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湖南常德市武陵区常德芷兰实验学校2025-2026学年下学期期中考试八年级数学试卷
1．2025年，中国新能源汽车产销量突破了1600万辆，这个数字是全球的，也是连续十年全球排名第一，下列图案是我国四款新能源汽车的标志，其中是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．从如图所示图形的一个顶点出发，可以画出的对角线的条数为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
3．下列函数中，是一次函数的是（　　）
A． B． C． D．
4．小琦在复习几种特殊四边形的关系时整理如图，（1）（2）（3）（4）处需要添加条件，则下列条件添加错误的是（　　）
A．（1）处可填 B．（2）处可填
C．（3）处可填 D．（4）处可填
5．若点在平面直角坐标系的x轴上，则点P的坐标为（　　）
A． B． C． D．
6．对于函数，下列说法正确的是（ ）
A．y的值随x值的增大而增大
B．它的图象经过点
C．它的图象与x轴的交点坐标是
D．它的图象不经过第一象限
7．如图，在平行四边形中，的平分线交于E，，，则等于（　　）
A．1 B． C．2 D．3
8．如图，在矩形中，对角线、相交于点，，，则的长为（　　）
A． B． C． D．
9．如图，过矩形对角线的交点，且分别交，于、，若，，那么图中阴影部分的面积为（　　）
A． B． C． D．
10．如图，在中，，，，P为边上一动点，于E，于F，M为的中点，则的最小值为（　　）
A．2 B． C． D．
11．已知平行四边形中，，则　 　．
12．如图，学校大门口的电动伸缩门，其中间部分都是四边形的结构，这是应用了四边形的　 　．
13．八角帽又称“红军帽”，是红军的象征，也是中国工农红军军服佩饰最显眼的部分之一，其帽顶近似正八边形，正八边形的一个外角的大小为　 　．
14．如图，是坐标原点，菱形的顶点在轴的负半轴上，顶点的坐标为，则顶点的坐标为　 　．
15．如图，四边形中，，E，F，G分别是AB，DC，AC的中点．若，，则的度数为　 　．
16．如图，一动点从出发，沿所示方向运动，每当碰到长方形的边时反弹，反弹后的路径与长方形的边所夹锐角为，第1次碰到长方形边上的点的坐标为，则第2026次碰到长方形边上的点的坐标为　 　．
17．如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为，，，请按下列要求画图：
（1）将先向右平移4个单位长度、再向下平移1个单位长度，得到，画出；
（2）画出与关于原点O成中心对称的，并直接写出点的坐标．
18．已知一个正多边形的内角和比外角和多，求这个多边形的每个内角度数与边数．
19．一次函数的图象过，两点．
（1）求函数的表达式．
（2）试判断点是否在函数的图象上，并说明理由．
20．已知：如图，E，F是四边形ABCD的对角线AC上的两点，AF=CE，连接DE，DF，BE，BF，四边形DEBF为平行四边形.求证：四边形ABCD是平行四边形.
21．如图，的对角线相交于点平分，过点D作，过点C作交于点P，连接．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，求的长．
22．如图，在矩形中，，．点从点出发向点运动，运动到点即停止；同时，点从点出发向点运动，运动到点即停止，点，的运动速度都是，连接，，．设点，的运动时间为．
（1）当为何值时，四边形是矩形？
（2）当为何值时，四边形是菱形？
23．矩形在平面直角坐标系的位置如图所示，F为上一点，将沿折叠，使点B恰好落在与y轴的交点E处．连接，若的长满足．
（1）求点A，B的坐标；
（2）求点D的坐标；
（3）在平面内是否存在点P，使以E，F，C，P为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
24．【阅读理解】半角模型是指有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角的两边相等．通过旋转或截长补短，将角的倍分关系转化为角的相等关系，并进一步构成全等三角形，用以解决线段关系、角度、面积等问题．
【初步探究】
（1）如图①，在正方形中，，分别是，边上的动点，且，将绕点逆时针旋转，点与点重合得到，可以证明，进一步推出，，之间的数量关系为____________；
【迁移探究】
（2）如图②正方形，，猜想，，的数量关系，并证明你的结论．
【拓展探索】
（3）如图③，在菱形中，，点，分别是边，上的动点（不与端点重合），且，连接分别与边，交于，．当时，猜想，，之间的数量关系，并证明你的结论．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：、不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
、是中心对称图形，故本选项符合题意；
、不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
、不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
故选：B
【分析】本题以新能源汽车标志为背景，考查了中心对称图形的识别。根据中心对称图形的定义（绕某点旋转180°后能与自身重合），逐一分析各选项，找出符合中心对称特征的图形。
2．【答案】A
【知识点】多边形的对角线
【解析】【解答】解：如图所示，
∴从一个顶点出发可以画的对角线的条数为，
故答案为：．
【分析】根据对角线的定义作出对角线即可求解．
3．【答案】B
【知识点】一次函数的概念
【解析】【解答】解：A：，x的最高次数为2，不符合一次函数定义；
B：，，，符合一次函数定义；
C：，k未明确不等于0，故不一定是一次函数；
D：，分母有未知数，不符合一次函数定义；
故选：B．
【分析】一次函数的定义：一般地，形如，（k为常数，）的函数叫做一次函数．
根据一次函数的定义进行逐一判断.A项是二次函数；C项的k未明确不等于0，故不一定是一次函数；D项是分式函数，只有B项符合题意.
4．【答案】B
【知识点】菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定
【解析】【解答】A．对角线相等的平行四边形是矩形，则（1）处可填，
选项A正确，不符合题意；
B．邻边相等的矩形是正方形，是对边，不能得到矩形是正方形，
选项B错误，符合题意；
C．邻边相等的平行四边形是菱形，则（3）处可填，选项C正确，不符合题意；
D．由四边形是菱形，则，
当时，解得，有一个角是直角的菱形是正方形，故D正确，不符合题意．
故选：B．
【分析】根据矩形、菱形、正方形的判定定理进行判断即可.
5．【答案】A
【知识点】点的坐标
【解析】【解答】解：∵点在平面直角坐标系的x轴上，
∴，
解得：，
∴点P的坐标为，
故选：A．
【分析】本题考查的是点的坐标特点，根据点在平面直角坐标系的x轴上，得到，求得m的值，即可得到答案.
6．【答案】C
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】A．，
y值随x值的增大而减小，故该选项不正确，不符合题意；
B．∵，令，解得，
它的图象不经过点，故该选项不正确，不符合题意；
C．∵，令，解得：，
它的图象与x轴交点坐标为，故该选项正确，符合题意；
D．，，
它的图象经过第一、二、四象限，故该选项不正确，不符合题意．
故选：C．
【分析】本题以一次函数的图象与性质为背景，考查了一次函数系数的几何意义、图象上点的坐标特征及与坐标轴的交点求法。根据一次函数中k、b的符号判断增减性与图象所过象限，通过代入法验证点是否在图象上，通过令y=0求与x轴的交点坐标。
7．【答案】C
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的判定；平行四边形的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵四边形为平行四边形
∴，．，
∵的平分线交于E，
∴
∵，
，
．
，
．
故选：C．
【分析】本题以平行四边形与角平分线综合为背景，考查了平行四边形的性质及等腰三角形的判定。由平行四边形得CD＝AB、AD＝BC、CD∥AB，结合角平分线及平行线性质得∠DAE＝∠AED，从而ED＝AD，再通过EC＝CD－ED求出EC的长。
8．【答案】A
【知识点】等边三角形的判定与性质；矩形的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：四边形是矩形，
，，
、相交于点，
，，
，
，
是等边三角形，
，
，
．
【分析】利用矩形对角线相等且相互平分且，证明为等边三角形，然后求出对角线，再由勾股定理求出．
9．【答案】A
【知识点】三角形全等及其性质；矩形的性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：∵矩形中，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
故选：A．
【分析】根据矩形的对角线相等且互相平分，对边相等可得，进而可得，利用全等三角形的面积相等得出，从而进一步求解即可.
10．【答案】B
【知识点】垂线段最短及其应用；矩形的判定与性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；等积变换
【解析】【解答】解：连接，如图所示：
∵，，，
∴，
∵于E，于F，
∴四边形是矩形，
∴，与互相平分，
∵M是的中点，
∴M为的中点，
∴，
根据直线外一点到直线上任一点的距离，垂线段最短，
即时，最短，同样也最短，
∴当时，，
∴最短时，，
∴当最短时，．
故答案为：B
【分析】先根据四个角都是直角的四边形是矩形，求证四边形是矩形，然后可得AP为矩形的对角线，， 再根据直线外一点到直线上任一点的距离，垂线段最短，利用等积变换求得最短时的长，然后即可求出的最小值．
11．【答案】
【知识点】平行四边形的性质；多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：∵平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴；
故答案为：．
【分析】本题以平行四边形内角关系为背景，考查了平行四边形的对角相等及四边形内角和定理。由∠A＋∠C＝140°及∠A＝∠C得∠A的度数，再利用邻角互补或内角和求出∠D的度数。
12．【答案】不稳定性
【知识点】四边形的不稳定性
【解析】【解答】解：学校大门做成伸缩门，这是应用了四边形不稳定性的特性．
故答案为：不稳定性．
【分析】 伸缩门是利用四边形具有不稳定性的特点制成，方便灵活伸缩活动．
13．【答案】
【知识点】正多边形的性质；多边形的外角和公式
【解析】【解答】解：正八边形的每个外角都相等，且它们的和为，
∴一个外角为．
故答案为：
【分析】本题以正八边形的外角计算为背景，考查了正多边形外角和定理（多边形的外角和恒为360°）的应用。根据正八边形的每个外角相等，用360°除以边数8求得每个外角的度数。
14．【答案】
【知识点】坐标与图形性质；菱形的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：如图，交轴于，
∵四边形是菱形，
∴，
∵，
∴，
∵点的坐标为，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴点的坐标为；
故答案为：．
【分析】由菱形的四条边都相等，对边平行得到，依据平行线的性质，推出，由点的坐标，得到，由勾股定理求出，得到，求出，可得结论．
15．【答案】
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；等腰三角形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵、分别是、的中点，
∴，，
∴，
∵、分别是、的中点，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
故答案为：．
【分析】本题以三角形中位线定理为背景，考查了中位线的性质、平行线的性质及等腰三角形的判定。由中点得FG∥AD、GE∥BC，利用平行线性质求出相关角度，再结合AD＝BC得FG＝GE，利用等腰三角形内角和求出∠EFG的度数。
16．【答案】
【知识点】点的坐标；探索规律-点的坐标规律
【解析】【解答】解：如图，
第1次碰到的点坐标：；
第2次碰到的点坐标：；
第3次碰到的点坐标：；
第4次碰到的点坐标：；
第5次碰到的点坐标：；
第6次碰到的点坐标：；
第7次碰到的点坐标：；
……；
由此可知，动点的坐标以次为一个循环周期．
，
即第2026次碰到的点的坐标与第4次碰到的点的坐标相同，为．
故答案为：
【分析】本题以动点在长方形内的反射运动为背景，考查了周期性规律探究及坐标变化规律的归纳。根据反射角等于45°的规律，依次写出前几次碰到边上的点坐标，找出坐标变化的循环周期，再用总次数除以周期，根据余数确定第2026次碰到的点坐标。
17．【答案】（1）解：即为所求，如下图所示，
（2）解：即为所求，且

【知识点】作图﹣平移；中心对称及中心对称图形；关于原点对称的点的坐标特征；作图﹣中心对称
【解析】【分析】 把三角形三个顶点先向右平移 4 个单位，再向下平移 1 个单位，得到对应点，，后依次连接，即可画出平移后的图形。
（2）找出三角形三个顶点关于原点O的中心对称点，顺次连线得到图形，最后写出对应点坐标即可.
（1）解：即为所求，如下图所示，
（2）解：即为所求，且
18．【答案】【解答】解：由题意得，，
解得，
∴这个正多边形是八边形，
∴这个多边形的每个内角的度数为．
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【分析】本题主要考查了正多边形内角和外角和综合，n边形的内角和为，外角和为，结合该正多边形的内角和比外角和多建立方程，求得n的值，再利用该多边形的内角和度数除以边数，即可求出对应的每个内角的度数．
19．【答案】（1）解：设函数的表达式为，
将，代入表达式，
可得：，
解得，
即；
（2）解：在函数的图象上，
理由如下：当时，，
即点在函数图象上．
【知识点】一次函数的概念；待定系数法求一次函数解析式；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】（1）将，代入表达式，求得k，b，即可解答；
（2）将点的横坐标代入解析式，求，看是否等于纵坐标即可.
（1）解：设函数的表达式为，
将，代入表达式，
可得：，
解得，
即；
（2）解：在函数的图象上，
理由如下：当时，，
即点在函数图象上．
20．【答案】证明：如答图，连接BD交AC于点O
∵四边形DEBF为平行四边形，
∴OD=OB，OE=OF.
∵AF=CE，
∴AF－EF=CE－EF，即AE=CF，
∴AE＋OE=CF＋OF，即OA=OC.
∴四边形ABCD是平行四边形.
【知识点】平行四边形的判定与性质；线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【分析】本题以平行四边形的判定与性质为背景，考查了平行四边形对角线互相平分及全等三角形的判定与性质。连接BD交AC于点O，由四边形DEBF为平行四边形得OD＝OB、OE＝OF，结合AF＝CE推出AE＝CF，从而得OA＝OC，进而证四边形ABCD为平行四边形。
21．【答案】（1）证明：在中，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是菱形；
（2）解：，，
四边形是平行四边形，
四边形是菱形，
，
∴，
四边形是矩形，
，
在中，，，
在中，，
．
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的判定；勾股定理；平行四边形的性质；角平分线的概念
【解析】【分析】本题以平行四边形、角平分线及矩形综合为背景，考查了菱形的判定与性质、矩形的判定与性质及勾股定理的应用。
（1）利用平行四边形得AD∥BC，结合角平分线证∠ACB＝∠BAC，得AB＝BC，从而证四边形ABCD为菱形；
（2）由菱形对角线垂直及DP∥AC、CP∥BD得四边形OCPD为矩形，利用菱形对角线长及勾股定理求OP长。
（1）在中，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是菱形；
（2），，
四边形是平行四边形，
四边形是菱形，
，
∴，
四边形是矩形，
，
在中，，，
在中，，
．
22．【答案】（1）解：∵在矩形中，，，
∴，，，，
∴，
当时，四边形是平行四边形，
∵，
∴平行四边形是矩形，
∵点从点出发向点运动，运动到点即停止；同时，点从点出发向点运动，运动到点即停止，点，的运动速度都是，设点，的运动时间为，
∴此时，
解得：．
答：当时，四边形是矩形；
（2）解：∵，，∴四边形是平行四边形，
当时，四边形为菱形．
设秒后，，四边形为菱形，
根据勾股定理得：，
即，
解得：．
答：当时，四边形是菱形．
【知识点】菱形的判定；矩形的判定与性质；一元一次方程的实际应用-几何问题；四边形-动点问题
【解析】【分析】（1）当四边形是矩形时，由，，证得平行四边形是矩形，据此可列方程，求解得出的值即可；
（2）当四边形是菱形时，得，结合勾股定理，列方程，进行求解即可．
（1）解：∵在矩形中，，，
∴，，，，
∴，
当时，四边形是平行四边形，
∵，
∴平行四边形是矩形，
∵点从点出发向点运动，运动到点即停止；同时，点从点出发向点运动，运动到点即停止，点，的运动速度都是，设点，的运动时间为，
∴此时，
解得：．
答：当时，四边形是矩形；
（2）解：∵，，
∴四边形是平行四边形，
当时，四边形为菱形．
设秒后，，四边形为菱形，
根据勾股定理得：，
即，
解得：．
答：当时，四边形是菱形．
23．【答案】（1）解：由得：AE-4=0且AB-8=0
∴AE=4，AB=8
∴A（-4，8），B（-4，0）
（2）解：设AE为x，根据勾股定理有：
解得：x=3
设ED为y，根据勾股定理有：
解得：y=6
∴D（6，8）
（3）∵点E到点F：（0-4，8-3）=F（-4，5）
∴P1=（6-4，0-3）=（2，-3）
∵点F到点E：（-4+4，5+3）=E（0，8）
∴P2=（6+4，0+3）=（10，3）
∵点C到点E：（6-6，0+8）=E（0，8）
∴P3=（-4-6，5+8）=（-10，13）
【知识点】坐标与图形性质；勾股定理；平行四边形的判定；矩形的性质；算术平方根的性质（双重非负性）
【解析】【分析】本题主要考查直角坐标系的应用、勾股定理及动点问题，熟练掌握相关知识和解题技巧是解题关键。（1）利用算术平方根和平方数的非负性质，确定AE和AB的数值；
（2）建立未知边长的方程，运用勾股定理求解边长，进而确定坐标位置；
（3）分类讨论三种情形：以CF为对角线；以CE为对角线；以EF为对角线。
24．【答案】(1)
（2）答：，理由如下：
∵在正方形中，，，
将绕着点逆时针旋转，得到，连接，如图，
∴，
∴，，，，
∴，
又∵，
∴ ，
∵，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
即；
（3）答：，理由如下：
将绕点顺时针旋转，此时与重合，点转到点，在上取，连接，，如图，
，
又，，
，
，，
四边形是菱形，，
，，
，
，，
∴，
∵，
∴；
在和中，
∵，
，
，；
∵，
∴，
∴；
，
，
，
．
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；正方形的性质；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】（1）答：；
理由：绕点逆时针旋转，得到，，
，，
，，
，
、、三点共线，
在和中，
∵，
，
，
；
【分析】（1） 根据题意，得出 即可；
（2）将绕着点逆时针旋转，得到，连接，则，再根据两边及其夹角对应相等的两个三角形全等，证明 ，从而利用勾股定理得到，即可得；
（3）将绕点顺时针旋转，此时与重合，点转到点，在上取，连接，，根据两边及其夹角对应相等的两个三角形全等，证得，有，再根据两边及其夹角对应相等的两个三角形全等，证明 ，根据全等三角形的性质得，；则，．
1 / 1湖南常德市武陵区常德芷兰实验学校2025-2026学年下学期期中考试八年级数学试卷
1．2025年，中国新能源汽车产销量突破了1600万辆，这个数字是全球的，也是连续十年全球排名第一，下列图案是我国四款新能源汽车的标志，其中是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：、不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
、是中心对称图形，故本选项符合题意；
、不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
、不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
故选：B
【分析】本题以新能源汽车标志为背景，考查了中心对称图形的识别。根据中心对称图形的定义（绕某点旋转180°后能与自身重合），逐一分析各选项，找出符合中心对称特征的图形。
2．从如图所示图形的一个顶点出发，可以画出的对角线的条数为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【知识点】多边形的对角线
【解析】【解答】解：如图所示，
∴从一个顶点出发可以画的对角线的条数为，
故答案为：．
【分析】根据对角线的定义作出对角线即可求解．
3．下列函数中，是一次函数的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】一次函数的概念
【解析】【解答】解：A：，x的最高次数为2，不符合一次函数定义；
B：，，，符合一次函数定义；
C：，k未明确不等于0，故不一定是一次函数；
D：，分母有未知数，不符合一次函数定义；
故选：B．
【分析】一次函数的定义：一般地，形如，（k为常数，）的函数叫做一次函数．
根据一次函数的定义进行逐一判断.A项是二次函数；C项的k未明确不等于0，故不一定是一次函数；D项是分式函数，只有B项符合题意.
4．小琦在复习几种特殊四边形的关系时整理如图，（1）（2）（3）（4）处需要添加条件，则下列条件添加错误的是（　　）
A．（1）处可填 B．（2）处可填
C．（3）处可填 D．（4）处可填
【答案】B
【知识点】菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定
【解析】【解答】A．对角线相等的平行四边形是矩形，则（1）处可填，
选项A正确，不符合题意；
B．邻边相等的矩形是正方形，是对边，不能得到矩形是正方形，
选项B错误，符合题意；
C．邻边相等的平行四边形是菱形，则（3）处可填，选项C正确，不符合题意；
D．由四边形是菱形，则，
当时，解得，有一个角是直角的菱形是正方形，故D正确，不符合题意．
故选：B．
【分析】根据矩形、菱形、正方形的判定定理进行判断即可.
5．若点在平面直角坐标系的x轴上，则点P的坐标为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】点的坐标
【解析】【解答】解：∵点在平面直角坐标系的x轴上，
∴，
解得：，
∴点P的坐标为，
故选：A．
【分析】本题考查的是点的坐标特点，根据点在平面直角坐标系的x轴上，得到，求得m的值，即可得到答案.
6．对于函数，下列说法正确的是（ ）
A．y的值随x值的增大而增大
B．它的图象经过点
C．它的图象与x轴的交点坐标是
D．它的图象不经过第一象限
【答案】C
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】A．，
y值随x值的增大而减小，故该选项不正确，不符合题意；
B．∵，令，解得，
它的图象不经过点，故该选项不正确，不符合题意；
C．∵，令，解得：，
它的图象与x轴交点坐标为，故该选项正确，符合题意；
D．，，
它的图象经过第一、二、四象限，故该选项不正确，不符合题意．
故选：C．
【分析】本题以一次函数的图象与性质为背景，考查了一次函数系数的几何意义、图象上点的坐标特征及与坐标轴的交点求法。根据一次函数中k、b的符号判断增减性与图象所过象限，通过代入法验证点是否在图象上，通过令y=0求与x轴的交点坐标。
7．如图，在平行四边形中，的平分线交于E，，，则等于（　　）
A．1 B． C．2 D．3
【答案】C
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的判定；平行四边形的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵四边形为平行四边形
∴，．，
∵的平分线交于E，
∴
∵，
，
．
，
．
故选：C．
【分析】本题以平行四边形与角平分线综合为背景，考查了平行四边形的性质及等腰三角形的判定。由平行四边形得CD＝AB、AD＝BC、CD∥AB，结合角平分线及平行线性质得∠DAE＝∠AED，从而ED＝AD，再通过EC＝CD－ED求出EC的长。
8．如图，在矩形中，对角线、相交于点，，，则的长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】等边三角形的判定与性质；矩形的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：四边形是矩形，
，，
、相交于点，
，，
，
，
是等边三角形，
，
，
．
【分析】利用矩形对角线相等且相互平分且，证明为等边三角形，然后求出对角线，再由勾股定理求出．
9．如图，过矩形对角线的交点，且分别交，于、，若，，那么图中阴影部分的面积为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】三角形全等及其性质；矩形的性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：∵矩形中，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
故选：A．
【分析】根据矩形的对角线相等且互相平分，对边相等可得，进而可得，利用全等三角形的面积相等得出，从而进一步求解即可.
10．如图，在中，，，，P为边上一动点，于E，于F，M为的中点，则的最小值为（　　）
A．2 B． C． D．
【答案】B
【知识点】垂线段最短及其应用；矩形的判定与性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；等积变换
【解析】【解答】解：连接，如图所示：
∵，，，
∴，
∵于E，于F，
∴四边形是矩形，
∴，与互相平分，
∵M是的中点，
∴M为的中点，
∴，
根据直线外一点到直线上任一点的距离，垂线段最短，
即时，最短，同样也最短，
∴当时，，
∴最短时，，
∴当最短时，．
故答案为：B
【分析】先根据四个角都是直角的四边形是矩形，求证四边形是矩形，然后可得AP为矩形的对角线，， 再根据直线外一点到直线上任一点的距离，垂线段最短，利用等积变换求得最短时的长，然后即可求出的最小值．
11．已知平行四边形中，，则　 　．
【答案】
【知识点】平行四边形的性质；多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：∵平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴；
故答案为：．
【分析】本题以平行四边形内角关系为背景，考查了平行四边形的对角相等及四边形内角和定理。由∠A＋∠C＝140°及∠A＝∠C得∠A的度数，再利用邻角互补或内角和求出∠D的度数。
12．如图，学校大门口的电动伸缩门，其中间部分都是四边形的结构，这是应用了四边形的　 　．
【答案】不稳定性
【知识点】四边形的不稳定性
【解析】【解答】解：学校大门做成伸缩门，这是应用了四边形不稳定性的特性．
故答案为：不稳定性．
【分析】 伸缩门是利用四边形具有不稳定性的特点制成，方便灵活伸缩活动．
13．八角帽又称“红军帽”，是红军的象征，也是中国工农红军军服佩饰最显眼的部分之一，其帽顶近似正八边形，正八边形的一个外角的大小为　 　．
【答案】
【知识点】正多边形的性质；多边形的外角和公式
【解析】【解答】解：正八边形的每个外角都相等，且它们的和为，
∴一个外角为．
故答案为：
【分析】本题以正八边形的外角计算为背景，考查了正多边形外角和定理（多边形的外角和恒为360°）的应用。根据正八边形的每个外角相等，用360°除以边数8求得每个外角的度数。
14．如图，是坐标原点，菱形的顶点在轴的负半轴上，顶点的坐标为，则顶点的坐标为　 　．
【答案】
【知识点】坐标与图形性质；菱形的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：如图，交轴于，
∵四边形是菱形，
∴，
∵，
∴，
∵点的坐标为，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴点的坐标为；
故答案为：．
【分析】由菱形的四条边都相等，对边平行得到，依据平行线的性质，推出，由点的坐标，得到，由勾股定理求出，得到，求出，可得结论．
15．如图，四边形中，，E，F，G分别是AB，DC，AC的中点．若，，则的度数为　 　．
【答案】
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；等腰三角形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵、分别是、的中点，
∴，，
∴，
∵、分别是、的中点，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
故答案为：．
【分析】本题以三角形中位线定理为背景，考查了中位线的性质、平行线的性质及等腰三角形的判定。由中点得FG∥AD、GE∥BC，利用平行线性质求出相关角度，再结合AD＝BC得FG＝GE，利用等腰三角形内角和求出∠EFG的度数。
16．如图，一动点从出发，沿所示方向运动，每当碰到长方形的边时反弹，反弹后的路径与长方形的边所夹锐角为，第1次碰到长方形边上的点的坐标为，则第2026次碰到长方形边上的点的坐标为　 　．
【答案】
【知识点】点的坐标；探索规律-点的坐标规律
【解析】【解答】解：如图，
第1次碰到的点坐标：；
第2次碰到的点坐标：；
第3次碰到的点坐标：；
第4次碰到的点坐标：；
第5次碰到的点坐标：；
第6次碰到的点坐标：；
第7次碰到的点坐标：；
……；
由此可知，动点的坐标以次为一个循环周期．
，
即第2026次碰到的点的坐标与第4次碰到的点的坐标相同，为．
故答案为：
【分析】本题以动点在长方形内的反射运动为背景，考查了周期性规律探究及坐标变化规律的归纳。根据反射角等于45°的规律，依次写出前几次碰到边上的点坐标，找出坐标变化的循环周期，再用总次数除以周期，根据余数确定第2026次碰到的点坐标。
17．如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为，，，请按下列要求画图：
（1）将先向右平移4个单位长度、再向下平移1个单位长度，得到，画出；
（2）画出与关于原点O成中心对称的，并直接写出点的坐标．
【答案】（1）解：即为所求，如下图所示，
（2）解：即为所求，且

【知识点】作图﹣平移；中心对称及中心对称图形；关于原点对称的点的坐标特征；作图﹣中心对称
【解析】【分析】 把三角形三个顶点先向右平移 4 个单位，再向下平移 1 个单位，得到对应点，，后依次连接，即可画出平移后的图形。
（2）找出三角形三个顶点关于原点O的中心对称点，顺次连线得到图形，最后写出对应点坐标即可.
（1）解：即为所求，如下图所示，
（2）解：即为所求，且
18．已知一个正多边形的内角和比外角和多，求这个多边形的每个内角度数与边数．
【答案】【解答】解：由题意得，，
解得，
∴这个正多边形是八边形，
∴这个多边形的每个内角的度数为．
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【分析】本题主要考查了正多边形内角和外角和综合，n边形的内角和为，外角和为，结合该正多边形的内角和比外角和多建立方程，求得n的值，再利用该多边形的内角和度数除以边数，即可求出对应的每个内角的度数．
19．一次函数的图象过，两点．
（1）求函数的表达式．
（2）试判断点是否在函数的图象上，并说明理由．
【答案】（1）解：设函数的表达式为，
将，代入表达式，
可得：，
解得，
即；
（2）解：在函数的图象上，
理由如下：当时，，
即点在函数图象上．
【知识点】一次函数的概念；待定系数法求一次函数解析式；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】（1）将，代入表达式，求得k，b，即可解答；
（2）将点的横坐标代入解析式，求，看是否等于纵坐标即可.
（1）解：设函数的表达式为，
将，代入表达式，
可得：，
解得，
即；
（2）解：在函数的图象上，
理由如下：当时，，
即点在函数图象上．
20．已知：如图，E，F是四边形ABCD的对角线AC上的两点，AF=CE，连接DE，DF，BE，BF，四边形DEBF为平行四边形.求证：四边形ABCD是平行四边形.
【答案】证明：如答图，连接BD交AC于点O
∵四边形DEBF为平行四边形，
∴OD=OB，OE=OF.
∵AF=CE，
∴AF－EF=CE－EF，即AE=CF，
∴AE＋OE=CF＋OF，即OA=OC.
∴四边形ABCD是平行四边形.
【知识点】平行四边形的判定与性质；线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【分析】本题以平行四边形的判定与性质为背景，考查了平行四边形对角线互相平分及全等三角形的判定与性质。连接BD交AC于点O，由四边形DEBF为平行四边形得OD＝OB、OE＝OF，结合AF＝CE推出AE＝CF，从而得OA＝OC，进而证四边形ABCD为平行四边形。
21．如图，的对角线相交于点平分，过点D作，过点C作交于点P，连接．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，求的长．
【答案】（1）证明：在中，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是菱形；
（2）解：，，
四边形是平行四边形，
四边形是菱形，
，
∴，
四边形是矩形，
，
在中，，，
在中，，
．
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的判定；勾股定理；平行四边形的性质；角平分线的概念
【解析】【分析】本题以平行四边形、角平分线及矩形综合为背景，考查了菱形的判定与性质、矩形的判定与性质及勾股定理的应用。
（1）利用平行四边形得AD∥BC，结合角平分线证∠ACB＝∠BAC，得AB＝BC，从而证四边形ABCD为菱形；
（2）由菱形对角线垂直及DP∥AC、CP∥BD得四边形OCPD为矩形，利用菱形对角线长及勾股定理求OP长。
（1）在中，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是菱形；
（2），，
四边形是平行四边形，
四边形是菱形，
，
∴，
四边形是矩形，
，
在中，，，
在中，，
．
22．如图，在矩形中，，．点从点出发向点运动，运动到点即停止；同时，点从点出发向点运动，运动到点即停止，点，的运动速度都是，连接，，．设点，的运动时间为．
（1）当为何值时，四边形是矩形？
（2）当为何值时，四边形是菱形？
【答案】（1）解：∵在矩形中，，，
∴，，，，
∴，
当时，四边形是平行四边形，
∵，
∴平行四边形是矩形，
∵点从点出发向点运动，运动到点即停止；同时，点从点出发向点运动，运动到点即停止，点，的运动速度都是，设点，的运动时间为，
∴此时，
解得：．
答：当时，四边形是矩形；
（2）解：∵，，∴四边形是平行四边形，
当时，四边形为菱形．
设秒后，，四边形为菱形，
根据勾股定理得：，
即，
解得：．
答：当时，四边形是菱形．
【知识点】菱形的判定；矩形的判定与性质；一元一次方程的实际应用-几何问题；四边形-动点问题
【解析】【分析】（1）当四边形是矩形时，由，，证得平行四边形是矩形，据此可列方程，求解得出的值即可；
（2）当四边形是菱形时，得，结合勾股定理，列方程，进行求解即可．
（1）解：∵在矩形中，，，
∴，，，，
∴，
当时，四边形是平行四边形，
∵，
∴平行四边形是矩形，
∵点从点出发向点运动，运动到点即停止；同时，点从点出发向点运动，运动到点即停止，点，的运动速度都是，设点，的运动时间为，
∴此时，
解得：．
答：当时，四边形是矩形；
（2）解：∵，，
∴四边形是平行四边形，
当时，四边形为菱形．
设秒后，，四边形为菱形，
根据勾股定理得：，
即，
解得：．
答：当时，四边形是菱形．
23．矩形在平面直角坐标系的位置如图所示，F为上一点，将沿折叠，使点B恰好落在与y轴的交点E处．连接，若的长满足．
（1）求点A，B的坐标；
（2）求点D的坐标；
（3）在平面内是否存在点P，使以E，F，C，P为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：由得：AE-4=0且AB-8=0
∴AE=4，AB=8
∴A（-4，8），B（-4，0）
（2）解：设AE为x，根据勾股定理有：
解得：x=3
设ED为y，根据勾股定理有：
解得：y=6
∴D（6，8）
（3）∵点E到点F：（0-4，8-3）=F（-4，5）
∴P1=（6-4，0-3）=（2，-3）
∵点F到点E：（-4+4，5+3）=E（0，8）
∴P2=（6+4，0+3）=（10，3）
∵点C到点E：（6-6，0+8）=E（0，8）
∴P3=（-4-6，5+8）=（-10，13）
【知识点】坐标与图形性质；勾股定理；平行四边形的判定；矩形的性质；算术平方根的性质（双重非负性）
【解析】【分析】本题主要考查直角坐标系的应用、勾股定理及动点问题，熟练掌握相关知识和解题技巧是解题关键。（1）利用算术平方根和平方数的非负性质，确定AE和AB的数值；
（2）建立未知边长的方程，运用勾股定理求解边长，进而确定坐标位置；
（3）分类讨论三种情形：以CF为对角线；以CE为对角线；以EF为对角线。
24．【阅读理解】半角模型是指有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角的两边相等．通过旋转或截长补短，将角的倍分关系转化为角的相等关系，并进一步构成全等三角形，用以解决线段关系、角度、面积等问题．
【初步探究】
（1）如图①，在正方形中，，分别是，边上的动点，且，将绕点逆时针旋转，点与点重合得到，可以证明，进一步推出，，之间的数量关系为____________；
【迁移探究】
（2）如图②正方形，，猜想，，的数量关系，并证明你的结论．
【拓展探索】
（3）如图③，在菱形中，，点，分别是边，上的动点（不与端点重合），且，连接分别与边，交于，．当时，猜想，，之间的数量关系，并证明你的结论．
【答案】(1)
（2）答：，理由如下：
∵在正方形中，，，
将绕着点逆时针旋转，得到，连接，如图，
∴，
∴，，，，
∴，
又∵，
∴ ，
∵，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
即；
（3）答：，理由如下：
将绕点顺时针旋转，此时与重合，点转到点，在上取，连接，，如图，
，
又，，
，
，，
四边形是菱形，，
，，
，
，，
∴，
∵，
∴；
在和中，
∵，
，
，；
∵，
∴，
∴；
，
，
，
．
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；正方形的性质；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】（1）答：；
理由：绕点逆时针旋转，得到，，
，，
，，
，
、、三点共线，
在和中，
∵，
，
，
；
【分析】（1） 根据题意，得出 即可；
（2）将绕着点逆时针旋转，得到，连接，则，再根据两边及其夹角对应相等的两个三角形全等，证明 ，从而利用勾股定理得到，即可得；
（3）将绕点顺时针旋转，此时与重合，点转到点，在上取，连接，，根据两边及其夹角对应相等的两个三角形全等，证得，有，再根据两边及其夹角对应相等的两个三角形全等，证明 ，根据全等三角形的性质得，；则，．
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