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四川省南充市南部县振兴初级中学2025-2026学年九年级下学期第二次阶段性学情诊断数学试题
1．计算（-2）-2，结果是（　　）
A．4 B．-4 C． D．
【答案】C
【知识点】负整数指数幂
【解析】【解答】解：
故答案为：C.
【分析】根据a-p=（a≠0）进行计算即可.
2．2026年春运，全国铁路客运量约5.38亿人次，峰值刷新了历史纪录．数据“5.38亿”用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：∵亿
∴
故答案为：C.
【分析】用科学记数法表示大于10的数，就是表示成a×10n的形式，其中1≤a＜10，n等于原数的整数位数减去1，据此解答即可.
3．下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；二次根式的性质与化简；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，故此选项原错误；
B、，故此选项原正确；
C、，故此选项原错误；
D、，当时，，故此选项原错误.
故答案为：B.
【分析】由同底数幂乘法，底数不变，指数相加，可判断A选项；由同底数幂除法，底数不变，指数相减可判断B选项；由幂的乘方，底数不变，指数相乘可判断C选项；由二次根式性质“”可判断D选项.
4．光线从空气射入水中时，光线的传播方向会发生改变，这就是光的折射现象．如图，水面与底面平行，光线从空气射入水里时发生了折射，变成光线射到水底处，点为光线延长线上的一点．若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】对顶角及其性质；平行线的应用-求角度
【解析】【解答】解：∵水面与底面平行，
∴（两直线平行，内错角相等）．
∵，
∴，
∴．
故答案为：B.
【分析】由两直线平行，内错角相等得∠MBC=∠1=70°，由对顶角相等得∠MBD=∠2=45°，然后根据角的构成，由∠DBC=∠MBC-∠2可算出答案.
5．在一次中考体育模拟测试中，某班第一组6名同学的成绩统计如下（有两个数据被遮盖）
组员 甲 乙 丙 丁 戊 己 平均成绩 中位数
得分 94 92 ▲ 96 99 98 96 ■
则被遮盖的两个数据从左至右依次是（　　）
A． B．96，97 C．97，97 D．
【答案】D
【知识点】平均数及其计算；中位数
【解析】【解答】解：∵6名同学的平均成绩为96，
∴6人的总成绩为，
可得丙的成绩，
将6人的成绩从小到大排列为：，
∵6个数据的中位数为第3个和第4个数据的平均数，
∴中位数为，
因此被遮盖的两个数据从左至右依次是．
故答案为：D．
【分析】平均数是指一组数据之和，除以这组数的个数，据此计算出被遮盖的丙的成绩；所谓中位数，就是将一组数据按从小到大（或者从大到小）的顺序排列后，如果数据的个数是奇数个时，则处在最中间的那个数据叫做这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数个时，则处在最中间的两个数据的平均数叫做这组数据的中位数，据此求出这6个数据的中位数，从而即可得出答案.
6．如图，在正方形网格中，一条圆弧经过、、三个格点，那么所对的圆心角的大小是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应角的关系；垂径定理的推论
【解析】【解答】解：作的垂直平分线，作的垂直平分线，如图，
它们都经过，则点为这条圆弧所在圆的圆心．
连接，，
在与中
，
，
，，
，
，
，
即所对的圆心角的大小是．
故答案为：C.
【分析】根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，从而利用方格纸的特点分别作AB，BC的垂直平分线，两线的交点Q就是弧AC所在圆的圆心，连接AQ、CQ，利用“SAS”证△APQ≌△QNC，由全等三角形的对应角相等得∠AQP=∠QCN，∠PAQ=∠CQN，然后根据直角三角形两锐角互余及等量代换推出∠AQO+∠CQN=90°，由平角定义得出∠AQC的度数，从而即可得出答案.
7．中国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：“今有甲乙二人持钱不知其数，甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而钱亦五十．问甲、乙持钱各几何？”题意为：今有甲乙二人，不知其钱包里有多少钱，若乙把其一半的钱给甲，则甲的钱数为；而甲把其的钱给乙，则乙的钱数也能为，问甲，乙各有多少钱？设甲的钱数为，乙的钱数为，则下列等式成立的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】列二元一次方程
【解析】【解答】解：根据题意得，，，
，
故答案为：A．
【分析】 设甲的钱数为x，乙的钱数为y，若乙把其一半的钱给甲后甲的钱数为，若甲把其的钱给乙后乙的钱数为，由 两种情况中甲、乙的钱数都等于50，可列出方程.
8．如图，在中，，根据尺规作图的痕迹，判断以下结论错误的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质；尺规作图-垂线；尺规作图-作角的平分线；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：由作图可知，平分，，
∵，
∴，故选项A正确，不符合题意；
在和中，
，
∴，
∴，故选项B正确，不符合题意；
∵，，
∴，
∴，故选项C正确，不符合题意；
由已知条件无法证明，故选项D错误，符合题意．
故答案为：D.
【分析】由作图可知，AD平分，，根据“角平分线上的点到角的两边的距离相等”可得DE=CD，即可判断选项A；利用“”证明，由全等三角形的对应边相等可得AE=AC，即可判断选项B；结合 “直角三角形两锐角互余”及同角的余角相等可证明，即可判断选项C；由已知条件无法证明，故选项D错误，符合题意．
9．已知，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】分式的化简求值-整体代入
【解析】【解答】解：，
．
故答案为：A.
【分析】将待求式子利用提取公因式法分解因式后通分计算商式中异分母分式的加法，然后逆用幂的乘方，将分母中a2b2变形为(ab)2，从而整体代入计算后约分化简，最后计算有理数乘法即可.
10．在平面直角坐标系中，已知抛物线（是常数，）经过点，当时，；当时，．下列结论：①；②；③函数的最小值为；④的值为1．其中，正确结论的个数有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数的最值；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：①∵抛物线经过点，
∴将代入得，故①正确．
②∵当时，，对任意，，且时，，说明抛物线开口向上，，顶点为，
∴对称轴为，由对称轴公式，得
，
∵，
∴，即，故②正确．
③∵抛物线开口向上，顶点为，
∴函数的最小值为，不是，故③错误．
④∵抛物线开口向上，，对称轴，当时，随增大而减小，
∴时，的最小值在处，
抛物线顶点式为，代入得，
∵时，，
∴，得，故④正确．
综上，正确的结论有①②④，共3个．
故答案为：C.
【分析】将点(3，k)代入y=ax2+bx+c可判断①；由当x≤2时y≥k+1及当x＞2时y＞k可知抛物线开口向上，故a＞0，定点为最低点，结合图形过点(3，k)及抛物线的增减性得出顶点为(3，k)，由对称轴直线公式得，即b=-6a，从而即可判断②③；根据抛物线的增减性当x≤2时，y的最小值在x=2处，然后将x=2代入抛物线的顶点式y=a(x-3)2+k得出y=a+k，再结合当x≤2时，y≥k+1可得a=1，从而即可判断④.
11．因式分解　 　．
【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：
，
故答案为：．
【分析】观察多项式可知，每一项都含有公因数4，于是先提取公因数4，括号内的多项式利用平方差公式分解因式即可求解．
12．不等式组的解集是　 　．
【答案】
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：
解不等式①得，；
解不等式②得，；
∴该不等式组的解集为．
故答案为：1＜x≤3.
【分析】分别解出不等式组中两个不等式的解集，根据口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了确定出解集即可.
13．如图，随机闭合开关中的两个，能让灯泡发光的概率是　 　．
【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：用树状图表示所有可能出现的结果有：
∴能让灯泡发光的概率，
故答案为：．
【分析】
先通过树状图列出事件所有可能出现的总结果数，再从中找出满足题目要求的结果数量，就可以计算出对应的概率.
14．下表是数学项目组填写的实践活动报告部分内容：
题目 测量孔子像的高度
测量目标及其示意图
相关数据 ，，，，．
则根据以上信息，可求出孔子像的高度约为　 　m．（结果精确到，参考数据：）
【答案】
【知识点】解直角三角形的其他实际应用；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：在中，，，
．
，
．
在中，，，
是等腰直角三角形，
．
．
故答案为：3.4.
【分析】在Rt△EBD中，由∠EDB的正切函数可求出BD=7.2m，然后根据线段和差求出BC=5.2m，由等腰直角三角形性质性质得出AB=BC=5.2m，最后根据线段和差，由AE=AB-BE可算出答案.
15．如图，经过点的一束光线照射到平面镜（轴）上的点处，反射后的光线交轴于点，若反射光线的函数关系式为，则入射光线的函数关系式为　 　．
【答案】
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】解：依题意，当时，得，
∴，
当时，得，
解得，
∴
根据光的反射定律，点关于x轴的对称点在入射光线的延长线上，如图所示：
设入射光线的函数关系式为（m、n为常数，且），
将坐标和分别代入，
得，
解得，
入射光线的函数关系式为．
故答案为：.
【分析】令中的x=0，算出对应的函数值为y=1，则得 C(0，1)， 令中的y=0，算出对应的自变量为x=2，则得B(2，0)；求出点C关于x轴的对称点C'(0，-1)，由光的反射定律可知，点C'在入射光线AB的延长线上，进而结合点B、C'的坐标，利用待定系数法求出入射光线AB的函数关系式即可．
16．已知大正方形由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成，且满足．过点作的垂线交的延长线于点，连接交延长线于点．下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论有　 　．（只填序号）
【答案】①②③
【知识点】正方形的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：在正方形中，∠MFE=45°，
，
，
为等腰直角三角形，
，故①正确；
，
，
，
，
，
设，
，，
，故②正确；
如图，设与交于点，
，
，
，
，
，
，
，
，故③正确；
，
，
，
又，
，
，
，
，
，
，
，故④错误，
综上，其中正确的结论有①②③．
故答案为：①②③.
【分析】根据正方形的的每一条对角线平分一组对角及对顶角相等可得，从而由等腰直角三角形性质可判断①；由全等三角形的对应边相等及已知得AE=DM=CF=BN=2BE，BE=AM=DF=CN，从而可推出MF=DF，设BE=MF=FD=GD=a，由三角形面积公式及正方形面积公式分别表示出△DFG与正方形MENF的面积，即可判断②；设CG与MD交于点I，由有两组角对应相等的两个三角形相似得△CFI∽△GDI，由相似三角形对应边成比例得出，由平行线分线段成比例定理得， 可求得CI=CH=IH，可判断③；由相似三角形对应边成比例求出，从而可用勾股定理表示出CI，进而表示出CG，由平行于三角形一边的直线截其它两边，所截三角形与原三角形相似得△CNH∽△CFI，由相似三角形对应边成比例求出，从而即可判断④.
17．计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：原式=x2+2x+1-(x2-3x+2)
；
（2）解：原式=
．
【知识点】整式的混合运算；零指数幂；实数的混合运算（含开方）；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】（1）先根据完全平方公式及多项式乘以多项式法则进行计算，然后根据去括号法则去括号，最后合并同类项即可；
（2）由特殊锐角三角函数值“”、绝对值性质、0指数幂法则“a0=1(a≠0)”及二次根式性质“”分别化简，再计算二次根式乘法及去括号，最后合并同类二次根式及进行有理数加减法法则即可.
（1）解：原式
；
（2）解：
．
18．已知，在中，，，是的中线，、分别是、延长线上的点，且．求证：．
【答案】证明：在中，，，是的中线，
，AD=BD=CD，AD⊥BC，
，
，
，
，即，
在和中，
，
，
【知识点】等腰直角三角形；三角形全等的判定-ASA；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】由等腰直角三角形性质得AD=BD=CD，∠CAD=∠ABC=45°，AD⊥BC，由邻补角求出∠FAD=∠EBD=135°，由垂直定义及同角的余角相等推出∠ADF=∠EDB，从而由“ASA”判断出△ADF≌△BDE，由全等三角形的对应边相等得出BE=AF.
19．仪陇县是朱德元帅的故乡、全国闻名的“三乡文化”之乡（书法、剪纸、篆刻），拥有丰富的红色文化资源．某校为传承红色基因、弘扬本土文化，计划在活动课中开设4门红色主题特色课程：A．红色经典诵读；B．红色主题剪纸；C．红色歌曲传唱；D．红色故事宣讲．学校随机抽取部分学生进行调查，要求学生从4门课程中只选择一门自己最喜爱的课程，将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．请根据图中信息解答下列问题：
（1）在扇形统计图中，A所对应的圆心角度数为______，并补全条形统计图；
（2）该校共有800名学生，请你估计选择“B．红色主题剪纸”课程的学生有多少人？
（3）小明和小华打算从四个课程中各自选择一门课程，请用列表或画树状图的方法求出小明和小华所选的课程不相同的概率．
【答案】（1）解：，则选择D课程有20人，补全统计图如下：
（2）解：，
所以选择“B.红色主题剪纸”课程的学生有320人；
（3）解：列表如下：
小明 小华 A B C D
A
B
C
D
一共有16种可能出现的结果，小明和小华所选课程不同的有12种，所以小明和小华所选课程不相同的概率是．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：本次调查抽取的总人数为：，
A所对应的圆心角度数为：，
故答案为：72°；
【分析】（1）根据统计图表提供的信息，用选择B课程的人数除以其所占百分比求出抽查的总人数，再用选择A课程人数所占的百分比乘以360°可得对应的圆心角度数，然后用抽查的总人数分别减去选择其它三门课程的人数得出选择D课程的人数，补全统计图即可；
（2）用该学校学生总人数乘以样本中选择B课程人数所占的百分比得可估计选择B课程的学生人数；
（3）此题是抽取放回类型，利用列表法得出所有可能出现的结果，由表可知一共有16种可能出现的结果，小明和小华所选课程不同的有12种，然后根据概率公式计算．
（1）解：，，
所以A所对应的圆心角度数为；
，则选择D课程有20人，补全统计图如下：
（2）解：，
所以选择“B.红色主题剪纸”课程的学生有320人；
（3）解：列表如下：
小明 小华 A B C D
A
B
C
D
一共有16种可能出现的结果，小明和小华所选课程不同的有12种，所以小明和小华所选课程不相同的概率是．
20．已知关于的一元二次方程．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若是该方程的两个实数根，且，求的值．
【答案】（1）证明：由题意得，
，
∴该方程总有两个实数根；
（2）解：∵是该方程的两个实数根，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得，
∵，
∴，
∴，
∴．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【分析】（1）对于一元二次方程“ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）”中，当b2-4ac＞0时方程有两个不相等的实数根，当b2-4ac=0时方程有两个相等的实数根，当b2-4ac＜0时方程没有实数根，据此可得此题就是证根的判别式值一定不为负数；
（2）设x1与x2是一元二次方程“ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）”的两个实数根，则x1+x2=，，据此结合题意求出x1+x2及x1x2的值，进而将已知方程利用完全平方公式变形为，最后整体代入可得关于字母m的方程，求解结合x1≠x2，即△=4m2≠0可确定出符合题意的m的值.
（1）证明：由题意得，
，
∴该方程总有两个实数根；
（2）解：∵是该方程的两个实数根，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得，
∵，
∴，
∴，
∴．
21．将一副三角板按如图方式摆放在平面直角坐标系中，其中含角的三角板的直角边落在轴上，且，含角的三角板的直角顶点在第一象限内，反比例函数的图象经过点．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）将三角板绕点顺时针旋转，边上的点恰好落在反比例函数图象上，求旋转前点的坐标．
【答案】（1）解：过点作轴于，
∵是等腰直角三角形，，CM⊥y轴，
∴CM=OM=OA=4
∴点的坐标为
∵反比例函数的图象经过点，
∴，
解得，
∴反比例函数的表达式为
（2）解：∵在中，，，，
∴，
∴点的坐标为
∵点的坐标为，
∴直线的解析式为
设点的坐标为（），
∵将三角板绕点顺时针旋转，
∴点旋转后的对应点坐标为
∵旋转后的点在反比例函数的图象上，
∴，
解得，
∴点的坐标为
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；坐标与图形变化﹣旋转；等腰直角三角形；反比例函数图象上点的坐标特征；解直角三角形—边角关系
【解析】【分析】（1）过点作轴于，利用等腰直角三角形的性质可得CM=OM=OA=4，从而求出点C的坐标，再将点C的坐标代入反比例函数即可求出k的值，从而得到反比例函数表达式；
（2）先Rt△OAB中，由∠AOB的正切函数及特殊锐角三角函数值算出AB的长，从而得出点B的坐标，结合点A、B的坐标特点求出直线AB的解析式；根据点的坐标与图形性质，设出点D的坐标为(m，8)；再根据旋转的性质得出点D旋转后的坐标为(8，-m)，将其代入反比例函数解析式求出m，进而得到点D的坐标．
（1）解：∵是等腰直角三角形，，
∴，，，
过点作轴于，
∵，
∴为等腰直角三角形，
∴
∵，，
∴为的中点，
∴，
∴，
∴点的坐标为
∵反比例函数的图象经过点，
∴，
解得，
∴反比例函数的表达式为
（2）解：∵在中，，，，
∴，
∴点的坐标为
∵点的坐标为，
∴直线的解析式为
设点的坐标为（），
∵将三角板绕点顺时针旋转，
∴点旋转后的对应点坐标为
∵旋转后的点在反比例函数的图象上，
∴，
解得，
∴点的坐标为
22．如图，内接于，是的直径，于点，，．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的半径．
【答案】（1）证明：，，
，，
，
，
，
，
，即，
是的半径，
是的切线；
（2）解：，
，
是的直径，
，
，
，
，
，
，
设，，则，
在中，，
即，
整理得，
，
，
，
，，
由（1）知，，，
，
，即，
解得，
，
即的半径为．
【知识点】圆周角定理；切线的判定；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；等角代换法求锐角三角函数值
【解析】【分析】（1）根据垂直的定义、直角三角形两锐角互余、平角定义及同角的余角相等证明，根据同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍，并结合已知的推出，等量代换即可证明，由三角形内角和定理得到，从而根据垂直半径外端点的直线就是圆的切线可得结论；
（2）根据直径所对的圆周角为直角、角的构成、直角三角形两锐角互余及结合同角的余角相等证明，由等角的同名三角函数值相等及正切函数的定义得出，设，，则，在Rt△AOD中，利用勾股定揽件量方程得出，进而表示出OB、OD，由有两组角相等的两个三角形相似证明，由相似三角形的对应边成比例建立方程求出x，从而即可求出OB的长.
（1）证明：，，
，，
，
，
，
，
，即，
是的半径，
是的切线；
（2）解：，
，
是的直径，
，
，
，
，
，
，
设，，则，
在中，，
即，
整理得，
，
，
，
，，
由（1）知，，，
，
，即，
解得，
，
即的半径为．
23．某商店决定购进A、B两种纪念品进行销售，已知每件A种纪念品比每件B种纪念品的进价高10元．用1500元购进A种纪念品的数量和用1000元购进B种纪念品的数量相同．
（1）求A、B两种纪念品每件的进价；
（2）该商场通过市场调查，整理出A种纪念品的售价与销售量的关系如下表：
售价（元／件）
销售量（件） 200
设售出A种纪念品的利润为元，求与的函数关系式，并求当为何值时利润最大，最大利润是多少？
【答案】（1）解：设种纪念品每件的进价是元，则种纪念品每件的进价是元，
根据题意得：，
解得：，
经检验：是原分式方程得解且符合题意，
∴种纪念品每件的进价是元，
答：，两种纪念品每件的进价分别是和元；
（2）解：当时，，
∵，
∴随着的增大而增大，
∴当时，利润最大为：元；
当时，
，
∵，
∴抛物线开口向下，
∴当时，利润最大为元，
∵，
∴，
当时，售出种纪念品所获利润最大，最大利润为元．
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（）设B种纪念品每件的进价是x元，则A种纪念品每件的进价是(x+10)元，根据总价除以单价等于数量及用1500元购进A种纪念品的数量和用1000元购进B种纪念品的数量相同，列出分式方程，求解并检验后再求出x+10的值即可；
（）分与两种情况，利用总利润等于单件利润乘以销售数量，分别列出w关于x函数关系式，根据函数的性质，求出最值即可．
（1）解：设种纪念品每件的进价是元，则种纪念品每件的进价是元，
根据题意得：，
解得：，
经检验：是原分式方程得解且符合题意，
∴种纪念品每件的进价是元，
答：，两种纪念品每件的进价分别是和元；
（2）解：当时，，
∵，
∴随着的增大而增大，
∴当时，利润最大为：元；
当时，
，
∵，
∴抛物线开口向下，
∴当时，利润最大为元，
∵，
∴，当时，售出种纪念品所获利润最大，最大利润为元．
24．如图，已知矩形，点在边上，连接，过点作于点，连接，过点作，交于点．
（1）求证：；
（2）若点为的中点，且，求的长；
（3）若平分，且，求的值．
【答案】（1）证明：∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴．
（2）解：如图
∵点E为的中点，，
∴，
在中， ，
∴，
∵，四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
，
由(1)知
∴，
∵，
∴，即，
∴，
∴．
答：的长为．
（3）解：过点F分别作于点G，于点P，如图
∴，
∵
∴四边形是矩形，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是正方形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
∴，
∴，
∵
∴，
∵，
∴，即
∴，
∴，
即，
∴．
【知识点】矩形的性质；正方形的判定与性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【分析】（1）由角的构成、直角三角形两锐角互余及同角的余角相等得到，，从而根据有两组角相等的两个三角形相似得△MDC∽△MFB；
（2）由中点定义求出BE=2，在Rt△CBE中，利用勾股定理算出CE，然后根据两组角相等的两个三角形相似得△CBM∽△CEB，由相似三角形对应边成比例建立方程求出CM与BM；结合（1）的结论，再由相似三角形对应边成比例建立方程求出BF，最后根据线段和差，由CF=BC-FB即可得出答案；
（3）过点F分别作FG⊥BM于点G，FP⊥CM于点P，由有三个内角为直角的四边形是矩形得出四边形GFPM是矩形，由角平分线的定义及角的构成可推出∠BMF=∠CMF=45°，由角平分线上的点到角两边的距离相等得出FG=FP，从而根据一组邻边相等的矩形是正方形得出四边形GFPM是正方形，得到FG=PF=PM，FG∥MP，GM∥PF，由直角三角形两锐角互余及同角的余角相等得∠BCE=∠EBM，从而由有两组角相等的两个三角形相似得△BEM∽△CFP，由相似三角形对应边成比例得，，则，由平行于三角形一边得直线截其它两边，所截三角形与原三角形相似得，由相似三角形对应边成比例建立方程得到，则，求出，得到，，则，即可解答．
（1）证明：∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴．
（2）解：如图
∵点E为的中点，，
∴，
在中， ，
∴，
∵，四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
，
由(1)知
∴，
∵，
∴，即，
∴，
∴．
答：的长为．
（3）解：过点F分别作于点G，于点P，如图
∴，
∵
∴四边形是矩形，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是正方形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
∴，
∴，
∵
∴，
∵，
∴，即
∴，
∴，
即，
∴．
25．如图1，抛物线与轴交于两点（点在点的左边），与轴负半轴交于点，顶点为．
（1）求抛物线的解析式及顶点的坐标；
（2）如图2，过点作一条直线交抛物线于两点（点在点的左边），连接，分别交轴于两点，当点与顶点重合时，求的面积；
（3）在（2）小题条件下，设的横坐标为，当点在抛物线上运动且满足时，试判断的值是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．
【答案】（1）解：，且抛物线与轴负半轴交于点，与轴交于点，
，，
将，，代入抛物线：
，解得：，
抛物线解析式为：，
将解析式配方为顶点式：，
顶点的坐标为；
（2）解：令，即，
解得，，
点在点左侧，
，
，，且点与顶点重合，即，
设直线的解析式为，
代入可得，
解得：，，
直线解析式为；
联立与，可得，
整理得：，解得（即点），，
将代入直线方程，得，即，
设交于点，作轴，轴分别交于点，，
联立与，可得，解得，即，
，，，
；
（3）解：的值为定值，理由如下：
由题意设点，，，
直线过，设直线解析式为，
联立与，可得：
，整理得：，
直线与抛物线交于，，
由根与系数的关系可得：，，
由（2）图可得，，
结合点，，，
可得恒在上方，恒在下方，
可得，，
，
代入，，
．
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；待定系数法求二次函数解析式；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数-面积问题
【解析】【分析】（1）根据OB、OC的长度确定出点B、C的坐标，然后用待定系数法求出抛物线的解析式，再通过配方法求出顶点D的坐标；
（2）令（1）所求抛物线解析式中的y=0，算出对应的自变量x的值，可得点A的坐标；由点Q与顶点D重合得到点Q的坐标，然后利用待定系数法求出直线QE的解析式，联立直线QE与抛物线解析式求解即可得出点P的坐标；设QP交x于点F，作QH⊥x轴于点H，PG⊥x轴于点G，令直线QE解析式中的y=0，算出对应的自变量x的值，即可求出F点坐标，根据两点间的距离公式求出AF、QH、PG的长，然后根据S△APQ=S△AFQ+S△AFP列式计算即可；
（3）的值为定值2，理由如下：由点的坐标与图形性质，设点，，，利用直线PQ过定点E，设直线PQ解析式为，联立直线PQ与抛物线解析式及一元二次方程根与系数的关系得，，再结合，，最后代入化简判断是否为定值（化简过程涉及因式分解）．
（1）解：，且抛物线与轴负半轴交于点，与轴交于点，
，，
将，，代入抛物线：
，解得：，
抛物线解析式为：，
将解析式配方为顶点式：，
顶点的坐标为；
（2）解：令，即，解得，，
点在点左侧，
，
，，且点与顶点重合，即，
设直线的解析式为，
代入可得，
解得：，，
直线解析式为；
联立与，可得，
整理得：，解得（即点），，
将代入直线方程，得，即，
设交于点，作轴，轴分别交于点，，
联立与，可得，解得，即，
，，，
；
（3）解：的值为定值，理由如下：
由题意设点，，，
直线过，设直线解析式为，
联立与，可得：
，整理得：，
直线与抛物线交于，，
由根与系数的关系可得：，，
由（2）图可得，，
结合点，，，
可得恒在上方，恒在下方，
可得，，
，
代入，，
．
1 / 1四川省南充市南部县振兴初级中学2025-2026学年九年级下学期第二次阶段性学情诊断数学试题
1．计算（-2）-2，结果是（　　）
A．4 B．-4 C． D．
2．2026年春运，全国铁路客运量约5.38亿人次，峰值刷新了历史纪录．数据“5.38亿”用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
3．下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
4．光线从空气射入水中时，光线的传播方向会发生改变，这就是光的折射现象．如图，水面与底面平行，光线从空气射入水里时发生了折射，变成光线射到水底处，点为光线延长线上的一点．若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
5．在一次中考体育模拟测试中，某班第一组6名同学的成绩统计如下（有两个数据被遮盖）
组员 甲 乙 丙 丁 戊 己 平均成绩 中位数
得分 94 92 ▲ 96 99 98 96 ■
则被遮盖的两个数据从左至右依次是（　　）
A． B．96，97 C．97，97 D．
6．如图，在正方形网格中，一条圆弧经过、、三个格点，那么所对的圆心角的大小是（　　）
A． B． C． D．
7．中国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：“今有甲乙二人持钱不知其数，甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而钱亦五十．问甲、乙持钱各几何？”题意为：今有甲乙二人，不知其钱包里有多少钱，若乙把其一半的钱给甲，则甲的钱数为；而甲把其的钱给乙，则乙的钱数也能为，问甲，乙各有多少钱？设甲的钱数为，乙的钱数为，则下列等式成立的是（　　）
A． B．
C． D．
8．如图，在中，，根据尺规作图的痕迹，判断以下结论错误的是（　　）
A． B． C． D．
9．已知，则的值为（　　）
A． B． C． D．
10．在平面直角坐标系中，已知抛物线（是常数，）经过点，当时，；当时，．下列结论：①；②；③函数的最小值为；④的值为1．其中，正确结论的个数有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
11．因式分解　 　．
12．不等式组的解集是　 　．
13．如图，随机闭合开关中的两个，能让灯泡发光的概率是　 　．
14．下表是数学项目组填写的实践活动报告部分内容：
题目 测量孔子像的高度
测量目标及其示意图
相关数据 ，，，，．
则根据以上信息，可求出孔子像的高度约为　 　m．（结果精确到，参考数据：）
15．如图，经过点的一束光线照射到平面镜（轴）上的点处，反射后的光线交轴于点，若反射光线的函数关系式为，则入射光线的函数关系式为　 　．
16．已知大正方形由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成，且满足．过点作的垂线交的延长线于点，连接交延长线于点．下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论有　 　．（只填序号）
17．计算：
（1）；
（2）．
18．已知，在中，，，是的中线，、分别是、延长线上的点，且．求证：．
19．仪陇县是朱德元帅的故乡、全国闻名的“三乡文化”之乡（书法、剪纸、篆刻），拥有丰富的红色文化资源．某校为传承红色基因、弘扬本土文化，计划在活动课中开设4门红色主题特色课程：A．红色经典诵读；B．红色主题剪纸；C．红色歌曲传唱；D．红色故事宣讲．学校随机抽取部分学生进行调查，要求学生从4门课程中只选择一门自己最喜爱的课程，将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．请根据图中信息解答下列问题：
（1）在扇形统计图中，A所对应的圆心角度数为______，并补全条形统计图；
（2）该校共有800名学生，请你估计选择“B．红色主题剪纸”课程的学生有多少人？
（3）小明和小华打算从四个课程中各自选择一门课程，请用列表或画树状图的方法求出小明和小华所选的课程不相同的概率．
20．已知关于的一元二次方程．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若是该方程的两个实数根，且，求的值．
21．将一副三角板按如图方式摆放在平面直角坐标系中，其中含角的三角板的直角边落在轴上，且，含角的三角板的直角顶点在第一象限内，反比例函数的图象经过点．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）将三角板绕点顺时针旋转，边上的点恰好落在反比例函数图象上，求旋转前点的坐标．
22．如图，内接于，是的直径，于点，，．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的半径．
23．某商店决定购进A、B两种纪念品进行销售，已知每件A种纪念品比每件B种纪念品的进价高10元．用1500元购进A种纪念品的数量和用1000元购进B种纪念品的数量相同．
（1）求A、B两种纪念品每件的进价；
（2）该商场通过市场调查，整理出A种纪念品的售价与销售量的关系如下表：
售价（元／件）
销售量（件） 200
设售出A种纪念品的利润为元，求与的函数关系式，并求当为何值时利润最大，最大利润是多少？
24．如图，已知矩形，点在边上，连接，过点作于点，连接，过点作，交于点．
（1）求证：；
（2）若点为的中点，且，求的长；
（3）若平分，且，求的值．
25．如图1，抛物线与轴交于两点（点在点的左边），与轴负半轴交于点，顶点为．
（1）求抛物线的解析式及顶点的坐标；
（2）如图2，过点作一条直线交抛物线于两点（点在点的左边），连接，分别交轴于两点，当点与顶点重合时，求的面积；
（3）在（2）小题条件下，设的横坐标为，当点在抛物线上运动且满足时，试判断的值是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】负整数指数幂
【解析】【解答】解：
故答案为：C.
【分析】根据a-p=（a≠0）进行计算即可.
2．【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：∵亿
∴
故答案为：C.
【分析】用科学记数法表示大于10的数，就是表示成a×10n的形式，其中1≤a＜10，n等于原数的整数位数减去1，据此解答即可.
3．【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；二次根式的性质与化简；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，故此选项原错误；
B、，故此选项原正确；
C、，故此选项原错误；
D、，当时，，故此选项原错误.
故答案为：B.
【分析】由同底数幂乘法，底数不变，指数相加，可判断A选项；由同底数幂除法，底数不变，指数相减可判断B选项；由幂的乘方，底数不变，指数相乘可判断C选项；由二次根式性质“”可判断D选项.
4．【答案】B
【知识点】对顶角及其性质；平行线的应用-求角度
【解析】【解答】解：∵水面与底面平行，
∴（两直线平行，内错角相等）．
∵，
∴，
∴．
故答案为：B.
【分析】由两直线平行，内错角相等得∠MBC=∠1=70°，由对顶角相等得∠MBD=∠2=45°，然后根据角的构成，由∠DBC=∠MBC-∠2可算出答案.
5．【答案】D
【知识点】平均数及其计算；中位数
【解析】【解答】解：∵6名同学的平均成绩为96，
∴6人的总成绩为，
可得丙的成绩，
将6人的成绩从小到大排列为：，
∵6个数据的中位数为第3个和第4个数据的平均数，
∴中位数为，
因此被遮盖的两个数据从左至右依次是．
故答案为：D．
【分析】平均数是指一组数据之和，除以这组数的个数，据此计算出被遮盖的丙的成绩；所谓中位数，就是将一组数据按从小到大（或者从大到小）的顺序排列后，如果数据的个数是奇数个时，则处在最中间的那个数据叫做这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数个时，则处在最中间的两个数据的平均数叫做这组数据的中位数，据此求出这6个数据的中位数，从而即可得出答案.
6．【答案】C
【知识点】三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应角的关系；垂径定理的推论
【解析】【解答】解：作的垂直平分线，作的垂直平分线，如图，
它们都经过，则点为这条圆弧所在圆的圆心．
连接，，
在与中
，
，
，，
，
，
，
即所对的圆心角的大小是．
故答案为：C.
【分析】根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，从而利用方格纸的特点分别作AB，BC的垂直平分线，两线的交点Q就是弧AC所在圆的圆心，连接AQ、CQ，利用“SAS”证△APQ≌△QNC，由全等三角形的对应角相等得∠AQP=∠QCN，∠PAQ=∠CQN，然后根据直角三角形两锐角互余及等量代换推出∠AQO+∠CQN=90°，由平角定义得出∠AQC的度数，从而即可得出答案.
7．【答案】A
【知识点】列二元一次方程
【解析】【解答】解：根据题意得，，，
，
故答案为：A．
【分析】 设甲的钱数为x，乙的钱数为y，若乙把其一半的钱给甲后甲的钱数为，若甲把其的钱给乙后乙的钱数为，由 两种情况中甲、乙的钱数都等于50，可列出方程.
8．【答案】D
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质；尺规作图-垂线；尺规作图-作角的平分线；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：由作图可知，平分，，
∵，
∴，故选项A正确，不符合题意；
在和中，
，
∴，
∴，故选项B正确，不符合题意；
∵，，
∴，
∴，故选项C正确，不符合题意；
由已知条件无法证明，故选项D错误，符合题意．
故答案为：D.
【分析】由作图可知，AD平分，，根据“角平分线上的点到角的两边的距离相等”可得DE=CD，即可判断选项A；利用“”证明，由全等三角形的对应边相等可得AE=AC，即可判断选项B；结合 “直角三角形两锐角互余”及同角的余角相等可证明，即可判断选项C；由已知条件无法证明，故选项D错误，符合题意．
9．【答案】A
【知识点】分式的化简求值-整体代入
【解析】【解答】解：，
．
故答案为：A.
【分析】将待求式子利用提取公因式法分解因式后通分计算商式中异分母分式的加法，然后逆用幂的乘方，将分母中a2b2变形为(ab)2，从而整体代入计算后约分化简，最后计算有理数乘法即可.
10．【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数的最值；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：①∵抛物线经过点，
∴将代入得，故①正确．
②∵当时，，对任意，，且时，，说明抛物线开口向上，，顶点为，
∴对称轴为，由对称轴公式，得
，
∵，
∴，即，故②正确．
③∵抛物线开口向上，顶点为，
∴函数的最小值为，不是，故③错误．
④∵抛物线开口向上，，对称轴，当时，随增大而减小，
∴时，的最小值在处，
抛物线顶点式为，代入得，
∵时，，
∴，得，故④正确．
综上，正确的结论有①②④，共3个．
故答案为：C.
【分析】将点(3，k)代入y=ax2+bx+c可判断①；由当x≤2时y≥k+1及当x＞2时y＞k可知抛物线开口向上，故a＞0，定点为最低点，结合图形过点(3，k)及抛物线的增减性得出顶点为(3，k)，由对称轴直线公式得，即b=-6a，从而即可判断②③；根据抛物线的增减性当x≤2时，y的最小值在x=2处，然后将x=2代入抛物线的顶点式y=a(x-3)2+k得出y=a+k，再结合当x≤2时，y≥k+1可得a=1，从而即可判断④.
11．【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：
，
故答案为：．
【分析】观察多项式可知，每一项都含有公因数4，于是先提取公因数4，括号内的多项式利用平方差公式分解因式即可求解．
12．【答案】
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：
解不等式①得，；
解不等式②得，；
∴该不等式组的解集为．
故答案为：1＜x≤3.
【分析】分别解出不等式组中两个不等式的解集，根据口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了确定出解集即可.
13．【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：用树状图表示所有可能出现的结果有：
∴能让灯泡发光的概率，
故答案为：．
【分析】
先通过树状图列出事件所有可能出现的总结果数，再从中找出满足题目要求的结果数量，就可以计算出对应的概率.
14．【答案】
【知识点】解直角三角形的其他实际应用；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：在中，，，
．
，
．
在中，，，
是等腰直角三角形，
．
．
故答案为：3.4.
【分析】在Rt△EBD中，由∠EDB的正切函数可求出BD=7.2m，然后根据线段和差求出BC=5.2m，由等腰直角三角形性质性质得出AB=BC=5.2m，最后根据线段和差，由AE=AB-BE可算出答案.
15．【答案】
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】解：依题意，当时，得，
∴，
当时，得，
解得，
∴
根据光的反射定律，点关于x轴的对称点在入射光线的延长线上，如图所示：
设入射光线的函数关系式为（m、n为常数，且），
将坐标和分别代入，
得，
解得，
入射光线的函数关系式为．
故答案为：.
【分析】令中的x=0，算出对应的函数值为y=1，则得 C(0，1)， 令中的y=0，算出对应的自变量为x=2，则得B(2，0)；求出点C关于x轴的对称点C'(0，-1)，由光的反射定律可知，点C'在入射光线AB的延长线上，进而结合点B、C'的坐标，利用待定系数法求出入射光线AB的函数关系式即可．
16．【答案】①②③
【知识点】正方形的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：在正方形中，∠MFE=45°，
，
，
为等腰直角三角形，
，故①正确；
，
，
，
，
，
设，
，，
，故②正确；
如图，设与交于点，
，
，
，
，
，
，
，
，故③正确；
，
，
，
又，
，
，
，
，
，
，
，故④错误，
综上，其中正确的结论有①②③．
故答案为：①②③.
【分析】根据正方形的的每一条对角线平分一组对角及对顶角相等可得，从而由等腰直角三角形性质可判断①；由全等三角形的对应边相等及已知得AE=DM=CF=BN=2BE，BE=AM=DF=CN，从而可推出MF=DF，设BE=MF=FD=GD=a，由三角形面积公式及正方形面积公式分别表示出△DFG与正方形MENF的面积，即可判断②；设CG与MD交于点I，由有两组角对应相等的两个三角形相似得△CFI∽△GDI，由相似三角形对应边成比例得出，由平行线分线段成比例定理得， 可求得CI=CH=IH，可判断③；由相似三角形对应边成比例求出，从而可用勾股定理表示出CI，进而表示出CG，由平行于三角形一边的直线截其它两边，所截三角形与原三角形相似得△CNH∽△CFI，由相似三角形对应边成比例求出，从而即可判断④.
17．【答案】（1）解：原式=x2+2x+1-(x2-3x+2)
；
（2）解：原式=
．
【知识点】整式的混合运算；零指数幂；实数的混合运算（含开方）；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】（1）先根据完全平方公式及多项式乘以多项式法则进行计算，然后根据去括号法则去括号，最后合并同类项即可；
（2）由特殊锐角三角函数值“”、绝对值性质、0指数幂法则“a0=1(a≠0)”及二次根式性质“”分别化简，再计算二次根式乘法及去括号，最后合并同类二次根式及进行有理数加减法法则即可.
（1）解：原式
；
（2）解：
．
18．【答案】证明：在中，，，是的中线，
，AD=BD=CD，AD⊥BC，
，
，
，
，即，
在和中，
，
，
【知识点】等腰直角三角形；三角形全等的判定-ASA；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】由等腰直角三角形性质得AD=BD=CD，∠CAD=∠ABC=45°，AD⊥BC，由邻补角求出∠FAD=∠EBD=135°，由垂直定义及同角的余角相等推出∠ADF=∠EDB，从而由“ASA”判断出△ADF≌△BDE，由全等三角形的对应边相等得出BE=AF.
19．【答案】（1）解：，则选择D课程有20人，补全统计图如下：
（2）解：，
所以选择“B.红色主题剪纸”课程的学生有320人；
（3）解：列表如下：
小明 小华 A B C D
A
B
C
D
一共有16种可能出现的结果，小明和小华所选课程不同的有12种，所以小明和小华所选课程不相同的概率是．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：本次调查抽取的总人数为：，
A所对应的圆心角度数为：，
故答案为：72°；
【分析】（1）根据统计图表提供的信息，用选择B课程的人数除以其所占百分比求出抽查的总人数，再用选择A课程人数所占的百分比乘以360°可得对应的圆心角度数，然后用抽查的总人数分别减去选择其它三门课程的人数得出选择D课程的人数，补全统计图即可；
（2）用该学校学生总人数乘以样本中选择B课程人数所占的百分比得可估计选择B课程的学生人数；
（3）此题是抽取放回类型，利用列表法得出所有可能出现的结果，由表可知一共有16种可能出现的结果，小明和小华所选课程不同的有12种，然后根据概率公式计算．
（1）解：，，
所以A所对应的圆心角度数为；
，则选择D课程有20人，补全统计图如下：
（2）解：，
所以选择“B.红色主题剪纸”课程的学生有320人；
（3）解：列表如下：
小明 小华 A B C D
A
B
C
D
一共有16种可能出现的结果，小明和小华所选课程不同的有12种，所以小明和小华所选课程不相同的概率是．
20．【答案】（1）证明：由题意得，
，
∴该方程总有两个实数根；
（2）解：∵是该方程的两个实数根，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得，
∵，
∴，
∴，
∴．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【分析】（1）对于一元二次方程“ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）”中，当b2-4ac＞0时方程有两个不相等的实数根，当b2-4ac=0时方程有两个相等的实数根，当b2-4ac＜0时方程没有实数根，据此可得此题就是证根的判别式值一定不为负数；
（2）设x1与x2是一元二次方程“ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）”的两个实数根，则x1+x2=，，据此结合题意求出x1+x2及x1x2的值，进而将已知方程利用完全平方公式变形为，最后整体代入可得关于字母m的方程，求解结合x1≠x2，即△=4m2≠0可确定出符合题意的m的值.
（1）证明：由题意得，
，
∴该方程总有两个实数根；
（2）解：∵是该方程的两个实数根，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得，
∵，
∴，
∴，
∴．
21．【答案】（1）解：过点作轴于，
∵是等腰直角三角形，，CM⊥y轴，
∴CM=OM=OA=4
∴点的坐标为
∵反比例函数的图象经过点，
∴，
解得，
∴反比例函数的表达式为
（2）解：∵在中，，，，
∴，
∴点的坐标为
∵点的坐标为，
∴直线的解析式为
设点的坐标为（），
∵将三角板绕点顺时针旋转，
∴点旋转后的对应点坐标为
∵旋转后的点在反比例函数的图象上，
∴，
解得，
∴点的坐标为
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；坐标与图形变化﹣旋转；等腰直角三角形；反比例函数图象上点的坐标特征；解直角三角形—边角关系
【解析】【分析】（1）过点作轴于，利用等腰直角三角形的性质可得CM=OM=OA=4，从而求出点C的坐标，再将点C的坐标代入反比例函数即可求出k的值，从而得到反比例函数表达式；
（2）先Rt△OAB中，由∠AOB的正切函数及特殊锐角三角函数值算出AB的长，从而得出点B的坐标，结合点A、B的坐标特点求出直线AB的解析式；根据点的坐标与图形性质，设出点D的坐标为(m，8)；再根据旋转的性质得出点D旋转后的坐标为(8，-m)，将其代入反比例函数解析式求出m，进而得到点D的坐标．
（1）解：∵是等腰直角三角形，，
∴，，，
过点作轴于，
∵，
∴为等腰直角三角形，
∴
∵，，
∴为的中点，
∴，
∴，
∴点的坐标为
∵反比例函数的图象经过点，
∴，
解得，
∴反比例函数的表达式为
（2）解：∵在中，，，，
∴，
∴点的坐标为
∵点的坐标为，
∴直线的解析式为
设点的坐标为（），
∵将三角板绕点顺时针旋转，
∴点旋转后的对应点坐标为
∵旋转后的点在反比例函数的图象上，
∴，
解得，
∴点的坐标为
22．【答案】（1）证明：，，
，，
，
，
，
，
，即，
是的半径，
是的切线；
（2）解：，
，
是的直径，
，
，
，
，
，
，
设，，则，
在中，，
即，
整理得，
，
，
，
，，
由（1）知，，，
，
，即，
解得，
，
即的半径为．
【知识点】圆周角定理；切线的判定；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；等角代换法求锐角三角函数值
【解析】【分析】（1）根据垂直的定义、直角三角形两锐角互余、平角定义及同角的余角相等证明，根据同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍，并结合已知的推出，等量代换即可证明，由三角形内角和定理得到，从而根据垂直半径外端点的直线就是圆的切线可得结论；
（2）根据直径所对的圆周角为直角、角的构成、直角三角形两锐角互余及结合同角的余角相等证明，由等角的同名三角函数值相等及正切函数的定义得出，设，，则，在Rt△AOD中，利用勾股定揽件量方程得出，进而表示出OB、OD，由有两组角相等的两个三角形相似证明，由相似三角形的对应边成比例建立方程求出x，从而即可求出OB的长.
（1）证明：，，
，，
，
，
，
，
，即，
是的半径，
是的切线；
（2）解：，
，
是的直径，
，
，
，
，
，
，
设，，则，
在中，，
即，
整理得，
，
，
，
，，
由（1）知，，，
，
，即，
解得，
，
即的半径为．
23．【答案】（1）解：设种纪念品每件的进价是元，则种纪念品每件的进价是元，
根据题意得：，
解得：，
经检验：是原分式方程得解且符合题意，
∴种纪念品每件的进价是元，
答：，两种纪念品每件的进价分别是和元；
（2）解：当时，，
∵，
∴随着的增大而增大，
∴当时，利润最大为：元；
当时，
，
∵，
∴抛物线开口向下，
∴当时，利润最大为元，
∵，
∴，
当时，售出种纪念品所获利润最大，最大利润为元．
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（）设B种纪念品每件的进价是x元，则A种纪念品每件的进价是(x+10)元，根据总价除以单价等于数量及用1500元购进A种纪念品的数量和用1000元购进B种纪念品的数量相同，列出分式方程，求解并检验后再求出x+10的值即可；
（）分与两种情况，利用总利润等于单件利润乘以销售数量，分别列出w关于x函数关系式，根据函数的性质，求出最值即可．
（1）解：设种纪念品每件的进价是元，则种纪念品每件的进价是元，
根据题意得：，
解得：，
经检验：是原分式方程得解且符合题意，
∴种纪念品每件的进价是元，
答：，两种纪念品每件的进价分别是和元；
（2）解：当时，，
∵，
∴随着的增大而增大，
∴当时，利润最大为：元；
当时，
，
∵，
∴抛物线开口向下，
∴当时，利润最大为元，
∵，
∴，当时，售出种纪念品所获利润最大，最大利润为元．
24．【答案】（1）证明：∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴．
（2）解：如图
∵点E为的中点，，
∴，
在中， ，
∴，
∵，四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
，
由(1)知
∴，
∵，
∴，即，
∴，
∴．
答：的长为．
（3）解：过点F分别作于点G，于点P，如图
∴，
∵
∴四边形是矩形，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是正方形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
∴，
∴，
∵
∴，
∵，
∴，即
∴，
∴，
即，
∴．
【知识点】矩形的性质；正方形的判定与性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【分析】（1）由角的构成、直角三角形两锐角互余及同角的余角相等得到，，从而根据有两组角相等的两个三角形相似得△MDC∽△MFB；
（2）由中点定义求出BE=2，在Rt△CBE中，利用勾股定理算出CE，然后根据两组角相等的两个三角形相似得△CBM∽△CEB，由相似三角形对应边成比例建立方程求出CM与BM；结合（1）的结论，再由相似三角形对应边成比例建立方程求出BF，最后根据线段和差，由CF=BC-FB即可得出答案；
（3）过点F分别作FG⊥BM于点G，FP⊥CM于点P，由有三个内角为直角的四边形是矩形得出四边形GFPM是矩形，由角平分线的定义及角的构成可推出∠BMF=∠CMF=45°，由角平分线上的点到角两边的距离相等得出FG=FP，从而根据一组邻边相等的矩形是正方形得出四边形GFPM是正方形，得到FG=PF=PM，FG∥MP，GM∥PF，由直角三角形两锐角互余及同角的余角相等得∠BCE=∠EBM，从而由有两组角相等的两个三角形相似得△BEM∽△CFP，由相似三角形对应边成比例得，，则，由平行于三角形一边得直线截其它两边，所截三角形与原三角形相似得，由相似三角形对应边成比例建立方程得到，则，求出，得到，，则，即可解答．
（1）证明：∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴．
（2）解：如图
∵点E为的中点，，
∴，
在中， ，
∴，
∵，四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
，
由(1)知
∴，
∵，
∴，即，
∴，
∴．
答：的长为．
（3）解：过点F分别作于点G，于点P，如图
∴，
∵
∴四边形是矩形，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是正方形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
∴，
∴，
∵
∴，
∵，
∴，即
∴，
∴，
即，
∴．
25．【答案】（1）解：，且抛物线与轴负半轴交于点，与轴交于点，
，，
将，，代入抛物线：
，解得：，
抛物线解析式为：，
将解析式配方为顶点式：，
顶点的坐标为；
（2）解：令，即，
解得，，
点在点左侧，
，
，，且点与顶点重合，即，
设直线的解析式为，
代入可得，
解得：，，
直线解析式为；
联立与，可得，
整理得：，解得（即点），，
将代入直线方程，得，即，
设交于点，作轴，轴分别交于点，，
联立与，可得，解得，即，
，，，
；
（3）解：的值为定值，理由如下：
由题意设点，，，
直线过，设直线解析式为，
联立与，可得：
，整理得：，
直线与抛物线交于，，
由根与系数的关系可得：，，
由（2）图可得，，
结合点，，，
可得恒在上方，恒在下方，
可得，，
，
代入，，
．
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；待定系数法求二次函数解析式；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数-面积问题
【解析】【分析】（1）根据OB、OC的长度确定出点B、C的坐标，然后用待定系数法求出抛物线的解析式，再通过配方法求出顶点D的坐标；
（2）令（1）所求抛物线解析式中的y=0，算出对应的自变量x的值，可得点A的坐标；由点Q与顶点D重合得到点Q的坐标，然后利用待定系数法求出直线QE的解析式，联立直线QE与抛物线解析式求解即可得出点P的坐标；设QP交x于点F，作QH⊥x轴于点H，PG⊥x轴于点G，令直线QE解析式中的y=0，算出对应的自变量x的值，即可求出F点坐标，根据两点间的距离公式求出AF、QH、PG的长，然后根据S△APQ=S△AFQ+S△AFP列式计算即可；
（3）的值为定值2，理由如下：由点的坐标与图形性质，设点，，，利用直线PQ过定点E，设直线PQ解析式为，联立直线PQ与抛物线解析式及一元二次方程根与系数的关系得，，再结合，，最后代入化简判断是否为定值（化简过程涉及因式分解）．
（1）解：，且抛物线与轴负半轴交于点，与轴交于点，
，，
将，，代入抛物线：
，解得：，
抛物线解析式为：，
将解析式配方为顶点式：，
顶点的坐标为；
（2）解：令，即，解得，，
点在点左侧，
，
，，且点与顶点重合，即，
设直线的解析式为，
代入可得，
解得：，，
直线解析式为；
联立与，可得，
整理得：，解得（即点），，
将代入直线方程，得，即，
设交于点，作轴，轴分别交于点，，
联立与，可得，解得，即，
，，，
；
（3）解：的值为定值，理由如下：
由题意设点，，，
直线过，设直线解析式为，
联立与，可得：
，整理得：，
直线与抛物线交于，，
由根与系数的关系可得：，，
由（2）图可得，，
结合点，，，
可得恒在上方，恒在下方，
可得，，
，
代入，，
．
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