资源简介

浙江杭州市西湖区六校联考2025—2026学年下学期七年级阶段性检测数学试卷
1．下列方程中，是二元一次方程的是（　　）
A． B． C． D．
2．经测算，一粒芝麻的质量约为0.00000201kg，那么数据0.00000201用科学记数法表示为（　　）
A． B．
C． D．
3．如图，要在河堤两岸搭建一座桥，搭建方式中最短的是线段，理由是（ ）
A．两点确定一条直线
B．两点之间，线段最短
C．直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短
D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
4．下列各组数中，是二元一次方程的一个解的是（　　）
A． B． C． D．
5．下列运算结果正确的是（　　）
A． B． C． D．
6．下列多项式乘法，能用平方差公式进行计算的是（　　）
A． B．
C． D．
7．如图，当光线从空气斜射入水中时，光线的传播方向发生了变化，这种现象叫作光的折射．一束光线沿斜射入水面，在点处发生折射，沿方向射入水中．如果，，那么光的传播方向改变了（　　）
A． B． C． D．
8．若方程组的解满足，则a的值为（　　）
A． B．1 C．0 D．无法确定
9．有两个正方形，现将放在的内部得图甲，将并列放置后构造新的正方形得图乙．若图甲和图乙阴影部分的面积分别为1和10，则正方形的面积之和为（　　）
A．9 B．10 C．11 D．12
10．如图，已知：，，平分，，有下列结论：①；②；③；④.结论正确的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
11．已知，用含的代数式表示，则　 　.
12．如图，沿射线方向平移到（点在线段上）．若，，则平移距离为　 　．
13．如图，把一个长方形纸片沿折叠后，点D，C分别落在，的位置，若，则的度数为　 　．
14．如图，为了绿化校园，某校准备在一个长为米，宽为米的长方形草坪上修建两条宽为米的通道，则草坪的面积是　 　．
15．若是完全平方式，那么a的值是　 　．
16．关于，的方程组的解为，则：
①　 　；
②若，求的值为　 　．
17．计算：
（1）；
（2）
18．按要求完成下列题目
（1） 计算：
（2）简便计算：
19．解决下列问题：
（1）已知，，求的值；
（2）先化简，再求值：已知，求的值．
20．如图，已知，．
（1）试问与相等吗？请说明理由；
（2）若，，求的度数．
21．二阶行列式指由4个数组成的符号，是一个重要的数学工具，在数学中有广泛的应用，其二阶行列式的定义为，如．
（1）若，求x的值；
（2）若的值与x无关，求值．
22．综合与探究
【知识生成】我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式．例如，由图1可以得到，基于此，请解答下列问题．
【直接应用】（1）若，，求的值．
【类比应用】（2）若，则___________．
【知识迁移】（3）将两块全等的特制直角三角板（）按如图2所示的方式放置，其中点，，在同一直线上，点，，也在同一直线上，连接，．若，，求一块直角三角板的面积．
23．超市为庆祝母亲节，促进消费，推出三种“优惠券”活动，具体如下：
型 型 型
满300减100 满180减50 满100减30
小顺在活动中领到了三种不同类型的“优惠券”若干张，准备给妈妈买礼物，购物时可叠加使用不同优惠券．
（1）若小顺同时使用三种不同类型的“优惠券”消费，共优惠了520元，已知她用了2张型“优惠券”，4张型“优惠券”，则她用了______张型“优惠券”．
（2）小顺同时使用型和型“优惠券”共5张，共优惠了290元．求她用了型和型券各多少张？
（3）小顺共领到三种不同类型的“优惠券”各8张（部分未使用），她同时使用了两种不同类型的优惠券，共优惠了480元．请问有几种“优惠券”使用方案？并写出每种方案所使用的优惠券数量．
24．已知，直线分别与直线相交于点G，H，并且．
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，有一点M在直线之间且在直线左侧，连接，求，，的数量关系；
（3）如图3，在（2）的条件下，射线是的平分线．在的延长线上取点N，连接，若，，求的度数．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】二元一次方程的概念
【解析】【解答】解：A、，含有两个未知数，含未知数的项次数都是1，是整式方程，符合定义；
B、中，是分式，该方程是分式方程，不是整式方程，不符合定义；
C、中，的次数为，不符合要求，不符合定义；
D、中，含有三个未知数，不符合“含有两个未知数”的要求，不符合定义.
故答案为：A.
【分析】含有两个未知数，且未知数项的最高次数为1的整式方程就是二元一次方程，据此逐一判断得出答案.
2．【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：，
故选：B．
【分析】
本题考查科学记数法的表示．对于绝对值小于1的数，科学记数法的形式为，其中，n为原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数. 解题时，将原数0.00000201转化为符合要求的a，并确定n的值，即可完成表示，牢记科学记数法的规则是解题的关键.
3．【答案】C
【知识点】垂线段最短及其应用
【解析】【解答】解：∵，
∴要在河堤两岸搭建一座桥，图中四种搭建方式中，线段最短，理由是垂线段最短．
故选：C．
【分析】根据垂线段最短解答即可．
4．【答案】D
【知识点】二元一次方程的解
【解析】【解答】解：∵5x-y=2，
∴y=5x-2，
A、当x=3时y=5×3-2=13≠1，故A不符合题意；
B、当x=0时y=-2≠2，故B不符合题意；
C、当x=2时y=5×2-2=8≠0，故C不符合题意；
D、当x=1时y=5×1-2=3，故D符合题意；
故答案为：D
【分析】先将方程转化为y=5x-2，分别将各选项中的x的值代入，可求出对应的y的值，据此可作出判断.
5．【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，选项错误，故不符合题意；
B、，选项错误，故不符合题意；
C、，选项错误，故不符合题意；
D、，选项正确，故符合题意；
故选：D．
【分析】
分别根据幂的乘方、积的乘方、同底数幂的除法以及同底数幂的乘法运算，按照对应法则逐一验证每个选项是否正确即可.
6．【答案】C
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：A. 不能用平方差进行计算，故不符合题意
B. 不能用平方差进行计算，故不符合题意
C. 能用平方差公式进行计算的是，
D. 不能用平方差进行计算，故不符合题意
故答案为：C．
【分析】利用平方差公式的特征逐项判断即可。
7．【答案】B
【知识点】对顶角及其性质；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵ ，
∴，
即光的传播方向改变了，
故选：B．
【分析】
先根据平行线的性质得到，再结合对顶角相等的性质得到，最后计算出的度数，即可得到答案.
8．【答案】A
【知识点】加减消元法解二元一次方程组；已知二元一次方程组的解求参数
【解析】【解答】解：方程组两个方程相加得：，
即，
由，
得到，
解得：．
故答案为：A.
【分析】观察方程组中两个方程未知数项的系数特点，将方程组两个方程相加可得，结合x+y=0可得出关于字母a的方程，求解即可得出a的值.
9．【答案】C
【知识点】完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】解：设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b，
由图甲得，，即，
由图乙得，，整理得，
∴，
即正方形A、B的面积之和为11.
故答案为：C.
【分析】根据图形中的数量关系和完全平方公式可得和，进而求得a2+b2的值，即为所求.
10．【答案】D
【知识点】平行线的判定与性质；角平分线的概念；补角
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵平分，
∴，即，
①∵，，
∴，
故①正确；
②∵，
∴，
∴，即，
∵，
∴，
即，
故②正确；
③由①可得，
∴，
∴，即，
又，
∴，
即，
将代入，
化简可得：，
故③正确；
④∵，，
∴，
∵，
∴，
故④正确；
正确的个数共有4个，
故选：D．
【分析】①根据平行线的传递性可以判断出来；②所以，然后根据两直线平行同旁内角互补可得，即，联立可求得结果；③根据以及，可求得结果；④根据即以及，可求得结果．
11．【答案】5b＋2
【知识点】等式的基本性质；不等式的性质
【解析】【解答】解：由等式的性质得a=2+5b
故答案为：5b+2.
【分析】直接由等式的性质进行移项便可得结果.
12．【答案】
【知识点】平移的性质
【解析】【解答】解：根据平移的性质得BE=CF
，，
，
平移距离为．
故答案为：3cm.
【分析】由平移性质得BC=EF，然后根据线段和差，由BE+CF=BF-CE可求出答案.
13．【答案】
【知识点】翻折变换（折叠问题）；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：∵，
∴，
由折叠的性质可得，
∴，
故答案为：．
【分析】根据平行线的性质和折叠的性质得到，再根据平角的定义解答即可．
14．【答案】平方米
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：由题意可得：
（平方米）；
故答案为：平方米．
【分析】
根据多项式的乘法运算法则，通过平移两条路径，再用代数式表示出剩余草坪的面积.
15．【答案】5或-7
【知识点】完全平方式
【解析】【解答】解：是完全平方式．
∴
当时，解得
当时，解得
故答案为：5或-7.
【分析】形如“a2±2ab+b2”的式子就是完全平方式，据此列出关于字母a的方程-2(a+1)=±2×6，求解即可得出a的值.
16．【答案】；
【知识点】利用整式的混合运算化简求值；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：代入，
得：，
①将两式相加，得，
得，
解得：，
故答案为：；
②
，
∵，
两式相减，得，
得，
∵，
∴，
∴原式，
故答案为：．
【分析】
①先把代入原方程组，再把得到的两个方程相加，整理后即可得到，据此即可计算得到结果；
②先对整式进行化简，最终化简结果为；之后再把代入原方程组，将得到的两个方程相减，整理可得，最后将这个关系代入化简后的结果就可以求出答案.
17．【答案】（1）解： 把①代入②，
得 ，
展开得 ，
合并同类项，得 ，
解得 ，
把代入①，
得 ，
因此原方程组的解为；
（2）解：
．
【知识点】多项式除以单项式；代入消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）由于方程组中①方程已经用含y的式子表示出了x，故直接将方程①代入方程②消去x求出y的值，再将y的值代入①方程求出x的值，从而得到原方程组的解；
（2） 由多项式除以单项式就是用多项式的每一项分别除以单项式，再把所得商相加进行计算即可.
（1） 解： 把代入，
得 ，
展开得 ，
合并同类项，得 ，
解得 ，
把代入，
得 ，
因此原方程组的解为；
（2）解：
．
18．【答案】（1）解： 原式；
（2）解：原式．
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；因式分解的应用-简便运算
【解析】【分析】（1）先运算零指数幂、负整数指数幂和乘方，然后运算乘法，再运算加法计算；
（2）提取公因式202，利用因式分解法解答即可．
19．【答案】（1）解：
当，时，
原式．
（2）解：
，
．
将代入化简后的式子，
可得
【知识点】利用整式的混合运算化简求值；求代数式的值-整体代入求值；幂的乘方的逆运算
【解析】【分析】（1）先将待求式子利用幂的乘方、积的乘方法则进行计算，再根据幂的乘方运算法则的逆用及单项式乘以单项式法则进行计算，最后整体代入计算即可得出答案；
（2）将待求式子利用平方差及完全平方公式分别展开括号，再合并同类项化简，由已知等式可推出，再整体代入计算可得答案．
（1）解：
当，时，
原式．
（2）解：
，
．
将代入化简后的式子，
可得．
20．【答案】（1）解：与相等，理由如下：
∵，
，
，
同角的补角相等，
∴（内错角相等，两直线平行，
两直线平行，同位角相等，
（2）解：∵，
，
，，
，即，
，，
，
即．
【知识点】补角；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【分析】（1）根据两直线平行，同旁内角互补得到，然后根据同角的补角相等得到即可得出内错角相等得到，即可得到，证明结论；
（2）根据两直线平行，同位角相等得到，即可得到，求出的度数解答即可．
21．【答案】（1）解：∵ ，
∴将展开得，
展开化简左边：，
即，
解得（或）．
（2）解：根据定义展开：
，
∵值与x无关，
∴含x的项系数都为0，
即：，
解得，，
代入．
【知识点】整式的混合运算；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）根据二阶行列式定义展开给定二阶行列式得到关于的方程，再解方程求x的值；
（2）首先根据二阶行列式定义展开给定行列式，然后合并同类项，由该式的值与x无关可得含x的项的系数都为0，从而列出关于字母m、n的方程组，求解得出m、n的值，再将m、n的值代入待求代数式计算即可.
（1）解：根据题目给出的二阶行列式定义 ，
对给定行列式展开得：，
展开化简左边：，
即，
解得（或）．
（2）解：根据定义展开：
，
∵值与x无关，
∴含x的项系数都为0，
即：，
解得，，
代入．
22．【答案】解：（1）
又
，
；
（2）；
（3）∵两块直角三角板全等，
，，
点A，O，D在同一直线上，点B，O，C也在同一直线上，
，．
设，．
，
又，
，
，
，
，
答：一块直角三角板的面积为16．
【知识点】完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景；三角形全等及其性质；数形结合
【解析】【解答】
解：（2）∵，则
故答案为：；
【分析】
（1）利用完全平方公式的变形形式进行计算求解。
（2）把看作的形式，再代入完全平方公式的变形，就可以计算得到结果。
（3）先设，，根据三角形面积公式可得，整理后就能得到；再结合完全平方公式变形可得，最后利用完全平方公式变形就可以求解最终问题。
23．【答案】（1）4
（2）解：假设她用了型为张，则型券为张，
根据题意得，
解得，
∴，
所以，她使用了型2张，型3张
（3）解：假设券为张，券为张，券为张，
根据题意得，当“优惠券”组合时，，
∵取的正整数，
∴当取正整数时，
，，，，时，，
所以，经验证，没有符合题意的解，故该种组合不合题意；
当“优惠券”组合时，，
∵取的正整数，
∴当取正整数时，
，，，，时，，
经验证，符合题意的解为；
当“优惠券”组合时，，
∵取的正整数，
∴当取正整数时，
，，，，，，，，
经验证，符合题意的解为；
所以，有两种优惠券使用方案：①型3张，型6张；②型6张，型6张
【知识点】二元一次方程的应用；一元一次方程的实际应用-和差倍分问题
【解析】【解答】（1）解：假设使用了型“优惠券”张，
根据题意得，
解得，
所以，她使用了4张型“优惠券”，
故答案为：4；
【分析】（1）假设使用了型“优惠券”张，根据2张A型优惠券的面值+4张C型优惠券的面值+x张B型优惠券的面值=总优惠钱数，列出方程，求解即可；
（2）假设她用了A型为张，则C型券为张，根据y张A型优惠券的面值+(5-y)张C型优惠券的面值=总优惠钱数，列出方程，求解即可；
（3）假设券为张，券为张，券为张，分三种情况进行讨论，①当A、B“优惠券”组合时使用时，②当B、C“优惠券”组合使用时，③当A、C“优惠券”组合使用时，分别根据优惠的钱数列出二元一次方程，找出m、n、t均≤8的正整数解即可．
（1）解：假设使用了型“优惠券”张，
根据题意得，
解得，
所以，她使用了4张型“优惠券”，
故答案为：4；
（2）解：假设她用了型为张，则型券为张，
根据题意得，
解得，
∴，
所以，她使用了型2张，型3张；
（3）解：假设券为张，券为张，券为张，根据题意得，
当“优惠券”组合时，，
∵取的正整数，
∴当取正整数时，
，，，，时，，
所以，经验证，没有符合题意的解，故该种组合不合题意；
当“优惠券”组合时，，
∵取的正整数，
∴当取正整数时，
，，，，时，，
经验证，符合题意的解为；
当“优惠券”组合时，，
∵取的正整数，
∴当取正整数时，
，，，，，，，，
经验证，符合题意的解为；
所以，有两种优惠券使用方案：①型3张，型6张；②型6张，型6张．
24．【答案】（1）证明：如图1，∵ ．
∴ ，
∴；
（2）证明：如图2，过点M作 ，
又∵，
∴ ．
∴ ．
∴ ．
即．
（3）解：如图3，令 ，则 ，
∵射线是的平分线，
∴，
∴ ，
∵，
∴，
∴ ，
过点H作 ，
则 ，
∴ ，
∵，
∴ ，
∴，
∴，
∴ ．
【知识点】角平分线的概念；平行线的应用-求角度；平行线的应用-证明问题；平行公理的推论
【解析】【分析】（1）由对顶角相等及已知等式可得∠BGF+∠DHE=180°，从而由同旁内角互补，两直线平行得出AB∥CD；
（2）过点M作MR∥AB，由平行于同一直线的两条直线互相平行得出AB∥CD∥MR，由二直线平行，内错角相等得∠GMR=∠AGM，∠HMR=∠CHM，然后根据角的构成及等量代换即可得出∠GMH=∠AGM+∠CHM；
（3）令，则，由角平分线的定义及平角定义得FGM=90°-，由角的构成得出∠AGH=90°+，由 推出；过点H作，由二直线平行，同位角相等得由二直线平行，内错角相等得，由角的构成推出 及 ，由二直线平行同旁那就互补得出，从而整体代入可求出，进而整体代入即可求出∠MHG的度数.
（1）证明：如图1，
∵ ．
∴ ，
∴；
（2）证明：如图2，过点M作 ，
又∵，
∴ ．
∴ ．
∴ ．
即．
（3）解：如图3，令 ，
则 ，
∵射线是的平分线，
∴，
∴ ，
∵，
∴，
∴ ，
过点H作 ，
则 ，
∴ ，
∵，
∴ ，
∴，
∴，
∴ ．
1 / 1浙江杭州市西湖区六校联考2025—2026学年下学期七年级阶段性检测数学试卷
1．下列方程中，是二元一次方程的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二元一次方程的概念
【解析】【解答】解：A、，含有两个未知数，含未知数的项次数都是1，是整式方程，符合定义；
B、中，是分式，该方程是分式方程，不是整式方程，不符合定义；
C、中，的次数为，不符合要求，不符合定义；
D、中，含有三个未知数，不符合“含有两个未知数”的要求，不符合定义.
故答案为：A.
【分析】含有两个未知数，且未知数项的最高次数为1的整式方程就是二元一次方程，据此逐一判断得出答案.
2．经测算，一粒芝麻的质量约为0.00000201kg，那么数据0.00000201用科学记数法表示为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：，
故选：B．
【分析】
本题考查科学记数法的表示．对于绝对值小于1的数，科学记数法的形式为，其中，n为原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数. 解题时，将原数0.00000201转化为符合要求的a，并确定n的值，即可完成表示，牢记科学记数法的规则是解题的关键.
3．如图，要在河堤两岸搭建一座桥，搭建方式中最短的是线段，理由是（ ）
A．两点确定一条直线
B．两点之间，线段最短
C．直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短
D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
【答案】C
【知识点】垂线段最短及其应用
【解析】【解答】解：∵，
∴要在河堤两岸搭建一座桥，图中四种搭建方式中，线段最短，理由是垂线段最短．
故选：C．
【分析】根据垂线段最短解答即可．
4．下列各组数中，是二元一次方程的一个解的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二元一次方程的解
【解析】【解答】解：∵5x-y=2，
∴y=5x-2，
A、当x=3时y=5×3-2=13≠1，故A不符合题意；
B、当x=0时y=-2≠2，故B不符合题意；
C、当x=2时y=5×2-2=8≠0，故C不符合题意；
D、当x=1时y=5×1-2=3，故D符合题意；
故答案为：D
【分析】先将方程转化为y=5x-2，分别将各选项中的x的值代入，可求出对应的y的值，据此可作出判断.
5．下列运算结果正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，选项错误，故不符合题意；
B、，选项错误，故不符合题意；
C、，选项错误，故不符合题意；
D、，选项正确，故符合题意；
故选：D．
【分析】
分别根据幂的乘方、积的乘方、同底数幂的除法以及同底数幂的乘法运算，按照对应法则逐一验证每个选项是否正确即可.
6．下列多项式乘法，能用平方差公式进行计算的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：A. 不能用平方差进行计算，故不符合题意
B. 不能用平方差进行计算，故不符合题意
C. 能用平方差公式进行计算的是，
D. 不能用平方差进行计算，故不符合题意
故答案为：C．
【分析】利用平方差公式的特征逐项判断即可。
7．如图，当光线从空气斜射入水中时，光线的传播方向发生了变化，这种现象叫作光的折射．一束光线沿斜射入水面，在点处发生折射，沿方向射入水中．如果，，那么光的传播方向改变了（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】对顶角及其性质；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵ ，
∴，
即光的传播方向改变了，
故选：B．
【分析】
先根据平行线的性质得到，再结合对顶角相等的性质得到，最后计算出的度数，即可得到答案.
8．若方程组的解满足，则a的值为（　　）
A． B．1 C．0 D．无法确定
【答案】A
【知识点】加减消元法解二元一次方程组；已知二元一次方程组的解求参数
【解析】【解答】解：方程组两个方程相加得：，
即，
由，
得到，
解得：．
故答案为：A.
【分析】观察方程组中两个方程未知数项的系数特点，将方程组两个方程相加可得，结合x+y=0可得出关于字母a的方程，求解即可得出a的值.
9．有两个正方形，现将放在的内部得图甲，将并列放置后构造新的正方形得图乙．若图甲和图乙阴影部分的面积分别为1和10，则正方形的面积之和为（　　）
A．9 B．10 C．11 D．12
【答案】C
【知识点】完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】解：设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b，
由图甲得，，即，
由图乙得，，整理得，
∴，
即正方形A、B的面积之和为11.
故答案为：C.
【分析】根据图形中的数量关系和完全平方公式可得和，进而求得a2+b2的值，即为所求.
10．如图，已知：，，平分，，有下列结论：①；②；③；④.结论正确的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【知识点】平行线的判定与性质；角平分线的概念；补角
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵平分，
∴，即，
①∵，，
∴，
故①正确；
②∵，
∴，
∴，即，
∵，
∴，
即，
故②正确；
③由①可得，
∴，
∴，即，
又，
∴，
即，
将代入，
化简可得：，
故③正确；
④∵，，
∴，
∵，
∴，
故④正确；
正确的个数共有4个，
故选：D．
【分析】①根据平行线的传递性可以判断出来；②所以，然后根据两直线平行同旁内角互补可得，即，联立可求得结果；③根据以及，可求得结果；④根据即以及，可求得结果．
11．已知，用含的代数式表示，则　 　.
【答案】5b＋2
【知识点】等式的基本性质；不等式的性质
【解析】【解答】解：由等式的性质得a=2+5b
故答案为：5b+2.
【分析】直接由等式的性质进行移项便可得结果.
12．如图，沿射线方向平移到（点在线段上）．若，，则平移距离为　 　．
【答案】
【知识点】平移的性质
【解析】【解答】解：根据平移的性质得BE=CF
，，
，
平移距离为．
故答案为：3cm.
【分析】由平移性质得BC=EF，然后根据线段和差，由BE+CF=BF-CE可求出答案.
13．如图，把一个长方形纸片沿折叠后，点D，C分别落在，的位置，若，则的度数为　 　．
【答案】
【知识点】翻折变换（折叠问题）；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：∵，
∴，
由折叠的性质可得，
∴，
故答案为：．
【分析】根据平行线的性质和折叠的性质得到，再根据平角的定义解答即可．
14．如图，为了绿化校园，某校准备在一个长为米，宽为米的长方形草坪上修建两条宽为米的通道，则草坪的面积是　 　．
【答案】平方米
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：由题意可得：
（平方米）；
故答案为：平方米．
【分析】
根据多项式的乘法运算法则，通过平移两条路径，再用代数式表示出剩余草坪的面积.
15．若是完全平方式，那么a的值是　 　．
【答案】5或-7
【知识点】完全平方式
【解析】【解答】解：是完全平方式．
∴
当时，解得
当时，解得
故答案为：5或-7.
【分析】形如“a2±2ab+b2”的式子就是完全平方式，据此列出关于字母a的方程-2(a+1)=±2×6，求解即可得出a的值.
16．关于，的方程组的解为，则：
①　 　；
②若，求的值为　 　．
【答案】；
【知识点】利用整式的混合运算化简求值；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：代入，
得：，
①将两式相加，得，
得，
解得：，
故答案为：；
②
，
∵，
两式相减，得，
得，
∵，
∴，
∴原式，
故答案为：．
【分析】
①先把代入原方程组，再把得到的两个方程相加，整理后即可得到，据此即可计算得到结果；
②先对整式进行化简，最终化简结果为；之后再把代入原方程组，将得到的两个方程相减，整理可得，最后将这个关系代入化简后的结果就可以求出答案.
17．计算：
（1）；
（2）
【答案】（1）解： 把①代入②，
得 ，
展开得 ，
合并同类项，得 ，
解得 ，
把代入①，
得 ，
因此原方程组的解为；
（2）解：
．
【知识点】多项式除以单项式；代入消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）由于方程组中①方程已经用含y的式子表示出了x，故直接将方程①代入方程②消去x求出y的值，再将y的值代入①方程求出x的值，从而得到原方程组的解；
（2） 由多项式除以单项式就是用多项式的每一项分别除以单项式，再把所得商相加进行计算即可.
（1） 解： 把代入，
得 ，
展开得 ，
合并同类项，得 ，
解得 ，
把代入，
得 ，
因此原方程组的解为；
（2）解：
．
18．按要求完成下列题目
（1） 计算：
（2）简便计算：
【答案】（1）解： 原式；
（2）解：原式．
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；因式分解的应用-简便运算
【解析】【分析】（1）先运算零指数幂、负整数指数幂和乘方，然后运算乘法，再运算加法计算；
（2）提取公因式202，利用因式分解法解答即可．
19．解决下列问题：
（1）已知，，求的值；
（2）先化简，再求值：已知，求的值．
【答案】（1）解：
当，时，
原式．
（2）解：
，
．
将代入化简后的式子，
可得
【知识点】利用整式的混合运算化简求值；求代数式的值-整体代入求值；幂的乘方的逆运算
【解析】【分析】（1）先将待求式子利用幂的乘方、积的乘方法则进行计算，再根据幂的乘方运算法则的逆用及单项式乘以单项式法则进行计算，最后整体代入计算即可得出答案；
（2）将待求式子利用平方差及完全平方公式分别展开括号，再合并同类项化简，由已知等式可推出，再整体代入计算可得答案．
（1）解：
当，时，
原式．
（2）解：
，
．
将代入化简后的式子，
可得．
20．如图，已知，．
（1）试问与相等吗？请说明理由；
（2）若，，求的度数．
【答案】（1）解：与相等，理由如下：
∵，
，
，
同角的补角相等，
∴（内错角相等，两直线平行，
两直线平行，同位角相等，
（2）解：∵，
，
，，
，即，
，，
，
即．
【知识点】补角；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【分析】（1）根据两直线平行，同旁内角互补得到，然后根据同角的补角相等得到即可得出内错角相等得到，即可得到，证明结论；
（2）根据两直线平行，同位角相等得到，即可得到，求出的度数解答即可．
21．二阶行列式指由4个数组成的符号，是一个重要的数学工具，在数学中有广泛的应用，其二阶行列式的定义为，如．
（1）若，求x的值；
（2）若的值与x无关，求值．
【答案】（1）解：∵ ，
∴将展开得，
展开化简左边：，
即，
解得（或）．
（2）解：根据定义展开：
，
∵值与x无关，
∴含x的项系数都为0，
即：，
解得，，
代入．
【知识点】整式的混合运算；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）根据二阶行列式定义展开给定二阶行列式得到关于的方程，再解方程求x的值；
（2）首先根据二阶行列式定义展开给定行列式，然后合并同类项，由该式的值与x无关可得含x的项的系数都为0，从而列出关于字母m、n的方程组，求解得出m、n的值，再将m、n的值代入待求代数式计算即可.
（1）解：根据题目给出的二阶行列式定义 ，
对给定行列式展开得：，
展开化简左边：，
即，
解得（或）．
（2）解：根据定义展开：
，
∵值与x无关，
∴含x的项系数都为0，
即：，
解得，，
代入．
22．综合与探究
【知识生成】我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式．例如，由图1可以得到，基于此，请解答下列问题．
【直接应用】（1）若，，求的值．
【类比应用】（2）若，则___________．
【知识迁移】（3）将两块全等的特制直角三角板（）按如图2所示的方式放置，其中点，，在同一直线上，点，，也在同一直线上，连接，．若，，求一块直角三角板的面积．
【答案】解：（1）
又
，
；
（2）；
（3）∵两块直角三角板全等，
，，
点A，O，D在同一直线上，点B，O，C也在同一直线上，
，．
设，．
，
又，
，
，
，
，
答：一块直角三角板的面积为16．
【知识点】完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景；三角形全等及其性质；数形结合
【解析】【解答】
解：（2）∵，则
故答案为：；
【分析】
（1）利用完全平方公式的变形形式进行计算求解。
（2）把看作的形式，再代入完全平方公式的变形，就可以计算得到结果。
（3）先设，，根据三角形面积公式可得，整理后就能得到；再结合完全平方公式变形可得，最后利用完全平方公式变形就可以求解最终问题。
23．超市为庆祝母亲节，促进消费，推出三种“优惠券”活动，具体如下：
型 型 型
满300减100 满180减50 满100减30
小顺在活动中领到了三种不同类型的“优惠券”若干张，准备给妈妈买礼物，购物时可叠加使用不同优惠券．
（1）若小顺同时使用三种不同类型的“优惠券”消费，共优惠了520元，已知她用了2张型“优惠券”，4张型“优惠券”，则她用了______张型“优惠券”．
（2）小顺同时使用型和型“优惠券”共5张，共优惠了290元．求她用了型和型券各多少张？
（3）小顺共领到三种不同类型的“优惠券”各8张（部分未使用），她同时使用了两种不同类型的优惠券，共优惠了480元．请问有几种“优惠券”使用方案？并写出每种方案所使用的优惠券数量．
【答案】（1）4
（2）解：假设她用了型为张，则型券为张，
根据题意得，
解得，
∴，
所以，她使用了型2张，型3张
（3）解：假设券为张，券为张，券为张，
根据题意得，当“优惠券”组合时，，
∵取的正整数，
∴当取正整数时，
，，，，时，，
所以，经验证，没有符合题意的解，故该种组合不合题意；
当“优惠券”组合时，，
∵取的正整数，
∴当取正整数时，
，，，，时，，
经验证，符合题意的解为；
当“优惠券”组合时，，
∵取的正整数，
∴当取正整数时，
，，，，，，，，
经验证，符合题意的解为；
所以，有两种优惠券使用方案：①型3张，型6张；②型6张，型6张
【知识点】二元一次方程的应用；一元一次方程的实际应用-和差倍分问题
【解析】【解答】（1）解：假设使用了型“优惠券”张，
根据题意得，
解得，
所以，她使用了4张型“优惠券”，
故答案为：4；
【分析】（1）假设使用了型“优惠券”张，根据2张A型优惠券的面值+4张C型优惠券的面值+x张B型优惠券的面值=总优惠钱数，列出方程，求解即可；
（2）假设她用了A型为张，则C型券为张，根据y张A型优惠券的面值+(5-y)张C型优惠券的面值=总优惠钱数，列出方程，求解即可；
（3）假设券为张，券为张，券为张，分三种情况进行讨论，①当A、B“优惠券”组合时使用时，②当B、C“优惠券”组合使用时，③当A、C“优惠券”组合使用时，分别根据优惠的钱数列出二元一次方程，找出m、n、t均≤8的正整数解即可．
（1）解：假设使用了型“优惠券”张，
根据题意得，
解得，
所以，她使用了4张型“优惠券”，
故答案为：4；
（2）解：假设她用了型为张，则型券为张，
根据题意得，
解得，
∴，
所以，她使用了型2张，型3张；
（3）解：假设券为张，券为张，券为张，根据题意得，
当“优惠券”组合时，，
∵取的正整数，
∴当取正整数时，
，，，，时，，
所以，经验证，没有符合题意的解，故该种组合不合题意；
当“优惠券”组合时，，
∵取的正整数，
∴当取正整数时，
，，，，时，，
经验证，符合题意的解为；
当“优惠券”组合时，，
∵取的正整数，
∴当取正整数时，
，，，，，，，，
经验证，符合题意的解为；
所以，有两种优惠券使用方案：①型3张，型6张；②型6张，型6张．
24．已知，直线分别与直线相交于点G，H，并且．
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，有一点M在直线之间且在直线左侧，连接，求，，的数量关系；
（3）如图3，在（2）的条件下，射线是的平分线．在的延长线上取点N，连接，若，，求的度数．
【答案】（1）证明：如图1，∵ ．
∴ ，
∴；
（2）证明：如图2，过点M作 ，
又∵，
∴ ．
∴ ．
∴ ．
即．
（3）解：如图3，令 ，则 ，
∵射线是的平分线，
∴，
∴ ，
∵，
∴，
∴ ，
过点H作 ，
则 ，
∴ ，
∵，
∴ ，
∴，
∴，
∴ ．
【知识点】角平分线的概念；平行线的应用-求角度；平行线的应用-证明问题；平行公理的推论
【解析】【分析】（1）由对顶角相等及已知等式可得∠BGF+∠DHE=180°，从而由同旁内角互补，两直线平行得出AB∥CD；
（2）过点M作MR∥AB，由平行于同一直线的两条直线互相平行得出AB∥CD∥MR，由二直线平行，内错角相等得∠GMR=∠AGM，∠HMR=∠CHM，然后根据角的构成及等量代换即可得出∠GMH=∠AGM+∠CHM；
（3）令，则，由角平分线的定义及平角定义得FGM=90°-，由角的构成得出∠AGH=90°+，由 推出；过点H作，由二直线平行，同位角相等得由二直线平行，内错角相等得，由角的构成推出 及 ，由二直线平行同旁那就互补得出，从而整体代入可求出，进而整体代入即可求出∠MHG的度数.
（1）证明：如图1，
∵ ．
∴ ，
∴；
（2）证明：如图2，过点M作 ，
又∵，
∴ ．
∴ ．
∴ ．
即．
（3）解：如图3，令 ，
则 ，
∵射线是的平分线，
∴，
∴ ，
∵，
∴，
∴ ，
过点H作 ，
则 ，
∴ ，
∵，
∴ ，
∴，
∴，
∴ ．
1 / 1

展开更多......

收起↑