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2026年四川省广安市岳池县初中学业水平模拟测试卷数学试题
1．如图是某市城区2025年12月连续四天的天气预报信息，其中日温差最大的一天是（　　）
12月14日 12月15日 12月16日 12月17日
晴 晴 晴 多云
A．12月14日 B．12月15日 C．12月16日 D．12月17日
【答案】C
【知识点】有理数减法的实际应用
【解析】【解答】解：12月14日的温差为；
12月15日的温差为；
12月16日的温差为；
12月17日的温差为，
，
日温差最大的一天是12月16日．
【分析】
有理数减法的实际应用，分别计算出四天的温差，再比较大小即可．
2．下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】同底数幂的乘法；完全平方公式及运用；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，选项A正确；
B、，选项B错误；
C、与不是同类项，不能合并，选项错误；
D、，选项D错误．
【分析】
幂的乘方，底数不变指数相乘；
同底数幂的乘法，底数不变指数相加；
合并同类项时只把系数相加减，字母与字母的指数都不变；
两数差的完全平方等于这两数的平方和减去这两数乘积的2倍．
3．在平面直角坐标系中，将点关于轴对称后，得到对应点的坐标是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解： ∵点的坐标为，
∴点关于x轴对称的点的坐标为．
【分析】
关于x轴对称的点的坐标特征，横坐标不变，纵坐标互为相反数．
4．乐高，创立于1932年，公司位于丹麦，全球知名的玩具制造厂商之一．截至2025年，乐高已有93年的发展历史．如图是乐高的一个块状颗粒，它的主视图是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：从正面看，可得图形为：
．
故选：B．
【分析】
简单组合体的三视图，从正面看所得到的图形叫主视图，从左边看所得到的图形叫左视图，从上面看所得到的图形叫俯视图．
5．下列命题是真命题的是（　　）
A．五边形有五条对角线
B．相似图形一定是位似图形
C．矩形的对角线互相垂直且相等
D．中位数一定是这组数据中的某一个数
【答案】A
【知识点】多边形的对角线；矩形的性质；中位数；真命题与假命题；位似图形的概念
【解析】【解答】解：A 、∵边形对角线条数公式为，将代入公式，得，∴五边形有五条对角线，A是真命题.
B 、∵相似图形仅要求形状相同，位似图形要求对应点连线交于一点 ，因此相似图形不一定满足位似图形的条件，∴相似图形不一定是位似图形，B是假命题.
C 、∵矩形的对角线相等但不垂直（正方形除外），∴C是假命题.
D 、∵当一组数据的个数为偶数时，中位数是中间两个数的平均数，不一定是原数据中的某一个数 例如数据的中位数为 不在原数据中，∴D是假命题.
综上：真命题为A
【分析】
从题设能推导出结论的命题叫真命题，再逐项判断即可.
6．手工社团的同学制作两种手工艺品A和B，需要用到彩色纸和细木条，单个手工艺品材料用量如下表．
材料 类别 彩色纸（张） 细木条（捆）
手工艺品A 5 3
手工艺品B 2 1
如果一共用了17张彩色纸和10捆细木条，问他们制作的两种手工艺品各有多少个？设手工艺品A有x个，手工艺品B有y个，则x和y满足的方程组是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】二元一次方程组的实际应用-配套问题；列二元一次方程组
【解析】【解答】解：每个手工艺品A用5张，每个B用2张，总用量为17张．因此可列方程为：；
每个手工艺品A用3捆，每个B用1捆，总用量为10捆．因此可列方程为：；
故方程组为：；
故选C．
【分析】
根据相等关系“ 17张彩色纸和10捆细木条 ”列关于x、y的二元一次方程组即可．
7．学校利用课后服务时间开展趣味运动项目训练．在直线跑道上，甲同学从处匀速跑向处，乙同学从处匀速跑往处，两人同时出发，到达各自终点后立即停止运动．设甲同学跑步的时间为（秒），甲、乙两人之间的距离为（米），与之间的函数关系如图所示，则下列说法错误的是（　　）
A．甲、乙同学的速度和为10米/秒
B．甲、乙同学在8秒时相遇
C．甲同学的速度为5米/秒
D．
【答案】C
【知识点】有理数混合运算的实际应用；通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：由图象可得，甲、乙同学在8秒时相遇，故B正确，
甲的速度为(米秒)， 故C错误，
乙的速度为(米秒)，
∴甲、乙同学的速度和为10米/秒，故A正确，
∴，故D正确．
【分析】
根据图象获取信息，观察图象知：
A、甲、乙同学在8秒时相遇，即两人用8秒走完全程，则速度和为10米每秒，正确；
B、8秒时两人距离和为0，正确；
C、观察图象知，乙同学先到达B处，即甲秒跑完米，即甲的速度为4米每秒，错误；
D、由A、C知乙同学的速度为6米每秒，则其走完全程用时，正确．
8．如图，在中，相交于点O，．过点A作的垂线交于点E，记长为x，长为y．当x，y的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质
【解析】【解答】 解：过点D作交的延长线于点F，
∵的垂线交于点E，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴
∴，
由勾股定理可得，，
，
∴，
∴
∴
即，解得，
∴当x，y的值发生变化时，代数式的值不变的是，
故答案为：C
【分析】过点D作交的延长线于点F，根据平行四边形判定定理可得四边形是平行四边形，则，由直线平行性质可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，再根据勾股定理建立方程，解方程可得，则当x，y的值发生变化时，代数式的值不变的是，即可求出答案.
9．式子在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是　 　 ．
【答案】
【知识点】分式有无意义的条件；二次根式有无意义的条件；解一元一次不等式
【解析】【解答】解：式子在实数范围内有意义，
即，
解得．
【分析】
根据二次根式有意义的条件得到，由分式有意义的条件得，即．
10．若一个多边形的内角和比它的外角和多，则这个多边形的边数是　 　．
【答案】5
【知识点】多边形内角与外角；多边形的内角和公式
【解析】【解答】设多边形边数为n，根据题意有，解得 ，
故答案为：5．
【分析】任意多边形的外角和固定为，同时多边形也有固定的内角和公式，结合这两个性质列出关于多边形边数的方程，求解方程就能得到对应的结果.
11．已知，，则代数式的值为　 　．
【答案】16
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法；因式分解的应用；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：
因为，，，
所以，原式．
【分析】
先对所求代数式分解因式，再整体代值计算即可．
12．如图，，若，，则的度数为　 　．
【答案】
【知识点】角的运算；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：，
，
，
，
故答案为：．
【分析】
先利用平行线的性质求出的度数，再利用平角的概念即可．
13．如图，在中，，，以点为圆心，以任意长为半径画弧，交于点，交于点，再分别以、为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于点．则下列说法：①平分；②；③点在的垂直平分线上；④若，则；⑤是轴对称图形．其中正确的说法有　 　（填序号）．
【答案】①③④
【知识点】分母有理化；含30°角的直角三角形；线段垂直平分线的判定；尺规作图-作角的平分线；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：由尺规作图的痕迹可知，是的平分线，故①正确．
，，
．
平分，
．
，故②错误．
，，
．
．
点在的垂直平分线上，故③正确．
若，设，则．
．
由作图可知．
在中，，
．
．
，故④正确．
，，，
的三边互不相等，不是轴对称图形，故⑤错误．
综上所述，正确的说法有①③④．
【分析】
① 由基本尺规作图知平分的平分线；
② 由直角三角形两锐角互余可得的度数，由角平分线定义可得，再利用直角三角形两锐角互余可得；
③ 由②知，由等角对等边得，即点D在AB的垂直平分线上；
④ 先解直角三角形可得AB＝2AC，又AM＝AN，设NC＝k，则AN、AC、AB、AM均可用含k的代数式表示，则；
⑤ 由于不是等腰三角形，故不可能是轴对称图形．
14．按要求计算：
（1）计算：；
（2）先化简，再求值，其中．
【答案】（1）解：
．
（2）解：
，
当时，原式．
【知识点】负整数指数幂；分母有理化；实数的混合运算（含开方）；特殊角的三角函数的混合运算；分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】（1）实数的混合运算，先化简绝对值并求特殊角的三角函数值，同时作乘方运算，最后再进行加减即可；
（2）分式的化简求值，先对括号内的异分母分式通分并进行减法运算，再将除法转化为乘法并对分子分母分别分解因式，再约分化结果为最简分式或整式，最后将字母的值代入求解．
（1）解：
．
（2）解：
，
当时，原式．
15．2025年1月14日，教育部办公厅印发了《中小学科学教育工作指南》（以下简称《指南》），旨在推动中小学科学教育更加重视激发学生好奇心、想象力、探求欲，培育具备科学家潜质、愿意献身科学研究事业的青少年群体．某校为落实《指南》要求，准备在七年级开设“打印”“航模”“机器人”“无人机”共四类科技社团（每名学生必选且仅选一个社团）．为了解学生参加各社团的意向，现随机抽取七年级部分学生进行问卷调查，并对问卷数据进行收集、整理、描述和分析，部分信息如下：
请根据以上信息，解答下列问题：
（1）本次调查的样本容量为　　　，并将条形统计图补充完整；（画图后请标注相应的数据）
（2）若该校七年级共有1000名学生，请估计计划参加“机器人”社团的学生人数；
（3）请用画树状图或列表法，求甲，乙两同学都没有选择“打印”的概率．
【答案】（1），
补全图形如下：
（2）解：（人），
答：估计计划参加“机器人”社团的学生人数约为320人；
（3）解：设四类社团：“打印”“航模”“机器人”“无人机”分别用A、B、C、D表示，根据题意，列出表格，如下：
A B C D
A （A，A） （B，A） （C，A） （D，A）
B （A，B） （B，B） （C，B） （D，B）
C （A，C） （B，C） （C，C） （D，C）
D （A，D） （B，D） （C，D） （D，D）
一共有16种等可能结果，其中甲，乙两同学都没有选择“打印”的有9种，
所以甲，乙两同学都没有选择“打印”的概率为．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】
（1）
解：本次调查的样本容量为，
无人机社团人数为（人），
补全图形如下：
【分析】
（1）观察条形统计图和扇形统计图，可由3D打印人数及其所占百分比可得样本容量，再根据各组人数之和等于总人数求出无人机社团人数即可补全图形；
（2）用样本估计总体，即用总人数乘以样本中参加“机器人”社团的学生人数所占百分比即可；
（3）两步试验可通过画树状图或列表法求概率，列表时注意不重复不遗漏，画村状图时注意对角线栏目上是否填写数据．
（1）解：本次调查的样本容量为，
无人机社团人数为（人），
补全图形如下：
（2）解：（人），
答：估计计划参加“机器人”社团的学生人数约为320人；
（3）解：设四类社团：“打印”“航模”“机器人”“无人机”分别用A、B、C、D表示，
根据题意，列出表格，如下：
A B C D
A （A，A） （B，A） （C，A） （D，A）
B （A，B） （B，B） （C，B） （D，B）
C （A，C） （B，C） （C，C） （D，C）
D （A，D） （B，D） （C，D） （D，D）
一共有16种等可能结果，其中甲，乙两同学都没有选择“打印”的有9种，
所以甲，乙两同学都没有选择“打印”的概率为．
16．如图，以为直径的经过的顶点，经过点的切线与的延长线交于点于点是的中点，连接．
（1）求证：．
（2）若，求的长．
【答案】（1）证明：如图，连接．
是的切线，
．
，
，
．
，
，
．
是的直径，
，
．
，
，
．
，
；
（2）解： 如图，连接．
是的中点，
．
是的直径，
，
，
，．
，
，
．
【知识点】勾股定理；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；切线的性质；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【分析】
（1）由于切线垂直于过切点的半径，则连接OC可得，所以，再由等边对等角结合圆周角定理可得，再等量代换即可；
（2）连接，根据弧、弦、圆心角的关系得到，再由勾股定理可得长，则半径OC可得，OD长也可得，再在三角形OCD中应用勾股定理即可．
（1）证明：如图，连接．
是的切线，
．
，
，
．
，
，
．
是的直径，
，
．
，
，
．
，
；
（2）如图，连接．
是的中点，
．
是的直径，
，
，
，．
，
，
．
17．图1是电脑液晶显示器的侧面图，显示屏可以绕点旋转一定角度，如图2，当眼睛与显示屏顶端在同一水平线上，且望向显示器屏幕中心（点是中点）的视线与水平线形成的夹角时，观看屏幕最舒适，此时，，．已知眼睛与显示屏顶端的水平距离．
（1）求液晶显示屏的宽（结果精确到）；
（2）求显示屏顶端与底座的距离（结果精确到）．
（参考数据：，，，）
【答案】（1）解：∵，，，
∴，
∵点是中点，
∴，
答：液晶显示屏的宽为；
（2）解：过点作于点，
由题意得，，
∵，
∴，
∴，，
由题意得，，
∵，
∴，
∴，
∴，
答：显示屏顶端与底座的距离为．
【知识点】解直角三角形的其他实际应用；解直角三角形—边角关系；解直角三角形—构造直角三角形
【解析】【分析】（1）先解求出，再利用中点的概念求出即可；
（2）过点作于点可构造直角三角形ABT和CBT，再由同角的余角相等可得，再分别解和即可．
（1）解：∵，，，
∴，
∵点是中点，
∴，
答：液晶显示屏的宽为；
（2）解：过点作于点，
由题意得，，
∵，
∴，
∴，，
由题意得，，
∵，
∴，
∴，
∴，
答：显示屏顶端与底座的距离为．
18．如图，在平面直角坐标系中，一次函数图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，与反比例函数在第一象限内的图象交于点C，轴， ，．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）若点E是反比例函数在第三象限内图象上的点，过点E作y轴，垂足为点F，连接，如果，求点E的坐标．
【答案】（1）解：∵，
∴，，
∵，
∴，
∵轴，
∴ ，
∴，
∴点C的坐标为，
∴把代入中得，
解得，
∴一次函数的解析式为，
∵点C在反比例函数的图象上，
∴将代入中得，
解得：，
∴反比例函数解析式为；
（2）解：设，
∴
∴，
∴，
∵一次函数解析式为，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∴，
∴．
【知识点】坐标与图形性质；反比例函数系数k的几何意义；反比例函数与一次函数的交点问题；反比例函数-动态几何问题；解直角三角形—边角关系
【解析】【分析】
（1）先利用坐标与图形特征可得点A、D的坐标，再解直角三角形可得OB、OC的长，即点C的坐标可得，再利用待定系数法分别求出直线和双曲线的解析式即可；
（2）先由反比例函数K的几何意义知等于3，即等于12，又OA＝4，则BF＝6，再由直线上点的坐标特征可得点B的坐标，即OB＝2，则OF＝4，即点F（－4，0），由于EF垂直y轴，则点E的纵坐标为－4，横坐标为．
（1）解：∵，
∴，，
∵，
∴，
∵轴，
∴ ，
∴，
∴点C的坐标为，
∴把代入中得，
解得，
∴一次函数的解析式为，
∵点C在反比例函数的图象上，
∴将代入中得，
解得：，
∴反比例函数解析式为；
（2）解：设，
∴
∴，
∴，
∵一次函数解析式为，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∴，
∴．
19．如图，是圆锥的母线，为底面直径，已知，圆锥的侧面积为，则母线的长为　 　．
【答案】5
【知识点】圆锥的计算
【解析】【解答】解：为底面直径，
圆锥的底面半径为
圆锥的底面周长
圆锥的侧面展开图扇形的弧长为
设母线的长为
解得
．
【分析】
先求出底面半径，进而得到底面周长，利用圆锥的侧面积公式列出方程求解母线长即可．
20．如图，一次函数的图象与二次函数的图象交于点、，且点在轴上，点在轴上，则关于的不等式的解集为　 　．
【答案】或
【知识点】二次函数与不等式（组）的综合应用；一次函数图象与坐标轴交点问题；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：令，可得，
，
令，可得，解得，
，
由图可得关于x的不等式即的解集为或．
【分析】
不等式实质是，即求抛物线在直线上方时对应的自变量x的取值范围，再由直线上点的坐标特征可分别得的坐标，再结合图象即可．
21．若关于的不等式组恰有个整数解，则实数的取值范围为　 　．
【答案】
【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解；一元一次不等式组的含参问题
【解析】【解答】解：，
解第一个不等式得，；
解第二个不等式得，，
∴不等式组的解集为，
∵不等式组恰有个整数解，
∴整数解为
∴，
解得．
【分析】
先把a当作常数求原出不等式组的解集为，再根据整数解的个数可得到关于的一元一次不等式组并求解即可．
22．如图，矩形中，，，点M是的中点，点P在直线上运动，连接，点O是的中点，连接，则的最小值是　 　．
【答案】
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；矩形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图，连接，取的中点H，连接，并延长交于N，
∵点O是的中点，点H是的中点，
∴是的中位线，
∴，
∵点P在直线上运动，且点O是的中点，
∴点O在直线上运动，
∴当时，有最小值，
如图，连接，过点H作于K，
∵，，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，，
∵，，点M是的中点，
∴，，
∴，
则，
∵点H是的中点，
∴，
则，
∴，
即，
解得，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴则的最小值是，
故答案为：．
【分析】
首先根据三角形中位线定理，可以推出，由此可知O点的运动轨迹就是直线。根据垂线段最短的性质，当时，可以取得最小值。连接，过点H作于点K，可以证明四边形是平行四边形，因此，求出HK的长度即可得到CO'的最小值。结合已知四边形是矩形，可得，，根据勾股定理可以算出。
然后计算三角形CDM的面积：，因为H是DM的中点，所以三角形CHM的面积是三角形CDM面积的一半，即。最后利用三角形面积公式，由，即可算出，也就得到了的最小值.
23．已知整式，其中为自然数，，，，…，为正整数，且．
（1）若，则满足条件的所有整式的和为　 　；
（2）满足条件的所有二次三项式中，当取任意实数时，其值一定为非负数的整式共有　 　个．
【答案】；3
【知识点】整式的加减运算；多项式的项、系数与次数
【解析】【解答】解：（1）当时，则，
当时，，
∴的解为，，，
∴对应的整式为，，，
当时，，
∴的解为，
∴对应的整式为，
∵，，均为正整数，
∴，
而当时，，与，，…，为正整数矛盾，故不存在，
∴满足条件的所有整式的和为；
（2）多项式为二次三项式，
，
，
∵多项式为三项式，故，
当时，，
则有两种，
，，
两种都满足条件，
当时，，
则只有一种，
，
满足条件，
当时，，与，，…，为正整数矛盾，故不存在，
∴其值一定为非负数的整式M共有3个．
【分析】
第一空：由于是自然数，，，，…，为正整数，则当时，则满足条件的的值分别为1、1、2或1、2、1或2、1、1，即此时整式M有3种；而当时则，则的值只能为1、1、1，即此时整式M只有1种；而当时，即的值中出现了负数，显然与题意矛盾，同理也不能是大于或等于3的整数；
第二空：由于M是二次三项式，即，则，即，再分类讨论，即的值分别为1、1、2或1、2、1或2、1、1，则符合条件的整式M有3种．
24．第九届亚洲冬季运动会以“冰雪同梦，亚洲同心”为主题，于2025年2月7日在哈尔滨隆重开幕．吉祥物滨滨和妮妮在市场热销，某特许商店准备购进吉祥物滨滨和妮妮，已知每件滨滨的进价比每件妮妮的进价贵10元．用360元购买滨滨的件数恰好与用300元购买妮妮的件数相同．
（1）求滨滨、妮妮每件的进价分别是多少元
（2）计划购买这两种商品共50件，且投入的经费不超过2650元，若滨滨的售价为每件80元，妮妮的售价为每件65元，则这50件商品全部售出后获得的最大利润是多少
【答案】（1）解：设滨滨的进价每件是x元，则妮妮的进价每件是元，根据题意得：，
解得，
经检验，是原方程的解，也符合题意，
∴，
∴滨滨每件的进价是60元，妮妮每件的进价是50元；
（2）解：设购买m件滨滨，则购买件妮妮，
∵投入的经费不超过2650元，
∴，
解得，
设全部售出后获得的利润是w元，
∴，
∵，
∴w随m的增大而增大，
∴时，w取最大值，最大值为（元），
答：这50件商品全部售出后获得的最大利润是825元．
【知识点】一元一次不等式的应用；一次函数图象、性质与系数的关系；一次函数的实际应用-销售问题；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设滨滨的进价每件是x元，则妮妮的进价每件是元，则由相等关系可列关于x的分式方程并求解即可；
（2）设购买m件滨滨，则购买件妮妮，根据不等关系可得关于m的不等式并求解即可求得的取值范围，再设全部售出后获得的利润是w元，则W是关于m的一次函数且一次项系数为正，则W随m的增大而增大，即当m=15时这50件商品全部售出后获得的最大利润是825元．
（1）解：设滨滨的进价每件是x元，则妮妮的进价每件是元，
根据题意得：，
解得，
经检验，是原方程的解，也符合题意，
∴，
∴滨滨每件的进价是60元，妮妮每件的进价是50元；
（2）解：设购买m件滨滨，则购买件妮妮，
∵投入的经费不超过2650元，
∴，
解得，
设全部售出后获得的利润是w元，
∴，
∵，
∴w随m的增大而增大，
∴时，w取最大值，最大值为（元），
答：这50件商品全部售出后获得的最大利润是825元．
25．（1）问题发现
如图1，和均为等边三角形，直线AD和直线BE交于点F．
填空：①的度数是____；②线段AD，BE之间的数量关系为________；
（2）类比探究
如图2，和均为等腰直角三角形，，直线AD和直线BE交于点F．请判断的度数及线段AD，BE之间的数量关系，并说明理由，
（3）如图3，在中，，点D在AB边上，， ，将绕着点A在平面内旋转，请直接写出直线DE经过点B时，点C到直线DE的距离．
【答案】（1）①60°；②；
解：（2）结论：∠AFB=45°，AD=BE．
理由：如图2中，
∵∠ABC=∠DEC=90°，AB=BC，DE=EC，
∴∠ACD=45°+∠BCD=∠BCE，，
∴△ACD∽△BCE，
∴，∠CBF=∠CAF，
∴AD=BE
∵∠AFB+∠CBF=∠ACB+∠CAF，
∴∠AFB=∠ACB=45°．
（3）如图3中，
∵AEB=∠ACB=90°，
∴A，B，C，E四点共圆，
∴∠CEB=∠CAB=30°，∠ABD=∠ACE，
∵∠FAE=∠BAC=30°，
∴∠BAD=∠CAE，
∴△BAD∽△CAE，
∴=cos30°= ，
∴EC=BD，
在Rt△ADE中，∵DE=，∠DAE=30°，
∴AE=DE=3，
∴BE==4，
∴BD=BE-DE=4-，
∴CE=BD=2-，
∵∠BEC=30°，
∴点C到直线DE的距离等于CE sin30°=-．
如图4中，当D，EB在同一直线上时，同法可知BD=DE+EB=4+，CE=BD=2+，
点C到直线DE的距离等于CE sin30°=+．
综上可得，点C到直线DE的距离等于±．
【知识点】解直角三角形；三角形全等的判定-SAS；相似三角形的判定-SAS；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：（1）如图1中，
∵△ABC和△CDE均为等边三角形，
∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠ACD=∠BCE，
在△ACD和△BCE中
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD=BE，∠CAD=∠CBF，
设BC交AF于点O．
∵∠AOC=∠BOF，
∴∠BFO=∠ACO=60°，
∴∠AFB=60°，
故答案为：60°，AD=BE．
【分析】
（1）由等边三角形的性质并结合已知，用边角边可证△ACD≌△BCE，然后由全等三角形的对应边（角）相等可得，AD=BE，∠CAD=∠CBF，结合图形并根据三角形内角和定理即可求解；
（2）结论：∠AFB=45°，AD=BE．由题意，根据“两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似”可证△ACD∽△BCE，由相似三角形的对应边的比相等且对应角相等可得 ，∠CBF=∠CAF，根据比例式和角的和差即可求解；
（3）由题意分两种情形分别求解即可．
26．如图1，若二次函数的图象与轴交于点和点，与轴交于点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图，连接，点为直线下方抛物线上的动点，求面积的最大值及此时点的坐标；
（3）如图3，将抛物线先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到新的抛物线，在的对称轴上有一点，坐标平面内有一点，使得以点，，，为顶点的四边形是矩形，求点的坐标．
【答案】（1）解：二次函数的图象与轴交于点和点，与轴交于点．
将点，点的坐标分别代入得：，
解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：设直线的解析式为，将点，点分别代入得：，
解得：，
∴直线的解析式为，
点为直线下方抛物线上的点，如图，
设，
∴，
∴，
当时，，
∴，
∴面积的最大值为，
∴；
（3）解：
对称轴为直线
设
∵，，
如图所示，当BD为对角线时，
如图所示，当BC为对角线时，
或
如图所示，当BE为对角线时，
综上所述，点的坐标为或或或．
【知识点】二次函数的最值；矩形的判定与性质；二次函数图象的平移变换；二次函数-面积问题；二次函数-特殊四边形存在性问题
【解析】【分析】（1）由抛物线上点的坐标特征把和代入函数解析式并求解关于a、c的二元一次方程组即可；
（2）先利用待定系数法求出直线的解析式，再利用抛物线上点的坐标特征可设点的P的坐标为，再过点P作y轴的平行线交直线BC于点M，则由直线上点的坐标特征可得，则PM可用含a的代数式表示，再利用铅直法可得的面积是关于a的二次函数且二次项系数为负，再利用二次函数的性质求出其最大值同时可得点P的坐标；
（3）先利用二次函数图象的平移规律得平移后的抛物线的解析式，则可得新抛物线的对称轴，再分别设出点D、E的坐标，由于矩形的对角线互相平分且相等，再进行分类讨论，即BC为对角线、或BD为对角线、或BE为对角线，再分别利用中点公式和两点距离公式联立方程或方程组并求解即可．
（1）解：二次函数的图象与轴交于点和点，与轴交于点．将点，点的坐标分别代入得：
，
解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：设直线的解析式为，将点，点分别代入得：
，
解得：，
∴直线的解析式为，
点为直线下方抛物线上的点，如图，
设，
∴，
∴，
当时，，
∴，
∴面积的最大值为，
∴；
（3）解：由题意可得：，
的对称轴为．
∵，，
∴，，
当为矩形一边时，且点在轴的下方，如图，过作轴于点，
∵在的对称轴上，
∴，
∵，，
∴，
∴，，即点，
∴点向右平移个单位、向下平移个单位可得到点，则点向右平移个单位、向下平移个单位可得到点；
当为矩形一边时，且点在轴的上方，'的对称轴为与轴交于点，如图，
∵在的对称轴上，
∴，
∴，
∵，即，
，即点，
∴点向左平移个单位、向上平移个单位可得到点，则点向左平移个单位、向上平移个单位可得到点；
当为矩形对角线时，如图，设，，的中点的坐标为，
依题意得：，
解得：，
又∵，
∴，
解得：，
联立得：，
解得：，
∴点的坐标为或．
综上所述，点的坐标为或或或．
1 / 12026年四川省广安市岳池县初中学业水平模拟测试卷数学试题
1．如图是某市城区2025年12月连续四天的天气预报信息，其中日温差最大的一天是（　　）
12月14日 12月15日 12月16日 12月17日
晴 晴 晴 多云
A．12月14日 B．12月15日 C．12月16日 D．12月17日
2．下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
3．在平面直角坐标系中，将点关于轴对称后，得到对应点的坐标是（　　）
A． B． C． D．
4．乐高，创立于1932年，公司位于丹麦，全球知名的玩具制造厂商之一．截至2025年，乐高已有93年的发展历史．如图是乐高的一个块状颗粒，它的主视图是（　　）
A． B．
C． D．
5．下列命题是真命题的是（　　）
A．五边形有五条对角线
B．相似图形一定是位似图形
C．矩形的对角线互相垂直且相等
D．中位数一定是这组数据中的某一个数
6．手工社团的同学制作两种手工艺品A和B，需要用到彩色纸和细木条，单个手工艺品材料用量如下表．
材料 类别 彩色纸（张） 细木条（捆）
手工艺品A 5 3
手工艺品B 2 1
如果一共用了17张彩色纸和10捆细木条，问他们制作的两种手工艺品各有多少个？设手工艺品A有x个，手工艺品B有y个，则x和y满足的方程组是（　　）
A． B．
C． D．
7．学校利用课后服务时间开展趣味运动项目训练．在直线跑道上，甲同学从处匀速跑向处，乙同学从处匀速跑往处，两人同时出发，到达各自终点后立即停止运动．设甲同学跑步的时间为（秒），甲、乙两人之间的距离为（米），与之间的函数关系如图所示，则下列说法错误的是（　　）
A．甲、乙同学的速度和为10米/秒
B．甲、乙同学在8秒时相遇
C．甲同学的速度为5米/秒
D．
8．如图，在中，相交于点O，．过点A作的垂线交于点E，记长为x，长为y．当x，y的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（　　）
A． B． C． D．
9．式子在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是　 　 ．
10．若一个多边形的内角和比它的外角和多，则这个多边形的边数是　 　．
11．已知，，则代数式的值为　 　．
12．如图，，若，，则的度数为　 　．
13．如图，在中，，，以点为圆心，以任意长为半径画弧，交于点，交于点，再分别以、为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于点．则下列说法：①平分；②；③点在的垂直平分线上；④若，则；⑤是轴对称图形．其中正确的说法有　 　（填序号）．
14．按要求计算：
（1）计算：；
（2）先化简，再求值，其中．
15．2025年1月14日，教育部办公厅印发了《中小学科学教育工作指南》（以下简称《指南》），旨在推动中小学科学教育更加重视激发学生好奇心、想象力、探求欲，培育具备科学家潜质、愿意献身科学研究事业的青少年群体．某校为落实《指南》要求，准备在七年级开设“打印”“航模”“机器人”“无人机”共四类科技社团（每名学生必选且仅选一个社团）．为了解学生参加各社团的意向，现随机抽取七年级部分学生进行问卷调查，并对问卷数据进行收集、整理、描述和分析，部分信息如下：
请根据以上信息，解答下列问题：
（1）本次调查的样本容量为　　　，并将条形统计图补充完整；（画图后请标注相应的数据）
（2）若该校七年级共有1000名学生，请估计计划参加“机器人”社团的学生人数；
（3）请用画树状图或列表法，求甲，乙两同学都没有选择“打印”的概率．
16．如图，以为直径的经过的顶点，经过点的切线与的延长线交于点于点是的中点，连接．
（1）求证：．
（2）若，求的长．
17．图1是电脑液晶显示器的侧面图，显示屏可以绕点旋转一定角度，如图2，当眼睛与显示屏顶端在同一水平线上，且望向显示器屏幕中心（点是中点）的视线与水平线形成的夹角时，观看屏幕最舒适，此时，，．已知眼睛与显示屏顶端的水平距离．
（1）求液晶显示屏的宽（结果精确到）；
（2）求显示屏顶端与底座的距离（结果精确到）．
（参考数据：，，，）
18．如图，在平面直角坐标系中，一次函数图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，与反比例函数在第一象限内的图象交于点C，轴， ，．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）若点E是反比例函数在第三象限内图象上的点，过点E作y轴，垂足为点F，连接，如果，求点E的坐标．
19．如图，是圆锥的母线，为底面直径，已知，圆锥的侧面积为，则母线的长为　 　．
20．如图，一次函数的图象与二次函数的图象交于点、，且点在轴上，点在轴上，则关于的不等式的解集为　 　．
21．若关于的不等式组恰有个整数解，则实数的取值范围为　 　．
22．如图，矩形中，，，点M是的中点，点P在直线上运动，连接，点O是的中点，连接，则的最小值是　 　．
23．已知整式，其中为自然数，，，，…，为正整数，且．
（1）若，则满足条件的所有整式的和为　 　；
（2）满足条件的所有二次三项式中，当取任意实数时，其值一定为非负数的整式共有　 　个．
24．第九届亚洲冬季运动会以“冰雪同梦，亚洲同心”为主题，于2025年2月7日在哈尔滨隆重开幕．吉祥物滨滨和妮妮在市场热销，某特许商店准备购进吉祥物滨滨和妮妮，已知每件滨滨的进价比每件妮妮的进价贵10元．用360元购买滨滨的件数恰好与用300元购买妮妮的件数相同．
（1）求滨滨、妮妮每件的进价分别是多少元
（2）计划购买这两种商品共50件，且投入的经费不超过2650元，若滨滨的售价为每件80元，妮妮的售价为每件65元，则这50件商品全部售出后获得的最大利润是多少
25．（1）问题发现
如图1，和均为等边三角形，直线AD和直线BE交于点F．
填空：①的度数是____；②线段AD，BE之间的数量关系为________；
（2）类比探究
如图2，和均为等腰直角三角形，，直线AD和直线BE交于点F．请判断的度数及线段AD，BE之间的数量关系，并说明理由，
（3）如图3，在中，，点D在AB边上，， ，将绕着点A在平面内旋转，请直接写出直线DE经过点B时，点C到直线DE的距离．
26．如图1，若二次函数的图象与轴交于点和点，与轴交于点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图，连接，点为直线下方抛物线上的动点，求面积的最大值及此时点的坐标；
（3）如图3，将抛物线先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到新的抛物线，在的对称轴上有一点，坐标平面内有一点，使得以点，，，为顶点的四边形是矩形，求点的坐标．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】有理数减法的实际应用
【解析】【解答】解：12月14日的温差为；
12月15日的温差为；
12月16日的温差为；
12月17日的温差为，
，
日温差最大的一天是12月16日．
【分析】
有理数减法的实际应用，分别计算出四天的温差，再比较大小即可．
2．【答案】A
【知识点】同底数幂的乘法；完全平方公式及运用；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，选项A正确；
B、，选项B错误；
C、与不是同类项，不能合并，选项错误；
D、，选项D错误．
【分析】
幂的乘方，底数不变指数相乘；
同底数幂的乘法，底数不变指数相加；
合并同类项时只把系数相加减，字母与字母的指数都不变；
两数差的完全平方等于这两数的平方和减去这两数乘积的2倍．
3．【答案】B
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解： ∵点的坐标为，
∴点关于x轴对称的点的坐标为．
【分析】
关于x轴对称的点的坐标特征，横坐标不变，纵坐标互为相反数．
4．【答案】B
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：从正面看，可得图形为：
．
故选：B．
【分析】
简单组合体的三视图，从正面看所得到的图形叫主视图，从左边看所得到的图形叫左视图，从上面看所得到的图形叫俯视图．
5．【答案】A
【知识点】多边形的对角线；矩形的性质；中位数；真命题与假命题；位似图形的概念
【解析】【解答】解：A 、∵边形对角线条数公式为，将代入公式，得，∴五边形有五条对角线，A是真命题.
B 、∵相似图形仅要求形状相同，位似图形要求对应点连线交于一点 ，因此相似图形不一定满足位似图形的条件，∴相似图形不一定是位似图形，B是假命题.
C 、∵矩形的对角线相等但不垂直（正方形除外），∴C是假命题.
D 、∵当一组数据的个数为偶数时，中位数是中间两个数的平均数，不一定是原数据中的某一个数 例如数据的中位数为 不在原数据中，∴D是假命题.
综上：真命题为A
【分析】
从题设能推导出结论的命题叫真命题，再逐项判断即可.
6．【答案】C
【知识点】二元一次方程组的实际应用-配套问题；列二元一次方程组
【解析】【解答】解：每个手工艺品A用5张，每个B用2张，总用量为17张．因此可列方程为：；
每个手工艺品A用3捆，每个B用1捆，总用量为10捆．因此可列方程为：；
故方程组为：；
故选C．
【分析】
根据相等关系“ 17张彩色纸和10捆细木条 ”列关于x、y的二元一次方程组即可．
7．【答案】C
【知识点】有理数混合运算的实际应用；通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：由图象可得，甲、乙同学在8秒时相遇，故B正确，
甲的速度为(米秒)， 故C错误，
乙的速度为(米秒)，
∴甲、乙同学的速度和为10米/秒，故A正确，
∴，故D正确．
【分析】
根据图象获取信息，观察图象知：
A、甲、乙同学在8秒时相遇，即两人用8秒走完全程，则速度和为10米每秒，正确；
B、8秒时两人距离和为0，正确；
C、观察图象知，乙同学先到达B处，即甲秒跑完米，即甲的速度为4米每秒，错误；
D、由A、C知乙同学的速度为6米每秒，则其走完全程用时，正确．
8．【答案】C
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质
【解析】【解答】 解：过点D作交的延长线于点F，
∵的垂线交于点E，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴
∴，
由勾股定理可得，，
，
∴，
∴
∴
即，解得，
∴当x，y的值发生变化时，代数式的值不变的是，
故答案为：C
【分析】过点D作交的延长线于点F，根据平行四边形判定定理可得四边形是平行四边形，则，由直线平行性质可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，再根据勾股定理建立方程，解方程可得，则当x，y的值发生变化时，代数式的值不变的是，即可求出答案.
9．【答案】
【知识点】分式有无意义的条件；二次根式有无意义的条件；解一元一次不等式
【解析】【解答】解：式子在实数范围内有意义，
即，
解得．
【分析】
根据二次根式有意义的条件得到，由分式有意义的条件得，即．
10．【答案】5
【知识点】多边形内角与外角；多边形的内角和公式
【解析】【解答】设多边形边数为n，根据题意有，解得 ，
故答案为：5．
【分析】任意多边形的外角和固定为，同时多边形也有固定的内角和公式，结合这两个性质列出关于多边形边数的方程，求解方程就能得到对应的结果.
11．【答案】16
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法；因式分解的应用；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：
因为，，，
所以，原式．
【分析】
先对所求代数式分解因式，再整体代值计算即可．
12．【答案】
【知识点】角的运算；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：，
，
，
，
故答案为：．
【分析】
先利用平行线的性质求出的度数，再利用平角的概念即可．
13．【答案】①③④
【知识点】分母有理化；含30°角的直角三角形；线段垂直平分线的判定；尺规作图-作角的平分线；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：由尺规作图的痕迹可知，是的平分线，故①正确．
，，
．
平分，
．
，故②错误．
，，
．
．
点在的垂直平分线上，故③正确．
若，设，则．
．
由作图可知．
在中，，
．
．
，故④正确．
，，，
的三边互不相等，不是轴对称图形，故⑤错误．
综上所述，正确的说法有①③④．
【分析】
① 由基本尺规作图知平分的平分线；
② 由直角三角形两锐角互余可得的度数，由角平分线定义可得，再利用直角三角形两锐角互余可得；
③ 由②知，由等角对等边得，即点D在AB的垂直平分线上；
④ 先解直角三角形可得AB＝2AC，又AM＝AN，设NC＝k，则AN、AC、AB、AM均可用含k的代数式表示，则；
⑤ 由于不是等腰三角形，故不可能是轴对称图形．
14．【答案】（1）解：
．
（2）解：
，
当时，原式．
【知识点】负整数指数幂；分母有理化；实数的混合运算（含开方）；特殊角的三角函数的混合运算；分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】（1）实数的混合运算，先化简绝对值并求特殊角的三角函数值，同时作乘方运算，最后再进行加减即可；
（2）分式的化简求值，先对括号内的异分母分式通分并进行减法运算，再将除法转化为乘法并对分子分母分别分解因式，再约分化结果为最简分式或整式，最后将字母的值代入求解．
（1）解：
．
（2）解：
，
当时，原式．
15．【答案】（1），
补全图形如下：
（2）解：（人），
答：估计计划参加“机器人”社团的学生人数约为320人；
（3）解：设四类社团：“打印”“航模”“机器人”“无人机”分别用A、B、C、D表示，根据题意，列出表格，如下：
A B C D
A （A，A） （B，A） （C，A） （D，A）
B （A，B） （B，B） （C，B） （D，B）
C （A，C） （B，C） （C，C） （D，C）
D （A，D） （B，D） （C，D） （D，D）
一共有16种等可能结果，其中甲，乙两同学都没有选择“打印”的有9种，
所以甲，乙两同学都没有选择“打印”的概率为．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】
（1）
解：本次调查的样本容量为，
无人机社团人数为（人），
补全图形如下：
【分析】
（1）观察条形统计图和扇形统计图，可由3D打印人数及其所占百分比可得样本容量，再根据各组人数之和等于总人数求出无人机社团人数即可补全图形；
（2）用样本估计总体，即用总人数乘以样本中参加“机器人”社团的学生人数所占百分比即可；
（3）两步试验可通过画树状图或列表法求概率，列表时注意不重复不遗漏，画村状图时注意对角线栏目上是否填写数据．
（1）解：本次调查的样本容量为，
无人机社团人数为（人），
补全图形如下：
（2）解：（人），
答：估计计划参加“机器人”社团的学生人数约为320人；
（3）解：设四类社团：“打印”“航模”“机器人”“无人机”分别用A、B、C、D表示，
根据题意，列出表格，如下：
A B C D
A （A，A） （B，A） （C，A） （D，A）
B （A，B） （B，B） （C，B） （D，B）
C （A，C） （B，C） （C，C） （D，C）
D （A，D） （B，D） （C，D） （D，D）
一共有16种等可能结果，其中甲，乙两同学都没有选择“打印”的有9种，
所以甲，乙两同学都没有选择“打印”的概率为．
16．【答案】（1）证明：如图，连接．
是的切线，
．
，
，
．
，
，
．
是的直径，
，
．
，
，
．
，
；
（2）解： 如图，连接．
是的中点，
．
是的直径，
，
，
，．
，
，
．
【知识点】勾股定理；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；切线的性质；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【分析】
（1）由于切线垂直于过切点的半径，则连接OC可得，所以，再由等边对等角结合圆周角定理可得，再等量代换即可；
（2）连接，根据弧、弦、圆心角的关系得到，再由勾股定理可得长，则半径OC可得，OD长也可得，再在三角形OCD中应用勾股定理即可．
（1）证明：如图，连接．
是的切线，
．
，
，
．
，
，
．
是的直径，
，
．
，
，
．
，
；
（2）如图，连接．
是的中点，
．
是的直径，
，
，
，．
，
，
．
17．【答案】（1）解：∵，，，
∴，
∵点是中点，
∴，
答：液晶显示屏的宽为；
（2）解：过点作于点，
由题意得，，
∵，
∴，
∴，，
由题意得，，
∵，
∴，
∴，
∴，
答：显示屏顶端与底座的距离为．
【知识点】解直角三角形的其他实际应用；解直角三角形—边角关系；解直角三角形—构造直角三角形
【解析】【分析】（1）先解求出，再利用中点的概念求出即可；
（2）过点作于点可构造直角三角形ABT和CBT，再由同角的余角相等可得，再分别解和即可．
（1）解：∵，，，
∴，
∵点是中点，
∴，
答：液晶显示屏的宽为；
（2）解：过点作于点，
由题意得，，
∵，
∴，
∴，，
由题意得，，
∵，
∴，
∴，
∴，
答：显示屏顶端与底座的距离为．
18．【答案】（1）解：∵，
∴，，
∵，
∴，
∵轴，
∴ ，
∴，
∴点C的坐标为，
∴把代入中得，
解得，
∴一次函数的解析式为，
∵点C在反比例函数的图象上，
∴将代入中得，
解得：，
∴反比例函数解析式为；
（2）解：设，
∴
∴，
∴，
∵一次函数解析式为，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∴，
∴．
【知识点】坐标与图形性质；反比例函数系数k的几何意义；反比例函数与一次函数的交点问题；反比例函数-动态几何问题；解直角三角形—边角关系
【解析】【分析】
（1）先利用坐标与图形特征可得点A、D的坐标，再解直角三角形可得OB、OC的长，即点C的坐标可得，再利用待定系数法分别求出直线和双曲线的解析式即可；
（2）先由反比例函数K的几何意义知等于3，即等于12，又OA＝4，则BF＝6，再由直线上点的坐标特征可得点B的坐标，即OB＝2，则OF＝4，即点F（－4，0），由于EF垂直y轴，则点E的纵坐标为－4，横坐标为．
（1）解：∵，
∴，，
∵，
∴，
∵轴，
∴ ，
∴，
∴点C的坐标为，
∴把代入中得，
解得，
∴一次函数的解析式为，
∵点C在反比例函数的图象上，
∴将代入中得，
解得：，
∴反比例函数解析式为；
（2）解：设，
∴
∴，
∴，
∵一次函数解析式为，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∴，
∴．
19．【答案】5
【知识点】圆锥的计算
【解析】【解答】解：为底面直径，
圆锥的底面半径为
圆锥的底面周长
圆锥的侧面展开图扇形的弧长为
设母线的长为
解得
．
【分析】
先求出底面半径，进而得到底面周长，利用圆锥的侧面积公式列出方程求解母线长即可．
20．【答案】或
【知识点】二次函数与不等式（组）的综合应用；一次函数图象与坐标轴交点问题；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：令，可得，
，
令，可得，解得，
，
由图可得关于x的不等式即的解集为或．
【分析】
不等式实质是，即求抛物线在直线上方时对应的自变量x的取值范围，再由直线上点的坐标特征可分别得的坐标，再结合图象即可．
21．【答案】
【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解；一元一次不等式组的含参问题
【解析】【解答】解：，
解第一个不等式得，；
解第二个不等式得，，
∴不等式组的解集为，
∵不等式组恰有个整数解，
∴整数解为
∴，
解得．
【分析】
先把a当作常数求原出不等式组的解集为，再根据整数解的个数可得到关于的一元一次不等式组并求解即可．
22．【答案】
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；矩形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图，连接，取的中点H，连接，并延长交于N，
∵点O是的中点，点H是的中点，
∴是的中位线，
∴，
∵点P在直线上运动，且点O是的中点，
∴点O在直线上运动，
∴当时，有最小值，
如图，连接，过点H作于K，
∵，，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，，
∵，，点M是的中点，
∴，，
∴，
则，
∵点H是的中点，
∴，
则，
∴，
即，
解得，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴则的最小值是，
故答案为：．
【分析】
首先根据三角形中位线定理，可以推出，由此可知O点的运动轨迹就是直线。根据垂线段最短的性质，当时，可以取得最小值。连接，过点H作于点K，可以证明四边形是平行四边形，因此，求出HK的长度即可得到CO'的最小值。结合已知四边形是矩形，可得，，根据勾股定理可以算出。
然后计算三角形CDM的面积：，因为H是DM的中点，所以三角形CHM的面积是三角形CDM面积的一半，即。最后利用三角形面积公式，由，即可算出，也就得到了的最小值.
23．【答案】；3
【知识点】整式的加减运算；多项式的项、系数与次数
【解析】【解答】解：（1）当时，则，
当时，，
∴的解为，，，
∴对应的整式为，，，
当时，，
∴的解为，
∴对应的整式为，
∵，，均为正整数，
∴，
而当时，，与，，…，为正整数矛盾，故不存在，
∴满足条件的所有整式的和为；
（2）多项式为二次三项式，
，
，
∵多项式为三项式，故，
当时，，
则有两种，
，，
两种都满足条件，
当时，，
则只有一种，
，
满足条件，
当时，，与，，…，为正整数矛盾，故不存在，
∴其值一定为非负数的整式M共有3个．
【分析】
第一空：由于是自然数，，，，…，为正整数，则当时，则满足条件的的值分别为1、1、2或1、2、1或2、1、1，即此时整式M有3种；而当时则，则的值只能为1、1、1，即此时整式M只有1种；而当时，即的值中出现了负数，显然与题意矛盾，同理也不能是大于或等于3的整数；
第二空：由于M是二次三项式，即，则，即，再分类讨论，即的值分别为1、1、2或1、2、1或2、1、1，则符合条件的整式M有3种．
24．【答案】（1）解：设滨滨的进价每件是x元，则妮妮的进价每件是元，根据题意得：，
解得，
经检验，是原方程的解，也符合题意，
∴，
∴滨滨每件的进价是60元，妮妮每件的进价是50元；
（2）解：设购买m件滨滨，则购买件妮妮，
∵投入的经费不超过2650元，
∴，
解得，
设全部售出后获得的利润是w元，
∴，
∵，
∴w随m的增大而增大，
∴时，w取最大值，最大值为（元），
答：这50件商品全部售出后获得的最大利润是825元．
【知识点】一元一次不等式的应用；一次函数图象、性质与系数的关系；一次函数的实际应用-销售问题；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设滨滨的进价每件是x元，则妮妮的进价每件是元，则由相等关系可列关于x的分式方程并求解即可；
（2）设购买m件滨滨，则购买件妮妮，根据不等关系可得关于m的不等式并求解即可求得的取值范围，再设全部售出后获得的利润是w元，则W是关于m的一次函数且一次项系数为正，则W随m的增大而增大，即当m=15时这50件商品全部售出后获得的最大利润是825元．
（1）解：设滨滨的进价每件是x元，则妮妮的进价每件是元，
根据题意得：，
解得，
经检验，是原方程的解，也符合题意，
∴，
∴滨滨每件的进价是60元，妮妮每件的进价是50元；
（2）解：设购买m件滨滨，则购买件妮妮，
∵投入的经费不超过2650元，
∴，
解得，
设全部售出后获得的利润是w元，
∴，
∵，
∴w随m的增大而增大，
∴时，w取最大值，最大值为（元），
答：这50件商品全部售出后获得的最大利润是825元．
25．【答案】（1）①60°；②；
解：（2）结论：∠AFB=45°，AD=BE．
理由：如图2中，
∵∠ABC=∠DEC=90°，AB=BC，DE=EC，
∴∠ACD=45°+∠BCD=∠BCE，，
∴△ACD∽△BCE，
∴，∠CBF=∠CAF，
∴AD=BE
∵∠AFB+∠CBF=∠ACB+∠CAF，
∴∠AFB=∠ACB=45°．
（3）如图3中，
∵AEB=∠ACB=90°，
∴A，B，C，E四点共圆，
∴∠CEB=∠CAB=30°，∠ABD=∠ACE，
∵∠FAE=∠BAC=30°，
∴∠BAD=∠CAE，
∴△BAD∽△CAE，
∴=cos30°= ，
∴EC=BD，
在Rt△ADE中，∵DE=，∠DAE=30°，
∴AE=DE=3，
∴BE==4，
∴BD=BE-DE=4-，
∴CE=BD=2-，
∵∠BEC=30°，
∴点C到直线DE的距离等于CE sin30°=-．
如图4中，当D，EB在同一直线上时，同法可知BD=DE+EB=4+，CE=BD=2+，
点C到直线DE的距离等于CE sin30°=+．
综上可得，点C到直线DE的距离等于±．
【知识点】解直角三角形；三角形全等的判定-SAS；相似三角形的判定-SAS；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：（1）如图1中，
∵△ABC和△CDE均为等边三角形，
∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠ACD=∠BCE，
在△ACD和△BCE中
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD=BE，∠CAD=∠CBF，
设BC交AF于点O．
∵∠AOC=∠BOF，
∴∠BFO=∠ACO=60°，
∴∠AFB=60°，
故答案为：60°，AD=BE．
【分析】
（1）由等边三角形的性质并结合已知，用边角边可证△ACD≌△BCE，然后由全等三角形的对应边（角）相等可得，AD=BE，∠CAD=∠CBF，结合图形并根据三角形内角和定理即可求解；
（2）结论：∠AFB=45°，AD=BE．由题意，根据“两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似”可证△ACD∽△BCE，由相似三角形的对应边的比相等且对应角相等可得 ，∠CBF=∠CAF，根据比例式和角的和差即可求解；
（3）由题意分两种情形分别求解即可．
26．【答案】（1）解：二次函数的图象与轴交于点和点，与轴交于点．
将点，点的坐标分别代入得：，
解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：设直线的解析式为，将点，点分别代入得：，
解得：，
∴直线的解析式为，
点为直线下方抛物线上的点，如图，
设，
∴，
∴，
当时，，
∴，
∴面积的最大值为，
∴；
（3）解：
对称轴为直线
设
∵，，
如图所示，当BD为对角线时，
如图所示，当BC为对角线时，
或
如图所示，当BE为对角线时，
综上所述，点的坐标为或或或．
【知识点】二次函数的最值；矩形的判定与性质；二次函数图象的平移变换；二次函数-面积问题；二次函数-特殊四边形存在性问题
【解析】【分析】（1）由抛物线上点的坐标特征把和代入函数解析式并求解关于a、c的二元一次方程组即可；
（2）先利用待定系数法求出直线的解析式，再利用抛物线上点的坐标特征可设点的P的坐标为，再过点P作y轴的平行线交直线BC于点M，则由直线上点的坐标特征可得，则PM可用含a的代数式表示，再利用铅直法可得的面积是关于a的二次函数且二次项系数为负，再利用二次函数的性质求出其最大值同时可得点P的坐标；
（3）先利用二次函数图象的平移规律得平移后的抛物线的解析式，则可得新抛物线的对称轴，再分别设出点D、E的坐标，由于矩形的对角线互相平分且相等，再进行分类讨论，即BC为对角线、或BD为对角线、或BE为对角线，再分别利用中点公式和两点距离公式联立方程或方程组并求解即可．
（1）解：二次函数的图象与轴交于点和点，与轴交于点．将点，点的坐标分别代入得：
，
解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：设直线的解析式为，将点，点分别代入得：
，
解得：，
∴直线的解析式为，
点为直线下方抛物线上的点，如图，
设，
∴，
∴，
当时，，
∴，
∴面积的最大值为，
∴；
（3）解：由题意可得：，
的对称轴为．
∵，，
∴，，
当为矩形一边时，且点在轴的下方，如图，过作轴于点，
∵在的对称轴上，
∴，
∵，，
∴，
∴，，即点，
∴点向右平移个单位、向下平移个单位可得到点，则点向右平移个单位、向下平移个单位可得到点；
当为矩形一边时，且点在轴的上方，'的对称轴为与轴交于点，如图，
∵在的对称轴上，
∴，
∴，
∵，即，
，即点，
∴点向左平移个单位、向上平移个单位可得到点，则点向左平移个单位、向上平移个单位可得到点；
当为矩形对角线时，如图，设，，的中点的坐标为，
依题意得：，
解得：，
又∵，
∴，
解得：，
联立得：，
解得：，
∴点的坐标为或．
综上所述，点的坐标为或或或．
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