资源简介

陕西省宝鸡市渭滨区2024-2025学年下学期6月期末考试八年级数学试题
一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分，每小题只有一个选项符合题意）
1．我国古代数学的发展历史源远流长，曾诞生了很多伟大的数学发现．下列与我国古代数学发现相关的图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．已知，则下列各式中一定成立的是（　　）
A． B．
C． D．
3．若分式 的值为0，则x的值为（　　）
A．-2 B．0 C．2 D．±2
4．下列多项式中，不能因式分解的是（　　）
A． B． C． D．
5．如图，将绕点逆时针旋转得到，若且于点，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
6．如图，在中，的垂直平分线交于点，平分，若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
7．若关于 的分式方程 有增根，则 的值为（　　）
A． B． C． D．
8．如图，中，对角线、相交于点O，交于点E，连接，若的周长为28，则的周长为（　　）
A．28 B．24 C．21 D．14
二、填空题：（共5小题，每小题3分，计15分）
9．因式分解： ＝　 　．
10．如图，五边形中，，则的度数是　 　．
11．已知不等式组的解集为，则的值为　 　．
12．一次函数与的图象如图所示，则不等式的解集是　 　．
13．如图，在中，，．点、分别是边、上的动点，连接、，点、分别是、的中点，连接，则的最小值为　 　．
三、解答题（共13小题，计81分，解答题应写出过程）
14．解不等式组：，并将不等式组的解集在数轴上表示出来．
15．计算：．
16．解分式方程：
17．如图，已知四边形，点E在边上，且．请用尺规作图法，在边上求作一点P，使与面积相等．（保留作图痕迹，不写作法）
18．如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，．
（1）请画出关于原点对称的图形，并写出点的对应点的坐标；
（2）请画出绕原点逆时针方向旋转后得到的图形．
19．如图所示，中，，是的中点，、分别是、上的点，且，求证：．
20．“稻花香里说丰年，听取蛙声一片”．稻花香大米的米粒似珍珠，晶莹剔透，米饭闻之清香扑鼻，口感柔软劲道，是餐桌上的佳品．某超市决定采购甲、乙两种类型的稻花香大米，已知甲种类型稻花香大米每千克20元，乙种类型稻花香大米每千克16元．若该超市准备采购甲、乙两种类型稻花香大米共1000千克，并且采购费用不多于18000元，则超市最多采购甲种类型稻花香大米多少千克？
21．仔细阅读下面例题，解答问题：
例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值．
解：设另一个因式为，得
则
．
解得：，
另一个因式为，的值为
问题：仿照以上方法解答下面问题：
已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值．
22．某中学组织学生去福利院慰问，在准备礼品时发现，购买个甲礼品比购买个乙礼品多花元，并且花费元购买甲礼品和花费元购买乙礼品的数量相等．甲、乙两种礼品的单价各为多少元？
23．如图，在ABCD中，点M、N分别是AD、BC上的两点，点E、F在对角线BD上，且DM＝BN时，DF＝BE，求证：四边形MENF是平行四边形．
24．如图，在中，，点是上一点，连接，，平分交于点．
（1）求证：垂直平分；
（2）若，点为的中点，连接，求的长．
25．甲、乙两家超市以相同的价格出售同样的商品，为了吸引顾客，各自推出不同的优惠方案：在甲超市累计购买商品超出300元之后，超出部分按原价8折优惠；在乙超市累计购买商品超出200元之后，超出部分按原价8.5折优惠．设顾客预计累计购物元（）．
（1）请用含代数式分别表示顾客在两家超市购物所付的费用：设甲超市购物所付的费用为，则______元；设乙超市购物所付的费用为，则______元．
（2）李明购买多少元商品时到甲超市购物比较优惠？
26．如图，长方形纸片ABCD放置在平面直角坐标系中，A与原点O重合．B、D分别在x轴和y轴上，，．
（1）直接写出C点坐标；
（2）如图①折叠使B落在线段AC的处，折痕为CE，求E点坐标；
（3）如图②点P在线段DC上，若为等腰三角形，试求满足条件的所有P点坐标．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意；
B、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故符合题意；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故不符合题意；
D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故不符合题意；
故选：B．
【分析】本题以我国古代数学发现的相关图形为背景，考查了轴对称图形和中心对称图形的识别。根据轴对称图形（存在一条直线使图形折叠后重合）和中心对称图形（绕某点旋转180°后与原图重合）的定义，逐项判断，找出同时满足两个条件的选项。
2．【答案】B
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A、∵a＞b，∴a-b＞b-b，即a-b＞0，所以此选项不成立，不符合题意；
B、∵a＞b，∴，所以此选项成立，符合题意；
C、∵a＞b，当c≠0时，c2＞0，∴ac2＞bc2，所以此选项不一定成立，不符合题意；
D、∵a＞b，∴2a＞2b，∴2a-1＞2b-1，所以此选项不成立，不符合题意.
故答案为：B.
【分析】不等式的两边同时加上或减去同一个数或式子，不等号的方向不改变；不等式的两边同时乘以或除以同一个正数，不等号的方向不改变；不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变，据此一一判断得出答案.
3．【答案】C
【知识点】分式的值为零的条件；直接开平方法解一元二次方程；解一元一次不等式
【解析】【解答】由题意可知： ，
解得：x=2，
故答案为：C.
【分析】根据分式的值为0的条件是：分子等于0且分母不等于0，建立一元二次方程和不等式求解即可。
4．【答案】C
【知识点】因式分解﹣公式法；因式分解﹣综合运用提公因式与公式法；因式分解﹣十字相乘法
【解析】【解答】解：A.，能因式分解，故该选项不符合题意；
B.，能因式分解，故该选项不符合题意；
C.，不能因式分解，故该选项符合题意；
D.，能因式分解，故该选项不符合题意；
故选：C．
【分析】
根据提公因式法、公式法（平方差公式、完全平方公式）、十字相乘法等各类因式分解的方法，只要对每个选项逐一分解因式，就可以得到正确结果.
5．【答案】C
【知识点】旋转的性质
【解析】【解答】解：∵将△ABC绕点A逆时针旋转55°得△ADE，
∴∠BAD=55°，∠E=∠ACB=70°，
∵AD⊥BC，
∴∠DAC=20°，
∴∠BAC=∠BAD+∠DAC=75°．
故答案为：C．
【分析】由旋转的性质可得∠BAD=55°，∠E=∠ACB=70°，在Rt△ACF中，由由直角三角形的性质可得∠DAC=20°， 则∠BAC=∠BAD+∠DAC=75° ．
6．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵DE是AC的垂直平分线
∴AD=CD，∠ACD=∠A=50°
∵平分
∴∠ACB=2∠ACD=100°
∴∠B=180°-100°-50°=30°
故选：B．
【分析】
先利用垂直平分线的性质与角平分线的定义，得到∠ACB的度数，最后结合三角形内角和定理，计算出∠B的度数.
7．【答案】D
【知识点】分式方程的增根
【解析】【解答】解： ，
方程两边都乘（x 1）得2m 1 7x＝5（x 1），
∵原方程有增根，
∴最简公分母x 1＝0，
解得x＝1，
当x＝1时，2m 1 7＝0，
解得m＝4．
故答案为：D．
【分析】将分式方程转化为2m 1 7x＝5（x 1），根据增根的意义得到x＝1，然后将x＝1代入整式方程，即可求出m的值．
8．【答案】D
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，，
∵平行四边形的周长为28，
∴
∵，
∴是线段的中垂线，
∴，
∴的周长，
故选D．
【分析】
先利用平行四边形的性质得到对应边的关系，再结合中垂线定理得到线段等量关系，最后结合题干信息计算求解，即可得到答案。
9．【答案】x(x－1)2
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：原式=x（x2-2x+1）=x（x-1）2.
故答案为：x（x-1）2.
【分析】观察此多项式的特点，有公因式x，因此先提取公因式，再利用完全平方公式分解因式即可。
10．【答案】
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：延长，如图所示：
∴
∴
故答案为：．
【分析】延长，先利用邻补角求出∠5的度数，再利用多边形的外角和求出即可.
11．【答案】
【知识点】解一元一次不等式组；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：，
解不等式①：
，
，
，
解不等式②：
，
，
不等式组的解集为：，
不等式组的解集为，
，，
解得：，，
，
故答案为：．
【分析】
先分别求出不等式组中每个不等式的解集，再找出两个解集的公共部分得到不等式组的最终解集；之后结合题目给出的解集条件，就能确定出参数a、b的取值，最后将a、b代入待求的代数式计算，就能得到最终结果.
12．【答案】
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：，
观察函数图象，发现：当时，直线在直线的上方，且当时，两直线相交，
∴不等式的解集是．
故答案为：．
【分析】
不等式的解集即直线在直线上方包括相交时对应的自变量x的取值．
13．【答案】
【知识点】垂线段最短及其应用；勾股定理；平行四边形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图，连接，
∵点、分别是、的中点，
∴，
∴当取最小值时，可取得最小值，
如图，过点作于点，此时线段的长最小，
在中，，，．
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的最小值是．
故答案为：．
【分析】
连接，根据三角形中位线定理可得，再由垂线段最短知当AG垂直BC时AG有最小值，则对应地此时EF也有最小值．
14．【答案】解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集为：，
∴表示在数轴上为：
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【分析】
分别求出两个不等式的解集，得到不等式组的总解集后，再将其表示在数轴上即可.
15．【答案】解：原式
．

【知识点】分式的混合运算
【解析】【分析】先对原式括号内的两项进行通分，再按照同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则对原式变形，完成约分后即可得到最终结果.
16．【答案】解：方程两边同乘以，得，
解得，
检验：当时，，
∴原方程的解为．

【知识点】去分母法解分式方程
【解析】【分析】按照解分式方程的常规步骤进行求解即可.
17．【答案】答：如图，点P即为所求．
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：如图，点P即为所求．
．
延长，过点P作于点H，于点G，
∴，
∴，
∴．
【分析】
由于指定两三角形中CB＝CE，若两三角形面积相等，则点P到两边距离相等，由角平分线的性质与判定定理可作的角平分线交边AD于点P即可．
18．【答案】（1）解：如图，即为所求，点的坐标；
（2）解：如图，即为所求．
【知识点】作图﹣旋转；坐标与图形变化﹣中心对称；同侧一线三垂直全等模型；全等三角形中对应边的关系；作图﹣中心对称
【解析】【分析】（1）关于原点对称点的坐标特征是横、纵坐标都互为相反数，可分别作出A，B，C的对应点，，，再顺次连接，，即可；
（2）由于旋转角是90度，则可利用一线三垂直全等模型分别作出A，B，C的对应点，，，再顺次连接，，即可．
（1）解：如图，即为所求，点的坐标；
（2）解：如图，即为所求．
19．【答案】证明：连接，
，是的中点，
，
在和中，
，
∴，
．
【知识点】三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】
先连接，已知，且是的中点，根据等腰三角形三线合一的性质，可以得到。通过边角边，也就是判定定理，证明，最后根据全等三角形对应边相等，就可以推导出.
20．【答案】解：设超市采购甲种类型稻花香大米千克，则采购乙种类型稻花香大米千克，
根据题意得，
解得．
答：超市最多采购甲种类型稻花香大米500千克．
【知识点】一元一次不等式的应用
【解析】【分析】设超市采购甲种类型稻花香大米千克，则采购乙种类型稻花香大米千克，再利用不等关系“采购费用不多于18000元”列关于m的不等式并求解即可．
21．【答案】解：设另一个因式为，得：
，
则
．
解得：，．
∴另一个因式为，的值为20．
【知识点】多项式乘多项式；解二元一次方程组
【解析】【分析】
设这个多项式的另一个因式为，只需要按照题干给出的解题方法，一步步计算就能得到结果.
22．【答案】解：设购买一个乙礼品需要元，则购买一个甲礼品需要元，根据题意得，，
解得，
经检验是原方程的解，且符合题意，
∴，
答：甲礼品的单价为元，乙礼品的单价为元．
【知识点】分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】设购买一个乙礼品需要元，则购买一个甲礼品需要元，根据相等关系“元购买甲礼品和花费元购买乙礼品的数量相等 ”可得关于x的分式方程并求解即可．
23．【答案】证明：在平行四边形ABCD中，AD∥BC，
∴∠ADB=∠CBD．
在△BNE和△DMF中，
∴△BNE≌△DMF（SAS），
∴MF=NE，∠DFM=∠BEN，
∴∠EFM=∠FEN，
∴EN//FM．
∴四边形MENF是平行四边形．
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系；全等三角形中对应角的关系；内错角相等，两直线平行
【解析】【分析】由于一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，则可由平行四边形的性质结合已知再利用SAS先证明△DMF≌△BNE，由全等的性质可得MF=NE，∠DFM=∠BEN，再由等角的补角相等证明∠FEN=∠EFM，即可由平行线的判定得EN//FM即可．
24．【答案】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
即为等腰三角形，
∵平分，
∴，
∴垂直平分；
（2）解：在中，，
∴，
∵垂直平分，
∴，
∴，
∵点为中点，点为中点，
∴为的中位线，
∴．
【知识点】等腰三角形的判定；三角形的中位线定理；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】（1）先由同角的余角相等及等角对等边可得AC＝AD，再利用等腰三角形三线合一即可；
（2）先利用勾股定理可得AB的长，再利用线段的和差关系可得BD的长，由于F为BC中点，则可利用三角形中位线定理得EF等于BD的一半即可．
（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
即为等腰三角形，
∵平分，
∴，
∴垂直平分；
（2）解：在中，，
∴，
∵垂直平分，
∴，
∴，
∵点为中点，点为中点，
∴为的中位线，
∴．
25．【答案】（1），
（2）解：由题意可得，，解得，
∴购物消费需超过600元．
【知识点】一元一次不等式的应用；用代数式表示实际问题中的数量关系
【解析】【解答】
（1）
解：根据题意可得：
甲超市：，
乙超市：．
【分析】
（1）先由优惠办法分别列代数式即可；
（2）由题意可列关于x的不等式并求解即可．
（1）解：根据题意可得：
甲超市：，
乙超市：．
（2）解：由题意可得，，
解得，
∴购物消费需超过600元．
26．【答案】（1）
（2）在中，
∵折叠使B落在线段AC的B处，
∴，
∴
∴
∴
即
解得：
∴；
（3）如图，若为等腰三角形，
①当，即点P在AB的垂直平分线上，
∴；
②当
∴
∴；
③当BA=BP=8，即
∴
∴
∴；
综上所述，若为等腰三角形，P点坐标为：．
【知识点】坐标与图形性质；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】（1）∵四边形ABCD是矩形，∴CD=AB=8，BC=AD=6，∴；
【分析】
（1）已知四边形ABCD是矩形，根据矩形对边相等、四个内角为直角的性质，可得CD=AB=8，BC=AD=6，，据此即可得出点C的坐标为；
（2）在中，由勾股定理可计算出对角线；再根据折叠的性质，可得折叠后，由此可推出，最后结合勾股定理列方程，即可得到对应结论；
（3）分三种不同情况讨论：①当时；②当时；③当BA=BP=8时，最终均利用勾股定理即可求得对应结果．
1 / 1陕西省宝鸡市渭滨区2024-2025学年下学期6月期末考试八年级数学试题
一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分，每小题只有一个选项符合题意）
1．我国古代数学的发展历史源远流长，曾诞生了很多伟大的数学发现．下列与我国古代数学发现相关的图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意；
B、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故符合题意；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故不符合题意；
D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故不符合题意；
故选：B．
【分析】本题以我国古代数学发现的相关图形为背景，考查了轴对称图形和中心对称图形的识别。根据轴对称图形（存在一条直线使图形折叠后重合）和中心对称图形（绕某点旋转180°后与原图重合）的定义，逐项判断，找出同时满足两个条件的选项。
2．已知，则下列各式中一定成立的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A、∵a＞b，∴a-b＞b-b，即a-b＞0，所以此选项不成立，不符合题意；
B、∵a＞b，∴，所以此选项成立，符合题意；
C、∵a＞b，当c≠0时，c2＞0，∴ac2＞bc2，所以此选项不一定成立，不符合题意；
D、∵a＞b，∴2a＞2b，∴2a-1＞2b-1，所以此选项不成立，不符合题意.
故答案为：B.
【分析】不等式的两边同时加上或减去同一个数或式子，不等号的方向不改变；不等式的两边同时乘以或除以同一个正数，不等号的方向不改变；不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变，据此一一判断得出答案.
3．若分式 的值为0，则x的值为（　　）
A．-2 B．0 C．2 D．±2
【答案】C
【知识点】分式的值为零的条件；直接开平方法解一元二次方程；解一元一次不等式
【解析】【解答】由题意可知： ，
解得：x=2，
故答案为：C.
【分析】根据分式的值为0的条件是：分子等于0且分母不等于0，建立一元二次方程和不等式求解即可。
4．下列多项式中，不能因式分解的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】因式分解﹣公式法；因式分解﹣综合运用提公因式与公式法；因式分解﹣十字相乘法
【解析】【解答】解：A.，能因式分解，故该选项不符合题意；
B.，能因式分解，故该选项不符合题意；
C.，不能因式分解，故该选项符合题意；
D.，能因式分解，故该选项不符合题意；
故选：C．
【分析】
根据提公因式法、公式法（平方差公式、完全平方公式）、十字相乘法等各类因式分解的方法，只要对每个选项逐一分解因式，就可以得到正确结果.
5．如图，将绕点逆时针旋转得到，若且于点，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】旋转的性质
【解析】【解答】解：∵将△ABC绕点A逆时针旋转55°得△ADE，
∴∠BAD=55°，∠E=∠ACB=70°，
∵AD⊥BC，
∴∠DAC=20°，
∴∠BAC=∠BAD+∠DAC=75°．
故答案为：C．
【分析】由旋转的性质可得∠BAD=55°，∠E=∠ACB=70°，在Rt△ACF中，由由直角三角形的性质可得∠DAC=20°， 则∠BAC=∠BAD+∠DAC=75° ．
6．如图，在中，的垂直平分线交于点，平分，若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵DE是AC的垂直平分线
∴AD=CD，∠ACD=∠A=50°
∵平分
∴∠ACB=2∠ACD=100°
∴∠B=180°-100°-50°=30°
故选：B．
【分析】
先利用垂直平分线的性质与角平分线的定义，得到∠ACB的度数，最后结合三角形内角和定理，计算出∠B的度数.
7．若关于 的分式方程 有增根，则 的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】分式方程的增根
【解析】【解答】解： ，
方程两边都乘（x 1）得2m 1 7x＝5（x 1），
∵原方程有增根，
∴最简公分母x 1＝0，
解得x＝1，
当x＝1时，2m 1 7＝0，
解得m＝4．
故答案为：D．
【分析】将分式方程转化为2m 1 7x＝5（x 1），根据增根的意义得到x＝1，然后将x＝1代入整式方程，即可求出m的值．
8．如图，中，对角线、相交于点O，交于点E，连接，若的周长为28，则的周长为（　　）
A．28 B．24 C．21 D．14
【答案】D
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，，
∵平行四边形的周长为28，
∴
∵，
∴是线段的中垂线，
∴，
∴的周长，
故选D．
【分析】
先利用平行四边形的性质得到对应边的关系，再结合中垂线定理得到线段等量关系，最后结合题干信息计算求解，即可得到答案。
二、填空题：（共5小题，每小题3分，计15分）
9．因式分解： ＝　 　．
【答案】x(x－1)2
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：原式=x（x2-2x+1）=x（x-1）2.
故答案为：x（x-1）2.
【分析】观察此多项式的特点，有公因式x，因此先提取公因式，再利用完全平方公式分解因式即可。
10．如图，五边形中，，则的度数是　 　．
【答案】
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：延长，如图所示：
∴
∴
故答案为：．
【分析】延长，先利用邻补角求出∠5的度数，再利用多边形的外角和求出即可.
11．已知不等式组的解集为，则的值为　 　．
【答案】
【知识点】解一元一次不等式组；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：，
解不等式①：
，
，
，
解不等式②：
，
，
不等式组的解集为：，
不等式组的解集为，
，，
解得：，，
，
故答案为：．
【分析】
先分别求出不等式组中每个不等式的解集，再找出两个解集的公共部分得到不等式组的最终解集；之后结合题目给出的解集条件，就能确定出参数a、b的取值，最后将a、b代入待求的代数式计算，就能得到最终结果.
12．一次函数与的图象如图所示，则不等式的解集是　 　．
【答案】
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：，
观察函数图象，发现：当时，直线在直线的上方，且当时，两直线相交，
∴不等式的解集是．
故答案为：．
【分析】
不等式的解集即直线在直线上方包括相交时对应的自变量x的取值．
13．如图，在中，，．点、分别是边、上的动点，连接、，点、分别是、的中点，连接，则的最小值为　 　．
【答案】
【知识点】垂线段最短及其应用；勾股定理；平行四边形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图，连接，
∵点、分别是、的中点，
∴，
∴当取最小值时，可取得最小值，
如图，过点作于点，此时线段的长最小，
在中，，，．
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的最小值是．
故答案为：．
【分析】
连接，根据三角形中位线定理可得，再由垂线段最短知当AG垂直BC时AG有最小值，则对应地此时EF也有最小值．
三、解答题（共13小题，计81分，解答题应写出过程）
14．解不等式组：，并将不等式组的解集在数轴上表示出来．
【答案】解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集为：，
∴表示在数轴上为：
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【分析】
分别求出两个不等式的解集，得到不等式组的总解集后，再将其表示在数轴上即可.
15．计算：．
【答案】解：原式
．

【知识点】分式的混合运算
【解析】【分析】先对原式括号内的两项进行通分，再按照同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则对原式变形，完成约分后即可得到最终结果.
16．解分式方程：
【答案】解：方程两边同乘以，得，
解得，
检验：当时，，
∴原方程的解为．

【知识点】去分母法解分式方程
【解析】【分析】按照解分式方程的常规步骤进行求解即可.
17．如图，已知四边形，点E在边上，且．请用尺规作图法，在边上求作一点P，使与面积相等．（保留作图痕迹，不写作法）
【答案】答：如图，点P即为所求．
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：如图，点P即为所求．
．
延长，过点P作于点H，于点G，
∴，
∴，
∴．
【分析】
由于指定两三角形中CB＝CE，若两三角形面积相等，则点P到两边距离相等，由角平分线的性质与判定定理可作的角平分线交边AD于点P即可．
18．如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，．
（1）请画出关于原点对称的图形，并写出点的对应点的坐标；
（2）请画出绕原点逆时针方向旋转后得到的图形．
【答案】（1）解：如图，即为所求，点的坐标；
（2）解：如图，即为所求．
【知识点】作图﹣旋转；坐标与图形变化﹣中心对称；同侧一线三垂直全等模型；全等三角形中对应边的关系；作图﹣中心对称
【解析】【分析】（1）关于原点对称点的坐标特征是横、纵坐标都互为相反数，可分别作出A，B，C的对应点，，，再顺次连接，，即可；
（2）由于旋转角是90度，则可利用一线三垂直全等模型分别作出A，B，C的对应点，，，再顺次连接，，即可．
（1）解：如图，即为所求，点的坐标；
（2）解：如图，即为所求．
19．如图所示，中，，是的中点，、分别是、上的点，且，求证：．
【答案】证明：连接，
，是的中点，
，
在和中，
，
∴，
．
【知识点】三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】
先连接，已知，且是的中点，根据等腰三角形三线合一的性质，可以得到。通过边角边，也就是判定定理，证明，最后根据全等三角形对应边相等，就可以推导出.
20．“稻花香里说丰年，听取蛙声一片”．稻花香大米的米粒似珍珠，晶莹剔透，米饭闻之清香扑鼻，口感柔软劲道，是餐桌上的佳品．某超市决定采购甲、乙两种类型的稻花香大米，已知甲种类型稻花香大米每千克20元，乙种类型稻花香大米每千克16元．若该超市准备采购甲、乙两种类型稻花香大米共1000千克，并且采购费用不多于18000元，则超市最多采购甲种类型稻花香大米多少千克？
【答案】解：设超市采购甲种类型稻花香大米千克，则采购乙种类型稻花香大米千克，
根据题意得，
解得．
答：超市最多采购甲种类型稻花香大米500千克．
【知识点】一元一次不等式的应用
【解析】【分析】设超市采购甲种类型稻花香大米千克，则采购乙种类型稻花香大米千克，再利用不等关系“采购费用不多于18000元”列关于m的不等式并求解即可．
21．仔细阅读下面例题，解答问题：
例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值．
解：设另一个因式为，得
则
．
解得：，
另一个因式为，的值为
问题：仿照以上方法解答下面问题：
已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值．
【答案】解：设另一个因式为，得：
，
则
．
解得：，．
∴另一个因式为，的值为20．
【知识点】多项式乘多项式；解二元一次方程组
【解析】【分析】
设这个多项式的另一个因式为，只需要按照题干给出的解题方法，一步步计算就能得到结果.
22．某中学组织学生去福利院慰问，在准备礼品时发现，购买个甲礼品比购买个乙礼品多花元，并且花费元购买甲礼品和花费元购买乙礼品的数量相等．甲、乙两种礼品的单价各为多少元？
【答案】解：设购买一个乙礼品需要元，则购买一个甲礼品需要元，根据题意得，，
解得，
经检验是原方程的解，且符合题意，
∴，
答：甲礼品的单价为元，乙礼品的单价为元．
【知识点】分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】设购买一个乙礼品需要元，则购买一个甲礼品需要元，根据相等关系“元购买甲礼品和花费元购买乙礼品的数量相等 ”可得关于x的分式方程并求解即可．
23．如图，在ABCD中，点M、N分别是AD、BC上的两点，点E、F在对角线BD上，且DM＝BN时，DF＝BE，求证：四边形MENF是平行四边形．
【答案】证明：在平行四边形ABCD中，AD∥BC，
∴∠ADB=∠CBD．
在△BNE和△DMF中，
∴△BNE≌△DMF（SAS），
∴MF=NE，∠DFM=∠BEN，
∴∠EFM=∠FEN，
∴EN//FM．
∴四边形MENF是平行四边形．
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系；全等三角形中对应角的关系；内错角相等，两直线平行
【解析】【分析】由于一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，则可由平行四边形的性质结合已知再利用SAS先证明△DMF≌△BNE，由全等的性质可得MF=NE，∠DFM=∠BEN，再由等角的补角相等证明∠FEN=∠EFM，即可由平行线的判定得EN//FM即可．
24．如图，在中，，点是上一点，连接，，平分交于点．
（1）求证：垂直平分；
（2）若，点为的中点，连接，求的长．
【答案】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
即为等腰三角形，
∵平分，
∴，
∴垂直平分；
（2）解：在中，，
∴，
∵垂直平分，
∴，
∴，
∵点为中点，点为中点，
∴为的中位线，
∴．
【知识点】等腰三角形的判定；三角形的中位线定理；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】（1）先由同角的余角相等及等角对等边可得AC＝AD，再利用等腰三角形三线合一即可；
（2）先利用勾股定理可得AB的长，再利用线段的和差关系可得BD的长，由于F为BC中点，则可利用三角形中位线定理得EF等于BD的一半即可．
（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
即为等腰三角形，
∵平分，
∴，
∴垂直平分；
（2）解：在中，，
∴，
∵垂直平分，
∴，
∴，
∵点为中点，点为中点，
∴为的中位线，
∴．
25．甲、乙两家超市以相同的价格出售同样的商品，为了吸引顾客，各自推出不同的优惠方案：在甲超市累计购买商品超出300元之后，超出部分按原价8折优惠；在乙超市累计购买商品超出200元之后，超出部分按原价8.5折优惠．设顾客预计累计购物元（）．
（1）请用含代数式分别表示顾客在两家超市购物所付的费用：设甲超市购物所付的费用为，则______元；设乙超市购物所付的费用为，则______元．
（2）李明购买多少元商品时到甲超市购物比较优惠？
【答案】（1），
（2）解：由题意可得，，解得，
∴购物消费需超过600元．
【知识点】一元一次不等式的应用；用代数式表示实际问题中的数量关系
【解析】【解答】
（1）
解：根据题意可得：
甲超市：，
乙超市：．
【分析】
（1）先由优惠办法分别列代数式即可；
（2）由题意可列关于x的不等式并求解即可．
（1）解：根据题意可得：
甲超市：，
乙超市：．
（2）解：由题意可得，，
解得，
∴购物消费需超过600元．
26．如图，长方形纸片ABCD放置在平面直角坐标系中，A与原点O重合．B、D分别在x轴和y轴上，，．
（1）直接写出C点坐标；
（2）如图①折叠使B落在线段AC的处，折痕为CE，求E点坐标；
（3）如图②点P在线段DC上，若为等腰三角形，试求满足条件的所有P点坐标．
【答案】（1）
（2）在中，
∵折叠使B落在线段AC的B处，
∴，
∴
∴
∴
即
解得：
∴；
（3）如图，若为等腰三角形，
①当，即点P在AB的垂直平分线上，
∴；
②当
∴
∴；
③当BA=BP=8，即
∴
∴
∴；
综上所述，若为等腰三角形，P点坐标为：．
【知识点】坐标与图形性质；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】（1）∵四边形ABCD是矩形，∴CD=AB=8，BC=AD=6，∴；
【分析】
（1）已知四边形ABCD是矩形，根据矩形对边相等、四个内角为直角的性质，可得CD=AB=8，BC=AD=6，，据此即可得出点C的坐标为；
（2）在中，由勾股定理可计算出对角线；再根据折叠的性质，可得折叠后，由此可推出，最后结合勾股定理列方程，即可得到对应结论；
（3）分三种不同情况讨论：①当时；②当时；③当BA=BP=8时，最终均利用勾股定理即可求得对应结果．
1 / 1

展开更多......

收起↑