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四川省资阳市安岳中学2025-2026学年八年级下学期期中考试数学试题
1．用科学记数法可将0.0000025表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：．
故选：D.
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数的绝对值＞10时，n是正数，当原数的绝对值＜1时，n是负数，据此即可得出答案.
2．若分式的值为0，则的值是（　　）
A． B． C． D．不存在
【答案】B
【知识点】分式的值为零的条件
【解析】【解答】解：∵的值为0，
∴且，
解得．
故选：B.
【分析】根据分式的值为0的条件：分子为0，分母不为0 ，得出且，求出a的值，即可得出答案.
3．下列命题为真命题的是（　　）
A．一组对边平行的四边形是平行四边形
B．平行四边形的对角线平分每一组对角
C．平行四边形既是轴对称图形，又是中心对称图形
D．平行四边形的对角线互相平分
【答案】D
【知识点】平行四边形的判定与性质；真命题与假命题
【解析】【解答】解：A、两组对边平行的四边形是平行四边形，原选项是假命题，不符合题意；
B、平行四边形的对角线不一定平分每一组对角，原选项是假命题，不符合题意；
C、 平行四边形是中心对称图形，原选项是假命题，不符合题意；
D、 平行四边形的对角线互相平分，原选项是真命题，符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据平行四边形的性质和判定以及真命题的定义可得结果.
4．把分式中的x，y都扩大3倍，那么分式的值（　　）
A．扩大3倍 B．不变 C．缩小 D．缩小3倍
【答案】B
【知识点】分式基本性质的应用-判断分式值的变化
【解析】【解答】解：∵将都扩大3倍后，得到的新分式为，
∴新分式的值与原分式的值相等，即分式的值不变．
故选：B.
【分析】根据题意，将都扩大3倍后，代入原式进行化简，再与原式进行比较，即可得出答案.
5．关于函数，下列结论正确的是（　　）
A．图象必经过 B．图象经过第一、三、四象限
C．当时， D．y随x的增大而增大
【答案】C
【知识点】一次函数的图象；一次函数与不等式（组）的关系；一次函数的性质；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解： A．当时， ，图象不经过，故A不符合题意；
B．，，图象经过第一、二、四象限，故B不符合题意；
C．令，得，∵y随x的增大而减小，∴当时，，故C符合题意；
D．函数中，，y随x的增大而减小，故D不符合题意．
故选：C.
【分析】求出当时 ，得出图象不经过，即可判断A不符合题意；
根据，，得出图象经过第一、二、四象限，即可判断B不符合题意；
求出当时，根据一次函数的性质y随x的增大而减小，得出当时，，即可判断C符合题意；
根据一次函数的性质得出y随x的增大而减小，即可判断D不符合题意．
6．函数与在同一平面直角坐标系中的大致图象是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解：当时，一次函数的图象经过第一、三、四象限，反比例函数的两个分支分别位于第一、三象限，选项B符合题意；
当时，一次函数的图象经过第一、二、四象限，反比例函数的两个分支分别位于第二、四象限，无选项符合题意．
故选：B．
【分析】分两种情况讨论：当时和当时，根据反比例函数和一次函数的性质分别求出一次函数图象经过的象限和反比例函数图象两个分支所在的象限，逐项进行判断，即可得出答案.
7．王大爷饭后出去散步，从家中走分钟到离家米的公园，与朋友聊天分钟后，用分钟返回家中．下面图形表示王大爷离家距离（米）与离家时间（分）之间的关系是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】用图象表示变量间的关系
【解析】【解答】解：∵王大爷饭后出去散步，从家中走分钟到离家米的公园，
∴图形第一段应是和连线的线段，
∵与朋友聊天分钟后，用分钟返回家中，
∴图形第二段是水平线段经过分钟，，
∴第三段是第二段末尾和连线的线段，
∴图形表示符合的是D，
故答案为：D．
【分析】根据题目情境理解问题的过程，然后就能够通过Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ各选项的图象即可得答案.
8．已知反比例函数中，随的增大而减小，则点关于轴的对称点在（　　）象限
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【知识点】反比例函数的性质；坐标与图形变化﹣对称；点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：∵反比例函数中，随的增大而减小，
∴比例系数，
解得，
∴，，
∴点的横坐标为负，纵坐标为正，点P在第二象限，
∵点关于y轴对称时，横坐标互为相反数，纵坐标不变，
∴点关于y轴的对称点的横坐标为正，纵坐标为正，
∴在第一象限．
故选：A.
【分析】根据反比例函数的性质求出m的取值范围，得出点P的横纵坐标符号，得出点P在第二象限，再根据关于y轴对称的点的坐标特征，即可判断在第一象限．
9．函数 和在第一象限内的图象如图，点P是的图象上一动点轴于点C，交的图象于点A，轴于点D，交的图象于点B．给出如下结论：
①与的面积相等；
②与始终相等；
③四边形的面积大小不会发生变化；
④．
其中所有正确结论有（　　）个．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；三角形的面积；平行四边形的面积
【解析】【解答】解：∵是反比函数上的点，
，故①正确；
∵由图的直观性可知，P点至上而下运动时，在逐渐增大，而在逐渐减小，只有当P的横纵坐标相等时，故②错误；
∵P是的图像上一动点，
∴矩形的面积为4，
∴，故③正确；
连接，
∴，
∴，
∴，
∴，故④正确；
综上所述，正确的结论有①③④．
故选：C．
【分析】
因为点都在反比例函数的图象上，根据反比例函数系数的几何意义，可以得到，因此结论①正确；只有当点P的横、纵坐标相等时，才会满足，并不是任意情况都成立，因此结论②错误；结合反比例函数系数的几何意义进行推导，可以得出四边形的面积是固定不变的定值，因此结论③正确；连接后，利用“同底的两个三角形，面积之比等于对应高的比”这一性质，即可推导出结论④正确.
10．若关于的一元一次不等式组的解集恰好有3个负整数解，且关于的分式方程有非负整数解，则符合条件的所有整数的和为（　　）
A．6 B．9 C． D．2
【答案】A
【知识点】分式方程的解及检验；解一元一次不等式组
【解析】【解答】
解不等式①得：；解不等式②得：
由题意知不等式组的解集为：
∵恰好有三个负整数解
∴
解得：
解分式方程得：
∵分式方程有非负整数解
∴a+1是4的非负整数倍
∵
∴
∴a+1=0或4或8
即或3或7，
即
综上：或7，
则
故选：A
【分析】
先求解一元一次不等式组得出其解集，再结合题目给出的条件得出参数a的取值范围，之后解分式方程得到该方程的解，最后结合分式方程的解为非负整数，确定所有符合要求的a的取值，计算这些a的和即可.
11．在函数中，自变量x的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】函数自变量的取值范围
【解析】【解答】在函数中，
∵分式的分母不能为0，
∴，解得：，
∴自变量的取值范围是．
故答案为：．
【分析】在函数中，根据分式有意义的条件得，解出即可.
12．如图：已知，平行四边形中，，为垂足，如果，则的度数是　 　.
【答案】
【知识点】三角形内角和定理；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵平行四边形
∴∠BEC=90°，
.
故填：．
【分析】先根据平行四边形的性质得出的度数，根据得出∠BEC=90°，再根据三角形的内角和定理求出的度数，即可得出答案．
13．若点A(－2，y1)，B(－1，y2)，C(1，y3)都在反比例函数y＝ (k为常数)的图象上，则y1，y2，y3的大小关系为　 　．(用“＜”连接)
【答案】y2＜y1＜y3
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】∵k2+3恒大于0，
∴反比例函数图象在每个象限y随x的增大而减小，且经过一三象限，
∵-2<-1<0，
∴点A(－2，y1)，B(－1，y2)位于第三象限
且y2∵1>0
∴点C(1，y3) 位于第一象限
所以y3>0
∴y2【分析】由k2+3恒大于0可判断反比例函数图象在每个象限y随x的增大而减小，故可先判断在第三象限的点A、点B纵坐标大小，再根据点C在第一象限，可直接得出答案.
14．已知，求＝　 　．
【答案】-8
【知识点】分式的化简求值-整体代入
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴.
故填：.
【分析】利用分式的加法运算法则把原式进行变形，得出，把代数式变形再把整体代入进行计算，即可得出答案.
15．若将直线向右平移m个单位，使得平移后的直线经过点，则m的值为　 　．
【答案】1
【知识点】一次函数图象上点的坐标特征；一次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：∵将直线向右平移m个单位后的解析式为，
∴将点代入，得，
解得：，
故答案为：1．
【分析】
先根据平移规律“左加右减”得到平移后的函数解析式，再把点代入解析式计算即可得出结果.
16．设直线与两坐标轴所围成的三角形的面积，则的值　 　．
【答案】
【知识点】探索数与式的规律；一次函数图象与坐标轴交点问题；一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：当时，
，
当时，
解得，
∴三角形面积
，
∴，
∴
．
故答案为：．
【分析】根据坐标轴上点的坐标特征分别将x=0，y=0代入解析式，再根据三角形面积可得三角形面积Sk，总结规律，结合有理数的混合运算即可求出答案.
17．计算
（1）
（2）
【答案】（1）解：，
，
；
（2）解：，
，
，
，
．

【知识点】分式的混合运算；零指数幂；负整数指数幂；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】（1）先计算绝对值、负整数指数幂、零指数幂、算术平方根、乘方，再计算乘方，最后计算加减法，即可得出答案；
（2）根据分式混合运算顺序，先计算除法，再计算减法，即可得出答案.
（1）解：
．
（2）解：
．
18．关于x的方程：－＝1.
(1)当a＝3时，求这个方程的解；
(2)若这个方程有增根，求a的值．
【答案】解：(1)将代入方程，得，
方程两边同乘，得，
解得：，
检验：当时，，
∴原分式方程的解为；
(2)方程两边同乘，得，
∵分式方程有增根，
∴，
解得：，
将代入，得，
解得：.
【知识点】分式方程的增根；去分母法解分式方程
【解析】【分析】（1）将a的值代入方程，得，然后根据分式方程的解法，去分母将分式方程化为整式方程，解整式方程求出x的值，最后再检验x的值是否为分式方程的增根即可；
（2）先去分母将分式方程化为整式方程，然后根据分式方程的增根的定义：使分式方程中最简公分母为0的未知数的值即分式方程的增根，得到增根，再将代入整式方程即可求出a的值.
19．先化简，再求值：计算 ，再从-2、0、2、3四个数中选择一个合适的数作为 的值代入求值.
【答案】解：
=
=
=
=
=
∵a=-2、2、3时，原式无意义，
∴a只能取0，
∴原式= =-1.
【知识点】分式的化简求值
【解析】【分析】先把除法转化为乘法，并把分子、分母分解因式约分，然后再算减法，最后选一个使分式有意义的数代入计算即可.
20．如图，在平行四边形中，的平分线与BC的延长线交于点E，与交于点F．
（1）求证：；
（2）若点F为的中点，于G，且，求的长．
【答案】（1）证明：∵为的平分线，
∴．
∵四边形是平行四边形，
∴．
∴．
∴．
∴．
∴．
（2）解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴．
∴．
∴．
∵F为的中点，，
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
在和中，，
∴．
∴，
∴．

【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；三角形全等的判定-AAS；角平分线的概念；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】（1）由角平分线的定义，可以得到，再根据平行四边形的性质，可知，即，由此可得，等量代换后得到，根据等角对等边可推出，即可完成结论的证明；
（2）根据平行四边形的性质可得，由此可推出，结合勾股定理和等腰三角形三线合一的性质，得到、，再通过AAS判定定理证明，可得对应边，最后根据计算即可得到答案.
（1）证明：∵为的平分线，
∴．
∵四边形是平行四边形，
∴．
∴．
∴．
∴．
∴．
（2）解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴．
∴．
∴．
∵F为的中点，，
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
在和中，，
∴．
∴，
∴．
21．通过实验研究发现：初中生在数学课上听课注意力指标随上课时间的变化而变化，上课开始时，学生兴趣激增，中间一段时间，学生的兴趣保持平稳状态，随后开始分散．学生注意力指标随时间（分钟）变化的函数图象如图所示，当和时，图象是线段；当时，图象是反比例函数的一部分．
（1）求点对应的指标值；
（2）张老师在一节课上讲解一道数学综合题需要17分钟，他能否经过适当的安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标都不低于36？请说明理由．
【答案】解：（1）令反比例函数为，由图可知点在的图象上，
∴，
∴．
将x=45代入得：y=20，
点对应的指标值为20．
（2）设直线的解析式为，将、代入中，
得，解得．
∴直线的解析式为．
由题得，
解得．
∵，
∴张老师经过适当的安排，能使学生在听综合题的讲解时，注意力指标都不低于36.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数的实际应用
【解析】【分析】（1）先利用待定系数法求出反比例函数的解析式，再将x=45代入解析式求出y的值，即可得出A对应的指标值；
（2）先用待定系数法写出一次函数的解析式，再根据注意力指标都不低于36列出不等式组，再求解即可.
22．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，，交轴于点，交轴于点．
（1）①求反比例函数和一次函数的表达式；
②根据图象直接写出的的取值范围
（2）求的面积
（3）点为轴上一动点，当的周长最小时，求点的坐标．
【答案】（1）解：①∵反比例函数过点，
∴，
∴，
∴，
∵点在反比例函数上，
∴，
∴，
∵，在一次函数上，
∴，
解得，
∴一次函数；
②或
（2）解：解：当时，，
∴，
．
（3）解：取点关于x轴的对称点，连接AB'，交x于点P，连接PB，则PB=PB'，
∴的周长，即此时的周长取得最小值．
设直线的解析式为，把，代入，得
，
∴，
，
当时，，
解得，
∴．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数与不等式（组）的关系；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】解：（1）②即
由图象可知，当一次函数值小于反比例函数值时，或；
【分析】（1）①根据点A的坐标，利用待定系数法确定反比例函数解析式，再把C(3，n)代入所求的反比例函数解析式求出n，确定C点坐标，然后根据点A、C坐标利用待定系数法确定一次函数解析式；
②由于关于x的不等式可以变形为，从图象角度看，求该不等式的解集，就是求一次函数图象在反比例函数图象下方部分对应的自变量的取值范围，结合点A、C坐标即可得出答案；
（2）令（1）所求一次函数解析式中的x=0算出对应的函数值得出点B的坐标，求得OB的长，然后根据结合三角形面积公式列式计算即可；
（3）取点关于x轴的对称点，连接AB'，交x轴于点P，连接PB，则PB=PB'，此时△PAB的周长取得最小值； 待定系数法求出直线AB'的解析式为，然后令直线AB'解析式中的y=0算出对应的函数值即可得到点P的坐标.
（1）解：①∵反比例函数过点，
∴，
∴，
∴，
∵点在反比例函数上，
∴，
∴，
∵，在一次函数上，
∴，
解得，
∴一次函数；
②即
由图象可知，当一次函数值小于反比例函数值时，或；
（2）解：当时，，
∴，
．
（3）解：取点关于x轴的对称点，连接，交x于点P，连接，则，
∴的周长，即此时的周长取得最小值．
设直线的解析式为，把，代入，得
，
∴，
，
当时，，
解得，
∴．
23．阅读资料，解决问题：
定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，如：，这样的分式就是真分式；当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，如：，这样的分式就是假分式，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式），如：．
（1）分式是__________（填“真分式”或“假分式”）；
（2）将假分式分别化为带分式；
（3）如果分式的值为整数，求所有符合条件的负整数的值．
【答案】（1）假分式
（2）解：；
．

（3）解：，
若使原分式的值为整数，则的值为整数，
或，
∴，
∴符合条件的负整数的值为．

【知识点】分式的概念；分式的值
【解析】【解答】
（1）
解：由题意，分式是假分式；
【分析】
（1）按照题目给出的新定义，对所给分式做出判断即可；
（2）依据题干给出的计算方法，完成分式的化简求解即可；
（3）先把假分式化为带分式，再结合分式的结果为整数，求解满足条件的x的值即可.
（1）解：由题意，分式是假分式；
（2）解：；
．
（3）解：，
若使原分式的值为整数，则的值为整数，
或，
∴，
∴符合条件的负整数的值为．
24．五一节期间，安岳县某超市开展优惠促销活动，A种商品标价为100元，现打8折出售，B种商品标价为90元，现在标价上降低出售，已知准备购进的A、B两种商品，A种商品每件的进价比B种商品每件的进价多20元，用3000元购进A种商品和用1800元购进B种商品的数量相同．
（1）A种商品每件的进价和B种商品每件的进价各是多少元？
（2）超市计划用不超过1560元的资金购进A、B两种商品共40件，其中A种商品的数量不低于B种商品数量的一半，该商店有几种进货方案？
（3）实际销售时，超市决定对每件A种商品售价再优惠元，B种商品售价不变，在（2）条件下，请设计出销售这40件商品获得总利润最大的进货方案．
【答案】（1）解：设种商品每件的进价是元，则种商品每件的进价是元．
由题意得：
解得：
经检验，是原方程的解，且符合题意．
答：种商品每件的进价是50元，种商品每件的进价是30元
（2）解：设购进种商品件，则购进种商品件．
由题意得：，
解得，
∵为正整数
∴，
∴共5种不同的进货方案；
（3）解：设销售40件商品总利润为元．
由题意得：的实际售价为元，每件的利润为元；
的售价为元，每件的利润为元．
则
整理得：
①当时，，与的取值无关，即（2）中的五种方案都获利600元；
②当时，，随的增大而增大，
∴当时，获利最大，即在（2）的条件下，购进种商品18件，购进种商品22件，获利最大；
③当时，，随的增大而减小，
∴当时，获利最大，
∴在（2）的条件下，购进种商品14件，购进种商品26件，获利最大．
综上可知，①当时，（2）中的五种方案都获利600元；②当时，购进种商品18件，购进种商品22件，获利最大；③当时，购进种商品14件，购进种商品26件，获利最大．
【知识点】一元一次不等式组的应用；一次函数的实际应用-销售问题；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设A种商品进价为x元，则B种商品每件的进价是(x-20)元，根据总价除以单价等于数量及“ 用3000元购进A种商品和用1800元购进B种商品的数量相同 ”列分式方程，求解检验后再求出x-20的值即可；
（2）设购进A种商品a件，则购进B种商品(40-a)件，由单价乘以数量等于总价及“ 用不超过1560元的资金购进A、B两种商品共40件 ”列出不等式50a+30(40-a)≤1560，再根据“ A种商品的数量不低于B种商品数量的一半 ”列出不等式，联立两不等式求出其整数解即可；
（3）设销售40件商品总利润为y元，根据销售方案确定出A、B两种商品的实际售价及每件商品的利润，然后根据每件商品的利润乘以销售数量等于总利润及销售40件商品的总利润等于销售a件A商品的利润加上销售(40-a)件B商品的利润建立出y关于a的一次函数解析式，进而根据一次函数的增减性，结合的取值范围分类讨论，得到总利润最大的进货方案．
（1）解：设种商品每件的进价是元，则种商品每件的进价是元．
由题意得：
解得：
经检验，是原方程的解，且符合题意．
答：种商品每件的进价是50元，种商品每件的进价是30元．
（2）解：设购进种商品件，则购进种商品件．
由题意得：，
解得，
∵为正整数
∴，
∴共5种不同的进货方案；
（3）解：设销售40件商品总利润为元．由题意得：
的实际售价为，每件的利润为；
的售价为，每件的利润为．
则
整理得：
①当时，，与的取值无关，即（2）中的五种方案都获利600元；
②当时，，随的增大而增大，
∴当时，获利最大，即在（2）的条件下，购进种商品18件，购进种商品22件，获利最大；
③当时，，随的增大而减小，
∴当时，获利最大，
∴在（2）的条件下，购进种商品14件，购进种商品26件，获利最大．
综上可知，①当时，（2）中的五种方案都获利600元；②当时，购进种商品18件，购进种商品22件，获利最大；③当时，购进种商品14件，购进种商品26件，获利最大．
1 / 1四川省资阳市安岳中学2025-2026学年八年级下学期期中考试数学试题
1．用科学记数法可将0.0000025表示为（　　）
A． B． C． D．
2．若分式的值为0，则的值是（　　）
A． B． C． D．不存在
3．下列命题为真命题的是（　　）
A．一组对边平行的四边形是平行四边形
B．平行四边形的对角线平分每一组对角
C．平行四边形既是轴对称图形，又是中心对称图形
D．平行四边形的对角线互相平分
4．把分式中的x，y都扩大3倍，那么分式的值（　　）
A．扩大3倍 B．不变 C．缩小 D．缩小3倍
5．关于函数，下列结论正确的是（　　）
A．图象必经过 B．图象经过第一、三、四象限
C．当时， D．y随x的增大而增大
6．函数与在同一平面直角坐标系中的大致图象是（　　）
A． B．
C． D．
7．王大爷饭后出去散步，从家中走分钟到离家米的公园，与朋友聊天分钟后，用分钟返回家中．下面图形表示王大爷离家距离（米）与离家时间（分）之间的关系是（　　）
A． B．
C． D．
8．已知反比例函数中，随的增大而减小，则点关于轴的对称点在（　　）象限
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
9．函数 和在第一象限内的图象如图，点P是的图象上一动点轴于点C，交的图象于点A，轴于点D，交的图象于点B．给出如下结论：
①与的面积相等；
②与始终相等；
③四边形的面积大小不会发生变化；
④．
其中所有正确结论有（　　）个．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．若关于的一元一次不等式组的解集恰好有3个负整数解，且关于的分式方程有非负整数解，则符合条件的所有整数的和为（　　）
A．6 B．9 C． D．2
11．在函数中，自变量x的取值范围是　 　．
12．如图：已知，平行四边形中，，为垂足，如果，则的度数是　 　.
13．若点A(－2，y1)，B(－1，y2)，C(1，y3)都在反比例函数y＝ (k为常数)的图象上，则y1，y2，y3的大小关系为　 　．(用“＜”连接)
14．已知，求＝　 　．
15．若将直线向右平移m个单位，使得平移后的直线经过点，则m的值为　 　．
16．设直线与两坐标轴所围成的三角形的面积，则的值　 　．
17．计算
（1）
（2）
18．关于x的方程：－＝1.
(1)当a＝3时，求这个方程的解；
(2)若这个方程有增根，求a的值．
19．先化简，再求值：计算 ，再从-2、0、2、3四个数中选择一个合适的数作为 的值代入求值.
20．如图，在平行四边形中，的平分线与BC的延长线交于点E，与交于点F．
（1）求证：；
（2）若点F为的中点，于G，且，求的长．
21．通过实验研究发现：初中生在数学课上听课注意力指标随上课时间的变化而变化，上课开始时，学生兴趣激增，中间一段时间，学生的兴趣保持平稳状态，随后开始分散．学生注意力指标随时间（分钟）变化的函数图象如图所示，当和时，图象是线段；当时，图象是反比例函数的一部分．
（1）求点对应的指标值；
（2）张老师在一节课上讲解一道数学综合题需要17分钟，他能否经过适当的安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标都不低于36？请说明理由．
22．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，，交轴于点，交轴于点．
（1）①求反比例函数和一次函数的表达式；
②根据图象直接写出的的取值范围
（2）求的面积
（3）点为轴上一动点，当的周长最小时，求点的坐标．
23．阅读资料，解决问题：
定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，如：，这样的分式就是真分式；当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，如：，这样的分式就是假分式，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式），如：．
（1）分式是__________（填“真分式”或“假分式”）；
（2）将假分式分别化为带分式；
（3）如果分式的值为整数，求所有符合条件的负整数的值．
24．五一节期间，安岳县某超市开展优惠促销活动，A种商品标价为100元，现打8折出售，B种商品标价为90元，现在标价上降低出售，已知准备购进的A、B两种商品，A种商品每件的进价比B种商品每件的进价多20元，用3000元购进A种商品和用1800元购进B种商品的数量相同．
（1）A种商品每件的进价和B种商品每件的进价各是多少元？
（2）超市计划用不超过1560元的资金购进A、B两种商品共40件，其中A种商品的数量不低于B种商品数量的一半，该商店有几种进货方案？
（3）实际销售时，超市决定对每件A种商品售价再优惠元，B种商品售价不变，在（2）条件下，请设计出销售这40件商品获得总利润最大的进货方案．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：．
故选：D.
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数的绝对值＞10时，n是正数，当原数的绝对值＜1时，n是负数，据此即可得出答案.
2．【答案】B
【知识点】分式的值为零的条件
【解析】【解答】解：∵的值为0，
∴且，
解得．
故选：B.
【分析】根据分式的值为0的条件：分子为0，分母不为0 ，得出且，求出a的值，即可得出答案.
3．【答案】D
【知识点】平行四边形的判定与性质；真命题与假命题
【解析】【解答】解：A、两组对边平行的四边形是平行四边形，原选项是假命题，不符合题意；
B、平行四边形的对角线不一定平分每一组对角，原选项是假命题，不符合题意；
C、 平行四边形是中心对称图形，原选项是假命题，不符合题意；
D、 平行四边形的对角线互相平分，原选项是真命题，符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据平行四边形的性质和判定以及真命题的定义可得结果.
4．【答案】B
【知识点】分式基本性质的应用-判断分式值的变化
【解析】【解答】解：∵将都扩大3倍后，得到的新分式为，
∴新分式的值与原分式的值相等，即分式的值不变．
故选：B.
【分析】根据题意，将都扩大3倍后，代入原式进行化简，再与原式进行比较，即可得出答案.
5．【答案】C
【知识点】一次函数的图象；一次函数与不等式（组）的关系；一次函数的性质；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解： A．当时， ，图象不经过，故A不符合题意；
B．，，图象经过第一、二、四象限，故B不符合题意；
C．令，得，∵y随x的增大而减小，∴当时，，故C符合题意；
D．函数中，，y随x的增大而减小，故D不符合题意．
故选：C.
【分析】求出当时 ，得出图象不经过，即可判断A不符合题意；
根据，，得出图象经过第一、二、四象限，即可判断B不符合题意；
求出当时，根据一次函数的性质y随x的增大而减小，得出当时，，即可判断C符合题意；
根据一次函数的性质得出y随x的增大而减小，即可判断D不符合题意．
6．【答案】B
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解：当时，一次函数的图象经过第一、三、四象限，反比例函数的两个分支分别位于第一、三象限，选项B符合题意；
当时，一次函数的图象经过第一、二、四象限，反比例函数的两个分支分别位于第二、四象限，无选项符合题意．
故选：B．
【分析】分两种情况讨论：当时和当时，根据反比例函数和一次函数的性质分别求出一次函数图象经过的象限和反比例函数图象两个分支所在的象限，逐项进行判断，即可得出答案.
7．【答案】D
【知识点】用图象表示变量间的关系
【解析】【解答】解：∵王大爷饭后出去散步，从家中走分钟到离家米的公园，
∴图形第一段应是和连线的线段，
∵与朋友聊天分钟后，用分钟返回家中，
∴图形第二段是水平线段经过分钟，，
∴第三段是第二段末尾和连线的线段，
∴图形表示符合的是D，
故答案为：D．
【分析】根据题目情境理解问题的过程，然后就能够通过Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ各选项的图象即可得答案.
8．【答案】A
【知识点】反比例函数的性质；坐标与图形变化﹣对称；点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：∵反比例函数中，随的增大而减小，
∴比例系数，
解得，
∴，，
∴点的横坐标为负，纵坐标为正，点P在第二象限，
∵点关于y轴对称时，横坐标互为相反数，纵坐标不变，
∴点关于y轴的对称点的横坐标为正，纵坐标为正，
∴在第一象限．
故选：A.
【分析】根据反比例函数的性质求出m的取值范围，得出点P的横纵坐标符号，得出点P在第二象限，再根据关于y轴对称的点的坐标特征，即可判断在第一象限．
9．【答案】C
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；三角形的面积；平行四边形的面积
【解析】【解答】解：∵是反比函数上的点，
，故①正确；
∵由图的直观性可知，P点至上而下运动时，在逐渐增大，而在逐渐减小，只有当P的横纵坐标相等时，故②错误；
∵P是的图像上一动点，
∴矩形的面积为4，
∴，故③正确；
连接，
∴，
∴，
∴，
∴，故④正确；
综上所述，正确的结论有①③④．
故选：C．
【分析】
因为点都在反比例函数的图象上，根据反比例函数系数的几何意义，可以得到，因此结论①正确；只有当点P的横、纵坐标相等时，才会满足，并不是任意情况都成立，因此结论②错误；结合反比例函数系数的几何意义进行推导，可以得出四边形的面积是固定不变的定值，因此结论③正确；连接后，利用“同底的两个三角形，面积之比等于对应高的比”这一性质，即可推导出结论④正确.
10．【答案】A
【知识点】分式方程的解及检验；解一元一次不等式组
【解析】【解答】
解不等式①得：；解不等式②得：
由题意知不等式组的解集为：
∵恰好有三个负整数解
∴
解得：
解分式方程得：
∵分式方程有非负整数解
∴a+1是4的非负整数倍
∵
∴
∴a+1=0或4或8
即或3或7，
即
综上：或7，
则
故选：A
【分析】
先求解一元一次不等式组得出其解集，再结合题目给出的条件得出参数a的取值范围，之后解分式方程得到该方程的解，最后结合分式方程的解为非负整数，确定所有符合要求的a的取值，计算这些a的和即可.
11．【答案】
【知识点】函数自变量的取值范围
【解析】【解答】在函数中，
∵分式的分母不能为0，
∴，解得：，
∴自变量的取值范围是．
故答案为：．
【分析】在函数中，根据分式有意义的条件得，解出即可.
12．【答案】
【知识点】三角形内角和定理；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵平行四边形
∴∠BEC=90°，
.
故填：．
【分析】先根据平行四边形的性质得出的度数，根据得出∠BEC=90°，再根据三角形的内角和定理求出的度数，即可得出答案．
13．【答案】y2＜y1＜y3
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】∵k2+3恒大于0，
∴反比例函数图象在每个象限y随x的增大而减小，且经过一三象限，
∵-2<-1<0，
∴点A(－2，y1)，B(－1，y2)位于第三象限
且y2∵1>0
∴点C(1，y3) 位于第一象限
所以y3>0
∴y2【分析】由k2+3恒大于0可判断反比例函数图象在每个象限y随x的增大而减小，故可先判断在第三象限的点A、点B纵坐标大小，再根据点C在第一象限，可直接得出答案.
14．【答案】-8
【知识点】分式的化简求值-整体代入
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴.
故填：.
【分析】利用分式的加法运算法则把原式进行变形，得出，把代数式变形再把整体代入进行计算，即可得出答案.
15．【答案】1
【知识点】一次函数图象上点的坐标特征；一次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：∵将直线向右平移m个单位后的解析式为，
∴将点代入，得，
解得：，
故答案为：1．
【分析】
先根据平移规律“左加右减”得到平移后的函数解析式，再把点代入解析式计算即可得出结果.
16．【答案】
【知识点】探索数与式的规律；一次函数图象与坐标轴交点问题；一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：当时，
，
当时，
解得，
∴三角形面积
，
∴，
∴
．
故答案为：．
【分析】根据坐标轴上点的坐标特征分别将x=0，y=0代入解析式，再根据三角形面积可得三角形面积Sk，总结规律，结合有理数的混合运算即可求出答案.
17．【答案】（1）解：，
，
；
（2）解：，
，
，
，
．

【知识点】分式的混合运算；零指数幂；负整数指数幂；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】（1）先计算绝对值、负整数指数幂、零指数幂、算术平方根、乘方，再计算乘方，最后计算加减法，即可得出答案；
（2）根据分式混合运算顺序，先计算除法，再计算减法，即可得出答案.
（1）解：
．
（2）解：
．
18．【答案】解：(1)将代入方程，得，
方程两边同乘，得，
解得：，
检验：当时，，
∴原分式方程的解为；
(2)方程两边同乘，得，
∵分式方程有增根，
∴，
解得：，
将代入，得，
解得：.
【知识点】分式方程的增根；去分母法解分式方程
【解析】【分析】（1）将a的值代入方程，得，然后根据分式方程的解法，去分母将分式方程化为整式方程，解整式方程求出x的值，最后再检验x的值是否为分式方程的增根即可；
（2）先去分母将分式方程化为整式方程，然后根据分式方程的增根的定义：使分式方程中最简公分母为0的未知数的值即分式方程的增根，得到增根，再将代入整式方程即可求出a的值.
19．【答案】解：
=
=
=
=
=
∵a=-2、2、3时，原式无意义，
∴a只能取0，
∴原式= =-1.
【知识点】分式的化简求值
【解析】【分析】先把除法转化为乘法，并把分子、分母分解因式约分，然后再算减法，最后选一个使分式有意义的数代入计算即可.
20．【答案】（1）证明：∵为的平分线，
∴．
∵四边形是平行四边形，
∴．
∴．
∴．
∴．
∴．
（2）解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴．
∴．
∴．
∵F为的中点，，
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
在和中，，
∴．
∴，
∴．

【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；三角形全等的判定-AAS；角平分线的概念；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】（1）由角平分线的定义，可以得到，再根据平行四边形的性质，可知，即，由此可得，等量代换后得到，根据等角对等边可推出，即可完成结论的证明；
（2）根据平行四边形的性质可得，由此可推出，结合勾股定理和等腰三角形三线合一的性质，得到、，再通过AAS判定定理证明，可得对应边，最后根据计算即可得到答案.
（1）证明：∵为的平分线，
∴．
∵四边形是平行四边形，
∴．
∴．
∴．
∴．
∴．
（2）解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴．
∴．
∴．
∵F为的中点，，
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
在和中，，
∴．
∴，
∴．
21．【答案】解：（1）令反比例函数为，由图可知点在的图象上，
∴，
∴．
将x=45代入得：y=20，
点对应的指标值为20．
（2）设直线的解析式为，将、代入中，
得，解得．
∴直线的解析式为．
由题得，
解得．
∵，
∴张老师经过适当的安排，能使学生在听综合题的讲解时，注意力指标都不低于36.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数的实际应用
【解析】【分析】（1）先利用待定系数法求出反比例函数的解析式，再将x=45代入解析式求出y的值，即可得出A对应的指标值；
（2）先用待定系数法写出一次函数的解析式，再根据注意力指标都不低于36列出不等式组，再求解即可.
22．【答案】（1）解：①∵反比例函数过点，
∴，
∴，
∴，
∵点在反比例函数上，
∴，
∴，
∵，在一次函数上，
∴，
解得，
∴一次函数；
②或
（2）解：解：当时，，
∴，
．
（3）解：取点关于x轴的对称点，连接AB'，交x于点P，连接PB，则PB=PB'，
∴的周长，即此时的周长取得最小值．
设直线的解析式为，把，代入，得
，
∴，
，
当时，，
解得，
∴．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数与不等式（组）的关系；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】解：（1）②即
由图象可知，当一次函数值小于反比例函数值时，或；
【分析】（1）①根据点A的坐标，利用待定系数法确定反比例函数解析式，再把C(3，n)代入所求的反比例函数解析式求出n，确定C点坐标，然后根据点A、C坐标利用待定系数法确定一次函数解析式；
②由于关于x的不等式可以变形为，从图象角度看，求该不等式的解集，就是求一次函数图象在反比例函数图象下方部分对应的自变量的取值范围，结合点A、C坐标即可得出答案；
（2）令（1）所求一次函数解析式中的x=0算出对应的函数值得出点B的坐标，求得OB的长，然后根据结合三角形面积公式列式计算即可；
（3）取点关于x轴的对称点，连接AB'，交x轴于点P，连接PB，则PB=PB'，此时△PAB的周长取得最小值； 待定系数法求出直线AB'的解析式为，然后令直线AB'解析式中的y=0算出对应的函数值即可得到点P的坐标.
（1）解：①∵反比例函数过点，
∴，
∴，
∴，
∵点在反比例函数上，
∴，
∴，
∵，在一次函数上，
∴，
解得，
∴一次函数；
②即
由图象可知，当一次函数值小于反比例函数值时，或；
（2）解：当时，，
∴，
．
（3）解：取点关于x轴的对称点，连接，交x于点P，连接，则，
∴的周长，即此时的周长取得最小值．
设直线的解析式为，把，代入，得
，
∴，
，
当时，，
解得，
∴．
23．【答案】（1）假分式
（2）解：；
．

（3）解：，
若使原分式的值为整数，则的值为整数，
或，
∴，
∴符合条件的负整数的值为．

【知识点】分式的概念；分式的值
【解析】【解答】
（1）
解：由题意，分式是假分式；
【分析】
（1）按照题目给出的新定义，对所给分式做出判断即可；
（2）依据题干给出的计算方法，完成分式的化简求解即可；
（3）先把假分式化为带分式，再结合分式的结果为整数，求解满足条件的x的值即可.
（1）解：由题意，分式是假分式；
（2）解：；
．
（3）解：，
若使原分式的值为整数，则的值为整数，
或，
∴，
∴符合条件的负整数的值为．
24．【答案】（1）解：设种商品每件的进价是元，则种商品每件的进价是元．
由题意得：
解得：
经检验，是原方程的解，且符合题意．
答：种商品每件的进价是50元，种商品每件的进价是30元
（2）解：设购进种商品件，则购进种商品件．
由题意得：，
解得，
∵为正整数
∴，
∴共5种不同的进货方案；
（3）解：设销售40件商品总利润为元．
由题意得：的实际售价为元，每件的利润为元；
的售价为元，每件的利润为元．
则
整理得：
①当时，，与的取值无关，即（2）中的五种方案都获利600元；
②当时，，随的增大而增大，
∴当时，获利最大，即在（2）的条件下，购进种商品18件，购进种商品22件，获利最大；
③当时，，随的增大而减小，
∴当时，获利最大，
∴在（2）的条件下，购进种商品14件，购进种商品26件，获利最大．
综上可知，①当时，（2）中的五种方案都获利600元；②当时，购进种商品18件，购进种商品22件，获利最大；③当时，购进种商品14件，购进种商品26件，获利最大．
【知识点】一元一次不等式组的应用；一次函数的实际应用-销售问题；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设A种商品进价为x元，则B种商品每件的进价是(x-20)元，根据总价除以单价等于数量及“ 用3000元购进A种商品和用1800元购进B种商品的数量相同 ”列分式方程，求解检验后再求出x-20的值即可；
（2）设购进A种商品a件，则购进B种商品(40-a)件，由单价乘以数量等于总价及“ 用不超过1560元的资金购进A、B两种商品共40件 ”列出不等式50a+30(40-a)≤1560，再根据“ A种商品的数量不低于B种商品数量的一半 ”列出不等式，联立两不等式求出其整数解即可；
（3）设销售40件商品总利润为y元，根据销售方案确定出A、B两种商品的实际售价及每件商品的利润，然后根据每件商品的利润乘以销售数量等于总利润及销售40件商品的总利润等于销售a件A商品的利润加上销售(40-a)件B商品的利润建立出y关于a的一次函数解析式，进而根据一次函数的增减性，结合的取值范围分类讨论，得到总利润最大的进货方案．
（1）解：设种商品每件的进价是元，则种商品每件的进价是元．
由题意得：
解得：
经检验，是原方程的解，且符合题意．
答：种商品每件的进价是50元，种商品每件的进价是30元．
（2）解：设购进种商品件，则购进种商品件．
由题意得：，
解得，
∵为正整数
∴，
∴共5种不同的进货方案；
（3）解：设销售40件商品总利润为元．由题意得：
的实际售价为，每件的利润为；
的售价为，每件的利润为．
则
整理得：
①当时，，与的取值无关，即（2）中的五种方案都获利600元；
②当时，，随的增大而增大，
∴当时，获利最大，即在（2）的条件下，购进种商品18件，购进种商品22件，获利最大；
③当时，，随的增大而减小，
∴当时，获利最大，
∴在（2）的条件下，购进种商品14件，购进种商品26件，获利最大．
综上可知，①当时，（2）中的五种方案都获利600元；②当时，购进种商品18件，购进种商品22件，获利最大；③当时，购进种商品14件，购进种商品26件，获利最大．
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