．
（1）抽取的总人数是：（人，
则，
，
（人，
故答案为：，，；
（2）根据（1）求出的数据，补全频数分布直方图如下：
（3）中位数落在第3组内，
小健的成绩在的范围内；
（4）此次测试中成绩优良的人数占总人数的百分比为．
25．【答案】（1）证明：过点作于点，于点，
四边形是正方形，是对角线，
．
又，，
，四边形是正方形，
，
，
在和中，
，
．
；
（2）四边形是正方形，
，
．
，
，
四边形是矩形，，
矩形是正方形，
，
，
，
，
，
，
又，
在和中，
，
．
，
，
．
【知识点】勾股定理；矩形的性质；正方形的判定与性质；旋转全等模型；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】（1）由于正方形的一条对角线平分一组对角，则可过点E分别作CD、CB的垂线段EN、EM，则EN＝EM，由于四边形DEFG是矩形，则可利用旋转全等模型证明即可；
（2）由可知矩形是正方形，则可利用旋转全等模型证明，则AE＝CG，再利用勾股定理求出AC，再利用线段的和差关系即可．
（1）证明：过点作于点，于点，
四边形是正方形，是对角线，
．
又，，
，四边形是正方形，
，
，
在和中，
，
．
；
（2）四边形是正方形，
，
．
，
，
四边形是矩形，，
矩形是正方形，
，
，
，
，
，
，
又，
在和中，
，
．
，
，
．
26．【答案】（1）解：把点代入直线中得：，
点，
直线过点，
∴，
解得：．
（2）解：①由题意得：，中，当时，，
，
，
中，当时，，
，
，
，
的面积为10，
，
，
则的值为7秒；
②设点，点、的坐标为：、，
当时，则点在的中垂线上，即，
解得：；
如图，当时，过点作轴于，则，
∵直线与轴，轴分别交于，两点，
∴当时，，即，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴点与点重合时，故，
解得：；
当时，由勾股定理得：，
∴，
∴
故：当秒或秒或秒时，为等腰三角形．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数图象与坐标轴交点问题；坐标系中的两点距离公式；一次函数图象上点的坐标特征；一次函数中的面积问题
【解析】【分析】（1）先利用直线上点的坐标特征可把点代入直线中得，同理再把点代入到直线求出b即可；
（2）①先利用直线上点的坐标特征可得点D的坐标，再由题意得，再利用三角形面积公式列关于t的方程即可；
②由题意知OD＝10，则OP＝10-t，即点P（10-t，0），此时再由等腰三角形的概念可分类讨论，即当、或、或三种情况，再利用两点距离公式列关于t的方程并求解即可．
（1）解：把点代入直线中得：，
点，
直线过点，
∴，
解得：．
（2）解：①由题意得：，
中，当时，，
，
，
中，当时，，
，
，
，
的面积为10，
，
，
则的值为7秒；
②设点，点、的坐标为：、，
当时，则点在的中垂线上，即，
解得：；
如图，当时，过点作轴于，则，
∵直线与轴，轴分别交于，两点，
∴当时，，即，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴点与点重合时，故，
解得：；
当时，由勾股定理得：，
∴，
∴
故：当秒或秒或秒时，为等腰三角形．
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