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广东中山市华侨中学2025-2026学年高二下学期5月月考数学试卷
1．已知随机变量服从正态分布，且，则（　　）
A．0.2 B．0.3 C．0.5 D．0.6
2．春节某人计划去福建莆田旅游，打算从梅寺晨钟，石室藏烟，紫霄怪石，白塘秋月，湄屿潮音这5个景点中选3个景点去游玩，则不同的选择方法种数为（　　）
A．60 B．20 C．12 D．10
3．已知相关变量和的散点图如图所示，若用与拟合时，决定系数分别为和，则比较和的大小结果为（　　）
A． B． C． D．不确定
4．已知四组成对样本数据对应的线性相关系数分别为，，则线性相关程度最强的是（　　）
A．A组 B．B组 C．C组 D．D组
5．已知数列满足，则的值为（　　）
A．2 B．1 C． D．-1
6．某企业产品的广告费用与销售量的统计数据如表所示：根据表中各数据可得回归方程，其中，假设该企业广告费用为6万元时，则销售额为（　　）
广告费用（万元） 4 2 3 5
销售额（万元） 49 26 39 54
A．63，6万元 B．65，5万元 C．67，7 万元 D．72，0万元
7．设函数在区间上单调递减，则实数a的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
8．甲、乙两球队比赛，设事件“甲队主力球员首发”，事件“甲队获胜”，据统计，，，，甲、乙两球队在2026年计划比赛共计12场．设甲队获胜的场数为X，若每场比赛的结果相互独立，则（　　）
A． B． C． D．
9．在的展开式中，下列说法正确的是（　　）
A．一共有5项 B．第3项为
C．所有项的系数和为0 D．所有项的二项式系数和为32
10．已知m，且，则下列等式正确的是（　　）
A． B．
C． D．
11．已知随机事件，满足，，，则（　　）
A．与相互独立 B．
C． D．
12．已知随机变量，且，则　 　．
13．若直线与曲线相切，则实数　 　．
14．在数列中，如果，都有（为常数），那么这个数列叫做等积数列，叫做这个数列的公积.已知是等积数列，，，公积为4，则　 　.
15．已知函数.
（1）求函数的单调区间以及极值；
（2）求函数在上的最小值.
16．某会员店因为商品品控出色，所以吸纳了大量会员，只有成为该会员店的会员才能在该店进行消费．根据统计数据，该店的本地会员占，外地会员占．现对该店会员开展商品质量满意度调查，已知本地会员对该店商品质量满意的概率为，外地会员对该店商品质量满意的概率为．每个会员对该店商品质量满意与否相互独立．
（1）从该店所有会员中随机抽取1名会员，求其对该店商品质量满意的概率；
（2）从该店所有会员中随机抽取2名会员，记这2名会员中对该店商品质量满意的人数为，求的分布列与数学期望．
17．已知等差数列的前项和为，且，．
（1）求的通项公式；
（2）设，求数列的前项和，
18．某公司投资某款电动玩具的宣传费（单位：十万元）和销量（单位：百万件）如表所示：
宣传费（十万元） 3 4 5 6
销量（百万件） 2.5 3 4 4.5
（1）已知可用线性回归模型拟合与的关系，求关于的经验回归方程；
（2）若甲 乙两人购买这款电动玩具的概率分别为，且甲 乙是否购买这款电动玩具互不影响.若每个电动玩具的售价均定为80元，且两人购买电动玩具的总金额的期望不超过120元，求的取值范围.
参考公式：经验回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为.
19．已知函数．
（1）当时，讨论的单调性；
（2）若，求的取值范围；
（3）证明：．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】正态密度曲线的特点
【解析】【解答】解：因为随机变量服从正态分布，正态曲线关于直线对称，
所以，又，
所以，
所以.
故答案为：D.
【分析】根据正态分布的性质求概率即可.
2．【答案】D
【知识点】排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：从5个景点中选3个景点去游玩，则共有．
故答案为：D．
【分析】由题可知共有种方式.
3．【答案】C
【知识点】可线性化的回归分析
【解析】【解答】解：由散点图知，用拟合的效果比用拟合的效果要好，
所以.
故答案为：C.
【分析】根据散点图，结合拟合的效果即可判断决定系数的大小．
4．【答案】B
【知识点】样本相关系数r及其数字特征
【解析】【解答】解：线性相关系数的绝对值越接近于1，相关程度就越强，
因为，
经过比较可知，最大，所以组的线性相关程度最强.
故答案为：B.
【分析】根据相关系数越接近，相关程度越强即可求解.
5．【答案】A
【知识点】函数的周期性
【解析】【解答】解：由，
可得，即，
可知数列是最小正周期为3的数列，
所以，故A正确．
故答案为：A．
【分析】根据数列的周期性求解即可.
6．【答案】B
【知识点】线性回归方程
【解析】【解答】解：根据表格数据得，，
∵回归中心满足回归直线方程，其中，
，解得，
于是回归方程为，令，得，
故答案为：B.
【分析】先求出均值点，代入求出回归直线方程，再计算即可.
7．【答案】A
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：的定义域为，
由，解得．
由题意知，解得．
故答案为：A.
【分析】求导，令，得到单调减区间，再列不等式求解即可.
8．【答案】B
【知识点】离散型随机变量的期望与方差；二项分布；条件概率乘法公式
【解析】【解答】解：根据概率的乘法公式，得，
根据条件概率公式得，
可得，
由于每场比赛的结果相互独立，
所以甲队获胜的场数，从而．
故答案为：B．
【分析】根据概率的乘法公式求出，进而可知，再根据二项分布的期望公式求解..
9．【答案】C,D
【知识点】二项式系数的性质；二项展开式；二项式系数
【解析】【解答】解：因为的展开式共有6项，所以A不正确；
通项公式为，令可得第三项为，B不正确；
令可得所有项的系数和为0，C正确；
所有项的二项式系数和为，D正确.
故答案为：CD
【分析】二项展开式共有项即可判断A；利用展开式的通项公式可判断B；对于C，利用赋值法得到可得所有项的系数和，对于D，由二项展开式的二项式系数和为即可．
10．【答案】B,C
【知识点】排列数的基本计算；组合数公式；组合数的基本计算
【解析】【解答】解：A错，，．
B对，．
C对，，，所以．
D错，．
故答案为：BC.
【分析】根据排列数和组合数的运算性质逐项求解判断.
11．【答案】A,C
【知识点】互斥事件的概率加法公式；条件概率
【解析】【解答】解：由题意知，又，
可得，
即，解得，
满足，所以与相互独立，A正确.
易知，B错误.
又因为，C正确.
根据可得
所以，D错误，
故答案为：AC.
【分析】根据独立事件的判定即可判断A；根据独立事件的乘法公式判断B；根据条件概率公式求解即可判断CD.
12．【答案】
【知识点】二项分布
【解析】【解答】解：因为，则，
又，得到，由，
得，解得.
故答案为：.
【分析】根据二项分布的期望、方差的计算公式可得，再解方程即可.
13．【答案】
【知识点】导数的几何意义；导数的四则运算
【解析】【解答】解：设直线与曲线的切点为，
易知，则曲线在切点处的斜率为，解得，
则，即切点为，则，.
故答案为：.
【分析】利用导数的几何意义求解即可.
14．【答案】3377
【知识点】数列的函数特性；数列的递推公式
【解析】【解答】解：由，，，所以，解得，
同理由，，，
所以
所以数列是以3为周期的数列，
所以
，
故答案为：3377.
【分析】利用数列的周期性求和即可.
15．【答案】（1）解：函数的定义域是.
又，令，得，令，得，
故函数的单调递增区间为，单调递减区间为，
所以函数的极大值为，无极小值；
（2）解：由（1）可知，在上单调递增，在上单调递减，
所以在上的最小值为，
因为，所以，
所以函数在上的最小值为1.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】(1)、求函数的定义域，求导，利用导数判断函数的单调性，求单调区间和极值即可；
(2)、由（1）可知，函数在上单调递增，在上单调递减，可得函数的最小值是，比较和的大小，求函数的最小值即可.
（1）函数的定义域是.
又，令，得，令，得，
故函数的单调递增区间为，单调递减区间为，
所以函数的极大值为，无极小值.
（2）由（1）可知，在上单调递增，在上单调递减，
所以在上的最小值为.
因为，所以，
所以函数在上的最小值为1.
16．【答案】（1）解：设事件：抽取的是本地会员，事件：抽取的是外地会员，事件B：对该店质量满意，
由题意可知：，
则；
（2）解：易知可能取值，
，
，
，
的分布列如下：
0 1 2
P
.
【知识点】离散型随机变量的期望与方差；全概率公式
【解析】【分析】（1）先记事件，利用全概率公式计算即可；
（2）易知可能取值，求得相应的概率，列分布列，再根据期望公式求解即可.
（1）设事件：抽取的是本地会员，事件：抽取的是外地会员，事件B：对该店质量满意，
则由题意可知：，
所以；
（2）易知可能取值，则，
，，
即的分布列如下：
0 1 2
P
期望为.
17．【答案】（1）解：设等差数列的公差为，
由题意可得：，解得，
所以数列的通项公式.
（2）解：因为，
则.
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和
【解析】【分析】（1）根据等差数列基本量的运算得到，再求通项即可；
（2）利用裂项相消法求和即可.
（1）设等差数列的公差为，
由题意可得：，解得，
所以数列的通项公式.
（2）因为，
则.
18．【答案】（1）解：由题知，
，
所以，
所以.
所以关于的经验回归方程为.
（2）解：设甲 乙两人中选择购买这款电动玩具的人数为，
则的所有可能取值为，
又，
，
，
所以，
，
令，即，解得.
又，所以的取值范围为.
【知识点】线性回归方程；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）根据回归方程的求解方式计算即可；
（2）由题可知可取，求出对应的概率并计算期望，再列不等式求解即可.
（1）由题知，
，
所以，
所以.
所以关于的经验回归方程为.
（2）设甲 乙两人中选择购买这款电动玩具的人数为，
则的所有可能取值为，
又，
，
，
所以，
，
令，即，解得.
又，所以的取值范围为.
19．【答案】（1）解：当时，，，则，
令，得，令，得，
所以函数在上单调递减，在上单调递增.
（2）解：由，则对于恒成立，
设，，则，
令，得，令，得，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
则，即，则的取值范围为.
（3）解：由，则对于恒成立，
设，，则，
令，得，令，得，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
则，即，则的取值范围为.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）求导，利用导数判断函数单调性；
（2）参变分离得，设，，再利用导数求的最值即可；
（3）结合（2）可得，设，利用导数证明j
即可．
（1）当时，，，则，
令，得，令，得，
所以函数在上单调递减，在上单调递增.
（2）由，则对于恒成立，
设，，则，
令，得，令，得，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
则，即，则的取值范围为.
（3）由（2）知，当时，，则，
所以，
设，，则，
所以函数在上单调递增，
则，即，得证.
1 / 1广东中山市华侨中学2025-2026学年高二下学期5月月考数学试卷
1．已知随机变量服从正态分布，且，则（　　）
A．0.2 B．0.3 C．0.5 D．0.6
【答案】D
【知识点】正态密度曲线的特点
【解析】【解答】解：因为随机变量服从正态分布，正态曲线关于直线对称，
所以，又，
所以，
所以.
故答案为：D.
【分析】根据正态分布的性质求概率即可.
2．春节某人计划去福建莆田旅游，打算从梅寺晨钟，石室藏烟，紫霄怪石，白塘秋月，湄屿潮音这5个景点中选3个景点去游玩，则不同的选择方法种数为（　　）
A．60 B．20 C．12 D．10
【答案】D
【知识点】排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：从5个景点中选3个景点去游玩，则共有．
故答案为：D．
【分析】由题可知共有种方式.
3．已知相关变量和的散点图如图所示，若用与拟合时，决定系数分别为和，则比较和的大小结果为（　　）
A． B． C． D．不确定
【答案】C
【知识点】可线性化的回归分析
【解析】【解答】解：由散点图知，用拟合的效果比用拟合的效果要好，
所以.
故答案为：C.
【分析】根据散点图，结合拟合的效果即可判断决定系数的大小．
4．已知四组成对样本数据对应的线性相关系数分别为，，则线性相关程度最强的是（　　）
A．A组 B．B组 C．C组 D．D组
【答案】B
【知识点】样本相关系数r及其数字特征
【解析】【解答】解：线性相关系数的绝对值越接近于1，相关程度就越强，
因为，
经过比较可知，最大，所以组的线性相关程度最强.
故答案为：B.
【分析】根据相关系数越接近，相关程度越强即可求解.
5．已知数列满足，则的值为（　　）
A．2 B．1 C． D．-1
【答案】A
【知识点】函数的周期性
【解析】【解答】解：由，
可得，即，
可知数列是最小正周期为3的数列，
所以，故A正确．
故答案为：A．
【分析】根据数列的周期性求解即可.
6．某企业产品的广告费用与销售量的统计数据如表所示：根据表中各数据可得回归方程，其中，假设该企业广告费用为6万元时，则销售额为（　　）
广告费用（万元） 4 2 3 5
销售额（万元） 49 26 39 54
A．63，6万元 B．65，5万元 C．67，7 万元 D．72，0万元
【答案】B
【知识点】线性回归方程
【解析】【解答】解：根据表格数据得，，
∵回归中心满足回归直线方程，其中，
，解得，
于是回归方程为，令，得，
故答案为：B.
【分析】先求出均值点，代入求出回归直线方程，再计算即可.
7．设函数在区间上单调递减，则实数a的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：的定义域为，
由，解得．
由题意知，解得．
故答案为：A.
【分析】求导，令，得到单调减区间，再列不等式求解即可.
8．甲、乙两球队比赛，设事件“甲队主力球员首发”，事件“甲队获胜”，据统计，，，，甲、乙两球队在2026年计划比赛共计12场．设甲队获胜的场数为X，若每场比赛的结果相互独立，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】离散型随机变量的期望与方差；二项分布；条件概率乘法公式
【解析】【解答】解：根据概率的乘法公式，得，
根据条件概率公式得，
可得，
由于每场比赛的结果相互独立，
所以甲队获胜的场数，从而．
故答案为：B．
【分析】根据概率的乘法公式求出，进而可知，再根据二项分布的期望公式求解..
9．在的展开式中，下列说法正确的是（　　）
A．一共有5项 B．第3项为
C．所有项的系数和为0 D．所有项的二项式系数和为32
【答案】C,D
【知识点】二项式系数的性质；二项展开式；二项式系数
【解析】【解答】解：因为的展开式共有6项，所以A不正确；
通项公式为，令可得第三项为，B不正确；
令可得所有项的系数和为0，C正确；
所有项的二项式系数和为，D正确.
故答案为：CD
【分析】二项展开式共有项即可判断A；利用展开式的通项公式可判断B；对于C，利用赋值法得到可得所有项的系数和，对于D，由二项展开式的二项式系数和为即可．
10．已知m，且，则下列等式正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B,C
【知识点】排列数的基本计算；组合数公式；组合数的基本计算
【解析】【解答】解：A错，，．
B对，．
C对，，，所以．
D错，．
故答案为：BC.
【分析】根据排列数和组合数的运算性质逐项求解判断.
11．已知随机事件，满足，，，则（　　）
A．与相互独立 B．
C． D．
【答案】A,C
【知识点】互斥事件的概率加法公式；条件概率
【解析】【解答】解：由题意知，又，
可得，
即，解得，
满足，所以与相互独立，A正确.
易知，B错误.
又因为，C正确.
根据可得
所以，D错误，
故答案为：AC.
【分析】根据独立事件的判定即可判断A；根据独立事件的乘法公式判断B；根据条件概率公式求解即可判断CD.
12．已知随机变量，且，则　 　．
【答案】
【知识点】二项分布
【解析】【解答】解：因为，则，
又，得到，由，
得，解得.
故答案为：.
【分析】根据二项分布的期望、方差的计算公式可得，再解方程即可.
13．若直线与曲线相切，则实数　 　．
【答案】
【知识点】导数的几何意义；导数的四则运算
【解析】【解答】解：设直线与曲线的切点为，
易知，则曲线在切点处的斜率为，解得，
则，即切点为，则，.
故答案为：.
【分析】利用导数的几何意义求解即可.
14．在数列中，如果，都有（为常数），那么这个数列叫做等积数列，叫做这个数列的公积.已知是等积数列，，，公积为4，则　 　.
【答案】3377
【知识点】数列的函数特性；数列的递推公式
【解析】【解答】解：由，，，所以，解得，
同理由，，，
所以
所以数列是以3为周期的数列，
所以
，
故答案为：3377.
【分析】利用数列的周期性求和即可.
15．已知函数.
（1）求函数的单调区间以及极值；
（2）求函数在上的最小值.
【答案】（1）解：函数的定义域是.
又，令，得，令，得，
故函数的单调递增区间为，单调递减区间为，
所以函数的极大值为，无极小值；
（2）解：由（1）可知，在上单调递增，在上单调递减，
所以在上的最小值为，
因为，所以，
所以函数在上的最小值为1.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】(1)、求函数的定义域，求导，利用导数判断函数的单调性，求单调区间和极值即可；
(2)、由（1）可知，函数在上单调递增，在上单调递减，可得函数的最小值是，比较和的大小，求函数的最小值即可.
（1）函数的定义域是.
又，令，得，令，得，
故函数的单调递增区间为，单调递减区间为，
所以函数的极大值为，无极小值.
（2）由（1）可知，在上单调递增，在上单调递减，
所以在上的最小值为.
因为，所以，
所以函数在上的最小值为1.
16．某会员店因为商品品控出色，所以吸纳了大量会员，只有成为该会员店的会员才能在该店进行消费．根据统计数据，该店的本地会员占，外地会员占．现对该店会员开展商品质量满意度调查，已知本地会员对该店商品质量满意的概率为，外地会员对该店商品质量满意的概率为．每个会员对该店商品质量满意与否相互独立．
（1）从该店所有会员中随机抽取1名会员，求其对该店商品质量满意的概率；
（2）从该店所有会员中随机抽取2名会员，记这2名会员中对该店商品质量满意的人数为，求的分布列与数学期望．
【答案】（1）解：设事件：抽取的是本地会员，事件：抽取的是外地会员，事件B：对该店质量满意，
由题意可知：，
则；
（2）解：易知可能取值，
，
，
，
的分布列如下：
0 1 2
P
.
【知识点】离散型随机变量的期望与方差；全概率公式
【解析】【分析】（1）先记事件，利用全概率公式计算即可；
（2）易知可能取值，求得相应的概率，列分布列，再根据期望公式求解即可.
（1）设事件：抽取的是本地会员，事件：抽取的是外地会员，事件B：对该店质量满意，
则由题意可知：，
所以；
（2）易知可能取值，则，
，，
即的分布列如下：
0 1 2
P
期望为.
17．已知等差数列的前项和为，且，．
（1）求的通项公式；
（2）设，求数列的前项和，
【答案】（1）解：设等差数列的公差为，
由题意可得：，解得，
所以数列的通项公式.
（2）解：因为，
则.
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和
【解析】【分析】（1）根据等差数列基本量的运算得到，再求通项即可；
（2）利用裂项相消法求和即可.
（1）设等差数列的公差为，
由题意可得：，解得，
所以数列的通项公式.
（2）因为，
则.
18．某公司投资某款电动玩具的宣传费（单位：十万元）和销量（单位：百万件）如表所示：
宣传费（十万元） 3 4 5 6
销量（百万件） 2.5 3 4 4.5
（1）已知可用线性回归模型拟合与的关系，求关于的经验回归方程；
（2）若甲 乙两人购买这款电动玩具的概率分别为，且甲 乙是否购买这款电动玩具互不影响.若每个电动玩具的售价均定为80元，且两人购买电动玩具的总金额的期望不超过120元，求的取值范围.
参考公式：经验回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为.
【答案】（1）解：由题知，
，
所以，
所以.
所以关于的经验回归方程为.
（2）解：设甲 乙两人中选择购买这款电动玩具的人数为，
则的所有可能取值为，
又，
，
，
所以，
，
令，即，解得.
又，所以的取值范围为.
【知识点】线性回归方程；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）根据回归方程的求解方式计算即可；
（2）由题可知可取，求出对应的概率并计算期望，再列不等式求解即可.
（1）由题知，
，
所以，
所以.
所以关于的经验回归方程为.
（2）设甲 乙两人中选择购买这款电动玩具的人数为，
则的所有可能取值为，
又，
，
，
所以，
，
令，即，解得.
又，所以的取值范围为.
19．已知函数．
（1）当时，讨论的单调性；
（2）若，求的取值范围；
（3）证明：．
【答案】（1）解：当时，，，则，
令，得，令，得，
所以函数在上单调递减，在上单调递增.
（2）解：由，则对于恒成立，
设，，则，
令，得，令，得，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
则，即，则的取值范围为.
（3）解：由，则对于恒成立，
设，，则，
令，得，令，得，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
则，即，则的取值范围为.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）求导，利用导数判断函数单调性；
（2）参变分离得，设，，再利用导数求的最值即可；
（3）结合（2）可得，设，利用导数证明j
即可．
（1）当时，，，则，
令，得，令，得，
所以函数在上单调递减，在上单调递增.
（2）由，则对于恒成立，
设，，则，
令，得，令，得，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
则，即，则的取值范围为.
（3）由（2）知，当时，，则，
所以，
设，，则，
所以函数在上单调递增，
则，即，得证.
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