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浙江余姚市子陵中学教育集团子陵校区2025-2026学年第二学期八年级期中考教学质量检测数学试卷
1．下列中国品牌新能源车的车标中，是中心对称图形又是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．在下列方程中，属于一元二次方程的是（　　）．
A． B． C． D．
3．下列计算中正确的是（　　）
A． B．
C． D．
4．用反证法证明命题“如果，那么”，则第一步应先假设（　　）．
A． B． C． D．
5．如图，园林工人将绿化带上参差不齐的植物修剪平整，在此过程中绿化带上植物高度的平均数与方差均发生变化．关于这两个统计量的变化情况，描述正确的是（　　）
A．平均数变小，方差变小 B．平均数变小，方差变大
C．平均数变大，方差变大 D．平均数变大，方差变小
6．用配方法解方程 ，下列配方正确的是（　　）
A． B． C． D．
7．如图，四边形中，对角线，相交于点，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（　　）
A．， B．，
C．， D．，
8．如图，中，对角线，相交于点，点是的中点，若，则的长为（　　）
A．6 B．5 C．4 D．3
9．有一个人患了流感，经过两轮传染后，共有个人患了流感，设平均每轮每人传染个人，则下列等式成立的是（　　）．
A． B． C． D．
10．对于一元二次方程，下列说法：
①若，则方程一定有解；
②若是方程的一个根，则一定有成立；
③若方程两根为，，且满足，则方程，必有实数根，．
④若，则方程必有两个不相等的实数根；
⑤若，且，则方程的两实数一定互为相反数．
其中，正确的有几个（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
11．在二次根式 中，字母a的取值范围为　 　.
12．一个n边形的内角和为1080°，则n=　 　 ．
13．已知一组数据的离差平方和为，将数据分成、两组，这两组数据的组间离差平方和为，则这两组数据的组内离差平方和为　 　．
14．已知是方程的两个实数根，则　 　。
15．如图， 中，，点E是中点，过点A作，垂足为F，连接，则　 　°．
16．由杭州云深处科技打造的智能四足机器人——“绝影”机器狗已在多种行业中示范应用，机器狗水平行走时侧面如图1所示，四边形，四边形都是平行四边形，，，，，则此时离地面的高度为　 　；当机器狗前脚直立时，侧面如图2所示，此时，，三点刚好共线，，，则机器狗的身长　 　．
17．计算：
（1）；
（2）．
18．解方程：
（1）x（2x﹣5）＝2x﹣5；
（2）x2﹣2x﹣1＝0．
19．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1．每个小正方形的顶点叫做格点，以格点为顶点按下列要求画图．
（1）在图1中画一个，使；
（2）在图2中画一个以点O为对称中心，A，B为顶点的；
（3）图2中的面积为_______．
20．学校广播台要招聘一名编辑，甲、乙、丙三位同学报名并参加了3项素质测试，成绩如下表（单位：分）．
语言文字能力 运用媒体能力 创意设计能力
甲 86 77 77
乙 76 87 74
丙 80 78 85
（1）计算得甲、乙的平均分分别为80分，79分，请求出丙的平均分，并根据三人的平均分从高到低进行排序；
（2）学校认为：①单项最低分不能低于75分；②三个项目的重要程度有所不同，每位应聘者的语言文字能力、运用媒体能力、创意设计能力的成绩应按的比例计算其成绩，请问谁能成功应聘？
21．如图，在四边形中，对角线交于点O．已知，，．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若，求的长．
22．公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同．
（1）求该品牌头盔销售量的月增长率；
（2）若此种头盔的进价为30元/个，测算在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少5个，为使月销售利润达到8625元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？
23．已知关于的一元二次方程．
（1）若方程有两个实数根，求的范围；
（2）设方程的两个实数根是，，若，试求的取值范围．
24．如图，在四边形中，，点是边的中点，连接并延长交的延长线于点，且．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）连结，若，，，求四边形的面积；
（3）如图，在的条件下，若为线段上任意一点，作点关于点的对称点，连结，当点落在的边上时，求的值．
25．已知关于的一元二次方程（均为常数，且）的解是，，则关于的一元二次方程的解是　 　．
26．如图，在平行四边形中，，点分别为中点，，，则　 　．
27．如图，在中，，，，点为边上的中点，点为边上的两个动点（点P在点Q的左边），且，则的最小值为　 　．
28．已知关于的方程的解都是整数，求整数的值为　 　．
29．在中，点是边上一点，将沿折叠后，点的对应点为点．
（1）如图1，若，当点恰好落在上时，的值为　 　．
（2）当，，时，连结，
①如图2，当时，的长为　 　．
②当时，的长为　 　．
30．如图，为的对角线，平分为射线上一点．
（1）如图1，在延长线上，连接与交于点若；
①当为中点时，求证：；
②当时，求长度；
（2）如图2，在线段上，连接与交点于，若，试探究三条线段之间的数量关系，并说明理由．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】轴对称图形；中心对称图形
【解析】【解答】解：A、此选项的中国品牌新能源车的车标图形是轴对称图形，不是中心对称图形；
B、此选项的中国品牌新能源车的车标图形既是轴对称图形，又是中心对称图形；
C、此选项的中国品牌新能源车的车标图形是轴对称图形，不是中心对称图形；
D、此选项的中国品牌新能源车的车标图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形．
故答案为：B.
【分析】把一个平面图形，沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能完全重合的平面图形就是轴对称图形；把一个平面图形，在平面内绕着某一点旋转180°后，能与自身重合的图形就是中心对称图形，根据定义即可逐一判断得出答案.
2．【答案】B
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：A、此选项中的方程含有x和y两个未知数，不符合一元二次方程定义，故此选项不符合题意；
B、此选项中的方程整理为，只含一个未知数，未知数最高次数为，且是整式方程，符合一元二次方程定义，故此选项符合题意；
C、此选项中的方程含，分母含有未知数，不是整式方程，不符合一元二次方程定义，故此选项不符合题意；
D、此选项中的方程展开化简得，即，是一元一次方程，不符合一元二次方程定义，故此选项不符合题意．
故答案为：B.
【分析】 将一个方程整理成一般形式后，如果只含一个未知数，且未知数最高次数为2的整式方程就是一元二次方程，据此逐项判断得出答案.
3．【答案】C
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的加减法；求算术平方根
【解析】【解答】解：A、，故此选项错误；
B、，故此选项错误；
C、∵，∴，∴，故此选项正确；
D、，故此选项错误.
故选：C.
【分析】二次根式的加减法，就是将各个二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式，所谓同类二次根式，就是被开方数完全相同的最简二次根式，合并的时候，只需要将系数相加减，根号部分不变，不是同类二次根式的一定不能合并，据此可判断A选项；由二次根式性质“”可判断B、C选项；由于二次根式具有括号的作用，故先计算根号下含乘方的混合运算，再计算开方，据此可判断D选项.
4．【答案】D
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：∵原命题要证明的结论是，
∴反证法第一步应假设结论不成立，即假设．
故答案为：D.
【分析】反证法的步骤是：1、假设命题反面成立；2、从假设出发，经过推理得出和反面命题矛盾，或者与定义、公理、定理矛盾；3、得出假设命题不成立是错误的，即所求证命题成立要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须全部否定，据此解答即可.
5．【答案】A
【知识点】平均数及其计算；方差
【解析】【解答】解：根据题意得，园林工人将绿化带上参差不齐的植物修剪平整，即现有的高度一定小于等于原先的高度，波动变小了，方差就变小，
∴平均数变小，方差变小，
故选：A．
【分析】
此题考查了方差和平均数，方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
6．【答案】A
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】
即
故答案为：A.
【分析】依据配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方求解可得.
7．【答案】D
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：A、∵，
∴，而，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，故此选项不合题意；
B、∵，，
∴四边形是平行四边形，故此选项不合题意；
C、∵，，
∴四边形是平行四边形，故此选项不合题意；
D、，无法得出四边形是平行四边形，故此选项符合题意；
故选：D．
【分析】
根据平行四边形的各个判定方法，逐一对选项进行判断推导.
8．【答案】C
【知识点】平行四边形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵，对角线，相交于点，
∴，
∵E是中点，
∴是的中位线，
∴．
故选：C．
【分析】
利用三角形中位线定理得到，根据平行四边形的性质可以推出，由此可确定是的中位线，再结合三角形中位线的性质推出，即可完成计算求解.
9．【答案】A
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：我们设平均每轮每人会传染x个人，
最开始有1人感染了流感，
第一轮传染结束后，会新增x名感染者，此时总的患病人数为(1+x)人，
进入第二轮传染后，此时已经有(1+x)个病人，每个病人依旧会传染x个人，因此第二轮会新增x(1+x)名感染者，
因此两轮传染结束后，总的患病人数满足等式.
故答案为：A.
【分析】 先理清每轮传染后的患病人数，然后根据初始患者+第一轮被传染的患者+第二轮被传染的患者=两轮传染后患者的总人数列出方程即可.
10．【答案】C
【知识点】一元二次方程的根；直接开平方法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：①将x=-1代入ax2+bx+c=0得a-b+c=0，故x=-1是方程的解，①正确；
②∵是方程的一个根，
∴，
∴，
当时，不一定等于，故②错误；
③∵的两根为x1与x2，且，
∴方程两边同除以，得，
∴和满足方程，故③正确；
④∵，
∴，
∴判别式，
∵，，
∴，
∴方程有两个不相等的实数根，故④正确；
⑤∵，
∴，
∴或a-c=0，
又∵，
∴、异号，
∴，
∴方程cx2+bx+a=0为，
∴，
解得，
∴两根互为相反数，故⑤正确；
综上，正确的结论有4个．
故答案为：C.
【分析】观察方程ax2+bx+c=0变形为a-b+c=0，实质就是将x=-1代入方程变形的结果，即方程有根为x=-1，据此可判断①；根据方程根的定义，将x=c代入ax2+bx+c=0后利用提取公因式法将方程左边分解因式，根据两个因式乘积为零，则至少有一个因式为零可得当c=0时，ac+b+1=0不一定成立，据此可判断②； 方程ax2+bx+c=0两边同除以x2，得，然后根据方程根的定义可判断③；由a+c=0得c=-a，代入ax2+bx+c=0后利用根的判别式结合购书次幂的非负性可判断④；将等式ab-bc=0利用提取公因式法将方程左边分解因式，根据两个因式乘积为零，则至少有一个因式为零可得b=0或a-c=0，结合判断出b=0，从而举哀那个b=0代入ax2+bx+c=0，利用直接开平方法求解即可判断⑤.
11．【答案】a≤5
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：二次根式 ，
则5﹣a≥0，
解得：a≤5.
故答案为：a≤5.
【分析】根据二次根式有意义的条件（被开方数大于等于0）即可求解.
12．【答案】8
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：（n﹣2） 180°=1080°，
解得n=8．
【分析】直接根据内角和公式（n﹣2） 180°计算即可求解．
13．【答案】
【知识点】离差平方和
【解析】【解答】解：由离差平方和的分解公式可知，组内离差平方和总离差平方和组间离差平方和，将题目已知数据代入该关系式计算可得：．
故答案为：12.2.
【分析】本题的核心依据是离差平方和的分解关系：总离差平方和等于组间离差平方和与组内离差平方和之和，题目已经给出总离差平方和与组间离差平方和的数值，只需要通过减法运算就可以求出组内离差平方和的结果．
14．【答案】-2
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵是方程的两个实数根，
∴
∴
故答案为：-2.
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得到进而代入计算即可．
15．【答案】
【知识点】等腰三角形的判定与性质；平行四边形的性质；三角形全等的判定-AAS；直角三角形斜边上的中线；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：延长交的延长线于G，如图，
∵，点E是中点，
∴，
∴，
在中，，
∴∠BAE=∠G=50°，
∵点E是中点，
∴，
∵，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴；
故答案为：50．
【分析】延长AE交DC的延长线于G，由等边对等角及三角形的内角和定理可得∠BAE=50°，由平行四边形的对边平行得出AB∥CD，由二直线平行，内错角相等得∠BAE=∠G=50°，由中点定义得BE=CE，结合对顶角相等，由“AAS”证△ABE≌△GCE，由全等三角形的对应边相等得AE=GE，由直角三角形斜边上中线等于斜边的一半得EF=EG=AE，由等边对等角得∠G=∠EFG=50°．
16．【答案】35；
【知识点】平行四边形的性质；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：如图，过点C作于点P，交于点K，过点E作于点Q，
∵四边形，四边形都是平行四边形，
∴，，
∴，，∴，
在中，，，
∴，∴，
∵，∴，
在中，，，
∴，∴；
∵，，三点刚好共线，∴点D，G，H三点共线，
如图，过点E作于点Q，于点L，则，，
∴，
∵，∴，
∴是等腰直角三角形，∴，
根据题意得：，，
∴，∴，
∴．
故答案为：35；
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质以及直角三角形的性质。解题步骤如下：1.过点C作于点P，交于点K，过点E作于点Q。
2.根据平行四边形的性质，可知，且，因此
3.在和中，利用直角三角形的性质可得，，从而求出离地面的高度。
4.当、、三点共线时，过点E作于点Q，于点L，则，且。
5.此时为等腰直角三角形，因此，从而求出所需结果。
17．【答案】（1）解：
；
（2）解：
．
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；二次根式的加减法；二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）先由二次根式性质分别化简各个二次根式，再合并同类二次根式即可；
（2）先由完全平方公式、平方差公式展开括号，再由二次根式性质分别化简，最后计算实数加减运算即可．
（1）解：
；
（2）解：
．
18．【答案】解：（1）∵x(2x﹣5)＝2x﹣5，
∴x(2x﹣5)﹣(2x﹣5)＝0，
∴(2x﹣5)(x﹣1)＝0，
则2x﹣5＝0或x﹣1＝0，
解得：，；
（2）∵x2﹣2x﹣1＝0，
∴x2﹣2x＝1，
∴x2﹣2x+1＝1+1，即(x﹣1)2＝2，
∴x﹣1＝，
∴，．
【知识点】配方法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）将2x-5看成一个整体，将方程右边整体移到方程左边，然后将方程左边利用提取公因式法分解因式，根据两个因式的乘积等于零，则至少有一个因式为零，从而将方程降次为两个一元一次方程，解两个一元一次方程即可求出原方程的解；
（2）利用配方法解方程，首先将常数项移到方程的右边，然后方程的两边都加上一次项系数一半的平方，左边利用完全平方公式分解因式，右边合并同类项，接着利用直接开平方法将方程降次为两个一元一次方程，解两个一元一次方程即可求出原方程的解.
19．【答案】（1）解：如图所示即为所求；
（2）如图所示即为所求；
（3）6
【知识点】平行四边形的性质；平行四边形的面积；作图﹣中心对称
【解析】【解答】解：（3）的面积为
【分析】
（1）结合网格的特点，画出满足的图形，再构造出符合要求的平行四边形即可；
（2）依据中心对称的性质，找出各个关键点的对称点，就可以作出要求的平行四边形；
（3）直接利用平行四边形的面积公式计算得到最终结果即可.
（1）解：如图所示即为所求；
（2）如图所示即为所求；
（3）的面积为
20．【答案】（1）解：，
三名应聘者的排名顺序为丙，甲，乙；
（2）由题意得：乙不符合条件①，
，
，
，
甲应聘成功．
【知识点】平均数及其计算；加权平均数及其计算
【解析】【分析】（1）利用平均数的公式求出丙的成绩，排序即可；
（2）利用加权平均数公式求出甲，丙的成绩，作出决策即可.
21．【答案】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：如图，过点C作于点E，
则，
∵，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，CD∥AB，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴．
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；等腰直角三角形
【解析】【分析】（1）由二直线平行，同旁内角互补得∠BAD+∠ADC=180°，结合已知，由等量代换得∠BCD+∠ADC=180°，然后根据同旁内角互补，两直线平行得AD∥BC，然后由平行四边形的判定定理“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”即可得出结论；
（2）过点C作CE⊥AB于点E，由同一平面内垂直于同一直线的两条直线互相平行得CE∥BD，易得△ABD是等腰直角三角形，得BD=AB=2，由平行四边形的对边平行且相等得CD=AB=2，CD∥AB，由“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”证明四边形CDBE是平行四边形，得BE=CD=2，CE=BD=2，进而算出AE，然后由勾股定理求出AC的长即可．
（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：如图，过点C作于点E，
则，
∵，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴．
22．【答案】（1）解：设该品牌头盔销售量的月增长率为，
根据题意可得，
解得，（舍去），
答：该品牌头盔销售量的月增长率为；
（2）解：设该品牌头盔的实际售价为y元/个，
由题意可得，
解得，
尽可能让顾客得到实惠，
（舍去），
答：该品牌头盔的实际售价应定为45元/个．
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题；一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【解答】（2）解：设该品牌头盔的实际售价为y元/个，
由题意可得，
解得，
尽可能让顾客得到实惠，
（舍去），
答：该品牌头盔的实际售价应定为45元/个．
【分析】（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为，进而根据“某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同”即可即可列出一元二次方程，从而即可求解；
（2）设该品牌头盔的实际售价为y元/个，根据题意列出一元二次方程，从而即可求解。
23．【答案】（1）解：∵关于的一元二次方程即有两个实数根，
∴，
∴解得：，
∴的范围是
（2）解：∵，是方程的两个实数根
∴，，
∴
∵，
∴
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】（1）对于一元二次方程“ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）”中，当b2-4ac＞0时方程有两个不相等的实数根，当b2-4ac=0时方程有两个相等的实数根，当b2-4ac＜0时方程没有实数根，据此结合题意列出关于字母m的不等式，求解即可得出m的取值范围；
（2）由一元二次方程解的定义得，，将题干所给等式整理为y=a2-2a-2(b2-2b)-3，然后整体代入可得出，再结合（1）中的取值范围即可得到的取值范围.
（1）解：∵关于的一元二次方程即有两个实数根，
∴，
∴解得：，
∴的范围是；
（2）∵，是方程的两个实数根
∴，，
∴
∵，
∴．
24．【答案】（1）证明：∵，，
点是边的中点，
，
，
∴，
，
，
，
∵，
四边形是平行四边形；
（2）解：如图，过点作于点，
，，，
，，
四边形的面积
（3）解：①如图，当点落在的边上时，
由题意可知：是的中点，
，
在平行四边形中，，
，，
≌，
，
；
②如图，当点落在的边上时，过点作的平行线交于点，过点作于点，
同理可证≌，
，，
是的中位线，
，，，，
在中，．
综上所述：的值为或．
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理；四边形的综合；分类讨论
【解析】【分析】（1）证明，得，进而根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可证明结论；
（2）如图，过点作于点，根据等腰直角三角形的性质和含度角的直角三角形的性质求出，的值，可求三角形ADE的面积。平行四边形的面积=三角形ADE的面积的2倍，即可解决问题；
（3）结合分两种情况讨论：如图，当点落在的边上时，≌，然后求出AQ=BE，继而求出AQ
如图，当点落在的边上时，过点作的平行线交于点，过点作于点，证≌，证MQ是三角形ADE底边AD的中位线，计算NQ和AN.在中利用勾股定理求出AQ
25．【答案】
【知识点】换元法解一元二次方程
【解析】【解答】解： ∵关于的一元二次方程（均为常数，且）的解是，，
令x+3=y，
∴关于y的一元二次方程（均为常数，且）的解是，，
即关于的一元二次方程的解是，，
∴.
故答案为：.
【分析】令x+3=y，观察发现方程和是同一个方程，解相同，故可根据的解得到方程的解.再解关于x的方程，即可得到的解.
26．【答案】
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；平行四边形的性质；矩形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：过点A作，交延长线于点F，连接，则∠AFD=90°，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵BE⊥CD，AF⊥CD，
∴AF∥BE，
∴四边形ABEF是平行四边形，
又∠AFD=90°，
∴四边形ABEF是矩形，
∴．
根据勾股定理，得，
∴．
∵
∴，
∴
∵点G是的中点，
∴，
∴，
即．
∵点H是的中点，
∴是的中位线，
∴．
故答案为：．
【分析】过点A作，交延长线于点F，连接；由平行四边形的对边平行且相等得AB∥CD，AD=BC，由同一平面内垂直同一直线的两条直线互相平行得出AF∥BE，由两组对边分别平行得四边形是平行四边形得出四边形AFEB是平行四边形，进而根据有一个内角为直角的平行四边形是矩形得出四边形ABEF是矩形，由矩形的性质得AE=BF，AF=BE，再根据勾股定理求出AE，然后利用“HL”证Rt△BEC≌Rt△AFD，由全等三角形的对应边相等得CE=DF，结合中点定义及线段和差推出CG=GF，从而根据三角形中位线等于第三边的一半得出GH=BF，从而即可得出答案.
27．【答案】
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定-AAS；将军饮马模型-两线两点（两动两定）
【解析】【解答】解：∵
∴，，
∴
∵点为边上的中点，
∴，
作点E关于AD的对称点F，连接EF交AD于G，延长FE交CB延长线于N，过点F作FH∥AD，使FH=1，连接CH交AD于Q，过点F作FM∥CH，交AD于P，交BC于M，连接PE， 如图，
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，，
∵点E关于的对称点为F，
∴，
∴此时，最小，最小值为，
∵作点E关于的对称点F，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∴，
∵，
由勾股定理，得．
∴的最小值为．
故答案为：．
【分析】由平行四边形性质得AD=BC=6，AD∥BC，由二直线平行，同旁内角互补得出∠A=60°；作点E关于AD的对称点F，连接EF交AD于G，延长FE交CB延长线于N，过点F作FH∥AD，使FH=1，连接CH交AD于Q，过点F作FM∥CH，交AD于P，交BC于M，连接PE，由两组对边分别平行得四边形是平行四边形得出四边形PQHF与四边形PQCM都是平行四边形，由平行四边形的对边相等得出FH=PQ=CM=1PM=CQ，由轴对称性质得PE=PF，则PE+CQ=PF+PM=MF；由含30°角直角三角形性质环球出AG=1，然后利用勾股定理算出GE；利用“AAS”证△AGE≌△BNE，由全等三角形的对应边相等得出BN=AG=1，NE=GE，由线段和差算出FN、MN，最后在Rt△FNM中利用勾股定理算出MF即可.
28．【答案】4，6，8，12
【知识点】一元二次方程的根；因式分解法解一元二次方程；分类讨论
【解析】【解答】解：当时，原方程为，解得，符合题意；
当时，原方程为，解得，符合题意；
当且时，原方程化为，解得，．
为整数，且，均为整数根，
，，，，得，，，，，，，
且，，，得，，，，．
综上所述，当的值为，，，时，原方程的根都为整数．
故答案为：4，6，8，12.
【分析】分类讨论：①当k=4或k=8是方程为一元一次方程，求解根据方程根为整数判断；②当k≠4且k≠8时，方程为一元二次方程，将k作为常数，利用因式分解法求解方程，用含k的式子表示出x，然后根据方程的解都是整数，确定出符合题意的k的值.
29．【答案】；；
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：（1）由折叠得
，
，
，
，
，
；
（2）①由折叠可知，
又，则为等腰直角三角形，
，即，解得，
，则，
；
②如图，延长EF交AD延长线于G，过D作DH⊥BC的延长线于H，
由翻折可知，
在中，，，，
，
，
，
又∵，
，
，，
，
又，
四边形为平行四边形，
，
，
．
故答案为：5，，.
【分析】（1）由折叠得∠AEB=∠AEF，由平行四边形对边平行得AD∥BC，由二直线平行，内错角相等得∠DAE=∠AEB，则∠DAE= ∠ DEA，由等角对等边得出DE=AD=5；
（2）① 由折叠可知， 则△ABN与△EFN都是等腰直角三角形，在Rt△ABN中，利用勾股定理算出BN=AN=2，由线段和差算出NF、从而得出EN，再根据BE=BN-EN可算出答案；
② 延长EF交AD延长线于G，过D作DH⊥BC的延长线于H，同（1）求出GA=GE，易得△DCH为等腰直角三角形，且CH=DH=2，则BH=BC+CH=6，在Rt△BDH中，利用勾股定理算出BD；由两组对边分别平行的四边形是平行四边形得四边形BDGE为平行四边形，由平行四边形的对边相等得GE=BD，BE=DG，进而根据线段和差算出DG即可得出答案.
30．【答案】解（1）①∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC=AD，AD∥BF，AB=CD=6
∴∠D=∠FCD，
∵G是CD中点，
∴DG=CG，
∵∠FGC=∠DGA，
∴△ADG≌△FCG（ASA），
∴AD=FC，
∴FC=BC．
②在Rt△ABC中，AC=8，AB=6，
∴BC==10，
∵CE平分∠ACB，
∴∠ACE=∠BCE，
∵AC=AF，
∴∠F=∠CAF，
∵∠ACB=∠F+∠CAF=2∠F=∠ACE+∠BCE=2∠BCE，
∴∠F=∠BCE，
∴CE∥AG，
又∵AB∥CD，
∴四边形AECG是平行四边形，
∴AE=CG，
如图1，过点E作EN⊥BC于N，
∵∠ACE=∠ECN，∠EAC=∠ENC=90°，CE=CE，
∴△ACE≌△NCE（AAS），
∴AC=CN=8，AE=EN，
∴BN=2，
∵BE2=BN2+EN2，
∴（6-EN）2=EN2+4，
∴EN=，
∴AE=CG=；
（3）AC=AH+AD，理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B=∠D，AD=BC，
∵∠D=3∠ACE，
∴∠B=3∠ACE，
∵∠ACE+∠BCE+∠B+∠BAC=180°，
∴∠ACE=∠BCE=18°，∠B=54°，
∵AF=CF，
∴∠CAF=∠ACF=36°，
∴∠B=∠BAF=54°，
∴AF=BF=CF=BC=AD，
如图2，以C为顶点作∠BCP=36°，交AF的延长线于P，
∴∠ACP=72°，
又∵∠CAF=36°，
∴∠P=72°=∠ACP，
∴AC=AP，
∵∠CHP=∠ACE+∠CAF=54°，∠PCH=∠BCE+∠BCP=54°，
∴∠CHP=∠PCH，
∴CP=PH，
∵∠CFP=∠ACF+∠FAC=72°，
∴∠CFP=∠P，
∴CP=CF=PH，
∵AC=AP=AH+PH，
∴AC=AH+AD．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定-ASA；三角形全等的判定-AAS；四边形的综合
【解析】【分析】（1）①由平行四边形的对边平行且相等得BC=AD，AD∥BF，由二直线平行，内错角相等得∠D=∠FCD，结合对顶角相等，由“ASA”可证△ADG≌△FCG，根据全等三角形的对应边相等可得AD=CF=BC；
②在Rt△ABC中，利用勾股定理算出BC，由角平分线定义、等边对等角及三角形外角性质可推出∠F=∠BCE， 由同位角相等两直线平行推出CE∥AF，由两组对边分别平行的四边形是平行四边形得出四边形AECG是平行四边形，由平行四边形的对边相等可得AE=CG；过点E作EN⊥BC于N，由“AAS”可证△ACE≌△NCE，由全等三角形的对应边相等可得AC=CN=8，AE=EN，在Rt△EBN中，由勾股定理可求EN的长，从而即可得出CG的长；
（2）AC=AH+AD，理由如下：由角的数量关系和三角形内角和定理可求∠ACE=∠BCE=18°，∠B=54°，由等腰三角形的性质可求∠CAF=∠ACF=36°，由余角的性质可求∠B=∠BAF=54°，可得AF=BF=CF=BC=AD，以C为顶点作∠BCP=36°，交AF的延长线于P，由三角形的外角性质可证∠CHP=∠PCH，∠CFP=∠P，由等角对等边可得CP=CF=PH，从而可得结论．
1 / 1浙江余姚市子陵中学教育集团子陵校区2025-2026学年第二学期八年级期中考教学质量检测数学试卷
1．下列中国品牌新能源车的车标中，是中心对称图形又是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】轴对称图形；中心对称图形
【解析】【解答】解：A、此选项的中国品牌新能源车的车标图形是轴对称图形，不是中心对称图形；
B、此选项的中国品牌新能源车的车标图形既是轴对称图形，又是中心对称图形；
C、此选项的中国品牌新能源车的车标图形是轴对称图形，不是中心对称图形；
D、此选项的中国品牌新能源车的车标图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形．
故答案为：B.
【分析】把一个平面图形，沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能完全重合的平面图形就是轴对称图形；把一个平面图形，在平面内绕着某一点旋转180°后，能与自身重合的图形就是中心对称图形，根据定义即可逐一判断得出答案.
2．在下列方程中，属于一元二次方程的是（　　）．
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：A、此选项中的方程含有x和y两个未知数，不符合一元二次方程定义，故此选项不符合题意；
B、此选项中的方程整理为，只含一个未知数，未知数最高次数为，且是整式方程，符合一元二次方程定义，故此选项符合题意；
C、此选项中的方程含，分母含有未知数，不是整式方程，不符合一元二次方程定义，故此选项不符合题意；
D、此选项中的方程展开化简得，即，是一元一次方程，不符合一元二次方程定义，故此选项不符合题意．
故答案为：B.
【分析】 将一个方程整理成一般形式后，如果只含一个未知数，且未知数最高次数为2的整式方程就是一元二次方程，据此逐项判断得出答案.
3．下列计算中正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的加减法；求算术平方根
【解析】【解答】解：A、，故此选项错误；
B、，故此选项错误；
C、∵，∴，∴，故此选项正确；
D、，故此选项错误.
故选：C.
【分析】二次根式的加减法，就是将各个二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式，所谓同类二次根式，就是被开方数完全相同的最简二次根式，合并的时候，只需要将系数相加减，根号部分不变，不是同类二次根式的一定不能合并，据此可判断A选项；由二次根式性质“”可判断B、C选项；由于二次根式具有括号的作用，故先计算根号下含乘方的混合运算，再计算开方，据此可判断D选项.
4．用反证法证明命题“如果，那么”，则第一步应先假设（　　）．
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：∵原命题要证明的结论是，
∴反证法第一步应假设结论不成立，即假设．
故答案为：D.
【分析】反证法的步骤是：1、假设命题反面成立；2、从假设出发，经过推理得出和反面命题矛盾，或者与定义、公理、定理矛盾；3、得出假设命题不成立是错误的，即所求证命题成立要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须全部否定，据此解答即可.
5．如图，园林工人将绿化带上参差不齐的植物修剪平整，在此过程中绿化带上植物高度的平均数与方差均发生变化．关于这两个统计量的变化情况，描述正确的是（　　）
A．平均数变小，方差变小 B．平均数变小，方差变大
C．平均数变大，方差变大 D．平均数变大，方差变小
【答案】A
【知识点】平均数及其计算；方差
【解析】【解答】解：根据题意得，园林工人将绿化带上参差不齐的植物修剪平整，即现有的高度一定小于等于原先的高度，波动变小了，方差就变小，
∴平均数变小，方差变小，
故选：A．
【分析】
此题考查了方差和平均数，方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
6．用配方法解方程 ，下列配方正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】
即
故答案为：A.
【分析】依据配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方求解可得.
7．如图，四边形中，对角线，相交于点，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（　　）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】D
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：A、∵，
∴，而，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，故此选项不合题意；
B、∵，，
∴四边形是平行四边形，故此选项不合题意；
C、∵，，
∴四边形是平行四边形，故此选项不合题意；
D、，无法得出四边形是平行四边形，故此选项符合题意；
故选：D．
【分析】
根据平行四边形的各个判定方法，逐一对选项进行判断推导.
8．如图，中，对角线，相交于点，点是的中点，若，则的长为（　　）
A．6 B．5 C．4 D．3
【答案】C
【知识点】平行四边形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵，对角线，相交于点，
∴，
∵E是中点，
∴是的中位线，
∴．
故选：C．
【分析】
利用三角形中位线定理得到，根据平行四边形的性质可以推出，由此可确定是的中位线，再结合三角形中位线的性质推出，即可完成计算求解.
9．有一个人患了流感，经过两轮传染后，共有个人患了流感，设平均每轮每人传染个人，则下列等式成立的是（　　）．
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：我们设平均每轮每人会传染x个人，
最开始有1人感染了流感，
第一轮传染结束后，会新增x名感染者，此时总的患病人数为(1+x)人，
进入第二轮传染后，此时已经有(1+x)个病人，每个病人依旧会传染x个人，因此第二轮会新增x(1+x)名感染者，
因此两轮传染结束后，总的患病人数满足等式.
故答案为：A.
【分析】 先理清每轮传染后的患病人数，然后根据初始患者+第一轮被传染的患者+第二轮被传染的患者=两轮传染后患者的总人数列出方程即可.
10．对于一元二次方程，下列说法：
①若，则方程一定有解；
②若是方程的一个根，则一定有成立；
③若方程两根为，，且满足，则方程，必有实数根，．
④若，则方程必有两个不相等的实数根；
⑤若，且，则方程的两实数一定互为相反数．
其中，正确的有几个（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】C
【知识点】一元二次方程的根；直接开平方法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：①将x=-1代入ax2+bx+c=0得a-b+c=0，故x=-1是方程的解，①正确；
②∵是方程的一个根，
∴，
∴，
当时，不一定等于，故②错误；
③∵的两根为x1与x2，且，
∴方程两边同除以，得，
∴和满足方程，故③正确；
④∵，
∴，
∴判别式，
∵，，
∴，
∴方程有两个不相等的实数根，故④正确；
⑤∵，
∴，
∴或a-c=0，
又∵，
∴、异号，
∴，
∴方程cx2+bx+a=0为，
∴，
解得，
∴两根互为相反数，故⑤正确；
综上，正确的结论有4个．
故答案为：C.
【分析】观察方程ax2+bx+c=0变形为a-b+c=0，实质就是将x=-1代入方程变形的结果，即方程有根为x=-1，据此可判断①；根据方程根的定义，将x=c代入ax2+bx+c=0后利用提取公因式法将方程左边分解因式，根据两个因式乘积为零，则至少有一个因式为零可得当c=0时，ac+b+1=0不一定成立，据此可判断②； 方程ax2+bx+c=0两边同除以x2，得，然后根据方程根的定义可判断③；由a+c=0得c=-a，代入ax2+bx+c=0后利用根的判别式结合购书次幂的非负性可判断④；将等式ab-bc=0利用提取公因式法将方程左边分解因式，根据两个因式乘积为零，则至少有一个因式为零可得b=0或a-c=0，结合判断出b=0，从而举哀那个b=0代入ax2+bx+c=0，利用直接开平方法求解即可判断⑤.
11．在二次根式 中，字母a的取值范围为　 　.
【答案】a≤5
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：二次根式 ，
则5﹣a≥0，
解得：a≤5.
故答案为：a≤5.
【分析】根据二次根式有意义的条件（被开方数大于等于0）即可求解.
12．一个n边形的内角和为1080°，则n=　 　 ．
【答案】8
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：（n﹣2） 180°=1080°，
解得n=8．
【分析】直接根据内角和公式（n﹣2） 180°计算即可求解．
13．已知一组数据的离差平方和为，将数据分成、两组，这两组数据的组间离差平方和为，则这两组数据的组内离差平方和为　 　．
【答案】
【知识点】离差平方和
【解析】【解答】解：由离差平方和的分解公式可知，组内离差平方和总离差平方和组间离差平方和，将题目已知数据代入该关系式计算可得：．
故答案为：12.2.
【分析】本题的核心依据是离差平方和的分解关系：总离差平方和等于组间离差平方和与组内离差平方和之和，题目已经给出总离差平方和与组间离差平方和的数值，只需要通过减法运算就可以求出组内离差平方和的结果．
14．已知是方程的两个实数根，则　 　。
【答案】-2
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵是方程的两个实数根，
∴
∴
故答案为：-2.
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得到进而代入计算即可．
15．如图， 中，，点E是中点，过点A作，垂足为F，连接，则　 　°．
【答案】
【知识点】等腰三角形的判定与性质；平行四边形的性质；三角形全等的判定-AAS；直角三角形斜边上的中线；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：延长交的延长线于G，如图，
∵，点E是中点，
∴，
∴，
在中，，
∴∠BAE=∠G=50°，
∵点E是中点，
∴，
∵，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴；
故答案为：50．
【分析】延长AE交DC的延长线于G，由等边对等角及三角形的内角和定理可得∠BAE=50°，由平行四边形的对边平行得出AB∥CD，由二直线平行，内错角相等得∠BAE=∠G=50°，由中点定义得BE=CE，结合对顶角相等，由“AAS”证△ABE≌△GCE，由全等三角形的对应边相等得AE=GE，由直角三角形斜边上中线等于斜边的一半得EF=EG=AE，由等边对等角得∠G=∠EFG=50°．
16．由杭州云深处科技打造的智能四足机器人——“绝影”机器狗已在多种行业中示范应用，机器狗水平行走时侧面如图1所示，四边形，四边形都是平行四边形，，，，，则此时离地面的高度为　 　；当机器狗前脚直立时，侧面如图2所示，此时，，三点刚好共线，，，则机器狗的身长　 　．
【答案】35；
【知识点】平行四边形的性质；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：如图，过点C作于点P，交于点K，过点E作于点Q，
∵四边形，四边形都是平行四边形，
∴，，
∴，，∴，
在中，，，
∴，∴，
∵，∴，
在中，，，
∴，∴；
∵，，三点刚好共线，∴点D，G，H三点共线，
如图，过点E作于点Q，于点L，则，，
∴，
∵，∴，
∴是等腰直角三角形，∴，
根据题意得：，，
∴，∴，
∴．
故答案为：35；
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质以及直角三角形的性质。解题步骤如下：1.过点C作于点P，交于点K，过点E作于点Q。
2.根据平行四边形的性质，可知，且，因此
3.在和中，利用直角三角形的性质可得，，从而求出离地面的高度。
4.当、、三点共线时，过点E作于点Q，于点L，则，且。
5.此时为等腰直角三角形，因此，从而求出所需结果。
17．计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：
；
（2）解：
．
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；二次根式的加减法；二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）先由二次根式性质分别化简各个二次根式，再合并同类二次根式即可；
（2）先由完全平方公式、平方差公式展开括号，再由二次根式性质分别化简，最后计算实数加减运算即可．
（1）解：
；
（2）解：
．
18．解方程：
（1）x（2x﹣5）＝2x﹣5；
（2）x2﹣2x﹣1＝0．
【答案】解：（1）∵x(2x﹣5)＝2x﹣5，
∴x(2x﹣5)﹣(2x﹣5)＝0，
∴(2x﹣5)(x﹣1)＝0，
则2x﹣5＝0或x﹣1＝0，
解得：，；
（2）∵x2﹣2x﹣1＝0，
∴x2﹣2x＝1，
∴x2﹣2x+1＝1+1，即(x﹣1)2＝2，
∴x﹣1＝，
∴，．
【知识点】配方法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）将2x-5看成一个整体，将方程右边整体移到方程左边，然后将方程左边利用提取公因式法分解因式，根据两个因式的乘积等于零，则至少有一个因式为零，从而将方程降次为两个一元一次方程，解两个一元一次方程即可求出原方程的解；
（2）利用配方法解方程，首先将常数项移到方程的右边，然后方程的两边都加上一次项系数一半的平方，左边利用完全平方公式分解因式，右边合并同类项，接着利用直接开平方法将方程降次为两个一元一次方程，解两个一元一次方程即可求出原方程的解.
19．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1．每个小正方形的顶点叫做格点，以格点为顶点按下列要求画图．
（1）在图1中画一个，使；
（2）在图2中画一个以点O为对称中心，A，B为顶点的；
（3）图2中的面积为_______．
【答案】（1）解：如图所示即为所求；
（2）如图所示即为所求；
（3）6
【知识点】平行四边形的性质；平行四边形的面积；作图﹣中心对称
【解析】【解答】解：（3）的面积为
【分析】
（1）结合网格的特点，画出满足的图形，再构造出符合要求的平行四边形即可；
（2）依据中心对称的性质，找出各个关键点的对称点，就可以作出要求的平行四边形；
（3）直接利用平行四边形的面积公式计算得到最终结果即可.
（1）解：如图所示即为所求；
（2）如图所示即为所求；
（3）的面积为
20．学校广播台要招聘一名编辑，甲、乙、丙三位同学报名并参加了3项素质测试，成绩如下表（单位：分）．
语言文字能力 运用媒体能力 创意设计能力
甲 86 77 77
乙 76 87 74
丙 80 78 85
（1）计算得甲、乙的平均分分别为80分，79分，请求出丙的平均分，并根据三人的平均分从高到低进行排序；
（2）学校认为：①单项最低分不能低于75分；②三个项目的重要程度有所不同，每位应聘者的语言文字能力、运用媒体能力、创意设计能力的成绩应按的比例计算其成绩，请问谁能成功应聘？
【答案】（1）解：，
三名应聘者的排名顺序为丙，甲，乙；
（2）由题意得：乙不符合条件①，
，
，
，
甲应聘成功．
【知识点】平均数及其计算；加权平均数及其计算
【解析】【分析】（1）利用平均数的公式求出丙的成绩，排序即可；
（2）利用加权平均数公式求出甲，丙的成绩，作出决策即可.
21．如图，在四边形中，对角线交于点O．已知，，．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若，求的长．
【答案】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：如图，过点C作于点E，
则，
∵，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，CD∥AB，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴．
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；等腰直角三角形
【解析】【分析】（1）由二直线平行，同旁内角互补得∠BAD+∠ADC=180°，结合已知，由等量代换得∠BCD+∠ADC=180°，然后根据同旁内角互补，两直线平行得AD∥BC，然后由平行四边形的判定定理“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”即可得出结论；
（2）过点C作CE⊥AB于点E，由同一平面内垂直于同一直线的两条直线互相平行得CE∥BD，易得△ABD是等腰直角三角形，得BD=AB=2，由平行四边形的对边平行且相等得CD=AB=2，CD∥AB，由“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”证明四边形CDBE是平行四边形，得BE=CD=2，CE=BD=2，进而算出AE，然后由勾股定理求出AC的长即可．
（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：如图，过点C作于点E，
则，
∵，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴．
22．公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同．
（1）求该品牌头盔销售量的月增长率；
（2）若此种头盔的进价为30元/个，测算在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少5个，为使月销售利润达到8625元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？
【答案】（1）解：设该品牌头盔销售量的月增长率为，
根据题意可得，
解得，（舍去），
答：该品牌头盔销售量的月增长率为；
（2）解：设该品牌头盔的实际售价为y元/个，
由题意可得，
解得，
尽可能让顾客得到实惠，
（舍去），
答：该品牌头盔的实际售价应定为45元/个．
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题；一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【解答】（2）解：设该品牌头盔的实际售价为y元/个，
由题意可得，
解得，
尽可能让顾客得到实惠，
（舍去），
答：该品牌头盔的实际售价应定为45元/个．
【分析】（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为，进而根据“某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同”即可即可列出一元二次方程，从而即可求解；
（2）设该品牌头盔的实际售价为y元/个，根据题意列出一元二次方程，从而即可求解。
23．已知关于的一元二次方程．
（1）若方程有两个实数根，求的范围；
（2）设方程的两个实数根是，，若，试求的取值范围．
【答案】（1）解：∵关于的一元二次方程即有两个实数根，
∴，
∴解得：，
∴的范围是
（2）解：∵，是方程的两个实数根
∴，，
∴
∵，
∴
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】（1）对于一元二次方程“ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）”中，当b2-4ac＞0时方程有两个不相等的实数根，当b2-4ac=0时方程有两个相等的实数根，当b2-4ac＜0时方程没有实数根，据此结合题意列出关于字母m的不等式，求解即可得出m的取值范围；
（2）由一元二次方程解的定义得，，将题干所给等式整理为y=a2-2a-2(b2-2b)-3，然后整体代入可得出，再结合（1）中的取值范围即可得到的取值范围.
（1）解：∵关于的一元二次方程即有两个实数根，
∴，
∴解得：，
∴的范围是；
（2）∵，是方程的两个实数根
∴，，
∴
∵，
∴．
24．如图，在四边形中，，点是边的中点，连接并延长交的延长线于点，且．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）连结，若，，，求四边形的面积；
（3）如图，在的条件下，若为线段上任意一点，作点关于点的对称点，连结，当点落在的边上时，求的值．
【答案】（1）证明：∵，，
点是边的中点，
，
，
∴，
，
，
，
∵，
四边形是平行四边形；
（2）解：如图，过点作于点，
，，，
，，
四边形的面积
（3）解：①如图，当点落在的边上时，
由题意可知：是的中点，
，
在平行四边形中，，
，，
≌，
，
；
②如图，当点落在的边上时，过点作的平行线交于点，过点作于点，
同理可证≌，
，，
是的中位线，
，，，，
在中，．
综上所述：的值为或．
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理；四边形的综合；分类讨论
【解析】【分析】（1）证明，得，进而根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可证明结论；
（2）如图，过点作于点，根据等腰直角三角形的性质和含度角的直角三角形的性质求出，的值，可求三角形ADE的面积。平行四边形的面积=三角形ADE的面积的2倍，即可解决问题；
（3）结合分两种情况讨论：如图，当点落在的边上时，≌，然后求出AQ=BE，继而求出AQ
如图，当点落在的边上时，过点作的平行线交于点，过点作于点，证≌，证MQ是三角形ADE底边AD的中位线，计算NQ和AN.在中利用勾股定理求出AQ
25．已知关于的一元二次方程（均为常数，且）的解是，，则关于的一元二次方程的解是　 　．
【答案】
【知识点】换元法解一元二次方程
【解析】【解答】解： ∵关于的一元二次方程（均为常数，且）的解是，，
令x+3=y，
∴关于y的一元二次方程（均为常数，且）的解是，，
即关于的一元二次方程的解是，，
∴.
故答案为：.
【分析】令x+3=y，观察发现方程和是同一个方程，解相同，故可根据的解得到方程的解.再解关于x的方程，即可得到的解.
26．如图，在平行四边形中，，点分别为中点，，，则　 　．
【答案】
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；平行四边形的性质；矩形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：过点A作，交延长线于点F，连接，则∠AFD=90°，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵BE⊥CD，AF⊥CD，
∴AF∥BE，
∴四边形ABEF是平行四边形，
又∠AFD=90°，
∴四边形ABEF是矩形，
∴．
根据勾股定理，得，
∴．
∵
∴，
∴
∵点G是的中点，
∴，
∴，
即．
∵点H是的中点，
∴是的中位线，
∴．
故答案为：．
【分析】过点A作，交延长线于点F，连接；由平行四边形的对边平行且相等得AB∥CD，AD=BC，由同一平面内垂直同一直线的两条直线互相平行得出AF∥BE，由两组对边分别平行得四边形是平行四边形得出四边形AFEB是平行四边形，进而根据有一个内角为直角的平行四边形是矩形得出四边形ABEF是矩形，由矩形的性质得AE=BF，AF=BE，再根据勾股定理求出AE，然后利用“HL”证Rt△BEC≌Rt△AFD，由全等三角形的对应边相等得CE=DF，结合中点定义及线段和差推出CG=GF，从而根据三角形中位线等于第三边的一半得出GH=BF，从而即可得出答案.
27．如图，在中，，，，点为边上的中点，点为边上的两个动点（点P在点Q的左边），且，则的最小值为　 　．
【答案】
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定-AAS；将军饮马模型-两线两点（两动两定）
【解析】【解答】解：∵
∴，，
∴
∵点为边上的中点，
∴，
作点E关于AD的对称点F，连接EF交AD于G，延长FE交CB延长线于N，过点F作FH∥AD，使FH=1，连接CH交AD于Q，过点F作FM∥CH，交AD于P，交BC于M，连接PE， 如图，
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，，
∵点E关于的对称点为F，
∴，
∴此时，最小，最小值为，
∵作点E关于的对称点F，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∴，
∵，
由勾股定理，得．
∴的最小值为．
故答案为：．
【分析】由平行四边形性质得AD=BC=6，AD∥BC，由二直线平行，同旁内角互补得出∠A=60°；作点E关于AD的对称点F，连接EF交AD于G，延长FE交CB延长线于N，过点F作FH∥AD，使FH=1，连接CH交AD于Q，过点F作FM∥CH，交AD于P，交BC于M，连接PE，由两组对边分别平行得四边形是平行四边形得出四边形PQHF与四边形PQCM都是平行四边形，由平行四边形的对边相等得出FH=PQ=CM=1PM=CQ，由轴对称性质得PE=PF，则PE+CQ=PF+PM=MF；由含30°角直角三角形性质环球出AG=1，然后利用勾股定理算出GE；利用“AAS”证△AGE≌△BNE，由全等三角形的对应边相等得出BN=AG=1，NE=GE，由线段和差算出FN、MN，最后在Rt△FNM中利用勾股定理算出MF即可.
28．已知关于的方程的解都是整数，求整数的值为　 　．
【答案】4，6，8，12
【知识点】一元二次方程的根；因式分解法解一元二次方程；分类讨论
【解析】【解答】解：当时，原方程为，解得，符合题意；
当时，原方程为，解得，符合题意；
当且时，原方程化为，解得，．
为整数，且，均为整数根，
，，，，得，，，，，，，
且，，，得，，，，．
综上所述，当的值为，，，时，原方程的根都为整数．
故答案为：4，6，8，12.
【分析】分类讨论：①当k=4或k=8是方程为一元一次方程，求解根据方程根为整数判断；②当k≠4且k≠8时，方程为一元二次方程，将k作为常数，利用因式分解法求解方程，用含k的式子表示出x，然后根据方程的解都是整数，确定出符合题意的k的值.
29．在中，点是边上一点，将沿折叠后，点的对应点为点．
（1）如图1，若，当点恰好落在上时，的值为　 　．
（2）当，，时，连结，
①如图2，当时，的长为　 　．
②当时，的长为　 　．
【答案】；；
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：（1）由折叠得
，
，
，
，
，
；
（2）①由折叠可知，
又，则为等腰直角三角形，
，即，解得，
，则，
；
②如图，延长EF交AD延长线于G，过D作DH⊥BC的延长线于H，
由翻折可知，
在中，，，，
，
，
，
又∵，
，
，，
，
又，
四边形为平行四边形，
，
，
．
故答案为：5，，.
【分析】（1）由折叠得∠AEB=∠AEF，由平行四边形对边平行得AD∥BC，由二直线平行，内错角相等得∠DAE=∠AEB，则∠DAE= ∠ DEA，由等角对等边得出DE=AD=5；
（2）① 由折叠可知， 则△ABN与△EFN都是等腰直角三角形，在Rt△ABN中，利用勾股定理算出BN=AN=2，由线段和差算出NF、从而得出EN，再根据BE=BN-EN可算出答案；
② 延长EF交AD延长线于G，过D作DH⊥BC的延长线于H，同（1）求出GA=GE，易得△DCH为等腰直角三角形，且CH=DH=2，则BH=BC+CH=6，在Rt△BDH中，利用勾股定理算出BD；由两组对边分别平行的四边形是平行四边形得四边形BDGE为平行四边形，由平行四边形的对边相等得GE=BD，BE=DG，进而根据线段和差算出DG即可得出答案.
30．如图，为的对角线，平分为射线上一点．
（1）如图1，在延长线上，连接与交于点若；
①当为中点时，求证：；
②当时，求长度；
（2）如图2，在线段上，连接与交点于，若，试探究三条线段之间的数量关系，并说明理由．
【答案】解（1）①∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC=AD，AD∥BF，AB=CD=6
∴∠D=∠FCD，
∵G是CD中点，
∴DG=CG，
∵∠FGC=∠DGA，
∴△ADG≌△FCG（ASA），
∴AD=FC，
∴FC=BC．
②在Rt△ABC中，AC=8，AB=6，
∴BC==10，
∵CE平分∠ACB，
∴∠ACE=∠BCE，
∵AC=AF，
∴∠F=∠CAF，
∵∠ACB=∠F+∠CAF=2∠F=∠ACE+∠BCE=2∠BCE，
∴∠F=∠BCE，
∴CE∥AG，
又∵AB∥CD，
∴四边形AECG是平行四边形，
∴AE=CG，
如图1，过点E作EN⊥BC于N，
∵∠ACE=∠ECN，∠EAC=∠ENC=90°，CE=CE，
∴△ACE≌△NCE（AAS），
∴AC=CN=8，AE=EN，
∴BN=2，
∵BE2=BN2+EN2，
∴（6-EN）2=EN2+4，
∴EN=，
∴AE=CG=；
（3）AC=AH+AD，理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B=∠D，AD=BC，
∵∠D=3∠ACE，
∴∠B=3∠ACE，
∵∠ACE+∠BCE+∠B+∠BAC=180°，
∴∠ACE=∠BCE=18°，∠B=54°，
∵AF=CF，
∴∠CAF=∠ACF=36°，
∴∠B=∠BAF=54°，
∴AF=BF=CF=BC=AD，
如图2，以C为顶点作∠BCP=36°，交AF的延长线于P，
∴∠ACP=72°，
又∵∠CAF=36°，
∴∠P=72°=∠ACP，
∴AC=AP，
∵∠CHP=∠ACE+∠CAF=54°，∠PCH=∠BCE+∠BCP=54°，
∴∠CHP=∠PCH，
∴CP=PH，
∵∠CFP=∠ACF+∠FAC=72°，
∴∠CFP=∠P，
∴CP=CF=PH，
∵AC=AP=AH+PH，
∴AC=AH+AD．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定-ASA；三角形全等的判定-AAS；四边形的综合
【解析】【分析】（1）①由平行四边形的对边平行且相等得BC=AD，AD∥BF，由二直线平行，内错角相等得∠D=∠FCD，结合对顶角相等，由“ASA”可证△ADG≌△FCG，根据全等三角形的对应边相等可得AD=CF=BC；
②在Rt△ABC中，利用勾股定理算出BC，由角平分线定义、等边对等角及三角形外角性质可推出∠F=∠BCE， 由同位角相等两直线平行推出CE∥AF，由两组对边分别平行的四边形是平行四边形得出四边形AECG是平行四边形，由平行四边形的对边相等可得AE=CG；过点E作EN⊥BC于N，由“AAS”可证△ACE≌△NCE，由全等三角形的对应边相等可得AC=CN=8，AE=EN，在Rt△EBN中，由勾股定理可求EN的长，从而即可得出CG的长；
（2）AC=AH+AD，理由如下：由角的数量关系和三角形内角和定理可求∠ACE=∠BCE=18°，∠B=54°，由等腰三角形的性质可求∠CAF=∠ACF=36°，由余角的性质可求∠B=∠BAF=54°，可得AF=BF=CF=BC=AD，以C为顶点作∠BCP=36°，交AF的延长线于P，由三角形的外角性质可证∠CHP=∠PCH，∠CFP=∠P，由等角对等边可得CP=CF=PH，从而可得结论．
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