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四川省凉山州2024-2025学年八年级下学期期末考试数学试题
一、选择题（共12小题，每小题只有一个正确答案，每小题4分，共48分）
1．下列各式中，属于最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A、的被开放数中含有分数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
B、是最简二次根式，故本选项符合题意；
C、的被开方数中在分母中，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
D、的被开方数中含有能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
故选：B．
【分析】
根据最简二次根式需要同时满足两个要求：第一，被开方数里不包含还能开得尽方的因数或者因式；第二，被开方数的因数是整数，因式是整式。按照这个规则逐个判断选项，就能得到正确结果.
2．如图所示，数轴上点A所表示的数为a，则a的值是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】运用勾股定理在数轴上标出无理数对应点
【解析】【解答】解：如图，
∴，
∵，
∴，
∴点表示的数是，
故答案为：C．
【分析】先标注数轴，得到，然后利用勾股定理求出，即可得出答案．
3．下列数据中不能作为直角三角形的三边长的是( )
A．1，，2 B．7，24，25 C．. D．1，，
【答案】C
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A、由，得能构成直角三角形，故A不符合题意；B、由，得能构成直角三角形，故B不符合题意；
C、由，得不能构成直角三角形，故C符合题意；
D、由，得能构成直角三角形，故D不符合题意；
故答案为：C．
【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形，认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．
4．已知一组数据，，，，的平均数是2，方差是2，那另一组数据，，，，，的平均数和方差分别为（　　）
A．4，4 B．3，3 C．3，8 D．3，4
【答案】C
【知识点】平均数及其计算；方差
【解析】【解答】解：∵一组数据，，，，的平均数是2，方差是2，
∴，，
∴新数据的平均数为
，
新数据的方差为
，
故答案为：C．
【分析】先由原数据的平均数及方差得出，，再依据平均数和方差的定义计算新数据的平均数和方差即可．
5．已知一次函数的图象不经过第三象限，则k、b的情况为（　　）
A．， B．， C．， D．，
【答案】B
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：一次函数的图象不经过第三象限，
，，
故答案为：B．
【分析】根据一次函数的图像与性质：当时，直线必经过一、三象限；当时，直线必经过二、四象限；当时，直线与轴正半轴相交；当时，直线过原点；当时，直线与轴负半轴相交．据此根据图象在坐标平面内的位置关系确定，的取值范围，从而求解．
6．已知点（﹣2，y1），（﹣1，y2），（1，y3）都在直线y＝3x+b上，则y1，y2，y3的值的大小关系是（　　）
A．y1＞y2＞y3 B．y3＞y1＞y2 C．y1＜y2＜y3 D．y3＜y1＜y2
【答案】C
【知识点】比较一次函数值的大小
【解析】【解答】解：∵直线，
∴，∴随的增大而增大，
∵，且，
∴，
故答案为：C．
【分析】根据一次函数的性质，当，随的增大而增大；当，随的增大而减小.由直线解析式判断出函数图象的增减性，再根据各点横坐标的大小进行判断即可．
7．将五个边长都为 2 的正方形按如图所示摆放，点 分别是四个正方形的中心，则图中四块阴影面积的和为(　　)
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】B
【知识点】正方形的判定与性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：如图，连接AP，AN，点A是正方形的对角线的交点，
∵AP=AN，∠APF=∠ANE=45°，
∵∠PAF+∠FAN=∠FAN+∠NAE=90°，
∴∠PAF=∠NAE，
∴△PAF≌△NAE，
∴四边形AENF的面积等于△NAP的面积，
∵△NAP的面积是正方形的面积的，正方形的面积为4，
∴四边形AENF的面积为1cm2，四块阴影面积的和为4cm2．
故答案为：B．
【分析】连接AP、AN，可以证明△PAF≌△NAE，就可得出四边形AENF的面积等于△NAP的面积，同理可得四块阴影面积相同，由此可以求解．
8．化简二次根式的结果是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次根式有无意义的条件；二次根式的性质与化简；解一元一次不等式
【解析】【解答】解：∵二次根式，
∴，
∴且，
∴，
∴
，
故答案为：D．
【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方数大于等于0，化为最简二次根式，先判断，再化简即可．
9．两直线与在同一坐标系中的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：A、∵直线的图象经过第一、三、四象限，
∴，
∵直线的图象经过第一、二、四象限，
∴，
∴A符合题意；
B、∵直线的图象经过第一、二、三象限，
∴，
∵直线的图象经过第一、二、四象限，
∴，
∴B不符合题意；
C、∵直线的图象经过第一、三、四象限，
∴，
∵直线的图象经过第二、三、四象限，
∴，
∴C不符合题意；
D、∵直线的图象经过第一、二、三象限，
∴，
∵直线的图象经过第二、三、四象限，
∴，
∴D不符合题意；
故答案为：A．
【分析】根据一次函数图象与系数的关系：对于一次函数（为常数，且）来说，当的图象在一、二、三象限；当的图象在一、三、四象限；当的图象在一、二、四象限；当的图象在二、三、四象限.据此根据对应选项中两个函数经过的象限分别判断出的符号，看是否一致即可得到答案．
10．“龟兔赛跑”讲述了这样的故事：领先的兔子看着缓慢爬行的乌龟，骄傲起来，睡了一觉．当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到达了终点．用，分别表示乌龟和兔子所行的路程，t表示时间，则下列图象中与故事情节相吻合的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】用图象表示变量间的关系
【解析】【解答】解：结合题目描述的故事情节分析，路程随时间变化的图象与故事发展吻合的是D选项，
故答案为：D．
【分析】结合故事内容，分析乌龟和兔子的路程随时间的变化规律，再对应到图象中判断，据此即可求解.
11．如图，以的三边为斜边向外作等腰直角三角形，设，，，，则它们之间的关系正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】三角形的面积；勾股定理；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：∵，
∴；
∵是等腰直角三角形，是斜边，
∴，
∴，
∴，
∴，
同理可得：，
∵，
∴，
∴，
故答案为：A．
【分析】利用勾股定理可得，根据等腰直角三角形的性质以及勾股定理得到，然后利用三角形的面积公式得到，同理可得：，最后根据，进行分析即可求解．
12．如图，点O为正方形的中心，平分交于点E，延长到点F，使，连结交的延长线于点H，连结交于点G，连结．则以下四个结论中：①，②，③，④．正确结论的个数为（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】C
【知识点】等腰三角形的判定与性质；正方形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：①∵四边形是正方形，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵点为正方形的中心，
∴，
∴是的中位线，
∴，故①正确；
②∵是的中位线，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，故②错误；
③∵四边形是正方形，
∴，
∵是的平分线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，故③错误；
④∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，故④正确；
综上所述，正确结论的个数为2个，
故答案为：C．
【分析】结合正方形性质证明，可得，再根据对顶角相等和等量代换可得，从而证明，可得，再根据三角形中位线定理，即可求证①正确；根据三角形中位线定理可得，，从而得，进而由，可得，即可求证②错误；根据正方形的性质得到，根据角平分线定义以及全等三角形性质得到，则结合平行线性质以及三角形内角和定理求出，由等腰三角形判定得到，即可求证③错误；根据直角三角形斜边上的中线性质得到，从而由等腰三角形“等边对等角”性质得到，进而根据角形外角的性质得到，即可求证④正确.
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
13． 与最简二次根式5 是同类二次根式，则a=　 　．
【答案】2
【知识点】同类二次根式
【解析】【解答】解：∵ 与最简二次根式5 是同类二次根式，且 =2 ，
∴a+1=3，解得：a=2．
故答案为2．
【分析】首先根据二次根式的性质，将化为最简二次根式，再根据同类二次根式的概念列出方程，求解即可。
14．要使代数式 有意义，则x的取值范围是　 　．
【答案】x≥ 且x≠1
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：由题意可得：2x﹣1≥0，x﹣1≠0，
解得：x≥ 且x≠1．
故答案为：x≥ 且x≠1．
【分析】根据二次根据有意义的条件，被开方数是非负数且分母不为零进行计算即可得到结论.
15．如图，函数和的图象相交于点，则不等式的解集为　 　．
【答案】
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：∵函数和的图象相交于点，
∴观察函数图象得：当时，有，
∴关于的不等式，的解集为，
故答案为：B．
【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系，利用函数图象写出直线在直线上方所对应的自变量的范围即可．
16．如图，等腰△ABC的底边BC=20，面积为120，点F在边BC上，且BF=3FC，EG是腰AC的垂直平分线，若点D在EG上运动，则△CDF周长的最小值为　 　．
【答案】18
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】
∵EG垂直平分线段AC，
∴DA=DC，
∴DF+DC=AD+DF，
∴当A、D、F共线时DF+DC最小，最小值就是线段AF的长．
∵
∴AH=12
∵AB=AC，AH⊥BC，
∴BH=CH=10，
∵BF=3FC，
∴CF=FH=5，
∴
∴DF+DC的最小值为13
∴△CDF的周长最短=13+5=18.
故答案为18.
【分析】
过点A作AH垂直BC于点H，连接AD，因为EG是线段AC的垂直平分线，所以可以得到DA=DC，因此DF+DC=AD+DF，由此可知当A、D、F三点共线时，DF+DC的值最小，这个最小值就是线段AF的长度．
17．如图，为等边三角形，P为内部的任意一点，，，，若的周长为12，则　 　．
【答案】4
【知识点】等边三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质；两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：如图，延长交于点，
∵是等边三角形，
∴，，
∵的周长为12，
∴，
∵，
∴，，
∴为等边三角形，
∴，
∵，
∴，，
∴为等边三角形，
∴，
∵，，
∴四边形为平行四边形，
∴，
∴，
故答案为：4．
【分析】延长交于点，根据等边三角形的性质求得，然后结合平行线性质证明，为等边三角形，得，，接下来证四边形为平行四边形，得，即可得到的值.
18．如图，依次连结第一个矩形各边的中点得到一个菱形，再依次连结菱形各边的中点得到第二个矩形，…，按此方法继续下去．已知第一个矩形的面积为1，则第n个矩形的面积为　 　请用含的式子写出你猜想的规律．
【答案】
【知识点】用代数式表示图形变化规律；探索规律-图形的递变规律
【解析】【解答】解：∵第个矩形的面积为，
第个矩形的面积为，
第个矩形的面积为，
……
第个矩形的面积为，
故答案为：．
【分析】已知第1个矩形的面积为1，连接第1个矩形各边的中点得到第1个菱形，根据中点四边形的性质得到该菱形的面积是第1个矩形面积的一半，即，连接该菱形各边的中点得到第2个矩形，该矩形的面积是菱形面积的一半，即，同理连接第2个矩形各边的中点得到第2个菱形，其面积为，再连接第2个菱形各边的中点得到第3个矩形，其面积为，......，据此可归纳出第个矩形的面积为.
三、解答题（本大题共7小题，共78分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
19．计算：
（1）
（2）
【答案】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
【知识点】平方差公式及应用；负整数指数幂；二次根式的性质与化简；二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）先利用二次根式的性质将二次根式化为最简二次根式，然后计算二次根式的乘法，最后进行加减运算即可求解；
（2）利用同底数幂的乘法和积的乘方将化为，同时利用负整数指数幂计算，然后利用平方差公式和有理数的乘方进行简便运算，最后进行加减运算即可求解.
（1）解：
；
（2）
．
20．如图，，分别是平行四边形的内角，的平分线．求证：四边形是平行四边形．
【答案】证明：如图，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵，分别平分，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形．
【知识点】平行四边形的判定与性质；角平分线的概念
【解析】【分析】根据平行四边形的性质得到，，结合角平分线定义得到，然后根据平行线性质得到，进行等量代换得到，于是证明，最后根据平行四边形判定得证结论.
21．已知，求下列各式的值：
（1）； （2）．
【答案】解：∵，
∴ ， ，
∴（1）；
（2）．
【知识点】二次根式的混合运算；因式分解-平方差公式；因式分解-完全平方公式
【解析】【分析】先求出 ， ，
（1）然后利用完全平方公式进行因式分解，再整体代入即可求出答案.
（2）然后利用平方差公式进行因式分解，再整体代入即可求出答案.
22．为了了解某校初中各年级学生每天的平均睡眠时间（单位：小时），精确到1小时，抽样调查了部分学生，并用得到的数据绘制了下面两幅不完整的统计图．
请你根据图中提供的信息，回答下列问题：
（1）求出扇形统计图中百分数a的值为______，所抽查的学生人数为______．
（2）求出平均睡眠时间为7小时、8小时的人数，并补全条形统计图．
（3）求出这部分学生的平均睡眠时间的众数和平均数．
（4）如果该校共有学生1200名，请你估计睡眠不足（少于）8小时的学生数．
【答案】（1），；
（2）解：根据题意，得平均睡眠时间为8小时的人数为：（人），
平均睡眠时间为7小时的人数为：（人），
∴补全条形统计图如下图所示：
（3）解：根据题意，得平均睡眠时间为7小时的人数所占的百分比最大，
∴这部分学生的平均睡眠时间的众数是7小时，平均数为：小时；
（4）解：（人），
∴1200名学生中睡眠不足（少于8小时）的学生数为780人．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；加权平均数及其计算；众数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）根据题意，得，所抽查的学生人数为：（人），
故答案为：，.
【分析】（1）根据扇形统计图的数据得到的值，用睡眠时间为6小时的人数除以其所占百分比得到本次调查的学生人数；
（2）根据（1）中的结果和所占的百分比，可以计算出睡眠时间为7或8小时的人数，然后将统计图补充完整；
（3）根据众数的定义和平均数的计算方法即可求解；
（4）根据样本估计总体，用1200乘以睡眠不足（少于8小时）的学生所占比即可求解.
23．交通安全是社会关注的热点问题，安全隐患主要是超速、超载、不按规定行驶．某中学八年级数学活动小组的同学进行了测试汽车速度的实验．如图，先在笔直的公路l旁选取一点P，在公路l上确定点，使得，米，．这时，一辆轿车在公路l上由B向A匀速驶来，测得此车从B处行驶到A处所用的时间为3秒，并测得．此路段限速每小时80千米，试判断此车是否超速？请说明理由（参考数据：）．
【答案】解：此车超速．
理由：，，
是等腰直角三角形．
米．
在中，，
．
米．
由勾股定理得米，
米．
汽车的速度（米/秒）千米/小时千米/小时．
答：此车超速．
【知识点】勾股定理的实际应用-其他问题
【解析】【分析】
已知PO垂直于l，PO的长度为100米，，先计算出BO的长度；再结合=60°这个条件，在直角三角形OAP中计算出OA的长度，进而就能得到AB的路程长度。接下来根据“速度=路程÷时间”计算出汽车的实际行驶速度，最后将计算得到的速度和该路段每小时80千米的限速进行对比，即可完成题目的解答.
24．如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴、轴交于点、点，且与直线交于点．
（1）分别求出点、、的坐标；
（2）若是线段上的点，且的面积为，求直线的函数表达式．
【答案】（1）解：∵直线，交于点，
∴令＝，
解得：，
把代入中，得：，
∴，
∵直线分别与轴，轴交于点、点，
∴当时，有；当时，有，
∴，；
（2）解：设点的坐标为，
∵，
∴，
解得：，
∴，
设直线的函数表达式为，
把，代入函数表达式，得，
解得：，
∴直线 的函数表达式为．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；两一次函数图象相交或平行问题；一次函数图象与坐标轴交点问题；一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）联立两条直线函数表达式即可求交点，直线中，令即可求出点坐标，令即可求出点坐标；
（2）设点的坐标为，根据三角形面积公式列方程得到点坐标，然后利用待定系数法求直线的函数表达式.
25．如图，在中，，，，点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动，同时点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点，运动的时间是．过点作于点，连接，．
（1）四边形能成为菱形吗？若能，求出相应的值；若不能，请说明理由；
（2）当为何值时，为直角三角形？请说明理由．
【答案】（1）解：四边形能够成为菱形，理由如下：如图 1，
根据题意得：，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
当时，四边形是菱形．
∵，，
∴，
∴，
解得：，
∴当为时，四边形是菱形；
（2）解：分三种情况：①当时，如图2，
∴，
∴四边形为矩形，
∵，，，
∴，，
∵，
∴，
解得：；
②当时，如图3，
∵四边形为平行四边形，
∴，
∴，
在中，，，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
解得：；
③当时，
∵，
∴，
此时点与点重合，即点到达点，
∴，
此时，
∴点到达点，
∴此时不存在，
∴当时不符合题意；
综上所述，当为或时，为直角三角形．
【知识点】含30°角的直角三角形；平行四边形的判定与性质；菱形的判定与性质；矩形的判定与性质；四边形-动点问题
【解析】【分析】（1）如图1，根据时间和速度表示出和的长，求出，利用角所对的直角边等于斜边的一半求出的长，从而得到，然后证明四边形为平行四边形，根据菱形的判定可知四边形能够成为菱形，则必有邻边相等，则，求出的长，最后列方程求解即可；
（2）当为直角三角形时，有三种情况：①当时，证明四边形为矩形，利用角所对的直角边等于斜边的一半以及矩形的性质求出的长，最后列方程求解即可；②当时，根据平行四边形得到，从而得到，进而求出，利用角所对的直角边等于斜边的一半以及矩形的性质求出的长，最后列方程求解即可；③当时，不符合题意.
（1）解：四边形能够成为菱形．理由如下：
如图 1，
由题意得：，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
当时，四边形是菱形．
∵，，
∴，
∴，
解得：，
∴当为时，四边形是菱形；
（2）分三种情况：
①当时，如图2，
∴，
∴四边形为矩形，
∵，，，
∴，，
∵，
∴，
解得：；
②当时，如图3
∵四边形为平行四边形
∴
∴，
在中，，，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
解得：；
③当时，
∵，
∴，
此时点与点重合，即点到达点，
则，
此时，
即点到达点，
此时不存在，
故当时不符合题意；
综上所述，当为或时，为直角三角形．
1 / 1四川省凉山州2024-2025学年八年级下学期期末考试数学试题
一、选择题（共12小题，每小题只有一个正确答案，每小题4分，共48分）
1．下列各式中，属于最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
2．如图所示，数轴上点A所表示的数为a，则a的值是（　　）
A． B． C． D．
3．下列数据中不能作为直角三角形的三边长的是( )
A．1，，2 B．7，24，25 C．. D．1，，
4．已知一组数据，，，，的平均数是2，方差是2，那另一组数据，，，，，的平均数和方差分别为（　　）
A．4，4 B．3，3 C．3，8 D．3，4
5．已知一次函数的图象不经过第三象限，则k、b的情况为（　　）
A．， B．， C．， D．，
6．已知点（﹣2，y1），（﹣1，y2），（1，y3）都在直线y＝3x+b上，则y1，y2，y3的值的大小关系是（　　）
A．y1＞y2＞y3 B．y3＞y1＞y2 C．y1＜y2＜y3 D．y3＜y1＜y2
7．将五个边长都为 2 的正方形按如图所示摆放，点 分别是四个正方形的中心，则图中四块阴影面积的和为(　　)
A．2 B．4 C．6 D．8
8．化简二次根式的结果是（　　）
A． B． C． D．
9．两直线与在同一坐标系中的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
10．“龟兔赛跑”讲述了这样的故事：领先的兔子看着缓慢爬行的乌龟，骄傲起来，睡了一觉．当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到达了终点．用，分别表示乌龟和兔子所行的路程，t表示时间，则下列图象中与故事情节相吻合的是（　　）
A． B．
C． D．
11．如图，以的三边为斜边向外作等腰直角三角形，设，，，，则它们之间的关系正确的是（　　）
A． B． C． D．
12．如图，点O为正方形的中心，平分交于点E，延长到点F，使，连结交的延长线于点H，连结交于点G，连结．则以下四个结论中：①，②，③，④．正确结论的个数为（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
13． 与最简二次根式5 是同类二次根式，则a=　 　．
14．要使代数式 有意义，则x的取值范围是　 　．
15．如图，函数和的图象相交于点，则不等式的解集为　 　．
16．如图，等腰△ABC的底边BC=20，面积为120，点F在边BC上，且BF=3FC，EG是腰AC的垂直平分线，若点D在EG上运动，则△CDF周长的最小值为　 　．
17．如图，为等边三角形，P为内部的任意一点，，，，若的周长为12，则　 　．
18．如图，依次连结第一个矩形各边的中点得到一个菱形，再依次连结菱形各边的中点得到第二个矩形，…，按此方法继续下去．已知第一个矩形的面积为1，则第n个矩形的面积为　 　请用含的式子写出你猜想的规律．
三、解答题（本大题共7小题，共78分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
19．计算：
（1）
（2）
20．如图，，分别是平行四边形的内角，的平分线．求证：四边形是平行四边形．
21．已知，求下列各式的值：
（1）； （2）．
22．为了了解某校初中各年级学生每天的平均睡眠时间（单位：小时），精确到1小时，抽样调查了部分学生，并用得到的数据绘制了下面两幅不完整的统计图．
请你根据图中提供的信息，回答下列问题：
（1）求出扇形统计图中百分数a的值为______，所抽查的学生人数为______．
（2）求出平均睡眠时间为7小时、8小时的人数，并补全条形统计图．
（3）求出这部分学生的平均睡眠时间的众数和平均数．
（4）如果该校共有学生1200名，请你估计睡眠不足（少于）8小时的学生数．
23．交通安全是社会关注的热点问题，安全隐患主要是超速、超载、不按规定行驶．某中学八年级数学活动小组的同学进行了测试汽车速度的实验．如图，先在笔直的公路l旁选取一点P，在公路l上确定点，使得，米，．这时，一辆轿车在公路l上由B向A匀速驶来，测得此车从B处行驶到A处所用的时间为3秒，并测得．此路段限速每小时80千米，试判断此车是否超速？请说明理由（参考数据：）．
24．如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴、轴交于点、点，且与直线交于点．
（1）分别求出点、、的坐标；
（2）若是线段上的点，且的面积为，求直线的函数表达式．
25．如图，在中，，，，点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动，同时点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点，运动的时间是．过点作于点，连接，．
（1）四边形能成为菱形吗？若能，求出相应的值；若不能，请说明理由；
（2）当为何值时，为直角三角形？请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A、的被开放数中含有分数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
B、是最简二次根式，故本选项符合题意；
C、的被开方数中在分母中，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
D、的被开方数中含有能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
故选：B．
【分析】
根据最简二次根式需要同时满足两个要求：第一，被开方数里不包含还能开得尽方的因数或者因式；第二，被开方数的因数是整数，因式是整式。按照这个规则逐个判断选项，就能得到正确结果.
2．【答案】C
【知识点】运用勾股定理在数轴上标出无理数对应点
【解析】【解答】解：如图，
∴，
∵，
∴，
∴点表示的数是，
故答案为：C．
【分析】先标注数轴，得到，然后利用勾股定理求出，即可得出答案．
3．【答案】C
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A、由，得能构成直角三角形，故A不符合题意；B、由，得能构成直角三角形，故B不符合题意；
C、由，得不能构成直角三角形，故C符合题意；
D、由，得能构成直角三角形，故D不符合题意；
故答案为：C．
【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形，认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．
4．【答案】C
【知识点】平均数及其计算；方差
【解析】【解答】解：∵一组数据，，，，的平均数是2，方差是2，
∴，，
∴新数据的平均数为
，
新数据的方差为
，
故答案为：C．
【分析】先由原数据的平均数及方差得出，，再依据平均数和方差的定义计算新数据的平均数和方差即可．
5．【答案】B
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：一次函数的图象不经过第三象限，
，，
故答案为：B．
【分析】根据一次函数的图像与性质：当时，直线必经过一、三象限；当时，直线必经过二、四象限；当时，直线与轴正半轴相交；当时，直线过原点；当时，直线与轴负半轴相交．据此根据图象在坐标平面内的位置关系确定，的取值范围，从而求解．
6．【答案】C
【知识点】比较一次函数值的大小
【解析】【解答】解：∵直线，
∴，∴随的增大而增大，
∵，且，
∴，
故答案为：C．
【分析】根据一次函数的性质，当，随的增大而增大；当，随的增大而减小.由直线解析式判断出函数图象的增减性，再根据各点横坐标的大小进行判断即可．
7．【答案】B
【知识点】正方形的判定与性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：如图，连接AP，AN，点A是正方形的对角线的交点，
∵AP=AN，∠APF=∠ANE=45°，
∵∠PAF+∠FAN=∠FAN+∠NAE=90°，
∴∠PAF=∠NAE，
∴△PAF≌△NAE，
∴四边形AENF的面积等于△NAP的面积，
∵△NAP的面积是正方形的面积的，正方形的面积为4，
∴四边形AENF的面积为1cm2，四块阴影面积的和为4cm2．
故答案为：B．
【分析】连接AP、AN，可以证明△PAF≌△NAE，就可得出四边形AENF的面积等于△NAP的面积，同理可得四块阴影面积相同，由此可以求解．
8．【答案】D
【知识点】二次根式有无意义的条件；二次根式的性质与化简；解一元一次不等式
【解析】【解答】解：∵二次根式，
∴，
∴且，
∴，
∴
，
故答案为：D．
【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方数大于等于0，化为最简二次根式，先判断，再化简即可．
9．【答案】A
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：A、∵直线的图象经过第一、三、四象限，
∴，
∵直线的图象经过第一、二、四象限，
∴，
∴A符合题意；
B、∵直线的图象经过第一、二、三象限，
∴，
∵直线的图象经过第一、二、四象限，
∴，
∴B不符合题意；
C、∵直线的图象经过第一、三、四象限，
∴，
∵直线的图象经过第二、三、四象限，
∴，
∴C不符合题意；
D、∵直线的图象经过第一、二、三象限，
∴，
∵直线的图象经过第二、三、四象限，
∴，
∴D不符合题意；
故答案为：A．
【分析】根据一次函数图象与系数的关系：对于一次函数（为常数，且）来说，当的图象在一、二、三象限；当的图象在一、三、四象限；当的图象在一、二、四象限；当的图象在二、三、四象限.据此根据对应选项中两个函数经过的象限分别判断出的符号，看是否一致即可得到答案．
10．【答案】D
【知识点】用图象表示变量间的关系
【解析】【解答】解：结合题目描述的故事情节分析，路程随时间变化的图象与故事发展吻合的是D选项，
故答案为：D．
【分析】结合故事内容，分析乌龟和兔子的路程随时间的变化规律，再对应到图象中判断，据此即可求解.
11．【答案】A
【知识点】三角形的面积；勾股定理；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：∵，
∴；
∵是等腰直角三角形，是斜边，
∴，
∴，
∴，
∴，
同理可得：，
∵，
∴，
∴，
故答案为：A．
【分析】利用勾股定理可得，根据等腰直角三角形的性质以及勾股定理得到，然后利用三角形的面积公式得到，同理可得：，最后根据，进行分析即可求解．
12．【答案】C
【知识点】等腰三角形的判定与性质；正方形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：①∵四边形是正方形，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵点为正方形的中心，
∴，
∴是的中位线，
∴，故①正确；
②∵是的中位线，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，故②错误；
③∵四边形是正方形，
∴，
∵是的平分线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，故③错误；
④∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，故④正确；
综上所述，正确结论的个数为2个，
故答案为：C．
【分析】结合正方形性质证明，可得，再根据对顶角相等和等量代换可得，从而证明，可得，再根据三角形中位线定理，即可求证①正确；根据三角形中位线定理可得，，从而得，进而由，可得，即可求证②错误；根据正方形的性质得到，根据角平分线定义以及全等三角形性质得到，则结合平行线性质以及三角形内角和定理求出，由等腰三角形判定得到，即可求证③错误；根据直角三角形斜边上的中线性质得到，从而由等腰三角形“等边对等角”性质得到，进而根据角形外角的性质得到，即可求证④正确.
13．【答案】2
【知识点】同类二次根式
【解析】【解答】解：∵ 与最简二次根式5 是同类二次根式，且 =2 ，
∴a+1=3，解得：a=2．
故答案为2．
【分析】首先根据二次根式的性质，将化为最简二次根式，再根据同类二次根式的概念列出方程，求解即可。
14．【答案】x≥ 且x≠1
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：由题意可得：2x﹣1≥0，x﹣1≠0，
解得：x≥ 且x≠1．
故答案为：x≥ 且x≠1．
【分析】根据二次根据有意义的条件，被开方数是非负数且分母不为零进行计算即可得到结论.
15．【答案】
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：∵函数和的图象相交于点，
∴观察函数图象得：当时，有，
∴关于的不等式，的解集为，
故答案为：B．
【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系，利用函数图象写出直线在直线上方所对应的自变量的范围即可．
16．【答案】18
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】
∵EG垂直平分线段AC，
∴DA=DC，
∴DF+DC=AD+DF，
∴当A、D、F共线时DF+DC最小，最小值就是线段AF的长．
∵
∴AH=12
∵AB=AC，AH⊥BC，
∴BH=CH=10，
∵BF=3FC，
∴CF=FH=5，
∴
∴DF+DC的最小值为13
∴△CDF的周长最短=13+5=18.
故答案为18.
【分析】
过点A作AH垂直BC于点H，连接AD，因为EG是线段AC的垂直平分线，所以可以得到DA=DC，因此DF+DC=AD+DF，由此可知当A、D、F三点共线时，DF+DC的值最小，这个最小值就是线段AF的长度．
17．【答案】4
【知识点】等边三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质；两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：如图，延长交于点，
∵是等边三角形，
∴，，
∵的周长为12，
∴，
∵，
∴，，
∴为等边三角形，
∴，
∵，
∴，，
∴为等边三角形，
∴，
∵，，
∴四边形为平行四边形，
∴，
∴，
故答案为：4．
【分析】延长交于点，根据等边三角形的性质求得，然后结合平行线性质证明，为等边三角形，得，，接下来证四边形为平行四边形，得，即可得到的值.
18．【答案】
【知识点】用代数式表示图形变化规律；探索规律-图形的递变规律
【解析】【解答】解：∵第个矩形的面积为，
第个矩形的面积为，
第个矩形的面积为，
……
第个矩形的面积为，
故答案为：．
【分析】已知第1个矩形的面积为1，连接第1个矩形各边的中点得到第1个菱形，根据中点四边形的性质得到该菱形的面积是第1个矩形面积的一半，即，连接该菱形各边的中点得到第2个矩形，该矩形的面积是菱形面积的一半，即，同理连接第2个矩形各边的中点得到第2个菱形，其面积为，再连接第2个菱形各边的中点得到第3个矩形，其面积为，......，据此可归纳出第个矩形的面积为.
19．【答案】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
【知识点】平方差公式及应用；负整数指数幂；二次根式的性质与化简；二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）先利用二次根式的性质将二次根式化为最简二次根式，然后计算二次根式的乘法，最后进行加减运算即可求解；
（2）利用同底数幂的乘法和积的乘方将化为，同时利用负整数指数幂计算，然后利用平方差公式和有理数的乘方进行简便运算，最后进行加减运算即可求解.
（1）解：
；
（2）
．
20．【答案】证明：如图，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵，分别平分，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形．
【知识点】平行四边形的判定与性质；角平分线的概念
【解析】【分析】根据平行四边形的性质得到，，结合角平分线定义得到，然后根据平行线性质得到，进行等量代换得到，于是证明，最后根据平行四边形判定得证结论.
21．【答案】解：∵，
∴ ， ，
∴（1）；
（2）．
【知识点】二次根式的混合运算；因式分解-平方差公式；因式分解-完全平方公式
【解析】【分析】先求出 ， ，
（1）然后利用完全平方公式进行因式分解，再整体代入即可求出答案.
（2）然后利用平方差公式进行因式分解，再整体代入即可求出答案.
22．【答案】（1），；
（2）解：根据题意，得平均睡眠时间为8小时的人数为：（人），
平均睡眠时间为7小时的人数为：（人），
∴补全条形统计图如下图所示：
（3）解：根据题意，得平均睡眠时间为7小时的人数所占的百分比最大，
∴这部分学生的平均睡眠时间的众数是7小时，平均数为：小时；
（4）解：（人），
∴1200名学生中睡眠不足（少于8小时）的学生数为780人．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；加权平均数及其计算；众数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）根据题意，得，所抽查的学生人数为：（人），
故答案为：，.
【分析】（1）根据扇形统计图的数据得到的值，用睡眠时间为6小时的人数除以其所占百分比得到本次调查的学生人数；
（2）根据（1）中的结果和所占的百分比，可以计算出睡眠时间为7或8小时的人数，然后将统计图补充完整；
（3）根据众数的定义和平均数的计算方法即可求解；
（4）根据样本估计总体，用1200乘以睡眠不足（少于8小时）的学生所占比即可求解.
23．【答案】解：此车超速．
理由：，，
是等腰直角三角形．
米．
在中，，
．
米．
由勾股定理得米，
米．
汽车的速度（米/秒）千米/小时千米/小时．
答：此车超速．
【知识点】勾股定理的实际应用-其他问题
【解析】【分析】
已知PO垂直于l，PO的长度为100米，，先计算出BO的长度；再结合=60°这个条件，在直角三角形OAP中计算出OA的长度，进而就能得到AB的路程长度。接下来根据“速度=路程÷时间”计算出汽车的实际行驶速度，最后将计算得到的速度和该路段每小时80千米的限速进行对比，即可完成题目的解答.
24．【答案】（1）解：∵直线，交于点，
∴令＝，
解得：，
把代入中，得：，
∴，
∵直线分别与轴，轴交于点、点，
∴当时，有；当时，有，
∴，；
（2）解：设点的坐标为，
∵，
∴，
解得：，
∴，
设直线的函数表达式为，
把，代入函数表达式，得，
解得：，
∴直线 的函数表达式为．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；两一次函数图象相交或平行问题；一次函数图象与坐标轴交点问题；一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）联立两条直线函数表达式即可求交点，直线中，令即可求出点坐标，令即可求出点坐标；
（2）设点的坐标为，根据三角形面积公式列方程得到点坐标，然后利用待定系数法求直线的函数表达式.
25．【答案】（1）解：四边形能够成为菱形，理由如下：如图 1，
根据题意得：，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
当时，四边形是菱形．
∵，，
∴，
∴，
解得：，
∴当为时，四边形是菱形；
（2）解：分三种情况：①当时，如图2，
∴，
∴四边形为矩形，
∵，，，
∴，，
∵，
∴，
解得：；
②当时，如图3，
∵四边形为平行四边形，
∴，
∴，
在中，，，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
解得：；
③当时，
∵，
∴，
此时点与点重合，即点到达点，
∴，
此时，
∴点到达点，
∴此时不存在，
∴当时不符合题意；
综上所述，当为或时，为直角三角形．
【知识点】含30°角的直角三角形；平行四边形的判定与性质；菱形的判定与性质；矩形的判定与性质；四边形-动点问题
【解析】【分析】（1）如图1，根据时间和速度表示出和的长，求出，利用角所对的直角边等于斜边的一半求出的长，从而得到，然后证明四边形为平行四边形，根据菱形的判定可知四边形能够成为菱形，则必有邻边相等，则，求出的长，最后列方程求解即可；
（2）当为直角三角形时，有三种情况：①当时，证明四边形为矩形，利用角所对的直角边等于斜边的一半以及矩形的性质求出的长，最后列方程求解即可；②当时，根据平行四边形得到，从而得到，进而求出，利用角所对的直角边等于斜边的一半以及矩形的性质求出的长，最后列方程求解即可；③当时，不符合题意.
（1）解：四边形能够成为菱形．理由如下：
如图 1，
由题意得：，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
当时，四边形是菱形．
∵，，
∴，
∴，
解得：，
∴当为时，四边形是菱形；
（2）分三种情况：
①当时，如图2，
∴，
∴四边形为矩形，
∵，，，
∴，，
∵，
∴，
解得：；
②当时，如图3
∵四边形为平行四边形
∴
∴，
在中，，，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
解得：；
③当时，
∵，
∴，
此时点与点重合，即点到达点，
则，
此时，
即点到达点，
此时不存在，
故当时不符合题意；
综上所述，当为或时，为直角三角形．
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