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广东中山市第一中学2025-2026学年高二下学期第一次段考数学试题
1．数列的通项公式为，则110是该数列的第（　　）项
A．10 B．11 C．12 D．13
2．若函数，则（　　）
A． B．
C． D．
3．记为等差数列的前项和，若，，则（　　）
A．15 B．21 C．28 D．36
4．函数的单调递减区间是（　　）
A． B． C． D．
5．某学校人工智能社团从包含甲、乙的6名成员中选出4人，分别负责数据采集、模型训练、算法优化、成果展示四项AI实践任务，每项任务安排1人. 其中甲、乙两名同学不负责模型训练，则不同的安排方案种数为（　　）
A．120 B．180 C．240 D．320
6．已知函数是函数的导函数，，对任意实数x都有，则不等式的解集为（　　）
A． B． C． D．
7．已知数列和的通项公式分别为，在与之间插入数列的前项，构成新数列，即，记数列的前项和为，则（　　）
A．128 B．558 C．884 D．4944
8．将数字（） 字母（）和符号（★， ， ）放入到下面的九宫格中，每个格子只能放一个数字 字母或符号，每个数字 字母或符号都必须使用，且只能用一次．则每行每列都有数字 字母和符号的排法有（　　）种
A．648 B．1048 C．1296 D．2592
9．由1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，则所有组成的五位数中（　　）
A．奇数有60个 B．能被5整除的有24个
C．1在万位而2不在个位的有18个 D．比12345大的有108个
10．已知数列满足，则（　　）
A．
B．
C．当且仅当时，数列的前项和最小
D．数列的前项和为，则
11．设函数，则（　　）
A．函数的单调递减区间为．
B．曲线在点处的切线方程为．
C．函数既有极大值又有极小值，且极大值小于极小值．
D．若方程有两个不等实根，则实数k的取值范围为
12．已知等差数列的前项和为，且，则　 　．
13．若函数在区间上是单调减函数，则实数的取值范围是　 　．
14．个人进行篮球训练，互相传球接球，要求每个人接球后马上传给别人，开始由甲发球，并作为第一次传球，第五次传球后，球又回到甲手中，不同的传球方法数为　 　.
15．在的展开式中，第4项的二项式系数与第3项的二项式系数的比为．
（1）求n的值；
（2）求展开式中含的项的二项式系数．
16．已知递增的等比数列和等差数列，满足，是和的等差中项，且.
（1）求数列和的通项公式；
（2）若，求数列的前项和.
17．已知函数．
（1）求函数的极值；
（2）求函数在上的值域；
（3）设，证明：．
18．设是数列的前n项和，已知，．
（1）证明：是等比数列；
（2）若，求数列的前n项和；
（3）记，若不等式恒成立，求实数m的取值范围．
19．已知函数.
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围；
（3）证明：.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】数列的通项公式
【解析】【解答】解：由，得，
因，解得，所以110是该数列的第11项.
故答案为：B
【分析】本题考查数列通项基本计算，把数值代入通项得到一元二次方程，结合项数为正整数舍去负根即可。
2．【答案】D
【知识点】导数的四则运算；简单复合函数求导法则
【解析】【解答】解：由得.
故答案为：D
【分析】本题考查基本初等函数与复合函数求导，熟记指数函数、余弦复合函数求导法则，逐项求导再相加。
3．【答案】B
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；等差数列的性质
【解析】【解答】解：因为为等差数列，所以，又因为，
所以，，则公差，
则：.
故答案为：B
【分析】本题利用等差数列下标和性质简化方程，快速求出，再用（等差中项结论）直接求和。
4．【答案】A
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：函数的定义域为，
由，
所以该函数的单调递减区间是.
故答案为：A
【分析】本题考查利用导数求单调区间，先确定定义域，再解导数小于零的不等式，舍去定义域外区间。
5．【答案】C
【知识点】基本计数原理的应用；排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：因为甲、乙不负责模型训练，则需要从另外4人中选出1人负责模型训练，共有种情况，
然后从剩下的5人中选出3人负责另外三项任务，共有种情况，
再根据分步乘法计数原理可得符合要求的安排方案种数为种.
故答案为：C
【分析】本题考查分步乘法计数原理与排列组合的应用，关键是优先安排有限制条件的模型训练岗位，再对剩余三项任务进行全排列。
6．【答案】B
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：因为，所以由，
设，
所以函数是实数集上的减函数，
，
所以不等式的解集为.
故答案为：B
【分析】本题考查构造函数结合导数单调性求解抽象不等式，关键是构造辅助函数，利用已知条件判断函数单调性，再将原不等式变形为同结构函数形式进行脱括号求解。
7．【答案】B
【知识点】等比数列的前n项和；数列的求和
【解析】【解答】解：因为数列的通项公式为，所以数列为等差数列，所以数列的前项和为，数列的通项公式为，所以数列为等比数列，所以数列的前项和为，
所以，
，
当时，．
故答案为：B
【分析】本题考查等差、等比数列求和与新数列分组求和，关键是读懂新数列构造规则，拆分求和项，分别对等差数列、等比分段和分组求和后代入数值计算。
8．【答案】D
【知识点】分步乘法计数原理；排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：第一步，确定数字 字母和符号的类别位置：
第一行数字 字母和符号的排列有种，
第二行是第一行的错位排列，则排列方式有2种，
第三行排列方式唯一确定，
因此，类别位置的排列方式有（种）．
第二步，分别确定三个数字 字母和符号放入类别位置的排列数：
数字（）放入3个位置，排列数为；
字母（）放入3个位置，排列数为；
符号（★， ， ）放入3个位置，排列数为．
根据分步乘法计数原理，总排法有（种）．
故答案为：D
【分析】本题考查分步乘法计数原理与错位排列的综合应用，关键是先利用三阶错位排列确定九宫格内数字、字母、符号三类元素的位置排布方式，再分别对同类型元素内部全排列，分步相乘得到总排法数。
9．【答案】B,C
【知识点】排列、组合的实际应用；排列与组合的综合
【解析】【解答】A：奇数要求个位从中选1个，有种，剩余4位全排列，总数：，故A错误；
B：能被5整除则个位固定为5，剩余4个数全排列：，故B正确；
C：1固定在万位，2不能在个位，2有中间3个位置可选，剩下3个数全排列：，故C正确；
D：全部五位数一共个，最小为，比它大的有，故D错误。
故答案为：
【分析】A：优先排奇数个位，再排列剩余数位；B：被5整除末位必是5，剩余四位全排列；C：固定万位为1，限制元素2不能放个位，分步选位再排列；D：算出全部排列总数，减去最小数本身得到大数个数。
10．【答案】B,C
【知识点】数列的函数特性；数列的求和；数列的通项公式；通项与前n项和的关系
【解析】【解答】解：①，
当时，左边，右边，得，故A错误；
当时，②，
①②得，约去得，
验证时，也满足，因此对任意，，故B正确；
对数列，代入，得，公差为的递增等差数列，
令，得，即前项均为负数，从第项开始为正数，
因此前项和最小当且仅当，故C正确；
的周期为，则时；
时；时；时.
每连续项的和为，
则，
故D错误.
故答案为：BC.
【分析】将代入等式求解即可判断A；当时，写出的等式，然后两式相减化简求得即可判断B；代入，得，可得数列是公差为的递增等差数列，根据等差数列的性质即可判断C；根据数列的周期性计算即可判断D.
11．【答案】B,C,D
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】解：A、函数的定义域为，
，
令，即，解得或，
当时，，当时，，
则函数在和上单调递增，在和上单调递减，故A错误；
B、切线斜率，曲线在点处的切线方程为，
即，故B正确；
C、当时，取得极大值为，
当时，取得极小值为，
因为，所以极大值小于极小值，故C正确；
D、由上分析可作出的图象如图所示
要使方程有两个不等实根，只需要与有两个交点，
由图可知，，
所以实数的取值范围为，故D正确.
故答案为：BCD.
【分析】求函数的定义域，再求导，利用导数判断函数的单调性，求单调区间即可判断A；利用导数的几何意义，结合点斜式求切线方程即可判断B；由A选项，判断函数的单调性，求极值即可判断C；作出的图象，问题转化为与有两个交点，数形结合求解即可判断D.
12．【答案】6
【知识点】等差数列的前n项和；等差数列的性质
【解析】【解答】解：因为成等差数列，设其公差为，
所以，所以，
所以，所以．
故答案为：6
【分析】本题考查等差数列前项和的分段等差性质，关键是利用成等差数列，先求出分段数列公差，再分步计算。
13．【答案】
【知识点】函数恒成立问题；函数的单调性与导数正负的关系；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：定义域为，，
令，则，
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
因为在区间上是单调减函数，所以，
所以，所以，所以实数的取值范围为.
故答案为：.
【分析】本题考查利用导数求解函数单调区间与参数范围，关键是先求导确定原函数单调递减区间，再由开区间(m，m+1)是递减区间的子集列不等式求解m的取值范围。
14．【答案】
【知识点】数列的递推公式；分步乘法计数原理；排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：设第次传球后，球又回到甲手中的传球方法有种，经过次传球后，所有可能的传球方法总数为.
这些方法可分为两类：一类是球在甲手中，有种方法，
另一类是球不在甲手中，有种方法，
第次传球后球要回到甲手中，当且仅当第次传球后球不在甲手中，然后由持球人传给了甲，
因此，，即，
由于甲是发球者，一次传球后球又回到甲手中的传球方法是不存在的，所以．
利用递推关系可以得到：．
这说明经过次传球后，球仍回到甲手中的传球方法有种．
故答案为：
【分析】本题考查递推数列在传球计数问题中的应用，关键是构造递推数列表示第次传球后球回到甲手中的方法数，结合总传球数建立递推关系式，再利用初始条件逐项计算。
15．【答案】（1）解：第4项的二项式系数为，第3项的二项式系数为．
又第4项的二项式系数与第3项的二项式系数的比为，
，，，故的值为；
（2）解：因，
由解得，
故展开式中含的项的二项式系数为.
【知识点】二项式系数的性质；二项式定理的应用；二项式系数
【解析】【分析】(1) 第项二项式系数为，故第3项系数、第4项，由比值列式求解；
(2) 写出通项公式，整理的指数，令指数等于解出，再求对应二项式系数。
（1）第4项的二项式系数为，第3项的二项式系数为．
又第4项的二项式系数与第3项的二项式系数的比为，
，，，故的值为；
（2）因，
由解得，
故展开式中含的项的二项式系数为.
16．【答案】（1）解：由题意知，，解得，设等比数列的公比为，∴，∴；由题意知，，则等差数列的公差，
∴.
（2）解：∵，
∴ .
【知识点】数列的求和；等差数列的性质；等差中项
【解析】【分析】(1) 利用等比数列性质，联立结合递增条件求出，算出公比得通项；再由等差中项与已知条件求出，算公差得到通项；
(2) 对裂项变形，利用裂项相消法累加求前项和。
（1）由题意知，，解得，
设等比数列的公比为，∴，∴；由题意知，，则等差数列的公差，
∴.
（2）∵，
∴ .
17．【答案】（1）解：已知函数的定义域为，
则，
因，故，令得，
当时，，在单调递增；
当时，，在单调递减，
因此只有极小值，无极大值，且极小值为，无极大值．
（2）解：由（1）的单调性可知在单调递减，在单调递增，
因此最小值为，
计算区间端点值，，
因为，所以，
故在上的最大值为，
因此在上的值域为．
（3）证明：因为，
由，得，即，
令，则，
令，得；令，得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
则，即恒成立，
所以．
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】(1) 求导因式分解，根据导数正负判断单调区间，进而求出极值；
(2) 借助(1)单调性，算出区间端点与极小值点函数值，确定值域；
(3) 移项构造新函数，求导研究最小值，证明最小值即可证不等式。
（1）已知函数的定义域为，
则，
因，故，令得，
当时，，在单调递增；
当时，，在单调递减，
因此只有极小值，无极大值，且极小值为，无极大值．
（2）由（1）的单调性可知在单调递减，在单调递增，
因此最小值为，
计算区间端点值，，
因为，所以，
故在上的最大值为，
因此在上的值域为．
（3）因为，
由，得，即，
令，则，
令，得；令，得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
则，即恒成立，
所以．
18．【答案】（1）证明：已知，
当时，，
两式相减得： ，
整理得： ，，
当时，，
，满足，
又， 因此是首项为1，公比为2的等比数列，得证；
（2）解：由(1)得，
因此： ，
设前项和为，
则，
，
两式相减得：，
即，
又数列前项和为，
因此；
（3）解：由得：，因此，
化简不等式左边： ，，
因此，
不等式恒成立，
等价于对任意恒成立，
设
则 ，
当，，
即时，；
当时，，
因此的最大值为 ，故，
即的取值范围为.
【知识点】函数恒成立问题；等比数列的通项公式；等比数列的前n项和；等比数列的性质
【解析】【分析】(1) 利用与作差推出，验证满足，证为等比数列；
(2) 先求，拆分，错位相减求和，再加等差数列和得到；
(3) 化简，分离参数，构造数列，作差判断单调性求最大值，得到范围。
（1）已知，
当时，，
两式相减得： ，
整理得： ，，
当时，，
，满足，
又， 因此是首项为1，公比为2的等比数列，得证；
（2）由(1)得，
因此： ，
设前项和为，
则，
，
两式相减得：，
即，
又数列前项和为，
因此；
（3）由得：，因此，
化简不等式左边： ，，
因此，
不等式恒成立，
等价于对任意恒成立，
设
则 ，
当，，
即时，；
当时，，
因此的最大值为 ，故，
即的取值范围为.
19．【答案】（1）解：当时，函数定义域为，求导可得，
，，
则曲线在点处的切线方程为，即；
（2）解：因为，恒成立，所以恒成立，
令，则，
令，则且不恒为0，
即在上单调递减，则，
所以当时，且不恒为0，
所以在区间上单调递减，故，所以，
综上，实数的取值范围为；
（3）证明：取，由（2）得当时，，所以，
取，则有，
即，
所以，，，，
将上述式子相加得，得证.
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；利用导数研究曲线上某点切线方程；不等式的证明
【解析】【分析】（1）将代入，求函数得定义域以及导函数，利用导数的几何意义，结合点斜式求解即可；
（2）问题转化为恒成立，构造函数，求导，利用导数讨论的单调性，求其最大值，即可得参数的取值范围；
（3）取，由（2）得当时，，，取，利用累加法证结论即可.
（1）当时，，，，
则，所以，
所以曲线在点处的切线方程为，即；
（2）因为，恒成立，所以恒成立.
令，则，
令，则且不恒为0，
即在上单调递减，则，
所以当时，且不恒为0，
所以在区间上单调递减，故，所以，
综上，实数的取值范围为；
（3）取，由（2）得当时，，所以.
取，则有，
即，
所以，，，，
将上述式子相加得，得证.
1 / 1广东中山市第一中学2025-2026学年高二下学期第一次段考数学试题
1．数列的通项公式为，则110是该数列的第（　　）项
A．10 B．11 C．12 D．13
【答案】B
【知识点】数列的通项公式
【解析】【解答】解：由，得，
因，解得，所以110是该数列的第11项.
故答案为：B
【分析】本题考查数列通项基本计算，把数值代入通项得到一元二次方程，结合项数为正整数舍去负根即可。
2．若函数，则（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】导数的四则运算；简单复合函数求导法则
【解析】【解答】解：由得.
故答案为：D
【分析】本题考查基本初等函数与复合函数求导，熟记指数函数、余弦复合函数求导法则，逐项求导再相加。
3．记为等差数列的前项和，若，，则（　　）
A．15 B．21 C．28 D．36
【答案】B
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；等差数列的性质
【解析】【解答】解：因为为等差数列，所以，又因为，
所以，，则公差，
则：.
故答案为：B
【分析】本题利用等差数列下标和性质简化方程，快速求出，再用（等差中项结论）直接求和。
4．函数的单调递减区间是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：函数的定义域为，
由，
所以该函数的单调递减区间是.
故答案为：A
【分析】本题考查利用导数求单调区间，先确定定义域，再解导数小于零的不等式，舍去定义域外区间。
5．某学校人工智能社团从包含甲、乙的6名成员中选出4人，分别负责数据采集、模型训练、算法优化、成果展示四项AI实践任务，每项任务安排1人. 其中甲、乙两名同学不负责模型训练，则不同的安排方案种数为（　　）
A．120 B．180 C．240 D．320
【答案】C
【知识点】基本计数原理的应用；排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：因为甲、乙不负责模型训练，则需要从另外4人中选出1人负责模型训练，共有种情况，
然后从剩下的5人中选出3人负责另外三项任务，共有种情况，
再根据分步乘法计数原理可得符合要求的安排方案种数为种.
故答案为：C
【分析】本题考查分步乘法计数原理与排列组合的应用，关键是优先安排有限制条件的模型训练岗位，再对剩余三项任务进行全排列。
6．已知函数是函数的导函数，，对任意实数x都有，则不等式的解集为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：因为，所以由，
设，
所以函数是实数集上的减函数，
，
所以不等式的解集为.
故答案为：B
【分析】本题考查构造函数结合导数单调性求解抽象不等式，关键是构造辅助函数，利用已知条件判断函数单调性，再将原不等式变形为同结构函数形式进行脱括号求解。
7．已知数列和的通项公式分别为，在与之间插入数列的前项，构成新数列，即，记数列的前项和为，则（　　）
A．128 B．558 C．884 D．4944
【答案】B
【知识点】等比数列的前n项和；数列的求和
【解析】【解答】解：因为数列的通项公式为，所以数列为等差数列，所以数列的前项和为，数列的通项公式为，所以数列为等比数列，所以数列的前项和为，
所以，
，
当时，．
故答案为：B
【分析】本题考查等差、等比数列求和与新数列分组求和，关键是读懂新数列构造规则，拆分求和项，分别对等差数列、等比分段和分组求和后代入数值计算。
8．将数字（） 字母（）和符号（★， ， ）放入到下面的九宫格中，每个格子只能放一个数字 字母或符号，每个数字 字母或符号都必须使用，且只能用一次．则每行每列都有数字 字母和符号的排法有（　　）种
A．648 B．1048 C．1296 D．2592
【答案】D
【知识点】分步乘法计数原理；排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：第一步，确定数字 字母和符号的类别位置：
第一行数字 字母和符号的排列有种，
第二行是第一行的错位排列，则排列方式有2种，
第三行排列方式唯一确定，
因此，类别位置的排列方式有（种）．
第二步，分别确定三个数字 字母和符号放入类别位置的排列数：
数字（）放入3个位置，排列数为；
字母（）放入3个位置，排列数为；
符号（★， ， ）放入3个位置，排列数为．
根据分步乘法计数原理，总排法有（种）．
故答案为：D
【分析】本题考查分步乘法计数原理与错位排列的综合应用，关键是先利用三阶错位排列确定九宫格内数字、字母、符号三类元素的位置排布方式，再分别对同类型元素内部全排列，分步相乘得到总排法数。
9．由1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，则所有组成的五位数中（　　）
A．奇数有60个 B．能被5整除的有24个
C．1在万位而2不在个位的有18个 D．比12345大的有108个
【答案】B,C
【知识点】排列、组合的实际应用；排列与组合的综合
【解析】【解答】A：奇数要求个位从中选1个，有种，剩余4位全排列，总数：，故A错误；
B：能被5整除则个位固定为5，剩余4个数全排列：，故B正确；
C：1固定在万位，2不能在个位，2有中间3个位置可选，剩下3个数全排列：，故C正确；
D：全部五位数一共个，最小为，比它大的有，故D错误。
故答案为：
【分析】A：优先排奇数个位，再排列剩余数位；B：被5整除末位必是5，剩余四位全排列；C：固定万位为1，限制元素2不能放个位，分步选位再排列；D：算出全部排列总数，减去最小数本身得到大数个数。
10．已知数列满足，则（　　）
A．
B．
C．当且仅当时，数列的前项和最小
D．数列的前项和为，则
【答案】B,C
【知识点】数列的函数特性；数列的求和；数列的通项公式；通项与前n项和的关系
【解析】【解答】解：①，
当时，左边，右边，得，故A错误；
当时，②，
①②得，约去得，
验证时，也满足，因此对任意，，故B正确；
对数列，代入，得，公差为的递增等差数列，
令，得，即前项均为负数，从第项开始为正数，
因此前项和最小当且仅当，故C正确；
的周期为，则时；
时；时；时.
每连续项的和为，
则，
故D错误.
故答案为：BC.
【分析】将代入等式求解即可判断A；当时，写出的等式，然后两式相减化简求得即可判断B；代入，得，可得数列是公差为的递增等差数列，根据等差数列的性质即可判断C；根据数列的周期性计算即可判断D.
11．设函数，则（　　）
A．函数的单调递减区间为．
B．曲线在点处的切线方程为．
C．函数既有极大值又有极小值，且极大值小于极小值．
D．若方程有两个不等实根，则实数k的取值范围为
【答案】B,C,D
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】解：A、函数的定义域为，
，
令，即，解得或，
当时，，当时，，
则函数在和上单调递增，在和上单调递减，故A错误；
B、切线斜率，曲线在点处的切线方程为，
即，故B正确；
C、当时，取得极大值为，
当时，取得极小值为，
因为，所以极大值小于极小值，故C正确；
D、由上分析可作出的图象如图所示
要使方程有两个不等实根，只需要与有两个交点，
由图可知，，
所以实数的取值范围为，故D正确.
故答案为：BCD.
【分析】求函数的定义域，再求导，利用导数判断函数的单调性，求单调区间即可判断A；利用导数的几何意义，结合点斜式求切线方程即可判断B；由A选项，判断函数的单调性，求极值即可判断C；作出的图象，问题转化为与有两个交点，数形结合求解即可判断D.
12．已知等差数列的前项和为，且，则　 　．
【答案】6
【知识点】等差数列的前n项和；等差数列的性质
【解析】【解答】解：因为成等差数列，设其公差为，
所以，所以，
所以，所以．
故答案为：6
【分析】本题考查等差数列前项和的分段等差性质，关键是利用成等差数列，先求出分段数列公差，再分步计算。
13．若函数在区间上是单调减函数，则实数的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】函数恒成立问题；函数的单调性与导数正负的关系；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：定义域为，，
令，则，
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
因为在区间上是单调减函数，所以，
所以，所以，所以实数的取值范围为.
故答案为：.
【分析】本题考查利用导数求解函数单调区间与参数范围，关键是先求导确定原函数单调递减区间，再由开区间(m，m+1)是递减区间的子集列不等式求解m的取值范围。
14．个人进行篮球训练，互相传球接球，要求每个人接球后马上传给别人，开始由甲发球，并作为第一次传球，第五次传球后，球又回到甲手中，不同的传球方法数为　 　.
【答案】
【知识点】数列的递推公式；分步乘法计数原理；排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：设第次传球后，球又回到甲手中的传球方法有种，经过次传球后，所有可能的传球方法总数为.
这些方法可分为两类：一类是球在甲手中，有种方法，
另一类是球不在甲手中，有种方法，
第次传球后球要回到甲手中，当且仅当第次传球后球不在甲手中，然后由持球人传给了甲，
因此，，即，
由于甲是发球者，一次传球后球又回到甲手中的传球方法是不存在的，所以．
利用递推关系可以得到：．
这说明经过次传球后，球仍回到甲手中的传球方法有种．
故答案为：
【分析】本题考查递推数列在传球计数问题中的应用，关键是构造递推数列表示第次传球后球回到甲手中的方法数，结合总传球数建立递推关系式，再利用初始条件逐项计算。
15．在的展开式中，第4项的二项式系数与第3项的二项式系数的比为．
（1）求n的值；
（2）求展开式中含的项的二项式系数．
【答案】（1）解：第4项的二项式系数为，第3项的二项式系数为．
又第4项的二项式系数与第3项的二项式系数的比为，
，，，故的值为；
（2）解：因，
由解得，
故展开式中含的项的二项式系数为.
【知识点】二项式系数的性质；二项式定理的应用；二项式系数
【解析】【分析】(1) 第项二项式系数为，故第3项系数、第4项，由比值列式求解；
(2) 写出通项公式，整理的指数，令指数等于解出，再求对应二项式系数。
（1）第4项的二项式系数为，第3项的二项式系数为．
又第4项的二项式系数与第3项的二项式系数的比为，
，，，故的值为；
（2）因，
由解得，
故展开式中含的项的二项式系数为.
16．已知递增的等比数列和等差数列，满足，是和的等差中项，且.
（1）求数列和的通项公式；
（2）若，求数列的前项和.
【答案】（1）解：由题意知，，解得，设等比数列的公比为，∴，∴；由题意知，，则等差数列的公差，
∴.
（2）解：∵，
∴ .
【知识点】数列的求和；等差数列的性质；等差中项
【解析】【分析】(1) 利用等比数列性质，联立结合递增条件求出，算出公比得通项；再由等差中项与已知条件求出，算公差得到通项；
(2) 对裂项变形，利用裂项相消法累加求前项和。
（1）由题意知，，解得，
设等比数列的公比为，∴，∴；由题意知，，则等差数列的公差，
∴.
（2）∵，
∴ .
17．已知函数．
（1）求函数的极值；
（2）求函数在上的值域；
（3）设，证明：．
【答案】（1）解：已知函数的定义域为，
则，
因，故，令得，
当时，，在单调递增；
当时，，在单调递减，
因此只有极小值，无极大值，且极小值为，无极大值．
（2）解：由（1）的单调性可知在单调递减，在单调递增，
因此最小值为，
计算区间端点值，，
因为，所以，
故在上的最大值为，
因此在上的值域为．
（3）证明：因为，
由，得，即，
令，则，
令，得；令，得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
则，即恒成立，
所以．
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】(1) 求导因式分解，根据导数正负判断单调区间，进而求出极值；
(2) 借助(1)单调性，算出区间端点与极小值点函数值，确定值域；
(3) 移项构造新函数，求导研究最小值，证明最小值即可证不等式。
（1）已知函数的定义域为，
则，
因，故，令得，
当时，，在单调递增；
当时，，在单调递减，
因此只有极小值，无极大值，且极小值为，无极大值．
（2）由（1）的单调性可知在单调递减，在单调递增，
因此最小值为，
计算区间端点值，，
因为，所以，
故在上的最大值为，
因此在上的值域为．
（3）因为，
由，得，即，
令，则，
令，得；令，得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
则，即恒成立，
所以．
18．设是数列的前n项和，已知，．
（1）证明：是等比数列；
（2）若，求数列的前n项和；
（3）记，若不等式恒成立，求实数m的取值范围．
【答案】（1）证明：已知，
当时，，
两式相减得： ，
整理得： ，，
当时，，
，满足，
又， 因此是首项为1，公比为2的等比数列，得证；
（2）解：由(1)得，
因此： ，
设前项和为，
则，
，
两式相减得：，
即，
又数列前项和为，
因此；
（3）解：由得：，因此，
化简不等式左边： ，，
因此，
不等式恒成立，
等价于对任意恒成立，
设
则 ，
当，，
即时，；
当时，，
因此的最大值为 ，故，
即的取值范围为.
【知识点】函数恒成立问题；等比数列的通项公式；等比数列的前n项和；等比数列的性质
【解析】【分析】(1) 利用与作差推出，验证满足，证为等比数列；
(2) 先求，拆分，错位相减求和，再加等差数列和得到；
(3) 化简，分离参数，构造数列，作差判断单调性求最大值，得到范围。
（1）已知，
当时，，
两式相减得： ，
整理得： ，，
当时，，
，满足，
又， 因此是首项为1，公比为2的等比数列，得证；
（2）由(1)得，
因此： ，
设前项和为，
则，
，
两式相减得：，
即，
又数列前项和为，
因此；
（3）由得：，因此，
化简不等式左边： ，，
因此，
不等式恒成立，
等价于对任意恒成立，
设
则 ，
当，，
即时，；
当时，，
因此的最大值为 ，故，
即的取值范围为.
19．已知函数.
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围；
（3）证明：.
【答案】（1）解：当时，函数定义域为，求导可得，
，，
则曲线在点处的切线方程为，即；
（2）解：因为，恒成立，所以恒成立，
令，则，
令，则且不恒为0，
即在上单调递减，则，
所以当时，且不恒为0，
所以在区间上单调递减，故，所以，
综上，实数的取值范围为；
（3）证明：取，由（2）得当时，，所以，
取，则有，
即，
所以，，，，
将上述式子相加得，得证.
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；利用导数研究曲线上某点切线方程；不等式的证明
【解析】【分析】（1）将代入，求函数得定义域以及导函数，利用导数的几何意义，结合点斜式求解即可；
（2）问题转化为恒成立，构造函数，求导，利用导数讨论的单调性，求其最大值，即可得参数的取值范围；
（3）取，由（2）得当时，，，取，利用累加法证结论即可.
（1）当时，，，，
则，所以，
所以曲线在点处的切线方程为，即；
（2）因为，恒成立，所以恒成立.
令，则，
令，则且不恒为0，
即在上单调递减，则，
所以当时，且不恒为0，
所以在区间上单调递减，故，所以，
综上，实数的取值范围为；
（3）取，由（2）得当时，，所以.
取，则有，
即，
所以，，，，
将上述式子相加得，得证.
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