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湖南省怀化市2024-2025学年八年级下学期期末数学试题
一、选择题（每小题3分，共30分；每小题的四个选项中只有一项是正确的，请将正确选项的代号填涂在答题卡的相应位置上）
1．围棋起源于中国，截取对战棋谱中的四个部分，由黑白棋子摆成的图案是中心对称的是（　　）
A． B．
C． D．
2．在平面直角坐标系中，点在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．若直角三角形的一个锐角是，则另一个锐角的度数是（　　）
A． B． C． D．
4．一次函数的图象不经过（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
5．已知一组数据的最大值为100，最小值为20，若取组距为15，作等距分组，则分成的组数为（　　）
A．6 B．5 C．4 D．3
6．如图，在中，，．以点C为圆心，任意长为半径画弧，交于点，再分别以点为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点P，作射线交于点H．，Q是边上一动点，则点之间的最小距离为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．8
7．下列命题中，①对角线相等的四边形是矩形；②对角线垂直且互相平分的四边形是菱形；③四角相等的四边形是正方形；④四边相等的四边形是菱形．其中正确的有（　　）
A．①② B．②④ C．①④ D．①②④
8．如图，在四边形中，是对角线的中点，点、分别是、的中点，，，．则的度数为 （　　）
A． B． C． D．
9．直角三角形的三边为，，且、都为正整数，则三角形其中一边长可能为（　　）
A． B． C． D．
10．李华早上7点从家骑自行车出发，沿一条直路去公园锻炼，小明出发的同时，他爸爸锻炼结束从公园沿同一条道路匀速步行回家；小明在公园锻炼了一会后沿原路以原速返回，小明比爸爸早5分钟到家．设两人离家的距离与小明离开家的时间之间的函数关系如图所示，下列说法：①公园与家的距离为2000米；②爸爸回家的速度为；③小明在公园锻炼的时间是25分钟；④小明在去公园的途中，在离家1600米处与爸爸相遇．以上说法正确的有（　　）个．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
11．已知点在一次函数的图象上，则　 　．
12．某班级开展剪窗花活动，小华同学将剪好的兔子放在适当的平面直角坐标系中．若兔子两只耳朵上的点与点恰好关于轴对称，则的值为　 　．
13．李明将一枚质地均匀的硬币连续抛掷10次，落地后正面朝上6次，反面朝上4次，正面朝上的频率是　 　．
14．在菱形中，长为，对角线长为，该菱形的面积是　 　．
15．如图，已知一次函数和的图象交于点，则关于的方程的解是　 　．
16．如图是用边长相等的正三角形和正边形两种地砖铺设的部分地面示意图，则　 　．
17．如图，正方形的边长为4，将正方形折叠，使顶点落在边上的点处，折痕为，若，则线段的长为　 　．
18．如图，正方形的对角线的交点与坐标原点重合，将顶点绕点逆时针旋转得点，再将绕点逆时针旋转得点，再将绕点逆时针旋转得点，再将绕点逆时针旋转得点，再将绕点逆时针旋转得点……依此类推，则点的横坐标是　 　．
三、解答题（本大题共8小题，共66分）
19．已知：如图，在中，于点，点在边上，．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）求证：．
20．如图，在的网格中，每个小正方形的边长都为1个单位长度．
（1）建立适当的平面直角坐标系后，若点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为_____；
（2）将向右平移1个单位长度，再向下平移4个单位长度，画出平移后的；
（3）在（1），（2）的条件下，若线段上有一点，则平移后的对应点的坐标为______．
21．某家庭记录了使用节水龙头的日用水量样本数据（单位：），得到频数分布表如下：
日用水量 频数 百分比
1 4%
2 8%
20%
32%
6
3 12%
（1）求的值；
（2）在图上补全频数分布直方图；
（3）估计该家庭使用节水龙头100天后，其中日用水量小于的天数是多少天？
22．如图，在中，，过点C的直线，D为边上一点，过点D作，垂足为F，交直线于E，连接，．
（1）求证：；
（2）当D为中点时，四边形是什么特殊四边形？说明你的理由；
（3）在满足（2）的条件下，当满足什么条件时，四边形是正方形？说明你的理由．
23．某商场计划购进甲、乙两种衣服进行销售．已知甲种衣服的进货单价比乙种衣服的进货单价贵50元，购进3件甲种衣服的费用与购进4件乙种衣服的费用相等．进货后，商场确定甲衣服的售价为每件250元，乙衣服的售价为180元/件．
（1）求甲、乙两种衣服的进货单价各是多少元？
（2）若商场准备购进甲、乙两种衣服共100件，但进货总金额不能超过18000元．若设甲种衣服购进件，销售完100件甲、乙两种商品的总利润为元，求与之间的函数关系式，并求的最大值．
24．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，与轴和轴分别相交于点和点，与正比例函数的图象相交于点，点的纵坐标为2．
（1）求一次函数的解析式；
（2）若点在轴上，满足，求点的坐标；
（3）若直线与的三边有两个公共点，求的取值范围．
25．若任意三个正数满足：的关系，则称这三个正数为“快乐三数组”．
（1）下列三组数是“快乐三数组”有______（填序号）；
①3，4，5；②，，；③，1，；
（2）若关于的方程的解与关于的方程的解与1构成“快乐三数组”，求的值；
（3）如图，在四边形中，，，连接对角线，若的长为c，的两条邻边长分别为a，b，若，b，构成“快乐三数组”，且，求的长．
26．在“综合与实践”课上，同学们以“图形的旋转”为主题开展数学活动：
（1）【探究发现】
如图1，在正方形中，点是边上任意一点，以点为中心，将顺时针旋转，使得点与点重合得到，连接．则是______三角形．
（2）【联想拓展】
如图2，若点是正方形的对角线上一点，将顺时针旋转得到，连接．求证：．
（3）【迁移应用】
如图3，已知菱形，，，点是菱形的对角线上一点，将顺时针旋转得到，连接．当时，求．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：根据中心对称图形的定义，可知ABC选项的图案不是中心对称图形，D选项的图案是中心对称图形，
故答案为：D．
【分析】根据中心对称图形的定义：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，据此逐项进行判断即可.
2．【答案】B
【知识点】点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：∵，
∴点在第二象限，
故选B．
【分析】
依据四个象限内点的坐标符号特征来判断求解，具体特征为：第一象限内点的横、纵坐标均为正，第二象限内点横坐标为负、纵坐标为正，第三象限内点的横、纵坐标均为负，第四象限内点横坐标为正、纵坐标为负，按此规则判断即可.
3．【答案】B
【知识点】直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：这个三角形是直角三角形，其中一个锐角为，
另一个锐角的度数是：，
故答案为：B．
【分析】利用直角三角形的两个锐角相加和为90°，也就是两锐角互余的关系，就可以计算得到结果.
4．【答案】D
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：中，，，
函数图象经过第一、二、三象限，
函数图象不经过第四象限，
故选：D．
【分析】
对于一次函数，当比例系数，且截距时，该函数的图象一定经过第一、二、三象限，依据这个性质即可得到本题答案.
5．【答案】A
【知识点】频数（率）分布直方图
【解析】【解答】解：∵一组数据的最大值为100，最小值为20，
∴极差为，
∵组距为15，
∴组数为，
∴分成的组数为6，
故答案为：A．
【分析】根据组数=（最大值-最小值）÷组距计算，注意小数部分要进位．
6．【答案】C
【知识点】垂线段最短及其应用；角平分线的性质；含30°角的直角三角形；角平分线的概念；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：如图，过点作于点，
∵是边上一动点，
∴当时，最小，
∵，，
∴，
由画图可知：平分，
∴，，
∵，
∴，
故答案为：C．
【分析】过点作于点，根据垂线段最短可得当时，最小，求出，根据画图痕迹得到平分，然后根据角平分线的定义与性质得到，，最后由含30°的直角三角形的性质得到答案.
7．【答案】B
【知识点】菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定
【解析】【解答】解：①对角线相等并且互相平分的四边形才是矩形，故①错误；
②对角线互相垂直且互相平分的四边形是菱形，故②正确；
③四个角都相等的四边形是矩形，故③错误；
④四条边相等的四边形是菱形，故④正确；
∴正确的说法是②④，
故答案为：B．
【分析】本题考查矩形、菱形的判定定理，需要我们根据相关判定定理，依次判断每个命题是否正确.
8．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；三角形的中位线定理；平行线的应用-求角度；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：∵是对角线的中点，点、分别是、的中点，
∴，，，，
∴，，
∵，，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：C．
【分析】根据三角形的内角和定理，结合已知可得，由平行线的性质可得，，从而求出，，进而求出，然后根据等腰三角形“等边对等角”性质以及三角形的内角和定理，计算即可得的度数．
9．【答案】A
【知识点】整式的混合运算；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：∵，都为正整数，
∴，
∵直角三角形的三边为，，，
是直角三角形的斜边，
，
整理得：，
∴，
，，
三角形三边长分别为，，，
三角形三边的长度可能是的倍数，的倍数，的倍数，
A、当时，，
∴，
∴三边长分别为，，，故A符合题意；
B、不是，，的倍数，故B不符合题意；
C、不是，，的倍数，故C不符合题意；
D、不是，，的倍数，故D不符合题意；
故答案为：A．
【分析】先根据，都为正整数可得：，从而得到是直角三角形的斜边，然后根据勾股定理可得，进而可得三角形三边长分别为、、，即三角形三边的长度可能是的倍数，的倍数，的倍数，最后根据三角形三边长的特征判断即可．
10．【答案】C
【知识点】通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：根据图象可得：公园与家的距离为2000米，故①正确；
爸爸的速度为：，故②正确；
∵，
∴小明在公园锻炼的时间是15分钟，故③错误；
小明的速度为：，
设小明在返回途中离家a米处与爸爸相遇，
根据题意得，，
解得：，
∴小明在去公园的途中，在离家1600米处与爸爸相遇，故④正确；
综上所述，以上说法正确的有3个，
故答案为：C．
【分析】根据可知公园与家的距离，即可判断①；根据题意可知小明从家到公园的时间以及从公园返回家的时间为10分钟，在公园的锻炼时间为15分钟，结合小明比爸爸早5分钟到家可知爸爸从公园回家的时间，利用速度＝路程÷时间得到爸爸的速度，即可判断②；结合函数图象得到小明在公园锻炼的时间，即可判断③；设小明在返回途中离家a米处与爸爸相遇，根据题意列出关于a的一元一次方程并解之，即可判断④.
11．【答案】0
【知识点】一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵点在一次函数的图象上，
∴，
解得：，
故答案为：0．
【分析】本题考查一次函数图象上点的坐标特征：一次函数解析式上的任意点的坐标都满足该函数的解析式，因此只需要将点的坐标代入一次函数，求解方程就能得到的值.
12．【答案】1
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：∵点和点关于轴对称，
∴，
解得：，
∴，
故答案为：1．
【分析】本题主要考查关于坐标轴对称的点的坐标规律，解题的核心是熟记“关于轴对称的点，纵坐标不变，横坐标互为相反数”这一性质，可以先利用这一性质得到和的取值，再将得到的值代入所求代数式计算，就能得到最终结果.
13．【答案】
【知识点】频数与频率
【解析】【解答】解：∵李明抛掷一枚质地均匀的硬币，连续抛掷10次，其中有6次正面朝上，4次反面朝上，
∴正面朝上的频率为，
故答案为：，
【分析】本题考查频数与频率的相关知识，理解“频率=频数÷试验总次数”是解这道题的核心关键，根据这个频率计算公式，代入对应数据计算就能得到结果.
14．【答案】
【知识点】勾股定理；菱形的性质
【解析】【解答】解：如图，，，
∵四边形是菱形，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∴菱形的面积为：，
故答案为：．
【分析】先根据菱形对角线互相垂直平分的性质得到，，，然后利用勾股定理求出，从而得到，进而根据菱形面积等于对角线乘积的一半求解即可．
15．【答案】
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数与二元一次方程（组）的关系；两一次函数图象相交或平行问题
【解析】【解答】解：∵一次函数和的图象交于点，
∴，，
解得：，，
∴所求方程为，
解得：，
故答案为：．
【分析】先将交点坐标代入两个一次函数，通过待定系数法求出参数的值，再代入所求一元一次方程，解方程即可得到结果.
16．【答案】12
【知识点】等边三角形的性质；多边形内角与外角；平面镶嵌（密铺）；正多边形的性质
【解析】【解答】解：如图：
是等边三角形，
，
正三角形和正n边形密铺，
，
，
，
正n边形的外角为：，
∴这个多边形的边数是.
故答案为：．
【分析】根据等边三角形的性质得，观察图形得，进一步得，即可得正n边形的外角为，进而求得的值即可.
17．【答案】
【知识点】勾股定理；正方形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵正方形的边长为4，，
∴，，，
∵将正方形折叠，使顶点落在边上的点处，折痕为，
∴，
设，则，
在中，根据勾股定理得，
解得：，
∴，
故答案为：.
【分析】根据正方形的性质得到，，，根据折叠的性质可知，然后设，那么，在中，利用勾股定理建立关于的方程，解方程即可得到的长度.
18．【答案】
【知识点】正方形的性质；坐标与图形变化﹣旋转；等腰直角三角形；探索规律-点的坐标规律
【解析】【解答】解：∵将顶点绕点逆时针旋转得点，
∴，
∵将绕点逆时针旋转得点，再将绕点逆时针旋转得点，再将绕点逆时针旋转得点，再将绕点逆时针旋转得点……
∴，，，，，……，
∴每四个点一个循环，其中，
∵，
∴，
故答案为：．
【分析】先求出点的坐标，同理求出、、、、的坐标，据此可得出规律：每四个点一个循环，，然后根据，即可推出的坐标．
19．【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
又∵，即，
∴四边形是平行四边形
∵，
∴，
∴四边形是矩形；
（2）证明：由（1）可得四边形是矩形，
∴，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
在和中，
∴．
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；平行四边形的判定与性质；矩形的判定与性质
【解析】【分析】（1）先根据平行四边形的性质结合已知条件推导出，，，然后根据矩形的判定得证结论；
（2）由（1）的结论，根据矩形的性质求出，根据平行四边形的性质得到，再根据定理即可证明结论．
（1）证明：在中，且，
∵，
∴
即
又∵即，
∴四边形是平行四边形
∵，
∴
∴四边形是矩形；
（2）证明：由（1）知四边形是矩形，
∴
∴
在中，
在和中，
∴．
20．【答案】（1）
（2）解：如图，即为所求；
（3）
【知识点】点的坐标；坐标与图形变化﹣平移；作图﹣平移；平面直角坐标系的构成
【解析】【解答】解：（1）如图，
∴，
故答案为：；
（3）由平移性质得：平移后的对应点的坐标为，
故答案为：.
【分析】（1）根据点坐标建立平面直角坐标系，从而得到点的坐标；
（2）根据平移性质得到对应点的位置，再顺次连接各对应点得到平移后的；
（3）根据坐标平移性质“左减右加横坐标，上加下减纵坐标”可得答案.
（1）解：建立如图所示的平面直角坐标系，点A坐标为
；
（2）解：如图，即为所求作：
（3）解：由平移性质得：平移后的对应点的坐标为．
21．【答案】（1）解： 记录总数为：，
∴，，；
（2）解：补全频数分布直方图如下图所示：
（3）解：根据题意，得（天），
答：日用水量小于的天数是64天．
【知识点】频数（率）分布表；频数（率）分布直方图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【分析】（1）用频数除以其对应百分比得到记录总数，然后用记录总数乘以对应百分比得到的值，用频数除以记录总数再乘以100%得到的值；
（2）根据频数分布表和的值，即可补全频数分布直方图；
（3）先计算出样本里，日用水量小于的天数占总调查天数的百分比，再用100乘以这个百分比即可计算得出结果.
（1）解： 记录总数为：
∴a的值为5，b的值为8，c的值为24%．
（2）如图所示
（3）（天）
答：日用水量小于的天数是64天．
22．【答案】（1）证明：∵，
，
，
，
，
，即，
四边形是平行四边形，
；
（2）解：四边形是菱形，理由如下：∵为中点，
，
，
，
，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形；
（3）解：当或时，四边形是正方形，理由：∵，，
，
由（2）可知，四边形是菱形，
，
，
∴四边形是正方形．
或：当时，∵，
∴，
由（2）可知，四边形是菱形，
，
，
∴四边形是正方形．
【知识点】平行四边形的判定与性质；菱形的判定；正方形的判定；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】（1）根据两组对边分别平行可证得四边形是平行四边形，再根据平行四边形的对边相等即可得出CE=AD；
（2）首先根据一组对边平行且线等可证明四边形是平行四边形，再根据对角线互相垂直即可得出四边形是菱形；
（3） 满足 的条件应该能使四边形的一个角是直角，或者能使四边形的对角线相等。当时，∠ABC=45°，进而得出∠DBE=2∠ABC=90°；当时，AC=ED，故而BC=DE，由（2）知四边形是菱形，即可得出当或时，四边形是正方形。
（1）证明：∵，
，
，
，
，
，即，
四边形是平行四边形，
；
（2）解：四边形是菱形，
理由如下：∵为中点，
，
，
，
，
∴四边形是平行四边形，
为中点，
，
∴四边形是菱形；
（3）解：当或时，四边形是正方形，
理由：∵，，
，
由（2）可知，四边形是菱形，
，
，
∴四边形是正方形．
或：当时，∵，
∴，
由（2）可知，四边形是菱形，
，
，
∴四边形是正方形．
23．【答案】（1）解：设乙种衣服的进件为元/件，则甲种衣服的进价为元/件，
根据题意，得，
解得：，
∴，
答：甲种衣服的进价为200元/件，乙种衣服的进价为150元/件；
（2）解：根据题意，得，
∵，
∴随的增大而增大，
∵，
解得：，
∴当时，有最大值为4200元．
【知识点】一元一次不等式的应用；一元一次方程的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）先设乙种衣服每件的进价为元，则甲种衣服每件的进价就是元，再根据题目给出的“购买3件甲种衣服的总费用，和购买4件乙种衣服的总费用相等”这一等量关系，列出一元一次方程求解即可；
（2）先按照“总利润=单件利润×进货数量”的关系，建立总利润关于进货数量的一次函数解析式，再结合“进货总资金不可以超过18000元”的限制条件，列出不等式求出的取值范围，最后结合一次函数的增减性性质，求出符合要求的结果.
（1）解：设乙种衣服的进件为元/件，则甲种衣服的进价为元/件．
根据题意得：
解得：
经检验：是原方程的解，
∴
答：甲种衣服的进价为200元/件，乙种衣服的进价为150元/件．
（2）解：
∴随的增大而增大，
∵
∴
∴当时，有最大值为4200．
24．【答案】（1）解：∵点在正比例函数的图象上，且点的纵坐标为2，
∴，
将代入一次函数，得，
解得：，
∴一次函数的解析式为；
（2）解：∵点在轴上，
∴设，
∵一次函数与和轴分别相交于点和点，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得：，
∴点的坐标为或；
（3）解：∵直线中，
∴当时，有，
∴直线恒过定点，
∵，
∴当直线经过点时，有，
解得：；
当直线经过点时，有，
解得：；
∵直线与的三边有两个公共点，
∴的取值范围是．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数图象与坐标轴交点问题；一次函数的实际应用-几何问题；一次函数中的面积问题
【解析】【分析】（1）先将点的纵坐标代入正比例函数中得到点的坐标，然后利用待定系数法即可求出一次函数的解析式；
（2）设，求出点的坐标，从而得到，利用三角形面积公式得到，进而得到，然后根据三角形面积公式可得，解这个方程就能得到点的坐标；
（3）先求出直线恒过定点，然后分别求出直线经过点时的值，结合该直线与的三边有两个公共点就可以得到的取值范围.
（1）解：∵点在正比例函数的图象上，且点的纵坐标为2，
∴，
∵点在一次函数的图象上，
∴，
解得，
∴一次函数的解析式为；
（2）解：由（1）知一次函数的解析式为，
∵一次函数与和轴分别相交于点和点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵点在轴上，
∴设，
∴，
∴，
∴点的坐标为或；
（3）解：在中，当时，，
∴直线恒过定点，
∵，
∴当直线经过点时，，解得；
∴直线经过点时，，解得；
∵直线与的三边有两个公共点．
∴的取值范围是．
25．【答案】（1）②③
（2）解：∵关于的方程，
解得：，
∵关于的方程，
解得：，
∵关于的方程的解与关于的方程的解与1构成“快乐三数组”，
∴分以下三种情况讨论：
①当时，有，
解得：，
经检验是分式方程的解，
∴的值为1；
②当时，有，
解得：，
经检验是分式方程的解，但此时为负数，不合题意，舍去；
③当时，有，
解得：，
经检验是方程的解，
∴的值为；
综上所述，的值为1或；
（3）解：由题意得：，，
∴，，
∵，b，构成“快乐三数组”，
∴，
整理得：，
∴，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
解得：或（舍），
∴．
【知识点】二次根式的混合运算；解分式方程；勾股定理；数形结合；分类讨论
【解析】【解答】解：（1）∵，，，
∴②③是“快乐三数组”，
故答案为：②③.
【分析】（1）根据新定义进行计算验证即可得到答案；
（2）分别求解两个方程得，，然后分三种情况讨论：，，，得到对应的方程并解之即可；
（3）由题意得，根据可得，，结合即可求解．
（1）解：∵，，，
∴②③是“快乐三数组”，
故答案为：②③；
（2）解关于的方程，得：，
解关于的方程得：
①当时，，解得；
②当时，，解得（此时x为负数，不合题意，舍去）；
③当时，，解得；
所以或1；
（3）解：由题意得：，，
∴，，
∵，b，构成“快乐三数组”，
∴，
整理得：，
∴，
即：，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
解得：或（舍）
∴．
26．【答案】（1）等腰直角
（2）证明：∵四边形为正方形，
∴，
根据旋转的性质可得：，，，，
∴为等腰直角三角形，，
∴，，
∴；
（3）解：由旋转的性质得：，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵四边形为菱形，且，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴（负值舍去）．
【知识点】勾股定理；菱形的性质；正方形的性质；旋转的性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：（1）为等腰直角三角形，理由如下：
∵四边形为正方形，
∴，
∴，
由旋转的性质可得：，，
∴，即，
∴为等腰直角三角形，
故答案为：等腰直角.
【分析】（1）根据正方形的性质得出，则，根据旋转的性质可得，，从而得出，即可得证结论；
（2）根据正方形的性质得出，根据旋转的性质可得，，，，从而得出为等腰直角三角形，，然后由勾股定理即可得出答案；
（3）根据由旋转的性质得，求出，易证，然后根据四边形为菱形，且，求出，由含30°的直角三角形的性质得到，最后利用勾股定理即可求解．
（1）解：为等腰直角三角形，理由如下：
∵四边形为正方形，
∴，即，
由旋转的性质可得：，，
∴，即，
∴为等腰直角三角形；
（2）证明：∵四边形为正方形，
∴，
由旋转的性质可得：，，，，
∴为等腰直角三角形，，
∴，，
∴；
（3）解：由旋转的性质得，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵四边形为菱形，且，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴（负值舍去）．
1 / 1湖南省怀化市2024-2025学年八年级下学期期末数学试题
一、选择题（每小题3分，共30分；每小题的四个选项中只有一项是正确的，请将正确选项的代号填涂在答题卡的相应位置上）
1．围棋起源于中国，截取对战棋谱中的四个部分，由黑白棋子摆成的图案是中心对称的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：根据中心对称图形的定义，可知ABC选项的图案不是中心对称图形，D选项的图案是中心对称图形，
故答案为：D．
【分析】根据中心对称图形的定义：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，据此逐项进行判断即可.
2．在平面直角坐标系中，点在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【知识点】点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：∵，
∴点在第二象限，
故选B．
【分析】
依据四个象限内点的坐标符号特征来判断求解，具体特征为：第一象限内点的横、纵坐标均为正，第二象限内点横坐标为负、纵坐标为正，第三象限内点的横、纵坐标均为负，第四象限内点横坐标为正、纵坐标为负，按此规则判断即可.
3．若直角三角形的一个锐角是，则另一个锐角的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：这个三角形是直角三角形，其中一个锐角为，
另一个锐角的度数是：，
故答案为：B．
【分析】利用直角三角形的两个锐角相加和为90°，也就是两锐角互余的关系，就可以计算得到结果.
4．一次函数的图象不经过（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：中，，，
函数图象经过第一、二、三象限，
函数图象不经过第四象限，
故选：D．
【分析】
对于一次函数，当比例系数，且截距时，该函数的图象一定经过第一、二、三象限，依据这个性质即可得到本题答案.
5．已知一组数据的最大值为100，最小值为20，若取组距为15，作等距分组，则分成的组数为（　　）
A．6 B．5 C．4 D．3
【答案】A
【知识点】频数（率）分布直方图
【解析】【解答】解：∵一组数据的最大值为100，最小值为20，
∴极差为，
∵组距为15，
∴组数为，
∴分成的组数为6，
故答案为：A．
【分析】根据组数=（最大值-最小值）÷组距计算，注意小数部分要进位．
6．如图，在中，，．以点C为圆心，任意长为半径画弧，交于点，再分别以点为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点P，作射线交于点H．，Q是边上一动点，则点之间的最小距离为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．8
【答案】C
【知识点】垂线段最短及其应用；角平分线的性质；含30°角的直角三角形；角平分线的概念；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：如图，过点作于点，
∵是边上一动点，
∴当时，最小，
∵，，
∴，
由画图可知：平分，
∴，，
∵，
∴，
故答案为：C．
【分析】过点作于点，根据垂线段最短可得当时，最小，求出，根据画图痕迹得到平分，然后根据角平分线的定义与性质得到，，最后由含30°的直角三角形的性质得到答案.
7．下列命题中，①对角线相等的四边形是矩形；②对角线垂直且互相平分的四边形是菱形；③四角相等的四边形是正方形；④四边相等的四边形是菱形．其中正确的有（　　）
A．①② B．②④ C．①④ D．①②④
【答案】B
【知识点】菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定
【解析】【解答】解：①对角线相等并且互相平分的四边形才是矩形，故①错误；
②对角线互相垂直且互相平分的四边形是菱形，故②正确；
③四个角都相等的四边形是矩形，故③错误；
④四条边相等的四边形是菱形，故④正确；
∴正确的说法是②④，
故答案为：B．
【分析】本题考查矩形、菱形的判定定理，需要我们根据相关判定定理，依次判断每个命题是否正确.
8．如图，在四边形中，是对角线的中点，点、分别是、的中点，，，．则的度数为 （　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；三角形的中位线定理；平行线的应用-求角度；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：∵是对角线的中点，点、分别是、的中点，
∴，，，，
∴，，
∵，，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：C．
【分析】根据三角形的内角和定理，结合已知可得，由平行线的性质可得，，从而求出，，进而求出，然后根据等腰三角形“等边对等角”性质以及三角形的内角和定理，计算即可得的度数．
9．直角三角形的三边为，，且、都为正整数，则三角形其中一边长可能为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】整式的混合运算；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：∵，都为正整数，
∴，
∵直角三角形的三边为，，，
是直角三角形的斜边，
，
整理得：，
∴，
，，
三角形三边长分别为，，，
三角形三边的长度可能是的倍数，的倍数，的倍数，
A、当时，，
∴，
∴三边长分别为，，，故A符合题意；
B、不是，，的倍数，故B不符合题意；
C、不是，，的倍数，故C不符合题意；
D、不是，，的倍数，故D不符合题意；
故答案为：A．
【分析】先根据，都为正整数可得：，从而得到是直角三角形的斜边，然后根据勾股定理可得，进而可得三角形三边长分别为、、，即三角形三边的长度可能是的倍数，的倍数，的倍数，最后根据三角形三边长的特征判断即可．
10．李华早上7点从家骑自行车出发，沿一条直路去公园锻炼，小明出发的同时，他爸爸锻炼结束从公园沿同一条道路匀速步行回家；小明在公园锻炼了一会后沿原路以原速返回，小明比爸爸早5分钟到家．设两人离家的距离与小明离开家的时间之间的函数关系如图所示，下列说法：①公园与家的距离为2000米；②爸爸回家的速度为；③小明在公园锻炼的时间是25分钟；④小明在去公园的途中，在离家1600米处与爸爸相遇．以上说法正确的有（　　）个．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：根据图象可得：公园与家的距离为2000米，故①正确；
爸爸的速度为：，故②正确；
∵，
∴小明在公园锻炼的时间是15分钟，故③错误；
小明的速度为：，
设小明在返回途中离家a米处与爸爸相遇，
根据题意得，，
解得：，
∴小明在去公园的途中，在离家1600米处与爸爸相遇，故④正确；
综上所述，以上说法正确的有3个，
故答案为：C．
【分析】根据可知公园与家的距离，即可判断①；根据题意可知小明从家到公园的时间以及从公园返回家的时间为10分钟，在公园的锻炼时间为15分钟，结合小明比爸爸早5分钟到家可知爸爸从公园回家的时间，利用速度＝路程÷时间得到爸爸的速度，即可判断②；结合函数图象得到小明在公园锻炼的时间，即可判断③；设小明在返回途中离家a米处与爸爸相遇，根据题意列出关于a的一元一次方程并解之，即可判断④.
二、填空题
11．已知点在一次函数的图象上，则　 　．
【答案】0
【知识点】一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵点在一次函数的图象上，
∴，
解得：，
故答案为：0．
【分析】本题考查一次函数图象上点的坐标特征：一次函数解析式上的任意点的坐标都满足该函数的解析式，因此只需要将点的坐标代入一次函数，求解方程就能得到的值.
12．某班级开展剪窗花活动，小华同学将剪好的兔子放在适当的平面直角坐标系中．若兔子两只耳朵上的点与点恰好关于轴对称，则的值为　 　．
【答案】1
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：∵点和点关于轴对称，
∴，
解得：，
∴，
故答案为：1．
【分析】本题主要考查关于坐标轴对称的点的坐标规律，解题的核心是熟记“关于轴对称的点，纵坐标不变，横坐标互为相反数”这一性质，可以先利用这一性质得到和的取值，再将得到的值代入所求代数式计算，就能得到最终结果.
13．李明将一枚质地均匀的硬币连续抛掷10次，落地后正面朝上6次，反面朝上4次，正面朝上的频率是　 　．
【答案】
【知识点】频数与频率
【解析】【解答】解：∵李明抛掷一枚质地均匀的硬币，连续抛掷10次，其中有6次正面朝上，4次反面朝上，
∴正面朝上的频率为，
故答案为：，
【分析】本题考查频数与频率的相关知识，理解“频率=频数÷试验总次数”是解这道题的核心关键，根据这个频率计算公式，代入对应数据计算就能得到结果.
14．在菱形中，长为，对角线长为，该菱形的面积是　 　．
【答案】
【知识点】勾股定理；菱形的性质
【解析】【解答】解：如图，，，
∵四边形是菱形，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∴菱形的面积为：，
故答案为：．
【分析】先根据菱形对角线互相垂直平分的性质得到，，，然后利用勾股定理求出，从而得到，进而根据菱形面积等于对角线乘积的一半求解即可．
15．如图，已知一次函数和的图象交于点，则关于的方程的解是　 　．
【答案】
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数与二元一次方程（组）的关系；两一次函数图象相交或平行问题
【解析】【解答】解：∵一次函数和的图象交于点，
∴，，
解得：，，
∴所求方程为，
解得：，
故答案为：．
【分析】先将交点坐标代入两个一次函数，通过待定系数法求出参数的值，再代入所求一元一次方程，解方程即可得到结果.
16．如图是用边长相等的正三角形和正边形两种地砖铺设的部分地面示意图，则　 　．
【答案】12
【知识点】等边三角形的性质；多边形内角与外角；平面镶嵌（密铺）；正多边形的性质
【解析】【解答】解：如图：
是等边三角形，
，
正三角形和正n边形密铺，
，
，
，
正n边形的外角为：，
∴这个多边形的边数是.
故答案为：．
【分析】根据等边三角形的性质得，观察图形得，进一步得，即可得正n边形的外角为，进而求得的值即可.
17．如图，正方形的边长为4，将正方形折叠，使顶点落在边上的点处，折痕为，若，则线段的长为　 　．
【答案】
【知识点】勾股定理；正方形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵正方形的边长为4，，
∴，，，
∵将正方形折叠，使顶点落在边上的点处，折痕为，
∴，
设，则，
在中，根据勾股定理得，
解得：，
∴，
故答案为：.
【分析】根据正方形的性质得到，，，根据折叠的性质可知，然后设，那么，在中，利用勾股定理建立关于的方程，解方程即可得到的长度.
18．如图，正方形的对角线的交点与坐标原点重合，将顶点绕点逆时针旋转得点，再将绕点逆时针旋转得点，再将绕点逆时针旋转得点，再将绕点逆时针旋转得点，再将绕点逆时针旋转得点……依此类推，则点的横坐标是　 　．
【答案】
【知识点】正方形的性质；坐标与图形变化﹣旋转；等腰直角三角形；探索规律-点的坐标规律
【解析】【解答】解：∵将顶点绕点逆时针旋转得点，
∴，
∵将绕点逆时针旋转得点，再将绕点逆时针旋转得点，再将绕点逆时针旋转得点，再将绕点逆时针旋转得点……
∴，，，，，……，
∴每四个点一个循环，其中，
∵，
∴，
故答案为：．
【分析】先求出点的坐标，同理求出、、、、的坐标，据此可得出规律：每四个点一个循环，，然后根据，即可推出的坐标．
三、解答题（本大题共8小题，共66分）
19．已知：如图，在中，于点，点在边上，．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）求证：．
【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
又∵，即，
∴四边形是平行四边形
∵，
∴，
∴四边形是矩形；
（2）证明：由（1）可得四边形是矩形，
∴，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
在和中，
∴．
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；平行四边形的判定与性质；矩形的判定与性质
【解析】【分析】（1）先根据平行四边形的性质结合已知条件推导出，，，然后根据矩形的判定得证结论；
（2）由（1）的结论，根据矩形的性质求出，根据平行四边形的性质得到，再根据定理即可证明结论．
（1）证明：在中，且，
∵，
∴
即
又∵即，
∴四边形是平行四边形
∵，
∴
∴四边形是矩形；
（2）证明：由（1）知四边形是矩形，
∴
∴
在中，
在和中，
∴．
20．如图，在的网格中，每个小正方形的边长都为1个单位长度．
（1）建立适当的平面直角坐标系后，若点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为_____；
（2）将向右平移1个单位长度，再向下平移4个单位长度，画出平移后的；
（3）在（1），（2）的条件下，若线段上有一点，则平移后的对应点的坐标为______．
【答案】（1）
（2）解：如图，即为所求；
（3）
【知识点】点的坐标；坐标与图形变化﹣平移；作图﹣平移；平面直角坐标系的构成
【解析】【解答】解：（1）如图，
∴，
故答案为：；
（3）由平移性质得：平移后的对应点的坐标为，
故答案为：.
【分析】（1）根据点坐标建立平面直角坐标系，从而得到点的坐标；
（2）根据平移性质得到对应点的位置，再顺次连接各对应点得到平移后的；
（3）根据坐标平移性质“左减右加横坐标，上加下减纵坐标”可得答案.
（1）解：建立如图所示的平面直角坐标系，点A坐标为
；
（2）解：如图，即为所求作：
（3）解：由平移性质得：平移后的对应点的坐标为．
21．某家庭记录了使用节水龙头的日用水量样本数据（单位：），得到频数分布表如下：
日用水量 频数 百分比
1 4%
2 8%
20%
32%
6
3 12%
（1）求的值；
（2）在图上补全频数分布直方图；
（3）估计该家庭使用节水龙头100天后，其中日用水量小于的天数是多少天？
【答案】（1）解： 记录总数为：，
∴，，；
（2）解：补全频数分布直方图如下图所示：
（3）解：根据题意，得（天），
答：日用水量小于的天数是64天．
【知识点】频数（率）分布表；频数（率）分布直方图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【分析】（1）用频数除以其对应百分比得到记录总数，然后用记录总数乘以对应百分比得到的值，用频数除以记录总数再乘以100%得到的值；
（2）根据频数分布表和的值，即可补全频数分布直方图；
（3）先计算出样本里，日用水量小于的天数占总调查天数的百分比，再用100乘以这个百分比即可计算得出结果.
（1）解： 记录总数为：
∴a的值为5，b的值为8，c的值为24%．
（2）如图所示
（3）（天）
答：日用水量小于的天数是64天．
22．如图，在中，，过点C的直线，D为边上一点，过点D作，垂足为F，交直线于E，连接，．
（1）求证：；
（2）当D为中点时，四边形是什么特殊四边形？说明你的理由；
（3）在满足（2）的条件下，当满足什么条件时，四边形是正方形？说明你的理由．
【答案】（1）证明：∵，
，
，
，
，
，即，
四边形是平行四边形，
；
（2）解：四边形是菱形，理由如下：∵为中点，
，
，
，
，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形；
（3）解：当或时，四边形是正方形，理由：∵，，
，
由（2）可知，四边形是菱形，
，
，
∴四边形是正方形．
或：当时，∵，
∴，
由（2）可知，四边形是菱形，
，
，
∴四边形是正方形．
【知识点】平行四边形的判定与性质；菱形的判定；正方形的判定；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】（1）根据两组对边分别平行可证得四边形是平行四边形，再根据平行四边形的对边相等即可得出CE=AD；
（2）首先根据一组对边平行且线等可证明四边形是平行四边形，再根据对角线互相垂直即可得出四边形是菱形；
（3） 满足 的条件应该能使四边形的一个角是直角，或者能使四边形的对角线相等。当时，∠ABC=45°，进而得出∠DBE=2∠ABC=90°；当时，AC=ED，故而BC=DE，由（2）知四边形是菱形，即可得出当或时，四边形是正方形。
（1）证明：∵，
，
，
，
，
，即，
四边形是平行四边形，
；
（2）解：四边形是菱形，
理由如下：∵为中点，
，
，
，
，
∴四边形是平行四边形，
为中点，
，
∴四边形是菱形；
（3）解：当或时，四边形是正方形，
理由：∵，，
，
由（2）可知，四边形是菱形，
，
，
∴四边形是正方形．
或：当时，∵，
∴，
由（2）可知，四边形是菱形，
，
，
∴四边形是正方形．
23．某商场计划购进甲、乙两种衣服进行销售．已知甲种衣服的进货单价比乙种衣服的进货单价贵50元，购进3件甲种衣服的费用与购进4件乙种衣服的费用相等．进货后，商场确定甲衣服的售价为每件250元，乙衣服的售价为180元/件．
（1）求甲、乙两种衣服的进货单价各是多少元？
（2）若商场准备购进甲、乙两种衣服共100件，但进货总金额不能超过18000元．若设甲种衣服购进件，销售完100件甲、乙两种商品的总利润为元，求与之间的函数关系式，并求的最大值．
【答案】（1）解：设乙种衣服的进件为元/件，则甲种衣服的进价为元/件，
根据题意，得，
解得：，
∴，
答：甲种衣服的进价为200元/件，乙种衣服的进价为150元/件；
（2）解：根据题意，得，
∵，
∴随的增大而增大，
∵，
解得：，
∴当时，有最大值为4200元．
【知识点】一元一次不等式的应用；一元一次方程的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）先设乙种衣服每件的进价为元，则甲种衣服每件的进价就是元，再根据题目给出的“购买3件甲种衣服的总费用，和购买4件乙种衣服的总费用相等”这一等量关系，列出一元一次方程求解即可；
（2）先按照“总利润=单件利润×进货数量”的关系，建立总利润关于进货数量的一次函数解析式，再结合“进货总资金不可以超过18000元”的限制条件，列出不等式求出的取值范围，最后结合一次函数的增减性性质，求出符合要求的结果.
（1）解：设乙种衣服的进件为元/件，则甲种衣服的进价为元/件．
根据题意得：
解得：
经检验：是原方程的解，
∴
答：甲种衣服的进价为200元/件，乙种衣服的进价为150元/件．
（2）解：
∴随的增大而增大，
∵
∴
∴当时，有最大值为4200．
24．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，与轴和轴分别相交于点和点，与正比例函数的图象相交于点，点的纵坐标为2．
（1）求一次函数的解析式；
（2）若点在轴上，满足，求点的坐标；
（3）若直线与的三边有两个公共点，求的取值范围．
【答案】（1）解：∵点在正比例函数的图象上，且点的纵坐标为2，
∴，
将代入一次函数，得，
解得：，
∴一次函数的解析式为；
（2）解：∵点在轴上，
∴设，
∵一次函数与和轴分别相交于点和点，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得：，
∴点的坐标为或；
（3）解：∵直线中，
∴当时，有，
∴直线恒过定点，
∵，
∴当直线经过点时，有，
解得：；
当直线经过点时，有，
解得：；
∵直线与的三边有两个公共点，
∴的取值范围是．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数图象与坐标轴交点问题；一次函数的实际应用-几何问题；一次函数中的面积问题
【解析】【分析】（1）先将点的纵坐标代入正比例函数中得到点的坐标，然后利用待定系数法即可求出一次函数的解析式；
（2）设，求出点的坐标，从而得到，利用三角形面积公式得到，进而得到，然后根据三角形面积公式可得，解这个方程就能得到点的坐标；
（3）先求出直线恒过定点，然后分别求出直线经过点时的值，结合该直线与的三边有两个公共点就可以得到的取值范围.
（1）解：∵点在正比例函数的图象上，且点的纵坐标为2，
∴，
∵点在一次函数的图象上，
∴，
解得，
∴一次函数的解析式为；
（2）解：由（1）知一次函数的解析式为，
∵一次函数与和轴分别相交于点和点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵点在轴上，
∴设，
∴，
∴，
∴点的坐标为或；
（3）解：在中，当时，，
∴直线恒过定点，
∵，
∴当直线经过点时，，解得；
∴直线经过点时，，解得；
∵直线与的三边有两个公共点．
∴的取值范围是．
25．若任意三个正数满足：的关系，则称这三个正数为“快乐三数组”．
（1）下列三组数是“快乐三数组”有______（填序号）；
①3，4，5；②，，；③，1，；
（2）若关于的方程的解与关于的方程的解与1构成“快乐三数组”，求的值；
（3）如图，在四边形中，，，连接对角线，若的长为c，的两条邻边长分别为a，b，若，b，构成“快乐三数组”，且，求的长．
【答案】（1）②③
（2）解：∵关于的方程，
解得：，
∵关于的方程，
解得：，
∵关于的方程的解与关于的方程的解与1构成“快乐三数组”，
∴分以下三种情况讨论：
①当时，有，
解得：，
经检验是分式方程的解，
∴的值为1；
②当时，有，
解得：，
经检验是分式方程的解，但此时为负数，不合题意，舍去；
③当时，有，
解得：，
经检验是方程的解，
∴的值为；
综上所述，的值为1或；
（3）解：由题意得：，，
∴，，
∵，b，构成“快乐三数组”，
∴，
整理得：，
∴，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
解得：或（舍），
∴．
【知识点】二次根式的混合运算；解分式方程；勾股定理；数形结合；分类讨论
【解析】【解答】解：（1）∵，，，
∴②③是“快乐三数组”，
故答案为：②③.
【分析】（1）根据新定义进行计算验证即可得到答案；
（2）分别求解两个方程得，，然后分三种情况讨论：，，，得到对应的方程并解之即可；
（3）由题意得，根据可得，，结合即可求解．
（1）解：∵，，，
∴②③是“快乐三数组”，
故答案为：②③；
（2）解关于的方程，得：，
解关于的方程得：
①当时，，解得；
②当时，，解得（此时x为负数，不合题意，舍去）；
③当时，，解得；
所以或1；
（3）解：由题意得：，，
∴，，
∵，b，构成“快乐三数组”，
∴，
整理得：，
∴，
即：，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
解得：或（舍）
∴．
26．在“综合与实践”课上，同学们以“图形的旋转”为主题开展数学活动：
（1）【探究发现】
如图1，在正方形中，点是边上任意一点，以点为中心，将顺时针旋转，使得点与点重合得到，连接．则是______三角形．
（2）【联想拓展】
如图2，若点是正方形的对角线上一点，将顺时针旋转得到，连接．求证：．
（3）【迁移应用】
如图3，已知菱形，，，点是菱形的对角线上一点，将顺时针旋转得到，连接．当时，求．
【答案】（1）等腰直角
（2）证明：∵四边形为正方形，
∴，
根据旋转的性质可得：，，，，
∴为等腰直角三角形，，
∴，，
∴；
（3）解：由旋转的性质得：，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵四边形为菱形，且，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴（负值舍去）．
【知识点】勾股定理；菱形的性质；正方形的性质；旋转的性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：（1）为等腰直角三角形，理由如下：
∵四边形为正方形，
∴，
∴，
由旋转的性质可得：，，
∴，即，
∴为等腰直角三角形，
故答案为：等腰直角.
【分析】（1）根据正方形的性质得出，则，根据旋转的性质可得，，从而得出，即可得证结论；
（2）根据正方形的性质得出，根据旋转的性质可得，，，，从而得出为等腰直角三角形，，然后由勾股定理即可得出答案；
（3）根据由旋转的性质得，求出，易证，然后根据四边形为菱形，且，求出，由含30°的直角三角形的性质得到，最后利用勾股定理即可求解．
（1）解：为等腰直角三角形，理由如下：
∵四边形为正方形，
∴，即，
由旋转的性质可得：，，
∴，即，
∴为等腰直角三角形；
（2）证明：∵四边形为正方形，
∴，
由旋转的性质可得：，，，，
∴为等腰直角三角形，，
∴，，
∴；
（3）解：由旋转的性质得，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵四边形为菱形，且，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴（负值舍去）．
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