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广东惠州市博罗县2025-2026学年第二学期高一阶段性教学质量检测数学试题
1．已知复数满足，则为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】复数代数形式的乘除运算；复数的模
【解析】【解答】解：由，可得，则.
故答案为：C.
【分析】根据复数代数形式的乘除运算化简求得，再根据复数的模长公式计算即可.
2．（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】平面向量加法运算；平面向量减法运算
【解析】【解答】解：.
故答案为：D.
【分析】根据向量的加减法运算化简即可.
3．如图，是水平放置的的直观图，则的面积为（　　）
A．12 B．24 C． D．
【答案】A
【知识点】斜二测画法直观图
【解析】【解答】解：根据斜二测画法的等量关系可知为直角三角形，
且，，，
则的面积为．
故答案为：A.
【分析】根据斜二测画法求解即可.
4．在中，角的对边分别为，若，，，则角等于（　　）
A．30° B．60° C．30°或60° D．60°或120°
【答案】A
【知识点】解三角形；正弦定理
【解析】【解答】解：由正弦定理，代入已知条件 ，，，
可得，
由三角形"大边对大角"的性质， ，
因此 .
故答案为：A.
【分析】利用正弦定理，结合三角形 "大边对大角"的性质求解即可.
5．已知非零向量，满足，向量在向量上的投影向量为，则（　　）
A．0 B．1 C．8 D．4
【答案】C
【知识点】平面向量的数量积运算；平面向量的投影向量
【解析】【解答】解：由题意可得向量在向量上的投影向量，
即，解得，
故答案为：C.
【分析】由题意，利用投影向量的定义列式求解即可.
6．在中，，，则一定是（　　）
A．等边三角形 B．等腰非等边三角形
C．直角三角形 D．钝角三角形
【答案】A
【知识点】余弦定理；正弦定理的应用；三角形的形状判断
【解析】【解答】解：在中，对于，
由正弦定理得，即，
由余弦定理得，
因为，所以，又因为，
所以由余弦定理可得，所以，即，
所以，结合，可得一定是等边三角形.
故答案为：A.
【分析】利用正、余弦定理化简求得，由，再利用余弦定理及求得，结合角大小即可判断三角形的形状．
7．某舞台道具厂需定制一批圆锥形灯罩，要求灯罩的母线长度固定为（骨架支撑长度），同时为了保证灯光折射角度均匀，要求将灯罩侧面沿母线剪开后展开图为一个半圆，那么该规格的圆锥形灯罩的外接球的表面积是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】棱柱/棱锥/棱台的侧面积、表面积及应用；球的表面积与体积公式及应用；球内接多面体
【解析】【解答】解：设圆锥的底面半径为，母线长为，则，
因为灯罩侧面沿母线剪开后展开图为一个半圆，所以，即，故，
所以圆锥的高为，
设圆锥形灯罩的外接球的半径为，球心为，如图所示：
，，，
所以，即，解得，
所以圆锥形灯罩的外接球的半径为，表面积为.
故答案为：D.
【分析】设圆锥的底面半径为，母线长为，由灯罩侧面沿母线剪开后展开图为一个半圆，求得，再求圆锥的高，设圆锥形灯罩的外接球的半径为，球心为，再计算圆锥的外接球半径，最后根据球的表面积公式求解即可.
8．如图，已知与有一个公共顶点，且与的交点平分，若，则的最小值为
A．4 B． C． D．6
【答案】C
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；向量加法的三角形法则；平面向量的基本定理
【解析】【解答】解：易知为的中点，，因为，，
又因为三点共线，所以，则，易知，则，当且仅当，即时等号成立，则的最小值为.
故答案为：C.
【分析】易知为的中点，，以为基向量表示，根据三点公式可得，再利用基本不等式求解即可.
9．已知为复数，则下列说法一定正确的是（　　）
A．和在复平面上所对应的点关于实轴对称
B．
C．
D．若为纯虚数，则为实数
【答案】A,C,D
【知识点】复数在复平面中的表示；复数代数形式的乘除运算；复数的模；共轭复数
【解析】【解答】解：设复数，
A、因，则和在复平面上所对应的点分别为和，显然关于实轴对称，故A正确；
B、，，因，故，即B错误；
C、，，故C正确；
D、复数为纯虚数，设，则，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】设复数，由共轭复数的概念，结合复数在复平面内的表示求解即可判断A；根据复数代数形式的乘法运算，结合复数的模长公式求解即可判断B；根据共轭复数的定义，结合复数的加法运算求解即可判断C；复数为纯虚数，设，根据复数代数形式的乘除运算求解即可判断D.
10．如图，正三棱台的上、下底面边长分别为1和3，侧棱长为2，则下列说法正确的是（　　）.
A．该三棱台的侧面积为
B．该三棱台的高为
C．该三棱台的体积为
D．若点在棱上，则的最小值为
【答案】A,C,D
【知识点】棱台的结构特征；棱柱/棱锥/棱台的侧面积、表面积及应用；多面体和旋转体表面上的最短距离问题；台体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：A、在等腰梯形中，过向作垂线，垂足为E，
在中，
，
所以等腰梯形的面积为，则，故A正确；
B、正三棱台中，取上、下底面的中心，，连接，，，
则，，高，故B错误；
C、因为，，
所以三棱台的体积，故C正确；
D、把等腰梯形与展开置于同一平面，连结，
易知，，，
而边的中点到点的距离，
因此当点为线段与的交点时，的最小值为，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】在等腰梯形中，过向作垂线，垂足为E，在中，求，再求等腰梯形的面积，从而求得三棱台的侧面积即可判断A；正三棱台中，取上、下底面的中心，，连接，，，求棱台的高即可判断B；利用棱台体积公式求解即可判断C；把等腰梯形与展开置于同一平面，连结，利用平面的性质，当点为线段与的交点时，的最小值求解即可判断D．
11．在中，内角，，所对的边分别为，，，则下列说法正确的是（　　）
A．若，则为钝角三角形
B．若，则
C．若，且，则为直角三角形
D．若平面内有一点满足：，且，则为等边三角形
【答案】A,D
【知识点】平面向量数乘的运算；正弦定理的应用；三角形的形状判断
【解析】【解答】解：A、由，可得，由正弦定理可得，则，因为，所以，则为钝角三角形，故A正确；
B、若，当，时，则，故B不正确；
C、因为，分别为单位向量，所以的角平分线与垂直，所以，，
又因为，所以，因为，所以，
所以，则为等边三角形，故C错误；
D、因为，所以为的重心，
由知为的外心，故为等边三角形，故D正确.
故答案为：AD.
【分析】利用同角三角函数基本关系，结合正弦定理、余弦定理化简求得为钝角三角形即可判断A；举例即可判断B；由三线合一结合有一个角是的等腰三角形是等边三角形即可判断C；由可得为的重心，由知为的外心，根据重心和外心重合即可判断D.
12．已知向量，，且，则　 　．
【答案】
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量的数量积运算；平面向量垂直的坐标表示
【解析】【解答】解： 向量，，
因为，所以，解得，
则，．
故答案为：.
【分析】根据向量垂直的坐标表示，结合向量的坐标运算以及模长的坐标表示求解即可.
13．在平行四边形中，，，三点对应的复数分别是，，，则点对应的复数是　 　；
【答案】
【知识点】复数在复平面中的表示；复数运算的几何意义
【解析】【解答】解：点，
设的坐标为，由于，可得，
则，即点对应的复数是.
故答案为：.
【分析】设的坐标为，由，利用向量的坐标运算，结合向量相等求解即可.
14．如图，在中，已知，，，BC，AC边上的两条中线AM，BN相交于点P，则的余弦值为　 　．
【答案】
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量数量积的坐标表示；数量积表示两个向量的夹角
【解析】【解答】解：以为原点，所在直线为轴，过作的垂线为轴，如图所示：
因为，，，
所以，则，
，
即为向量与的夹角，
，
，，
.
故答案为：.
【分析】以为原点，所在直线为轴，过作的垂线为轴，建立平面直角坐标系，利用平面向量夹角公式求解即可.
15．已知平面向量．
（1）求与的夹角余弦值；
（2）若，求实数的值．
【答案】（1）解： 平面向量 ，
易知，
则；
（2）解：，
若，则，解得．
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
【解析】【分析】（1）根据向量的坐标运算，结合向量夹角公式化简求解即可；
（2）根据向量共线的坐标公式求出参数的值即可.
（1）由已知，，
所以.
（2）由已知，，
因此由，可得，
解得．
16．如图，我国南海某处的一个圆形海域上有四个小岛A，B，C，D，小岛B与小岛A，小岛C相距都为5海里，与小岛D相距为海里，角A为钝角，且．
（1）求的值；
（2）求的面积．
【答案】（1）解：在中，，，，
由正弦定理得：，即，解得；
（2）解：因为A、B、C、D四点共圆，所以，
又因为A为钝角，所以为锐角，所以，，
在中，，；
由余弦定理得：，即，
整理得，解得（海里），
则的面积为：（平方海里）．
【知识点】解三角形；正弦定理；余弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【分析】(1)利用正弦定理求解即可；
(2)由A为钝角，以及（1）的结论，利用同角三角函数基本关系求得，再在中，利用余弦定理求得长，最后利用三角形面积公式求的面积即可．
（1）由题意知：在中，，，；
由正弦定理得：，即，
解得．
（2）因为A、B、C、D四点共圆，所以，
又A为钝角，故为锐角；
所以，故．
在中，，；
由余弦定理得：，
即，
整理得：，解得（海里）（负值已舍去）；
所以的面积为：
（平方海里）．
17．如图，正四面体棱长为4，E为的中点，，.
（1）求四面体的表面积和体积；
（2）求四面体的体积.
【答案】（1）解：因为四面体为正四面体，所以四面体的每个面都是棱长为4的正三角形，
且，所以四面体的表面积为；
设正四面体的高为h，三角形的重心为O，
则，；
（2）解：因为是的中点，所以，
因为，即点为的四等分点，所以，
因为，即点为的三等分点，所以，
所以，所以，
综上所述，.
【知识点】棱柱/棱锥/棱台的侧面积、表面积及应用；锥体的体积公式及应用
【解析】【分析】（1）由题意，利用三角形面积公式先求四面体的表面积，设正四面体的高为h，三角形的重心为O，利用勾股定理求得，再利用棱锥的体积公式求解即可；
（2）是的中点，所以，利用几何体的体积比例关系求解即可.
（1）因为四面体为正四面体，
所以四面体的每个面都是棱长为4的正三角形，
且，
所以四面体的表面积为；
设正四面体的高为h，三角形的重心为O，
则，
∴.
（2）因为是的中点，
∴.
因为，即点为的四等分点，
∴.
因为，即点为的三等分点
∴
所以，
∴.
综上所述，.
18．在中，角的对边分别为，满足.
（1）求角的大小；
（2）若，求周长的最小值；
（3）若是锐角三角形，且，求面积的取值范围.
【答案】（1）解：因为，所以，
由余弦定理可得，
因为，所以；
（2）解：因为，所以，
由基本不等式可知，当且仅当时等号成立，
所以，即，故当时，周长有最小值为；
（3）解：由正弦定理可得，则，，
因为，所以，
则
，
因为是锐角三角形，所以，解得，
则，，，
因为，所以，即面积的取值范围是.
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；简单的三角恒等变换；两角和与差的正弦公式；余弦定理；辅助角公式
【解析】【分析】（1）直接利用余弦定理求解即可；
（2） 由，结合题意可得，若，利用基本不等式求解即可；
（3）利用正弦定理将边转化为关于角的函数，再利用两角差的正弦公式结合正弦、余弦的二倍角公式以及辅助角公式化简，最后根据正弦函数性质及三角形面积公式计算求解即可.
（1）因为，所以，
由余弦定理可得，
因为，所以；
（2）因为，
所以，
由基本不等式可知，当且仅当时等号成立，
所以，即，
所以当时，周长有最小值为；
（3）由正弦定理可得，所以，，
因为，所以，
则
，
因为是锐角三角形，有，即，
所以，，，
因为，
所以，即面积的取值范围是.
19．对于平面向量，定义“变换”：，（）
（1）若向量，，求；
（2）已知，，且与不平行，，，证明：；
（3）若向量，求．
【答案】（1）解：根据题意可得，，，
代入变换可得，即；
（2）证明：，
得，同理可得，
；
所以，
则，，
所以；
（3）解：因为
；
且
所以
；
因此
由，
可得，即，又，解得．
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量数量积的坐标表示；简单的三角恒等变换；三角函数的化简求值
【解析】【分析】（1）由 向量，， 可得将，，，代入变换计算即可；
（2）利用变换规则，计算向量数量积可得，且，，再利用向量夹角余弦公式证明即可；
（3）利用变换规则，结合同角三角函数基本关系以及正弦、余弦倍角公式和化简可得，求解的值即可.
（1）根据题意可得，，，
代入变换可得，即；
（2），
得，同理可得，
；
所以，
则，，
所以；
（3）因为
；
且
所以
；
因此
由，
可得，
即，又，解得．
1 / 1广东惠州市博罗县2025-2026学年第二学期高一阶段性教学质量检测数学试题
1．已知复数满足，则为（　　）
A． B． C． D．
2．（　　）
A． B． C． D．
3．如图，是水平放置的的直观图，则的面积为（　　）
A．12 B．24 C． D．
4．在中，角的对边分别为，若，，，则角等于（　　）
A．30° B．60° C．30°或60° D．60°或120°
5．已知非零向量，满足，向量在向量上的投影向量为，则（　　）
A．0 B．1 C．8 D．4
6．在中，，，则一定是（　　）
A．等边三角形 B．等腰非等边三角形
C．直角三角形 D．钝角三角形
7．某舞台道具厂需定制一批圆锥形灯罩，要求灯罩的母线长度固定为（骨架支撑长度），同时为了保证灯光折射角度均匀，要求将灯罩侧面沿母线剪开后展开图为一个半圆，那么该规格的圆锥形灯罩的外接球的表面积是（　　）
A． B． C． D．
8．如图，已知与有一个公共顶点，且与的交点平分，若，则的最小值为
A．4 B． C． D．6
9．已知为复数，则下列说法一定正确的是（　　）
A．和在复平面上所对应的点关于实轴对称
B．
C．
D．若为纯虚数，则为实数
10．如图，正三棱台的上、下底面边长分别为1和3，侧棱长为2，则下列说法正确的是（　　）.
A．该三棱台的侧面积为
B．该三棱台的高为
C．该三棱台的体积为
D．若点在棱上，则的最小值为
11．在中，内角，，所对的边分别为，，，则下列说法正确的是（　　）
A．若，则为钝角三角形
B．若，则
C．若，且，则为直角三角形
D．若平面内有一点满足：，且，则为等边三角形
12．已知向量，，且，则　 　．
13．在平行四边形中，，，三点对应的复数分别是，，，则点对应的复数是　 　；
14．如图，在中，已知，，，BC，AC边上的两条中线AM，BN相交于点P，则的余弦值为　 　．
15．已知平面向量．
（1）求与的夹角余弦值；
（2）若，求实数的值．
16．如图，我国南海某处的一个圆形海域上有四个小岛A，B，C，D，小岛B与小岛A，小岛C相距都为5海里，与小岛D相距为海里，角A为钝角，且．
（1）求的值；
（2）求的面积．
17．如图，正四面体棱长为4，E为的中点，，.
（1）求四面体的表面积和体积；
（2）求四面体的体积.
18．在中，角的对边分别为，满足.
（1）求角的大小；
（2）若，求周长的最小值；
（3）若是锐角三角形，且，求面积的取值范围.
19．对于平面向量，定义“变换”：，（）
（1）若向量，，求；
（2）已知，，且与不平行，，，证明：；
（3）若向量，求．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】复数代数形式的乘除运算；复数的模
【解析】【解答】解：由，可得，则.
故答案为：C.
【分析】根据复数代数形式的乘除运算化简求得，再根据复数的模长公式计算即可.
2．【答案】D
【知识点】平面向量加法运算；平面向量减法运算
【解析】【解答】解：.
故答案为：D.
【分析】根据向量的加减法运算化简即可.
3．【答案】A
【知识点】斜二测画法直观图
【解析】【解答】解：根据斜二测画法的等量关系可知为直角三角形，
且，，，
则的面积为．
故答案为：A.
【分析】根据斜二测画法求解即可.
4．【答案】A
【知识点】解三角形；正弦定理
【解析】【解答】解：由正弦定理，代入已知条件 ，，，
可得，
由三角形"大边对大角"的性质， ，
因此 .
故答案为：A.
【分析】利用正弦定理，结合三角形 "大边对大角"的性质求解即可.
5．【答案】C
【知识点】平面向量的数量积运算；平面向量的投影向量
【解析】【解答】解：由题意可得向量在向量上的投影向量，
即，解得，
故答案为：C.
【分析】由题意，利用投影向量的定义列式求解即可.
6．【答案】A
【知识点】余弦定理；正弦定理的应用；三角形的形状判断
【解析】【解答】解：在中，对于，
由正弦定理得，即，
由余弦定理得，
因为，所以，又因为，
所以由余弦定理可得，所以，即，
所以，结合，可得一定是等边三角形.
故答案为：A.
【分析】利用正、余弦定理化简求得，由，再利用余弦定理及求得，结合角大小即可判断三角形的形状．
7．【答案】D
【知识点】棱柱/棱锥/棱台的侧面积、表面积及应用；球的表面积与体积公式及应用；球内接多面体
【解析】【解答】解：设圆锥的底面半径为，母线长为，则，
因为灯罩侧面沿母线剪开后展开图为一个半圆，所以，即，故，
所以圆锥的高为，
设圆锥形灯罩的外接球的半径为，球心为，如图所示：
，，，
所以，即，解得，
所以圆锥形灯罩的外接球的半径为，表面积为.
故答案为：D.
【分析】设圆锥的底面半径为，母线长为，由灯罩侧面沿母线剪开后展开图为一个半圆，求得，再求圆锥的高，设圆锥形灯罩的外接球的半径为，球心为，再计算圆锥的外接球半径，最后根据球的表面积公式求解即可.
8．【答案】C
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；向量加法的三角形法则；平面向量的基本定理
【解析】【解答】解：易知为的中点，，因为，，
又因为三点共线，所以，则，易知，则，当且仅当，即时等号成立，则的最小值为.
故答案为：C.
【分析】易知为的中点，，以为基向量表示，根据三点公式可得，再利用基本不等式求解即可.
9．【答案】A,C,D
【知识点】复数在复平面中的表示；复数代数形式的乘除运算；复数的模；共轭复数
【解析】【解答】解：设复数，
A、因，则和在复平面上所对应的点分别为和，显然关于实轴对称，故A正确；
B、，，因，故，即B错误；
C、，，故C正确；
D、复数为纯虚数，设，则，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】设复数，由共轭复数的概念，结合复数在复平面内的表示求解即可判断A；根据复数代数形式的乘法运算，结合复数的模长公式求解即可判断B；根据共轭复数的定义，结合复数的加法运算求解即可判断C；复数为纯虚数，设，根据复数代数形式的乘除运算求解即可判断D.
10．【答案】A,C,D
【知识点】棱台的结构特征；棱柱/棱锥/棱台的侧面积、表面积及应用；多面体和旋转体表面上的最短距离问题；台体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：A、在等腰梯形中，过向作垂线，垂足为E，
在中，
，
所以等腰梯形的面积为，则，故A正确；
B、正三棱台中，取上、下底面的中心，，连接，，，
则，，高，故B错误；
C、因为，，
所以三棱台的体积，故C正确；
D、把等腰梯形与展开置于同一平面，连结，
易知，，，
而边的中点到点的距离，
因此当点为线段与的交点时，的最小值为，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】在等腰梯形中，过向作垂线，垂足为E，在中，求，再求等腰梯形的面积，从而求得三棱台的侧面积即可判断A；正三棱台中，取上、下底面的中心，，连接，，，求棱台的高即可判断B；利用棱台体积公式求解即可判断C；把等腰梯形与展开置于同一平面，连结，利用平面的性质，当点为线段与的交点时，的最小值求解即可判断D．
11．【答案】A,D
【知识点】平面向量数乘的运算；正弦定理的应用；三角形的形状判断
【解析】【解答】解：A、由，可得，由正弦定理可得，则，因为，所以，则为钝角三角形，故A正确；
B、若，当，时，则，故B不正确；
C、因为，分别为单位向量，所以的角平分线与垂直，所以，，
又因为，所以，因为，所以，
所以，则为等边三角形，故C错误；
D、因为，所以为的重心，
由知为的外心，故为等边三角形，故D正确.
故答案为：AD.
【分析】利用同角三角函数基本关系，结合正弦定理、余弦定理化简求得为钝角三角形即可判断A；举例即可判断B；由三线合一结合有一个角是的等腰三角形是等边三角形即可判断C；由可得为的重心，由知为的外心，根据重心和外心重合即可判断D.
12．【答案】
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量的数量积运算；平面向量垂直的坐标表示
【解析】【解答】解： 向量，，
因为，所以，解得，
则，．
故答案为：.
【分析】根据向量垂直的坐标表示，结合向量的坐标运算以及模长的坐标表示求解即可.
13．【答案】
【知识点】复数在复平面中的表示；复数运算的几何意义
【解析】【解答】解：点，
设的坐标为，由于，可得，
则，即点对应的复数是.
故答案为：.
【分析】设的坐标为，由，利用向量的坐标运算，结合向量相等求解即可.
14．【答案】
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量数量积的坐标表示；数量积表示两个向量的夹角
【解析】【解答】解：以为原点，所在直线为轴，过作的垂线为轴，如图所示：
因为，，，
所以，则，
，
即为向量与的夹角，
，
，，
.
故答案为：.
【分析】以为原点，所在直线为轴，过作的垂线为轴，建立平面直角坐标系，利用平面向量夹角公式求解即可.
15．【答案】（1）解： 平面向量 ，
易知，
则；
（2）解：，
若，则，解得．
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
【解析】【分析】（1）根据向量的坐标运算，结合向量夹角公式化简求解即可；
（2）根据向量共线的坐标公式求出参数的值即可.
（1）由已知，，
所以.
（2）由已知，，
因此由，可得，
解得．
16．【答案】（1）解：在中，，，，
由正弦定理得：，即，解得；
（2）解：因为A、B、C、D四点共圆，所以，
又因为A为钝角，所以为锐角，所以，，
在中，，；
由余弦定理得：，即，
整理得，解得（海里），
则的面积为：（平方海里）．
【知识点】解三角形；正弦定理；余弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【分析】(1)利用正弦定理求解即可；
(2)由A为钝角，以及（1）的结论，利用同角三角函数基本关系求得，再在中，利用余弦定理求得长，最后利用三角形面积公式求的面积即可．
（1）由题意知：在中，，，；
由正弦定理得：，即，
解得．
（2）因为A、B、C、D四点共圆，所以，
又A为钝角，故为锐角；
所以，故．
在中，，；
由余弦定理得：，
即，
整理得：，解得（海里）（负值已舍去）；
所以的面积为：
（平方海里）．
17．【答案】（1）解：因为四面体为正四面体，所以四面体的每个面都是棱长为4的正三角形，
且，所以四面体的表面积为；
设正四面体的高为h，三角形的重心为O，
则，；
（2）解：因为是的中点，所以，
因为，即点为的四等分点，所以，
因为，即点为的三等分点，所以，
所以，所以，
综上所述，.
【知识点】棱柱/棱锥/棱台的侧面积、表面积及应用；锥体的体积公式及应用
【解析】【分析】（1）由题意，利用三角形面积公式先求四面体的表面积，设正四面体的高为h，三角形的重心为O，利用勾股定理求得，再利用棱锥的体积公式求解即可；
（2）是的中点，所以，利用几何体的体积比例关系求解即可.
（1）因为四面体为正四面体，
所以四面体的每个面都是棱长为4的正三角形，
且，
所以四面体的表面积为；
设正四面体的高为h，三角形的重心为O，
则，
∴.
（2）因为是的中点，
∴.
因为，即点为的四等分点，
∴.
因为，即点为的三等分点
∴
所以，
∴.
综上所述，.
18．【答案】（1）解：因为，所以，
由余弦定理可得，
因为，所以；
（2）解：因为，所以，
由基本不等式可知，当且仅当时等号成立，
所以，即，故当时，周长有最小值为；
（3）解：由正弦定理可得，则，，
因为，所以，
则
，
因为是锐角三角形，所以，解得，
则，，，
因为，所以，即面积的取值范围是.
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；简单的三角恒等变换；两角和与差的正弦公式；余弦定理；辅助角公式
【解析】【分析】（1）直接利用余弦定理求解即可；
（2） 由，结合题意可得，若，利用基本不等式求解即可；
（3）利用正弦定理将边转化为关于角的函数，再利用两角差的正弦公式结合正弦、余弦的二倍角公式以及辅助角公式化简，最后根据正弦函数性质及三角形面积公式计算求解即可.
（1）因为，所以，
由余弦定理可得，
因为，所以；
（2）因为，
所以，
由基本不等式可知，当且仅当时等号成立，
所以，即，
所以当时，周长有最小值为；
（3）由正弦定理可得，所以，，
因为，所以，
则
，
因为是锐角三角形，有，即，
所以，，，
因为，
所以，即面积的取值范围是.
19．【答案】（1）解：根据题意可得，，，
代入变换可得，即；
（2）证明：，
得，同理可得，
；
所以，
则，，
所以；
（3）解：因为
；
且
所以
；
因此
由，
可得，即，又，解得．
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量数量积的坐标表示；简单的三角恒等变换；三角函数的化简求值
【解析】【分析】（1）由 向量，， 可得将，，，代入变换计算即可；
（2）利用变换规则，计算向量数量积可得，且，，再利用向量夹角余弦公式证明即可；
（3）利用变换规则，结合同角三角函数基本关系以及正弦、余弦倍角公式和化简可得，求解的值即可.
（1）根据题意可得，，，
代入变换可得，即；
（2），
得，同理可得，
；
所以，
则，，
所以；
（3）因为
；
且
所以
；
因此
由，
可得，
即，又，解得．
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