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四川资阳市雁江区2025-2026学年八年级下学期数学半学期学情分析试题
1．在代数式中 ， xy2， ， ，2﹣ 分式共有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】B
【知识点】分式的概念
【解析】【解答】代数式中 ， xy2，是整式， ， ，2﹣ 是分式.
故答案为：B.
【分析】根据分式的定义分析即可，即形如 （A，B是整式，B≠0且B中含有字母）的式子叫做分式.
2．点 ， 在第一象限，则点 ， 在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【知识点】点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：∵点 ， 在第一象限，
∴ ＞0，
∴ab＞0，a≠0，
∴ ＜0，
则点B（ ，ab）在第二象限．
故答案为：B．
【分析】由第一象限点的坐标特征可得 ＞0，即得ab＞0，a≠0， ＜0，根据各项内点的坐标符号进行判断即可.
3．世界最大的单口径球面射电望远镜被誉为“中国天眼”，在其新发现的脉冲星中有一颗毫秒脉冲星的自转周期为0.00519秒．数据0.00519用科学记数法可以表示为（　　）
A．5.19×10﹣3 B．5.19×10﹣4 C．5.19×10﹣5 D．5.19×10﹣6
【答案】A
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：0.00519＝5.19×10﹣3．
故答案为：A．
【分析】绝对值小于1的正数用科学记数法表示为：指数n由原数左边起第一个不为0的数字前面的0的个数所决定
4．如果把分式 中的x，y同时扩大为原来的4倍，现么该分式的值（　　）
A．不变 B．扩大为原来的4倍
C．缩小为原来的 D．缩小为原来的
【答案】D
【知识点】分式的基本性质
【解析】【解答】解：x，y同时扩大为原来的4倍，
则有 ＝ ＝ ，
∴该分式的值是原分式值的 ，
故答案为D．
【分析】根据分式的基本性质求解即可。
5．若关于x的方程 无解，则a的值是（　　）
A．1 B．3 C． 或2 D．1或2
【答案】D
【知识点】分式方程的解及检验
【解析】【解答】解： ，
去分母得，ax=2+x-1，
整理得，（a-1）x=1，
当x=1时，分式方程无解，
则a-1=1，
解得，a=2；
当整式方程无解时，a=1，
故答案为：D.
【分析】先将分式方程化为整式方程，由于原方程无解，分两种情况：①分式方程有增根，②整式方程无解，据此分别解答即可.
6．反比例函数的图象经过点，，，则的大小关系是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵反比例函数中，，
∴函数图象分别位于第二、四象限，且在每个象限内，随的增大而增大，
∵点，的横坐标都小于，
∴，两点在第二象限，
又∵，
∴，
∵点的横坐标大于，
∴点在第四象限，
∴；
综上可得．
故答案为：A.
【分析】反比例函数（k≠0）中，当k＞0时，图象两支分布在第一、三象限，在每一个象限内y随x的增大而减小；当k＜0时，图象两支分布在第二、四象限，且在每个象限内，随的增大而增大，据此结合题意，根据A、B、C三点横坐标判断出所在的象限及大小，即可判断对应函数值的大小.
7．在同一直角坐标系中，函数与的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】一次函数的图象；反比例函数的图象；分类讨论
【解析】【解答】解：由题意，
当时，，经过一，二，四象限，经过一、三象限；
当时，，经过一，三，四象限，经过二、四象限；
故答案选：B．
【分析】本题主要考查一次函数与反比例函数图象的共存问题，需根据 k 的正负分类讨论。将一次函数化为 y = -k(x - 1)，恒过定点 (1，0)。当 k > 0 时，一次函数图象过第一、二、四象限，反比例函数图象在第一、三象限；当 k < 0 时，一次函数图象过第一、三、四象限，反比例函数图象在第二、四象限。结合各选项所给图象特征，找出符合上述分类要求的选项。
8．如图，A，B是反比例函数y=在第一象限内的图象上的两点，且A，B两点的横坐标分别是2和4，则△OAB的面积是（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】B
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征；几何图形的面积计算-割补法；反比例函数的一点一垂线型
【解析】【解答】∵A，B是反比例函数y=在第一象限内的图象上的两点，
且A，B两点的横坐标分别是2和4，
∴当x=2时，y=2，即A（2，2），
当x=4时，y=1，即B（4，1），
如图，过A，B两点分别作AC⊥x轴于C，BD⊥x轴于D，
则S△AOC=S△BOD=×4=2，
∵S四边形AODB=S△AOB+S△BOD=S△AOC+S梯形ABDC，
∴S△AOB=S梯形ABDC，
∵S梯形ABDC=（BD+AC） CD=×（1+2）×2=3，
∴S△AOB=3，
故选B．
【分析】
首先利用反比例函数图象上点的坐标性质，结合点A、点B的横坐标，可以计算得出两点坐标为A（2，2），B（4，1），过点A作AC垂直x轴于点C，过点B作BD垂直x轴于点D，结合反比例函数系数k的几何意义，可以得到S△AOC=S△BOD=×4=2。根据面积的和差关系可得：S四边形AODB=S△AOB+S△BOD=S△AOC+S梯形ABDC，整理可得S△AOB=S梯形ABDC。再利用梯形的面积公式计算S梯形ABDC，代入对应线段的长度可得：S梯形ABDC=（BD+AC） CD=×（1+2）×2=3，因此可以得到S△AOB=3.
9．在一条道路上，甲从A地出发到B地，乙从B地出发到A地，乙的速度是80千米/小时，两人同时出发各自到达终点后停止．设行驶过程中甲、乙之间的距离为s千米，甲行驶的时间为t小时，s与t之间的函数关系如图所示，则下列说法错误的是（　　）
A．乙出发1小时与甲在途中相遇
B．甲从A地到达B地需行驶3小时
C．甲在1.5小时后放慢速度行驶
D．乙到达A地时甲离B地还有60千米
【答案】C
【知识点】通过函数图象获取信息；一次函数的实际应用-行程问题；数形结合
【解析】【解答】解：A、由点(1，0)可得，乙出发1小时后和甲在途中相遇，因此A选项说法正确；
B、总路程为120千米，乙的速度为80千米/小时，可得甲的速度为：120÷1-80=40千米/小时，因此甲从A地到B地一共需要行驶120÷40=3小时，因此B选项说法正确；
C、题目中并未给出m的具体数值，因此无法确定甲出发1.5小时后的行驶速度有没有发生变化，所以C选项说法错误；
D、乙从出发到到达A地一共用时120÷80=1.5小时，此时甲一共行驶的路程为40×1.5=60千米，因此此时甲距离B地的距离为120-60=60千米，因此D选项说法正确.故答案为：C.
【分析】根据图象提供的信息，结合两人同时向目的地出发的行程信息，根据路程、速度和时间的关系逐一判断即可.
10．一次函数与的图象如下图，则下列结论（1）；（2）；（3）当时，（4）的解为中，正确的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的关系；一次函数图象、性质与系数的关系；比较一次函数值的大小；数形结合
【解析】【解答】解：（1）∵函数经过一、二、四象限，∴，，故（1）正确；
（2）∵函数经过一、三、四象限，∴，故（2）错误；
（3）由图象可知当x<3时，y2（4）∵两函数图象交点坐标为（3，1），∴的解为，故（4）正确，
综上，正确的有2个.
故答案为：B.
【分析】一次函数y=ax+b（a≠0），当a>0，b>0时，图象过一、二、三象限；当a>0，b<0时，图象过一、三、四象限；当a>0，b=0时，图象过一、三象限；当a<0，b>0时，图象过一、二、四象限；当a<0，b<0时，图象过二、三、四象限，当a＜0，b=0时，图象过二、四象限；据此可判断（1）（2）；由图象可得，当x＜3时，函数y2=x+a的图象在函数y1=kx+b图象的下方，故对应的函数值满足y211．计算的结果是　 　．
【答案】-5
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；无理数的混合运算
【解析】【解答】解： =2+1-8=-5．故答案为：-5．
【分析】由绝对值性质、0指数幂法则“a0=1(a≠0)”及负整数指数幂法则“”分别计算，再计算有理数加减法得出答案.
12．将直线y＝3x先向右平移3个单位，再向下平移2个单位得到的直线解析式是　 　．
【答案】y＝3x 11
【知识点】一次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：∵直线y＝3x先向右平移3个单位，再向下平移2个单位，
∴平移后直线解析式为y＝3（x 3） 2，即y＝3x 11．
故答案为：y＝3x 11．
【分析】根据一次函数图象平移规律“左加右减，上加下减”，可直接求出平移后直线解析式.
13．已知，则　 　，　 　．
【答案】；
【知识点】分式的加减法；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：
∵，
∴，
∴，
解得：．
故答案为：；.
【分析】先通分计算等式右边异分母分式的加法，利用左右两侧分子相等得到关于A、B的方程组，再利用加减消元法解方程组即可得到A、B的值.
14．已知分式方程的解为非负数，求k的取值范围　 　．
【答案】k≤3且k≠1
【知识点】分式方程的解及检验；去分母法解分式方程
【解析】【解答】
去分母，得：x-1＝k+2(x-2)，
x-1＝k+2x-4
解得：x＝3 k，
∵x为非负数，
∴3 k≥0，
即k≤3，
∵x≠2，3 k≠2，k≠1，
∴k的取值范围为k≤3且k≠1．
故答案为：k≤3且k≠1．
【分析】
按照解分式方程的一般步骤进行计算，先得到用k表示的x的结果，再结合方程的解x为非负数这一条件，就可以求出k的取值范围.
15．如图，直线y＝ax+b（a≠0）与x轴交于点B，与y轴交于点A，与双曲线y＝（k≠0）交于点C，若AB＝BC，△AOC的面积为4，则k的值是　 　．
【答案】8
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：作CD⊥x轴于D，如图，则∠CDB=90°，
在△OAB和△DCB中，
∴△OAB≌△DCB（AAS），
∴S△AOB＝S△CDB，
∴S△COD＝S△AOC＝4，
∵S△COD＝|k|，
∴|k|＝4，
而k＞0，
∴k＝8．
故答案为：8．
【分析】作CD⊥x轴于D，先利用“AAS”证明△OAB≌△DCB，由全等三角形的面积相等得到S△AOB＝S△CDB，则S△COD＝S△AOC＝4，然后根据反比例函数k的几何意义得到S△COD=|k|＝4，最后结合反比例函数图象经过第一象限确定出k的值．
16．正方形，，，，按如图所示的方式放置、点，，，和点，，，分别在直线和轴上，已知点，，则的坐标是　 　．
【答案】
【知识点】坐标与图形性质；待定系数法求一次函数解析式；探索规律-点的坐标规律
【解析】【解答】解：∵点，，且四边形A1B1C1O与四边形A2B2C2C1都是正方形，
∴，，
设直线，
∴，解得：，
∴直线解析式为，
∵，
∴点A3的横坐标为3，
将x=3代入y=x+1得y=4，
∴，
∴，
，
∴的横坐标为，纵坐标为，
∴，
故答案为：．
【分析】根据点的坐标与图形性质可得A1(0，1)，A2(1，2)，然后利用待定系数法求得直线A1A2的解析式为y=x+1，然后根据点的坐标与图形性质可得点A3的横坐标为3，然后将x=3代入y=x+1可得y=4，则可得A3(3，4)，然后根据正方形性质求得B3的坐标，然后根据B1，B2，B3的坐标可得规律：的横坐标为，纵坐标为，从而即可得出答案.
17．计算下列各题：
（1）
（2）
（3）
（4）
【答案】（1）解：
（2）解：
（3）解：
去分母得：，
解得：，
检验：当时，，
所以原方程的解为；
（4）解：
去分母得：，
解得：，
检验：当时，，
所以原方程无解
【知识点】分式的混合运算；零指数幂；负整数指数幂；实数的混合运算（含开方）；去分母法解分式方程
【解析】【分析】（1）根据负整数指数幂法则“”、0指数幂法则“a0=1(a≠0)”、二次根式性质“”及绝对值性质分别化简，再计算有理数加减法得出答案；
（2）先把括号内的整式1看成，利用同分母分式加法法则计算括号内的部分，然后将除式的分子利用平方差公式分解因式，分母利用提取公因式法分解因式，并根据除以一个不为零的数等于乘以这个数的倒数将除法转变为乘法，最后计算分式乘法约分化简即可；
（3）方程两边同时乘以x-2（右边的-2不能漏乘）约去分母，将分式方程转化为整式方程，解整式方程求出x的值，再检验即可得到原方程的解；
（4）方程两边同时乘以(x-1)(x+2)（左边的-1不能漏乘）约去分母，将分式方程转化为整式方程，解整式方程求出x的值，再检验即可得到原方程的解.
（1）解：
（2）解：
（3）解：
去分母得：，
解得：，
检验：当时，，
所以原方程的解为；
（4）解：
去分母得：，
解得：，
检验：当时，，
所以原方程无解．
18．先化简，再求值： ，在﹣2，0，1，2四个数中选一个合适的代入求值．
【答案】解：原式=（
=
=2(x+4)
当x=1时，原式=10.
【知识点】分式的乘除法；分式的加减法
【解析】【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x=1代入计算即可求出值．
19．如图，一次函数y＝ax+b的图象与反比例函数y＝的图象交于A，B两点，与x轴交于点C，与y轴交于点D，点A的坐标为（﹣2，1），点B的坐标为（，m）．
（1）求反比例函数与一次函数的表达式；
（2）求△AOB的面积；
（3）根据图象写出当一次函数的值小于反比例函数的值时，x的取值范围．
【答案】解：（1）把A（﹣2，1）代入y＝得
k＝﹣2×1＝﹣2，
∴反比例函数解析式为y＝﹣，
把B（，m）代入y＝﹣得m＝﹣4，
∴B（，﹣4），
把A（﹣2，1）、B（，﹣4）分别代入y＝ax+b得
，解得，
所以一次函数解析式为y＝﹣2x﹣3；
（2）当x＝0时，y＝﹣2x﹣3＝﹣3，则D（0，﹣3），
∴OD=3，
，
∴S△AOB＝S△AOD+S△BOD＝×3×2+×3×＝ ；
（3）由图象可知，一次函数的值小于反比例函数的值时，一次函数的图象在反比例函数图象的下方，此时﹣2＜x＜0或x＞，
∴x的取值范围为﹣2＜x＜0或x＞．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【分析】（1）首先将点A的坐标代入反比例函数解析式，计算得到k=-2，因此反比例函数的解析式为y = -；利用反比例函数解析式计算得到点B的坐标为（，-4），最后通过待定系数法即可求得一次函数的解析式为y=-2x-3；
（2）首先通过一次函数解析式确定点D的坐标，再结合三角形面积公式，利用的面积等于的面积与的面积之和完成计算；
（3）通过观察函数图象，直接写出一次函数图象位于反比例函数图象下方时，对应自变量的取值范围即可.
20．暑假期间，小刚一家乘车去离家380公里的某景区旅游，他们离家的距离与汽车行驶时间之间的函数图象如图所示．
（1）求线段对应的函数解析式；
（2）小刚一家出发2.5小时时离目的地多远？
【答案】（1）解：设AB段图象的函数表达式为y=kx+b(1≤x≤3)．
∵，在AB上，
∴，
解得 ，
∴；
（2）解：当时，
，
．
故小刚一家出发2.5小时时离目的地远．
【知识点】一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【分析】（1）设AB段图象的函数表达式为y=kx+b(1≤x≤3)，将A、B两点的坐标代入，可得关于字母k、b的二元一次方程组，求解可得k、b的值，从而得到一次函数解析式
（2）先将x=2.5代入（1）所求的函数表达式，求出对应的y=260，即得小刚一家离家的距离为260km，进而用景区距离小刚家的距离减去260即可求出小刚一家出发2.5小时时离景区的距离.
（1）解：设段图象的函数表达式为．
∵，在上，
∴，解得 ，
∴；
（2）当时，
，
．
故小刚一家出发2.5小时时离目的地远．
21．某车行经销的A型自行车去年6月份销售总额为1.6万元，今年由于改造升级每辆车售价比去年增加200元，今年6月份与去年同期相比，销售数量相同，销售总额增加25%．
今年A，B两种型号车的进价和售价如下表：
　 A型车 B型车
进价（元/辆） 800 950
售价（元/辆） 今年售价 1200
（1）求今年A型车每辆售价多少元？
（2）该车行计划7月份用不超过4.3万元的资金新进一批A型车和B型车共50辆，应如何进货才能使这批车售完后获利最多？
【答案】解：（1）设今年型车每辆售价为元，则去年型车每辆售价为元，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是原分式方程的解．
答：今年型车每辆售价为1000元．
（2）设购进型车辆，则购进型车辆，
根据题意得：，
解得：．
销售利润为，
，
当时，销售利润最多．
答：当购进型车30辆、购进型车20辆时，才能使这批车售完后获利最多．
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式的应用；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设今年A型车每辆车的售价为元，那么去年A型车每辆的售价就是元。根据销售量和总价、单价的关系：销售量=总价÷单价，且题目给出今年6月份和去年的销售总金额相差2万元，同时两个时间段的销售数量相等，列出关于x的分式方程，对方程求解后再检验，就能得到今年A型车的售价。
（2）设购进A型车的数量为辆，那么购进B型车的数量就是辆。根据总价等于单价乘数量，结合题目要求进货的总费用不超过4.3万元，可以列出关于m的一元一次不等式，解不等式就能得到m的取值范围；之后根据“总销售利润=单辆利润×进货数量”，就可以写出总利润关于m的函数关系式，最后利用一次函数的单调性，就能求出获利最大的进货方案.
22．甲超市在端午节这天进行苹果优惠促销活动，苹果的标价为10元，如果一次购买以上的苹果，超过的部分按标价6折售卖．（单位：）表示购买苹果的重量，（单位：元）表示付款金额．
（1）文文购买苹果需付款___________元，购买苹果需付款____________元；
（2）求付款金额关于购买苹果的重量的函数解析式；
（3）当天，隔壁的乙超市也在进行苹果优惠促销活动，同样的苹果的标价也为10元，且全部按标价的8折售卖．文文如果要购买苹果，请问她在哪个超市购买更划算？
【答案】（1）30，46；
（2）当时，，
当时，设，将，代入解析式
解得，，
∴，
（3）当时，，，
∵，
∴甲超市比乙超市划算．
【知识点】一次函数的其他应用
【解析】【解答】（1）由题意：（元）；
（元）；
故答案为：30元，46元；
【分析】
（1）购买3kg苹果，重量不超过优惠前提，可直接根据题目给出的定价计算总费用；购买5kg苹果时，可以按照优惠方案，分开计算不超过4kg部分的总价和超出4kg部分的总价，将两部分价格相加即可得到5kg苹果的总花费；
（2）按照分段函数的分段区间，分别利用待定系数法，即可求出对应区间的函数解析式；
（3）购买10kg苹果时，分别计算出在A超市和B超市购买所需的总花费，比较两个总花费的大小，就可以得出哪个超市更划算的结论.
23．如图，在平面直角坐标系中，将一块等腰直角三角板斜靠在两坐标轴上放在第二象限，点C的坐标为．过B点的直线与的图象相交于E，过点B作轴，垂足为D，且B点横坐标为．
（1）求证：；
（2）求所在直线的函数关系式；
（3）在直线上是否存在点P，使是以为直角边的直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）证明：，，
，
为等腰直角三角形，
，
在和中，
，
；
（2）解：∵，
∴，
点坐标为，
，
点横坐标为，
点坐标为，
设所在直线的函数关系式为，
，
解得：，
所在直线的解析式为；
（3）解：存在．若以为直角边，点为直角顶点，直线上有一点，使，
点为直线与直线的交点，
由题意得，，
解得：，
；
若以为直角边，点为直角顶点，直线有一点，使，
则过点作，交直线于点，
由（1）和（2）得：
，
，
∴直线的解析式为，
由题意得，，
解得：，
；
点坐标分别为或．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；两一次函数图象相交或平行问题；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系；分类讨论
【解析】【分析】（1）由直角三角形两锐角互余、平角定义及同角余角相等可得∠BCD=∠OAC，由等腰直角三角形性质得BC=AC，然后利用“AAS”可证明△BDC≌△COA；
（2）由全等三角形的对应边相等得BD=CO=1，从而求出点B的坐标为(-3，1)，然后利用待定系数法求出直线BC的函数解析式；
（3）存在，分类讨论：若以AC为直角边，点C为直角顶点，求出直线BC与直线的交点即为点P1的坐标，从而联立直线BC与直线，求解即可得出点P1的坐标；若以AC为直角边，点A为直角顶点，过点A作AP2∥BC，求出AP2与直线的交点，即为P2；由全等三角形对应边相等得出CD=OA=2，从而可得点A的坐标，再根据互相平行直线斜率相同，利用待定系数法求出直线AP2的解析式，联立直线AP2与直线，求解即可得出P2的坐标.
（1）证明：，，
，
为等腰直角三角形，
，
在和中，
，
；
（2）解：∵，
∴，
点坐标为，
，
点横坐标为，
点坐标为，
设所在直线的函数关系式为，
，
解得：，
所在直线的解析式为；
（3）解：存在．
若以为直角边，点为直角顶点，直线上有一点，使，
点为直线与直线的交点，
由题意得，，
解得：，
；
若以为直角边，点为直角顶点，直线有一点，使，
则过点作，交直线于点，
由（1）和（2）得：
，
，
∴直线的解析式为，
由题意得，，
解得：，
；
点坐标分别为或．
1 / 1四川资阳市雁江区2025-2026学年八年级下学期数学半学期学情分析试题
1．在代数式中 ， xy2， ， ，2﹣ 分式共有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
2．点 ， 在第一象限，则点 ， 在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．世界最大的单口径球面射电望远镜被誉为“中国天眼”，在其新发现的脉冲星中有一颗毫秒脉冲星的自转周期为0.00519秒．数据0.00519用科学记数法可以表示为（　　）
A．5.19×10﹣3 B．5.19×10﹣4 C．5.19×10﹣5 D．5.19×10﹣6
4．如果把分式 中的x，y同时扩大为原来的4倍，现么该分式的值（　　）
A．不变 B．扩大为原来的4倍
C．缩小为原来的 D．缩小为原来的
5．若关于x的方程 无解，则a的值是（　　）
A．1 B．3 C． 或2 D．1或2
6．反比例函数的图象经过点，，，则的大小关系是（　　）
A． B． C． D．
7．在同一直角坐标系中，函数与的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
8．如图，A，B是反比例函数y=在第一象限内的图象上的两点，且A，B两点的横坐标分别是2和4，则△OAB的面积是（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
9．在一条道路上，甲从A地出发到B地，乙从B地出发到A地，乙的速度是80千米/小时，两人同时出发各自到达终点后停止．设行驶过程中甲、乙之间的距离为s千米，甲行驶的时间为t小时，s与t之间的函数关系如图所示，则下列说法错误的是（　　）
A．乙出发1小时与甲在途中相遇
B．甲从A地到达B地需行驶3小时
C．甲在1.5小时后放慢速度行驶
D．乙到达A地时甲离B地还有60千米
10．一次函数与的图象如下图，则下列结论（1）；（2）；（3）当时，（4）的解为中，正确的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
11．计算的结果是　 　．
12．将直线y＝3x先向右平移3个单位，再向下平移2个单位得到的直线解析式是　 　．
13．已知，则　 　，　 　．
14．已知分式方程的解为非负数，求k的取值范围　 　．
15．如图，直线y＝ax+b（a≠0）与x轴交于点B，与y轴交于点A，与双曲线y＝（k≠0）交于点C，若AB＝BC，△AOC的面积为4，则k的值是　 　．
16．正方形，，，，按如图所示的方式放置、点，，，和点，，，分别在直线和轴上，已知点，，则的坐标是　 　．
17．计算下列各题：
（1）
（2）
（3）
（4）
18．先化简，再求值： ，在﹣2，0，1，2四个数中选一个合适的代入求值．
19．如图，一次函数y＝ax+b的图象与反比例函数y＝的图象交于A，B两点，与x轴交于点C，与y轴交于点D，点A的坐标为（﹣2，1），点B的坐标为（，m）．
（1）求反比例函数与一次函数的表达式；
（2）求△AOB的面积；
（3）根据图象写出当一次函数的值小于反比例函数的值时，x的取值范围．
20．暑假期间，小刚一家乘车去离家380公里的某景区旅游，他们离家的距离与汽车行驶时间之间的函数图象如图所示．
（1）求线段对应的函数解析式；
（2）小刚一家出发2.5小时时离目的地多远？
21．某车行经销的A型自行车去年6月份销售总额为1.6万元，今年由于改造升级每辆车售价比去年增加200元，今年6月份与去年同期相比，销售数量相同，销售总额增加25%．
今年A，B两种型号车的进价和售价如下表：
　 A型车 B型车
进价（元/辆） 800 950
售价（元/辆） 今年售价 1200
（1）求今年A型车每辆售价多少元？
（2）该车行计划7月份用不超过4.3万元的资金新进一批A型车和B型车共50辆，应如何进货才能使这批车售完后获利最多？
22．甲超市在端午节这天进行苹果优惠促销活动，苹果的标价为10元，如果一次购买以上的苹果，超过的部分按标价6折售卖．（单位：）表示购买苹果的重量，（单位：元）表示付款金额．
（1）文文购买苹果需付款___________元，购买苹果需付款____________元；
（2）求付款金额关于购买苹果的重量的函数解析式；
（3）当天，隔壁的乙超市也在进行苹果优惠促销活动，同样的苹果的标价也为10元，且全部按标价的8折售卖．文文如果要购买苹果，请问她在哪个超市购买更划算？
23．如图，在平面直角坐标系中，将一块等腰直角三角板斜靠在两坐标轴上放在第二象限，点C的坐标为．过B点的直线与的图象相交于E，过点B作轴，垂足为D，且B点横坐标为．
（1）求证：；
（2）求所在直线的函数关系式；
（3）在直线上是否存在点P，使是以为直角边的直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】分式的概念
【解析】【解答】代数式中 ， xy2，是整式， ， ，2﹣ 是分式.
故答案为：B.
【分析】根据分式的定义分析即可，即形如 （A，B是整式，B≠0且B中含有字母）的式子叫做分式.
2．【答案】B
【知识点】点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：∵点 ， 在第一象限，
∴ ＞0，
∴ab＞0，a≠0，
∴ ＜0，
则点B（ ，ab）在第二象限．
故答案为：B．
【分析】由第一象限点的坐标特征可得 ＞0，即得ab＞0，a≠0， ＜0，根据各项内点的坐标符号进行判断即可.
3．【答案】A
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：0.00519＝5.19×10﹣3．
故答案为：A．
【分析】绝对值小于1的正数用科学记数法表示为：指数n由原数左边起第一个不为0的数字前面的0的个数所决定
4．【答案】D
【知识点】分式的基本性质
【解析】【解答】解：x，y同时扩大为原来的4倍，
则有 ＝ ＝ ，
∴该分式的值是原分式值的 ，
故答案为D．
【分析】根据分式的基本性质求解即可。
5．【答案】D
【知识点】分式方程的解及检验
【解析】【解答】解： ，
去分母得，ax=2+x-1，
整理得，（a-1）x=1，
当x=1时，分式方程无解，
则a-1=1，
解得，a=2；
当整式方程无解时，a=1，
故答案为：D.
【分析】先将分式方程化为整式方程，由于原方程无解，分两种情况：①分式方程有增根，②整式方程无解，据此分别解答即可.
6．【答案】A
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵反比例函数中，，
∴函数图象分别位于第二、四象限，且在每个象限内，随的增大而增大，
∵点，的横坐标都小于，
∴，两点在第二象限，
又∵，
∴，
∵点的横坐标大于，
∴点在第四象限，
∴；
综上可得．
故答案为：A.
【分析】反比例函数（k≠0）中，当k＞0时，图象两支分布在第一、三象限，在每一个象限内y随x的增大而减小；当k＜0时，图象两支分布在第二、四象限，且在每个象限内，随的增大而增大，据此结合题意，根据A、B、C三点横坐标判断出所在的象限及大小，即可判断对应函数值的大小.
7．【答案】B
【知识点】一次函数的图象；反比例函数的图象；分类讨论
【解析】【解答】解：由题意，
当时，，经过一，二，四象限，经过一、三象限；
当时，，经过一，三，四象限，经过二、四象限；
故答案选：B．
【分析】本题主要考查一次函数与反比例函数图象的共存问题，需根据 k 的正负分类讨论。将一次函数化为 y = -k(x - 1)，恒过定点 (1，0)。当 k > 0 时，一次函数图象过第一、二、四象限，反比例函数图象在第一、三象限；当 k < 0 时，一次函数图象过第一、三、四象限，反比例函数图象在第二、四象限。结合各选项所给图象特征，找出符合上述分类要求的选项。
8．【答案】B
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征；几何图形的面积计算-割补法；反比例函数的一点一垂线型
【解析】【解答】∵A，B是反比例函数y=在第一象限内的图象上的两点，
且A，B两点的横坐标分别是2和4，
∴当x=2时，y=2，即A（2，2），
当x=4时，y=1，即B（4，1），
如图，过A，B两点分别作AC⊥x轴于C，BD⊥x轴于D，
则S△AOC=S△BOD=×4=2，
∵S四边形AODB=S△AOB+S△BOD=S△AOC+S梯形ABDC，
∴S△AOB=S梯形ABDC，
∵S梯形ABDC=（BD+AC） CD=×（1+2）×2=3，
∴S△AOB=3，
故选B．
【分析】
首先利用反比例函数图象上点的坐标性质，结合点A、点B的横坐标，可以计算得出两点坐标为A（2，2），B（4，1），过点A作AC垂直x轴于点C，过点B作BD垂直x轴于点D，结合反比例函数系数k的几何意义，可以得到S△AOC=S△BOD=×4=2。根据面积的和差关系可得：S四边形AODB=S△AOB+S△BOD=S△AOC+S梯形ABDC，整理可得S△AOB=S梯形ABDC。再利用梯形的面积公式计算S梯形ABDC，代入对应线段的长度可得：S梯形ABDC=（BD+AC） CD=×（1+2）×2=3，因此可以得到S△AOB=3.
9．【答案】C
【知识点】通过函数图象获取信息；一次函数的实际应用-行程问题；数形结合
【解析】【解答】解：A、由点(1，0)可得，乙出发1小时后和甲在途中相遇，因此A选项说法正确；
B、总路程为120千米，乙的速度为80千米/小时，可得甲的速度为：120÷1-80=40千米/小时，因此甲从A地到B地一共需要行驶120÷40=3小时，因此B选项说法正确；
C、题目中并未给出m的具体数值，因此无法确定甲出发1.5小时后的行驶速度有没有发生变化，所以C选项说法错误；
D、乙从出发到到达A地一共用时120÷80=1.5小时，此时甲一共行驶的路程为40×1.5=60千米，因此此时甲距离B地的距离为120-60=60千米，因此D选项说法正确.故答案为：C.
【分析】根据图象提供的信息，结合两人同时向目的地出发的行程信息，根据路程、速度和时间的关系逐一判断即可.
10．【答案】B
【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的关系；一次函数图象、性质与系数的关系；比较一次函数值的大小；数形结合
【解析】【解答】解：（1）∵函数经过一、二、四象限，∴，，故（1）正确；
（2）∵函数经过一、三、四象限，∴，故（2）错误；
（3）由图象可知当x<3时，y2（4）∵两函数图象交点坐标为（3，1），∴的解为，故（4）正确，
综上，正确的有2个.
故答案为：B.
【分析】一次函数y=ax+b（a≠0），当a>0，b>0时，图象过一、二、三象限；当a>0，b<0时，图象过一、三、四象限；当a>0，b=0时，图象过一、三象限；当a<0，b>0时，图象过一、二、四象限；当a<0，b<0时，图象过二、三、四象限，当a＜0，b=0时，图象过二、四象限；据此可判断（1）（2）；由图象可得，当x＜3时，函数y2=x+a的图象在函数y1=kx+b图象的下方，故对应的函数值满足y211．【答案】-5
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；无理数的混合运算
【解析】【解答】解： =2+1-8=-5．故答案为：-5．
【分析】由绝对值性质、0指数幂法则“a0=1(a≠0)”及负整数指数幂法则“”分别计算，再计算有理数加减法得出答案.
12．【答案】y＝3x 11
【知识点】一次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：∵直线y＝3x先向右平移3个单位，再向下平移2个单位，
∴平移后直线解析式为y＝3（x 3） 2，即y＝3x 11．
故答案为：y＝3x 11．
【分析】根据一次函数图象平移规律“左加右减，上加下减”，可直接求出平移后直线解析式.
13．【答案】；
【知识点】分式的加减法；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：
∵，
∴，
∴，
解得：．
故答案为：；.
【分析】先通分计算等式右边异分母分式的加法，利用左右两侧分子相等得到关于A、B的方程组，再利用加减消元法解方程组即可得到A、B的值.
14．【答案】k≤3且k≠1
【知识点】分式方程的解及检验；去分母法解分式方程
【解析】【解答】
去分母，得：x-1＝k+2(x-2)，
x-1＝k+2x-4
解得：x＝3 k，
∵x为非负数，
∴3 k≥0，
即k≤3，
∵x≠2，3 k≠2，k≠1，
∴k的取值范围为k≤3且k≠1．
故答案为：k≤3且k≠1．
【分析】
按照解分式方程的一般步骤进行计算，先得到用k表示的x的结果，再结合方程的解x为非负数这一条件，就可以求出k的取值范围.
15．【答案】8
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：作CD⊥x轴于D，如图，则∠CDB=90°，
在△OAB和△DCB中，
∴△OAB≌△DCB（AAS），
∴S△AOB＝S△CDB，
∴S△COD＝S△AOC＝4，
∵S△COD＝|k|，
∴|k|＝4，
而k＞0，
∴k＝8．
故答案为：8．
【分析】作CD⊥x轴于D，先利用“AAS”证明△OAB≌△DCB，由全等三角形的面积相等得到S△AOB＝S△CDB，则S△COD＝S△AOC＝4，然后根据反比例函数k的几何意义得到S△COD=|k|＝4，最后结合反比例函数图象经过第一象限确定出k的值．
16．【答案】
【知识点】坐标与图形性质；待定系数法求一次函数解析式；探索规律-点的坐标规律
【解析】【解答】解：∵点，，且四边形A1B1C1O与四边形A2B2C2C1都是正方形，
∴，，
设直线，
∴，解得：，
∴直线解析式为，
∵，
∴点A3的横坐标为3，
将x=3代入y=x+1得y=4，
∴，
∴，
，
∴的横坐标为，纵坐标为，
∴，
故答案为：．
【分析】根据点的坐标与图形性质可得A1(0，1)，A2(1，2)，然后利用待定系数法求得直线A1A2的解析式为y=x+1，然后根据点的坐标与图形性质可得点A3的横坐标为3，然后将x=3代入y=x+1可得y=4，则可得A3(3，4)，然后根据正方形性质求得B3的坐标，然后根据B1，B2，B3的坐标可得规律：的横坐标为，纵坐标为，从而即可得出答案.
17．【答案】（1）解：
（2）解：
（3）解：
去分母得：，
解得：，
检验：当时，，
所以原方程的解为；
（4）解：
去分母得：，
解得：，
检验：当时，，
所以原方程无解
【知识点】分式的混合运算；零指数幂；负整数指数幂；实数的混合运算（含开方）；去分母法解分式方程
【解析】【分析】（1）根据负整数指数幂法则“”、0指数幂法则“a0=1(a≠0)”、二次根式性质“”及绝对值性质分别化简，再计算有理数加减法得出答案；
（2）先把括号内的整式1看成，利用同分母分式加法法则计算括号内的部分，然后将除式的分子利用平方差公式分解因式，分母利用提取公因式法分解因式，并根据除以一个不为零的数等于乘以这个数的倒数将除法转变为乘法，最后计算分式乘法约分化简即可；
（3）方程两边同时乘以x-2（右边的-2不能漏乘）约去分母，将分式方程转化为整式方程，解整式方程求出x的值，再检验即可得到原方程的解；
（4）方程两边同时乘以(x-1)(x+2)（左边的-1不能漏乘）约去分母，将分式方程转化为整式方程，解整式方程求出x的值，再检验即可得到原方程的解.
（1）解：
（2）解：
（3）解：
去分母得：，
解得：，
检验：当时，，
所以原方程的解为；
（4）解：
去分母得：，
解得：，
检验：当时，，
所以原方程无解．
18．【答案】解：原式=（
=
=2(x+4)
当x=1时，原式=10.
【知识点】分式的乘除法；分式的加减法
【解析】【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x=1代入计算即可求出值．
19．【答案】解：（1）把A（﹣2，1）代入y＝得
k＝﹣2×1＝﹣2，
∴反比例函数解析式为y＝﹣，
把B（，m）代入y＝﹣得m＝﹣4，
∴B（，﹣4），
把A（﹣2，1）、B（，﹣4）分别代入y＝ax+b得
，解得，
所以一次函数解析式为y＝﹣2x﹣3；
（2）当x＝0时，y＝﹣2x﹣3＝﹣3，则D（0，﹣3），
∴OD=3，
，
∴S△AOB＝S△AOD+S△BOD＝×3×2+×3×＝ ；
（3）由图象可知，一次函数的值小于反比例函数的值时，一次函数的图象在反比例函数图象的下方，此时﹣2＜x＜0或x＞，
∴x的取值范围为﹣2＜x＜0或x＞．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【分析】（1）首先将点A的坐标代入反比例函数解析式，计算得到k=-2，因此反比例函数的解析式为y = -；利用反比例函数解析式计算得到点B的坐标为（，-4），最后通过待定系数法即可求得一次函数的解析式为y=-2x-3；
（2）首先通过一次函数解析式确定点D的坐标，再结合三角形面积公式，利用的面积等于的面积与的面积之和完成计算；
（3）通过观察函数图象，直接写出一次函数图象位于反比例函数图象下方时，对应自变量的取值范围即可.
20．【答案】（1）解：设AB段图象的函数表达式为y=kx+b(1≤x≤3)．
∵，在AB上，
∴，
解得 ，
∴；
（2）解：当时，
，
．
故小刚一家出发2.5小时时离目的地远．
【知识点】一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【分析】（1）设AB段图象的函数表达式为y=kx+b(1≤x≤3)，将A、B两点的坐标代入，可得关于字母k、b的二元一次方程组，求解可得k、b的值，从而得到一次函数解析式
（2）先将x=2.5代入（1）所求的函数表达式，求出对应的y=260，即得小刚一家离家的距离为260km，进而用景区距离小刚家的距离减去260即可求出小刚一家出发2.5小时时离景区的距离.
（1）解：设段图象的函数表达式为．
∵，在上，
∴，解得 ，
∴；
（2）当时，
，
．
故小刚一家出发2.5小时时离目的地远．
21．【答案】解：（1）设今年型车每辆售价为元，则去年型车每辆售价为元，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是原分式方程的解．
答：今年型车每辆售价为1000元．
（2）设购进型车辆，则购进型车辆，
根据题意得：，
解得：．
销售利润为，
，
当时，销售利润最多．
答：当购进型车30辆、购进型车20辆时，才能使这批车售完后获利最多．
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式的应用；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设今年A型车每辆车的售价为元，那么去年A型车每辆的售价就是元。根据销售量和总价、单价的关系：销售量=总价÷单价，且题目给出今年6月份和去年的销售总金额相差2万元，同时两个时间段的销售数量相等，列出关于x的分式方程，对方程求解后再检验，就能得到今年A型车的售价。
（2）设购进A型车的数量为辆，那么购进B型车的数量就是辆。根据总价等于单价乘数量，结合题目要求进货的总费用不超过4.3万元，可以列出关于m的一元一次不等式，解不等式就能得到m的取值范围；之后根据“总销售利润=单辆利润×进货数量”，就可以写出总利润关于m的函数关系式，最后利用一次函数的单调性，就能求出获利最大的进货方案.
22．【答案】（1）30，46；
（2）当时，，
当时，设，将，代入解析式
解得，，
∴，
（3）当时，，，
∵，
∴甲超市比乙超市划算．
【知识点】一次函数的其他应用
【解析】【解答】（1）由题意：（元）；
（元）；
故答案为：30元，46元；
【分析】
（1）购买3kg苹果，重量不超过优惠前提，可直接根据题目给出的定价计算总费用；购买5kg苹果时，可以按照优惠方案，分开计算不超过4kg部分的总价和超出4kg部分的总价，将两部分价格相加即可得到5kg苹果的总花费；
（2）按照分段函数的分段区间，分别利用待定系数法，即可求出对应区间的函数解析式；
（3）购买10kg苹果时，分别计算出在A超市和B超市购买所需的总花费，比较两个总花费的大小，就可以得出哪个超市更划算的结论.
23．【答案】（1）证明：，，
，
为等腰直角三角形，
，
在和中，
，
；
（2）解：∵，
∴，
点坐标为，
，
点横坐标为，
点坐标为，
设所在直线的函数关系式为，
，
解得：，
所在直线的解析式为；
（3）解：存在．若以为直角边，点为直角顶点，直线上有一点，使，
点为直线与直线的交点，
由题意得，，
解得：，
；
若以为直角边，点为直角顶点，直线有一点，使，
则过点作，交直线于点，
由（1）和（2）得：
，
，
∴直线的解析式为，
由题意得，，
解得：，
；
点坐标分别为或．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；两一次函数图象相交或平行问题；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系；分类讨论
【解析】【分析】（1）由直角三角形两锐角互余、平角定义及同角余角相等可得∠BCD=∠OAC，由等腰直角三角形性质得BC=AC，然后利用“AAS”可证明△BDC≌△COA；
（2）由全等三角形的对应边相等得BD=CO=1，从而求出点B的坐标为(-3，1)，然后利用待定系数法求出直线BC的函数解析式；
（3）存在，分类讨论：若以AC为直角边，点C为直角顶点，求出直线BC与直线的交点即为点P1的坐标，从而联立直线BC与直线，求解即可得出点P1的坐标；若以AC为直角边，点A为直角顶点，过点A作AP2∥BC，求出AP2与直线的交点，即为P2；由全等三角形对应边相等得出CD=OA=2，从而可得点A的坐标，再根据互相平行直线斜率相同，利用待定系数法求出直线AP2的解析式，联立直线AP2与直线，求解即可得出P2的坐标.
（1）证明：，，
，
为等腰直角三角形，
，
在和中，
，
；
（2）解：∵，
∴，
点坐标为，
，
点横坐标为，
点坐标为，
设所在直线的函数关系式为，
，
解得：，
所在直线的解析式为；
（3）解：存在．
若以为直角边，点为直角顶点，直线上有一点，使，
点为直线与直线的交点，
由题意得，，
解得：，
；
若以为直角边，点为直角顶点，直线有一点，使，
则过点作，交直线于点，
由（1）和（2）得：
，
，
∴直线的解析式为，
由题意得，，
解得：，
；
点坐标分别为或．
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