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浙江丽水市龙泉市2025-2026学年第二学期 八年级期中考试数学试卷
1．下列图形中，不是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．在下列方程中，属于一元二次方程的是（　　）
A． B．2x-3=x+1
C． D．
3．下列各式中，是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
4．用反证法证明“若直线a与直线b不平行，则”，应先假设（　　）
A． B． C． D．
5．下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
6．如图，在中，的平分线交于点．若，，则的周长是（　　）
A．17 B．16 C．15 D．14
7．用配方法解配方后得到的方程为（　　）
A． B． C． D．
8．某药品经过两次降价，每瓶零售价由100元降为64元，已知两次降价的百分率都为x，那么x满足的方程是（　　）
A． B．
C． D．
9．如图，在中，点M是边上的中点，平分，于点N，若，，则的长为（　　）
A．4 B．6 C．7 D．8
10．对于关于的一元二次方程，有同学提出下列说法
①若，则；
②若是方程的一个根，则一定有成立；
③若是一元二次方程的根，则；
④若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根．
其中正确的（　　）．
A．①②④ B．①③④ C．①②③ D．②③④
11．如果有意义，那么的取值范围是　 　．
12． 一个多边形的内角和为，则这个多边形的边数是　 　．
13．关于的方程的一个根为，则的值为　 　．
14．如图，在中，，，，则的长为　 　．
15．等腰的一边长为，另外两边的长恰好是方程的两个根，则的值为　 　．
16．如图，在中，点，分别在边，上，折叠使得点落在边上的点处，若，，，则线段长度的最大值为　 　．
17．计算：
（1）
（2）
18．解方程：
（1）
（2）
19．如图，在直角坐标系中，点的坐标为，．
（1）画出绕点顺时针旋转后所得的图形．
（2）求的周长．
20．如图，在中，对角线与交于点，点分别是，的中点．
（1）求证：四边形是平行四边形．
（2）若的面积是，求四边形的面积．
21．【阅读理解】同学们，让我们学习用完全平方公式近似计算算术平方根的方法．
例如求的近似值．
因为，所以，
则可以设成以下两种形式：
①：设，其中，
②：设，其中，
小龙以①的形式求的近似值的过程如图．
【尝试探究】
（1）请用②形式求的近似值（结果保留2位小数）
【比较分析】
（2）你认为哪一种形式得出的的近似值精确度更高？请说明理由．
22．已知：关于x的方程
（1）若k=1，求该方程的解.
（2）若x=-1是该方程的一个根，求k的值.
（3）小慧同学提出：无论k取何值，这个方程都有实数解.请判断小慧同学的观点是否正确，并说明理由.
23．总公司将一批衬衫由甲、乙两家分店共同销售，因地段不同，它们的销售情况如下，根据以下销售情况，完成销售任务.
店面 甲店 乙店
日销售情况 每天可售出20件，每件盈利40元. 每天可售出30件，每件盈利30元.
市场调查 每件衬衫每降价1元，甲店一天可多售出2件. 每件衬衫每降价1元，乙店一天可多售出3件.
情况设置 总公司规定两家分店下降的价格必须相同，设每件衬衫降价x元.
任务解决：
（1）分别表示降价后甲、乙两店每天的销售量（用含x的代数式表示）.
（2）当两家分店一天的利润额相等时，每件衬衫下降多少元
（3）每件衬衫降价多少元时，两店每天的总利润之和最大 最大利润是多少元
24．如图，在中，，，，点E，F分别为边，上的动点（不与顶点重合），且，连接，将四边形沿着折叠得到四边形，连接交于点O，连接．
（1）求证：．
（2）若点落在平行四边形的边上，求的长．
（3）若，求的长．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】中心对称图形
【解析】【解答】解：A、该图形绕中心旋转180°能与原图形重合，是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B、该图形绕中心旋转180°能与原图形重合，是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C、该图形绕中心旋转180°不能与原图形重合，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
D、该图形绕中心旋转180°能与原图形重合，是中心对称图形，故此选项不符合题意．
故答案为：C.
【分析】把一个平面图形，在平面内绕着某一点旋转180°后，能与自身重合的图形就是中心对称图形，根据定义即可逐一判断得出答案.
2．【答案】D
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：∵ 选项A， 中，未知数最高次数为3，不符合一元二次方程定义，不是一元二次方程；
∵ 选项B ， 中，未知数最高次数为1，是一元一次方程，不是一元二次方程；
∵ 选项C， 中，含有两个未知数，不符合一元二次方程定义，不是一元二次方程；
∵ 选项D， ，只含有1个未知数，未知数最高次数为2，且是整式方程，符合一元二次方程的定义．
故答案为：D.
【分析】根据一元二次方程的定义“只含有1个未知数，未知数最高次数为2的整式方程是一元二次方程”逐项判断解答即可.
3．【答案】B
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：∵ 选项A中，被开方数含能开得尽方的因数，∴A不是最简二次根式；
∵ 选项B中，被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数，满足最简二次根式的条件，∴B是最简二次根式；
∵ 选项C中被开方数含分母，∴C不是最简二次根式；
∵ 选项D中，被开方数含分母，∴D不是最简二次根式．
故答案为：B.
【分析】根据最简二次根式的定义“被开方数中不含能开方的因数或因式，且不含分母的二次根式是最简二次根式”判断即可.
4．【答案】C
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：若，则，符合题意；
若假设、、，则可证明直线a与直线b不平行，不符合题意．
故答案为：C.
【分析】反证法的步骤是：1、假设命题反面成立；2、从假设出发，经过推理得出和反面命题矛盾，或者与定义、公理、定理矛盾；3、得出假设命题不成立是错误的，即所求证命题成立要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须全部否定，据此解答即可.
5．【答案】D
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：A选项：∵与不是同类二次根式，无法合并，∴A计算错误.
B选项：∵与不是同类二次根式，无法合并，∴B计算错误.
C选项：∵算术平方根的结果为非负数，表示的算术平方根，∴，C计算错误.
D选项：∵，∴D计算正确.
故答案为：D.
【分析】根据二次根式的加法，二次根式的性质化简逐项判断解答即可.
6．【答案】B
【知识点】等腰三角形的判定与性质；平行四边形的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
的周长．
故答案为：B.
【分析】由平行四边形的对边平行且相等得AB∥CD，AB=CD，AD=BC=3，由二直线平行，内错角相等得∠DEA=∠BAE，结合角平分线的定义得出∠DAE=DEA，由等角对等边得AD=DE=3，然后由线段和差算出CD=5，最后根据平行四边形的周长等于两邻边之和的2倍列式计算即可.
7．【答案】A
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵
∴ 移项得
配方，方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得
整理得
因此配方后得到的方程为，
故答案为：A．
【分析】移项，同时加上一次项系数一半的平方，将左边写成为完全平方式解答即可．
8．【答案】B
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：根据题意可得方程为；
故答案选：B．
【分析】设 两次降价的百分率都为x， 根据“ 每瓶零售价由100元降为64元 ”裂缝那个好吃呢个解答即可.
9．【答案】D
【知识点】三角形全等的判定-ASA；三角形的中位线定理；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：延长BN交AC于D
平分，
又
，
点M是边上的中点
为 的中位线
故答案为：D．
【分析】延长BN交AC于点D，由角平分线定义得∠BAN=∠DAN，由垂直定义得∠ANB=∠AND，从而利用“ASA”证△ABN≌△ADN，由全等三角形的对应边相等得BN=DN，AB=AD，由三角形的中位线等于第三边的一半得CD=2MN=4，然后由线段和差求出AD=8，从而即可得出AB的长.
10．【答案】B
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：①若，则方程有一个根为，
∴，故①正确；
②∵是方程的一个根，
∴，
∴，
当时，不一定等于，故②错误；
③∵是一元二次方程的根，
∴。
∵，
方程两边同乘，得
，配方得，
即，故③正确
④∵有两个不相等的实数根，
∴，
∴，
对于方程，
，
∵，，
∴，
∴方程有两个不相等的实数根，故④正确；
综上，正确的结论为①③④．
故答案为：B.
【分析】通过观察发现当x=-1时，ax2+bx+c=0可变形为a-b+c=0，即方程有一个根为-1，根据对于一元二次方程“ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）”中，当b2-4ac＞0时方程有两个不相等的实数根，当b2-4ac=0时方程有两个相等的实数根，当b2-4ac＜0时方程没有实数根，可判断①；根据方程根的定义将x=c代入ax2+bx+c=0可得ac2+bc+c=0，当c≠0时，ac+b+1=0，当c=0时，ac+b+1不一定等于0，据此可判断②；根据方程根的定义将x=x0代入ax2+bx+c=0可得ax02+bx0+c=0，方程两边同时乘以4a后再利用配方法可将方程变形为，从而可判断③；根据根的判别式，由ax2+c=0有两个不相等的实数根，可得△=-4ac＞0，然后得出方程ax2+bx+c=0的根的判别式△=b2-4ac＞0，从而可判断④.
11．【答案】
【知识点】二次根式有无意义的条件；解一元一次不等式
【解析】【解答】解：∵有意义，
∴，
解得，
故答案为：．
【分析】 依据二次根式有意义的要求列式，进而求出x的取值范围．
12．【答案】5
【知识点】多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：设这个多边形的边数为，则有：，
∴．
故答案为：5.
【分析】根据多边形的内角和公式计算即可.
13．【答案】1
【知识点】已知一元二次方程的根求参数
【解析】【解答】解：是方程的一个根.
将代入原方程得
整理得
移项得
系数化为得．
故答案为：1.
【分析】根据方程根的定义“使方程左右两边相等的未知数的值就是方程的解”，将x=2代入方程x2+bx=6得到关于b的一元一次方程，解这个一元一次方程即可求出b的值.
14．【答案】4
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，，，
∴，，
∵，
∴在中，．
故答案为：4．
【分析】
根据平行四边形的性质：平行四边形的对角线互相平分。结合该性质得到，，再根据已知条件计算出与的长度，最后借助勾股定理就可以计算得到的长度.
15．【答案】10或18
【知识点】直接开平方法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用；等腰三角形的概念；已知一元二次方程的根求参数
【解析】【解答】解：设方程的两根为和，
∵是等腰三角形，
∴或或，
①当或时，
∵为方程的根，
∴，解得，
∴原方程为，
解得或，
此时的三边长为，，，符合题意；
②当时，
∴，
解得，
∴原方程为，
解得，
此时的三边长为，，，符合题意；
综上所述，的值为或．
故答案为：10或18.
【分析】设方程的两个根为x1与x2，分类讨论：当5为等腰三角形的腰时，等腰三角形的底边与另一条腰是一元二次方程的实数根，故x1=5或x2=5，将x=5代入原方程求出m=10，然后将m=18代入原方程求出方程的两个实数根，根据三角形三边关系及等腰三角形定义检验；当5为等腰三角形的底边时，等腰三角形的两腰是一元二次方程的两个实数根，故方程有两个相等的实数根，即x1=x2，根的判别式△=b2-4ac=0，由此建立方程求出m为18，然后将m=18代入原方程求出方程的两个实数根，根据三角形三边关系检验，综上可得答案.
16．【答案】
【知识点】垂线段最短及其应用；勾股定理；平行四边形的性质；翻折变换（折叠问题）；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：如图，分别过点、作的垂线，垂足为、，
∵四边形是平行四边形，
∴AD∥BC，，
∴∠A=180°-∠ABC=45°，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
在中，，
∴，解得，
∵，DH⊥DH，AB∥CD，
∴，
由折叠的性质可得，，
∴，
∴当最小时，最大，
∵垂线段最短，
∴，即的最小值为，
∴的最大值为．
故答案为：3.
【分析】分别过点D、G作AB的垂线，垂足为H、I，由平行四边形的对边平行得AD∥BC，AB∥CD，由二直线平行，同旁内角互补得出∠A=45°，易得△ADH是等腰直角三角形，且AH=DH，在Rt△ADH中，利用勾股定理建立方程求出DH=4；由平行线间的距离处处相等得DH=GI=4，由折叠性质得AE=GE，则BE=AB-AE=7-GE，当GE最小时，BE就最大，由垂线段最短得出GE≥GI，即GE的最小值为4，从而可得BE的最大值为3.
17．【答案】（1）解：
（2）解：
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可；
（2）先根据完全平方公式展开、化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可.
18．【答案】（1）解：
x（x-4）=0
x=0或x-4=0
（2）解：
x+3=±4
【知识点】配方法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）提取公因式x分解因式，利用因式分解法解一元二次方程即可；
（2）添加一次项系数一半的平方，然后移项，把左边写成平方的形式，运用开平方法解方程即可.
19．【答案】（1）解：如图， 即为所求，
（2）解：，，，
的周长．
【知识点】作图﹣旋转；运用勾股定理解决网格问题
【解析】【分析】（1）根据方格纸的特点及旋转的性质，分别作出点A、B绕点O顺时针旋转180°后的对应点A1、B1，然后顺次连接A1、B1及O即可；
（2）根据方格纸的特点，分别利用勾股定理算出OA1、OB1及A1B1的长，然后根据三角形周长计算方法计算即可.
（1）解：如图， 即为所求，
（2）解：，，，
的周长．
20．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，
点分别是，的中点，
∴OE∥BC，OF∥AB，
四边形是平行四边形；
（2）解：是的中点，，
，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO=OC，OB=OD，
∴S△AOB=S△BOC=S△COD=S△AOD=4，
．
【知识点】三角形的面积；平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的对角线互相平分得OA=OC，由三角形中位线的判定和性质得到OE∥BC，OF∥AB，然后根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可得结论；
（2）由同高三角形面积关系就是对应底的关系可得S△ABO=2S△AOE=4，由平行四边形的对角线互相平分得出AO=OC，OB=OD，由等底同高三角形面积相等得出S△AOB=S△BOC=S△COD=S△AOD=4，从而即可得出S平行四边形ABCD=4S△AOB=16.
（1）证明：，
，，，
点分别是，的中点，
，，，
，
四边形是平行四边形；
（2）解：是的中点，，
，
．
21．【答案】解：（1），
，即，
比较小，
忽略不计，
，即，
解得，
；
（2）用①的形式得出的的近似值的精确度更高，理由如下；
，，，
用①的形式得出的的近似值的精确度更高．
【知识点】无理数的估值；完全平方公式及运用
【解析】【分析】（1）将两边同时平方得(7-t)2=41，将方程左边利用完全平方公式展开，由于t2比较小，忽略不计可得关于t的一元一次方程，求解即可得出t的近似值，进而代入 可求出的近似值；
（2）用①的形式得出的的近似值的精确度更高，理由如下；根据有理数乘方运算法则分别求出用方法①与②得到的近似值的平方值，然后根据被开方数越大其算术平方根就越大比较即可.
22．【答案】（1）解：把k=1代入方程得：
x（x-1）=0
x=0或x-1=0，
解得：
（2）解：把x=-1代入方程得
化简得：8k-6=0，
解得：
（3）解：由题意可分为：当k=0时，则方程变为3x-3=0，此时方程有解；
当k≠0时，
∴方程恒有实数解；
综上所述：无论k取何值，这个方程都有实数解；
即小慧同学的观点正确.
【知识点】因式分解法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用；已知一元二次方程的根求参数
【解析】【分析】（1）把代入方程，然后利用因式分解法解一元二次方程即可；
（2）把代入方程得求出k的值即可；
（3）分为当时，方程为一次方程，方程有解；当时，得到得到方程根的情况解答即可．
23．【答案】（1）解：甲店每天的销售量为：（20+2x）件，
乙店每天的销售量为：（30+3x）件
（2）解：根据题意得（20+2x）（40-x）=（30+3x）（30-x），
解得x=10，
答：每件衬衫下降10元
（3）解：设两店每天的总利润为w元，
根据题意得，
∵-5<0，
∴当x=12时，w有最大值，最大值为2420，
答：每件衬衫降价12元时，两店每天的总利润之和最大，最大利润是2420元.
【知识点】完全平方公式及运用；函数解析式；一元二次方程的实际应用-销售问题；用代数式表示实际问题中的数量关系
【解析】【分析】（1）根据题意列代数式解答；
（2）根据“总利润=单利润×销售量”列方程，求出x的值解答即可；
（3）设两店每天的总利润为元，根据总利润=甲、乙两店的利润和得到w关于x的函数关系式，然后根据完全平方式的非负性解答即可．
24．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，，
，
，即，
，
，，
，
（2）解： 当在边上时，如图1，作交的延长线于点，
∵，，，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
由折叠可知，，则，
同（1）得△DEO≌△BFO，
∴，，
．
∴；
（3）解：过D作于H，
同（2）可得，，
连接交于G，
由折叠可知，，
又，
是的中位线，
，
是的中垂线，
．
【知识点】含30°角的直角三角形；平行四边形的性质；翻折变换（折叠问题）；三角形全等的判定-ASA；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的对边平行且相等得到，，由线段构成及等量减去等量差相等推出，由二直线平行，内错角相等得，，从而用“SAS”证△DEO≌△BFO，由全等三角形的对应边相等得OB=OD；
（2）作交的延长线于点，由平行四边形的性质得，由二直线平行，同位角相等得∠DCG=∠ABC=60°，由含30度角的直角三角形性质，求出CG、DG的长，进而根据线段和差求出BG的长，再由勾股定理求出BD的长；由折叠得EF⊥BC，CC'=2CF，由平行线间的距离处处相等得EF=DG，同（1）得△DEO≌△BFO，由全等三角形的对应边相等得出OF=OE=3，，再利用勾股定理求出BF的长，根据，进行求解即可；
（3）过D作于H，同（2）可得，连接DD'交EF于G，根据折叠的性质得到DG=D'G，DD'⊥EF，根据中位线定理得到，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等得出DE=OD，从而得出答案.
（1）证明：在中，，，
，
，即，
，
，，
，
；
（2）解： 当在边上时，如图1，作交的延长线于点，
∵，，，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
由折叠可知，，则，
∴，
∵，
．
∴；
（3）解：过D作于H，
同（2）可得，，
连接交于G，
由折叠可知，，
又，
是的中位线，
，
是的中垂线，
．
1 / 1浙江丽水市龙泉市2025-2026学年第二学期 八年级期中考试数学试卷
1．下列图形中，不是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】中心对称图形
【解析】【解答】解：A、该图形绕中心旋转180°能与原图形重合，是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B、该图形绕中心旋转180°能与原图形重合，是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C、该图形绕中心旋转180°不能与原图形重合，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
D、该图形绕中心旋转180°能与原图形重合，是中心对称图形，故此选项不符合题意．
故答案为：C.
【分析】把一个平面图形，在平面内绕着某一点旋转180°后，能与自身重合的图形就是中心对称图形，根据定义即可逐一判断得出答案.
2．在下列方程中，属于一元二次方程的是（　　）
A． B．2x-3=x+1
C． D．
【答案】D
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：∵ 选项A， 中，未知数最高次数为3，不符合一元二次方程定义，不是一元二次方程；
∵ 选项B ， 中，未知数最高次数为1，是一元一次方程，不是一元二次方程；
∵ 选项C， 中，含有两个未知数，不符合一元二次方程定义，不是一元二次方程；
∵ 选项D， ，只含有1个未知数，未知数最高次数为2，且是整式方程，符合一元二次方程的定义．
故答案为：D.
【分析】根据一元二次方程的定义“只含有1个未知数，未知数最高次数为2的整式方程是一元二次方程”逐项判断解答即可.
3．下列各式中，是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：∵ 选项A中，被开方数含能开得尽方的因数，∴A不是最简二次根式；
∵ 选项B中，被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数，满足最简二次根式的条件，∴B是最简二次根式；
∵ 选项C中被开方数含分母，∴C不是最简二次根式；
∵ 选项D中，被开方数含分母，∴D不是最简二次根式．
故答案为：B.
【分析】根据最简二次根式的定义“被开方数中不含能开方的因数或因式，且不含分母的二次根式是最简二次根式”判断即可.
4．用反证法证明“若直线a与直线b不平行，则”，应先假设（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：若，则，符合题意；
若假设、、，则可证明直线a与直线b不平行，不符合题意．
故答案为：C.
【分析】反证法的步骤是：1、假设命题反面成立；2、从假设出发，经过推理得出和反面命题矛盾，或者与定义、公理、定理矛盾；3、得出假设命题不成立是错误的，即所求证命题成立要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须全部否定，据此解答即可.
5．下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：A选项：∵与不是同类二次根式，无法合并，∴A计算错误.
B选项：∵与不是同类二次根式，无法合并，∴B计算错误.
C选项：∵算术平方根的结果为非负数，表示的算术平方根，∴，C计算错误.
D选项：∵，∴D计算正确.
故答案为：D.
【分析】根据二次根式的加法，二次根式的性质化简逐项判断解答即可.
6．如图，在中，的平分线交于点．若，，则的周长是（　　）
A．17 B．16 C．15 D．14
【答案】B
【知识点】等腰三角形的判定与性质；平行四边形的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
的周长．
故答案为：B.
【分析】由平行四边形的对边平行且相等得AB∥CD，AB=CD，AD=BC=3，由二直线平行，内错角相等得∠DEA=∠BAE，结合角平分线的定义得出∠DAE=DEA，由等角对等边得AD=DE=3，然后由线段和差算出CD=5，最后根据平行四边形的周长等于两邻边之和的2倍列式计算即可.
7．用配方法解配方后得到的方程为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵
∴ 移项得
配方，方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得
整理得
因此配方后得到的方程为，
故答案为：A．
【分析】移项，同时加上一次项系数一半的平方，将左边写成为完全平方式解答即可．
8．某药品经过两次降价，每瓶零售价由100元降为64元，已知两次降价的百分率都为x，那么x满足的方程是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：根据题意可得方程为；
故答案选：B．
【分析】设 两次降价的百分率都为x， 根据“ 每瓶零售价由100元降为64元 ”裂缝那个好吃呢个解答即可.
9．如图，在中，点M是边上的中点，平分，于点N，若，，则的长为（　　）
A．4 B．6 C．7 D．8
【答案】D
【知识点】三角形全等的判定-ASA；三角形的中位线定理；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：延长BN交AC于D
平分，
又
，
点M是边上的中点
为 的中位线
故答案为：D．
【分析】延长BN交AC于点D，由角平分线定义得∠BAN=∠DAN，由垂直定义得∠ANB=∠AND，从而利用“ASA”证△ABN≌△ADN，由全等三角形的对应边相等得BN=DN，AB=AD，由三角形的中位线等于第三边的一半得CD=2MN=4，然后由线段和差求出AD=8，从而即可得出AB的长.
10．对于关于的一元二次方程，有同学提出下列说法
①若，则；
②若是方程的一个根，则一定有成立；
③若是一元二次方程的根，则；
④若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根．
其中正确的（　　）．
A．①②④ B．①③④ C．①②③ D．②③④
【答案】B
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：①若，则方程有一个根为，
∴，故①正确；
②∵是方程的一个根，
∴，
∴，
当时，不一定等于，故②错误；
③∵是一元二次方程的根，
∴。
∵，
方程两边同乘，得
，配方得，
即，故③正确
④∵有两个不相等的实数根，
∴，
∴，
对于方程，
，
∵，，
∴，
∴方程有两个不相等的实数根，故④正确；
综上，正确的结论为①③④．
故答案为：B.
【分析】通过观察发现当x=-1时，ax2+bx+c=0可变形为a-b+c=0，即方程有一个根为-1，根据对于一元二次方程“ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）”中，当b2-4ac＞0时方程有两个不相等的实数根，当b2-4ac=0时方程有两个相等的实数根，当b2-4ac＜0时方程没有实数根，可判断①；根据方程根的定义将x=c代入ax2+bx+c=0可得ac2+bc+c=0，当c≠0时，ac+b+1=0，当c=0时，ac+b+1不一定等于0，据此可判断②；根据方程根的定义将x=x0代入ax2+bx+c=0可得ax02+bx0+c=0，方程两边同时乘以4a后再利用配方法可将方程变形为，从而可判断③；根据根的判别式，由ax2+c=0有两个不相等的实数根，可得△=-4ac＞0，然后得出方程ax2+bx+c=0的根的判别式△=b2-4ac＞0，从而可判断④.
11．如果有意义，那么的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】二次根式有无意义的条件；解一元一次不等式
【解析】【解答】解：∵有意义，
∴，
解得，
故答案为：．
【分析】 依据二次根式有意义的要求列式，进而求出x的取值范围．
12． 一个多边形的内角和为，则这个多边形的边数是　 　．
【答案】5
【知识点】多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：设这个多边形的边数为，则有：，
∴．
故答案为：5.
【分析】根据多边形的内角和公式计算即可.
13．关于的方程的一个根为，则的值为　 　．
【答案】1
【知识点】已知一元二次方程的根求参数
【解析】【解答】解：是方程的一个根.
将代入原方程得
整理得
移项得
系数化为得．
故答案为：1.
【分析】根据方程根的定义“使方程左右两边相等的未知数的值就是方程的解”，将x=2代入方程x2+bx=6得到关于b的一元一次方程，解这个一元一次方程即可求出b的值.
14．如图，在中，，，，则的长为　 　．
【答案】4
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，，，
∴，，
∵，
∴在中，．
故答案为：4．
【分析】
根据平行四边形的性质：平行四边形的对角线互相平分。结合该性质得到，，再根据已知条件计算出与的长度，最后借助勾股定理就可以计算得到的长度.
15．等腰的一边长为，另外两边的长恰好是方程的两个根，则的值为　 　．
【答案】10或18
【知识点】直接开平方法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用；等腰三角形的概念；已知一元二次方程的根求参数
【解析】【解答】解：设方程的两根为和，
∵是等腰三角形，
∴或或，
①当或时，
∵为方程的根，
∴，解得，
∴原方程为，
解得或，
此时的三边长为，，，符合题意；
②当时，
∴，
解得，
∴原方程为，
解得，
此时的三边长为，，，符合题意；
综上所述，的值为或．
故答案为：10或18.
【分析】设方程的两个根为x1与x2，分类讨论：当5为等腰三角形的腰时，等腰三角形的底边与另一条腰是一元二次方程的实数根，故x1=5或x2=5，将x=5代入原方程求出m=10，然后将m=18代入原方程求出方程的两个实数根，根据三角形三边关系及等腰三角形定义检验；当5为等腰三角形的底边时，等腰三角形的两腰是一元二次方程的两个实数根，故方程有两个相等的实数根，即x1=x2，根的判别式△=b2-4ac=0，由此建立方程求出m为18，然后将m=18代入原方程求出方程的两个实数根，根据三角形三边关系检验，综上可得答案.
16．如图，在中，点，分别在边，上，折叠使得点落在边上的点处，若，，，则线段长度的最大值为　 　．
【答案】
【知识点】垂线段最短及其应用；勾股定理；平行四边形的性质；翻折变换（折叠问题）；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：如图，分别过点、作的垂线，垂足为、，
∵四边形是平行四边形，
∴AD∥BC，，
∴∠A=180°-∠ABC=45°，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
在中，，
∴，解得，
∵，DH⊥DH，AB∥CD，
∴，
由折叠的性质可得，，
∴，
∴当最小时，最大，
∵垂线段最短，
∴，即的最小值为，
∴的最大值为．
故答案为：3.
【分析】分别过点D、G作AB的垂线，垂足为H、I，由平行四边形的对边平行得AD∥BC，AB∥CD，由二直线平行，同旁内角互补得出∠A=45°，易得△ADH是等腰直角三角形，且AH=DH，在Rt△ADH中，利用勾股定理建立方程求出DH=4；由平行线间的距离处处相等得DH=GI=4，由折叠性质得AE=GE，则BE=AB-AE=7-GE，当GE最小时，BE就最大，由垂线段最短得出GE≥GI，即GE的最小值为4，从而可得BE的最大值为3.
17．计算：
（1）
（2）
【答案】（1）解：
（2）解：
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可；
（2）先根据完全平方公式展开、化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可.
18．解方程：
（1）
（2）
【答案】（1）解：
x（x-4）=0
x=0或x-4=0
（2）解：
x+3=±4
【知识点】配方法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）提取公因式x分解因式，利用因式分解法解一元二次方程即可；
（2）添加一次项系数一半的平方，然后移项，把左边写成平方的形式，运用开平方法解方程即可.
19．如图，在直角坐标系中，点的坐标为，．
（1）画出绕点顺时针旋转后所得的图形．
（2）求的周长．
【答案】（1）解：如图， 即为所求，
（2）解：，，，
的周长．
【知识点】作图﹣旋转；运用勾股定理解决网格问题
【解析】【分析】（1）根据方格纸的特点及旋转的性质，分别作出点A、B绕点O顺时针旋转180°后的对应点A1、B1，然后顺次连接A1、B1及O即可；
（2）根据方格纸的特点，分别利用勾股定理算出OA1、OB1及A1B1的长，然后根据三角形周长计算方法计算即可.
（1）解：如图， 即为所求，
（2）解：，，，
的周长．
20．如图，在中，对角线与交于点，点分别是，的中点．
（1）求证：四边形是平行四边形．
（2）若的面积是，求四边形的面积．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，
点分别是，的中点，
∴OE∥BC，OF∥AB，
四边形是平行四边形；
（2）解：是的中点，，
，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO=OC，OB=OD，
∴S△AOB=S△BOC=S△COD=S△AOD=4，
．
【知识点】三角形的面积；平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的对角线互相平分得OA=OC，由三角形中位线的判定和性质得到OE∥BC，OF∥AB，然后根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可得结论；
（2）由同高三角形面积关系就是对应底的关系可得S△ABO=2S△AOE=4，由平行四边形的对角线互相平分得出AO=OC，OB=OD，由等底同高三角形面积相等得出S△AOB=S△BOC=S△COD=S△AOD=4，从而即可得出S平行四边形ABCD=4S△AOB=16.
（1）证明：，
，，，
点分别是，的中点，
，，，
，
四边形是平行四边形；
（2）解：是的中点，，
，
．
21．【阅读理解】同学们，让我们学习用完全平方公式近似计算算术平方根的方法．
例如求的近似值．
因为，所以，
则可以设成以下两种形式：
①：设，其中，
②：设，其中，
小龙以①的形式求的近似值的过程如图．
【尝试探究】
（1）请用②形式求的近似值（结果保留2位小数）
【比较分析】
（2）你认为哪一种形式得出的的近似值精确度更高？请说明理由．
【答案】解：（1），
，即，
比较小，
忽略不计，
，即，
解得，
；
（2）用①的形式得出的的近似值的精确度更高，理由如下；
，，，
用①的形式得出的的近似值的精确度更高．
【知识点】无理数的估值；完全平方公式及运用
【解析】【分析】（1）将两边同时平方得(7-t)2=41，将方程左边利用完全平方公式展开，由于t2比较小，忽略不计可得关于t的一元一次方程，求解即可得出t的近似值，进而代入 可求出的近似值；
（2）用①的形式得出的的近似值的精确度更高，理由如下；根据有理数乘方运算法则分别求出用方法①与②得到的近似值的平方值，然后根据被开方数越大其算术平方根就越大比较即可.
22．已知：关于x的方程
（1）若k=1，求该方程的解.
（2）若x=-1是该方程的一个根，求k的值.
（3）小慧同学提出：无论k取何值，这个方程都有实数解.请判断小慧同学的观点是否正确，并说明理由.
【答案】（1）解：把k=1代入方程得：
x（x-1）=0
x=0或x-1=0，
解得：
（2）解：把x=-1代入方程得
化简得：8k-6=0，
解得：
（3）解：由题意可分为：当k=0时，则方程变为3x-3=0，此时方程有解；
当k≠0时，
∴方程恒有实数解；
综上所述：无论k取何值，这个方程都有实数解；
即小慧同学的观点正确.
【知识点】因式分解法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用；已知一元二次方程的根求参数
【解析】【分析】（1）把代入方程，然后利用因式分解法解一元二次方程即可；
（2）把代入方程得求出k的值即可；
（3）分为当时，方程为一次方程，方程有解；当时，得到得到方程根的情况解答即可．
23．总公司将一批衬衫由甲、乙两家分店共同销售，因地段不同，它们的销售情况如下，根据以下销售情况，完成销售任务.
店面 甲店 乙店
日销售情况 每天可售出20件，每件盈利40元. 每天可售出30件，每件盈利30元.
市场调查 每件衬衫每降价1元，甲店一天可多售出2件. 每件衬衫每降价1元，乙店一天可多售出3件.
情况设置 总公司规定两家分店下降的价格必须相同，设每件衬衫降价x元.
任务解决：
（1）分别表示降价后甲、乙两店每天的销售量（用含x的代数式表示）.
（2）当两家分店一天的利润额相等时，每件衬衫下降多少元
（3）每件衬衫降价多少元时，两店每天的总利润之和最大 最大利润是多少元
【答案】（1）解：甲店每天的销售量为：（20+2x）件，
乙店每天的销售量为：（30+3x）件
（2）解：根据题意得（20+2x）（40-x）=（30+3x）（30-x），
解得x=10，
答：每件衬衫下降10元
（3）解：设两店每天的总利润为w元，
根据题意得，
∵-5<0，
∴当x=12时，w有最大值，最大值为2420，
答：每件衬衫降价12元时，两店每天的总利润之和最大，最大利润是2420元.
【知识点】完全平方公式及运用；函数解析式；一元二次方程的实际应用-销售问题；用代数式表示实际问题中的数量关系
【解析】【分析】（1）根据题意列代数式解答；
（2）根据“总利润=单利润×销售量”列方程，求出x的值解答即可；
（3）设两店每天的总利润为元，根据总利润=甲、乙两店的利润和得到w关于x的函数关系式，然后根据完全平方式的非负性解答即可．
24．如图，在中，，，，点E，F分别为边，上的动点（不与顶点重合），且，连接，将四边形沿着折叠得到四边形，连接交于点O，连接．
（1）求证：．
（2）若点落在平行四边形的边上，求的长．
（3）若，求的长．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，，
，
，即，
，
，，
，
（2）解： 当在边上时，如图1，作交的延长线于点，
∵，，，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
由折叠可知，，则，
同（1）得△DEO≌△BFO，
∴，，
．
∴；
（3）解：过D作于H，
同（2）可得，，
连接交于G，
由折叠可知，，
又，
是的中位线，
，
是的中垂线，
．
【知识点】含30°角的直角三角形；平行四边形的性质；翻折变换（折叠问题）；三角形全等的判定-ASA；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的对边平行且相等得到，，由线段构成及等量减去等量差相等推出，由二直线平行，内错角相等得，，从而用“SAS”证△DEO≌△BFO，由全等三角形的对应边相等得OB=OD；
（2）作交的延长线于点，由平行四边形的性质得，由二直线平行，同位角相等得∠DCG=∠ABC=60°，由含30度角的直角三角形性质，求出CG、DG的长，进而根据线段和差求出BG的长，再由勾股定理求出BD的长；由折叠得EF⊥BC，CC'=2CF，由平行线间的距离处处相等得EF=DG，同（1）得△DEO≌△BFO，由全等三角形的对应边相等得出OF=OE=3，，再利用勾股定理求出BF的长，根据，进行求解即可；
（3）过D作于H，同（2）可得，连接DD'交EF于G，根据折叠的性质得到DG=D'G，DD'⊥EF，根据中位线定理得到，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等得出DE=OD，从而得出答案.
（1）证明：在中，，，
，
，即，
，
，，
，
；
（2）解： 当在边上时，如图1，作交的延长线于点，
∵，，，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
由折叠可知，，则，
∴，
∵，
．
∴；
（3）解：过D作于H，
同（2）可得，，
连接交于G，
由折叠可知，，
又，
是的中位线，
，
是的中垂线，
．
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