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湖南省长沙市湖南师范大学附属滨江学校2024-2025学年九年级下学期全真模拟数学试卷
1．下列各实数中，是无理数的为（　　）
A． B．3 C． D．
【答案】D
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解：A.该选项是有理数，不符合题意；
B. 该选项是有理数，不符合题意；
C. 该选项是有理数，不符合题意；
D. 该选项是无理数，符合题意；
故选：D．
【分析】利用无理数的定义：无限不循环小数，叫做无理数，逐项进行判断即可.
2．生物学家发现了某花粉直径约为毫米，该数据用科学记数法表示正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：，
故选：C．
【分析】绝对值小于 1 的非零数可用科学记数法表示为， 其中 其中n为负整数；该负整数的绝对值，等于原数中第一个非零数字前面所有零的个数（含小数点前的那个零）， 即可解答．
3．中华文明，源远流长，中华汉字，寓意深远．下列四个选项中，是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】生活中的轴对称现象；轴对称图形
【解析】【解答】解：由题意得：B、C、D选项都不是轴对称图形，符合轴对称图形的只有A选项；
故选：A．
【分析】
如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
4．某小组长统计组内5人一天在课堂上的发言次数分别为3，3，0，4，5．关于这组数据，下列说法错误的是（　　）
A．众数是3 B．中位数是0 C．平均数3 D．方差是2.8
【答案】B
【知识点】分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）
【解析】【解答】A. 3，3，0，4，5众数是3，此选项不符合题意；
B. 0，3，3，4，5中位数是3，此选项符合题意；
C. 平均数=（3+3+4+5）÷5=3，此选项不符合题意；
D. 方差S2= [（3 3）2+（3 3）2+（3 0）2+（3 4）2+（3 5）2]=2.8，此选项不符合题意；
故答案为：B
【分析】先将数据从小到大排列，再利用众数，中位数，平均数，方差的计算方法，逐项判断即可。
5．下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】同底数幂的除法；二次根式的加减法；合并同类项法则及应用；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A.，不是同类二次根式，无法合并，该选项错误，不符合题意；
B.，该选项错误，不符合题意；
C.，不是同类项，无法合并，该选项错误，不符合题意；
D.，该选项正确，符合题意；
故选：D．
【分析】，不是同类二次根式，无法合并，A错误； 同底数幂除法法则判断B错误；根据合并同类项法则，同底数幂乘法法则判断C无法合并，错误；幂的乘方法则判断D正确；.
6．一次函数 的图象不经过的象限是 ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解： 一次函数 中 ， ，
此函数的图象经过一、二、四象限，不经过第三象限.
故答案为：C.
【分析】先根据一次函数 中 ， 判断出函数图象经过的象限，进而可得出结论.
7．西周时期，丞相周公旦设置过一种通过测定日影长度来确定时间的仪器，称为圭表，如图是一个根据长沙的地理位置设计的圭表，其中，立柱的高为，已知，冬至时长沙的正午光入射角约为，则立柱根部与圭表的冬至线的距离（即的长）约为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】解直角三角形的其他实际应用；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：根据题意得，，
∴，
故选：B．
【分析】利用锐角三角函数列式，进行求BC即可
8．已知，满足方程组，则的值为（　　）
A．3 B．5 C．6 D．7
【答案】B
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：，
由得，
，
故选：B．
【分析】观察方程组，将两式相加先求出的值，等式两边同时除以3，即可求解.
9．在 中，点 、 分别为边 、 的中点，则 与 的面积之比为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】如图所示，
∵点D、E分别为边AB、AC的中点，
∴DE为△ABC的中位线，
∴DE∥BC，DE= BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴ .
故答案为：C.
【分析】由点D、E分别为边AB、AC的中点，可得出DE为△ABC的中位线，则DE∥BC，进而得出△ADE∽△ABC，再利用相似三角形的性质即可求出△ADE与△ABC的面积之比.
10．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”其意思为：现有圆柱状的木材，埋在墙壁里．不知道其宽度的大小，于是用锯子（沿横截面）锯它，当量得深度为一寸的时候；锯开的宽度为一尺（一尺等于十寸），问木材的直径是多少？如图所示，用数学语言可表示为：“如图，为的直径，弦，垂足为线段上的一点E，寸，寸，求直径的长．”那么直径的长为（　　）寸
A．5 B．12 C．13 D．26
【答案】D
【知识点】垂径定理；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：如图，连接，
设的半径为寸，则寸，寸，
∵寸，
∴寸，
∵为的直径，弦，寸，
∴，寸，
∴在中，，即，
解得，
∴（寸），
故选：D．
【分析】连接，设的半径为寸，则寸，寸，先根据垂直于弦的直径，平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧可得，寸，再在中，利用勾股定理，列方程，求出的值，由此即可得．
11．已知a、b为两个连续整数，且 ，则a+b的值为　 　．
【答案】7
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：∵ ＜ ＜ ，
∴a=3，b=4，
∴a+b=3+4=7．
故答案为：7．
【分析】先估算出 的大小，进而可得出a、b的值，进行计算即可．
12．因式分解：　 　．
【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：
．
故答案为：
【分析】本题以多项式因式分解为背景，考查了提公因式法及平方差公式的应用。先提取公因式 2m，再对括号内的 m2-4 利用平方差公式继续分解。
13．将二次函数图象抛物线向上平移3个单位长度，可得到抛物线解析式为　 　．
【答案】
【知识点】二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：将抛物线向上平移3个单位长度后，所得抛物线的解析式为．
故答案为：．
【分析】熟知“上加下减”的平移法则：图像向上平移几个单位，就在式子后面加几；函数图象向下平移几个单位，就在式子后面减几.根据法则即可解决问题．
14．如图，已知 ABCD的对角线AC，BD交于点O，且AC=8，BD=10，AB=5，则△OCD的周长为　 　．
【答案】14
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD=5，OA=OC=4，OB=OD=5，
∴△OCD的周长=5+4+5=14，
故答案为14．
【分析】根据平行四边形对角线互相平分，对边平行且相等，即可解决问题．
15．如图，是一个几何体的三视图（图中尺寸单位：），根据图中所示数据计算这个几何体的侧面积是　 　（结果保留）．
【答案】
【知识点】圆锥的计算；已知三视图进行几何体的相关计算
【解析】【解答】解：由三视图可知该几何体是圆锥，底面半径是，母线长是．
∴该几何体的侧面积．
故答案为．
【分析】根据三视图确定该几何体是圆锥，再确定底面半径是，母线长是．再根据计算圆锥的侧面积.
16．诚诚、勤勤、立立、达达四人中有一个人打碎了花瓶．老师问：“谁干的？”诚诚说：“不是我干的．”勤勤说：“是达达干的．”立立说：“是勤勤干的．”达达说：“不是我干的．”这四人中只有一个人没说真话，那么花瓶是　 　打碎的．
【答案】勤勤
【知识点】推理与论证；生活中的简单运算推理
【解析】【解答】解：因为勤勤说：“是达达干的，达达说：“不是我干的．”，
所以勤勤和达达两人种有一人说的真话，有一人说的假话，
又因为四人中只有一个人没说真话，
所以诚诚、立立说的都是真话，
所以花瓶是勤勤打碎的，
故答案为：勤勤．
【分析】本题以逻辑推理为背景，考查了矛盾分析及真假判断能力。根据勤勤和达达的陈述互相矛盾，可知两人中必有一真一假，结合四人中只有一人没说真话，推出诚诚和立立均为真话，从而确定打碎花瓶的人。
17．计算： ﹣（3.14﹣π）0﹣|3﹣ |﹣2cos30°.
【答案】解：原式＝3﹣1﹣（3﹣ ）﹣2×
＝3﹣1﹣3+ ﹣
＝﹣1.
【知识点】实数的运算；求特殊角的三角函数值
【解析】【分析】根据零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数值进行化简后，进行计算即可.
18．先化简，再求值：，其中．
【答案】解：
当时，原式．
【知识点】分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】本题以分式的化简求值为背景，考查了分式的通分、因式分解、约分及代入求值。先将括号内通分合并，再将除法转化为乘法，分解因式后约分化简，最后代入求值。
19．如图，在中，按以下步骤作图：①延长到D；②以A为圆心，适当长为半径作弧，交于点M，交于点N；③分别以点M和点N为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于点E；④作射线．
（1）由作图可知，射线是的______；
（2）若，求证：．
【答案】（1）角平分线
（2）证明：，，
，
又，
，
，
．
【知识点】三角形外角的概念及性质；角平分线的性质；三角形全等的判定-SSS；尺规作图-作角的平分线；内错角相等，两直线平行
【解析】【解答】（1）解：如图，连接、，
由作图过程可得：，，
在和中，
，
，
，
平分，
故答案为：角平分线；
【分析】（1）连接、，根据作图过程可得，，根据三边对应相等的两个三角形全等，即可证明，即可得出结果；
（2）根据 ，外交的性质和角平分线性质可得、，等量代换得，根据内错角相等，两直线平行即可证明结论.
（1）解：如图，连接、，
由作图过程可得：，，
在和中，
，
，
，
平分，
故答案为：角平分线；
（2）解：，，
，
又，
，
，
．
20．某校开设了“3D”打印、数学史、诗歌欣赏、陶艺制作四门校本课程，为了解学生对这四门校本课程的喜爱情况，对学生进行了随机问卷调查（问卷调查表如图所示），将调查结果整理后绘制例图1、图2两幅均不完整的统计图表．
最受欢迎的校本课程调查问卷 您好！这是一份关于您最喜欢的校本课程问卷调查表，请在表格中选择一个（只能选一个）您最喜欢的课程选项，在其后空格内打“√”，非常感谢您的合作．
校本课程 频数 频率
A 36 0.45
B
0.25
C 16 b
D 8
合计 a 1
请您根据图表中提供的信息回答下列问题：
（1）统计表中的a＝　　，b＝　　；
（2）“D”对应扇形的圆心角为　　度；
（3）根据调查结果，请您估计该校2000名学生中最喜欢“数学史”校本课程的人数；
（4）小明和小亮参加校本课程学习，若每人从“A”、“B”、“C”三门校本课程中随机选取一门，请用画树状图或列表格的方法，求两人恰好选中同一门校本课程的概率．
【答案】（1）80，0.20；
（2）36；
（3）估计该校2000名学生中最喜欢“数学史”校本课程的人数为：2000×0.25＝500（人）；
（4）列表格如下：
　 A B C
A A，A B，A C，A
B A，B B，B C，B
C A，C B，C C，C
共有9种等可能的结果，其中两人恰好选中同一门校本课程的结果有3种，所以两人恰好选中同一门校本课程的概率为： ．
【知识点】用样本估计总体；频数（率）分布表；扇形统计图；用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：（1）a＝36÷0.45＝80，
b＝16÷80＝0.20；
（2）“D”对应扇形的圆心角的度数为：
360°×＝36°；
【分析】
（1）根据总数=频数÷频率，频率=频数÷总数，用A、C组得数据分别，求出a、b；
（2）用圆心角=360°×，代入求值即可；
（3）根据“ 估计数量=总体数 ×频率”列出算式，再求出即可；
（4）先列出表格得出所有等可能的结果数，再根据数据，列出概率公式，化简得出答案．
21．如图，△ABC中，D是BC边上一点，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于F，且AF=CD，连接CF．
（1）求证：△AEF≌△DEB；
（2）若AB=AC，试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论．
【答案】（1）证明：∵E是AD的中点，
∴AE=DE，
∵AF∥BC，
∴∠AFE=∠DBE，∠EAF=∠EDB，
在△AEF和△DEB中
∴△AEF≌△DEB（AAS）；
（2）连接DF，
∵AF∥CD，AF=CD，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∵△AEF≌△DEB，
∴BE=FE，
∵AE=DE，
∴四边形ABDF是平行四边形，
∴DF=AB，
∵AB=AC，
∴DF=AC，
∴四边形ADCF是矩形．
【知识点】平行四边形的判定与性质；矩形的判定；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】（1）由平行线的性质“两直线平行，内错角相等”可得∠AFE=∠EBD，∠EAF=∠EDB，结合已知，用角角边可判定全等；
（2）根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得四边形ADCF是平行四边形，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可得四边形ABDF是平行四边形，结合已知可得DF=AC，根据对角线相等的平行四边形是矩形可判断求解．
22．某农谷生态园响应国家发展有机农业政策，大力种植有机蔬菜，某超市看好甲、乙两种有机蔬菜的市场价值，经调查甲种蔬菜进价每千克m元，售价每千克16元；乙种蔬菜进价每千克n元，售价每千克18元．
（1）该超市购进甲种蔬菜15千克和乙种蔬菜20千克需要430元；购进甲种蔬菜10千克和乙种蔬菜8千克需要212元，求m，n的值．
（2）该超市决定每天购进甲、乙两种蔬菜共100千克，且投入资金不少于1160元又不多于1168元，设购买甲种蔬菜x千克（x正整数），求有哪几种购买方案．
【答案】（1）解：依题意，得：，
解得：．
答：的值为10，的值为14．
（2）解：依题意，得：，解得：．
又∵x为正整数，
∴可以为58，59，60，
∴共有3种购买方案，方案1：购进58千克甲种蔬菜，42千克乙种蔬菜；方案2：购进59千克甲种蔬菜，41千克乙种蔬菜；方案3：购进60千克甲种蔬菜，40千克乙种蔬菜．
【知识点】一元一次不等式组的应用；二元一次方程组的实际应用-方案选择问题
【解析】【分析】（1）由购进甲种蔬菜15千克和乙种蔬菜20千克的费用=430元；购进甲种蔬菜10千克和乙种蔬菜8千克的费用=212元，再列二元一次方程组，解答即可；
（2）利用投入资金不少于1160元又不多于1168元，确定不等关系列一元一次不等式组求解得，确定可以为58，59，60，即可解答．
（1）解：依题意，得：，
解得：．
答：的值为10，的值为14．
（2）解：依题意，得：，
解得：．
又∵x为正整数，
∴可以为58，59，60，
∴共有3种购买方案，方案1：购进58千克甲种蔬菜，42千克乙种蔬菜；方案2：购进59千克甲种蔬菜，41千克乙种蔬菜；方案3：购进60千克甲种蔬菜，40千克乙种蔬菜．
23．如图，，为的直径，为上一点，过点的切线与的延长线交于点，，点是的中点，弦，相交于点．
（1）求的度数；
（2）若，求直径的长．
【答案】（1）解：∵与相切于点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴；
（2）解：如图，连接，
∵是直径，
∴，
∵点是的中点，
∴，
∴，
在中，
∵，，
∴，
在中，
∵，
∴，
∴的直径的长为．
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；切线的性质；直角三角形的两锐角互余
【解析】【分析】本题以圆的切线、直径及中点综合为背景，考查了切线的性质、圆周角定理、等腰三角形的性质及含30°角的直角三角形的性质。
（1）利用切线得OC⊥PC，结合等边对等角及已知角关系列方程求出∠OCB的度数；
（2）连接DE，利用直径所对圆周角为直角及中点得DE＝EB，通过圆周角定理得相关角度，再利用三角函数及含30°角的直角三角形性质求直径长。
24．如图1，在锐角内找一点，过点作于点，以为直径作，过点作于点，延长交于点，连接．
（1）若，则___________；
（2）如图2，若，点在的延长线上，求证：是的切线；
（3）如图3，连接，若于点，且，求的值．
【答案】（1）50
（2）证明：如图，过作于E ，
，
，
；
由（1），
平分；
，
，
是的切线；
（3）解：过点作于点，过点作于点，
则，，
设，，
由（1）得，，
∴四边形是矩形，
∴；
∵，，，
∴，
∴，，
∴，，，
∵，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
，
∵，
∴，
∴．
【知识点】矩形的判定与性质；圆周角定理；切线的判定；相似三角形的判定-AA；圆与三角形的综合
【解析】【解答】（1）证明：是的直径，
，即；
，
，
，
，
，
，
；
【分析】本题以圆、切线与角平分线综合为背景，考查了圆周角定理、切线的判定、角平分线的性质、矩形的判定与性质及相似三角形的应用。
（1）利用直径所对圆周角为直角及平行线性质，结合直角三角形两锐角互余求∠ABD；
（2）连接OD，证明OP平分∠MON，过P作PE⊥ON，由角平分线性质得PE＝PB，从而证ON为切线；
（3）构造矩形与相似三角形，设参数表示线段长，通过勾股定理及面积法求 的值。
（1）证明：是的直径，
，即；
，
，
，
，
，
，
；
（2）证明：如图，过作于E ，
，
，
；
由（1），
平分；
，
，
是的切线；
（3）解：过点作于点，过点作于点，
则，，
设，，
由（1）得，，
∴四边形是矩形，
∴；
∵，，，
∴，
∴，，
∴，，，
∵，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
，
∵，
∴，
∴．
25．对于给定的两个函数和，我们把叫做这个两个函数的积函数，把直线和叫做抛物线的母线．
（1）直接写出函数和的积函数；
（2）点在(1)中的抛物线上，过点垂直于轴的直线分别交此抛物线的母线于两点（点不重合），设点的横坐标为，求时的值；
（3）已知函数和．
①当它们的积函数自变量的取值范围是，且当时，这个积函数的最大值是8，求的值以及这个积函数的最小值；
②当它们的积函数自变量的取值范围是时，直接写出这个积函数的图象在变化过程中最高点的纵坐标与之间的函数关系式．
【答案】解：（1）；
（2）由（1）知，抛物线解析式为，设，
∵函数和，
∴，
∴
，
∵
∴，
∴ （此时点和重合，舍去）或；
（3）①∵函数和，
∴函数为和积函数为，
∵积函数自变量的取值范围是，且当时，这个积函数的最大值是8，
∴当时，，
∴，
∴积函数的解析式为，
当时，.
②由①知，积函数的解析式为，
∴此积函数的对称轴为直线，且对称轴左侧随的增大而增大，对称轴右侧随增大而减小，
∵积函数自变量的取值范围是，
Ⅰ.当时，即，
此时，当时，最高点的纵坐标与之间的函数关系式
Ⅱ.当时，即，
此时，当时，最高点的纵坐标与之间的函数关系式；
Ⅲ.当时，即，
此时，当时，最高点的纵坐标与之间的函数关系式.
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的性质；含绝对值的一元二次方程；分类讨论
【解析】【解答】解：（1）∵函数和，∵函数和的积函数为.
【分析】（1）利用积函数的定义直接得出结论，，化简即可；
（2）设出点，进而表示出点，，即可求出，，最后用PM=PN建立方程求解即可得出结论；
（3）①先确定出积函数，利用此函数的增减性，判断出x=2时，y最大求出，最后将x=-1代入抛物线解析式即可确定出最小值；
② 积函数的解析式为， 此积函数的对称轴为直线， 且对称轴左侧随的增大而增大，对称轴右侧随增大而减小.分三种情况，自变量范围内的图象全在对称轴左侧，即，或右侧，即，或对称轴介于自变量的分之内，即，最后用函数增减性，代入即可得出结论．
1 / 1湖南省长沙市湖南师范大学附属滨江学校2024-2025学年九年级下学期全真模拟数学试卷
1．下列各实数中，是无理数的为（　　）
A． B．3 C． D．
2．生物学家发现了某花粉直径约为毫米，该数据用科学记数法表示正确的是（　　）
A． B． C． D．
3．中华文明，源远流长，中华汉字，寓意深远．下列四个选项中，是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
4．某小组长统计组内5人一天在课堂上的发言次数分别为3，3，0，4，5．关于这组数据，下列说法错误的是（　　）
A．众数是3 B．中位数是0 C．平均数3 D．方差是2.8
5．下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
6．一次函数 的图象不经过的象限是 ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
7．西周时期，丞相周公旦设置过一种通过测定日影长度来确定时间的仪器，称为圭表，如图是一个根据长沙的地理位置设计的圭表，其中，立柱的高为，已知，冬至时长沙的正午光入射角约为，则立柱根部与圭表的冬至线的距离（即的长）约为（ ）
A． B． C． D．
8．已知，满足方程组，则的值为（　　）
A．3 B．5 C．6 D．7
9．在 中，点 、 分别为边 、 的中点，则 与 的面积之比为（　　）
A． B． C． D．
10．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”其意思为：现有圆柱状的木材，埋在墙壁里．不知道其宽度的大小，于是用锯子（沿横截面）锯它，当量得深度为一寸的时候；锯开的宽度为一尺（一尺等于十寸），问木材的直径是多少？如图所示，用数学语言可表示为：“如图，为的直径，弦，垂足为线段上的一点E，寸，寸，求直径的长．”那么直径的长为（　　）寸
A．5 B．12 C．13 D．26
11．已知a、b为两个连续整数，且 ，则a+b的值为　 　．
12．因式分解：　 　．
13．将二次函数图象抛物线向上平移3个单位长度，可得到抛物线解析式为　 　．
14．如图，已知 ABCD的对角线AC，BD交于点O，且AC=8，BD=10，AB=5，则△OCD的周长为　 　．
15．如图，是一个几何体的三视图（图中尺寸单位：），根据图中所示数据计算这个几何体的侧面积是　 　（结果保留）．
16．诚诚、勤勤、立立、达达四人中有一个人打碎了花瓶．老师问：“谁干的？”诚诚说：“不是我干的．”勤勤说：“是达达干的．”立立说：“是勤勤干的．”达达说：“不是我干的．”这四人中只有一个人没说真话，那么花瓶是　 　打碎的．
17．计算： ﹣（3.14﹣π）0﹣|3﹣ |﹣2cos30°.
18．先化简，再求值：，其中．
19．如图，在中，按以下步骤作图：①延长到D；②以A为圆心，适当长为半径作弧，交于点M，交于点N；③分别以点M和点N为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于点E；④作射线．
（1）由作图可知，射线是的______；
（2）若，求证：．
20．某校开设了“3D”打印、数学史、诗歌欣赏、陶艺制作四门校本课程，为了解学生对这四门校本课程的喜爱情况，对学生进行了随机问卷调查（问卷调查表如图所示），将调查结果整理后绘制例图1、图2两幅均不完整的统计图表．
最受欢迎的校本课程调查问卷 您好！这是一份关于您最喜欢的校本课程问卷调查表，请在表格中选择一个（只能选一个）您最喜欢的课程选项，在其后空格内打“√”，非常感谢您的合作．
校本课程 频数 频率
A 36 0.45
B
0.25
C 16 b
D 8
合计 a 1
请您根据图表中提供的信息回答下列问题：
（1）统计表中的a＝　　，b＝　　；
（2）“D”对应扇形的圆心角为　　度；
（3）根据调查结果，请您估计该校2000名学生中最喜欢“数学史”校本课程的人数；
（4）小明和小亮参加校本课程学习，若每人从“A”、“B”、“C”三门校本课程中随机选取一门，请用画树状图或列表格的方法，求两人恰好选中同一门校本课程的概率．
21．如图，△ABC中，D是BC边上一点，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于F，且AF=CD，连接CF．
（1）求证：△AEF≌△DEB；
（2）若AB=AC，试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论．
22．某农谷生态园响应国家发展有机农业政策，大力种植有机蔬菜，某超市看好甲、乙两种有机蔬菜的市场价值，经调查甲种蔬菜进价每千克m元，售价每千克16元；乙种蔬菜进价每千克n元，售价每千克18元．
（1）该超市购进甲种蔬菜15千克和乙种蔬菜20千克需要430元；购进甲种蔬菜10千克和乙种蔬菜8千克需要212元，求m，n的值．
（2）该超市决定每天购进甲、乙两种蔬菜共100千克，且投入资金不少于1160元又不多于1168元，设购买甲种蔬菜x千克（x正整数），求有哪几种购买方案．
23．如图，，为的直径，为上一点，过点的切线与的延长线交于点，，点是的中点，弦，相交于点．
（1）求的度数；
（2）若，求直径的长．
24．如图1，在锐角内找一点，过点作于点，以为直径作，过点作于点，延长交于点，连接．
（1）若，则___________；
（2）如图2，若，点在的延长线上，求证：是的切线；
（3）如图3，连接，若于点，且，求的值．
25．对于给定的两个函数和，我们把叫做这个两个函数的积函数，把直线和叫做抛物线的母线．
（1）直接写出函数和的积函数；
（2）点在(1)中的抛物线上，过点垂直于轴的直线分别交此抛物线的母线于两点（点不重合），设点的横坐标为，求时的值；
（3）已知函数和．
①当它们的积函数自变量的取值范围是，且当时，这个积函数的最大值是8，求的值以及这个积函数的最小值；
②当它们的积函数自变量的取值范围是时，直接写出这个积函数的图象在变化过程中最高点的纵坐标与之间的函数关系式．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解：A.该选项是有理数，不符合题意；
B. 该选项是有理数，不符合题意；
C. 该选项是有理数，不符合题意；
D. 该选项是无理数，符合题意；
故选：D．
【分析】利用无理数的定义：无限不循环小数，叫做无理数，逐项进行判断即可.
2．【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：，
故选：C．
【分析】绝对值小于 1 的非零数可用科学记数法表示为， 其中 其中n为负整数；该负整数的绝对值，等于原数中第一个非零数字前面所有零的个数（含小数点前的那个零）， 即可解答．
3．【答案】A
【知识点】生活中的轴对称现象；轴对称图形
【解析】【解答】解：由题意得：B、C、D选项都不是轴对称图形，符合轴对称图形的只有A选项；
故选：A．
【分析】
如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
4．【答案】B
【知识点】分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）
【解析】【解答】A. 3，3，0，4，5众数是3，此选项不符合题意；
B. 0，3，3，4，5中位数是3，此选项符合题意；
C. 平均数=（3+3+4+5）÷5=3，此选项不符合题意；
D. 方差S2= [（3 3）2+（3 3）2+（3 0）2+（3 4）2+（3 5）2]=2.8，此选项不符合题意；
故答案为：B
【分析】先将数据从小到大排列，再利用众数，中位数，平均数，方差的计算方法，逐项判断即可。
5．【答案】D
【知识点】同底数幂的除法；二次根式的加减法；合并同类项法则及应用；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A.，不是同类二次根式，无法合并，该选项错误，不符合题意；
B.，该选项错误，不符合题意；
C.，不是同类项，无法合并，该选项错误，不符合题意；
D.，该选项正确，符合题意；
故选：D．
【分析】，不是同类二次根式，无法合并，A错误； 同底数幂除法法则判断B错误；根据合并同类项法则，同底数幂乘法法则判断C无法合并，错误；幂的乘方法则判断D正确；.
6．【答案】C
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解： 一次函数 中 ， ，
此函数的图象经过一、二、四象限，不经过第三象限.
故答案为：C.
【分析】先根据一次函数 中 ， 判断出函数图象经过的象限，进而可得出结论.
7．【答案】B
【知识点】解直角三角形的其他实际应用；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：根据题意得，，
∴，
故选：B．
【分析】利用锐角三角函数列式，进行求BC即可
8．【答案】B
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：，
由得，
，
故选：B．
【分析】观察方程组，将两式相加先求出的值，等式两边同时除以3，即可求解.
9．【答案】C
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】如图所示，
∵点D、E分别为边AB、AC的中点，
∴DE为△ABC的中位线，
∴DE∥BC，DE= BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴ .
故答案为：C.
【分析】由点D、E分别为边AB、AC的中点，可得出DE为△ABC的中位线，则DE∥BC，进而得出△ADE∽△ABC，再利用相似三角形的性质即可求出△ADE与△ABC的面积之比.
10．【答案】D
【知识点】垂径定理；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：如图，连接，
设的半径为寸，则寸，寸，
∵寸，
∴寸，
∵为的直径，弦，寸，
∴，寸，
∴在中，，即，
解得，
∴（寸），
故选：D．
【分析】连接，设的半径为寸，则寸，寸，先根据垂直于弦的直径，平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧可得，寸，再在中，利用勾股定理，列方程，求出的值，由此即可得．
11．【答案】7
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：∵ ＜ ＜ ，
∴a=3，b=4，
∴a+b=3+4=7．
故答案为：7．
【分析】先估算出 的大小，进而可得出a、b的值，进行计算即可．
12．【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：
．
故答案为：
【分析】本题以多项式因式分解为背景，考查了提公因式法及平方差公式的应用。先提取公因式 2m，再对括号内的 m2-4 利用平方差公式继续分解。
13．【答案】
【知识点】二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：将抛物线向上平移3个单位长度后，所得抛物线的解析式为．
故答案为：．
【分析】熟知“上加下减”的平移法则：图像向上平移几个单位，就在式子后面加几；函数图象向下平移几个单位，就在式子后面减几.根据法则即可解决问题．
14．【答案】14
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD=5，OA=OC=4，OB=OD=5，
∴△OCD的周长=5+4+5=14，
故答案为14．
【分析】根据平行四边形对角线互相平分，对边平行且相等，即可解决问题．
15．【答案】
【知识点】圆锥的计算；已知三视图进行几何体的相关计算
【解析】【解答】解：由三视图可知该几何体是圆锥，底面半径是，母线长是．
∴该几何体的侧面积．
故答案为．
【分析】根据三视图确定该几何体是圆锥，再确定底面半径是，母线长是．再根据计算圆锥的侧面积.
16．【答案】勤勤
【知识点】推理与论证；生活中的简单运算推理
【解析】【解答】解：因为勤勤说：“是达达干的，达达说：“不是我干的．”，
所以勤勤和达达两人种有一人说的真话，有一人说的假话，
又因为四人中只有一个人没说真话，
所以诚诚、立立说的都是真话，
所以花瓶是勤勤打碎的，
故答案为：勤勤．
【分析】本题以逻辑推理为背景，考查了矛盾分析及真假判断能力。根据勤勤和达达的陈述互相矛盾，可知两人中必有一真一假，结合四人中只有一人没说真话，推出诚诚和立立均为真话，从而确定打碎花瓶的人。
17．【答案】解：原式＝3﹣1﹣（3﹣ ）﹣2×
＝3﹣1﹣3+ ﹣
＝﹣1.
【知识点】实数的运算；求特殊角的三角函数值
【解析】【分析】根据零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数值进行化简后，进行计算即可.
18．【答案】解：
当时，原式．
【知识点】分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】本题以分式的化简求值为背景，考查了分式的通分、因式分解、约分及代入求值。先将括号内通分合并，再将除法转化为乘法，分解因式后约分化简，最后代入求值。
19．【答案】（1）角平分线
（2）证明：，，
，
又，
，
，
．
【知识点】三角形外角的概念及性质；角平分线的性质；三角形全等的判定-SSS；尺规作图-作角的平分线；内错角相等，两直线平行
【解析】【解答】（1）解：如图，连接、，
由作图过程可得：，，
在和中，
，
，
，
平分，
故答案为：角平分线；
【分析】（1）连接、，根据作图过程可得，，根据三边对应相等的两个三角形全等，即可证明，即可得出结果；
（2）根据 ，外交的性质和角平分线性质可得、，等量代换得，根据内错角相等，两直线平行即可证明结论.
（1）解：如图，连接、，
由作图过程可得：，，
在和中，
，
，
，
平分，
故答案为：角平分线；
（2）解：，，
，
又，
，
，
．
20．【答案】（1）80，0.20；
（2）36；
（3）估计该校2000名学生中最喜欢“数学史”校本课程的人数为：2000×0.25＝500（人）；
（4）列表格如下：
　 A B C
A A，A B，A C，A
B A，B B，B C，B
C A，C B，C C，C
共有9种等可能的结果，其中两人恰好选中同一门校本课程的结果有3种，所以两人恰好选中同一门校本课程的概率为： ．
【知识点】用样本估计总体；频数（率）分布表；扇形统计图；用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：（1）a＝36÷0.45＝80，
b＝16÷80＝0.20；
（2）“D”对应扇形的圆心角的度数为：
360°×＝36°；
【分析】
（1）根据总数=频数÷频率，频率=频数÷总数，用A、C组得数据分别，求出a、b；
（2）用圆心角=360°×，代入求值即可；
（3）根据“ 估计数量=总体数 ×频率”列出算式，再求出即可；
（4）先列出表格得出所有等可能的结果数，再根据数据，列出概率公式，化简得出答案．
21．【答案】（1）证明：∵E是AD的中点，
∴AE=DE，
∵AF∥BC，
∴∠AFE=∠DBE，∠EAF=∠EDB，
在△AEF和△DEB中
∴△AEF≌△DEB（AAS）；
（2）连接DF，
∵AF∥CD，AF=CD，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∵△AEF≌△DEB，
∴BE=FE，
∵AE=DE，
∴四边形ABDF是平行四边形，
∴DF=AB，
∵AB=AC，
∴DF=AC，
∴四边形ADCF是矩形．
【知识点】平行四边形的判定与性质；矩形的判定；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】（1）由平行线的性质“两直线平行，内错角相等”可得∠AFE=∠EBD，∠EAF=∠EDB，结合已知，用角角边可判定全等；
（2）根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得四边形ADCF是平行四边形，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可得四边形ABDF是平行四边形，结合已知可得DF=AC，根据对角线相等的平行四边形是矩形可判断求解．
22．【答案】（1）解：依题意，得：，
解得：．
答：的值为10，的值为14．
（2）解：依题意，得：，解得：．
又∵x为正整数，
∴可以为58，59，60，
∴共有3种购买方案，方案1：购进58千克甲种蔬菜，42千克乙种蔬菜；方案2：购进59千克甲种蔬菜，41千克乙种蔬菜；方案3：购进60千克甲种蔬菜，40千克乙种蔬菜．
【知识点】一元一次不等式组的应用；二元一次方程组的实际应用-方案选择问题
【解析】【分析】（1）由购进甲种蔬菜15千克和乙种蔬菜20千克的费用=430元；购进甲种蔬菜10千克和乙种蔬菜8千克的费用=212元，再列二元一次方程组，解答即可；
（2）利用投入资金不少于1160元又不多于1168元，确定不等关系列一元一次不等式组求解得，确定可以为58，59，60，即可解答．
（1）解：依题意，得：，
解得：．
答：的值为10，的值为14．
（2）解：依题意，得：，
解得：．
又∵x为正整数，
∴可以为58，59，60，
∴共有3种购买方案，方案1：购进58千克甲种蔬菜，42千克乙种蔬菜；方案2：购进59千克甲种蔬菜，41千克乙种蔬菜；方案3：购进60千克甲种蔬菜，40千克乙种蔬菜．
23．【答案】（1）解：∵与相切于点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴；
（2）解：如图，连接，
∵是直径，
∴，
∵点是的中点，
∴，
∴，
在中，
∵，，
∴，
在中，
∵，
∴，
∴的直径的长为．
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；切线的性质；直角三角形的两锐角互余
【解析】【分析】本题以圆的切线、直径及中点综合为背景，考查了切线的性质、圆周角定理、等腰三角形的性质及含30°角的直角三角形的性质。
（1）利用切线得OC⊥PC，结合等边对等角及已知角关系列方程求出∠OCB的度数；
（2）连接DE，利用直径所对圆周角为直角及中点得DE＝EB，通过圆周角定理得相关角度，再利用三角函数及含30°角的直角三角形性质求直径长。
24．【答案】（1）50
（2）证明：如图，过作于E ，
，
，
；
由（1），
平分；
，
，
是的切线；
（3）解：过点作于点，过点作于点，
则，，
设，，
由（1）得，，
∴四边形是矩形，
∴；
∵，，，
∴，
∴，，
∴，，，
∵，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
，
∵，
∴，
∴．
【知识点】矩形的判定与性质；圆周角定理；切线的判定；相似三角形的判定-AA；圆与三角形的综合
【解析】【解答】（1）证明：是的直径，
，即；
，
，
，
，
，
，
；
【分析】本题以圆、切线与角平分线综合为背景，考查了圆周角定理、切线的判定、角平分线的性质、矩形的判定与性质及相似三角形的应用。
（1）利用直径所对圆周角为直角及平行线性质，结合直角三角形两锐角互余求∠ABD；
（2）连接OD，证明OP平分∠MON，过P作PE⊥ON，由角平分线性质得PE＝PB，从而证ON为切线；
（3）构造矩形与相似三角形，设参数表示线段长，通过勾股定理及面积法求 的值。
（1）证明：是的直径，
，即；
，
，
，
，
，
，
；
（2）证明：如图，过作于E ，
，
，
；
由（1），
平分；
，
，
是的切线；
（3）解：过点作于点，过点作于点，
则，，
设，，
由（1）得，，
∴四边形是矩形，
∴；
∵，，，
∴，
∴，，
∴，，，
∵，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
，
∵，
∴，
∴．
25．【答案】解：（1）；
（2）由（1）知，抛物线解析式为，设，
∵函数和，
∴，
∴
，
∵
∴，
∴ （此时点和重合，舍去）或；
（3）①∵函数和，
∴函数为和积函数为，
∵积函数自变量的取值范围是，且当时，这个积函数的最大值是8，
∴当时，，
∴，
∴积函数的解析式为，
当时，.
②由①知，积函数的解析式为，
∴此积函数的对称轴为直线，且对称轴左侧随的增大而增大，对称轴右侧随增大而减小，
∵积函数自变量的取值范围是，
Ⅰ.当时，即，
此时，当时，最高点的纵坐标与之间的函数关系式
Ⅱ.当时，即，
此时，当时，最高点的纵坐标与之间的函数关系式；
Ⅲ.当时，即，
此时，当时，最高点的纵坐标与之间的函数关系式.
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的性质；含绝对值的一元二次方程；分类讨论
【解析】【解答】解：（1）∵函数和，∵函数和的积函数为.
【分析】（1）利用积函数的定义直接得出结论，，化简即可；
（2）设出点，进而表示出点，，即可求出，，最后用PM=PN建立方程求解即可得出结论；
（3）①先确定出积函数，利用此函数的增减性，判断出x=2时，y最大求出，最后将x=-1代入抛物线解析式即可确定出最小值；
② 积函数的解析式为， 此积函数的对称轴为直线， 且对称轴左侧随的增大而增大，对称轴右侧随增大而减小.分三种情况，自变量范围内的图象全在对称轴左侧，即，或右侧，即，或对称轴介于自变量的分之内，即，最后用函数增减性，代入即可得出结论．
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