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北京市西城区2026届高三5月模拟测试试卷数学
1．已知集合，集合，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】集合间关系的判断；并集及其运算；交集及其运算
【解析】【解答】解：集合，集合，
检验中元素是否属于：当时，；
当时，；无法表示为（）的形式，
则集合中仅有，，
A、，即中所有元素都属于，不成立，
B、，即中所有元素都不属于，不成立，
C、，等价于，不成立，
D、因为中存在元素，故并集不等于，成立.
故答案为：D.
【分析】分别取、验证，但，再根据集合的包含关系求解即可.
2．已知复数z满足，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：复数z满足，则.
故答案为：A.
【分析】根据复数代数形式的乘除运算化简求解即可.
3．双曲线的右顶点到其渐近线的距离为（　　）
A．1 B． C． D．
【答案】C
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：易知双曲线的右顶点为，
由对称性，不妨取其中一条渐近线方程为，即，
则右顶点到其渐近线的距离为．
故答案为：C.
【分析】易知双曲线的右顶点和渐近线方程，利用点到直线的距离公式求解即可．
4．在平面直角坐标系xOy中，角以Ox为始边，为终边上一点，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二倍角的正切公式；任意角三角函数的定义
【解析】【解答】解：点为终边上一点，由任意角的三角函数定义可得，
则.
故答案为：A.
【分析】根据任意角的三角函数定义，结合正切的二倍角公式求解即可.
5．已知函数在上单调递增，设，则函数是（　　）
A．奇函数，且在上单调递增 B．偶函数，且在上单调递增
C．奇函数，且在上单调递减 D．偶函数，且在上单调递减
【答案】C
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数的奇偶性
【解析】【解答】解：函数的定义域为，定义域关于原点对称，
满足，则 是奇函数，排除B和D；
因为在上单调递增，所以在上单调递减，在上单调递减，
则在上单调递减，
综上，函数是奇函数，且在上单调递减.
故答案为：C.
【分析】先求函数的定义域，再利用奇偶性的定义判断函数的奇偶性，再由函数的单调性，可得在上单调递减，在上单调递减，从而判断函数的单调性即可.
6．在长方形中，，，是边上一点，则的最小值为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【知识点】向量的模；平面向量的线性运算
【解析】【解答】解：取的中点，则，
当时，取得最小值，最小值为，
所以的最小值为.
故答案为：B.
【分析】取的中点，则，当时，取得最小值，据此求的最小值即可.
7．设函数，若不等式的解集为，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】函数单调性的性质；函数恒成立问题；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：函数的定义域为，
因为的解集为，所以在内恒成立，
又因为为单调递增函数，且零点为，
为单调递增函数，且零点为，
所以要使在定义域内恒成立，只需两函数零点相同，即，则，故A、B错误；
，则，故C正确，D错误.
故答案为：C.
【分析】先求函数的定义域，问题转化为在内恒成立，根据函数的单调性及零点，可得与的零点相同，可得的关系即可判断AB；双变量转化为单变量，结合二次函数的性质求解即可判断CD.
8．已知正方体W和平面，则“正方体W的8个顶点中存在6个到平面的距离相等”是“平面将正方体W分成体积相等的两部分”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；棱柱的结构特征
【解析】【解答】解：在正方体中，依次取棱的中点，
如图所示：
则点与点到平面的距离相等，而平面将正方体分成的两部分体积不等；反之，平面将正方体W分成体积相等的两部分，平面必过该正方体的中心，
正方体W的8个顶点中到平面的距离相等的顶点不一定是6个，
如在正方体中，平面过该正方体的中心，
只有4个顶点或到平面距离相等，
所以“正方体W的8个顶点中存在6个到平面的距离相等”是“平面将正方体W分成体积相等的两部分”的既不充分也不必要条件.
故答案为：D.
【分析】在正方体中，依次取棱的中点，点与点到平面的距离相等，而平面将正方体分成的两部分体积不等，反之，只有4个顶点或到平面距离相等，结合充分、必要条件的定义判断即可.
9．某工厂2023年的年产值为a，这一年工厂制定10年规划，欲通过技术革新、管理优化等手段，促使工厂产值的年平均增长率为x%，以期2033年的年产值达到2023年的4倍.实践中，由于市场环境逐步向好，工厂产值的年增长率超过预期.已知2025年的工厂年产值恰好达到规划中2026年的既定目标，如果从2026年起未来8年（含2026年）的年平均增长率与前2年实际年平均增长率相同，那么2033年工厂的年产值为（　　）
A．6a B．8a C．9a D．12a
【答案】B
【知识点】有理数指数幂的运算性质；“指数爆炸”模型
【解析】【解答】解：设原规划年平均增长率为，由2023年的年产值为a，10年后（2033年）产值为，
得，即，设实际年平均增长率为，
由2025年的工厂年产值恰好达到规划中2026年的既定目标，得，
即，因此2033年工厂的实际年产值为.
故答案为：B.
【分析】设原规划年平均增长率为，实际年平均增长率为，由题意，利用年增长率的意义，结合指数运算求解即可.
10．已知无穷数列的各项均为正数，且对任意的正整数i，总存在正整数s，t（），满足，则（　　）
A．可能为常数列 B．可能为等差数列
C．不可能为等比数列 D．可能为递减数列
【答案】D
【知识点】数列的函数特性；数列的应用；等差数列的性质；等比数列的性质
【解析】【解答】解：A、若为常数列，不妨设，显然，故A错误；
B、若为等差数列，设公差为，易知时不符合题意，
当时，数列单调递增，则，
，故当时，不存在正整数s，t使得，故B错误；
C、若为等比数列，设，公比为，
若，则，
解得或（舍去），
即可能为等比数列，当，时，
对任意的正整数i，总有，即即可，故C错误；
D、由C易知，为等比数列，，时，单调递减，
对任意的正整数i，总有，
即时，即满足，则可能为递减数列，故D正确．
故答案为：D.
【分析】若为常数列，不妨设，即可判断A；若为等差数列，设等差数列的公差为，易知时不符合题意，当时，数列单调递增，推导也不符合题意即可判断B；若为等比数列，设，公比为，易知当时可解得即可判断C；由C选项，易知为等比数列，，时符合题意即可判断D．
11．在△ABC中，若，，，则最大内角的余弦值为　 　.
【答案】
【知识点】余弦定理
【解析】【解答】解：在中，若，，，易知角为最大内角，
由余弦定理可得，
则最大内角的余弦值为.
故答案为：.
【分析】由题意，根据三角形大边对大角判定可得角是最大内角，再利用余弦定理求三角形最大内角的余弦值即可.
12．在的展开式中，常数项为　 　.（用数字作答）
【答案】
【知识点】二项展开式的通项
【解析】【解答】解：展开式的通项为，
令，解得，则.
故答案为：.
【分析】写出展开式的通项，令的指数为 0 ，求得的值，再代入通项公式求展开式中的常数项即可.
13．已知向量，单位向量，向量满足，则的一个取值为　 　.
【答案】0（答案不唯一，取值范围为）
【知识点】平面向量数量积的坐标表示；轨迹方程
【解析】【解答】解：设，，即，则，
因为，即，所以点的轨迹是以点为圆心，半径的圆，
可得，所以的一个取值为0.
故答案为：0.
【分析】设，，利用向量的减法，结合，求得点的轨迹是以点为圆心，半径的圆，最后根据向量数量积的坐标运算，结合圆的性质分析求解即可.
14．设函数，集合，其中.若集合M中共有3个元素，则的取值范围是　 　；若集合M中共有4个元素，则这4个元素乘积的最小值为　 　.
【答案】 ；140
【知识点】函数的图象；指数式与对数式的互化；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：函数的图象，如图所示：
方程根的个数，可转换成函数图象的交点个数，
由函数图象可知，当时，函数图象共有3个交点，
故若集合M中共有3个元素，则的取值范围是，
若集合M中共有4个元素，由图象可知的取值范围是，
设4个元素由小到大为，
则，即，得，
，即，得，
，即，得，
，即，得，
所以，
故当时，取得最小值140.
故答案为：；140.
【分析】作出函数的图象，问题转化为函数图象的交点个数，利用指对数转换和二次函数性质求解即可.
15．在物理实验中，当相互垂直的两个简谐振动的频率比为简单整数比时，示波器上会显示出一条“利萨如曲线”.曲线C：是一条常见的“利萨如曲线”.给出以下四个结论：
①若为曲线C上一点，则，；
②曲线C上两点间距离的最大值为；
③曲线C所围成的区域的面积小于3；
④过原点的直线与曲线C最多有3个公共点.
其中，所有正确结论的序号是　 　.
【答案】①③④
【知识点】函数的最大（小）值；曲线与方程；图形的对称性；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：由方程得，则，解得，即，
又，所以，即，故①正确；
因为曲线C：的图象关于轴对称，关于原点对称，
则关于原点的对称点也在曲线C上，则，
代入，可得，
令，则，对称轴方程为，
所以最大值为，
即，故②错误；
由曲线关于两坐标轴对称，所以只看第一象限所围成面积，总的面积为，
第一象限中，，当时，，所以这一部分包含在直角三角形内，面积小于等于，
当时，由①知，所以这部分包含在矩形内，面积小于等于，
因此曲线在第一象限内面积，所以曲线所围成区域面积，故③正确；
若直线过原点斜率不存在时，直线方程，代入曲线的方程，可得，解得，所以直线与曲线C的交点为；
当直线斜率存在时，设直线方程为，代入曲线方程可得，解得或，若，即时，，可得共有3个交点，若，则只有一解，即交点只有1个，故④正确.
故答案为：①③④.
【分析】由求得的范围，由，求得范围，即可判断①；求出曲线上关于原点对称两点距离的最大值即可判断②；根据第一象限内曲线所围成面积的范围即可判断③；分直线过原点斜率不存和存在讨论，若直线过原点斜率不存在时，直线方程，代入曲线的方程求得交点坐标；当直线斜率存在时，设直线方程为，联立直线与曲线方程，由方程解得个数判断④.
16．如图，在三棱锥中，平面ABC，，，直线PC与底面ABC所成角的大小为.
（1）求证：平面PAB；
（2）求平面PAC与平面PBC夹角的余弦值.
【答案】（1）证明：因为平面ABC，所以即为直线PC与底面ABC所成的角，即，
在中，，所以，，
又，，所以，则，
又平面ABC，平面ABC，所以，
因为，平面PAB，所以平面PAB；
（2）解：以B为原点，为x，y轴正方向，作垂直于平面ABC为z轴正方向建立空间直角坐标系，如图所示：
则，
所以，
设平面PAC的法向量，则，
所以，令，则，可得，
设平面PBC的法向量，则，
所以，令，则，可得，
则，
即平面PAC与平面PBC夹角的余弦值为.
【知识点】直线与平面垂直的判定；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）由平面ABC，可得即为直线PC与底面ABC所成的角，即，求出各个长度，根据勾股定理，证明，再根据线面垂直的性质定理证明，最后根据线面垂直的判定定理证明即可；
（2）以B为原点，为x，y轴正方向，作垂直于平面ABC为z轴正方向建立空间直角坐标系，求得各点坐标和所需向量坐标，分别求出平面PAC与平面PBC的法向量，利用空间向量法求二面角的余弦值即可.
（1）因为平面ABC，所以即为直线PC与底面ABC所成的角，即，
在中，，所以，，
又，，所以，则，
又平面ABC，平面ABC，
所以，
因为，平面PAB，
所以平面PAB.
（2）以B为原点，为x，y轴正方向，作垂直于平面ABC为z轴正方向建立空间直角坐标系，如图所示，
则，
所以，
设平面PAC的法向量，则，
所以，令，则，所以，
设平面PBC的法向量，则，
所以，令，则，所以，
则，
所以平面PAC与平面PBC夹角的余弦值为.
17．已知函数，其中.
（1）求函数的最小正周期；
（2）从条件①、条件②、条件③中选择一个条件作为已知，使得函数存在且唯一确定，当时，求函数的最大值和最小值.
条件①：；
条件②：函数在上单调递减；
条件③：函数为偶函数.
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.
【答案】（1）解：函数，
则函数的最小正周期为；
（2）解：选条件①：由，则，
所以（舍去）或，
即，又，则，即，
当时，，则，
即函数的最大值为1，最小值为；
选条件②：当时，，
因为函数在上单调递减，所以，，无解，则函数不存在，不满足题意；
选条件③：由，
因为为偶函数，所以，
则，又，则，即，
当时，，则，即函数的最大值为1，最小值为.
【知识点】简单的三角恒等变换；含三角函数的复合函数的周期；含三角函数的复合函数的值域与最值；三角函数诱导公式二~六
【解析】【分析】（1）利用诱导公式，结合正弦的两角个公式化简可得，再利用周期公式求解即可；
（2）选①：由，可得，求出，再根据正弦函数的性质求函数的最值即可；
选②：由正弦函数的单调性结合题设可得到无解，因此不能选择此条件；
选③：易知，根据为偶函数，求出，再根据正弦函数的性质求函数的最值即可.
（1）由，
则函数的最小正周期为.
（2）选条件①：由，则，
所以（舍去）或，
即，又，则，即，
当时，，则，
所以函数的最大值为1，最小值为.
选条件②：当时，，
因为函数在上单调递减，
所以，，无解，则函数不存在，不满足题意；
选条件③：由，
因为为偶函数，所以，
则，又，则，即，
当时，，则，
所以函数的最大值为1，最小值为.
18．随着人们生活水平的提高，参观文博馆成为人们外出旅游的一项重要活动.某市2015年到2025年的文博馆接待的成年人和未成年人的参观次数（单位：万人次）统计图如下：
假设各年的参观情况互不影响.
（1）在2016年到2025年这10年中任选一年，求这一年与其前一年相比，该市未成年人参观文博馆次数出现增长的概率；
（2）从2015年至2020年这6年中任选1年.再从2021年至2025年这5年中任选2年，记选出的3年中该市年参观文博馆总人次超过120万的年数为X，求X的分布列和数学期望；
（3）记2015年至2025年该市未成年人和成年人年参观文博馆次数的方差为和、年参观文博馆总人次的方差为，给出，，的大小关系.（结论不要求证明）
【答案】（1）解：2016年到2025年共10年，依次与前一年比较未成年人参观次数，其中增长的年份共8年，
则所求概率为；
（2）解：2015-2020年共6年，总人次超过120万的年份有2个，不超过的有4个；
2021-2025年共5年，总人次超过120万的年份有2个，不超过的有3个，
X的可能取值为0，1，2，3，分别计算概率：
，，
，，
故X的分布列为：
X 0 1 2 3
P
；
（3）解：未成年人数据：波动较小（22，25，26，29，30，32，14，20，16，32，35），波动范围在14–35；
成年人数据：波动大（62，68，75，86，92，102，48，65，48，108，120），
波动范围在48–120，且有明显下降回升，
总人次：波动更大（84，93，...，155），因为两个序列叠加且趋势类似，
由此从数据波动幅度可看出：总人次波动最大，其次是成年人，最后是未成年人，
故.
【知识点】古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差；超几何分布
【解析】【分析】（1）根据古典概型的概率公式求解即可；
（2）由题意可得随机变量X的可能取值，利用超几何分布求得每个值相应的概率，列分布列，再求数学期望即可；
（3）根据数据的变化趋势以及波动情况即可得结论.
（1）2016年到2025年共10年，依次与前一年比较未成年人参观次数，
其中增长的年份共8年，因此所求概率为；
（2）2015-2020年共6年，总人次超过120万的年份有2个，不超过的有4个；
2021-2025年共5年，总人次超过120万的年份有2个，不超过的有3个。
X的可能取值为0，1，2，3，分别计算概率：
，，
，，
故X的分布列为：
X 0 1 2 3
P
；
（3）未成年人数据：波动较小（22，25，26，29，30，32，14，20，16，32，35），波动范围在14–35；
成年人数据：波动大（62，68，75，86，92，102，48，65，48，108，120），波动范围在48–120，且有明显下降回升，
总人次：波动更大（84，93，...，155），因为两个序列叠加且趋势类似，
由此从数据波动幅度可看出：
总人次波动最大，其次是成年人，最后是未成年人，
故.
19．已知椭圆（）的左焦点为，点在椭圆C上.
（1）求椭圆C的方程；
（2）过点的直线与C交于A，B两点，过点A作AP垂直直线MF于点P，记和的面积分别为和，求证：.
【答案】（1）解：因为点在椭圆C上，所以①，
又因为椭圆的左焦点为，所以，则②，联立①②解得，
则椭圆C的方程为；
（2）解：由题意，直线的斜率显然存在且不为0，
设直线的方程为，，，
联立，得，
则，即或，
且，则，
而
，
，故.
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）根据点在椭圆方程可得，由椭圆的焦点得，结合椭圆中的关系，求基本量，即可得椭圆C的方程；
（2）由题意，直线的斜率显然存在且不为0，设直线的方程为，，，联立直线与椭圆方程，利用韦达定理可得，再根据三角形面积公式求证即可.
（1）由点在椭圆C上，得，
而左焦点为，则，即，解得，
则椭圆C的方程为.
（2）略
20．已知函数，其中.
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）对于，讨论与的大小；
（3）当时，证明：方程存在两个根，，且.
【答案】（1）解：当时，函数的定义域为，求导可得，，，
则曲线在点处的切线方程；
（2）解：函数的定义域为，则，
可得，
因为，且，则，
令，，
则，
令，，则，
令，解得；令，解得；
可知在内单调递减，在内单调递增，则，
即，可知在内单调递增，且，
当时，则，可得，所以；
当时，则，可得，所以；
当时，则，可得，所以；
综上所述：当时，；当时，；当时，；
（3）解：的定义域为，，且，
令，解得；令，解得；
可知在内单调递增，在内单调递减，则，
且当趋近于0时，趋近于；当趋近于时，趋近于0；
则与有2个交点，所以方程存在两个根，，
不妨设，则，且，
由（2）可知：当时，，
则，即，
又因为，，且在内单调递减，
则，所以.
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程；不等式的证明；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】（1）将代入，求导，利用导数的几何意义，结合点斜式求切线方程即可；
（2）求函数的定义域，再求的解析式，利用作差法可得，构造新函数，，求导，利用导数判断单调性，进而判断与的大小即可；
（3）求导，利用导数判断的单调性，求最值，则与有2个交点，即可证方程存在两个根，，结合（2）中大小关系分析证明即可.
（1）若，则，且，
可得，，
所以曲线在点处的切线方程.
（2）由题意可知：的定义域为，则，
可得，
因为，且，则，
令，，
则，
令，，则，
令，解得；令，解得；
可知在内单调递减，在内单调递增，则，
即，可知在内单调递增，且，
当时，则，可得，所以；
当时，则，可得，所以；
当时，则，可得，所以；
综上所述：当时，；当时，；当时，.
（3）略
21．给定正整数n（），记集合或且.对于由中的三个元素组成的子集，若满足对于任意，均为偶数，则称该三元子集具有性质T.
（1）在的子集中，写出一个具有性质T的三元子集；（结论不要求证明）
（2）证明：在的子集中，不可能选出10个两两交集为空集，且具有性质T的三元子集；
（3）在的子集中，最多能选出多少个两两交集为空集，且具有性质T的三元子集？说明理由.
【答案】（1）解：由题意，或且，
即，
则满足性质T的三元子集不唯一，如；
（2）证明：由题意，中共有个元素，故最多能选出个两两交集为空集的三元子集．
将中所有元素的第一个分量求和（一个元素可以看成一个数组，
第一个数字称为第一个分量，以此类推），知其和等于；
同理，所有第二个分量、第三个分量、 的和均等于16，
假设能选出10个符合题意的三元子集，由题意，这10个三元子集覆盖了中的30个元素，
且每个三元子集的所有元素的每一个分量数字之和均为偶数，
故中余下的一个元素的每一个分量都是偶数，即只能为，
这与矛盾，
所以在的子集中，不可能选出10个两两交集为空集，且具有性质的三元子集；
（3）解：，理由：
记，其中为偶数．不妨假设时有意义，
当时，的三元子集只有一个，且具有性质，
所以在中最多能选出个两两交集为空集，且具有性质的三元子集，
记中具有性质的三元子集为，
当时，中有个元素，故最多有个两两交集为空集的三元子集，
因为的子集，
和
为两两交集为空集，且具有性质的三元子集（共5个），
所以在的子集中，最多能选出个两两交集为空集，且具有性质的三元子集，
设为中上述具有性质的三元子集中的任意一个，
同理，得中有个元素，即最多能有个两两交集为空集的三元子集，
且对于，可以对应构造出4个两两交集为空集，且具有性质的三元子集，
即，
，
，
，
又因为为中具有性质的三元子集，且与上述集合的交集为空集，
所以在的子集中，最多能选出个两两交集为空集，且具有性质的三元子集，
以此类推，得在的子集中，最多能选出个两两交集为空集，且具有性质的三元子集．
【知识点】集合的表示方法；子集与真子集
【解析】【分析】（1）根据集合的新定义直接求解；
（2）利用反证法，结合集合的新定义证明即可；
（3）分别分析，，中满足条件的子集个数，类比得出结论即可.
（1）由题意，或且，
即，
则满足性质T的三元子集不唯一，如.
（2）略
（3）略
1 / 1北京市西城区2026届高三5月模拟测试试卷数学
1．已知集合，集合，则（　　）
A． B． C． D．
2．已知复数z满足，则（　　）
A． B． C． D．
3．双曲线的右顶点到其渐近线的距离为（　　）
A．1 B． C． D．
4．在平面直角坐标系xOy中，角以Ox为始边，为终边上一点，则（　　）
A． B． C． D．
5．已知函数在上单调递增，设，则函数是（　　）
A．奇函数，且在上单调递增 B．偶函数，且在上单调递增
C．奇函数，且在上单调递减 D．偶函数，且在上单调递减
6．在长方形中，，，是边上一点，则的最小值为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．设函数，若不等式的解集为，则（　　）
A． B． C． D．
8．已知正方体W和平面，则“正方体W的8个顶点中存在6个到平面的距离相等”是“平面将正方体W分成体积相等的两部分”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
9．某工厂2023年的年产值为a，这一年工厂制定10年规划，欲通过技术革新、管理优化等手段，促使工厂产值的年平均增长率为x%，以期2033年的年产值达到2023年的4倍.实践中，由于市场环境逐步向好，工厂产值的年增长率超过预期.已知2025年的工厂年产值恰好达到规划中2026年的既定目标，如果从2026年起未来8年（含2026年）的年平均增长率与前2年实际年平均增长率相同，那么2033年工厂的年产值为（　　）
A．6a B．8a C．9a D．12a
10．已知无穷数列的各项均为正数，且对任意的正整数i，总存在正整数s，t（），满足，则（　　）
A．可能为常数列 B．可能为等差数列
C．不可能为等比数列 D．可能为递减数列
11．在△ABC中，若，，，则最大内角的余弦值为　 　.
12．在的展开式中，常数项为　 　.（用数字作答）
13．已知向量，单位向量，向量满足，则的一个取值为　 　.
14．设函数，集合，其中.若集合M中共有3个元素，则的取值范围是　 　；若集合M中共有4个元素，则这4个元素乘积的最小值为　 　.
15．在物理实验中，当相互垂直的两个简谐振动的频率比为简单整数比时，示波器上会显示出一条“利萨如曲线”.曲线C：是一条常见的“利萨如曲线”.给出以下四个结论：
①若为曲线C上一点，则，；
②曲线C上两点间距离的最大值为；
③曲线C所围成的区域的面积小于3；
④过原点的直线与曲线C最多有3个公共点.
其中，所有正确结论的序号是　 　.
16．如图，在三棱锥中，平面ABC，，，直线PC与底面ABC所成角的大小为.
（1）求证：平面PAB；
（2）求平面PAC与平面PBC夹角的余弦值.
17．已知函数，其中.
（1）求函数的最小正周期；
（2）从条件①、条件②、条件③中选择一个条件作为已知，使得函数存在且唯一确定，当时，求函数的最大值和最小值.
条件①：；
条件②：函数在上单调递减；
条件③：函数为偶函数.
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.
18．随着人们生活水平的提高，参观文博馆成为人们外出旅游的一项重要活动.某市2015年到2025年的文博馆接待的成年人和未成年人的参观次数（单位：万人次）统计图如下：
假设各年的参观情况互不影响.
（1）在2016年到2025年这10年中任选一年，求这一年与其前一年相比，该市未成年人参观文博馆次数出现增长的概率；
（2）从2015年至2020年这6年中任选1年.再从2021年至2025年这5年中任选2年，记选出的3年中该市年参观文博馆总人次超过120万的年数为X，求X的分布列和数学期望；
（3）记2015年至2025年该市未成年人和成年人年参观文博馆次数的方差为和、年参观文博馆总人次的方差为，给出，，的大小关系.（结论不要求证明）
19．已知椭圆（）的左焦点为，点在椭圆C上.
（1）求椭圆C的方程；
（2）过点的直线与C交于A，B两点，过点A作AP垂直直线MF于点P，记和的面积分别为和，求证：.
20．已知函数，其中.
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）对于，讨论与的大小；
（3）当时，证明：方程存在两个根，，且.
21．给定正整数n（），记集合或且.对于由中的三个元素组成的子集，若满足对于任意，均为偶数，则称该三元子集具有性质T.
（1）在的子集中，写出一个具有性质T的三元子集；（结论不要求证明）
（2）证明：在的子集中，不可能选出10个两两交集为空集，且具有性质T的三元子集；
（3）在的子集中，最多能选出多少个两两交集为空集，且具有性质T的三元子集？说明理由.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】集合间关系的判断；并集及其运算；交集及其运算
【解析】【解答】解：集合，集合，
检验中元素是否属于：当时，；
当时，；无法表示为（）的形式，
则集合中仅有，，
A、，即中所有元素都属于，不成立，
B、，即中所有元素都不属于，不成立，
C、，等价于，不成立，
D、因为中存在元素，故并集不等于，成立.
故答案为：D.
【分析】分别取、验证，但，再根据集合的包含关系求解即可.
2．【答案】A
【知识点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：复数z满足，则.
故答案为：A.
【分析】根据复数代数形式的乘除运算化简求解即可.
3．【答案】C
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：易知双曲线的右顶点为，
由对称性，不妨取其中一条渐近线方程为，即，
则右顶点到其渐近线的距离为．
故答案为：C.
【分析】易知双曲线的右顶点和渐近线方程，利用点到直线的距离公式求解即可．
4．【答案】A
【知识点】二倍角的正切公式；任意角三角函数的定义
【解析】【解答】解：点为终边上一点，由任意角的三角函数定义可得，
则.
故答案为：A.
【分析】根据任意角的三角函数定义，结合正切的二倍角公式求解即可.
5．【答案】C
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数的奇偶性
【解析】【解答】解：函数的定义域为，定义域关于原点对称，
满足，则 是奇函数，排除B和D；
因为在上单调递增，所以在上单调递减，在上单调递减，
则在上单调递减，
综上，函数是奇函数，且在上单调递减.
故答案为：C.
【分析】先求函数的定义域，再利用奇偶性的定义判断函数的奇偶性，再由函数的单调性，可得在上单调递减，在上单调递减，从而判断函数的单调性即可.
6．【答案】B
【知识点】向量的模；平面向量的线性运算
【解析】【解答】解：取的中点，则，
当时，取得最小值，最小值为，
所以的最小值为.
故答案为：B.
【分析】取的中点，则，当时，取得最小值，据此求的最小值即可.
7．【答案】C
【知识点】函数单调性的性质；函数恒成立问题；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：函数的定义域为，
因为的解集为，所以在内恒成立，
又因为为单调递增函数，且零点为，
为单调递增函数，且零点为，
所以要使在定义域内恒成立，只需两函数零点相同，即，则，故A、B错误；
，则，故C正确，D错误.
故答案为：C.
【分析】先求函数的定义域，问题转化为在内恒成立，根据函数的单调性及零点，可得与的零点相同，可得的关系即可判断AB；双变量转化为单变量，结合二次函数的性质求解即可判断CD.
8．【答案】D
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；棱柱的结构特征
【解析】【解答】解：在正方体中，依次取棱的中点，
如图所示：
则点与点到平面的距离相等，而平面将正方体分成的两部分体积不等；反之，平面将正方体W分成体积相等的两部分，平面必过该正方体的中心，
正方体W的8个顶点中到平面的距离相等的顶点不一定是6个，
如在正方体中，平面过该正方体的中心，
只有4个顶点或到平面距离相等，
所以“正方体W的8个顶点中存在6个到平面的距离相等”是“平面将正方体W分成体积相等的两部分”的既不充分也不必要条件.
故答案为：D.
【分析】在正方体中，依次取棱的中点，点与点到平面的距离相等，而平面将正方体分成的两部分体积不等，反之，只有4个顶点或到平面距离相等，结合充分、必要条件的定义判断即可.
9．【答案】B
【知识点】有理数指数幂的运算性质；“指数爆炸”模型
【解析】【解答】解：设原规划年平均增长率为，由2023年的年产值为a，10年后（2033年）产值为，
得，即，设实际年平均增长率为，
由2025年的工厂年产值恰好达到规划中2026年的既定目标，得，
即，因此2033年工厂的实际年产值为.
故答案为：B.
【分析】设原规划年平均增长率为，实际年平均增长率为，由题意，利用年增长率的意义，结合指数运算求解即可.
10．【答案】D
【知识点】数列的函数特性；数列的应用；等差数列的性质；等比数列的性质
【解析】【解答】解：A、若为常数列，不妨设，显然，故A错误；
B、若为等差数列，设公差为，易知时不符合题意，
当时，数列单调递增，则，
，故当时，不存在正整数s，t使得，故B错误；
C、若为等比数列，设，公比为，
若，则，
解得或（舍去），
即可能为等比数列，当，时，
对任意的正整数i，总有，即即可，故C错误；
D、由C易知，为等比数列，，时，单调递减，
对任意的正整数i，总有，
即时，即满足，则可能为递减数列，故D正确．
故答案为：D.
【分析】若为常数列，不妨设，即可判断A；若为等差数列，设等差数列的公差为，易知时不符合题意，当时，数列单调递增，推导也不符合题意即可判断B；若为等比数列，设，公比为，易知当时可解得即可判断C；由C选项，易知为等比数列，，时符合题意即可判断D．
11．【答案】
【知识点】余弦定理
【解析】【解答】解：在中，若，，，易知角为最大内角，
由余弦定理可得，
则最大内角的余弦值为.
故答案为：.
【分析】由题意，根据三角形大边对大角判定可得角是最大内角，再利用余弦定理求三角形最大内角的余弦值即可.
12．【答案】
【知识点】二项展开式的通项
【解析】【解答】解：展开式的通项为，
令，解得，则.
故答案为：.
【分析】写出展开式的通项，令的指数为 0 ，求得的值，再代入通项公式求展开式中的常数项即可.
13．【答案】0（答案不唯一，取值范围为）
【知识点】平面向量数量积的坐标表示；轨迹方程
【解析】【解答】解：设，，即，则，
因为，即，所以点的轨迹是以点为圆心，半径的圆，
可得，所以的一个取值为0.
故答案为：0.
【分析】设，，利用向量的减法，结合，求得点的轨迹是以点为圆心，半径的圆，最后根据向量数量积的坐标运算，结合圆的性质分析求解即可.
14．【答案】 ；140
【知识点】函数的图象；指数式与对数式的互化；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：函数的图象，如图所示：
方程根的个数，可转换成函数图象的交点个数，
由函数图象可知，当时，函数图象共有3个交点，
故若集合M中共有3个元素，则的取值范围是，
若集合M中共有4个元素，由图象可知的取值范围是，
设4个元素由小到大为，
则，即，得，
，即，得，
，即，得，
，即，得，
所以，
故当时，取得最小值140.
故答案为：；140.
【分析】作出函数的图象，问题转化为函数图象的交点个数，利用指对数转换和二次函数性质求解即可.
15．【答案】①③④
【知识点】函数的最大（小）值；曲线与方程；图形的对称性；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：由方程得，则，解得，即，
又，所以，即，故①正确；
因为曲线C：的图象关于轴对称，关于原点对称，
则关于原点的对称点也在曲线C上，则，
代入，可得，
令，则，对称轴方程为，
所以最大值为，
即，故②错误；
由曲线关于两坐标轴对称，所以只看第一象限所围成面积，总的面积为，
第一象限中，，当时，，所以这一部分包含在直角三角形内，面积小于等于，
当时，由①知，所以这部分包含在矩形内，面积小于等于，
因此曲线在第一象限内面积，所以曲线所围成区域面积，故③正确；
若直线过原点斜率不存在时，直线方程，代入曲线的方程，可得，解得，所以直线与曲线C的交点为；
当直线斜率存在时，设直线方程为，代入曲线方程可得，解得或，若，即时，，可得共有3个交点，若，则只有一解，即交点只有1个，故④正确.
故答案为：①③④.
【分析】由求得的范围，由，求得范围，即可判断①；求出曲线上关于原点对称两点距离的最大值即可判断②；根据第一象限内曲线所围成面积的范围即可判断③；分直线过原点斜率不存和存在讨论，若直线过原点斜率不存在时，直线方程，代入曲线的方程求得交点坐标；当直线斜率存在时，设直线方程为，联立直线与曲线方程，由方程解得个数判断④.
16．【答案】（1）证明：因为平面ABC，所以即为直线PC与底面ABC所成的角，即，
在中，，所以，，
又，，所以，则，
又平面ABC，平面ABC，所以，
因为，平面PAB，所以平面PAB；
（2）解：以B为原点，为x，y轴正方向，作垂直于平面ABC为z轴正方向建立空间直角坐标系，如图所示：
则，
所以，
设平面PAC的法向量，则，
所以，令，则，可得，
设平面PBC的法向量，则，
所以，令，则，可得，
则，
即平面PAC与平面PBC夹角的余弦值为.
【知识点】直线与平面垂直的判定；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）由平面ABC，可得即为直线PC与底面ABC所成的角，即，求出各个长度，根据勾股定理，证明，再根据线面垂直的性质定理证明，最后根据线面垂直的判定定理证明即可；
（2）以B为原点，为x，y轴正方向，作垂直于平面ABC为z轴正方向建立空间直角坐标系，求得各点坐标和所需向量坐标，分别求出平面PAC与平面PBC的法向量，利用空间向量法求二面角的余弦值即可.
（1）因为平面ABC，所以即为直线PC与底面ABC所成的角，即，
在中，，所以，，
又，，所以，则，
又平面ABC，平面ABC，
所以，
因为，平面PAB，
所以平面PAB.
（2）以B为原点，为x，y轴正方向，作垂直于平面ABC为z轴正方向建立空间直角坐标系，如图所示，
则，
所以，
设平面PAC的法向量，则，
所以，令，则，所以，
设平面PBC的法向量，则，
所以，令，则，所以，
则，
所以平面PAC与平面PBC夹角的余弦值为.
17．【答案】（1）解：函数，
则函数的最小正周期为；
（2）解：选条件①：由，则，
所以（舍去）或，
即，又，则，即，
当时，，则，
即函数的最大值为1，最小值为；
选条件②：当时，，
因为函数在上单调递减，所以，，无解，则函数不存在，不满足题意；
选条件③：由，
因为为偶函数，所以，
则，又，则，即，
当时，，则，即函数的最大值为1，最小值为.
【知识点】简单的三角恒等变换；含三角函数的复合函数的周期；含三角函数的复合函数的值域与最值；三角函数诱导公式二~六
【解析】【分析】（1）利用诱导公式，结合正弦的两角个公式化简可得，再利用周期公式求解即可；
（2）选①：由，可得，求出，再根据正弦函数的性质求函数的最值即可；
选②：由正弦函数的单调性结合题设可得到无解，因此不能选择此条件；
选③：易知，根据为偶函数，求出，再根据正弦函数的性质求函数的最值即可.
（1）由，
则函数的最小正周期为.
（2）选条件①：由，则，
所以（舍去）或，
即，又，则，即，
当时，，则，
所以函数的最大值为1，最小值为.
选条件②：当时，，
因为函数在上单调递减，
所以，，无解，则函数不存在，不满足题意；
选条件③：由，
因为为偶函数，所以，
则，又，则，即，
当时，，则，
所以函数的最大值为1，最小值为.
18．【答案】（1）解：2016年到2025年共10年，依次与前一年比较未成年人参观次数，其中增长的年份共8年，
则所求概率为；
（2）解：2015-2020年共6年，总人次超过120万的年份有2个，不超过的有4个；
2021-2025年共5年，总人次超过120万的年份有2个，不超过的有3个，
X的可能取值为0，1，2，3，分别计算概率：
，，
，，
故X的分布列为：
X 0 1 2 3
P
；
（3）解：未成年人数据：波动较小（22，25，26，29，30，32，14，20，16，32，35），波动范围在14–35；
成年人数据：波动大（62，68，75，86，92，102，48，65，48，108，120），
波动范围在48–120，且有明显下降回升，
总人次：波动更大（84，93，...，155），因为两个序列叠加且趋势类似，
由此从数据波动幅度可看出：总人次波动最大，其次是成年人，最后是未成年人，
故.
【知识点】古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差；超几何分布
【解析】【分析】（1）根据古典概型的概率公式求解即可；
（2）由题意可得随机变量X的可能取值，利用超几何分布求得每个值相应的概率，列分布列，再求数学期望即可；
（3）根据数据的变化趋势以及波动情况即可得结论.
（1）2016年到2025年共10年，依次与前一年比较未成年人参观次数，
其中增长的年份共8年，因此所求概率为；
（2）2015-2020年共6年，总人次超过120万的年份有2个，不超过的有4个；
2021-2025年共5年，总人次超过120万的年份有2个，不超过的有3个。
X的可能取值为0，1，2，3，分别计算概率：
，，
，，
故X的分布列为：
X 0 1 2 3
P
；
（3）未成年人数据：波动较小（22，25，26，29，30，32，14，20，16，32，35），波动范围在14–35；
成年人数据：波动大（62，68，75，86，92，102，48，65，48，108，120），波动范围在48–120，且有明显下降回升，
总人次：波动更大（84，93，...，155），因为两个序列叠加且趋势类似，
由此从数据波动幅度可看出：
总人次波动最大，其次是成年人，最后是未成年人，
故.
19．【答案】（1）解：因为点在椭圆C上，所以①，
又因为椭圆的左焦点为，所以，则②，联立①②解得，
则椭圆C的方程为；
（2）解：由题意，直线的斜率显然存在且不为0，
设直线的方程为，，，
联立，得，
则，即或，
且，则，
而
，
，故.
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）根据点在椭圆方程可得，由椭圆的焦点得，结合椭圆中的关系，求基本量，即可得椭圆C的方程；
（2）由题意，直线的斜率显然存在且不为0，设直线的方程为，，，联立直线与椭圆方程，利用韦达定理可得，再根据三角形面积公式求证即可.
（1）由点在椭圆C上，得，
而左焦点为，则，即，解得，
则椭圆C的方程为.
（2）略
20．【答案】（1）解：当时，函数的定义域为，求导可得，，，
则曲线在点处的切线方程；
（2）解：函数的定义域为，则，
可得，
因为，且，则，
令，，
则，
令，，则，
令，解得；令，解得；
可知在内单调递减，在内单调递增，则，
即，可知在内单调递增，且，
当时，则，可得，所以；
当时，则，可得，所以；
当时，则，可得，所以；
综上所述：当时，；当时，；当时，；
（3）解：的定义域为，，且，
令，解得；令，解得；
可知在内单调递增，在内单调递减，则，
且当趋近于0时，趋近于；当趋近于时，趋近于0；
则与有2个交点，所以方程存在两个根，，
不妨设，则，且，
由（2）可知：当时，，
则，即，
又因为，，且在内单调递减，
则，所以.
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程；不等式的证明；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】（1）将代入，求导，利用导数的几何意义，结合点斜式求切线方程即可；
（2）求函数的定义域，再求的解析式，利用作差法可得，构造新函数，，求导，利用导数判断单调性，进而判断与的大小即可；
（3）求导，利用导数判断的单调性，求最值，则与有2个交点，即可证方程存在两个根，，结合（2）中大小关系分析证明即可.
（1）若，则，且，
可得，，
所以曲线在点处的切线方程.
（2）由题意可知：的定义域为，则，
可得，
因为，且，则，
令，，
则，
令，，则，
令，解得；令，解得；
可知在内单调递减，在内单调递增，则，
即，可知在内单调递增，且，
当时，则，可得，所以；
当时，则，可得，所以；
当时，则，可得，所以；
综上所述：当时，；当时，；当时，.
（3）略
21．【答案】（1）解：由题意，或且，
即，
则满足性质T的三元子集不唯一，如；
（2）证明：由题意，中共有个元素，故最多能选出个两两交集为空集的三元子集．
将中所有元素的第一个分量求和（一个元素可以看成一个数组，
第一个数字称为第一个分量，以此类推），知其和等于；
同理，所有第二个分量、第三个分量、 的和均等于16，
假设能选出10个符合题意的三元子集，由题意，这10个三元子集覆盖了中的30个元素，
且每个三元子集的所有元素的每一个分量数字之和均为偶数，
故中余下的一个元素的每一个分量都是偶数，即只能为，
这与矛盾，
所以在的子集中，不可能选出10个两两交集为空集，且具有性质的三元子集；
（3）解：，理由：
记，其中为偶数．不妨假设时有意义，
当时，的三元子集只有一个，且具有性质，
所以在中最多能选出个两两交集为空集，且具有性质的三元子集，
记中具有性质的三元子集为，
当时，中有个元素，故最多有个两两交集为空集的三元子集，
因为的子集，
和
为两两交集为空集，且具有性质的三元子集（共5个），
所以在的子集中，最多能选出个两两交集为空集，且具有性质的三元子集，
设为中上述具有性质的三元子集中的任意一个，
同理，得中有个元素，即最多能有个两两交集为空集的三元子集，
且对于，可以对应构造出4个两两交集为空集，且具有性质的三元子集，
即，
，
，
，
又因为为中具有性质的三元子集，且与上述集合的交集为空集，
所以在的子集中，最多能选出个两两交集为空集，且具有性质的三元子集，
以此类推，得在的子集中，最多能选出个两两交集为空集，且具有性质的三元子集．
【知识点】集合的表示方法；子集与真子集
【解析】【分析】（1）根据集合的新定义直接求解；
（2）利用反证法，结合集合的新定义证明即可；
（3）分别分析，，中满足条件的子集个数，类比得出结论即可.
（1）由题意，或且，
即，
则满足性质T的三元子集不唯一，如.
（2）略
（3）略
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