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广东佛山市第三中学2025-2026学年高二下学期期中阶段检测高二数学试题
1．已知数列的前项和为，则（　　）
A．35 B．11 C． D．
【答案】C
【知识点】等比数列概念与表示；等比数列的前n项和；数列的递推公式
【解析】【解答】解：由，可得，
则数列是以首项为，公差为的等差数列，
则，.
故答案为：C.
【分析】由变形可得数列是以首项为，公差为的等差数列，利用等差数列的通项和求和公式求解即可.
2．已知数列中，，且为等比数列，则（　　）
A．50 B．90 C．162 D．242
【答案】B
【知识点】等比数列的通项公式
【解析】【解答】解：由，可得，
因为数列为等比数列，设其公比为，可得，
则，所以.
故答案为：B.
【分析】根据等比数列基本量的运算求出即可.
3．函数点处的切线方程为，则等于（　　）
A． B． C．3 D．6
【答案】D
【知识点】导数的几何意义；极限及其运算；导数的概念
【解析】【解答】解：易知，则.
故答案为：D.
【分析】易知，利用导数的概念求解即可.
4．已知函数，则的单调递减区间为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：函数的定义域为，
，
当时，单调递增，当时，单调递减；
的减区间是．
故答案为：B.
【分析】求导并确定定义域，再解即可.
5．甲、乙、丙三人去看电影，每人可在《惊蛰无声》、《飞驰人生3》、《熊猫计划之部落奇遇记》、《重返狼群》、《·年年有熊》五部电影中任选一部，则三人看同一部电影的概率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】古典概型及其概率计算公式；分步乘法计数原理
【解析】【解答】解：根据题意，三人的选择组合共有种，
其中看同一部电影的情况有种，
所以三人看同一部电影的概率为．
故答案为：B.
【分析】根据分步乘法计算原理，结合概率公式求解.
6．已知数列满足，，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】数列的求和
【解析】【解答】解：依题意，，
令，得，
，
所以
，
当时上式也符合，所以，则，
所以，ABC错误，D正确.
故答案为；D.
【分析】利用数列求求和—累加法求得该数列的通项公式，再利用裂项求和法，即可求得正确答案.
7．如图，一个地区分为5个不同的行政区域，现给地图着色，要求相邻地区不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法种数是（　　）
A．20 B．24 C．48 D．72
【答案】D
【知识点】基本计数原理的应用；排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：如图所示，
首先涂A，剩下BCDE只有3种颜色可供选择， 若BD不同色则CE必同色，反之亦然，即BD或CE同色，
以颜色为主分类计数，按颜色的多少分两类：
第一类：用3种不同颜色时，则区域BD必同色，区域CE也必同色，故共有种 ，
第二类：用4种不同颜色时，若区域BD同色有种，若区域CE同色有种 故用四种颜色有种 ，
由加法原理得不同的涂色方法数共有种 .
故答案为：D.
【分析】由分步计数原理，先涂A，再分BD同色及不同色进行分类讨论.
8．已知定义在上的函数满足，则必有（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：设，则，
所以在上单调递增，则，即，
所以.故答案为：B.
【分析】设，求导结合题意可得，再利用单调性比较大小即可.
9．已知数列满足，其前项和为，且，则（　　）
A． B．是递减数列
C． D．是等差数列
【答案】A,C,D
【知识点】数列的函数特性；等差数列概念与表示；等比数列概念与表示；等比数列的前n项和
【解析】【解答】解：因为数列满足，所以，，
所以，故，A对，
所以数列是首项为，公比为的等比数列，所以，
故数列是单调递增数列，B错，
，C对，
，故数列是等差数列，D对.
故答案为：ACD.
【分析】根据题意求得，再逐项判断即可.
10．函数的导函数的图象如图所示，以下命题正确的是（　　）
A．是函数的极值点 B．是函数的极值点
C．在区间上单调递增 D．是函数的极值点
【答案】A,C
【知识点】利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件
【解析】【解答】解：对于AC，根据导函数图象可知当时，；
当时，，当且仅当时，，
所以函数在上单调递减；
在上单调递增，故是极值点，故A、C正确；
对于B，因为左右两侧导函数均大于，故不是极值点，故B错误；
对于D，因为左右两侧导函数均大于，故不是极小值点，故D错误；
故答案为：AC.
【分析】 根据导函数的图象，得到的符号，根据的正负确定的单调性及极值.
11．现有6个小球和4个盒子，下面的结论正确的是（　　）
A．若6个相同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，且恰有一个空盒的放法共有40种
B．若6个不同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，则共有360种放法
C．若6个不同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，且恰有一个空盒的放法共有2160种
D．若6个不同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，且恰有两个空盒的放法共有384种
【答案】A,C
【知识点】基本计数原理的应用；排列、组合的实际应用；排列与组合的综合
【解析】【解答】解：对于A，6个相同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，且恰有一个空盒，先要指定空盒的编号，有种情况，
然后在6个相同的小球中间形成的5个空位中插入2块板即可，所以不同的放法种数为种，故A正确；
对于B，若6个不同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，则共有种，故B错误；
对于C，若6个不同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，恰有一个空盒，先指定空盒的编号，有种情况，
然后将这6个不同的小球分为三组，每组小球的个数分别为4 1 1或3 2 1或2 2 2，
然后再将这三组小球放入剩余的三个盒子，不同的放法种数为，故C正确；
对于D，若6个不同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，且恰有两个空盒，先指定空盒的编号，有种情况，
然后将这6个不同的小球分为两组，每组小球的个数分别为5 1或4 2或3 3，
然后再将这两组小球放入剩余的两个盒子中的放法共有，故D错误.
故答案为：AC.
【分析】对于A，先选一个盒子为空，再用隔板法结合分步乘法求解；对于B，直接用乘法计数原理即可判断；对于CD，先选空盒子，再根据分组分配的方式求解.
12．已知是等比数列的前项和，，则　 　．
【答案】381
【知识点】等比数列的前n项和；等比数列的性质
【解析】【解答】解：由题知，，且
因为成等比数列，
该等比数列的首项为3，公比为2，则.
故答案为：381.
【分析】根据等比数列的性质可得成等比数列，再利用求和公式求解.
13．用数字0，1，2，3，4，5可以组成　 　个没有重复数字且可以被5整除的4位数（结果用数字作答）
【答案】
【知识点】分类加法计数原理；排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：当个位数为时，有种；
当个位数为时，千位数不能为，从中选一个放在千位，有种，
百位和十位，从剩下的个数中任选两个的排列，有种，
则有种；
综上：满足题意的位数共有个.
故答案为：108.
【分析】首先分个位数为和个位数为，结合分步计数原理求解.
14．若函数在区间单调递增，则实数a的取值范围为　 　.
【答案】
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：由题意可知：在区间内恒成立，
可得在区间内恒成立，
因为在区间内单调递增，则，
可得，所以实数的取值范围为.
故答案为：.
【分析】求导，结合题意可得在内恒成立，再结合双勾函数得到最值即可.
15．记为数列的前n项和，已知．
（1）求的通项公式；
（2）求数列的前n项和．
【答案】（1）解：当时，，即，
当时，，
时，满足上式，所以.

（2）.令，解得，且，
所以当时，则，可得；
当时，则，可得
；
综上所述：．
【知识点】等差数列的通项公式；通项与前n项和的关系
【解析】【分析】（1）根据即可求数列的通项公式；
（2）分析和，结合等差数列前项公式即可得到的前n项和．
（1）当时，，即，
当时，，
时，满足上式，所以.
（2）.令，解得，且，
所以当时，则，可得；
当时，则，可得
；
综上所述：．
16．有4名男生 3名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数（列式-最后用数字作答）.
（1）全体排成一排，女生必须站在一起；
（2）全体排成一排，女生互不相邻；
（3）全体排成一排，已知甲 乙是这7人中的两人，甲不站在排头，乙不站在排尾；
【答案】（1）解：依题意，女生相邻，先排3名女生，有种；
再将这3名女生捆绑到一起，看成1人，这1人和4名男生排成一排，有种，
所以全体排成一排，女生必须站在一起有种.
（2）解：先排4名男生，有，这4名男生产生5个空隙，
在这5个空隙中插入3个女生，有种，
所以全体排成一排，女生互不相邻有种.
（3）解：7人全排列有，甲站在排头的有种，
乙站在排尾的有种，甲站在排头且乙站在排尾的有种，
所以甲不站在排头，乙不站在排尾的有种.
【知识点】排列、组合的实际应用
【解析】【分析】（1）先将这3名女生捆绑到一起，再与其他4名男生进行全排即可；
（2）利用插空法进行求解；
（3）先全排，再减甲站在排头和乙站在排尾，然后加上甲站在排头且乙站在排尾即可.
（1）依题意，女生相邻，先排3名女生，有种；
再将这3名女生捆绑到一起，看成1人，这1人和4名男生排成一排，有种，
所以全体排成一排，女生必须站在一起有种.
（2）先排4名男生，有，这4名男生产生5个空隙，
在这5个空隙中插入3个女生，有种，
所以全体排成一排，女生互不相邻有种.
（3）7人全排列有，甲站在排头的有种，
乙站在排尾的有种，甲站在排头且乙站在排尾的有种，
所以甲不站在排头，乙不站在排尾的有种.
17．已知函数在处取得极大值．
（1）求a，b的值；
（2）求函数的零点的个数．
【答案】（1）解：对求导得，
由，且，解得，．
经检验，，符合题意，所以，．
（2）解：由，
令或
令，
所以函数的单调递增区间为，，单调递减区间为．
所以可得函数的极小值为，又极大值为，
而，
综上所述，函数的零点的个数为1，且零点位于区间内．
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；函数零点存在定理
【解析】【分析】（1）由题可知，，解出，再检验即可；
（2）求导，根据导数的符号确定函数的单调性，得到极值，再结合零点存在性定理判断.
（1）对求导得，
由，且，解得，．
经检验，，符合题意，所以，．
（2）由，
令或
令，
所以函数的单调递增区间为，，单调递减区间为．
所以可得函数的极小值为，又极大值为，
而，
综上所述，函数的零点的个数为1，且零点位于区间内．
18．已知数列满足
（1）求的通项公式；
（2）在和之间插入个数，使这个数构成等差数列，记这个等差数列的公差为，求数列的前项和．
【答案】（1）解：因为，
所以当时，，
两式相减得，所以，
当时，，满足，
故的通项公式为．
（2）解：因为在和之间插入个数后构成等差数列，公差为，
所以，即，，
所以①
②
①－②得：，
所以．
【知识点】等比数列的前n项和；数列的求和；通项与前n项和的关系
【解析】【分析】（1）由递推式，结合作差法求即可；
（2）根据等差数列基本量的运算可得，再利用错位相减法求和即可.
（1）解：因为，
所以当时，，
两式相减得，所以，
当时，，满足，
故的通项公式为．
（2）解：因为在和之间插入个数后构成等差数列，公差为，
所以，即，，
所以①
②
①－②得：，
所以．
19．已知函数．
（1）当时，求曲线在点处的切线方程．
（2）若有极小值，且极小值小于0，求的取值范围．
【答案】（1）解：当时，函数，，
则，，
故切点坐标为，所以切线方程为，即.
（2）解：函数的定义域为，，
当时，对任意恒成立，则在上单调递增，无极值，不合题意；
当时，令，解得；令，解得；
则函数在上单调递减，在上单调递增，
则的极小值为，无极大值，
由题意可得：，即，
令，，则在上单调递增，且，
不等式等价于，解得，
所以a的取值范围为.

【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】（1）将代入，求导，利用导数的几何意义求切线方程即可；
（2）求导，分和两种情况，利用导数判断单调性和极值，分析可得，再构建函数，解不等式即可求得a的取值范围.
1 / 1广东佛山市第三中学2025-2026学年高二下学期期中阶段检测高二数学试题
1．已知数列的前项和为，则（　　）
A．35 B．11 C． D．
2．已知数列中，，且为等比数列，则（　　）
A．50 B．90 C．162 D．242
3．函数点处的切线方程为，则等于（　　）
A． B． C．3 D．6
4．已知函数，则的单调递减区间为（　　）
A． B． C． D．
5．甲、乙、丙三人去看电影，每人可在《惊蛰无声》、《飞驰人生3》、《熊猫计划之部落奇遇记》、《重返狼群》、《·年年有熊》五部电影中任选一部，则三人看同一部电影的概率为（　　）
A． B． C． D．
6．已知数列满足，，则（　　）
A． B． C． D．
7．如图，一个地区分为5个不同的行政区域，现给地图着色，要求相邻地区不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法种数是（　　）
A．20 B．24 C．48 D．72
8．已知定义在上的函数满足，则必有（　　）
A． B． C． D．
9．已知数列满足，其前项和为，且，则（　　）
A． B．是递减数列
C． D．是等差数列
10．函数的导函数的图象如图所示，以下命题正确的是（　　）
A．是函数的极值点 B．是函数的极值点
C．在区间上单调递增 D．是函数的极值点
11．现有6个小球和4个盒子，下面的结论正确的是（　　）
A．若6个相同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，且恰有一个空盒的放法共有40种
B．若6个不同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，则共有360种放法
C．若6个不同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，且恰有一个空盒的放法共有2160种
D．若6个不同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，且恰有两个空盒的放法共有384种
12．已知是等比数列的前项和，，则　 　．
13．用数字0，1，2，3，4，5可以组成　 　个没有重复数字且可以被5整除的4位数（结果用数字作答）
14．若函数在区间单调递增，则实数a的取值范围为　 　.
15．记为数列的前n项和，已知．
（1）求的通项公式；
（2）求数列的前n项和．
16．有4名男生 3名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数（列式-最后用数字作答）.
（1）全体排成一排，女生必须站在一起；
（2）全体排成一排，女生互不相邻；
（3）全体排成一排，已知甲 乙是这7人中的两人，甲不站在排头，乙不站在排尾；
17．已知函数在处取得极大值．
（1）求a，b的值；
（2）求函数的零点的个数．
18．已知数列满足
（1）求的通项公式；
（2）在和之间插入个数，使这个数构成等差数列，记这个等差数列的公差为，求数列的前项和．
19．已知函数．
（1）当时，求曲线在点处的切线方程．
（2）若有极小值，且极小值小于0，求的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】等比数列概念与表示；等比数列的前n项和；数列的递推公式
【解析】【解答】解：由，可得，
则数列是以首项为，公差为的等差数列，
则，.
故答案为：C.
【分析】由变形可得数列是以首项为，公差为的等差数列，利用等差数列的通项和求和公式求解即可.
2．【答案】B
【知识点】等比数列的通项公式
【解析】【解答】解：由，可得，
因为数列为等比数列，设其公比为，可得，
则，所以.
故答案为：B.
【分析】根据等比数列基本量的运算求出即可.
3．【答案】D
【知识点】导数的几何意义；极限及其运算；导数的概念
【解析】【解答】解：易知，则.
故答案为：D.
【分析】易知，利用导数的概念求解即可.
4．【答案】B
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：函数的定义域为，
，
当时，单调递增，当时，单调递减；
的减区间是．
故答案为：B.
【分析】求导并确定定义域，再解即可.
5．【答案】C
【知识点】古典概型及其概率计算公式；分步乘法计数原理
【解析】【解答】解：根据题意，三人的选择组合共有种，
其中看同一部电影的情况有种，
所以三人看同一部电影的概率为．
故答案为：B.
【分析】根据分步乘法计算原理，结合概率公式求解.
6．【答案】D
【知识点】数列的求和
【解析】【解答】解：依题意，，
令，得，
，
所以
，
当时上式也符合，所以，则，
所以，ABC错误，D正确.
故答案为；D.
【分析】利用数列求求和—累加法求得该数列的通项公式，再利用裂项求和法，即可求得正确答案.
7．【答案】D
【知识点】基本计数原理的应用；排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：如图所示，
首先涂A，剩下BCDE只有3种颜色可供选择， 若BD不同色则CE必同色，反之亦然，即BD或CE同色，
以颜色为主分类计数，按颜色的多少分两类：
第一类：用3种不同颜色时，则区域BD必同色，区域CE也必同色，故共有种 ，
第二类：用4种不同颜色时，若区域BD同色有种，若区域CE同色有种 故用四种颜色有种 ，
由加法原理得不同的涂色方法数共有种 .
故答案为：D.
【分析】由分步计数原理，先涂A，再分BD同色及不同色进行分类讨论.
8．【答案】B
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：设，则，
所以在上单调递增，则，即，
所以.故答案为：B.
【分析】设，求导结合题意可得，再利用单调性比较大小即可.
9．【答案】A,C,D
【知识点】数列的函数特性；等差数列概念与表示；等比数列概念与表示；等比数列的前n项和
【解析】【解答】解：因为数列满足，所以，，
所以，故，A对，
所以数列是首项为，公比为的等比数列，所以，
故数列是单调递增数列，B错，
，C对，
，故数列是等差数列，D对.
故答案为：ACD.
【分析】根据题意求得，再逐项判断即可.
10．【答案】A,C
【知识点】利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件
【解析】【解答】解：对于AC，根据导函数图象可知当时，；
当时，，当且仅当时，，
所以函数在上单调递减；
在上单调递增，故是极值点，故A、C正确；
对于B，因为左右两侧导函数均大于，故不是极值点，故B错误；
对于D，因为左右两侧导函数均大于，故不是极小值点，故D错误；
故答案为：AC.
【分析】 根据导函数的图象，得到的符号，根据的正负确定的单调性及极值.
11．【答案】A,C
【知识点】基本计数原理的应用；排列、组合的实际应用；排列与组合的综合
【解析】【解答】解：对于A，6个相同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，且恰有一个空盒，先要指定空盒的编号，有种情况，
然后在6个相同的小球中间形成的5个空位中插入2块板即可，所以不同的放法种数为种，故A正确；
对于B，若6个不同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，则共有种，故B错误；
对于C，若6个不同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，恰有一个空盒，先指定空盒的编号，有种情况，
然后将这6个不同的小球分为三组，每组小球的个数分别为4 1 1或3 2 1或2 2 2，
然后再将这三组小球放入剩余的三个盒子，不同的放法种数为，故C正确；
对于D，若6个不同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，且恰有两个空盒，先指定空盒的编号，有种情况，
然后将这6个不同的小球分为两组，每组小球的个数分别为5 1或4 2或3 3，
然后再将这两组小球放入剩余的两个盒子中的放法共有，故D错误.
故答案为：AC.
【分析】对于A，先选一个盒子为空，再用隔板法结合分步乘法求解；对于B，直接用乘法计数原理即可判断；对于CD，先选空盒子，再根据分组分配的方式求解.
12．【答案】381
【知识点】等比数列的前n项和；等比数列的性质
【解析】【解答】解：由题知，，且
因为成等比数列，
该等比数列的首项为3，公比为2，则.
故答案为：381.
【分析】根据等比数列的性质可得成等比数列，再利用求和公式求解.
13．【答案】
【知识点】分类加法计数原理；排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：当个位数为时，有种；
当个位数为时，千位数不能为，从中选一个放在千位，有种，
百位和十位，从剩下的个数中任选两个的排列，有种，
则有种；
综上：满足题意的位数共有个.
故答案为：108.
【分析】首先分个位数为和个位数为，结合分步计数原理求解.
14．【答案】
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：由题意可知：在区间内恒成立，
可得在区间内恒成立，
因为在区间内单调递增，则，
可得，所以实数的取值范围为.
故答案为：.
【分析】求导，结合题意可得在内恒成立，再结合双勾函数得到最值即可.
15．【答案】（1）解：当时，，即，
当时，，
时，满足上式，所以.

（2）.令，解得，且，
所以当时，则，可得；
当时，则，可得
；
综上所述：．
【知识点】等差数列的通项公式；通项与前n项和的关系
【解析】【分析】（1）根据即可求数列的通项公式；
（2）分析和，结合等差数列前项公式即可得到的前n项和．
（1）当时，，即，
当时，，
时，满足上式，所以.
（2）.令，解得，且，
所以当时，则，可得；
当时，则，可得
；
综上所述：．
16．【答案】（1）解：依题意，女生相邻，先排3名女生，有种；
再将这3名女生捆绑到一起，看成1人，这1人和4名男生排成一排，有种，
所以全体排成一排，女生必须站在一起有种.
（2）解：先排4名男生，有，这4名男生产生5个空隙，
在这5个空隙中插入3个女生，有种，
所以全体排成一排，女生互不相邻有种.
（3）解：7人全排列有，甲站在排头的有种，
乙站在排尾的有种，甲站在排头且乙站在排尾的有种，
所以甲不站在排头，乙不站在排尾的有种.
【知识点】排列、组合的实际应用
【解析】【分析】（1）先将这3名女生捆绑到一起，再与其他4名男生进行全排即可；
（2）利用插空法进行求解；
（3）先全排，再减甲站在排头和乙站在排尾，然后加上甲站在排头且乙站在排尾即可.
（1）依题意，女生相邻，先排3名女生，有种；
再将这3名女生捆绑到一起，看成1人，这1人和4名男生排成一排，有种，
所以全体排成一排，女生必须站在一起有种.
（2）先排4名男生，有，这4名男生产生5个空隙，
在这5个空隙中插入3个女生，有种，
所以全体排成一排，女生互不相邻有种.
（3）7人全排列有，甲站在排头的有种，
乙站在排尾的有种，甲站在排头且乙站在排尾的有种，
所以甲不站在排头，乙不站在排尾的有种.
17．【答案】（1）解：对求导得，
由，且，解得，．
经检验，，符合题意，所以，．
（2）解：由，
令或
令，
所以函数的单调递增区间为，，单调递减区间为．
所以可得函数的极小值为，又极大值为，
而，
综上所述，函数的零点的个数为1，且零点位于区间内．
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；函数零点存在定理
【解析】【分析】（1）由题可知，，解出，再检验即可；
（2）求导，根据导数的符号确定函数的单调性，得到极值，再结合零点存在性定理判断.
（1）对求导得，
由，且，解得，．
经检验，，符合题意，所以，．
（2）由，
令或
令，
所以函数的单调递增区间为，，单调递减区间为．
所以可得函数的极小值为，又极大值为，
而，
综上所述，函数的零点的个数为1，且零点位于区间内．
18．【答案】（1）解：因为，
所以当时，，
两式相减得，所以，
当时，，满足，
故的通项公式为．
（2）解：因为在和之间插入个数后构成等差数列，公差为，
所以，即，，
所以①
②
①－②得：，
所以．
【知识点】等比数列的前n项和；数列的求和；通项与前n项和的关系
【解析】【分析】（1）由递推式，结合作差法求即可；
（2）根据等差数列基本量的运算可得，再利用错位相减法求和即可.
（1）解：因为，
所以当时，，
两式相减得，所以，
当时，，满足，
故的通项公式为．
（2）解：因为在和之间插入个数后构成等差数列，公差为，
所以，即，，
所以①
②
①－②得：，
所以．
19．【答案】（1）解：当时，函数，，
则，，
故切点坐标为，所以切线方程为，即.
（2）解：函数的定义域为，，
当时，对任意恒成立，则在上单调递增，无极值，不合题意；
当时，令，解得；令，解得；
则函数在上单调递减，在上单调递增，
则的极小值为，无极大值，
由题意可得：，即，
令，，则在上单调递增，且，
不等式等价于，解得，
所以a的取值范围为.

【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】（1）将代入，求导，利用导数的几何意义求切线方程即可；
（2）求导，分和两种情况，利用导数判断单调性和极值，分析可得，再构建函数，解不等式即可求得a的取值范围.
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