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广东佛山市新质高中联盟2025-2026学年第二学期高二年级期中联考试卷数学学科
1．已知集合，若，且，则a的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】元素与集合的关系；集合关系中的参数取值问题；一元二次不等式及其解法
【解析】【解答】解：因式分解得；可得，
故集合；
因为且，所以，解得.
所以的取值范围是.
故答案为：C
【分析】本题考查一元二次不等式求解与集合元素的范围约束，关键是先解不等式化简集合，再根据、列出二元不等式组，联立求解得到的取值区间。
2．已知为虚数单位， 则复数的共轭复数在复平面内对应的点位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【知识点】复数在复平面中的表示；复数代数形式的乘除运算；共轭复数
【解析】【解答】解：由复数，可得，
则共轭复数在复平面内对应的点位于第三象限.
故答案为：C
【分析】本题考查复数的四则运算、共轭复数与复平面象限判定，关键是分母实数化化简复数，再写出共轭复数，根据实部、虚部符号判断对应点所在象限。
3．已知向量，，若，则|（　　）
A．2 B． C．3 D．
【答案】D
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量垂直的坐标表示
【解析】【解答】解：因为向量，，且，所以，解得，
所以，所以．
故答案为：D
【分析】本题考查平面向量垂直的坐标条件与向量模长计算，关键是利用垂直向量数量积为0求出参数，再代入坐标运算得到，最后套用模长公式求值。
4．已知数列是首项为4，公比为的等比数列，若成等差数列，则（　　）
A．4 B．8 C．-4 D．-8
【答案】A
【知识点】等比数列的通项公式；等差中项
【解析】【解答】解：由数列是首项为4，公比为的等比数列，得，
由成等差数列，得，即，
则，而，解得，
所以.
故答案为：A
【分析】本题考查等比数列通项与等差数列中项性质，关键是利用等差中项列式，代入等比通项构造关于的方程，求出后再计算。
5．若在和处有极值，则函数的单调递增区间是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】解：函数定义域为，，
由题意可得，解得，
则，，
令，解得，则函数的单调递增区间是.
故答案为：C．
【分析】求函数的定义域以及导函数，由题意列方程组，求出、的值，再利用导数求出函数的单调递增区间即可.
6．函数的图象大致为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】函数的奇偶性；函数的图象；利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件
【解析】【解答】解：由题意可知，函数的定义域为.
又，
所以，函数为奇函数.
当时，，
则.
设，则在上恒成立，
所以，在上单调递增.
又，，
所以，根据零点存在定理可得，，有，
且当时，有，显然，
所以在上单调递增；
当时，有，显然，
所以在上单调递减.
因为，C正确.
故答案为：C.
【分析】本题考查函数图象识别，综合利用函数奇偶性、导数判断单调性，关键先判定奇偶排除偶函数图象，再对x>0分段求导分析增减区间，结合零点位置锁定对应图像。
7．已知数列满足：，，若，则数列的最大项为第（　　）项.
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】D
【知识点】数列的函数特性；数列的递推公式；数列的通项公式
【解析】【解答】解：由可得，
当时，
，
当时，，，也满足，所以，，
，
由， 即，
解得， 又因为，所以，则数列的最大项为第8项.
故答案为：D
【分析】本题考查递推数列求通项与数列最值项求解，关键是先构造新数列裂项累加求出通项，再利用的不等式组确定最值项对应的。
8．借用“以直代曲”的近似计算方法，在切点附近，可以用函数图象的切线代替在切点附近的曲线来近似计算，例如：求，我们先求得在处的切线方程为，再把代入切线方程，即得，类比上述方式，则（　　）．
A．1.00025 B．1.00005 C．1.0025 D．10005
【答案】A
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】解：设，可得，，
曲线在点处的切线对应的函数为，
因为与之间的距离比较小，在切点附近用切线代替曲线进行近似计算，
，
故答案为：A
【分析】本题考查导数几何意义与以直代曲近似求值，关键是选取，求出处切线方程，再把小数值代入切线实现近似运算。
9．下列求导计算中，错误的有（　　）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】B,D
【知识点】导数的四则运算；简单复合函数求导法则；基本初等函数导函数公式
【解析】【解答】A，，由复合求导：，故A正确；
B，，，故B错误；
C，，为常数，，故C正确；
D，，，故D错误。
故答案为：BD。
【分析】A：链式法则逐层求导，常数系数与内层导数相乘化简；B：外层余弦求导、再乘的导数，核对分母幂次；C：常数的导数为0，只对幂函数求导；D：幂函数求导公式，注意负指数求导系数。
10．记为等差数列的前n项和．已知，则（　　）
A． B．
C．为等差数列 D．为等比数列
【答案】A,C,D
【知识点】等差数列概念与表示；等差数列的通项公式；等比数列概念与表示；等差数列的性质
【解析】【解答】解：设等差数列的公差为，由题意可得，解得，
故.
A、由通项易得，故A正确；
B、因，而，即，故B错误；
C、因，则，由，可得数列为等差数列，故C正确；
D、因，则，由，可得为等比数列，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】设等差数列的公差为，由题意，列关于首项和公差的方程组，求得首项与公差，确定数列的通项，根据通项求，即可判断AB；根据等差数列的求和公式得，结合等差数列的定义求解即可判断C；由，可得，利用等比数列的定义即可判断D.
11．已知函数，，则（　　）
A．在上单调递增
B．当时，有且只有一个极值点
C．若有两个极值点，则
D．若有两个极值点，，则
【答案】A,C,D
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：A，由得：，
当时，，所以在上单调递增，故A正确；
B，当时，由，则，
再令，则，
由此可知：当时，，则在上递增，即，
可得：在上也递增，
当时，，则在上递减，即，
可得：在上也递增，
则判断是单调递增函数，没有极值点，故B错误；
C，由有两个极值点，则有两个零点，
即，
则等价于函数与的图象有两个交点，
可设曲线过点的切线方程为：
当直线与切线重合时可知：，解得，
再结合图象，
可知：当，直线与曲线一定有两个交点，
且这两个交点满足原函数有两个极值点的条件，故，故C正确；
D，由有两个极值点，则有两个零点，则，
要证明，只需要证明，即证明，
由上面可知，则，
而当时，，则在上递增，
所以只需要证明，由，
所以只需要证明，即证：，
构造函数
，
则
又令，则，
则在上递减，即，
所以当时，，
即在上递减，
因为所以，
则得证，即，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】A：直接判断x<1时导函数符号；B：研究导函数的最值，判断导函数是否恒非负；C：参变分离转化为直线与对数曲线交点，利用相切临界求a范围；D：极值点偏移，构造对称函数结合单调性证明不等式。
12．已知等比数列的前项和为，且，则　 　.
【答案】39
【知识点】等比数列的前n项和；等比数列的性质
【解析】【解答】解：由等比数列满足，可得等比数列的公比，
根据等比数列的性质，可得也成等比数列，
即，得，解得.
故答案为：39.
【分析】根据等比数列的片段和性质求解即可.
13．设函数，若函数在上是单调减函数，则k的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：∵定义域为，，在上是单调减函数，
∴恒成立；∴，，
∵，，
，当且仅当时取等号.
∴，
∴，即：k的取值范围是．
故答案为：.
【分析】本题考查利用导数单调性求参数范围，关键是由单调递减推出导函数在定义域恒成立，分离参数后借助基本不等式求分式最值，进而确定的取值区间。
14．已知等差数列首项为2，公差为2，前n项和为，数列前n项和为，且满足．若对于任意，成立，则m的最小值为　 　．
【答案】
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；数列与函数的综合
【解析】【解答】解：由题可知，则，
，
==.
设，.
，
当时，，单调递减，当时，，单调递增.
则在时取得最大值.所以
故答案为：
【分析】本题考查等差数列求和、裂项相消与恒成立求参数最值，关键先求出并拆分，对裂项与对数连乘化简，再构造函数借助导数找最大值，进而得到最小值。
15．已知函数在点处的切线斜率为，且在处取得极值．
（1）求函数的解析式；
（2）当时，求函数的最值．
【答案】（1）解：定义域为，，
由题意可知，，，，则，解得，，，
即函数的解析式为，经检验适合题意，
故函数；
（2）解：由（1）知，
令，则，解得，或，
当时，； 当时，；
则函数在和上单调递增，在上单调递减，
当时，取的极大值为，
当时，取得极小值为，
又，，
故，．
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）求函数的定义域，再求导，利用导数的几何意义及点在曲线上，结合函数极值的定义列式求解即可；
（2）由（1）知，利用导数判断函数的单调性，并极值、最值即可.
16．已知数列中，，.
（1）求证：数列为等差数列；
（2）令的前项和为，求证：.
【答案】（1）证明：已知 ，且 ，由递推关系可知 对任意正整数成立，
则该递推关系可整理为 ，又首项，
因此数列是首项为1，公差为2的等差数列.
（2）证明：由（1）可得，所以，
所以，
所以

【知识点】等差数列概念与表示；等差数列的通项公式；数列的求和
【解析】【分析】(1) 对递推式取倒数变形，推导出相邻两项倒数的差为定值，结合首项，依据等差数列定义完成证明；
(2) 先由等差数列通项求出，对通项分式裂项，累加求和后根据剩余项恒正，放缩证明不等式。
（1）已知 ，且 ，由递推关系可知 对任意正整数成立，
则该递推关系可整理为 ，又首项，
因此数列是首项为1，公差为2的等差数列.
（2）由（1）可得，所以，
所以，
所以
17．如图，已知斜四棱柱，底面为等腰梯形，，点在底面的射影为，且，，，．
（1）求证：平面平面；
（2）已知点满足，，且平面与平面夹角的余弦值为，求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】（1）证明：等腰梯形中，
，，延长，交于，则，，所以为等边三角形，
所以，且，，平面，平面，
所以面，
又因为平面，则平面平面.
（2）解：过作交于，以为坐标原点，为轴正半轴，为轴正半轴，为轴正半轴，建立如图所示空间直角坐标系，
则，，，，，
，，，
，
设平面的一个法向量为
，则，取，则
取平面的法向量，
，得，因为，所以，
即，，
设直线与平面所成的角为，则，
所以直线与平面所成的角正弦值为．
【知识点】平面与平面垂直的判定；用空间向量研究直线与平面所成的角；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】(1) 先利用等腰梯形边长关系证，结合已知，由线面垂直判定得到平面，再用面面垂直判定定理证两面垂直；
(2) 以为原点建系，设写出坐标，分别求平面、底面法向量，借助二面角余弦值算出，再利用线面角公式完成求值。
（1）证明：等腰梯形中，，，延长，交于，则，，所以为等边三角形，
所以，且，，平面，平面，
所以面，
又因为平面，则平面平面.
（2）过作交于，
以为坐标原点，为轴正半轴，为轴正半轴，为轴正半轴，建立如图所示空间直角坐标系，
则，，，，，
，，，
，
设平面的一个法向量为
，则，取，则
取平面的法向量，
，得，因为，所以，
即，，
设直线与平面所成的角为，则，
所以直线与平面所成的角正弦值为．
18．已知数列的前n项和为，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）等差数列满足，对于任意的，恒成立，求实数k的取值范围；
（3）若数列，对于任意的正整数n，均有成立，求证：数列是等差数列．
【答案】（1）解：因，即，则当时，，即，
而当，则，即，于是有数列是以为公比，2为首项的等比数列，
因此，，
所以数列的通项公式是：，
（2）解：数列为等差数列且，则公差，，
对于任意的，恒成立，即，亦即恒成立，
令，则，
当，2时，，当时，，
于是得，，则，
所以实数k的取值范围是
（3）证明：对于任意的正整数n，，
当时，，而，则，
当时，，
上式两边同时乘以得：，
因此，，
即，从而有，而也满足上式，则，，，
所以数列是以为首项，公差为 的等差数列
【知识点】等差数列概念与表示；等差数列的性质；数列的递推公式
【解析】【分析】(1)根据递推公式及，可得数列是等比数列，计算即可得的通项公式.
(2)求出等差数列的通项公式，再结合(1)参数分离出得，构造数列并求其最大值即可得解.
(3)已知的递推公式在当时两边同乘，再与运用已知递推公式作差即可得数列的通项公式推理作答.
19．已知函数．
（1）求的单调区间；
（2）当时，判断的零点个数，并证明结论；
（3）不等式在上恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）解：由函数的定义域为，且，
若，令，解得，
当时，；当时，，
若，令，解得或.
①若当时，即当时，
当时，；当时，；
②若当时，即当时，
当或，；当时，；
③若当时，即当时，可得，且；
④若当时，即当时，
当或时，；当时，，
综上所述，
当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为；
当时，函数的单调递减区间为，
单调递增区间为；
当时，函数的单调递增区间为；
当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为，．
（2）解：只有一个零点.
证明如下：由（1）知，当时，单调递增，
又由，可得，此时在只有一个零点；
当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为，，
当时，函数取得极大值，极大值为，
在没有零点；
当时，函数取得极小值，其中，
在没有零点；
当时，，，
又，
，
由，必有正根，
当时，，
取，显然，则，
所以在有一个零点．
综上所述，命题成立．
（3）解：由在上恒成立，
所以在上恒成立，
令，
则，
令，则，
当时，；当时，，
在上单调递增，在上单调递减，
又因为，，，
当时，在内存在唯一的零点，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
当时，，，单调递增，
所以，，
因为，所以，，
所以，
因为，所以，所以，
所以实数的取值范围为．
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）先求出函数的导数，再由导数值的正负情况判断出函数的单调性，从而得出的单调区间.
（2）根据函数的单调性结合零点存在性定理，即可判断并证出判断的零点个数.
（3）将给定不等式等价转化为，再构造函数和，分类探讨其单调性和最值，从而得出实数a的取值范围.
（1）由函数的定义域为，且，
若，令，解得，当时，；当时，，
若，令，解得或，
①若时，即时，
当时，；当时，；
②若时，即时，
当或，；当时，；
③若时，即时，可得，且仅；
④若时，即时，
当或，；当时，；
综上所述，当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为；
当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为；
当时，函数的单调递增区间为；
当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为，．
（2）只有一个零点证明：由（1）知，当时，单调递增，
又由，可得，此时在只有一个零点；
当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为，，
当时，函数取得极大值，极大值为，在没有零点；
当时，函数取得极小值，其中，
在没有零点；
当时，，；又，
，由，必有正根，
当时，
取，显然，有，所以在有一个零点．
综上，命题成立．
（3）由在上恒成立，
所以在上恒成立，
令，则，
令，则，
当时，，当时，，
在上单调递增，在上单调递减，
又，，，
当时，在内存在唯一的零点，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
当时，，，单调递增，
所以，，
因为，所以，，
所以，
因为，所以，所以，
所以实数的取值范围为．
1 / 1广东佛山市新质高中联盟2025-2026学年第二学期高二年级期中联考试卷数学学科
1．已知集合，若，且，则a的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
2．已知为虚数单位， 则复数的共轭复数在复平面内对应的点位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．已知向量，，若，则|（　　）
A．2 B． C．3 D．
4．已知数列是首项为4，公比为的等比数列，若成等差数列，则（　　）
A．4 B．8 C．-4 D．-8
5．若在和处有极值，则函数的单调递增区间是（　　）
A． B． C． D．
6．函数的图象大致为（　　）
A． B．
C． D．
7．已知数列满足：，，若，则数列的最大项为第（　　）项.
A．5 B．6 C．7 D．8
8．借用“以直代曲”的近似计算方法，在切点附近，可以用函数图象的切线代替在切点附近的曲线来近似计算，例如：求，我们先求得在处的切线方程为，再把代入切线方程，即得，类比上述方式，则（　　）．
A．1.00025 B．1.00005 C．1.0025 D．10005
9．下列求导计算中，错误的有（　　）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
10．记为等差数列的前n项和．已知，则（　　）
A． B．
C．为等差数列 D．为等比数列
11．已知函数，，则（　　）
A．在上单调递增
B．当时，有且只有一个极值点
C．若有两个极值点，则
D．若有两个极值点，，则
12．已知等比数列的前项和为，且，则　 　.
13．设函数，若函数在上是单调减函数，则k的取值范围是　 　．
14．已知等差数列首项为2，公差为2，前n项和为，数列前n项和为，且满足．若对于任意，成立，则m的最小值为　 　．
15．已知函数在点处的切线斜率为，且在处取得极值．
（1）求函数的解析式；
（2）当时，求函数的最值．
16．已知数列中，，.
（1）求证：数列为等差数列；
（2）令的前项和为，求证：.
17．如图，已知斜四棱柱，底面为等腰梯形，，点在底面的射影为，且，，，．
（1）求证：平面平面；
（2）已知点满足，，且平面与平面夹角的余弦值为，求直线与平面所成角的正弦值．
18．已知数列的前n项和为，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）等差数列满足，对于任意的，恒成立，求实数k的取值范围；
（3）若数列，对于任意的正整数n，均有成立，求证：数列是等差数列．
19．已知函数．
（1）求的单调区间；
（2）当时，判断的零点个数，并证明结论；
（3）不等式在上恒成立，求实数的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】元素与集合的关系；集合关系中的参数取值问题；一元二次不等式及其解法
【解析】【解答】解：因式分解得；可得，
故集合；
因为且，所以，解得.
所以的取值范围是.
故答案为：C
【分析】本题考查一元二次不等式求解与集合元素的范围约束，关键是先解不等式化简集合，再根据、列出二元不等式组，联立求解得到的取值区间。
2．【答案】C
【知识点】复数在复平面中的表示；复数代数形式的乘除运算；共轭复数
【解析】【解答】解：由复数，可得，
则共轭复数在复平面内对应的点位于第三象限.
故答案为：C
【分析】本题考查复数的四则运算、共轭复数与复平面象限判定，关键是分母实数化化简复数，再写出共轭复数，根据实部、虚部符号判断对应点所在象限。
3．【答案】D
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量垂直的坐标表示
【解析】【解答】解：因为向量，，且，所以，解得，
所以，所以．
故答案为：D
【分析】本题考查平面向量垂直的坐标条件与向量模长计算，关键是利用垂直向量数量积为0求出参数，再代入坐标运算得到，最后套用模长公式求值。
4．【答案】A
【知识点】等比数列的通项公式；等差中项
【解析】【解答】解：由数列是首项为4，公比为的等比数列，得，
由成等差数列，得，即，
则，而，解得，
所以.
故答案为：A
【分析】本题考查等比数列通项与等差数列中项性质，关键是利用等差中项列式，代入等比通项构造关于的方程，求出后再计算。
5．【答案】C
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】解：函数定义域为，，
由题意可得，解得，
则，，
令，解得，则函数的单调递增区间是.
故答案为：C．
【分析】求函数的定义域以及导函数，由题意列方程组，求出、的值，再利用导数求出函数的单调递增区间即可.
6．【答案】C
【知识点】函数的奇偶性；函数的图象；利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件
【解析】【解答】解：由题意可知，函数的定义域为.
又，
所以，函数为奇函数.
当时，，
则.
设，则在上恒成立，
所以，在上单调递增.
又，，
所以，根据零点存在定理可得，，有，
且当时，有，显然，
所以在上单调递增；
当时，有，显然，
所以在上单调递减.
因为，C正确.
故答案为：C.
【分析】本题考查函数图象识别，综合利用函数奇偶性、导数判断单调性，关键先判定奇偶排除偶函数图象，再对x>0分段求导分析增减区间，结合零点位置锁定对应图像。
7．【答案】D
【知识点】数列的函数特性；数列的递推公式；数列的通项公式
【解析】【解答】解：由可得，
当时，
，
当时，，，也满足，所以，，
，
由， 即，
解得， 又因为，所以，则数列的最大项为第8项.
故答案为：D
【分析】本题考查递推数列求通项与数列最值项求解，关键是先构造新数列裂项累加求出通项，再利用的不等式组确定最值项对应的。
8．【答案】A
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】解：设，可得，，
曲线在点处的切线对应的函数为，
因为与之间的距离比较小，在切点附近用切线代替曲线进行近似计算，
，
故答案为：A
【分析】本题考查导数几何意义与以直代曲近似求值，关键是选取，求出处切线方程，再把小数值代入切线实现近似运算。
9．【答案】B,D
【知识点】导数的四则运算；简单复合函数求导法则；基本初等函数导函数公式
【解析】【解答】A，，由复合求导：，故A正确；
B，，，故B错误；
C，，为常数，，故C正确；
D，，，故D错误。
故答案为：BD。
【分析】A：链式法则逐层求导，常数系数与内层导数相乘化简；B：外层余弦求导、再乘的导数，核对分母幂次；C：常数的导数为0，只对幂函数求导；D：幂函数求导公式，注意负指数求导系数。
10．【答案】A,C,D
【知识点】等差数列概念与表示；等差数列的通项公式；等比数列概念与表示；等差数列的性质
【解析】【解答】解：设等差数列的公差为，由题意可得，解得，
故.
A、由通项易得，故A正确；
B、因，而，即，故B错误；
C、因，则，由，可得数列为等差数列，故C正确；
D、因，则，由，可得为等比数列，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】设等差数列的公差为，由题意，列关于首项和公差的方程组，求得首项与公差，确定数列的通项，根据通项求，即可判断AB；根据等差数列的求和公式得，结合等差数列的定义求解即可判断C；由，可得，利用等比数列的定义即可判断D.
11．【答案】A,C,D
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：A，由得：，
当时，，所以在上单调递增，故A正确；
B，当时，由，则，
再令，则，
由此可知：当时，，则在上递增，即，
可得：在上也递增，
当时，，则在上递减，即，
可得：在上也递增，
则判断是单调递增函数，没有极值点，故B错误；
C，由有两个极值点，则有两个零点，
即，
则等价于函数与的图象有两个交点，
可设曲线过点的切线方程为：
当直线与切线重合时可知：，解得，
再结合图象，
可知：当，直线与曲线一定有两个交点，
且这两个交点满足原函数有两个极值点的条件，故，故C正确；
D，由有两个极值点，则有两个零点，则，
要证明，只需要证明，即证明，
由上面可知，则，
而当时，，则在上递增，
所以只需要证明，由，
所以只需要证明，即证：，
构造函数
，
则
又令，则，
则在上递减，即，
所以当时，，
即在上递减，
因为所以，
则得证，即，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】A：直接判断x<1时导函数符号；B：研究导函数的最值，判断导函数是否恒非负；C：参变分离转化为直线与对数曲线交点，利用相切临界求a范围；D：极值点偏移，构造对称函数结合单调性证明不等式。
12．【答案】39
【知识点】等比数列的前n项和；等比数列的性质
【解析】【解答】解：由等比数列满足，可得等比数列的公比，
根据等比数列的性质，可得也成等比数列，
即，得，解得.
故答案为：39.
【分析】根据等比数列的片段和性质求解即可.
13．【答案】
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：∵定义域为，，在上是单调减函数，
∴恒成立；∴，，
∵，，
，当且仅当时取等号.
∴，
∴，即：k的取值范围是．
故答案为：.
【分析】本题考查利用导数单调性求参数范围，关键是由单调递减推出导函数在定义域恒成立，分离参数后借助基本不等式求分式最值，进而确定的取值区间。
14．【答案】
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；数列与函数的综合
【解析】【解答】解：由题可知，则，
，
==.
设，.
，
当时，，单调递减，当时，，单调递增.
则在时取得最大值.所以
故答案为：
【分析】本题考查等差数列求和、裂项相消与恒成立求参数最值，关键先求出并拆分，对裂项与对数连乘化简，再构造函数借助导数找最大值，进而得到最小值。
15．【答案】（1）解：定义域为，，
由题意可知，，，，则，解得，，，
即函数的解析式为，经检验适合题意，
故函数；
（2）解：由（1）知，
令，则，解得，或，
当时，； 当时，；
则函数在和上单调递增，在上单调递减，
当时，取的极大值为，
当时，取得极小值为，
又，，
故，．
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）求函数的定义域，再求导，利用导数的几何意义及点在曲线上，结合函数极值的定义列式求解即可；
（2）由（1）知，利用导数判断函数的单调性，并极值、最值即可.
16．【答案】（1）证明：已知 ，且 ，由递推关系可知 对任意正整数成立，
则该递推关系可整理为 ，又首项，
因此数列是首项为1，公差为2的等差数列.
（2）证明：由（1）可得，所以，
所以，
所以

【知识点】等差数列概念与表示；等差数列的通项公式；数列的求和
【解析】【分析】(1) 对递推式取倒数变形，推导出相邻两项倒数的差为定值，结合首项，依据等差数列定义完成证明；
(2) 先由等差数列通项求出，对通项分式裂项，累加求和后根据剩余项恒正，放缩证明不等式。
（1）已知 ，且 ，由递推关系可知 对任意正整数成立，
则该递推关系可整理为 ，又首项，
因此数列是首项为1，公差为2的等差数列.
（2）由（1）可得，所以，
所以，
所以
17．【答案】（1）证明：等腰梯形中，
，，延长，交于，则，，所以为等边三角形，
所以，且，，平面，平面，
所以面，
又因为平面，则平面平面.
（2）解：过作交于，以为坐标原点，为轴正半轴，为轴正半轴，为轴正半轴，建立如图所示空间直角坐标系，
则，，，，，
，，，
，
设平面的一个法向量为
，则，取，则
取平面的法向量，
，得，因为，所以，
即，，
设直线与平面所成的角为，则，
所以直线与平面所成的角正弦值为．
【知识点】平面与平面垂直的判定；用空间向量研究直线与平面所成的角；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】(1) 先利用等腰梯形边长关系证，结合已知，由线面垂直判定得到平面，再用面面垂直判定定理证两面垂直；
(2) 以为原点建系，设写出坐标，分别求平面、底面法向量，借助二面角余弦值算出，再利用线面角公式完成求值。
（1）证明：等腰梯形中，，，延长，交于，则，，所以为等边三角形，
所以，且，，平面，平面，
所以面，
又因为平面，则平面平面.
（2）过作交于，
以为坐标原点，为轴正半轴，为轴正半轴，为轴正半轴，建立如图所示空间直角坐标系，
则，，，，，
，，，
，
设平面的一个法向量为
，则，取，则
取平面的法向量，
，得，因为，所以，
即，，
设直线与平面所成的角为，则，
所以直线与平面所成的角正弦值为．
18．【答案】（1）解：因，即，则当时，，即，
而当，则，即，于是有数列是以为公比，2为首项的等比数列，
因此，，
所以数列的通项公式是：，
（2）解：数列为等差数列且，则公差，，
对于任意的，恒成立，即，亦即恒成立，
令，则，
当，2时，，当时，，
于是得，，则，
所以实数k的取值范围是
（3）证明：对于任意的正整数n，，
当时，，而，则，
当时，，
上式两边同时乘以得：，
因此，，
即，从而有，而也满足上式，则，，，
所以数列是以为首项，公差为 的等差数列
【知识点】等差数列概念与表示；等差数列的性质；数列的递推公式
【解析】【分析】(1)根据递推公式及，可得数列是等比数列，计算即可得的通项公式.
(2)求出等差数列的通项公式，再结合(1)参数分离出得，构造数列并求其最大值即可得解.
(3)已知的递推公式在当时两边同乘，再与运用已知递推公式作差即可得数列的通项公式推理作答.
19．【答案】（1）解：由函数的定义域为，且，
若，令，解得，
当时，；当时，，
若，令，解得或.
①若当时，即当时，
当时，；当时，；
②若当时，即当时，
当或，；当时，；
③若当时，即当时，可得，且；
④若当时，即当时，
当或时，；当时，，
综上所述，
当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为；
当时，函数的单调递减区间为，
单调递增区间为；
当时，函数的单调递增区间为；
当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为，．
（2）解：只有一个零点.
证明如下：由（1）知，当时，单调递增，
又由，可得，此时在只有一个零点；
当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为，，
当时，函数取得极大值，极大值为，
在没有零点；
当时，函数取得极小值，其中，
在没有零点；
当时，，，
又，
，
由，必有正根，
当时，，
取，显然，则，
所以在有一个零点．
综上所述，命题成立．
（3）解：由在上恒成立，
所以在上恒成立，
令，
则，
令，则，
当时，；当时，，
在上单调递增，在上单调递减，
又因为，，，
当时，在内存在唯一的零点，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
当时，，，单调递增，
所以，，
因为，所以，，
所以，
因为，所以，所以，
所以实数的取值范围为．
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）先求出函数的导数，再由导数值的正负情况判断出函数的单调性，从而得出的单调区间.
（2）根据函数的单调性结合零点存在性定理，即可判断并证出判断的零点个数.
（3）将给定不等式等价转化为，再构造函数和，分类探讨其单调性和最值，从而得出实数a的取值范围.
（1）由函数的定义域为，且，
若，令，解得，当时，；当时，，
若，令，解得或，
①若时，即时，
当时，；当时，；
②若时，即时，
当或，；当时，；
③若时，即时，可得，且仅；
④若时，即时，
当或，；当时，；
综上所述，当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为；
当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为；
当时，函数的单调递增区间为；
当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为，．
（2）只有一个零点证明：由（1）知，当时，单调递增，
又由，可得，此时在只有一个零点；
当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为，，
当时，函数取得极大值，极大值为，在没有零点；
当时，函数取得极小值，其中，
在没有零点；
当时，，；又，
，由，必有正根，
当时，
取，显然，有，所以在有一个零点．
综上，命题成立．
（3）由在上恒成立，
所以在上恒成立，
令，则，
令，则，
当时，，当时，，
在上单调递增，在上单调递减，
又，，，
当时，在内存在唯一的零点，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
当时，，，单调递增，
所以，，
因为，所以，，
所以，
因为，所以，所以，
所以实数的取值范围为．
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