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吉林省长春市净月高新区2024-2025学年七年级下学期期末考试数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．下列四个图形分别是四届国际数学家大会的会标，其中是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．若三角形的两条边分别为和，则此三角形的第三边可能是（　　）
A． B． C． D．
3．若，则下列结论正确的是（　　）
A． B． C． D．
4．把方程去分母，正确的是（　　）
A． B．
C． D．
5．在年春晚舞台上，机器人的东北秧歌表演以刚柔并济演绎了传统与未来的文化碰撞．机器人挥舞的手绢可以看作如图所示的一个八角形图案，它是一个旋转对称图形．让这个图形绕着它的中心旋转后能与自身重合，则的度数可以是（　　）
A． B． C． D．
6．如图，经过平移运动后到达的位置．与交于点，如果，，那么线段的长是（　　）
A． B． C． D．
7．学校计划采购一批白色和黄色乒乓球，若购买白色乒乓球3盒、黄色乒乓球2盒，共需34元；若购买白色乒乓球2盒、黄色乒乓球3盒，共需36元，通过设适当的未知量可列出方程组若用可得，下列关于“”的意义解释正确的是（　　）
A．每盒白色乒乓球比黄色乒乓球贵2元
B．白色乒乓球比黄色乒乓球多买了2盒
C．每盒白色乒乓球比黄色乒乓球便宜2元
D．白色乒乓球比黄色乒乓球少买了2盒
8．如图是某个一元一次不等式的解集在数轴上的表示，若该不等式恰有两个非负整数解，则a的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分．
9．用不等式表示“为负数”：　 　．
10．若时，，则的值可能是　 　（写出一个即可）．
11．学校组织数学知识竞赛，共有道选择题，每答对一题得分，答错或不答扣分，晓丽同学得分，设她答对的题目数量为道，则可列方程为　 　．
12．如图是两个全等三角形，图中的字母表示三角形的边长，那么的度数为　 　．
13．如图，要用三块正多边形的木板铺地，使拼在一起并相交于点的各边完全吻合，其中已经拼好的两块木板的边数分别是4和6，则第三块木板的边数应是　 　．
14．如图，将绕点顺时针旋转得到，若点、、在同一条直线上．给出下面五个结论：①；②；③；④与四边形面积相等；⑤．上述结论中，正确的序号有　 　．
三、解答题：本题共9小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15．解方程：
（1）
（2）
16．下面是小林同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成下列问题．
解方程组：
解：，得：③， …………第一步
，得：， …………第二步
解得：． …………第三步
把代入①，得：， …………第四步
解得：． …………第五步
∴原方程组的解为． …………第六步
（1）这种解二元一次方程组的方法是________________（填“代入消元法”或“加减消元法”），以上求解步骤中，小林同学从第___________步开始出现错误；
（2）写出此题正确的解答过程．
17．图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，的三个顶点都在格点上．
（1）将平移，使点A与点是对应点，在图①中画出平移后的；
（2）在图②中作，使得与关于直线成轴对称；
（3）将绕点顺时针旋转，在图③中画出旋转后的．
18．观察每个正多边形中的变化情况，寻找规律并解答下列问题．提示：等腰三角形具有等边对等角的性质．
（1）将下面的表格补充完整：
正多边形边数
正多边形一个外角的度数 ______ ______
的度数 ______ ______ ______
（2）根据上面的规律，若正边形中，，直接写出的值______．
19．从甲地到乙地，汽车原需行驶可到达，开通高速公路后，路程缩短了，车速平均每小时增加了，结果只需即可到达．求甲乙两地之间的高速公路的路程．
（1）若设汽车原来的车速为，则在高速公路上的车速为______，根据两地前后的路程关系可列方程为______；若设甲、乙两地高速公路路程是，则两地原来的路程为______，根据两地前后的速度关系可列方程为______；
（2）选择（1）中的一种设元方式解答问题．
20．如图，在中，平分，利用圆规和无刻度直尺作出的边上的高（保留作图痕迹）．
（1）若，，求的度数；
（2）若，，则的度数 ______，的度数 ______（用含和的代数式表示）．
21．【教材呈现】如表是华师版七年级下册数学教材第页的部分内容．
例利用不等式的性质说明下列结论的正确性： （1）如果，，那么； 解：（1）因为，所以． 又因为，所以． 由①②，可得． 由数的大小比较可知，不等式关系其有传递性，即如果且，那么，它也可以作为推理的依据．
通过例，利用不等式的传递性，我们可以证出不等式的同向可加性．
根据上述性质解决问题：若，，则的取值范围是______；
若，，则的取值范围是______；
【性质应用】已知，且，，求的取值范围，补全解答过程：
解：由，得．
将代入得，
，
即．
又因为，
所以．
求解过程缺失
【拓展提升】已知，且，，则的取值范围是______．
22．
问题背景 体育比赛中蕴含着丰富的数学知识，数学老师带领学生开展项目学习“体育比赛计分”，结合相关调研数据完成任务．
调研 调研：某次篮球联赛积分 队名比赛场次胜场负场积分前进东方光明雄鹰 　 　卫星钢铁 调研：球赛出线是我们经常谈及的话题，它是指比赛中参赛队伍通过比赛成绩达到规定条件获得晋级下一轮比赛的资格．篮球赛单循环赛一般按积分确定名次，经调研，某次篮球赛赛制积分规则与调研相同．
问题解决
任务 根据调研中的数据回答问题： （1）某次篮球联赛积分中，胜一场积______分，负一场积______分，卫星队的积分为______分； （2）求雄鹰队的胜场数和负场数．
任务 根据调研中的数据回答问题：某次篮球赛中，火炬队与月亮队要争夺出线权．火炬队当时的战绩是胜负，后面还要比赛场；月亮队当时的战绩是胜负，后面还要比赛场． （3）火炬队已经获得积分为______分； （4）火炬队为确保出线，在后面的比赛中至少要胜多少场？
23．【模型探究】（1）如图①，已知线段、相交于点，连接、，则有．我们把形如这样的图形称为“8字”模型．甲乙两名同学给出两种不同证明过程如下：
甲同学证明：（①______），
同理可得，，
又，
．
乙同学证明：（②______），
，
．
甲同学证明过程的理论依据是：①______；
乙同学证明过程的理论依据是：②______．
【模型应用】（2）如图②，已知线段、相交于点，连接、，、分别平分、．
①若，，求的度数．
补全下面求解过程．
解：、分别平分、，
，．
由“8字”模型知，
求解过程缺失
②若，，直接写出 ______（用含有和的代数式表示）．
【模型拓展】（3）如图③，已知线段、相交于点，连接、，、分别为、的三等分线，，，若，，，直接写出的度数 ______．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A、是轴对称图形，故符合题意；
B、不是轴对称图形，故不符合题意；
C、不是轴对称图形，故不符合题意；
D、不是轴对称图形，故不符合题意；
故选：A．
【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，根据定义逐项判断即可．
2．【答案】D
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：设第三边长为，根据三角形的三边关系可得：
，
解得：．
观察选项，只有选项D符合题意．
故选：D．
【分析】
先设这个三角形的第三边长为，结合三角形三边关系“两边之差小于第三边，两边之和大于第三边”，可以列出不等式，求出这个不等式的解集就能得到本题结果.
3．【答案】A
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】A．，两边同时加3得；故本选项符合题意；
B．，两边同时减去4得，原式不等号变方向，错误，故本选项不符合题意；
C．，两边同时乘得，原式不等号没有改变方向，错误，故本选项不符合题意；
D．，两边同时乘6得，原式不等号改变方向，错误，故本选项不符合题意
故选答案：A.
【分析】
根据不等式的性质可知：当给不等式两边同时加上或者减去同一个整式时，不等号的方向不发生改变；如果给不等式两边同时乘以或除以同一个大于0的整式，不等号方向同样保持不变；只有当不等式两边同时乘以或除以同一个小于0的整式时，不等号的方向才会发生改变，依据这几条性质即可完成本题解答.
4．【答案】D
【知识点】解含分数系数的一元一次方程
【解析】【解答】解：方程两边同乘以6可得：，
故选：D．
【分析】
按照等式的性质，给方程两边同时乘以分母的最小公倍数，再完成变形即可得到对应结果.
5．【答案】B
【知识点】旋转对称图形
【解析】【解答】解：该图形被平均分为8个相等的部分，因此计算得，根据旋转对称图形的性质可得：这个图案绕中心旋转角后能和自身完全重合时，可以取度（只要α是45°的整数倍且在0°~360°之间都符合要求）.
故答案为：B．
【分析】旋转对称图形重合的条件为：旋转角是图形最小旋转角的整数倍，本题先根据图形被等分的份数，计算出最小旋转角，再得到符合要求的旋转角即可.
6．【答案】B
【知识点】平移的性质
【解析】【解答】解：经过平移运动后到达的位置，
，
，
．
故答案为：B．
【分析】根据平移前后对应线段相等得出DE=AB=9，进而根据线段和差，由EG=DE-DG可算出答案.
7．【答案】C
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：根据题意，设每盒白色乒乓球的价格为元，每盒黄色乒乓球的价格为元，等式的含义就是每盒白色乒乓球的价格比黄色乒乓球便宜2元；
故选：C．
【分析】本题是二元一次方程组实际应用的题目，解题核心是正确理解方程所代表的实际含义，结合题意分析即可得到结论。
8．【答案】C
【知识点】一元一次不等式的特殊解
【解析】【解答】解：由题意可知，关于x的一元一次不等式只有两个非负整数解，
这两个非负整数解只能是0和，
因此可以得到a的取值范围为。
故选：C
【分析】本题主要考查不等式整数解的应用，解题关键是根据已知条件确定整数解的范围，进而求出参数的取值范围。根据不等式只有两个非负整数解这一条件，推导出参数a的取值范围。
9．【答案】
【知识点】列不等式
【解析】【解答】解：根据负数的概念得到：
故答案为：．
【分析】根据“负数都小于0”，列不等式。
10．【答案】（答案不唯一）
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：当时，若，
则，
那么可以是-2，
故答案为：-2答案不唯一．
【分析】由不等式两边同时除以同一个负数，不等号方向改变可判断出a＜0，从而在a的取值范围内写出一个符合题意的值即可．
11．【答案】
【知识点】列一元一次方程
【解析】【解答】解：设她答对的题目数量为x道，则答错或不答的有(20-x)道，
根据题意，得．
故答案为：．
【分析】设她答对的题目数量为x道，则答错或不答的有(20-x)道；答对题目的得分为5x分，答错题目的得分为-(20-x)分，根据答对的题数得分+答错或不答题的得分=总得分列出方程即可.
12．【答案】70°
【知识点】三角形内角和定理；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】解：如下图，根据三角形内角和可得，
∵两个全等三角形，
∴∠1=∠2=70°.
故答案为：．
【分析】先根据三角形内角和定理解得，再根据全等三角形的对应角相等得出∠1=∠2=70°.
13．【答案】
【知识点】三角形内角和定理；平面镶嵌（密铺）；多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：∵正方形的内角为，正六边形的内角为，
∴第三块正多边形木板的内角为，
设第三块正多边形木板的边数为，
解得，
即第三块木板的边数应是，
故答案为：
【分析】本题以正多边形平面镶嵌为背景，考查正多边形内角的计算以及平面镶嵌的条件。拼在一起相交于一点时，各正多边形的内角之和必须等于 360°。先计算正方形内角为 90°，正六边形内角为 120°，用 360° 减去这两个内角得到第三块正多边形的内角为 150°。再设其边数为 n，利用正多边形内角和公式 (n-2) = 150°列方程求解即可。
14．【答案】②④⑤
【知识点】等腰三角形的判定与性质；反证法；旋转的性质
【解析】【解答】解：将绕点顺时针旋转得到，点、、在同一条直线上，
，，，，，，故正确；
，故正确；
∵，，
∴，
，
，
，故正确；
假设成立，则，
，，
，
，与已知条件不符，
不成立，故不正确；
假设成立，则，
，，与已知条件不符，
不成立，故不正确，
故答案为：．
【分析】由旋转性质得∠ACE=90°，∠ECD=∠ACB，AC=CE，AB=DE，∠BAC=∠E，S△EDC=S△ABC，据此可直接判断②；由S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD=S△CDE+S△ACD=S△ACE，可判断；由等腰直角三角形的性质得，进而，再根据角的构成推出，可判断；利用反证法，假设成立，由等边对等角得，由角的构成及三角形外角性质可推出，求得，据此可判断；假设成立，则，由等角对等边得出，由三角形内角和定理得出，与已知条件不符，可判断不正确，于是得到问题的答案．
15．【答案】（1）解：，
，
，
；
（2）解：，
，
，
，
，
．
【知识点】利用合并同类项、移项解一元一次方程；解含分数系数的一元一次方程
【解析】【分析】（1）利用解一元一次方程的步骤：移项、合并同类项、系数化为求解即可；
（2）先去分母（两边同时乘以4，右边的1也要乘以4，不能漏乘），再去括号（括号前是负号，去掉括号和负号，括号里的每一项都要变号，括号前的数要与括号里的每一项都要相乘），然后移项合并同类项，最后把未知数的系数化为1即可.
（1）解：，
，
，
；
（2）解：，
，
，
，
，
．
16．【答案】（1）加减消元法，二
（2）解：，得：③，得：，
解得：．
把代入①，得：，
解得：．
∴原方程组的解为．
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】（1）解：观察题中给出的解题过程，这种通过将两个方程相减消去一个未知数，进而求解方程组的方法是加减消元法；梳理整个解题过程可以发现，在第二步做消元计算时，合并同类项的运算出错了。
故答案依次为：加减消元法，二。
【分析】（1）根据题中所用的消元方式，判断求解方法，再逐一检查每一步的计算，找出出错的步骤即可；
（2）使用加减消元法按照正确步骤重新计算，即可得到方程组的解。
（1）解：由题干中解方程的方法可得这种求解二元一次方程组的方法叫加减消元法，以上求解步骤中从第二步消元过程中，合并时加减出现错误，
故答案为：加减消元法，二；
（2）解：，得：③
，得：，
解得：．
把代入①，得：，
解得：．
∴原方程组的解为．
17．【答案】（1）解：如图，即为所求
（2）解：如图，即为所求
（3）解：如图，即为所求
【知识点】作图﹣轴对称；作图﹣平移；作图﹣旋转
【解析】【分析】（1）利用方格纸的特点及平移的性质，发现将点A向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度即可得到点D，据此分别作出点B、C向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度即可得到的对应点E、F，再顺次连接D、E、F即可；
（2）利用方格纸的特点及轴对称的性质作出点A关于BC的对称点G，再连接BG、CG即可；
（3）利用方格纸的特点及旋转的性质，分别作出点B、A绕点C顺时针旋转90°后的对应点Q、P，再连接P、Q、C即可.
（1）解：如图，即为所求．
（2）解：如图，即为所求．
（3）解：如图，即为所求．
18．【答案】（1），，，，
（2）18
【知识点】三角形内角和定理；多边形内角与外角；正多边形的性质；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】（1）解：当时，每个内角度数为，
∴；
当时，每个外角度数为，每个内角度数为，
∴；
则对于正多边形，每个外角度数为，每个内角度数为，
∴；
故答案为：，，，，从左到右，从上往下；
（2）解：由题得，
解得：．
故答案为：18．
【分析】（1）由于正多边形各个内角相等，各个外角相等，且所有多边形的外角和都为360°，则正n边形每一个外角度数为，又由每一个外角与每一个内角互补可得每个内角度数为，据此分别计算正多边形的每个外角度数，即可得每个内角度数，再等边对等角结合三角形内角和即可求出的度数；
（2）根据（1）中所得，代入计算即可.
（1）解：当时，每个内角度数为，
∴；
当时，每个外角度数为，每个内角度数为，
∴；
则对于正多边形，每个外角度数为，每个内角度数为，
∴；
故答案为：，，，，从左到右，从上往下；
（2）解：由题得，
解得：．
故答案为：．
19．【答案】（1），，，
（2）①解：设汽车原来的车速为，则高速公路后的车速是，
由题意得：，
解得：，
甲乙两地之间的高速公路的路程为：，
答：甲乙两地之间的高速公路的路程为；
②解：甲、乙两地高速公路路程是，则两地原来的路程为，
由题意得：，
解得：，
答：甲乙两地之间的高速公路的路程为
【知识点】一元一次方程的实际应用-行程问题
【解析】【解答】（1）解：设汽车原来的车速为，则在高速公路上的车速是，
根据题意可得：；
设甲、乙两地高速公路路程是，则两地原来的路程为，
根据题意可得：；
故答案为：，，，；
【分析】（1）如果设汽车原来的车速为，则在高速公路上的车速是，根据路程=速度乘以时间及开通高速公路后，路程缩短了30km 可列出方程；如果设甲、乙两地高速公路路程是，则两地原来的路程为，根据路程除以时间等于速度及告诉公路开通后车速平均每小时增加了30km列出方程即可；
（2）根据（1）的设元方式，列出的一元一次方程，解方程即可．
（1）解：设汽车原来的车速为，则在高速公路上的车速是，
根据题意可得：；
设甲、乙两地高速公路路程是，则两地原来的路程为，
根据题意可得：；
故答案为：，，，；
（2）解：设汽车原来的车速为，则高速公路后的车速是，
由题意得：，
解得：，
甲乙两地之间的高速公路的路程为：，
答：甲乙两地之间的高速公路的路程为；
解：甲、乙两地高速公路路程是，则两地原来的路程为，
由题意得：，
解得：，
答：甲乙两地之间的高速公路的路程为．
20．【答案】（1）解：图形如图所示．
，，
，
是角平分线，
，
是高，
，
，
，
的度数为；
（2），
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的概念；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】（2）解：由题意知，，
是角平分线，
，
是高，
，
，
．
故答案为：，．
【分析】（1）先由三角形内角和定理求出∠BAC=80°，由角平分线的定义求出∠CAD=40°，由高线的定义得出∠AEC=90°，进而再根据三角形内角和定理求出∠CAE=30°，最后根据角的和差，由∠DAE=∠CAD-∠CAE算出答案；
（2）利用角平分线的定义，三角形内角和定理求解即可．
（1）解：图形如图所示．
，，
，
是角平分线，
，
是高，
，
，
，
的度数为；
（2）解：由题意知，，
是角平分线，
，
是高，
，
，
．
故答案为：，．
21．【答案】【教材呈现】，
【性质应用】解：由，得，
将代入得，
，
，
，
，
，
，
，
；
【拓展提升】
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】 【教材呈现】 解：，，
，即，
，，
，即，
故答案为：，；
【拓展提升】 解：，
∴，
∵2x-y
，
，
，
，
，
，
，
∴，
，
，
故答案为：．
【分析】【教材呈现】将所给两个同向不等式直接相加即可得出答案；
【性质应用】 先根据已知条件把x用y表示出来，代入x＜-1结合y＞1求出y的取值范围为1＜y＜2，然后在不等式两边同时乘以2后再同时减去3可得-1＜2y-3＜1，进而再将2y-3拆项及等量代换变形为x+y即可；
【拓展提升】 先根据已知条件把x用y表示出来为x=4-y，代入x＞1结合y＞-4求出y的取值范围为-4＜y＜3，将x=4-y代入2x-y去括号合并同类项得8-3y，然后在不等式-4＜y＜3两边同时乘以-3后再同时加上8可得-1＜8-3y＜20，从而即可得出答案.
22．【答案】（1），，
解：（2）由题意，设雄鹰队胜了场，则负了场，
．
解得：，
，
∴雄鹰队胜了场，负了场；
（3）
解：（4）由题意，设火炬队在后面的比赛中要胜场，
，
解得：，
又为正整数，
可取的最小值为，
火炬队为确保出线，在后面的比赛中至少要胜场．
【知识点】一元一次不等式的应用；一元一次方程的实际应用-积分问题
【解析】【解答】解：（1）由题意，钢铁队比赛14场，负14场，积分为14分，
负一场积1分，
前进队比赛14场，胜10场，负4场，积分为24分，
胜一场积2分，
卫星队胜了4场，负了10场，积分分，
故答案为：，，；
（3）由题意，火炬队的积分为：分，
故答案为：；
【分析】（1）根据调研1提供的信息，由钢铁队比赛场数，胜负场数及积分可求出负一场积1分；再结合前进队比赛场数，胜负场数及积分可求出胜一场积2分，进而根据胜场积分加负场积分等于总积分求出卫星队的积分；
（2）设雄鹰队胜了x场，则负了(14-x)场， 根据胜场积分加负场积分等于总积分列出方程求解即可；
（3） 根据胜场积分加负场积分等于总积分求出火炬队的积分；
（4）依据题意，设火炬队在后面的比赛中要胜a场，根据胜场积分加负场积分等于总积分及火炬队的总积分大于月亮队的积分列出不等式，求出最小整数解即可.
23．【答案】（1）①三角形内角和等于
②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和，
解：（2）①设于交于点，如图②所示：
、分别平分、，
，，
，，
在和构成的“8字”模型中，，
，
，
，，
，
在和构成的“8字”模型中，，
，
②
（3）
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：（1）甲同学证明：
，（三角形内角和等于180°），
同理可得，，
又，
．
乙同学证明：
，（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和），
，
．
甲同学证明过程的理论依据是：①三角形内角和等于180°，
故答案为：三角形内角和等于180°；
乙同学证明过程的理论依据是：②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和，
故答案为：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和；
故答案为：；
（2）②，，
由①可知：，，
，
，
故答案为：；
（3）设与交于点，如图③所示：
设，，
，，
，，
，
，
，
在和构成的“8字”模型中，，
，，
，
，
由①，②解得：，，
在和构成的“8字”模型中，，
，
，
故答案为：．
【分析】（1）①甲同学：根据三角形的内角和为180°得，同理得，再结合对顶角相等可推出；
②乙同学：根据三角形的任意一个外角等于与之不相邻的两个内角的和得，，根据等式的传递性可得；
（2）①设与交于点，根据角平分线定义得，，由“8字”模型得，，进而得，由“8字”模型得，，从而代值计算即可求出∠P的度数；
②由①可知：，，从而整体代入可得；
（3）设与交于点，设，，则，，，由得，由“8字”模型得，，代值得，联立①②解得，，再“8字”模型得，， 从而代值计算即可求出∠P的度数 ．
1 / 1吉林省长春市净月高新区2024-2025学年七年级下学期期末考试数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．下列四个图形分别是四届国际数学家大会的会标，其中是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A、是轴对称图形，故符合题意；
B、不是轴对称图形，故不符合题意；
C、不是轴对称图形，故不符合题意；
D、不是轴对称图形，故不符合题意；
故选：A．
【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，根据定义逐项判断即可．
2．若三角形的两条边分别为和，则此三角形的第三边可能是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：设第三边长为，根据三角形的三边关系可得：
，
解得：．
观察选项，只有选项D符合题意．
故选：D．
【分析】
先设这个三角形的第三边长为，结合三角形三边关系“两边之差小于第三边，两边之和大于第三边”，可以列出不等式，求出这个不等式的解集就能得到本题结果.
3．若，则下列结论正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】A．，两边同时加3得；故本选项符合题意；
B．，两边同时减去4得，原式不等号变方向，错误，故本选项不符合题意；
C．，两边同时乘得，原式不等号没有改变方向，错误，故本选项不符合题意；
D．，两边同时乘6得，原式不等号改变方向，错误，故本选项不符合题意
故选答案：A.
【分析】
根据不等式的性质可知：当给不等式两边同时加上或者减去同一个整式时，不等号的方向不发生改变；如果给不等式两边同时乘以或除以同一个大于0的整式，不等号方向同样保持不变；只有当不等式两边同时乘以或除以同一个小于0的整式时，不等号的方向才会发生改变，依据这几条性质即可完成本题解答.
4．把方程去分母，正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】解含分数系数的一元一次方程
【解析】【解答】解：方程两边同乘以6可得：，
故选：D．
【分析】
按照等式的性质，给方程两边同时乘以分母的最小公倍数，再完成变形即可得到对应结果.
5．在年春晚舞台上，机器人的东北秧歌表演以刚柔并济演绎了传统与未来的文化碰撞．机器人挥舞的手绢可以看作如图所示的一个八角形图案，它是一个旋转对称图形．让这个图形绕着它的中心旋转后能与自身重合，则的度数可以是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】旋转对称图形
【解析】【解答】解：该图形被平均分为8个相等的部分，因此计算得，根据旋转对称图形的性质可得：这个图案绕中心旋转角后能和自身完全重合时，可以取度（只要α是45°的整数倍且在0°~360°之间都符合要求）.
故答案为：B．
【分析】旋转对称图形重合的条件为：旋转角是图形最小旋转角的整数倍，本题先根据图形被等分的份数，计算出最小旋转角，再得到符合要求的旋转角即可.
6．如图，经过平移运动后到达的位置．与交于点，如果，，那么线段的长是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平移的性质
【解析】【解答】解：经过平移运动后到达的位置，
，
，
．
故答案为：B．
【分析】根据平移前后对应线段相等得出DE=AB=9，进而根据线段和差，由EG=DE-DG可算出答案.
7．学校计划采购一批白色和黄色乒乓球，若购买白色乒乓球3盒、黄色乒乓球2盒，共需34元；若购买白色乒乓球2盒、黄色乒乓球3盒，共需36元，通过设适当的未知量可列出方程组若用可得，下列关于“”的意义解释正确的是（　　）
A．每盒白色乒乓球比黄色乒乓球贵2元
B．白色乒乓球比黄色乒乓球多买了2盒
C．每盒白色乒乓球比黄色乒乓球便宜2元
D．白色乒乓球比黄色乒乓球少买了2盒
【答案】C
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：根据题意，设每盒白色乒乓球的价格为元，每盒黄色乒乓球的价格为元，等式的含义就是每盒白色乒乓球的价格比黄色乒乓球便宜2元；
故选：C．
【分析】本题是二元一次方程组实际应用的题目，解题核心是正确理解方程所代表的实际含义，结合题意分析即可得到结论。
8．如图是某个一元一次不等式的解集在数轴上的表示，若该不等式恰有两个非负整数解，则a的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】一元一次不等式的特殊解
【解析】【解答】解：由题意可知，关于x的一元一次不等式只有两个非负整数解，
这两个非负整数解只能是0和，
因此可以得到a的取值范围为。
故选：C
【分析】本题主要考查不等式整数解的应用，解题关键是根据已知条件确定整数解的范围，进而求出参数的取值范围。根据不等式只有两个非负整数解这一条件，推导出参数a的取值范围。
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分．
9．用不等式表示“为负数”：　 　．
【答案】
【知识点】列不等式
【解析】【解答】解：根据负数的概念得到：
故答案为：．
【分析】根据“负数都小于0”，列不等式。
10．若时，，则的值可能是　 　（写出一个即可）．
【答案】（答案不唯一）
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：当时，若，
则，
那么可以是-2，
故答案为：-2答案不唯一．
【分析】由不等式两边同时除以同一个负数，不等号方向改变可判断出a＜0，从而在a的取值范围内写出一个符合题意的值即可．
11．学校组织数学知识竞赛，共有道选择题，每答对一题得分，答错或不答扣分，晓丽同学得分，设她答对的题目数量为道，则可列方程为　 　．
【答案】
【知识点】列一元一次方程
【解析】【解答】解：设她答对的题目数量为x道，则答错或不答的有(20-x)道，
根据题意，得．
故答案为：．
【分析】设她答对的题目数量为x道，则答错或不答的有(20-x)道；答对题目的得分为5x分，答错题目的得分为-(20-x)分，根据答对的题数得分+答错或不答题的得分=总得分列出方程即可.
12．如图是两个全等三角形，图中的字母表示三角形的边长，那么的度数为　 　．
【答案】70°
【知识点】三角形内角和定理；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】解：如下图，根据三角形内角和可得，
∵两个全等三角形，
∴∠1=∠2=70°.
故答案为：．
【分析】先根据三角形内角和定理解得，再根据全等三角形的对应角相等得出∠1=∠2=70°.
13．如图，要用三块正多边形的木板铺地，使拼在一起并相交于点的各边完全吻合，其中已经拼好的两块木板的边数分别是4和6，则第三块木板的边数应是　 　．
【答案】
【知识点】三角形内角和定理；平面镶嵌（密铺）；多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：∵正方形的内角为，正六边形的内角为，
∴第三块正多边形木板的内角为，
设第三块正多边形木板的边数为，
解得，
即第三块木板的边数应是，
故答案为：
【分析】本题以正多边形平面镶嵌为背景，考查正多边形内角的计算以及平面镶嵌的条件。拼在一起相交于一点时，各正多边形的内角之和必须等于 360°。先计算正方形内角为 90°，正六边形内角为 120°，用 360° 减去这两个内角得到第三块正多边形的内角为 150°。再设其边数为 n，利用正多边形内角和公式 (n-2) = 150°列方程求解即可。
14．如图，将绕点顺时针旋转得到，若点、、在同一条直线上．给出下面五个结论：①；②；③；④与四边形面积相等；⑤．上述结论中，正确的序号有　 　．
【答案】②④⑤
【知识点】等腰三角形的判定与性质；反证法；旋转的性质
【解析】【解答】解：将绕点顺时针旋转得到，点、、在同一条直线上，
，，，，，，故正确；
，故正确；
∵，，
∴，
，
，
，故正确；
假设成立，则，
，，
，
，与已知条件不符，
不成立，故不正确；
假设成立，则，
，，与已知条件不符，
不成立，故不正确，
故答案为：．
【分析】由旋转性质得∠ACE=90°，∠ECD=∠ACB，AC=CE，AB=DE，∠BAC=∠E，S△EDC=S△ABC，据此可直接判断②；由S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD=S△CDE+S△ACD=S△ACE，可判断；由等腰直角三角形的性质得，进而，再根据角的构成推出，可判断；利用反证法，假设成立，由等边对等角得，由角的构成及三角形外角性质可推出，求得，据此可判断；假设成立，则，由等角对等边得出，由三角形内角和定理得出，与已知条件不符，可判断不正确，于是得到问题的答案．
三、解答题：本题共9小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15．解方程：
（1）
（2）
【答案】（1）解：，
，
，
；
（2）解：，
，
，
，
，
．
【知识点】利用合并同类项、移项解一元一次方程；解含分数系数的一元一次方程
【解析】【分析】（1）利用解一元一次方程的步骤：移项、合并同类项、系数化为求解即可；
（2）先去分母（两边同时乘以4，右边的1也要乘以4，不能漏乘），再去括号（括号前是负号，去掉括号和负号，括号里的每一项都要变号，括号前的数要与括号里的每一项都要相乘），然后移项合并同类项，最后把未知数的系数化为1即可.
（1）解：，
，
，
；
（2）解：，
，
，
，
，
．
16．下面是小林同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成下列问题．
解方程组：
解：，得：③， …………第一步
，得：， …………第二步
解得：． …………第三步
把代入①，得：， …………第四步
解得：． …………第五步
∴原方程组的解为． …………第六步
（1）这种解二元一次方程组的方法是________________（填“代入消元法”或“加减消元法”），以上求解步骤中，小林同学从第___________步开始出现错误；
（2）写出此题正确的解答过程．
【答案】（1）加减消元法，二
（2）解：，得：③，得：，
解得：．
把代入①，得：，
解得：．
∴原方程组的解为．
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】（1）解：观察题中给出的解题过程，这种通过将两个方程相减消去一个未知数，进而求解方程组的方法是加减消元法；梳理整个解题过程可以发现，在第二步做消元计算时，合并同类项的运算出错了。
故答案依次为：加减消元法，二。
【分析】（1）根据题中所用的消元方式，判断求解方法，再逐一检查每一步的计算，找出出错的步骤即可；
（2）使用加减消元法按照正确步骤重新计算，即可得到方程组的解。
（1）解：由题干中解方程的方法可得这种求解二元一次方程组的方法叫加减消元法，以上求解步骤中从第二步消元过程中，合并时加减出现错误，
故答案为：加减消元法，二；
（2）解：，得：③
，得：，
解得：．
把代入①，得：，
解得：．
∴原方程组的解为．
17．图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，的三个顶点都在格点上．
（1）将平移，使点A与点是对应点，在图①中画出平移后的；
（2）在图②中作，使得与关于直线成轴对称；
（3）将绕点顺时针旋转，在图③中画出旋转后的．
【答案】（1）解：如图，即为所求
（2）解：如图，即为所求
（3）解：如图，即为所求
【知识点】作图﹣轴对称；作图﹣平移；作图﹣旋转
【解析】【分析】（1）利用方格纸的特点及平移的性质，发现将点A向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度即可得到点D，据此分别作出点B、C向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度即可得到的对应点E、F，再顺次连接D、E、F即可；
（2）利用方格纸的特点及轴对称的性质作出点A关于BC的对称点G，再连接BG、CG即可；
（3）利用方格纸的特点及旋转的性质，分别作出点B、A绕点C顺时针旋转90°后的对应点Q、P，再连接P、Q、C即可.
（1）解：如图，即为所求．
（2）解：如图，即为所求．
（3）解：如图，即为所求．
18．观察每个正多边形中的变化情况，寻找规律并解答下列问题．提示：等腰三角形具有等边对等角的性质．
（1）将下面的表格补充完整：
正多边形边数
正多边形一个外角的度数 ______ ______
的度数 ______ ______ ______
（2）根据上面的规律，若正边形中，，直接写出的值______．
【答案】（1），，，，
（2）18
【知识点】三角形内角和定理；多边形内角与外角；正多边形的性质；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】（1）解：当时，每个内角度数为，
∴；
当时，每个外角度数为，每个内角度数为，
∴；
则对于正多边形，每个外角度数为，每个内角度数为，
∴；
故答案为：，，，，从左到右，从上往下；
（2）解：由题得，
解得：．
故答案为：18．
【分析】（1）由于正多边形各个内角相等，各个外角相等，且所有多边形的外角和都为360°，则正n边形每一个外角度数为，又由每一个外角与每一个内角互补可得每个内角度数为，据此分别计算正多边形的每个外角度数，即可得每个内角度数，再等边对等角结合三角形内角和即可求出的度数；
（2）根据（1）中所得，代入计算即可.
（1）解：当时，每个内角度数为，
∴；
当时，每个外角度数为，每个内角度数为，
∴；
则对于正多边形，每个外角度数为，每个内角度数为，
∴；
故答案为：，，，，从左到右，从上往下；
（2）解：由题得，
解得：．
故答案为：．
19．从甲地到乙地，汽车原需行驶可到达，开通高速公路后，路程缩短了，车速平均每小时增加了，结果只需即可到达．求甲乙两地之间的高速公路的路程．
（1）若设汽车原来的车速为，则在高速公路上的车速为______，根据两地前后的路程关系可列方程为______；若设甲、乙两地高速公路路程是，则两地原来的路程为______，根据两地前后的速度关系可列方程为______；
（2）选择（1）中的一种设元方式解答问题．
【答案】（1），，，
（2）①解：设汽车原来的车速为，则高速公路后的车速是，
由题意得：，
解得：，
甲乙两地之间的高速公路的路程为：，
答：甲乙两地之间的高速公路的路程为；
②解：甲、乙两地高速公路路程是，则两地原来的路程为，
由题意得：，
解得：，
答：甲乙两地之间的高速公路的路程为
【知识点】一元一次方程的实际应用-行程问题
【解析】【解答】（1）解：设汽车原来的车速为，则在高速公路上的车速是，
根据题意可得：；
设甲、乙两地高速公路路程是，则两地原来的路程为，
根据题意可得：；
故答案为：，，，；
【分析】（1）如果设汽车原来的车速为，则在高速公路上的车速是，根据路程=速度乘以时间及开通高速公路后，路程缩短了30km 可列出方程；如果设甲、乙两地高速公路路程是，则两地原来的路程为，根据路程除以时间等于速度及告诉公路开通后车速平均每小时增加了30km列出方程即可；
（2）根据（1）的设元方式，列出的一元一次方程，解方程即可．
（1）解：设汽车原来的车速为，则在高速公路上的车速是，
根据题意可得：；
设甲、乙两地高速公路路程是，则两地原来的路程为，
根据题意可得：；
故答案为：，，，；
（2）解：设汽车原来的车速为，则高速公路后的车速是，
由题意得：，
解得：，
甲乙两地之间的高速公路的路程为：，
答：甲乙两地之间的高速公路的路程为；
解：甲、乙两地高速公路路程是，则两地原来的路程为，
由题意得：，
解得：，
答：甲乙两地之间的高速公路的路程为．
20．如图，在中，平分，利用圆规和无刻度直尺作出的边上的高（保留作图痕迹）．
（1）若，，求的度数；
（2）若，，则的度数 ______，的度数 ______（用含和的代数式表示）．
【答案】（1）解：图形如图所示．
，，
，
是角平分线，
，
是高，
，
，
，
的度数为；
（2），
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的概念；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】（2）解：由题意知，，
是角平分线，
，
是高，
，
，
．
故答案为：，．
【分析】（1）先由三角形内角和定理求出∠BAC=80°，由角平分线的定义求出∠CAD=40°，由高线的定义得出∠AEC=90°，进而再根据三角形内角和定理求出∠CAE=30°，最后根据角的和差，由∠DAE=∠CAD-∠CAE算出答案；
（2）利用角平分线的定义，三角形内角和定理求解即可．
（1）解：图形如图所示．
，，
，
是角平分线，
，
是高，
，
，
，
的度数为；
（2）解：由题意知，，
是角平分线，
，
是高，
，
，
．
故答案为：，．
21．【教材呈现】如表是华师版七年级下册数学教材第页的部分内容．
例利用不等式的性质说明下列结论的正确性： （1）如果，，那么； 解：（1）因为，所以． 又因为，所以． 由①②，可得． 由数的大小比较可知，不等式关系其有传递性，即如果且，那么，它也可以作为推理的依据．
通过例，利用不等式的传递性，我们可以证出不等式的同向可加性．
根据上述性质解决问题：若，，则的取值范围是______；
若，，则的取值范围是______；
【性质应用】已知，且，，求的取值范围，补全解答过程：
解：由，得．
将代入得，
，
即．
又因为，
所以．
求解过程缺失
【拓展提升】已知，且，，则的取值范围是______．
【答案】【教材呈现】，
【性质应用】解：由，得，
将代入得，
，
，
，
，
，
，
，
；
【拓展提升】
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】 【教材呈现】 解：，，
，即，
，，
，即，
故答案为：，；
【拓展提升】 解：，
∴，
∵2x-y
，
，
，
，
，
，
，
∴，
，
，
故答案为：．
【分析】【教材呈现】将所给两个同向不等式直接相加即可得出答案；
【性质应用】 先根据已知条件把x用y表示出来，代入x＜-1结合y＞1求出y的取值范围为1＜y＜2，然后在不等式两边同时乘以2后再同时减去3可得-1＜2y-3＜1，进而再将2y-3拆项及等量代换变形为x+y即可；
【拓展提升】 先根据已知条件把x用y表示出来为x=4-y，代入x＞1结合y＞-4求出y的取值范围为-4＜y＜3，将x=4-y代入2x-y去括号合并同类项得8-3y，然后在不等式-4＜y＜3两边同时乘以-3后再同时加上8可得-1＜8-3y＜20，从而即可得出答案.
22．
问题背景 体育比赛中蕴含着丰富的数学知识，数学老师带领学生开展项目学习“体育比赛计分”，结合相关调研数据完成任务．
调研 调研：某次篮球联赛积分 队名比赛场次胜场负场积分前进东方光明雄鹰 　 　卫星钢铁 调研：球赛出线是我们经常谈及的话题，它是指比赛中参赛队伍通过比赛成绩达到规定条件获得晋级下一轮比赛的资格．篮球赛单循环赛一般按积分确定名次，经调研，某次篮球赛赛制积分规则与调研相同．
问题解决
任务 根据调研中的数据回答问题： （1）某次篮球联赛积分中，胜一场积______分，负一场积______分，卫星队的积分为______分； （2）求雄鹰队的胜场数和负场数．
任务 根据调研中的数据回答问题：某次篮球赛中，火炬队与月亮队要争夺出线权．火炬队当时的战绩是胜负，后面还要比赛场；月亮队当时的战绩是胜负，后面还要比赛场． （3）火炬队已经获得积分为______分； （4）火炬队为确保出线，在后面的比赛中至少要胜多少场？
【答案】（1），，
解：（2）由题意，设雄鹰队胜了场，则负了场，
．
解得：，
，
∴雄鹰队胜了场，负了场；
（3）
解：（4）由题意，设火炬队在后面的比赛中要胜场，
，
解得：，
又为正整数，
可取的最小值为，
火炬队为确保出线，在后面的比赛中至少要胜场．
【知识点】一元一次不等式的应用；一元一次方程的实际应用-积分问题
【解析】【解答】解：（1）由题意，钢铁队比赛14场，负14场，积分为14分，
负一场积1分，
前进队比赛14场，胜10场，负4场，积分为24分，
胜一场积2分，
卫星队胜了4场，负了10场，积分分，
故答案为：，，；
（3）由题意，火炬队的积分为：分，
故答案为：；
【分析】（1）根据调研1提供的信息，由钢铁队比赛场数，胜负场数及积分可求出负一场积1分；再结合前进队比赛场数，胜负场数及积分可求出胜一场积2分，进而根据胜场积分加负场积分等于总积分求出卫星队的积分；
（2）设雄鹰队胜了x场，则负了(14-x)场， 根据胜场积分加负场积分等于总积分列出方程求解即可；
（3） 根据胜场积分加负场积分等于总积分求出火炬队的积分；
（4）依据题意，设火炬队在后面的比赛中要胜a场，根据胜场积分加负场积分等于总积分及火炬队的总积分大于月亮队的积分列出不等式，求出最小整数解即可.
23．【模型探究】（1）如图①，已知线段、相交于点，连接、，则有．我们把形如这样的图形称为“8字”模型．甲乙两名同学给出两种不同证明过程如下：
甲同学证明：（①______），
同理可得，，
又，
．
乙同学证明：（②______），
，
．
甲同学证明过程的理论依据是：①______；
乙同学证明过程的理论依据是：②______．
【模型应用】（2）如图②，已知线段、相交于点，连接、，、分别平分、．
①若，，求的度数．
补全下面求解过程．
解：、分别平分、，
，．
由“8字”模型知，
求解过程缺失
②若，，直接写出 ______（用含有和的代数式表示）．
【模型拓展】（3）如图③，已知线段、相交于点，连接、，、分别为、的三等分线，，，若，，，直接写出的度数 ______．
【答案】（1）①三角形内角和等于
②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和，
解：（2）①设于交于点，如图②所示：
、分别平分、，
，，
，，
在和构成的“8字”模型中，，
，
，
，，
，
在和构成的“8字”模型中，，
，
②
（3）
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：（1）甲同学证明：
，（三角形内角和等于180°），
同理可得，，
又，
．
乙同学证明：
，（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和），
，
．
甲同学证明过程的理论依据是：①三角形内角和等于180°，
故答案为：三角形内角和等于180°；
乙同学证明过程的理论依据是：②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和，
故答案为：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和；
故答案为：；
（2）②，，
由①可知：，，
，
，
故答案为：；
（3）设与交于点，如图③所示：
设，，
，，
，，
，
，
，
在和构成的“8字”模型中，，
，，
，
，
由①，②解得：，，
在和构成的“8字”模型中，，
，
，
故答案为：．
【分析】（1）①甲同学：根据三角形的内角和为180°得，同理得，再结合对顶角相等可推出；
②乙同学：根据三角形的任意一个外角等于与之不相邻的两个内角的和得，，根据等式的传递性可得；
（2）①设与交于点，根据角平分线定义得，，由“8字”模型得，，进而得，由“8字”模型得，，从而代值计算即可求出∠P的度数；
②由①可知：，，从而整体代入可得；
（3）设与交于点，设，，则，，，由得，由“8字”模型得，，代值得，联立①②解得，，再“8字”模型得，， 从而代值计算即可求出∠P的度数 ．
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