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湖南省长沙市浏阳市2024-2025学年七年级下学期7月期末数学试题
一、选择题（下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．请在答题卡中填涂符合题意的选项，本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
1．在下列各数中，是无理数的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】实数的概念与分类；无理数的概念；求算术平方根；开立方（求立方根）
【解析】【解答】解：，，是有理数，是无理数，
故选：D．
【分析】本题以实数的分类为背景，考查了无理数的概念。无理数是无限不循环小数，常见形式包括开方开不尽的数（如）、含 的数等。选项 A 为分数，选项 B 化简后为 2，选项 C 为有限小数，均属于有理数；只有选项 D 是开方开不尽的数，属于无理数，故选 D。
2．如图，与是一对（　　）
A．对顶角 B．内错角 C．同旁内角 D．同位角
【答案】A
【知识点】相交线的相关概念；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：如图，与是一对对顶角，
故选：A．
【分析】本题以相交线所形成的角为背景，考查了对顶角的识别。对顶角是指两条直线相交时，有公共顶点且两边互为反向延长线的两个角。根据图形可知，∠2 与 ∠4 满足对顶角的定义，故选 A。
3．如图，将木条，与钉在一起，，，要使木条与平行，则木条旋转的度数至少为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：如图，当时，能使木条与平行，
∴木条旋转的度数至少是．
故选：A．
【分析】本题以木条旋转使两直线平行为背景，考查了平行线的判定定理：同位角相等，两直线平行。要使 a b，需使 3 = 2 = 60，而初始时1 = 75 与 3 为同位角关系，因此木条 a 至少需要旋转 75 - 60 = 15。
4．如图，小手盖住的点的坐标可能为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】点的坐标
【解析】【解答】解：A. ∵-4＜0，-6＜0，
∴该选项的坐标在第三象限，不符合题意；
B. ∵-6＜0，3＞0，
∴该选项的坐标在第二象限，符合题意；
C. ∵5＞0，2＞0，
∴该选项的坐标在第一象限，不符合题意；
D. ∵3＞0，-4＜0，
∴该选项的坐标在第四象限，不符合题意；
故答案为：B.
【分析】 根据第二象限的点的坐标符号特征是 ，对每个选项逐一判断求解即可.
5．下列说法中正确的是（　　）
A．“如果，那么”是真命题
B．若有65个数据，最大值为93，最小值为21，将数据适当分组，绘制成相应的频数直方图，若组距定为7，则组数为11
C．同旁内角互补
D．对树人学校2000名学生进行家务调查，随机抽取了200名学生，则样本容量是200名
【答案】B
【知识点】平行线的判定；总体、个体、样本、样本容量；频数（率）分布直方图；真命题与假命题；平行线的应用-证明问题
【解析】【解答】解： A：在同一平面内，如果，那么，原命题是假命题，故A错误；
B：数据范围，组距为7，组数计算为，向上取整得11组，B正确；
C：同旁内角互补的条件是两直线平行，故C错误；
D：样本容量是样本中个体的数量，不带单位，题目中样本容量应为200，而非“200名”，故D错误；
故选：B．
【分析】本题以平行线的判定与性质、数据分组以及统计概念为背景，综合考查了多个知识点的真假判断。A选项缺少“在同一平面内”的前提，原命题为假；B选项计算极差为72，组距为7，组数为，向上取整得11组，正确；C选项同旁内角互补的前提是两直线平行，否则不一定成立；D选项样本容量是200，不带单位，故“200名”表述错误。因此正确选项为B。
6．在数轴上表示不等式的解集，正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【解答】解：解不等式，
解得，
把解集在数轴上表示如图：
故选：B．
【分析】
先解一元一次不等式求得，再把解集在数轴上表示即可求解，注意解集在数轴上表示时，”不带等号是空心圆，带等号是实心圆“．
7．若，那么根据不等式的性质可以得到的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：选项A：∵，∴两边同时加1，不等号方向不变，应为，故A错误，不符合题意；
选项B：若为负数，例如，，此时，但，，显然，故B不一定成立，不符合题意；
选项C：∵，∴两边乘以，不等号方向改变，应为，故C错误，不符合题意；
选项D：∵，∴两边除以正数3，不等号方向不变，故成立，D正确，符合题意；
故选：D．
【分析】本题以不等式的基本性质为背景，考查了不等式两边同时加、乘（除以）同一个数时不等号方向的变化规律。A选项两边加1方向不变，应为 a+1 < b+1；B选项两边乘 a 时需考虑 a 的正负，不一定成立；C选项两边乘 -1 方向应反向，应为 -a > -b；D选项两边除以正数3方向不变，正确，故选D。
8．下列各组数值中，是二元一次方程的解的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二元一次方程的解
【解析】【解答】解：A、将代入二元一次方程，
则，故该选项不符合题意；
B、将代入二元一次方程，
则，故该选项符合题意；
C、将代入二元一次方程，
则，故该选项不符合题意；
D、将代入二元一次方程，
则，故该选项不符合题意；
故选：B．
【分析】
要判断一组值是不是二元一次方程的解，只需要把这组数值代入方程，验证等式左右两边是否相等即可，只要相等就是方程的解.
9．方程组的解为，则被遮盖的两个数“□”、“△”分别为（　　）
A．2，1 B．1，3 C．5，2 D．5，1
【答案】D
【知识点】代入消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：把代入中得，，
把，代入中得，，
∴□表示的数是5，△表示的数是1，
故选：D．
【分析】本题以二元一次方程组解的形式为背景，考查了方程组的解的概念以及代入求值。已知解中 x = 2，将其代入第二个方程 x + y = 3 可求得 y = 1，再代入第一个方程 2x + y 得到值为 5，因此被遮盖的两个数分别为 5 和 1。
10．先阅读：①求几个相同因数连续相乘的运算叫做乘方，结果叫做幂．如：______．填9．
②如果正数的平方等于，则是算术平方根，如求9的算术平方根：______．填3．
③在底数、指数、幂中，知道底数和乘，通过逆运算可以求指数．如：______．填2；
再比如：______．填3．因此，我们又得到一种新运算“对数运算”，求，记作：．理解以上内容后计算（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【知识点】乘方的相关概念；开平方（求平方根）；求算术平方根
【解析】【解答】解：计算：根据对数的定义，求满足的指数．
，，，因此，即．
计算：同理，求满足的指数．
，因此，即．
求差：．
故选：A．
【分析】本题以对数的新定义为背景，考查了指数与对数的互化关系。根据定义，表示满足 的指数 x，由得； 表示满足 的指数 x，由得，因此原式 = 3 - 1 = 2。
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．如图，这是李明同学在体育课上跳远后留下的脚印，的长度就是李明同学的成绩，其中的数学依据是　 　．
【答案】垂线段最短
【知识点】垂线段最短及其应用；点到直线的距离
【解析】【解答】解：测量的依据是垂线段最短，
故答案为：垂线段最短．
【分析】本题以跳远成绩测量为背景，考查了垂线段最短的性质在实际生活中的应用。跳远成绩是指从起跳线到落地点后脚跟的垂直距离，因为点到直线的所有连线中，垂线段最短，所以测量时取垂直于起跳线的长度作为有效成绩。
12．长征精神永远是中国人民锐意进取、不断进步的精神力量，在学习第九章时，爱动脑筋的自强同学绘制了如图所示的红军长征路线图，如果表示会宁会师的点的坐标为，表示吴起镇会师的点的坐标为，则表示瑞金位置的点的坐标为　 　．
【答案】
【知识点】用坐标表示地理位置；平面直角坐标系的构成
【解析】【解答】解：建立平面直角坐标系，如图所示：
表示瑞金的点的坐标为．
故答案为：．
【分析】本题以红军长征路线图为背景，考查了平面直角坐标系中根据已知点确定坐标原点和坐标轴方向，再写出其他点坐标的能力。由会宁会师(2，2)和吴起镇会师(3，3)可知，两点的连线与x轴夹角为45°，且横纵坐标变化一致，据此可推断出坐标系的单位长度和原点位置，进而得到瑞金的坐标为(6，-3)。
13．若一个正数的两个平方根分别是和，则的值是　 　．
【答案】4
【知识点】相反数的意义与性质；平方根的概念与表示；求算术平方根
【解析】【解答】解：∵一个正数的两个平方根分别是和，
∴
解得，
∴．
故答案为：4．
【分析】本题以平方根的性质为背景，考查了正数的两个平方根互为相反数以及算术平方根的求法。由 m+6 和 2m-15 互为相反数得 m+6 = -(2m-15)，解得 m = 3，代入 得= 4。
14．已知点，若线段与轴平行，A、B两点的距离为3，则的坐标为　 　．
【答案】或．
【知识点】坐标与图形性质；坐标系中的两点距离公式
【解析】【解答】解：∵线段与x轴平行，且，点A的坐标为，
∴设，
∴，
∴或；
故答案为：或．
【分析】本题以平面直角坐标系中平行于 x 轴的线段为背景，考查了平行于 x 轴的直线上点的纵坐标相等以及两点间距离的计算。由 AB 平行于 x 轴得 B 的纵坐标与 A 相同为 2，设 B 的横坐标为 a，根据距离公式 |a - (-1)| = 3，解得 a = 2 或 a = -4，故 B 的坐标为 (2， 2) 或 (-4， 2)。
15．在“，，，，”这五个数中，是不等式的解的数共有　 　个．
【答案】3
【知识点】不等式的解及解集；解一元一次不等式
【解析】【解答】解：∵，
解得，
在，，，，这五个数中，
是不等式解的有，，，共个．
故答案为：．
【分析】本题以一元一次不等式的解集为背景，考查了不等式的求解以及解集的识别。解不等式 2x + 3 > 0 得 x > -，在给定的五个数 -3， -2， 0， 1， 2 中，满足条件的有 0、1、2，共 3 个。
16．若关于x，y的方程组有无数组解，则　 　．
【答案】2
【知识点】解二元一次方程组；求算术平方根
【解析】【解答】解：∵关于，的方程组有无数组解，
∴方程和方程是同一个方程，
∴，
∴，
故答案为：2．
【分析】本题以二元一次方程组解的情况为背景，考查了方程组有无数组解时对应方程系数成比例的条件。由方程组有无数组解可知两个方程为同一个方程，比较对应系数得 a = -2，b = 1，再计算。
三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题8分，第22、23题每小题9分，第24、25题每小题10分，共72分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．学方根之后，我们可以解一些简单的二次方程．以下是自信同学给出的解法示范，请你类比思路完成另外两题的解答
例如：求
分析：要求，也就是找出一个数，使得它的平方等于
解答：因为，所以这个数是，即
题目：求下列各式中x的值
（1）
（2）
【答案】（1）解：∵，
∴这个数是，
即．
（2）解：由得
∵，
∴这个数是，
即．
【知识点】平方根的概念与表示；利用开平方求未知数
【解析】【分析】本题以平方根的定义为背景，考查了利用平方根解一元二次方程的方法。
（1）直接对方程两边开平方，得 x = =；
（2）先将方程化为，再开平方得。
（1）解：∵，
∴这个数是，
即．
（2）由得
∵，
∴这个数是，
即．
18．解方程组
【答案】解：
由①得③
把③代入②得
把代入③得
∴原方程组的解为
【知识点】代入消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】观察原方程组可知，由方程①变形可将未知数x用含y的代数式表示出来得方程③，代入方程②可得关于y的一元一次方程，解之求出未知数y的值，把y的值代入方程③可求得未知数x的值，最后写出结论即可.
19．按要求完成下列说明过程．在三角形中，于点D，E是上一点，且．请说明：
解：（已知），
_______（_______）．
．
（已知），
_______=_______（_______）
（_______）
【答案】解：（已知），
（垂直的定义）．
．
（已知），
(同角的余角相等)
（内错角相等，两直线平行．）
【知识点】垂线的概念；内错角相等，两直线平行
【解析】【分析】本题以三角形中的垂直和平行线判定为背景，考查了垂直的定义、同角的余角相等以及平行线的判定定理。由 CD AB 得 ADC = 90，从而 1 +EDC = 90，结合已知 1 + 2 = 90 推出 2 = EDC，根据内错角相等得到 DEBC。
20．如图，网格中每个小正方形边长为的顶点都在格点上．将向左平移2格，再向上平移4格，得到．
（1）请在图中画出平移后的；
（2）过点画出的垂线CD，垂足为点，并说明点到直线的距离；
（3）在整个平移过程中线段扫过的面积
【答案】（1）解：平移后得到的图形如下：
（2）解：作图如图
∴由图可知，点到直线的距离为4．
（3）解：如图所示，
在整个平移过程中线段扫过的面积为平行四边形的面积，
∵，与之间的距离为4，
∴平行四边形的面积为．
答：在整个平移过程中线段扫过的面积为16．
【知识点】点到直线的距离；平移的性质；作图﹣平移；尺规作图-垂线
【解析】【分析】本题以网格中的图形平移为背景，考查了平移作图、点到直线的距离以及平移过程中线段扫过面积的计算。
（1）根据平移方向与距离确定点 A、B、C 的对应点，再顺次连接得到 A'B'C'；
（2）过点 C 作 AB 的垂线，垂足为 D，点 C 到 AB 的距离即为垂线段 CD 的长度，由网格可得为 4；
（3）线段 AB 在平移过程中扫过的区域是平行四边形 ABB'A'，其底边 AB = 4，高为平移距离 4，面积为 16。
（1）解：平移后得到的图形如下：
（2）解：作图如图
∴由图可知，点到直线的距离为4．
（3）解：如图所示，在整个平移过程中线段扫过的面积为平行四边形的面积，
∵，与之间的距离为4，
∴平行四边形的面积为．
答：在整个平移过程中线段扫过的面积为16．
21．错题是最好的素材，识错和辨错能有效的检测我们的知识漏洞，纠错和改错则能培养我们严谨高阶的学科素养．以下是亮亮同学在解不等式组的过程：
解不等式组
解：由①得，，
由得，，
不等式组的解为
辨认他的错误思路，请你即行即改，写出正确的解答过程．
【答案】解：亮亮同学解不等式①去括号时，括号里面的减号未变号，解不等式时，去分母时不等号右边没有乘以3，
正确的解答过程如下：
解不等式组
解：由①得，，
，
由得，，
不等式组的解为
【知识点】解一元一次不等式组；去括号法则及应用；不等式的性质
【解析】【分析】本题以错题纠错为背景，考查了一元一次不等式组的解法，重点涉及去括号时的符号变化和去分母时各项均需乘以分母。亮亮同学在解不等式①时，去括号未将 -2 (-3) 改为 +6，导致符号错误；解不等式②时，去分母右边 -10 未乘以 3。正确的解答应为：由①得 x - 2x + 6 > 2，解得 x < 4；由②得 2x + 1 > -3，解得 x > -2，不等式组的解集为 -2 < x < 4。
22．立德学校为了解学生做家务劳动的情况，随机抽取了七年级若干名学生并对其五月份做过几项家务劳动情况进行调查，根据调查结果绘制了如下统计图．
（1）本次被抽取的学生人数为______人；
（2）补全条形统计图，扇形统计图中，“4项及以上”部分所对应的扇形的圆心角______°．
（3）若该校有学生1500人，请估计该校五月份参与家务劳动的项目数量不超过3项的学生人数．
【答案】（1）50
（2）解：“项”的学生人数为人，
∴补全条形图如下：
36
（3）解：，
故：该校五月份参与家务劳动的项目数量不超过项的学生约有人．
【知识点】总体、个体、样本、样本容量；扇形统计图；条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：，
∴本次被抽取的学生人数为人，
故答案为：；
（2）解：“项及以上”部分所对应的扇形的圆心角，
故答案为：；
【分析】本题以家务劳动项目调查为背景，考查了条形统计图与扇形统计图的综合应用、扇形圆心角的计算以及用样本估计总体的统计思想。
（1）根据“1项”人数10人和对应百分比20%，求出样本总量为50人；
（2）用样本总量减去其他部分人数得到“3项”人数为15人，补全条形图，再计算“4项及以上”所占比例= 10%，乘以 360得圆心角 36；
（3）用全校总人数1500乘以样本中“不超过3项”的比例= 90%，估计出人数为1350人。
（1）解：，
∴本次被抽取的学生人数为人，
故答案为：；
（2）解：“项”的学生人数为人，
∴补全条形图如下：
“项及以上”部分所对应的扇形的圆心角，
故答案为：；
（3）解：，
故：该校五月份参与家务劳动的项目数量不超过项的学生约有人．
23．“江上往来人，但爱鲈鱼关”，鲈鱼肉鲜味美因而成为很多家庭的餐桌菜品．周末，王芳带了100元到菜市场帮妈妈买鲈鱼和茄子，已知鲈鱼每千克35元，茄子每千克6元，她买的茄子比鲈鱼多0.5千克，共花费44元，她买了鲈鱼和茄子各多少千克？在单价不变的情况下，找回的钱下次最多可以买一条多重的鲈鱼？
【答案】解：设她买了鲈鱼x千克， 茄子y千克，
依题意，得，
解得，
∴找回的钱为（元）．
设找回的钱下次可以买一条千克的鲈鱼，依题意，得
，
解得，
答：她买了鲈鱼1千克， 茄子1.5千克，找回的钱下次最多可以买一条1.6千克的鲈鱼．
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】本题以购买鲈鱼和茄子的实际生活问题为背景，考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的求解。设鲈鱼买了 x 千克，茄子买了 y 千克，根据“茄子比鲈鱼多0.5千克”得 y = x + 0.5，根据“共花费44元”得 35x + 6y = 44，联立解得 x = 1，y = 1.5；找回的钱为 100 - 44 = 56 元，设下次可买鲈鱼 m 千克，由 35m 56 得 m 1.6，因此最多可买 1.6 千克。
24．综合与实践．将一副三角板中的两个直角顶点叠放在一起，其中．
（1）若，求的度数；
（2）求证；
（3）若按住三角板不动，三角板绕顶点转动一周，当时，请在备用图中画出示意图，并求出的度数．
【答案】（1）解：，
，
，
。
（2）证明：，
。
（3）解：分两种情况：
①如图1所示，当时，，所以，
②如图2所示，当时，，所以，
综上所述，的度数等于或时，．
【知识点】角的运算；余角；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行
【解析】【分析】本题以一副三角板叠放为背景，考查了角度的和差计算以及平行线的判定。
（1）由BCD =ACB + ACD = 90° + ACD，结合ACD + ACE = 90°，可得 BCD + ACE = 180°，代入 BCD = 110° 得ACE = 70°；
（2）同理可证 BCD + ACE = 180°；
（3）分两种情况：当 CE 与 AB 平行且位于 AB 上方时， ACE =A = 30°；当 CE 与 AB 平行且位于 AB 下方时，ACE = 180° - A = 150°。
（1）解：，
，
，
。
（2）证明：，
。
（3）分两种情况：
①如图1所示，当时，，所以，
②如图2所示，当时，，所以，
综上所述，的度数等于或时，．
25．如果一个方程（组）的解恰好能够使得某不等式（组）成立，则称此方程（组）为该不等式（组）的“关联性方程（组）”．例如方程是不等式的“关联性方程”，因为方程的解可使得成立；又如方程组是不等式的“关联性方程组”，因为方程组的解可使得成立．根据以上信息回答问题：
（1）方程______（填“是”或者“不是”）不等式的“关联性方程”；
（2）已知关于x，y方程组是不等式的“关联性方程组”，求的取值范围；
（3）已知关于的不等式组恰有5个整数解，且关于的方程是它的“关联性方程”，求的取值范围．
【答案】（1）不是
（2）解：关于x，y方程组，由可得，
两式相加可得，解得，
将代入可得，
∵关于x，y方程组是不等式的“关联性方程组”，
∴方程组的解满足不等式，
∴，解得，
∴的取值范围为；
（3）解：不等式组，解得，∴不等式组的解集为，
∵关于的方程是不等式组的“关联性方程”，
∴满足不等式组，
即，解得，
∴，
∵关于的不等式组恰有5个整数解，
∴可设5个整数解为，
∴，
解得：，
∵b有解，
∴，
解得：，
∴k的整数解为，
当时，，
∴；
当时，，
∴；
综上所述，的取值范围为．
【知识点】二元一次方程组的解；解一元一次不等式；解一元一次不等式组
【解析】【解答】（1）解：方程的解为，
将代入不等式中，
有，，
∴方程的解不能使不等式成立，
∴方程不是不等式的“关联性方程”；
故答案为：不是；
【分析】本题以新定义“关联性方程（组）”为背景，综合考查了一元一次方程、二元一次方程组、一元一次不等式（组）的解法以及整数解的分析。
（1）先解方程 3x + 2 = -4 得 x = -2，代入不等式 2x + 1 > 3x + 3 检验，两边均为 -3，不满足大于关系，故不是“关联性方程”。
（2）先解方程组用 a 表示 x = a - 1，y = 2a + 2，代入不等式 y -x > 7 得 2a + 2 -(a - 1) > 7，解得 a > 3。
（3）先解不等式组得解集为 b - 10 x < 2b - 9，由方程 x + b = 0 是关联性方程得 x = -b 在解集内，列出不等式组解得 3 < b 5；再结合解集恰有 5 个整数解，设整数解为 k， k+1， k+2， k+3， k+4，由端点范围列出不等式组，求出 k = -6 或 k = -5，分别代入得到 b 的范围为 3.5 < b 4.5。
（1）解：方程的解为，
将代入不等式中，
有，，
∴方程的解不能使不等式成立，
∴方程不是不等式的“关联性方程”；
故答案为：不是；
（2）解：关于x，y方程组，
由可得，
两式相加可得，解得，
将代入可得，
∵关于x，y方程组是不等式的“关联性方程组”，
∴方程组的解满足不等式，
∴，解得，
∴的取值范围为；
（3）解：不等式组，解得，
∴不等式组的解集为，
∵关于的方程是不等式组的“关联性方程”，
∴满足不等式组，
即，解得，
∴，
∵关于的不等式组恰有5个整数解，
∴可设5个整数解为，
∴，
解得：，
∵b有解，
∴，
解得：，
∴k的整数解为，
当时，，
∴；
当时，，
∴；
综上所述，的取值范围为．
1 / 1湖南省长沙市浏阳市2024-2025学年七年级下学期7月期末数学试题
一、选择题（下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．请在答题卡中填涂符合题意的选项，本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
1．在下列各数中，是无理数的是（　　）
A． B． C． D．
2．如图，与是一对（　　）
A．对顶角 B．内错角 C．同旁内角 D．同位角
3．如图，将木条，与钉在一起，，，要使木条与平行，则木条旋转的度数至少为（　　）
A． B． C． D．
4．如图，小手盖住的点的坐标可能为（　　）
A． B． C． D．
5．下列说法中正确的是（　　）
A．“如果，那么”是真命题
B．若有65个数据，最大值为93，最小值为21，将数据适当分组，绘制成相应的频数直方图，若组距定为7，则组数为11
C．同旁内角互补
D．对树人学校2000名学生进行家务调查，随机抽取了200名学生，则样本容量是200名
6．在数轴上表示不等式的解集，正确的是（　　）
A． B．
C． D．
7．若，那么根据不等式的性质可以得到的是（　　）
A． B． C． D．
8．下列各组数值中，是二元一次方程的解的是（　　）
A． B． C． D．
9．方程组的解为，则被遮盖的两个数“□”、“△”分别为（　　）
A．2，1 B．1，3 C．5，2 D．5，1
10．先阅读：①求几个相同因数连续相乘的运算叫做乘方，结果叫做幂．如：______．填9．
②如果正数的平方等于，则是算术平方根，如求9的算术平方根：______．填3．
③在底数、指数、幂中，知道底数和乘，通过逆运算可以求指数．如：______．填2；
再比如：______．填3．因此，我们又得到一种新运算“对数运算”，求，记作：．理解以上内容后计算（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．如图，这是李明同学在体育课上跳远后留下的脚印，的长度就是李明同学的成绩，其中的数学依据是　 　．
12．长征精神永远是中国人民锐意进取、不断进步的精神力量，在学习第九章时，爱动脑筋的自强同学绘制了如图所示的红军长征路线图，如果表示会宁会师的点的坐标为，表示吴起镇会师的点的坐标为，则表示瑞金位置的点的坐标为　 　．
13．若一个正数的两个平方根分别是和，则的值是　 　．
14．已知点，若线段与轴平行，A、B两点的距离为3，则的坐标为　 　．
15．在“，，，，”这五个数中，是不等式的解的数共有　 　个．
16．若关于x，y的方程组有无数组解，则　 　．
三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题8分，第22、23题每小题9分，第24、25题每小题10分，共72分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．学方根之后，我们可以解一些简单的二次方程．以下是自信同学给出的解法示范，请你类比思路完成另外两题的解答
例如：求
分析：要求，也就是找出一个数，使得它的平方等于
解答：因为，所以这个数是，即
题目：求下列各式中x的值
（1）
（2）
18．解方程组
19．按要求完成下列说明过程．在三角形中，于点D，E是上一点，且．请说明：
解：（已知），
_______（_______）．
．
（已知），
_______=_______（_______）
（_______）
20．如图，网格中每个小正方形边长为的顶点都在格点上．将向左平移2格，再向上平移4格，得到．
（1）请在图中画出平移后的；
（2）过点画出的垂线CD，垂足为点，并说明点到直线的距离；
（3）在整个平移过程中线段扫过的面积
21．错题是最好的素材，识错和辨错能有效的检测我们的知识漏洞，纠错和改错则能培养我们严谨高阶的学科素养．以下是亮亮同学在解不等式组的过程：
解不等式组
解：由①得，，
由得，，
不等式组的解为
辨认他的错误思路，请你即行即改，写出正确的解答过程．
22．立德学校为了解学生做家务劳动的情况，随机抽取了七年级若干名学生并对其五月份做过几项家务劳动情况进行调查，根据调查结果绘制了如下统计图．
（1）本次被抽取的学生人数为______人；
（2）补全条形统计图，扇形统计图中，“4项及以上”部分所对应的扇形的圆心角______°．
（3）若该校有学生1500人，请估计该校五月份参与家务劳动的项目数量不超过3项的学生人数．
23．“江上往来人，但爱鲈鱼关”，鲈鱼肉鲜味美因而成为很多家庭的餐桌菜品．周末，王芳带了100元到菜市场帮妈妈买鲈鱼和茄子，已知鲈鱼每千克35元，茄子每千克6元，她买的茄子比鲈鱼多0.5千克，共花费44元，她买了鲈鱼和茄子各多少千克？在单价不变的情况下，找回的钱下次最多可以买一条多重的鲈鱼？
24．综合与实践．将一副三角板中的两个直角顶点叠放在一起，其中．
（1）若，求的度数；
（2）求证；
（3）若按住三角板不动，三角板绕顶点转动一周，当时，请在备用图中画出示意图，并求出的度数．
25．如果一个方程（组）的解恰好能够使得某不等式（组）成立，则称此方程（组）为该不等式（组）的“关联性方程（组）”．例如方程是不等式的“关联性方程”，因为方程的解可使得成立；又如方程组是不等式的“关联性方程组”，因为方程组的解可使得成立．根据以上信息回答问题：
（1）方程______（填“是”或者“不是”）不等式的“关联性方程”；
（2）已知关于x，y方程组是不等式的“关联性方程组”，求的取值范围；
（3）已知关于的不等式组恰有5个整数解，且关于的方程是它的“关联性方程”，求的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】实数的概念与分类；无理数的概念；求算术平方根；开立方（求立方根）
【解析】【解答】解：，，是有理数，是无理数，
故选：D．
【分析】本题以实数的分类为背景，考查了无理数的概念。无理数是无限不循环小数，常见形式包括开方开不尽的数（如）、含 的数等。选项 A 为分数，选项 B 化简后为 2，选项 C 为有限小数，均属于有理数；只有选项 D 是开方开不尽的数，属于无理数，故选 D。
2．【答案】A
【知识点】相交线的相关概念；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：如图，与是一对对顶角，
故选：A．
【分析】本题以相交线所形成的角为背景，考查了对顶角的识别。对顶角是指两条直线相交时，有公共顶点且两边互为反向延长线的两个角。根据图形可知，∠2 与 ∠4 满足对顶角的定义，故选 A。
3．【答案】A
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：如图，当时，能使木条与平行，
∴木条旋转的度数至少是．
故选：A．
【分析】本题以木条旋转使两直线平行为背景，考查了平行线的判定定理：同位角相等，两直线平行。要使 a b，需使 3 = 2 = 60，而初始时1 = 75 与 3 为同位角关系，因此木条 a 至少需要旋转 75 - 60 = 15。
4．【答案】B
【知识点】点的坐标
【解析】【解答】解：A. ∵-4＜0，-6＜0，
∴该选项的坐标在第三象限，不符合题意；
B. ∵-6＜0，3＞0，
∴该选项的坐标在第二象限，符合题意；
C. ∵5＞0，2＞0，
∴该选项的坐标在第一象限，不符合题意；
D. ∵3＞0，-4＜0，
∴该选项的坐标在第四象限，不符合题意；
故答案为：B.
【分析】 根据第二象限的点的坐标符号特征是 ，对每个选项逐一判断求解即可.
5．【答案】B
【知识点】平行线的判定；总体、个体、样本、样本容量；频数（率）分布直方图；真命题与假命题；平行线的应用-证明问题
【解析】【解答】解： A：在同一平面内，如果，那么，原命题是假命题，故A错误；
B：数据范围，组距为7，组数计算为，向上取整得11组，B正确；
C：同旁内角互补的条件是两直线平行，故C错误；
D：样本容量是样本中个体的数量，不带单位，题目中样本容量应为200，而非“200名”，故D错误；
故选：B．
【分析】本题以平行线的判定与性质、数据分组以及统计概念为背景，综合考查了多个知识点的真假判断。A选项缺少“在同一平面内”的前提，原命题为假；B选项计算极差为72，组距为7，组数为，向上取整得11组，正确；C选项同旁内角互补的前提是两直线平行，否则不一定成立；D选项样本容量是200，不带单位，故“200名”表述错误。因此正确选项为B。
6．【答案】B
【知识点】解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【解答】解：解不等式，
解得，
把解集在数轴上表示如图：
故选：B．
【分析】
先解一元一次不等式求得，再把解集在数轴上表示即可求解，注意解集在数轴上表示时，”不带等号是空心圆，带等号是实心圆“．
7．【答案】D
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：选项A：∵，∴两边同时加1，不等号方向不变，应为，故A错误，不符合题意；
选项B：若为负数，例如，，此时，但，，显然，故B不一定成立，不符合题意；
选项C：∵，∴两边乘以，不等号方向改变，应为，故C错误，不符合题意；
选项D：∵，∴两边除以正数3，不等号方向不变，故成立，D正确，符合题意；
故选：D．
【分析】本题以不等式的基本性质为背景，考查了不等式两边同时加、乘（除以）同一个数时不等号方向的变化规律。A选项两边加1方向不变，应为 a+1 < b+1；B选项两边乘 a 时需考虑 a 的正负，不一定成立；C选项两边乘 -1 方向应反向，应为 -a > -b；D选项两边除以正数3方向不变，正确，故选D。
8．【答案】B
【知识点】二元一次方程的解
【解析】【解答】解：A、将代入二元一次方程，
则，故该选项不符合题意；
B、将代入二元一次方程，
则，故该选项符合题意；
C、将代入二元一次方程，
则，故该选项不符合题意；
D、将代入二元一次方程，
则，故该选项不符合题意；
故选：B．
【分析】
要判断一组值是不是二元一次方程的解，只需要把这组数值代入方程，验证等式左右两边是否相等即可，只要相等就是方程的解.
9．【答案】D
【知识点】代入消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：把代入中得，，
把，代入中得，，
∴□表示的数是5，△表示的数是1，
故选：D．
【分析】本题以二元一次方程组解的形式为背景，考查了方程组的解的概念以及代入求值。已知解中 x = 2，将其代入第二个方程 x + y = 3 可求得 y = 1，再代入第一个方程 2x + y 得到值为 5，因此被遮盖的两个数分别为 5 和 1。
10．【答案】A
【知识点】乘方的相关概念；开平方（求平方根）；求算术平方根
【解析】【解答】解：计算：根据对数的定义，求满足的指数．
，，，因此，即．
计算：同理，求满足的指数．
，因此，即．
求差：．
故选：A．
【分析】本题以对数的新定义为背景，考查了指数与对数的互化关系。根据定义，表示满足 的指数 x，由得； 表示满足 的指数 x，由得，因此原式 = 3 - 1 = 2。
11．【答案】垂线段最短
【知识点】垂线段最短及其应用；点到直线的距离
【解析】【解答】解：测量的依据是垂线段最短，
故答案为：垂线段最短．
【分析】本题以跳远成绩测量为背景，考查了垂线段最短的性质在实际生活中的应用。跳远成绩是指从起跳线到落地点后脚跟的垂直距离，因为点到直线的所有连线中，垂线段最短，所以测量时取垂直于起跳线的长度作为有效成绩。
12．【答案】
【知识点】用坐标表示地理位置；平面直角坐标系的构成
【解析】【解答】解：建立平面直角坐标系，如图所示：
表示瑞金的点的坐标为．
故答案为：．
【分析】本题以红军长征路线图为背景，考查了平面直角坐标系中根据已知点确定坐标原点和坐标轴方向，再写出其他点坐标的能力。由会宁会师(2，2)和吴起镇会师(3，3)可知，两点的连线与x轴夹角为45°，且横纵坐标变化一致，据此可推断出坐标系的单位长度和原点位置，进而得到瑞金的坐标为(6，-3)。
13．【答案】4
【知识点】相反数的意义与性质；平方根的概念与表示；求算术平方根
【解析】【解答】解：∵一个正数的两个平方根分别是和，
∴
解得，
∴．
故答案为：4．
【分析】本题以平方根的性质为背景，考查了正数的两个平方根互为相反数以及算术平方根的求法。由 m+6 和 2m-15 互为相反数得 m+6 = -(2m-15)，解得 m = 3，代入 得= 4。
14．【答案】或．
【知识点】坐标与图形性质；坐标系中的两点距离公式
【解析】【解答】解：∵线段与x轴平行，且，点A的坐标为，
∴设，
∴，
∴或；
故答案为：或．
【分析】本题以平面直角坐标系中平行于 x 轴的线段为背景，考查了平行于 x 轴的直线上点的纵坐标相等以及两点间距离的计算。由 AB 平行于 x 轴得 B 的纵坐标与 A 相同为 2，设 B 的横坐标为 a，根据距离公式 |a - (-1)| = 3，解得 a = 2 或 a = -4，故 B 的坐标为 (2， 2) 或 (-4， 2)。
15．【答案】3
【知识点】不等式的解及解集；解一元一次不等式
【解析】【解答】解：∵，
解得，
在，，，，这五个数中，
是不等式解的有，，，共个．
故答案为：．
【分析】本题以一元一次不等式的解集为背景，考查了不等式的求解以及解集的识别。解不等式 2x + 3 > 0 得 x > -，在给定的五个数 -3， -2， 0， 1， 2 中，满足条件的有 0、1、2，共 3 个。
16．【答案】2
【知识点】解二元一次方程组；求算术平方根
【解析】【解答】解：∵关于，的方程组有无数组解，
∴方程和方程是同一个方程，
∴，
∴，
故答案为：2．
【分析】本题以二元一次方程组解的情况为背景，考查了方程组有无数组解时对应方程系数成比例的条件。由方程组有无数组解可知两个方程为同一个方程，比较对应系数得 a = -2，b = 1，再计算。
17．【答案】（1）解：∵，
∴这个数是，
即．
（2）解：由得
∵，
∴这个数是，
即．
【知识点】平方根的概念与表示；利用开平方求未知数
【解析】【分析】本题以平方根的定义为背景，考查了利用平方根解一元二次方程的方法。
（1）直接对方程两边开平方，得 x = =；
（2）先将方程化为，再开平方得。
（1）解：∵，
∴这个数是，
即．
（2）由得
∵，
∴这个数是，
即．
18．【答案】解：
由①得③
把③代入②得
把代入③得
∴原方程组的解为
【知识点】代入消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】观察原方程组可知，由方程①变形可将未知数x用含y的代数式表示出来得方程③，代入方程②可得关于y的一元一次方程，解之求出未知数y的值，把y的值代入方程③可求得未知数x的值，最后写出结论即可.
19．【答案】解：（已知），
（垂直的定义）．
．
（已知），
(同角的余角相等)
（内错角相等，两直线平行．）
【知识点】垂线的概念；内错角相等，两直线平行
【解析】【分析】本题以三角形中的垂直和平行线判定为背景，考查了垂直的定义、同角的余角相等以及平行线的判定定理。由 CD AB 得 ADC = 90，从而 1 +EDC = 90，结合已知 1 + 2 = 90 推出 2 = EDC，根据内错角相等得到 DEBC。
20．【答案】（1）解：平移后得到的图形如下：
（2）解：作图如图
∴由图可知，点到直线的距离为4．
（3）解：如图所示，
在整个平移过程中线段扫过的面积为平行四边形的面积，
∵，与之间的距离为4，
∴平行四边形的面积为．
答：在整个平移过程中线段扫过的面积为16．
【知识点】点到直线的距离；平移的性质；作图﹣平移；尺规作图-垂线
【解析】【分析】本题以网格中的图形平移为背景，考查了平移作图、点到直线的距离以及平移过程中线段扫过面积的计算。
（1）根据平移方向与距离确定点 A、B、C 的对应点，再顺次连接得到 A'B'C'；
（2）过点 C 作 AB 的垂线，垂足为 D，点 C 到 AB 的距离即为垂线段 CD 的长度，由网格可得为 4；
（3）线段 AB 在平移过程中扫过的区域是平行四边形 ABB'A'，其底边 AB = 4，高为平移距离 4，面积为 16。
（1）解：平移后得到的图形如下：
（2）解：作图如图
∴由图可知，点到直线的距离为4．
（3）解：如图所示，在整个平移过程中线段扫过的面积为平行四边形的面积，
∵，与之间的距离为4，
∴平行四边形的面积为．
答：在整个平移过程中线段扫过的面积为16．
21．【答案】解：亮亮同学解不等式①去括号时，括号里面的减号未变号，解不等式时，去分母时不等号右边没有乘以3，
正确的解答过程如下：
解不等式组
解：由①得，，
，
由得，，
不等式组的解为
【知识点】解一元一次不等式组；去括号法则及应用；不等式的性质
【解析】【分析】本题以错题纠错为背景，考查了一元一次不等式组的解法，重点涉及去括号时的符号变化和去分母时各项均需乘以分母。亮亮同学在解不等式①时，去括号未将 -2 (-3) 改为 +6，导致符号错误；解不等式②时，去分母右边 -10 未乘以 3。正确的解答应为：由①得 x - 2x + 6 > 2，解得 x < 4；由②得 2x + 1 > -3，解得 x > -2，不等式组的解集为 -2 < x < 4。
22．【答案】（1）50
（2）解：“项”的学生人数为人，
∴补全条形图如下：
36
（3）解：，
故：该校五月份参与家务劳动的项目数量不超过项的学生约有人．
【知识点】总体、个体、样本、样本容量；扇形统计图；条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：，
∴本次被抽取的学生人数为人，
故答案为：；
（2）解：“项及以上”部分所对应的扇形的圆心角，
故答案为：；
【分析】本题以家务劳动项目调查为背景，考查了条形统计图与扇形统计图的综合应用、扇形圆心角的计算以及用样本估计总体的统计思想。
（1）根据“1项”人数10人和对应百分比20%，求出样本总量为50人；
（2）用样本总量减去其他部分人数得到“3项”人数为15人，补全条形图，再计算“4项及以上”所占比例= 10%，乘以 360得圆心角 36；
（3）用全校总人数1500乘以样本中“不超过3项”的比例= 90%，估计出人数为1350人。
（1）解：，
∴本次被抽取的学生人数为人，
故答案为：；
（2）解：“项”的学生人数为人，
∴补全条形图如下：
“项及以上”部分所对应的扇形的圆心角，
故答案为：；
（3）解：，
故：该校五月份参与家务劳动的项目数量不超过项的学生约有人．
23．【答案】解：设她买了鲈鱼x千克， 茄子y千克，
依题意，得，
解得，
∴找回的钱为（元）．
设找回的钱下次可以买一条千克的鲈鱼，依题意，得
，
解得，
答：她买了鲈鱼1千克， 茄子1.5千克，找回的钱下次最多可以买一条1.6千克的鲈鱼．
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】本题以购买鲈鱼和茄子的实际生活问题为背景，考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的求解。设鲈鱼买了 x 千克，茄子买了 y 千克，根据“茄子比鲈鱼多0.5千克”得 y = x + 0.5，根据“共花费44元”得 35x + 6y = 44，联立解得 x = 1，y = 1.5；找回的钱为 100 - 44 = 56 元，设下次可买鲈鱼 m 千克，由 35m 56 得 m 1.6，因此最多可买 1.6 千克。
24．【答案】（1）解：，
，
，
。
（2）证明：，
。
（3）解：分两种情况：
①如图1所示，当时，，所以，
②如图2所示，当时，，所以，
综上所述，的度数等于或时，．
【知识点】角的运算；余角；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行
【解析】【分析】本题以一副三角板叠放为背景，考查了角度的和差计算以及平行线的判定。
（1）由BCD =ACB + ACD = 90° + ACD，结合ACD + ACE = 90°，可得 BCD + ACE = 180°，代入 BCD = 110° 得ACE = 70°；
（2）同理可证 BCD + ACE = 180°；
（3）分两种情况：当 CE 与 AB 平行且位于 AB 上方时， ACE =A = 30°；当 CE 与 AB 平行且位于 AB 下方时，ACE = 180° - A = 150°。
（1）解：，
，
，
。
（2）证明：，
。
（3）分两种情况：
①如图1所示，当时，，所以，
②如图2所示，当时，，所以，
综上所述，的度数等于或时，．
25．【答案】（1）不是
（2）解：关于x，y方程组，由可得，
两式相加可得，解得，
将代入可得，
∵关于x，y方程组是不等式的“关联性方程组”，
∴方程组的解满足不等式，
∴，解得，
∴的取值范围为；
（3）解：不等式组，解得，∴不等式组的解集为，
∵关于的方程是不等式组的“关联性方程”，
∴满足不等式组，
即，解得，
∴，
∵关于的不等式组恰有5个整数解，
∴可设5个整数解为，
∴，
解得：，
∵b有解，
∴，
解得：，
∴k的整数解为，
当时，，
∴；
当时，，
∴；
综上所述，的取值范围为．
【知识点】二元一次方程组的解；解一元一次不等式；解一元一次不等式组
【解析】【解答】（1）解：方程的解为，
将代入不等式中，
有，，
∴方程的解不能使不等式成立，
∴方程不是不等式的“关联性方程”；
故答案为：不是；
【分析】本题以新定义“关联性方程（组）”为背景，综合考查了一元一次方程、二元一次方程组、一元一次不等式（组）的解法以及整数解的分析。
（1）先解方程 3x + 2 = -4 得 x = -2，代入不等式 2x + 1 > 3x + 3 检验，两边均为 -3，不满足大于关系，故不是“关联性方程”。
（2）先解方程组用 a 表示 x = a - 1，y = 2a + 2，代入不等式 y -x > 7 得 2a + 2 -(a - 1) > 7，解得 a > 3。
（3）先解不等式组得解集为 b - 10 x < 2b - 9，由方程 x + b = 0 是关联性方程得 x = -b 在解集内，列出不等式组解得 3 < b 5；再结合解集恰有 5 个整数解，设整数解为 k， k+1， k+2， k+3， k+4，由端点范围列出不等式组，求出 k = -6 或 k = -5，分别代入得到 b 的范围为 3.5 < b 4.5。
（1）解：方程的解为，
将代入不等式中，
有，，
∴方程的解不能使不等式成立，
∴方程不是不等式的“关联性方程”；
故答案为：不是；
（2）解：关于x，y方程组，
由可得，
两式相加可得，解得，
将代入可得，
∵关于x，y方程组是不等式的“关联性方程组”，
∴方程组的解满足不等式，
∴，解得，
∴的取值范围为；
（3）解：不等式组，解得，
∴不等式组的解集为，
∵关于的方程是不等式组的“关联性方程”，
∴满足不等式组，
即，解得，
∴，
∵关于的不等式组恰有5个整数解，
∴可设5个整数解为，
∴，
解得：，
∵b有解，
∴，
解得：，
∴k的整数解为，
当时，，
∴；
当时，，
∴；
综上所述，的取值范围为．
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