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陕西省宝鸡市陈仓区2024-2025学年八年级下学期7月期末数学试题
一、选择题
1．下面的图形是以数学家名字命名的，其中是中心对称图形的是（　　）
A．赵爽弦图 B．笛卡尔心形线
C．斐波那契螺旋线 D．阿基米德曲线
2．下列因式分解正确的是（　　）
A． B．
C． D．
3．下列各分式中，是最简分式的是（　　）
A． B． C． D．
4．下列推理中，不能判断是等边三角形的是（　　）
A． B．
C． D．，且
5．如图，将三角形沿着射线向右平移得到三角形，若，，则的长为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．如图，在中，和分别平分和，过点作，分别交，于点，．若，，则线段的长为（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
7．我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．为了了解关于x的不等式的解集，某同学绘制了与（m，n为常数，）的函数图象如图所示，通过观察图象发现，该不等式的解集在数轴上表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
8．如图，平行四边形的对角线，相交于点，平分，分别交，于点，，连接，，，则下列结论：①；②；③；④．正确的个数有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（共5小题，共15分）
9．分解因式：3a2﹣12=　 　．
10．如图，数轴上的点表示的数为，则　 　．
11．小益将平放在桌面上的正五边形磁力片和正六边形磁力片拼在一起（一边重合），如图所示则形成的么　 　度．
12．某商品进价是1000元，售价为1500元，为促销，商店决定降价出售，但保证利润率不低于，则商店最多降　 　元出售商品．
13．如图，四边形是一张长方形纸片，且，沿过点的折痕将角翻折，使得点落在上的点处，折痕交于点，则的长为　 　．
三、解答题（共13小题，计81分；解答应写出解题过程．）
14．分解因式：
（1）；
（2）．
15．解不等式，并把它的解集表示在数轴上．
16．计算：．
17．解分式方程：．
18．在中，，，请用尺规作图的方法在上求作一点，使得．
19．为了保护学生的视力，学校准备购买一批护眼灯．某商场现有两种不同类型的护眼灯可供选择，每台A型护眼灯比B型护眼灯便宜7元．用4050元购进A型护眼灯的数量和用5100元购进B型护眼灯的数量相同，求从该商场购进每台B型护眼灯的价格．
20．如图，在中，是它的一条对角线，过A，C两点分别作，，E、F是垂足，求证：．
21．如图，三角形三个顶点的坐标分别是、、．将三角形向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到三角形．
（1）画出平移后三角形，并写出点的坐标；
（2）求三角形的面积．
22．如图，是等腰三角形，，点D是上一点，过点D作交于点E，交的延长线于点F．
（1）证明：是等腰三角形；
（2）若，求的长．
23．某商场购进，两种商品，商品每件的进价为100元，商品每件的进价为60元，该商场计划购进，两种商品共60件，且购进商品的件数不少于商品件数的2倍．若商品按每件150元销售，商品按每件80元销售，为满足销售完，两种商品后获得的总利润不低于1770元，则购进商品的件数为多少？
24．如图，在中，∠ACB＝90°，点E、F分别是AB、BC的中点，点D是CA延长线上的一点，且，连接DE、AF、EF．
（1）求证：四边形ADEF是平行四边形；
（2）若四边形ADEF的周长是28cm，AC的长为8cm，求四边形ADEF的面积．
25．综合与实践
【问题情境】数学兴趣小组利用特殊的等腰三角形一等边三角形展开研究．
【数学思考】如图1，与都是等边三角形，连接，．
（1）当点，，在一条直线上时，与的数量关系是_________，_________°．
【深入探究】换成两个全等的等边三角形继续研究．如图2，和都是等边三角形，且，．
（2）连接，并分别延长交于点，试猜想和的数量关系，并说明理由．
（3）如图3，将绕点按顺时针方向旋转，当时，连接， ，，直接写出的面积．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：选项B、C、D中的图形都不能找到一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形．
选项A中的图形能找到一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．
故选：A．
【分析】
把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫它的对称中心．
2．【答案】D
【知识点】因式分解的概念
【解析】【解答】解：A、，原式因式分解错误，不符合题意；
B、，原式因式分解错误，不符合题意；
C、，原式因式分解错误，不符合题意；
D、，原式因式分解正确，符合题意；
故选：D．
【分析】根据因式分解的定义逐项进行判断即可求出答案.
3．【答案】C
【知识点】最简分式的概念
【解析】【解答】解：A、，不符合题意；
B、，不符合题意；
C、为最简分式，符合题意；
D、，不符合题意．
故答案为：C．
【分析】利用最简分式就是一个分式的分子与分母没有非零次的公因式，对各选项逐一判断即可.
4．【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；等边三角形的判定
【解析】【解答】解：A、由“三个角都相等的三角形是等边三角形”可以判断△ABC是等边三角形，故选项A不符合题意；
B、由“有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形”可以判断△ABC是等边三角形，故选项B不符合题意；
C、由“∠A=60°，∠B=60°”可以得到“∠A=∠B=∠C=60°”，则由“三个角都相等的三角形是等边三角形”可以判断△ABC是等边三角形，故选项C不符合题意；
D、由“AB=AC，且∠B=∠C”只能判定△ABC是等腰三角形，故选项D符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据三条边都相等的三角形是等边三角形；有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形；三个角都相等的三角形是等边三角形，逐项分析即可求解.
5．【答案】C
【知识点】平移的性质
【解析】【解答】解：∵将三角形沿着射线向右平移得到三角形，
，，
，，
，
，
，
．
故选：C ．
【分析】
平移前后对应点的连线平行且相等或在同一条直线上，即BE＝AD＝CF＝2，CE＝1，则BC＝3．
6．【答案】A
【知识点】等腰三角形的判定与性质；角平分线的概念；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：∵和分别平分和，
∴，
∵，
∴，
∴，.
∴，，
∴．
故选：A．
【分析】
由角平分线的定义和平行线的性质可得，，由等角对等边得，，最后由线段的和差关系求解即可．
7．【答案】C
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【解答】解：由一次函数的图象可知，当时，一次函数的图象在一次函数的图象的下方，
∴关于的不等式的解集是．
在数轴上表示的解集，只有选项C符合，
故答案为：C．
【分析】当图象在图象上方时，有，结合函数图象即可求出答案.
8．【答案】C
【知识点】三角形外角的概念及性质；等边三角形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：①四边形是平行四边形，
，
，
平分，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，故①正确：
②，
，故②正确；
③，
，
，
，
，故③错误；
④在中，，，
，
在中，，
，
，故④正确；
综上，正确的个数有3个，
故选：C．
【分析】
①由平行四边形的对角相等、邻角互补结合角平分线的概念可得，则可判定三角形ABE是等边三角形，则AE＝BE＝AB，又因为BC＝2AB，即AE＝CE，再由等边对等角结合三角形外角的性质可得，再利用平行线的性质即可；
②由①可得，则：
③由于平行四边形的对边相等、对角线互相平分，则利用三角形中位线定理可得；④由于，可利用勾股定理依次求出AC、OA、OB，则BD的长可得．
9．【答案】3（a+2）（a﹣2）
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：3a2﹣12=3（a+2）（a﹣2）．
【分析】先提取公因式3，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．
10．【答案】
【知识点】勾股定理；有理数在数轴上的表示
【解析】【解答】解：根据题意得：，
故答案为：．
【分析】
由勾股定理可得，因为点M在x轴的负半轴上，则 ．
11．【答案】132
【知识点】多边形内角与外角；平面镶嵌（密铺）；正多边形的性质；多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：如图：
由题意得：，，
∴，
故答案为：132．
【分析】
先利用正多边形的内角和分别求出正五边形和正六边形的内角，再利用周角的概念即可．
12．【答案】300
【知识点】一元一次不等式的应用
【解析】【解答】解：设商店最多可降x元出售此商品，
依题意有．
解得：，
故商店最多可降300元出售此商品．
故答案为：300．
【分析】
设商店最多可降x元出售此商品，再由不等关系“ 利润率不低于 ”列关于x的不等式并求解即可．
13．【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵四边形是长方形，
∴，，
∵折叠
∴
又∵，
在中，，
∴，
设则，
∵，
在中，，
即：，
解得：，
∴，
故答案为：．
【分析】
由矩形的性质知CD＝AB、BC＝AD、，由折叠的性质知A`D＝AD、A`G＝AG，则利用勾股定理可得A`C的长，再由线段的和差可得A`B，此时可设A`G＝x，则BG可用含x的代数式表示，再在直角三角形A`BG中应用勾股定理即可．
14．【答案】（1）解：
；
（2）解：
；
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣公式法
【解析】【分析】
（1）由于和是一对相反数，则可利用提公因式法分解因式；
（2）由于是的平方，则可利用平方差公式分解因式求．
（1）解：
；
（2）解：
；
15．【答案】解：
，
，
解集表示在数轴上如下：
【知识点】解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【分析】解含分数系数的一元一次不等式的一般步骤，先去分母、再去括号、再移项并合并同类项，再把系数化为1，最后根据需要再把解集表示在数轴上即可．
16．【答案】解：
；
【知识点】分式的混合运算
【解析】【分析】分式加减乘除混合运算，先对括号内的异分母分式通分再进行同分母分式的减法运算，再化除法为乘法并对分子分母分别分解因式，最后再约分化结果为整式或最简分式．
17．【答案】解：两边都乘以2（x+3），得：2（2﹣x）＝x+3+2，解得：x＝﹣，
检验：当x＝﹣时，2（x+3）＝≠0，
∴分式方程的解为x＝﹣．
【知识点】去分母法解分式方程
【解析】【分析】解分式方程的一般步骤，先给分式方程两边都乘以最简公分母化分式方程为整式方程，再解整式方程，再验根，最后根据验根的结果写根．
18．【答案】解：作图如下：作边的垂直平分线，交边与点，连接，点即为所求；
【知识点】三角形外角的概念及性质；等腰三角形的判定与性质；线段垂直平分线的判定；尺规作图-垂直平分线；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：作图如下：作边的垂直平分线，交边与点，连接，点即为所求；
明：根据作图可得，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴．
【分析】
由等边对等角结合三角形内角和定理可得，若，则，再由三角形外角的性质可得，则DB＝DA，即可作线段AB的垂直平分线交BC于点D，则点D即为所求作的点．
19．【答案】解：设从该商场购进每台B型护眼灯的价格为元，由题意，得：
，
解得：；
经检验，是原方程的解，且符合题意；
答：从该商场购进每台B型护眼灯的价格为34元．
【知识点】分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】设从该商场购进每台B型护眼灯的价格为元，则每台A型护眼灯为(x-7)元，再由题意可列关于x的分式方程并求解即可．
20．【答案】证明：四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
，
．
【知识点】平行四边形的性质；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】
先利用平行四边形的性质，推出证明三角形全等所需的条件，进而证明，最终推导出对应结论成立.
21．【答案】（1）解：作图如下，
根据图得到：．
（2）解：由题意知，
三角形的面积为．
【知识点】坐标与图形性质；坐标与图形变化﹣平移；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【分析】
（1）先分别作出点A、B、C平移后的对应点A`、B`、C`，再顺次连接A`、B`、C`即可；
（2）由于平移不改变图形的形状与大小，因此可利用割补法求出三角形ABC的面积即可．
（1）解：作图如下，
根据图得到：．
（2）解：由题意知，
三角形的面积为．
22．【答案】（1）证明：∵，∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是等腰三角形；
（2）解：∵，，，
∴，为等边三角形，
∴，
∴．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；对顶角及其性质；等腰三角形的性质-等边对等角；直角三角形的两锐角互余
【解析】【分析】
（1）先由等边对等角可得，再由直角三角形两锐角互余可得，再由对顶角相等可得，最后再由等角对等边即可；
（2）由（1）知、AC＝AB＝21、AF＝AD＝5、CF＝26，则，再利用直角三角形中30度角的性质即可 ．
（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是等腰三角形；
（2）解：∵，，，
∴，为等边三角形，
∴，
∴．
23．【答案】解：设购进件商品，则购进件商品，根据题意得：
解得：，
整数值为19或20．
答：购进商品的件数为19或20件．
【知识点】一元一次不等式组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】设购进件商品，则购进件商品，根据题意可列关于m的一元一次不等式组并求解即可．
24．【答案】（1）证明：∵点E、F分别是AB、BC的中点，
∴EF是的中位线，
∴，，
∴．
∵，
∴EF＝AD．
∴四边形ADEF是平行四边形．
（2）解：∵四边形ADEF是平行四边形，四边形ADEF的周长是28cm，
∴AD＝EF，AF＝DE，AD＋AF＝14cm．
∵AC的长为8cm，
∴，
∴（cm），
在中，由勾股定理得：
．
∴四边形ADEF的面积．
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；平行四边形的面积；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）由三角形中位线定理可EF与AD平行且相等，则四边形ADEF是平行四边形；
（2）由平行四边形的性质结合已知AD与AC的数量关系可得AD＝4、AF＝10，再利用勾股定理可得CF＝6，再利用平行四边形的面积公式计算即可．
（1）证明：∵点E、F分别是AB、BC的中点，
∴EF是的中位线，
∴，，
∴．
∵，
∴EF＝AD．
∴四边形ADEF是平行四边形．
（2）解：∵四边形ADEF是平行四边形，四边形ADEF的周长是28cm，
∴AD＝EF，AF＝DE，AD＋AF＝14cm．
∵AC的长为8cm，
∴，
∴（cm），
在中，由勾股定理得：
．
∴四边形ADEF的面积．
25．【答案】（1）（或相等）60；
（2）．理由如下：
和都是等边三角形，
，，，．
．
在和中
，
，
．
，
，
．
，
．
．
，
，
在和中
，
．
（3）9
【知识点】三角形全等及其性质；等边三角形的性质；直角三角形的性质；三角形全等的判定-SAS；手拉手全等模型
【解析】【解答】解：（1）∵与都是等边三角形，∴，，，
∴，
∴)，
∴，，
∴．
故答案为：（或相等），60．
（3）过点作交的延长线于，
和都是等边三角形，，，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∴的面积．
故答案为：9
【分析】本题以等边三角形为背景，综合考查全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质以及旋转中的几何面积计算。
（1）通过证明△BAD△ CAE 得 BD = CE，再结合等边三角形内角与共线条件求BDC；
（2）由△ MAB△NAC 导出边角关系，进一步证明△ FBC △ FNM，从而得到 MF = CF；
（3）在旋转后 AMB = 90的条件下，构造垂线利用含 30 角的直角三角形性质求高，再计算 △ACM 的面积。
1 / 1陕西省宝鸡市陈仓区2024-2025学年八年级下学期7月期末数学试题
一、选择题
1．下面的图形是以数学家名字命名的，其中是中心对称图形的是（　　）
A．赵爽弦图 B．笛卡尔心形线
C．斐波那契螺旋线 D．阿基米德曲线
【答案】A
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：选项B、C、D中的图形都不能找到一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形．
选项A中的图形能找到一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．
故选：A．
【分析】
把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫它的对称中心．
2．下列因式分解正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】因式分解的概念
【解析】【解答】解：A、，原式因式分解错误，不符合题意；
B、，原式因式分解错误，不符合题意；
C、，原式因式分解错误，不符合题意；
D、，原式因式分解正确，符合题意；
故选：D．
【分析】根据因式分解的定义逐项进行判断即可求出答案.
3．下列各分式中，是最简分式的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】最简分式的概念
【解析】【解答】解：A、，不符合题意；
B、，不符合题意；
C、为最简分式，符合题意；
D、，不符合题意．
故答案为：C．
【分析】利用最简分式就是一个分式的分子与分母没有非零次的公因式，对各选项逐一判断即可.
4．下列推理中，不能判断是等边三角形的是（　　）
A． B．
C． D．，且
【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；等边三角形的判定
【解析】【解答】解：A、由“三个角都相等的三角形是等边三角形”可以判断△ABC是等边三角形，故选项A不符合题意；
B、由“有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形”可以判断△ABC是等边三角形，故选项B不符合题意；
C、由“∠A=60°，∠B=60°”可以得到“∠A=∠B=∠C=60°”，则由“三个角都相等的三角形是等边三角形”可以判断△ABC是等边三角形，故选项C不符合题意；
D、由“AB=AC，且∠B=∠C”只能判定△ABC是等腰三角形，故选项D符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据三条边都相等的三角形是等边三角形；有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形；三个角都相等的三角形是等边三角形，逐项分析即可求解.
5．如图，将三角形沿着射线向右平移得到三角形，若，，则的长为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【知识点】平移的性质
【解析】【解答】解：∵将三角形沿着射线向右平移得到三角形，
，，
，，
，
，
，
．
故选：C ．
【分析】
平移前后对应点的连线平行且相等或在同一条直线上，即BE＝AD＝CF＝2，CE＝1，则BC＝3．
6．如图，在中，和分别平分和，过点作，分别交，于点，．若，，则线段的长为（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】A
【知识点】等腰三角形的判定与性质；角平分线的概念；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：∵和分别平分和，
∴，
∵，
∴，
∴，.
∴，，
∴．
故选：A．
【分析】
由角平分线的定义和平行线的性质可得，，由等角对等边得，，最后由线段的和差关系求解即可．
7．我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．为了了解关于x的不等式的解集，某同学绘制了与（m，n为常数，）的函数图象如图所示，通过观察图象发现，该不等式的解集在数轴上表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【解答】解：由一次函数的图象可知，当时，一次函数的图象在一次函数的图象的下方，
∴关于的不等式的解集是．
在数轴上表示的解集，只有选项C符合，
故答案为：C．
【分析】当图象在图象上方时，有，结合函数图象即可求出答案.
8．如图，平行四边形的对角线，相交于点，平分，分别交，于点，，连接，，，则下列结论：①；②；③；④．正确的个数有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】三角形外角的概念及性质；等边三角形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：①四边形是平行四边形，
，
，
平分，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，故①正确：
②，
，故②正确；
③，
，
，
，
，故③错误；
④在中，，，
，
在中，，
，
，故④正确；
综上，正确的个数有3个，
故选：C．
【分析】
①由平行四边形的对角相等、邻角互补结合角平分线的概念可得，则可判定三角形ABE是等边三角形，则AE＝BE＝AB，又因为BC＝2AB，即AE＝CE，再由等边对等角结合三角形外角的性质可得，再利用平行线的性质即可；
②由①可得，则：
③由于平行四边形的对边相等、对角线互相平分，则利用三角形中位线定理可得；④由于，可利用勾股定理依次求出AC、OA、OB，则BD的长可得．
二、填空题（共5小题，共15分）
9．分解因式：3a2﹣12=　 　．
【答案】3（a+2）（a﹣2）
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：3a2﹣12=3（a+2）（a﹣2）．
【分析】先提取公因式3，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．
10．如图，数轴上的点表示的数为，则　 　．
【答案】
【知识点】勾股定理；有理数在数轴上的表示
【解析】【解答】解：根据题意得：，
故答案为：．
【分析】
由勾股定理可得，因为点M在x轴的负半轴上，则 ．
11．小益将平放在桌面上的正五边形磁力片和正六边形磁力片拼在一起（一边重合），如图所示则形成的么　 　度．
【答案】132
【知识点】多边形内角与外角；平面镶嵌（密铺）；正多边形的性质；多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：如图：
由题意得：，，
∴，
故答案为：132．
【分析】
先利用正多边形的内角和分别求出正五边形和正六边形的内角，再利用周角的概念即可．
12．某商品进价是1000元，售价为1500元，为促销，商店决定降价出售，但保证利润率不低于，则商店最多降　 　元出售商品．
【答案】300
【知识点】一元一次不等式的应用
【解析】【解答】解：设商店最多可降x元出售此商品，
依题意有．
解得：，
故商店最多可降300元出售此商品．
故答案为：300．
【分析】
设商店最多可降x元出售此商品，再由不等关系“ 利润率不低于 ”列关于x的不等式并求解即可．
13．如图，四边形是一张长方形纸片，且，沿过点的折痕将角翻折，使得点落在上的点处，折痕交于点，则的长为　 　．
【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵四边形是长方形，
∴，，
∵折叠
∴
又∵，
在中，，
∴，
设则，
∵，
在中，，
即：，
解得：，
∴，
故答案为：．
【分析】
由矩形的性质知CD＝AB、BC＝AD、，由折叠的性质知A`D＝AD、A`G＝AG，则利用勾股定理可得A`C的长，再由线段的和差可得A`B，此时可设A`G＝x，则BG可用含x的代数式表示，再在直角三角形A`BG中应用勾股定理即可．
三、解答题（共13小题，计81分；解答应写出解题过程．）
14．分解因式：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：
；
（2）解：
；
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣公式法
【解析】【分析】
（1）由于和是一对相反数，则可利用提公因式法分解因式；
（2）由于是的平方，则可利用平方差公式分解因式求．
（1）解：
；
（2）解：
；
15．解不等式，并把它的解集表示在数轴上．
【答案】解：
，
，
解集表示在数轴上如下：
【知识点】解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【分析】解含分数系数的一元一次不等式的一般步骤，先去分母、再去括号、再移项并合并同类项，再把系数化为1，最后根据需要再把解集表示在数轴上即可．
16．计算：．
【答案】解：
；
【知识点】分式的混合运算
【解析】【分析】分式加减乘除混合运算，先对括号内的异分母分式通分再进行同分母分式的减法运算，再化除法为乘法并对分子分母分别分解因式，最后再约分化结果为整式或最简分式．
17．解分式方程：．
【答案】解：两边都乘以2（x+3），得：2（2﹣x）＝x+3+2，解得：x＝﹣，
检验：当x＝﹣时，2（x+3）＝≠0，
∴分式方程的解为x＝﹣．
【知识点】去分母法解分式方程
【解析】【分析】解分式方程的一般步骤，先给分式方程两边都乘以最简公分母化分式方程为整式方程，再解整式方程，再验根，最后根据验根的结果写根．
18．在中，，，请用尺规作图的方法在上求作一点，使得．
【答案】解：作图如下：作边的垂直平分线，交边与点，连接，点即为所求；
【知识点】三角形外角的概念及性质；等腰三角形的判定与性质；线段垂直平分线的判定；尺规作图-垂直平分线；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：作图如下：作边的垂直平分线，交边与点，连接，点即为所求；
明：根据作图可得，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴．
【分析】
由等边对等角结合三角形内角和定理可得，若，则，再由三角形外角的性质可得，则DB＝DA，即可作线段AB的垂直平分线交BC于点D，则点D即为所求作的点．
19．为了保护学生的视力，学校准备购买一批护眼灯．某商场现有两种不同类型的护眼灯可供选择，每台A型护眼灯比B型护眼灯便宜7元．用4050元购进A型护眼灯的数量和用5100元购进B型护眼灯的数量相同，求从该商场购进每台B型护眼灯的价格．
【答案】解：设从该商场购进每台B型护眼灯的价格为元，由题意，得：
，
解得：；
经检验，是原方程的解，且符合题意；
答：从该商场购进每台B型护眼灯的价格为34元．
【知识点】分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】设从该商场购进每台B型护眼灯的价格为元，则每台A型护眼灯为(x-7)元，再由题意可列关于x的分式方程并求解即可．
20．如图，在中，是它的一条对角线，过A，C两点分别作，，E、F是垂足，求证：．
【答案】证明：四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
，
．
【知识点】平行四边形的性质；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】
先利用平行四边形的性质，推出证明三角形全等所需的条件，进而证明，最终推导出对应结论成立.
21．如图，三角形三个顶点的坐标分别是、、．将三角形向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到三角形．
（1）画出平移后三角形，并写出点的坐标；
（2）求三角形的面积．
【答案】（1）解：作图如下，
根据图得到：．
（2）解：由题意知，
三角形的面积为．
【知识点】坐标与图形性质；坐标与图形变化﹣平移；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【分析】
（1）先分别作出点A、B、C平移后的对应点A`、B`、C`，再顺次连接A`、B`、C`即可；
（2）由于平移不改变图形的形状与大小，因此可利用割补法求出三角形ABC的面积即可．
（1）解：作图如下，
根据图得到：．
（2）解：由题意知，
三角形的面积为．
22．如图，是等腰三角形，，点D是上一点，过点D作交于点E，交的延长线于点F．
（1）证明：是等腰三角形；
（2）若，求的长．
【答案】（1）证明：∵，∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是等腰三角形；
（2）解：∵，，，
∴，为等边三角形，
∴，
∴．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；对顶角及其性质；等腰三角形的性质-等边对等角；直角三角形的两锐角互余
【解析】【分析】
（1）先由等边对等角可得，再由直角三角形两锐角互余可得，再由对顶角相等可得，最后再由等角对等边即可；
（2）由（1）知、AC＝AB＝21、AF＝AD＝5、CF＝26，则，再利用直角三角形中30度角的性质即可 ．
（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是等腰三角形；
（2）解：∵，，，
∴，为等边三角形，
∴，
∴．
23．某商场购进，两种商品，商品每件的进价为100元，商品每件的进价为60元，该商场计划购进，两种商品共60件，且购进商品的件数不少于商品件数的2倍．若商品按每件150元销售，商品按每件80元销售，为满足销售完，两种商品后获得的总利润不低于1770元，则购进商品的件数为多少？
【答案】解：设购进件商品，则购进件商品，根据题意得：
解得：，
整数值为19或20．
答：购进商品的件数为19或20件．
【知识点】一元一次不等式组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】设购进件商品，则购进件商品，根据题意可列关于m的一元一次不等式组并求解即可．
24．如图，在中，∠ACB＝90°，点E、F分别是AB、BC的中点，点D是CA延长线上的一点，且，连接DE、AF、EF．
（1）求证：四边形ADEF是平行四边形；
（2）若四边形ADEF的周长是28cm，AC的长为8cm，求四边形ADEF的面积．
【答案】（1）证明：∵点E、F分别是AB、BC的中点，
∴EF是的中位线，
∴，，
∴．
∵，
∴EF＝AD．
∴四边形ADEF是平行四边形．
（2）解：∵四边形ADEF是平行四边形，四边形ADEF的周长是28cm，
∴AD＝EF，AF＝DE，AD＋AF＝14cm．
∵AC的长为8cm，
∴，
∴（cm），
在中，由勾股定理得：
．
∴四边形ADEF的面积．
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；平行四边形的面积；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）由三角形中位线定理可EF与AD平行且相等，则四边形ADEF是平行四边形；
（2）由平行四边形的性质结合已知AD与AC的数量关系可得AD＝4、AF＝10，再利用勾股定理可得CF＝6，再利用平行四边形的面积公式计算即可．
（1）证明：∵点E、F分别是AB、BC的中点，
∴EF是的中位线，
∴，，
∴．
∵，
∴EF＝AD．
∴四边形ADEF是平行四边形．
（2）解：∵四边形ADEF是平行四边形，四边形ADEF的周长是28cm，
∴AD＝EF，AF＝DE，AD＋AF＝14cm．
∵AC的长为8cm，
∴，
∴（cm），
在中，由勾股定理得：
．
∴四边形ADEF的面积．
25．综合与实践
【问题情境】数学兴趣小组利用特殊的等腰三角形一等边三角形展开研究．
【数学思考】如图1，与都是等边三角形，连接，．
（1）当点，，在一条直线上时，与的数量关系是_________，_________°．
【深入探究】换成两个全等的等边三角形继续研究．如图2，和都是等边三角形，且，．
（2）连接，并分别延长交于点，试猜想和的数量关系，并说明理由．
（3）如图3，将绕点按顺时针方向旋转，当时，连接， ，，直接写出的面积．
【答案】（1）（或相等）60；
（2）．理由如下：
和都是等边三角形，
，，，．
．
在和中
，
，
．
，
，
．
，
．
．
，
，
在和中
，
．
（3）9
【知识点】三角形全等及其性质；等边三角形的性质；直角三角形的性质；三角形全等的判定-SAS；手拉手全等模型
【解析】【解答】解：（1）∵与都是等边三角形，∴，，，
∴，
∴)，
∴，，
∴．
故答案为：（或相等），60．
（3）过点作交的延长线于，
和都是等边三角形，，，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∴的面积．
故答案为：9
【分析】本题以等边三角形为背景，综合考查全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质以及旋转中的几何面积计算。
（1）通过证明△BAD△ CAE 得 BD = CE，再结合等边三角形内角与共线条件求BDC；
（2）由△ MAB△NAC 导出边角关系，进一步证明△ FBC △ FNM，从而得到 MF = CF；
（3）在旋转后 AMB = 90的条件下，构造垂线利用含 30 角的直角三角形性质求高，再计算 △ACM 的面积。
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