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陕西省西安市西光中学2024-2025学年七年级下学期6月期末数学试题
一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分）
1．已知一根头发的直径约为，数值用科学记数法可表示为（　　）
A． B． C． D．
2．下列事件中，属于必然事件的是（　　）
A．内错角相等
B．成语“水中捞月”所描述的事件
C．三角形内角和为
D．三角形三条高交于一点
3．下列运算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
4．如图，将长方形直尺的一个顶点与三角尺的直角顶点重合放置，测得，则∠1的度数为（　　）
A． B． C． D．
5．若的计算结果中不含x的一次项，则a的值是　　
A． B． C．2 D．
6．如图，书架两侧摆放了若干本相同的书籍，左右两摞书中竖直放入一个等腰直角三角板，其直角顶点C在书架底部上，当顶点A落在右侧书籍的上方边沿时，顶点 B 恰好落在左侧书籍的上方边沿．已知每本书长，厚度为，则两摞书之间的距离为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，是的角平分线，，垂足为的面积为，则的长为（　　）
A．7 B．6 C．5 D．4
8．某体积为的圆柱形材质拉丝后，高随底面积的变化关系如下表所示，则以下说法正确的有（　　）个
底面积
高
①所代表的值为； ②自变量是，因变量是；
③变量，的关系式为； ④若，则．
A．0 B．2 C．3 D．4
二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分）
9．如果一个角的补角是它的余角的3倍，那么这个角的度数是　 　．
10．如图把一张纸折起来，用铅笔在上面扎个洞，图1是折起来扎洞的情景，图2是4张展开的纸，其中有一张与图1展开后完全一样，其编号是　 　．
11．如图，小明在纸上画了一个三角形，不料被墨水污染了一部分，小刚可以画出一个与小明画的一样的（全等的）三角形，则这两个三角形全等的判定依据是　 　．
12．柳州市某校的生物兴趣小组在老师的指导下进行了多项有意义的生物研究并取得成果.下面是这个兴趣小组在相同的实验条件下，对某植物种子发芽率进行研究时所得到的数据：
种子数n 30 75 130 210 480 856 1250 2300
发芽数m 28 72 125 200 457 814 1187 2185
发芽频率 0.9333 0.9600 0.9615 0.9524 0.9521 0.9509 0.9496 0.9500
依据上面的数据可以估计，这种植物种子在该实验条件下发芽的概率约是　 　(结果精确到0.01).
13．如图，将长方形纸片沿折叠，使点落在点处，交于点，若，，则的长为　 　．
三、解答题（共12小题，共81分）
14．计算．
（1）
（2）．
15．先化简，再求值：，其中．
16．如图，在中，．尺规作图：在上求作一点D，使得（保留作图痕迹，不写作法）
17．如图，已知直线a，b被直线c所截，且，直线吗？说明理由．
18．如图，已知是的中线，，，那么和的周长之差是多少？
19．如图，现有一个均匀的转盘被平均分成六等份，分别标有、、、、、这六个数字，转动转盘，当转盘停止时，指针指向的数字即为转出的数字（当指针恰好指在分界线上时不计次数，然后重转）
（1）转动转盘，转出的数字小于的概率是________；
（2）随机转动转盘，转盘停止后记下转出的数字，并与数字和分别作为三条线段的长度，求这三条线段能构成三角形的概率．
20．为了测量一条两岸平行的河流的宽度，数学研究小组设计了如下方案，他们在河南岸的点A处测得河北岸的树H恰好在A的正北方向，测量方案如下表，测量示意图如下图：
课题 测量河流宽度
工具 测量角度的仪器，标杆，皮尺等
测量方案 从A点向东走到B点并插上一面标杆，继续向东走相同的路程到达C点，再向南走到达D点，恰好使得树、标杆、人在同一直线上．
小明认为只要测得就能得到河宽，你认为上述方案可行吗？如果可行，请给出证明，并求出河宽；如果不可行，请说明理由．
21．如图，，交于点F，点C在线段上，且，，，连接，．
（1）求证：；
（2）若，，求的度数．
22．“珍重生命，注意安全!”同学们在上下学途中一定要注意骑车安全．小明家、新华书店、学校在一条笔直的公路旁，某天小明骑车上学，当他骑了一段后，想起要买某本书， 于是又折回到刚经过的新华书店，买到书后继续骑车去学校，他本次骑车上学的过程中离家距离与所用的时间的关系如图所示，请根据图象提供的信息回答下列问题：
（1）小明家到学校的距离是__ _米；
（2）小明在书店停留了 分钟；
（3）本次上学途中，小明一共骑行了 米；
（4）我们认为骑车的速度超过了米/分就超越了安全限度，小明买到书后继续骑车到学校的这段时间的骑车速度在安全限度内吗？请说明理由，
23．勾股定理是几何学中的明珠，它充满魅力，在现实世界中有着广泛的应用．请尝试应用勾股定理解决下列问题：一架2.5m长的梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上，这时BO为0.7m．如果梯子的顶端A沿墙下滑0.4m，那么梯子底端B在水平方向上滑动了多少米？
24．如图，在中，边的垂直平分线交边于点D，交边于点E，连接．
（1）若，的周长为48，求的长；
（2）若，，求的度数．
25．（1）唐朝诗人李顾的诗古从军行开头两句：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题：如图所示，诗中大意是将军从山脚下的点出发，带着马走到河边点饮水后，再回到点宿营，请问将军怎样走才能使总路程最短？请你通过画图，在图中找出点，使的值最小，不说明理由；
（2）实践应用，如图，点为内一点，请在射线、上分别找到两点、，使的周长最小，不说明理由；
（3）实践应用：如图，在中，，，，，平分，、分别是、边上的动点，求的最小值．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：=．
故答案为：B．
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．对于绝对值小于1的数，n是正整数，n的绝对值等于原数左边起第一个不为0的数字前面的0的个数（包括小数点前面的那个0）.
2．【答案】C
【知识点】事件的分类
【解析】【解答】解：A、内错角有可能相等，也有可能不相等，故为随机事件，故不符合题意；
B、成语“水中捞月”所描述的事件，为不可能事件，故不符合题意；
C、在一个三角形中，三角形内角和一定为，故为必然事件，故符合题意；
D、三角形三条高所在的直线交于一点，为随机事件，故不符合题意．
故选：C．
【分析】
依据"必然事件是一定会发生的事件"这一定义，逐个分析选项就可以得到结果.
3．【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；负整数指数幂；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，原式计算错误，不符合题意；
B、，原式计算错误，不符合题意；
C、，原式计算正确，符合题意；
D、，原式计算错误，不符合题意；
故选：C．
【分析】
根据同底数幂的乘除运算、积的乘方运算以及负整数指数幂的相关计算.
4．【答案】B
【知识点】两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：如图，先标注字母，
∵，，
∵，
∴；
故选B．
【分析】
根据“两直线平行，同位角相等”，可得又因为三角板的直角顶点落在直线a上，由此计算可得.
5．【答案】C
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：
由题意得，，
解得，，
故选C．
【分析】
先把a当作常数再利用多项式与多项式相乘的法则展开，再由题意知一次项系数为0可得关于a的一元一次方程并求解即可．
6．【答案】A
【知识点】等腰直角三角形；三角形全等的判定-AAS；同侧一线三垂直全等模型
【解析】【解答】解：∵为等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵每本书长，厚度为，
∴，
∴．
故选：A．
【分析】根据等腰直角三角形的性质得出，，根据等角的余角相等得出，根据两角及其一角的对边对应相等的两个三角形全等可证明，根据全等三角形的对应边相等得出，即可求解.
7．【答案】C
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【解答】解：作于，
是的角平分线，，
故选：C．
【分析】
过点作，交于点，结合角平分线的性质即可得到，最后代入三角形的面积公式计算即可得到结果.
8．【答案】D
【知识点】函数的概念；函数解析式；函数值
【解析】【解答】解：①底面积对应的高为．由体积公式，得，故①正确．
②“高随底面积变化”，因此自变量是，因变量是．②错误．
③根据圆柱体积公式，变形得，与③一致，故③正确．
④当时，，而非，故④错误．
综上，正确的有①和③，共2个，
故选：B．
【分析】
① 由圆柱的体积公式知，即；
② 由函数的定义知，h是关于S的函数，即h是因变量、S是自变量；
③ 由圆柱体积公式知，；
④ 由函数图象上点的坐标特征知当时，．
9．【答案】
【知识点】一元一次方程的实际应用-几何问题；余角；补角
【解析】【解答】设这个角的度数为x，
根据题意得，，
解得．
故答案为：．
【分析】
先设这个角的度数为x，再根据题目给出的“这个角的补角是它余角的3倍”这一等量关系列出方程，求解就能得到这个角的度数.
10．【答案】（4）
【知识点】翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：折痕为对称轴，两个穿孔关于折痕对称，只有（4）符合．
故答案为：（4）．
【分析】
由于翻折实质是轴对称，即两圆孔关于折痕对称，故正确答案为（4）．
11．【答案】
【知识点】三角形全等的判定-ASA；尺规作图-作三角形
【解析】【解答】解：已知：线段和，，求作：，使，，．
作法：（1）作；
（2）在射线上截取线段；
（3）以为顶点，以为一边作，交于点，
就是所求的三角形．
由作图可知：，，，
∴
故答案为：．
【分析】
先画出小刚所作的三角形，再结合全等三角形的角边角判定定理，即可作出符合要求的.
12．【答案】0.95
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：概率是大量重复试验的情况下，频率的稳定值可以作为概率的估计值，即次数越多的频率越接近于概率
∴这种种子在此条件下发芽的概率约为0.95。
故答案为：0.95。
【分析】通过观察即可发现种子发芽的频率接近0.95，利用频率估计概率即可得出这种种子在此条件下发芽的概率。
13．【答案】或
【知识点】勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】
首先可以证明，由此可推出。设，那么，在中，根据勾股定理可得关系式，最后代入已知的边长数据就能计算出待求结果。
14．【答案】（1）解：
；
（2）解：
．
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；整数指数幂的运算
【解析】【分析】（1）实数的混合运算，先计算乘方，即分别进行负整数指数幂、0指数幂的运算法则和积的乘方逆运算，最后再进行加减运算即可；
（2）整式的运算，先计算积的乘方，再计算同底数幂的乘除运算即可．
（1）
；
（2）
．
15．【答案】解：
，
当时，原式．
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】整式的化简求值，先计算括号内，即利用完全平方公式和平方差公式展开并合并同类项，再利用多项式除以单项式的计算法则化简，最后再代值计算即可．
16．【答案】解：如图，点D即为所求作：
【知识点】尺规作图-作一个角等于已知角；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：如图，点D即为所求作：
由作图可知，
∴．
【分析】
由于直角三角形两锐角互余，即可以C为顶点作交AB于点D即可．
17．【答案】解：直线，理由如下：
∵，，
∴，
∴直线．
【知识点】对顶角及其性质；同旁内角互补，两直线平行
【解析】【分析】由对顶角相等可得，再等量代换可得，再利用平行线的判定即可．
18．【答案】解：∵是的中线，
∴，
∵周长，周长，
∴周长周长
，
即和的周长之差是．
【知识点】三角形的中线
【解析】【分析】由三角形中线的概念可得AD＝BD，又CD是公共边，则和的周长的差等于AC与BC的差．
19．【答案】（1）
（2）解： 能与，组成三角形的数字有，，，
这三条线段能构成三角形的概率，
故答案为：．

【知识点】三角形三边关系；概率公式
【解析】【解答】
（1）解：转动转盘，转出的数字小于的有，，
数字小于的概率是，
故答案为：；
【分析】
（1）转盘被平均分成4份，对应的数字分别是2、3、4、5，转出数字小于的情况只有转出、，一共种符合要求的结果，结合概率计算公式即可得到该事件的概率；
（2）若已经有两条边长为和，根据三角形三边关系，能和这两条边构成三角形的转出数字为、、，一共有种符合要求的结果，同样利用概率公式计算即可得到对应概率.
（1）解：转动转盘，转出的数字小于的有，，
数字小于的概率是，
故答案为：；
（2）能与，组成三角形的数字有，，，
这三条线段能构成三角形的概率，
故答案为：．
20．【答案】解：上述方案可行．证明：由题意，，，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴．
故上述方案可行，且河宽为．
【知识点】全等三角形的实际应用；三角形全等的判定-ASA；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】全等三角形的应用，由测量方案可利用ASA证明，再利用全等三角形的对应边相等即可．
21．【答案】（1）证明：，
，
在和中，
，
，
；
（2）解：，
，，
，
，
，
，
，
．

【知识点】三角形外角的概念及性质；等腰三角形的性质；三角形全等的判定-SAS；两直线平行，内错角相等
【解析】【分析】
（1）由，根据平行线的内错角相等性质，可以推出，结合已知边相等的条件，即可证明，最终得到待证的结论；
（2）根据全等三角形对应边、对应角相等的性质，可得，；再根据三角形外角的性质，可得，最后结合等腰三角形等边对等角的性质，即可计算出的度数.
（1）证明：，
，
在和中，
，
，
；
（2）解：，
，，
，
，
，
，
，
．
22．【答案】（1）1500；
（2）4；
（3）2700；
（4）解：由图象可知：12～14分钟时，平均速度为：米/分，∵450＞300，
∴12～14分钟时速度最快，不在安全限度内．
【知识点】有理数混合运算的实际应用；通过函数图象获取信息
【解析】【解答】（1）根据图象，学校的纵坐标为1500，小明家的纵坐标为0，
故小明家到学校的路程是1500米；
故答案为：1500；
（2）根据题意，小明在书店停留的时间为从8～12分钟，
故小明在书店停留了4分钟．
故答案为：4；
（3）一共行驶的总路程=1200+(1200-600)+(1500-600)
=1200+600+900=2700米；
故答案为：2700；
【分析】从函数图象获取信息；
（1）观察图象知，学校距小明家1500米；
（2）观察图象知，从第8分钟到第12分钟，距离未发生变化，即小明在书店停留了4分钟；
（3）观察图象知，小明先走了1200米，又返回600米到达书店，最后再从书店出发行走了900米到达学校，即共走了2700米；
（4）观察图象知，小明从书店到学校用时2分钟，行驶了900米，即每分钟行驶450米，严重超出安全行车速度．
23．【答案】解：∵中，，，
∴，
同理，中，
∵，，
∴，
∴．
答：梯子底端B在水平方向上滑动了0.8米．
【知识点】勾股定理的实际应用-梯子滑动问题
【解析】【分析】勾肌定理的实际应用，先利用勾股定理可得OA＝2.4，再由题意知OC＝2，再利用勾股定理可得OD＝1.5，最后再利用线段的和差关系可得BD＝0.8即可．
24．【答案】（1）解：∵垂直平分，
∴，，
又∵，
∴，
又∵的周长为48，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
又∵垂直平分，
∴，
∴，
，
，，
∴，
∴

【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；直角三角形的两锐角互余
【解析】【分析】（1）根据垂直平分线性质可得，，再根据三角形周长，结合边之间的关系即可求出答案.
（2）根据直角三角形两锐角互余可得∠C，根据等边对等角可得，，根据角之间的关系可得∠ABC，再根据三角形内角和定理即可求出答案.
（1）解：∵垂直平分，
∴，，
又∵，
∴，
又∵的周长为48，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
又∵垂直平分，
∴，
∴，
，
，，
∴，
∴
25．【答案】解：（1）如图，作点关于直线小河的对称点，连接，交于，则最小；
理由：根据作法得：，
∴，
∴当点共线时，最小；
（2）如图，分别作点关于，的对称点和，连接交于，于，连接，，，则的周长最小；
理由：根据作法得：，，
∴，
∴当点共线时，的周长最小；
（3）如图所示，在AB上截取AE＝AN，连接ME，再过点C作AB的垂线段CF.
平分，
，
在和中，
，
，
，
，
，
∴当E、F重合时，CM+MN最小，最小值为CF，
∵，，，，
∴，
即，
解得：，
∴的最小值为．
【知识点】垂线段最短及其应用；翻折全等-公共边模型；截长补短构造全等模型；将军饮马模型-两线一点（两动一定）；将军饮马模型-一线两点（一动两定）；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】（1）将军饮马模型，先作点B关于直线小河的对称点B`，连接AB`交于P，则最小；
（2）同上，分别作点P关于OM、ON的对称点P`` 和P`，连接P`P``交OM于A，ON于B，再连接PA、PB、AB，则的周长转化为线段 P`P`` 的长，由两点之间线段最短可得此时周长最小；
（3）如图，在AB上截取AE＝AN，连接ME，由翻折全等模型可得ME＝MN，即CM+MN转化为CM+ME，由两点之间线段最短知，再过点C作AB的垂线段CF，则由垂线段最短知，所以当E、F重合时CM+ME有最小值，即CM+MN有最小值，最小值等于CF的长，再利用等面积法求出CF的长即可.
1 / 1陕西省西安市西光中学2024-2025学年七年级下学期6月期末数学试题
一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分）
1．已知一根头发的直径约为，数值用科学记数法可表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：=．
故答案为：B．
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．对于绝对值小于1的数，n是正整数，n的绝对值等于原数左边起第一个不为0的数字前面的0的个数（包括小数点前面的那个0）.
2．下列事件中，属于必然事件的是（　　）
A．内错角相等
B．成语“水中捞月”所描述的事件
C．三角形内角和为
D．三角形三条高交于一点
【答案】C
【知识点】事件的分类
【解析】【解答】解：A、内错角有可能相等，也有可能不相等，故为随机事件，故不符合题意；
B、成语“水中捞月”所描述的事件，为不可能事件，故不符合题意；
C、在一个三角形中，三角形内角和一定为，故为必然事件，故符合题意；
D、三角形三条高所在的直线交于一点，为随机事件，故不符合题意．
故选：C．
【分析】
依据"必然事件是一定会发生的事件"这一定义，逐个分析选项就可以得到结果.
3．下列运算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；负整数指数幂；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，原式计算错误，不符合题意；
B、，原式计算错误，不符合题意；
C、，原式计算正确，符合题意；
D、，原式计算错误，不符合题意；
故选：C．
【分析】
根据同底数幂的乘除运算、积的乘方运算以及负整数指数幂的相关计算.
4．如图，将长方形直尺的一个顶点与三角尺的直角顶点重合放置，测得，则∠1的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：如图，先标注字母，
∵，，
∵，
∴；
故选B．
【分析】
根据“两直线平行，同位角相等”，可得又因为三角板的直角顶点落在直线a上，由此计算可得.
5．若的计算结果中不含x的一次项，则a的值是　　
A． B． C．2 D．
【答案】C
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：
由题意得，，
解得，，
故选C．
【分析】
先把a当作常数再利用多项式与多项式相乘的法则展开，再由题意知一次项系数为0可得关于a的一元一次方程并求解即可．
6．如图，书架两侧摆放了若干本相同的书籍，左右两摞书中竖直放入一个等腰直角三角板，其直角顶点C在书架底部上，当顶点A落在右侧书籍的上方边沿时，顶点 B 恰好落在左侧书籍的上方边沿．已知每本书长，厚度为，则两摞书之间的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】等腰直角三角形；三角形全等的判定-AAS；同侧一线三垂直全等模型
【解析】【解答】解：∵为等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵每本书长，厚度为，
∴，
∴．
故选：A．
【分析】根据等腰直角三角形的性质得出，，根据等角的余角相等得出，根据两角及其一角的对边对应相等的两个三角形全等可证明，根据全等三角形的对应边相等得出，即可求解.
7．如图，是的角平分线，，垂足为的面积为，则的长为（　　）
A．7 B．6 C．5 D．4
【答案】C
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【解答】解：作于，
是的角平分线，，
故选：C．
【分析】
过点作，交于点，结合角平分线的性质即可得到，最后代入三角形的面积公式计算即可得到结果.
8．某体积为的圆柱形材质拉丝后，高随底面积的变化关系如下表所示，则以下说法正确的有（　　）个
底面积
高
①所代表的值为； ②自变量是，因变量是；
③变量，的关系式为； ④若，则．
A．0 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【知识点】函数的概念；函数解析式；函数值
【解析】【解答】解：①底面积对应的高为．由体积公式，得，故①正确．
②“高随底面积变化”，因此自变量是，因变量是．②错误．
③根据圆柱体积公式，变形得，与③一致，故③正确．
④当时，，而非，故④错误．
综上，正确的有①和③，共2个，
故选：B．
【分析】
① 由圆柱的体积公式知，即；
② 由函数的定义知，h是关于S的函数，即h是因变量、S是自变量；
③ 由圆柱体积公式知，；
④ 由函数图象上点的坐标特征知当时，．
二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分）
9．如果一个角的补角是它的余角的3倍，那么这个角的度数是　 　．
【答案】
【知识点】一元一次方程的实际应用-几何问题；余角；补角
【解析】【解答】设这个角的度数为x，
根据题意得，，
解得．
故答案为：．
【分析】
先设这个角的度数为x，再根据题目给出的“这个角的补角是它余角的3倍”这一等量关系列出方程，求解就能得到这个角的度数.
10．如图把一张纸折起来，用铅笔在上面扎个洞，图1是折起来扎洞的情景，图2是4张展开的纸，其中有一张与图1展开后完全一样，其编号是　 　．
【答案】（4）
【知识点】翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：折痕为对称轴，两个穿孔关于折痕对称，只有（4）符合．
故答案为：（4）．
【分析】
由于翻折实质是轴对称，即两圆孔关于折痕对称，故正确答案为（4）．
11．如图，小明在纸上画了一个三角形，不料被墨水污染了一部分，小刚可以画出一个与小明画的一样的（全等的）三角形，则这两个三角形全等的判定依据是　 　．
【答案】
【知识点】三角形全等的判定-ASA；尺规作图-作三角形
【解析】【解答】解：已知：线段和，，求作：，使，，．
作法：（1）作；
（2）在射线上截取线段；
（3）以为顶点，以为一边作，交于点，
就是所求的三角形．
由作图可知：，，，
∴
故答案为：．
【分析】
先画出小刚所作的三角形，再结合全等三角形的角边角判定定理，即可作出符合要求的.
12．柳州市某校的生物兴趣小组在老师的指导下进行了多项有意义的生物研究并取得成果.下面是这个兴趣小组在相同的实验条件下，对某植物种子发芽率进行研究时所得到的数据：
种子数n 30 75 130 210 480 856 1250 2300
发芽数m 28 72 125 200 457 814 1187 2185
发芽频率 0.9333 0.9600 0.9615 0.9524 0.9521 0.9509 0.9496 0.9500
依据上面的数据可以估计，这种植物种子在该实验条件下发芽的概率约是　 　(结果精确到0.01).
【答案】0.95
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：概率是大量重复试验的情况下，频率的稳定值可以作为概率的估计值，即次数越多的频率越接近于概率
∴这种种子在此条件下发芽的概率约为0.95。
故答案为：0.95。
【分析】通过观察即可发现种子发芽的频率接近0.95，利用频率估计概率即可得出这种种子在此条件下发芽的概率。
13．如图，将长方形纸片沿折叠，使点落在点处，交于点，若，，则的长为　 　．
【答案】或
【知识点】勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】
首先可以证明，由此可推出。设，那么，在中，根据勾股定理可得关系式，最后代入已知的边长数据就能计算出待求结果。
三、解答题（共12小题，共81分）
14．计算．
（1）
（2）．
【答案】（1）解：
；
（2）解：
．
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；整数指数幂的运算
【解析】【分析】（1）实数的混合运算，先计算乘方，即分别进行负整数指数幂、0指数幂的运算法则和积的乘方逆运算，最后再进行加减运算即可；
（2）整式的运算，先计算积的乘方，再计算同底数幂的乘除运算即可．
（1）
；
（2）
．
15．先化简，再求值：，其中．
【答案】解：
，
当时，原式．
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】整式的化简求值，先计算括号内，即利用完全平方公式和平方差公式展开并合并同类项，再利用多项式除以单项式的计算法则化简，最后再代值计算即可．
16．如图，在中，．尺规作图：在上求作一点D，使得（保留作图痕迹，不写作法）
【答案】解：如图，点D即为所求作：
【知识点】尺规作图-作一个角等于已知角；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：如图，点D即为所求作：
由作图可知，
∴．
【分析】
由于直角三角形两锐角互余，即可以C为顶点作交AB于点D即可．
17．如图，已知直线a，b被直线c所截，且，直线吗？说明理由．
【答案】解：直线，理由如下：
∵，，
∴，
∴直线．
【知识点】对顶角及其性质；同旁内角互补，两直线平行
【解析】【分析】由对顶角相等可得，再等量代换可得，再利用平行线的判定即可．
18．如图，已知是的中线，，，那么和的周长之差是多少？
【答案】解：∵是的中线，
∴，
∵周长，周长，
∴周长周长
，
即和的周长之差是．
【知识点】三角形的中线
【解析】【分析】由三角形中线的概念可得AD＝BD，又CD是公共边，则和的周长的差等于AC与BC的差．
19．如图，现有一个均匀的转盘被平均分成六等份，分别标有、、、、、这六个数字，转动转盘，当转盘停止时，指针指向的数字即为转出的数字（当指针恰好指在分界线上时不计次数，然后重转）
（1）转动转盘，转出的数字小于的概率是________；
（2）随机转动转盘，转盘停止后记下转出的数字，并与数字和分别作为三条线段的长度，求这三条线段能构成三角形的概率．
【答案】（1）
（2）解： 能与，组成三角形的数字有，，，
这三条线段能构成三角形的概率，
故答案为：．

【知识点】三角形三边关系；概率公式
【解析】【解答】
（1）解：转动转盘，转出的数字小于的有，，
数字小于的概率是，
故答案为：；
【分析】
（1）转盘被平均分成4份，对应的数字分别是2、3、4、5，转出数字小于的情况只有转出、，一共种符合要求的结果，结合概率计算公式即可得到该事件的概率；
（2）若已经有两条边长为和，根据三角形三边关系，能和这两条边构成三角形的转出数字为、、，一共有种符合要求的结果，同样利用概率公式计算即可得到对应概率.
（1）解：转动转盘，转出的数字小于的有，，
数字小于的概率是，
故答案为：；
（2）能与，组成三角形的数字有，，，
这三条线段能构成三角形的概率，
故答案为：．
20．为了测量一条两岸平行的河流的宽度，数学研究小组设计了如下方案，他们在河南岸的点A处测得河北岸的树H恰好在A的正北方向，测量方案如下表，测量示意图如下图：
课题 测量河流宽度
工具 测量角度的仪器，标杆，皮尺等
测量方案 从A点向东走到B点并插上一面标杆，继续向东走相同的路程到达C点，再向南走到达D点，恰好使得树、标杆、人在同一直线上．
小明认为只要测得就能得到河宽，你认为上述方案可行吗？如果可行，请给出证明，并求出河宽；如果不可行，请说明理由．
【答案】解：上述方案可行．证明：由题意，，，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴．
故上述方案可行，且河宽为．
【知识点】全等三角形的实际应用；三角形全等的判定-ASA；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】全等三角形的应用，由测量方案可利用ASA证明，再利用全等三角形的对应边相等即可．
21．如图，，交于点F，点C在线段上，且，，，连接，．
（1）求证：；
（2）若，，求的度数．
【答案】（1）证明：，
，
在和中，
，
，
；
（2）解：，
，，
，
，
，
，
，
．

【知识点】三角形外角的概念及性质；等腰三角形的性质；三角形全等的判定-SAS；两直线平行，内错角相等
【解析】【分析】
（1）由，根据平行线的内错角相等性质，可以推出，结合已知边相等的条件，即可证明，最终得到待证的结论；
（2）根据全等三角形对应边、对应角相等的性质，可得，；再根据三角形外角的性质，可得，最后结合等腰三角形等边对等角的性质，即可计算出的度数.
（1）证明：，
，
在和中，
，
，
；
（2）解：，
，，
，
，
，
，
，
．
22．“珍重生命，注意安全!”同学们在上下学途中一定要注意骑车安全．小明家、新华书店、学校在一条笔直的公路旁，某天小明骑车上学，当他骑了一段后，想起要买某本书， 于是又折回到刚经过的新华书店，买到书后继续骑车去学校，他本次骑车上学的过程中离家距离与所用的时间的关系如图所示，请根据图象提供的信息回答下列问题：
（1）小明家到学校的距离是__ _米；
（2）小明在书店停留了 分钟；
（3）本次上学途中，小明一共骑行了 米；
（4）我们认为骑车的速度超过了米/分就超越了安全限度，小明买到书后继续骑车到学校的这段时间的骑车速度在安全限度内吗？请说明理由，
【答案】（1）1500；
（2）4；
（3）2700；
（4）解：由图象可知：12～14分钟时，平均速度为：米/分，∵450＞300，
∴12～14分钟时速度最快，不在安全限度内．
【知识点】有理数混合运算的实际应用；通过函数图象获取信息
【解析】【解答】（1）根据图象，学校的纵坐标为1500，小明家的纵坐标为0，
故小明家到学校的路程是1500米；
故答案为：1500；
（2）根据题意，小明在书店停留的时间为从8～12分钟，
故小明在书店停留了4分钟．
故答案为：4；
（3）一共行驶的总路程=1200+(1200-600)+(1500-600)
=1200+600+900=2700米；
故答案为：2700；
【分析】从函数图象获取信息；
（1）观察图象知，学校距小明家1500米；
（2）观察图象知，从第8分钟到第12分钟，距离未发生变化，即小明在书店停留了4分钟；
（3）观察图象知，小明先走了1200米，又返回600米到达书店，最后再从书店出发行走了900米到达学校，即共走了2700米；
（4）观察图象知，小明从书店到学校用时2分钟，行驶了900米，即每分钟行驶450米，严重超出安全行车速度．
23．勾股定理是几何学中的明珠，它充满魅力，在现实世界中有着广泛的应用．请尝试应用勾股定理解决下列问题：一架2.5m长的梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上，这时BO为0.7m．如果梯子的顶端A沿墙下滑0.4m，那么梯子底端B在水平方向上滑动了多少米？
【答案】解：∵中，，，
∴，
同理，中，
∵，，
∴，
∴．
答：梯子底端B在水平方向上滑动了0.8米．
【知识点】勾股定理的实际应用-梯子滑动问题
【解析】【分析】勾肌定理的实际应用，先利用勾股定理可得OA＝2.4，再由题意知OC＝2，再利用勾股定理可得OD＝1.5，最后再利用线段的和差关系可得BD＝0.8即可．
24．如图，在中，边的垂直平分线交边于点D，交边于点E，连接．
（1）若，的周长为48，求的长；
（2）若，，求的度数．
【答案】（1）解：∵垂直平分，
∴，，
又∵，
∴，
又∵的周长为48，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
又∵垂直平分，
∴，
∴，
，
，，
∴，
∴

【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；直角三角形的两锐角互余
【解析】【分析】（1）根据垂直平分线性质可得，，再根据三角形周长，结合边之间的关系即可求出答案.
（2）根据直角三角形两锐角互余可得∠C，根据等边对等角可得，，根据角之间的关系可得∠ABC，再根据三角形内角和定理即可求出答案.
（1）解：∵垂直平分，
∴，，
又∵，
∴，
又∵的周长为48，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
又∵垂直平分，
∴，
∴，
，
，，
∴，
∴
25．（1）唐朝诗人李顾的诗古从军行开头两句：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题：如图所示，诗中大意是将军从山脚下的点出发，带着马走到河边点饮水后，再回到点宿营，请问将军怎样走才能使总路程最短？请你通过画图，在图中找出点，使的值最小，不说明理由；
（2）实践应用，如图，点为内一点，请在射线、上分别找到两点、，使的周长最小，不说明理由；
（3）实践应用：如图，在中，，，，，平分，、分别是、边上的动点，求的最小值．
【答案】解：（1）如图，作点关于直线小河的对称点，连接，交于，则最小；
理由：根据作法得：，
∴，
∴当点共线时，最小；
（2）如图，分别作点关于，的对称点和，连接交于，于，连接，，，则的周长最小；
理由：根据作法得：，，
∴，
∴当点共线时，的周长最小；
（3）如图所示，在AB上截取AE＝AN，连接ME，再过点C作AB的垂线段CF.
平分，
，
在和中，
，
，
，
，
，
∴当E、F重合时，CM+MN最小，最小值为CF，
∵，，，，
∴，
即，
解得：，
∴的最小值为．
【知识点】垂线段最短及其应用；翻折全等-公共边模型；截长补短构造全等模型；将军饮马模型-两线一点（两动一定）；将军饮马模型-一线两点（一动两定）；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】（1）将军饮马模型，先作点B关于直线小河的对称点B`，连接AB`交于P，则最小；
（2）同上，分别作点P关于OM、ON的对称点P`` 和P`，连接P`P``交OM于A，ON于B，再连接PA、PB、AB，则的周长转化为线段 P`P`` 的长，由两点之间线段最短可得此时周长最小；
（3）如图，在AB上截取AE＝AN，连接ME，由翻折全等模型可得ME＝MN，即CM+MN转化为CM+ME，由两点之间线段最短知，再过点C作AB的垂线段CF，则由垂线段最短知，所以当E、F重合时CM+ME有最小值，即CM+MN有最小值，最小值等于CF的长，再利用等面积法求出CF的长即可.
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