资源简介

四川省内江市第六中学2025-2026学年八年级下学期5月期中数学试题
1．一种花粉颗粒直径约为0.0000075米，将数据0.0000075用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：0.0000075=7.5×10-6，
故答案为：A．
【分析】利用科学记数法的定义及书写要求求解即可。
2．代数式，，，，，中，属于分式的有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】B
【知识点】分式的概念
【解析】【解答】解：是整式，它不是分式；
中是常数，分母不含字母，它是整式，它不是分式；
分母含字母，它是分式；
是整式，它不是分式；
分母含字母，它是分式；
分母含字母，它是分式，
∴属于分式的有、、，共3个，
故答案为：B．
【分析】根据分式的定义，逐个对题目中的每个代数式进行分析，即可得出判断了.
3．函数中，自变量x的取值范围是（　　）
A．且 B．且
C．且 D．且
【答案】A
【知识点】分式有无意义的条件；二次根式有无意义的条件；函数自变量的取值范围
【解析】【解答】由得自变量x的取值范围是且，
故选：A．
【分析】
由分式的分母不等于0和二次根式的被开方数是非负数可得关于x的不等式组并求解即可．
4．在平面直角坐标系中，若点与点关于轴对称，则（　　）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】D
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵点与点关于轴对称，
∴，，
即，．
故选：D.
【分析】
在平面直角坐标系中，关于x轴对称的点的横坐标相等，纵坐标互为相反数．
5．下列分式中是最简分式的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】最简分式的概念
【解析】【解答】解：，故A错误；
是最简分式，故B正确；
，故C错误；
，故D错误；
故答案为：B
【分析】根据最简分式的定义逐项进行判断即可求出答案.
6．榫卯（sǔn mǎo），是中国传统建筑中的一种结构方式，它通过两个构件上凹凸部位相结合来将不同构件组合在一起，凹进部分叫卯，其特点是在物件上不使用钉子，体现出中国古老的文化和智慧．小温制作了一种特定的榫卯组合，每个榫需要的木材比每个卯需要的木材多0.5千克．已知用30千克木材制作榫的数量与用25千克木材制作卯的数量相同．设制作1个榫需要的木材为x千克，所列的方程为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】列分式方程；分式方程的实际应用
【解析】【解答】解：∵设制作1个榫需要的木材为x千克，
则制作1个卯需要的木材为千克，
由题意得：
故选：C.
【分析】
由于制作1个榫需要的木材为x千克，则制作1个卯需要的木材为千克，再根据相等关系“用30千克木材制作榫的数量与用25千克木材制作卯的数量相同”列分式方程即可．
7．若 ，则 的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：因为 ，得 .
所以 .
故答案为：B.
【分析】由已知条件可得a=2b，利用平方差公式可将待求式化为，据此计算.
8．在同一平面直角坐标系中，函数与函数的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：A选项：正比例函数的图象过一、三象限，
，
一次函数的图象是随的增大而减小，
故A选项不符合题意；
B选项：正比例函数的图象过二、四象限，
，
一次函数的图象是随的增大而增大，
当时，，
一次函数的图象与轴交点坐标是，
一次函数的图象与轴交点在轴的正半轴，
故B选项不符合题意；
C选项：正比例函数的图象过一、三象限，
，
一次函数的图象是随的增大而减小，
故C选项不符合题意；
D选项：正比例函数的图象过二、四象限，
，
一次函数的图象是随的增大而增大，
当时，，
一次函数的图象与轴交点坐标是，
一次函数的图象与轴交点在轴的正半轴，
故D选项符合题意．
【分析】
对于一次函数，当时，直线过一、二、三象限；当时，直线过一、三象限；当时，直线过一、三、四象限；当时，直线过一、二、四象限； 当时，直线过二、四象限； 当时，直线过二、三、四象限；再分别令或逐项判断即可．
9．若点都在反比例函数的图象上，则的大小关系是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵点都在反比例函数的图象上，
∴把分别代入
∴
∴
故选：B
【分析】将A、B、C三点的横坐标分别代入函数解析式，求得对应的值后，比较大小即可.
10．如果关于的方程的解是正数，那么的取值范围是（　　）
A． B．且
C． D．且
【答案】B
【知识点】解一元一次不等式；已知分式方程的解求参数
【解析】【解答】解：，
去分母，得，
移项，合并同类项，得．
∵方程的解是正数，
∴，且，
即，且，
解得且．
【分析】
先把m当作常数解分式方程，则解为含m的代数式，再根据解是正数可得关于m的不等式并求解即可．
11．如图，点，分别在反比例函数和位于第一象限的图象上．分别过点，向轴作垂线，若阴影部分的面积为2，则的值为（　　）
A． B．5 C．7 D．4
【答案】C
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：如图，
∵点分别在反比例函数和位于第一象限的图象上，
∴，，
又阴影部分的面积为2，
∴，
解得：．
【分析】
由于双曲线上的点与坐标轴和原点围成的直角三角形面积恰好等于反比例系数k的绝对值，因此由割补法可得关于k的一元一次方程并求解即可．
12．一次函数与的图象如图，则下列结论：①；②关于的方程的解是；③当时，；④当时，．其中正确的是（　　）
A．①③ B．①②④ C．②③ D．①④
【答案】B
【知识点】一次函数与一元一次方程的关系；一次函数与不等式（组）的关系；一次函数与二元一次方程（组）的关系；两一次函数图象相交或平行问题；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：直线经过第一、三象限，
，
直线与轴的交点在轴下方，
，
，故①正确；
一次函数与的图象的交点的横坐标为3，
关于的方程的解是，
∴关于的方程的解是，故②正确；
当时，，故③错误；
当时，函数，
一次函数与的图象的交点的横坐标为3，
关于的方程的解是，
，
，故④正确；
综上可知，正确的是：①②④．
【分析】
A、由于直线过一、二、四象限，则；由于直线交y轴于负半轴，则，则；
B、由于两直线交点的横坐标为3，则关于的方程的解是 ；
C、观察图象知，在交点的右侧，直线位于直线的下方，即当时；
D、由于关于的方程的解是，则当时，，即 ．
13．若分式的值为零，则x的值为　 　．
【答案】1
【知识点】分式的值为零的条件
【解析】【解答】解：∵分式的值为零，
∴，
解得：；
故答案为：1．
【分析】当分式的值为0时，需要满足分子等于0，同时分母不为0，根据这个规则计算求解即可.
14．将函数的图象向下平移3个单位长度，所得图象对应的函数表达式是　 　．
【答案】
【知识点】一次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：由题意可得所得图象对应的函数表达式是；
故答案为．
【分析】依据函数图象平移的法则“左加右减，上加下减”来进行解答.
15．小云和小涛分别从相距的A，B两地同时出发，相向而行．小云匀速步行，小涛在骑行的途中因修车耽误一段时间．若两人距A地的距离与时间的函数图象如图所示，则两人相遇的时间为　 　h．
【答案】
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数与二元一次方程（组）的关系；通过函数图象获取信息；一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解：设小云距A地的距离y与时间x的函数关系式为，
由图可得该函数图象过点，
∴，解得，
∴小云距A地的距离y与时间x的函数关系式为．
当时，设小涛距A地的距离y与时间x的函数关系式为，
由图可得该函数图象过点，，
∴，解得，
∴当时，小涛距A地的距离y与时间x的函数关系式为，
解方程组，得，
∴两人相遇的时间为．
【分析】
由于两人相向而行，则当两人相遇时距A地距离相等，即求两函数图象的交点的横坐标，则由待定系数法可分别求得出小云与小涛车子修好后的函数解析式，再联立关于x的二元一次方程组并求解即可．
16．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于A，B两点，与反比例函数的图象交于点C，点D在反比例函数图象上，连接，．若轴，，则k的值为　 　．
【答案】
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；反比例函数图象上点的坐标特征；等腰三角形的性质-三线合一；一次函数图象上点的坐标特征；坐标系中的中点公式
【解析】【解答】解：作于E，
∵，
∴，
∵直线与x轴，y轴分别交于A，B两点，
∴时，，时，，，
∴，，
∵轴，
∴，
∴点的横坐标为，
代入得，，
∴，
∵C在反比例函数的图象上，
∴，整理得，
解得或（舍去），
故答案为：．
【分析】
由于轴、 ，则可过点C作BD的垂线段CE，再由等腰三角形三线合一可得，CE垂直x轴，再利用直线上点的坐标特征可分别求得A、B的坐标，再利用直线上点的坐标特征可设C的坐标为，再由中点坐标公式可得，再由双曲线上点的坐标可得关于k的一元二次方程并求解即可．
17．计算或解方程
（1）计算：；
（2）解分式方程：．
【答案】（1）解：原式；
（2）解：，
方程两边同时乘以，得
，
解得，
检验：把代入，，
所以原分式方程的解是．
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；实数的混合运算（含开方）；去分母法解分式方程
【解析】【分析】
（1）实数的混合运算，先乘方和开方，再化简绝对值，最后再进行加减即可；
（2）解分式方程的一般步骤，先给方程两边都乘以最简公分母，化分式方程为整式方程，再解整式方程并验根，最后根据验根的结果写出分式方程的根即可.
（1）解：原式；
（2）解：，
方程两边同时乘以，得
，
解得，
检验：把代入，，
所以原分式方程的解是．
18．先化简：，再从0，，2中选择一个合适的数代入求值．
【答案】解：
；
由于，即，，
故取；
当时，．
【知识点】分式的化简求值-择值代入
【解析】【分析】分式的化简求值，先对括号里的异分母分式通分并作减法运算，再化除法为乘法并对分子分母分别分解因式，再约分化结果为最简分式或整式，最后取合适的数代入求值即可．
19．已知一次函数的图象经过，两点．
（1）求，的值；
（2）若一次函数的图象与轴的交点为，求一次函数的图象与坐标轴围成三角形的面积；
（3）当时，求的取值范围．
【答案】（1）解：把，两点坐标代入，
得，
解得；
（2）解：由（）得，，即，把代入，得，
解得；
∴，
∴，
∵，
∴，
∴图象与坐标轴围成的面积为；
（3）解：由（）知，一次函数表达式为：，∵，
∴随的增大而增大，
当时，，当时，，
∴当时，，
∴的取值范围为．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数图象与坐标轴交点问题；一次函数图象、性质与系数的关系；一次函数图象上点的坐标特征；一次函数中的面积问题
【解析】【分析】（）直接利用待定系数法即可；
（）先利用直线上点的坐标特征令y=0可得x=4，即点A坐标可得，则OA长可得，再利用三角形面积公式求解即可；
（）由于直线的一次项系数，则随的增大而增大，则对于，当时，当时，即的取值范围可求．
（1）解：把，两点坐标代入，
得，
解得；
（2）解：由（）得，，即，
把代入，得，
解得；
∴，
∴，
∵，
∴，
∴图象与坐标轴围成的面积为；
（3）解：由（）知，一次函数表达式为：，
∵，
∴随的增大而增大，
当时，，当时，，
∴当时，，
∴的取值范围为．
20．为响应“绿色出行”号召，某社区计划采购共享单车和共享电动车两种代步工具，已知共享电动车的单价比共享单车贵200元，用9000元购买共享单车的数量与用12600元购买共享电动车的数量相同．
（1）求共享单车和共享电动车的单价各是多少元？
（2）该社区计划采购两种代步工具共30辆，且共享单车的采购数量不大于共享电动车采购数量的2倍，请问采购多少辆共享单车时，总费用最少？最少总费用是多少元？
【答案】（1）解：设共享单车单价为x元，则共享电动车单价为元，
由题意得：
解得，
经检验，是原分式方程的解，
共享电动车单价：（元），
答：共享单车单价500元，共享电动车单价700元．
（2）解：设采购共享单车m辆，总费用w元，则采购共享电动车辆，
，
又，
，
，
w随m的增大而减小，
当时，w取得最小值，
（元），
答：采购20辆共享单车时总费用最少，最少费用17000元．
【知识点】一元一次不等式的应用；一次函数的性质；一次函数的实际应用-销售问题；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设共享单车单价为x元，则共享电动车单价为元，相等关系“用9000元购买共享单车的数量与用12600元购买共享电动车的数量相同”可得关于x的分式方程并求解即可；
（2）设采购共享单车m辆，总费用w元，则采购共享电动车辆，根据不等关系可得关于m的不等式并求解，则m的取值范围可得，再由题意可得w是关于m的一次函数，且一次项系数为负，则w随m的增大而减小，即当m=20时w有最小值，再求出这个最小值即可．
（1）解：设共享单车单价为x元，则共享电动车单价为元，
由题意得：
解得，
经检验，是原分式方程的解，
共享电动车单价：（元），
答：共享单车单价500元，共享电动车单价700元．
（2）解：设采购共享单车m辆，总费用w元，则采购共享电动车辆，
，
又，
，
，
w随m的增大而减小，
当时，w取得最小值，
（元），
答：采购20辆共享单车时总费用最少，最少费用17000元．
21．如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点、
（1）求这两个函数的表达式
（2）请结合图像直接写出不等式的解集
（3）若点为轴上一点，的面积为，求点的坐标
【答案】（1）把A（1，4）代入y=，得：m=4，
∴反比例函数的解析式为y=，把B（4，n）代入y=，
得：n=1，
∴B（4，1），
把A（1，4）、（4，1）代入y=kx+b，
得：，
解得：，
∴一次函数的解析式为；
（2）0＜x≤1或x≥4；
（3）如图，设直线与轴交于点，
∵直线与轴交于点，
∴点坐标为，
的面积为6，
∴
，
∴点的坐标为或．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的面积
【解析】【解答】解：（2）根据图象得：当或时，；
∴不等式的解集为或；
【分析】（1）把点A的坐标（1，4）代入反比例函数解析式y=，即可求出m的数值，进而得到反比例函数的解析式；再借助得到的反比例函数解析式求出点B的坐标，最后结合A、B两点的坐标推导出一次函数的解析式；
（2）观察两个函数的图象，即可直接得出不等式kx+b≤的解集；
（3）运用面积和差的计算方法，即可求出该题要求的面积，得到最终结果.
22．若关于x的分式方程无解，则m的值是　 　．
【答案】1或
【知识点】分式方程的无解问题
【解析】【解答】解：
去分母，得，
．
∵关于x的分式方程无解，
当时，原方程无解，
∴，
当最简公分母，
，
当时，得，
综上m的值为1或，
故答案为：1或．
【分析】先将给定的分式方程去分母整理为整式方程可得，已知关于x的分式方程无解，分两种情况进行讨论：一是分式方程产生增根，导致原方程无解；二是整理后得到的整式方程本身无解，据此即可求出对应的m值.
23．已知三个数x，y，z满足，．则的值为　 　．
【答案】
【知识点】分式的化简求值-倒数法
【解析】【解答】解：∵3，，
∴，
整理得，①，②，③，
①+②+③得，，
∴，
，
∴．
故答案为：．
【分析】
由于一对倒数的积为1，则由已知可得、，再整体代入计算并求出结果的倒数即可．
24．如图，直线与，轴分别相交于点，，点在线段上，且点坐标为，点为线段的中点，点为上一动点，则当的周长最小时，点的坐标为　 　 ．
【答案】
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；轴对称的性质；轴对称的应用-最短距离问题；一次函数图象与坐标轴交点问题；将军饮马模型-一线两点（一动两定）
【解析】【解答】解：如图，作点关于轴的对称点，连接，交轴于点，当点与点重合时，的周长最小，
．
．
∵点在直线上，
∴．
∴．
在直线中，当时，，
∴．
∵点为线段的中点，
∴．
∴．
设直线解析式为，
∴，解得，
∴直线解析式为．
当时，，
∴点的坐标为．
故答案为：．
【分析】作点关于轴的对称点，连接，设与轴的交点为，根据两点之间线段最短，当点与点重合时，的周长取得最小值；对已知直线，计算得到点，；点是的中点，由此可得点，根据对称点的坐标规律，得到点；求解得到直线的解析式为，令解析式中y=0，计算即可得到点P的坐标.
25．如图，正方形，，，…的顶点，，，…在直线上，顶点，，，…在轴上，已知，，那么点的坐标为　 　，点的坐标为　 　．
【答案】；
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；正方形的性质；探索规律-函数上点的规律；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵，，
∴正方形的边长为1，正方形的边长为2，
∴，
设直线解析式为，
将代入得，
解得，
∴直线解析式为，
∴．
∵，点的坐标为，
∴的纵坐标为，的横坐标为，
的纵坐标为，的横坐标为，
的纵坐标为，的横坐标为，
∴，
∴，即．
【分析】
先利用正方形的性质可得A1、A2的坐标，再由待定系数法可得直线的解析式，再利用坐标与图形性质可依次得出的坐标，从而可得规律：即可.
26．在平面直角坐标系中，对于，两点给出如下定义：若点到、轴的距离中的最大值等于点到、轴的距离中的最大值，则称，两点为“同值点”．例如，图中的，两点为“同值点”．
（1）已知点的坐标为，
①在点中，是点P的“同值点”的有 （只填字母）；
②若点Q在直线上，且P，Q两点为“同值点”，则点Q的坐标为 ；
（2）若是直线上的两点，且与为“同值点”，求的值．
【答案】（1）①，；②或
（2）是直线上的两点，，，
，
，，
与为“同值点”，
当时，，解得，
当时，，
；
当时，，解得．
综上所述，的值为或．
【知识点】点的坐标；比较一次函数值的大小；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】（1）解∶ ①根据题意得：点到、轴的距离中最大值为，
∵点到、轴的距离中最大值为，
∴点是点的“同值点”；
∵点到、轴的距离中最大值为，，
∴点不是点的“同值点”；
∵点到、轴的距离中最大值为，
∴点是点的“同值点”；
∴与点是“同值点”的点是，；
故答案为：，；
②点在直线上，且，两点为同值点，
点坐标中到、轴距离其中至少有一个为，
当点到轴距离为时，
若点的纵坐标为时，，此时点，到、轴的距离中最大值为；
若点的纵坐标为时，，此时点，到、轴的距离中最大值为；
当点到轴距离为时，
若点的横坐标为时，，此时点，到、轴的距离中最大值为；
若点的横坐标为时，，此时点，到、轴的距离中最大值为；
这些点中与符合“同值点”的是或．
即点的坐标为或；
故答案为：或；
【分析】（1）①只需要找出到x轴、y轴的最大距离为的点，即可得到结果；②先找出直线上的点里，满足到x轴、y轴距离中存在数值为的点，再结合“同值点”的定义筛选出符合要求的点即可；
（2）将代入一次函数解析式，得到，，再结合条件，根据“同值点”的定义，就能列出关于的关系式，进而求解.
（1）解∶ ①根据题意得：点到、轴的距离中最大值为，
∵点到、轴的距离中最大值为，
∴点是点的“同值点”；
∵点到、轴的距离中最大值为，，
∴点不是点的“同值点”；
∵点到、轴的距离中最大值为，
∴点是点的“同值点”；
∴与点是“同值点”的点是，；
故答案为：，；
②点在直线上，且，两点为同值点，
点坐标中到、轴距离其中至少有一个为，
当点到轴距离为时，
若点的纵坐标为时，，此时点，到、轴的距离中最大值为；
若点的纵坐标为时，，此时点，到、轴的距离中最大值为；
当点到轴距离为时，
若点的横坐标为时，，此时点，到、轴的距离中最大值为；
若点的横坐标为时，，此时点，到、轴的距离中最大值为；
这些点中与符合“同值点”的是或．
即点的坐标为或；
故答案为：或；
（2）是直线上的两点，
，，
，
，，
与为“同值点”，
当时，，解得，
当时，，
；
当时，，解得．
综上所述，的值为或．
27．某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的全等模型．
【模型学习】如图1，已知在中，，直线EF经过点A，于点E，于点F．易证：．
（1）如图2，平面直角坐标系中，点B的坐标为，求直线的函数关系式；
【类比探究】
（2）如图3，一次函数的图象分别交x轴和y轴于M、N两点，点D坐标为．
①连接，则_____；
②点P在直线上，连接，当与直线的夹角为时，求出点P的坐标；
【拓展探究】
（3）在（2）的条件下，若一次函数的图象与直线相交所夹锐角大于，请直接写出k的取值范围．
【答案】解：(1)过点A作轴于D，过点B作轴于E，如图，
则，
，
，
，
，
，
，
点B的坐标为，
，
，
，
设直线的函数关系式为，则
解得：
直线的函数关系式为；
(2)①90；
②由①知，
∴，
连接，如图，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴点P与点E重合时，与直线的夹角为，则；
当点P在x轴下方时，过点P作轴于G，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴
∵，
∴，
∴，
在和中，
∴，
∴，
∴
∴，且点P在直线上；
综上所述，点P的坐标为或；
（3）且
【知识点】坐标与图形性质；两一次函数图象相交或平行问题；同侧一线三垂直全等模型；异侧一线三垂直全等模型；一次函数中的角度问题
【解析】【解答】解：
(2)①当时， ，
解得：，
，
当时， ，
，
∴在x轴上取点过点F作轴，交于E，如图，
则，
当时， ，
∴，
∴，
∵D坐标为，
∴，
∴，
在和中，
∴，
∴
∵，
∴，即
故答案为：90；
(3)由(2)知，
同理可得，直线的函数关系式为，直线的函数关系式为，
∵，且
∴当时， ，
∴直线必定经过点，如图，
过点Q分别作和的平行线，交y轴于，
∴或，
∵一次函数的图象与直线相交所夹锐角大于，
∴．
设直线的解析式为，
将分别代入，得
，
解得，
∴直线的解析式为，
当时，一次函数的图象与直线平行，此时一次函数的图象与直线垂直，不符合题意，
∴，
综上所述，且，．
【分析】
(1)过点A作轴于D，过点B作轴于E，由于，则可利用一线三垂直全等模型证明，再由全等的性质结合坐标与图形性质可得A、B的坐标，最后再利用待定系数法求出直线AB的解析式即可 ；
(2)①先由直线上点的坐标特征可分别得和，再分别取MN、MO的中点E、F，则由中点坐标公式可得和，即FM＝OD＝1，再由中位线定理可得EF＝OM＝2，则由SAS可证，再利用全等三角形的对应角相等结合直角三角形两锐角互余即可得；
②由于已证得，则当时是等腰直角三角形且，此时再过点P作x轴的垂线段PG，则由一线三垂直全等模型可证，再由全等的性质可得MG＝DO、PG＝MO，再由坐标与图形性质可得满足条件的点P有两个；
(3)如图，由于直线始终过定点，则设该定点为Q，再过点Q作DP的平行线交y轴于点，再利用待定系数法可得直线DP的解析式为或，则或，由一次函数的图象与直线相交所夹锐角大于，得到，又因为所求直线与直线MN的夹角是锐角，则其一次项系数不能与直线的一次项系数相等，即，又，则K的取值范围为且，．
1 / 1四川省内江市第六中学2025-2026学年八年级下学期5月期中数学试题
1．一种花粉颗粒直径约为0.0000075米，将数据0.0000075用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
2．代数式，，，，，中，属于分式的有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
3．函数中，自变量x的取值范围是（　　）
A．且 B．且
C．且 D．且
4．在平面直角坐标系中，若点与点关于轴对称，则（　　）
A．， B．，
C．， D．，
5．下列分式中是最简分式的是（　　）
A． B． C． D．
6．榫卯（sǔn mǎo），是中国传统建筑中的一种结构方式，它通过两个构件上凹凸部位相结合来将不同构件组合在一起，凹进部分叫卯，其特点是在物件上不使用钉子，体现出中国古老的文化和智慧．小温制作了一种特定的榫卯组合，每个榫需要的木材比每个卯需要的木材多0.5千克．已知用30千克木材制作榫的数量与用25千克木材制作卯的数量相同．设制作1个榫需要的木材为x千克，所列的方程为（　　）
A． B．
C． D．
7．若 ，则 的值为（　　）
A． B． C． D．
8．在同一平面直角坐标系中，函数与函数的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
9．若点都在反比例函数的图象上，则的大小关系是（　　）
A． B． C． D．
10．如果关于的方程的解是正数，那么的取值范围是（　　）
A． B．且
C． D．且
11．如图，点，分别在反比例函数和位于第一象限的图象上．分别过点，向轴作垂线，若阴影部分的面积为2，则的值为（　　）
A． B．5 C．7 D．4
12．一次函数与的图象如图，则下列结论：①；②关于的方程的解是；③当时，；④当时，．其中正确的是（　　）
A．①③ B．①②④ C．②③ D．①④
13．若分式的值为零，则x的值为　 　．
14．将函数的图象向下平移3个单位长度，所得图象对应的函数表达式是　 　．
15．小云和小涛分别从相距的A，B两地同时出发，相向而行．小云匀速步行，小涛在骑行的途中因修车耽误一段时间．若两人距A地的距离与时间的函数图象如图所示，则两人相遇的时间为　 　h．
16．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于A，B两点，与反比例函数的图象交于点C，点D在反比例函数图象上，连接，．若轴，，则k的值为　 　．
17．计算或解方程
（1）计算：；
（2）解分式方程：．
18．先化简：，再从0，，2中选择一个合适的数代入求值．
19．已知一次函数的图象经过，两点．
（1）求，的值；
（2）若一次函数的图象与轴的交点为，求一次函数的图象与坐标轴围成三角形的面积；
（3）当时，求的取值范围．
20．为响应“绿色出行”号召，某社区计划采购共享单车和共享电动车两种代步工具，已知共享电动车的单价比共享单车贵200元，用9000元购买共享单车的数量与用12600元购买共享电动车的数量相同．
（1）求共享单车和共享电动车的单价各是多少元？
（2）该社区计划采购两种代步工具共30辆，且共享单车的采购数量不大于共享电动车采购数量的2倍，请问采购多少辆共享单车时，总费用最少？最少总费用是多少元？
21．如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点、
（1）求这两个函数的表达式
（2）请结合图像直接写出不等式的解集
（3）若点为轴上一点，的面积为，求点的坐标
22．若关于x的分式方程无解，则m的值是　 　．
23．已知三个数x，y，z满足，．则的值为　 　．
24．如图，直线与，轴分别相交于点，，点在线段上，且点坐标为，点为线段的中点，点为上一动点，则当的周长最小时，点的坐标为　 　 ．
25．如图，正方形，，，…的顶点，，，…在直线上，顶点，，，…在轴上，已知，，那么点的坐标为　 　，点的坐标为　 　．
26．在平面直角坐标系中，对于，两点给出如下定义：若点到、轴的距离中的最大值等于点到、轴的距离中的最大值，则称，两点为“同值点”．例如，图中的，两点为“同值点”．
（1）已知点的坐标为，
①在点中，是点P的“同值点”的有 （只填字母）；
②若点Q在直线上，且P，Q两点为“同值点”，则点Q的坐标为 ；
（2）若是直线上的两点，且与为“同值点”，求的值．
27．某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的全等模型．
【模型学习】如图1，已知在中，，直线EF经过点A，于点E，于点F．易证：．
（1）如图2，平面直角坐标系中，点B的坐标为，求直线的函数关系式；
【类比探究】
（2）如图3，一次函数的图象分别交x轴和y轴于M、N两点，点D坐标为．
①连接，则_____；
②点P在直线上，连接，当与直线的夹角为时，求出点P的坐标；
【拓展探究】
（3）在（2）的条件下，若一次函数的图象与直线相交所夹锐角大于，请直接写出k的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：0.0000075=7.5×10-6，
故答案为：A．
【分析】利用科学记数法的定义及书写要求求解即可。
2．【答案】B
【知识点】分式的概念
【解析】【解答】解：是整式，它不是分式；
中是常数，分母不含字母，它是整式，它不是分式；
分母含字母，它是分式；
是整式，它不是分式；
分母含字母，它是分式；
分母含字母，它是分式，
∴属于分式的有、、，共3个，
故答案为：B．
【分析】根据分式的定义，逐个对题目中的每个代数式进行分析，即可得出判断了.
3．【答案】A
【知识点】分式有无意义的条件；二次根式有无意义的条件；函数自变量的取值范围
【解析】【解答】由得自变量x的取值范围是且，
故选：A．
【分析】
由分式的分母不等于0和二次根式的被开方数是非负数可得关于x的不等式组并求解即可．
4．【答案】D
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵点与点关于轴对称，
∴，，
即，．
故选：D.
【分析】
在平面直角坐标系中，关于x轴对称的点的横坐标相等，纵坐标互为相反数．
5．【答案】B
【知识点】最简分式的概念
【解析】【解答】解：，故A错误；
是最简分式，故B正确；
，故C错误；
，故D错误；
故答案为：B
【分析】根据最简分式的定义逐项进行判断即可求出答案.
6．【答案】C
【知识点】列分式方程；分式方程的实际应用
【解析】【解答】解：∵设制作1个榫需要的木材为x千克，
则制作1个卯需要的木材为千克，
由题意得：
故选：C.
【分析】
由于制作1个榫需要的木材为x千克，则制作1个卯需要的木材为千克，再根据相等关系“用30千克木材制作榫的数量与用25千克木材制作卯的数量相同”列分式方程即可．
7．【答案】B
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：因为 ，得 .
所以 .
故答案为：B.
【分析】由已知条件可得a=2b，利用平方差公式可将待求式化为，据此计算.
8．【答案】D
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：A选项：正比例函数的图象过一、三象限，
，
一次函数的图象是随的增大而减小，
故A选项不符合题意；
B选项：正比例函数的图象过二、四象限，
，
一次函数的图象是随的增大而增大，
当时，，
一次函数的图象与轴交点坐标是，
一次函数的图象与轴交点在轴的正半轴，
故B选项不符合题意；
C选项：正比例函数的图象过一、三象限，
，
一次函数的图象是随的增大而减小，
故C选项不符合题意；
D选项：正比例函数的图象过二、四象限，
，
一次函数的图象是随的增大而增大，
当时，，
一次函数的图象与轴交点坐标是，
一次函数的图象与轴交点在轴的正半轴，
故D选项符合题意．
【分析】
对于一次函数，当时，直线过一、二、三象限；当时，直线过一、三象限；当时，直线过一、三、四象限；当时，直线过一、二、四象限； 当时，直线过二、四象限； 当时，直线过二、三、四象限；再分别令或逐项判断即可．
9．【答案】B
【知识点】反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵点都在反比例函数的图象上，
∴把分别代入
∴
∴
故选：B
【分析】将A、B、C三点的横坐标分别代入函数解析式，求得对应的值后，比较大小即可.
10．【答案】B
【知识点】解一元一次不等式；已知分式方程的解求参数
【解析】【解答】解：，
去分母，得，
移项，合并同类项，得．
∵方程的解是正数，
∴，且，
即，且，
解得且．
【分析】
先把m当作常数解分式方程，则解为含m的代数式，再根据解是正数可得关于m的不等式并求解即可．
11．【答案】C
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：如图，
∵点分别在反比例函数和位于第一象限的图象上，
∴，，
又阴影部分的面积为2，
∴，
解得：．
【分析】
由于双曲线上的点与坐标轴和原点围成的直角三角形面积恰好等于反比例系数k的绝对值，因此由割补法可得关于k的一元一次方程并求解即可．
12．【答案】B
【知识点】一次函数与一元一次方程的关系；一次函数与不等式（组）的关系；一次函数与二元一次方程（组）的关系；两一次函数图象相交或平行问题；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：直线经过第一、三象限，
，
直线与轴的交点在轴下方，
，
，故①正确；
一次函数与的图象的交点的横坐标为3，
关于的方程的解是，
∴关于的方程的解是，故②正确；
当时，，故③错误；
当时，函数，
一次函数与的图象的交点的横坐标为3，
关于的方程的解是，
，
，故④正确；
综上可知，正确的是：①②④．
【分析】
A、由于直线过一、二、四象限，则；由于直线交y轴于负半轴，则，则；
B、由于两直线交点的横坐标为3，则关于的方程的解是 ；
C、观察图象知，在交点的右侧，直线位于直线的下方，即当时；
D、由于关于的方程的解是，则当时，，即 ．
13．【答案】1
【知识点】分式的值为零的条件
【解析】【解答】解：∵分式的值为零，
∴，
解得：；
故答案为：1．
【分析】当分式的值为0时，需要满足分子等于0，同时分母不为0，根据这个规则计算求解即可.
14．【答案】
【知识点】一次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：由题意可得所得图象对应的函数表达式是；
故答案为．
【分析】依据函数图象平移的法则“左加右减，上加下减”来进行解答.
15．【答案】
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数与二元一次方程（组）的关系；通过函数图象获取信息；一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解：设小云距A地的距离y与时间x的函数关系式为，
由图可得该函数图象过点，
∴，解得，
∴小云距A地的距离y与时间x的函数关系式为．
当时，设小涛距A地的距离y与时间x的函数关系式为，
由图可得该函数图象过点，，
∴，解得，
∴当时，小涛距A地的距离y与时间x的函数关系式为，
解方程组，得，
∴两人相遇的时间为．
【分析】
由于两人相向而行，则当两人相遇时距A地距离相等，即求两函数图象的交点的横坐标，则由待定系数法可分别求得出小云与小涛车子修好后的函数解析式，再联立关于x的二元一次方程组并求解即可．
16．【答案】
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；反比例函数图象上点的坐标特征；等腰三角形的性质-三线合一；一次函数图象上点的坐标特征；坐标系中的中点公式
【解析】【解答】解：作于E，
∵，
∴，
∵直线与x轴，y轴分别交于A，B两点，
∴时，，时，，，
∴，，
∵轴，
∴，
∴点的横坐标为，
代入得，，
∴，
∵C在反比例函数的图象上，
∴，整理得，
解得或（舍去），
故答案为：．
【分析】
由于轴、 ，则可过点C作BD的垂线段CE，再由等腰三角形三线合一可得，CE垂直x轴，再利用直线上点的坐标特征可分别求得A、B的坐标，再利用直线上点的坐标特征可设C的坐标为，再由中点坐标公式可得，再由双曲线上点的坐标可得关于k的一元二次方程并求解即可．
17．【答案】（1）解：原式；
（2）解：，
方程两边同时乘以，得
，
解得，
检验：把代入，，
所以原分式方程的解是．
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；实数的混合运算（含开方）；去分母法解分式方程
【解析】【分析】
（1）实数的混合运算，先乘方和开方，再化简绝对值，最后再进行加减即可；
（2）解分式方程的一般步骤，先给方程两边都乘以最简公分母，化分式方程为整式方程，再解整式方程并验根，最后根据验根的结果写出分式方程的根即可.
（1）解：原式；
（2）解：，
方程两边同时乘以，得
，
解得，
检验：把代入，，
所以原分式方程的解是．
18．【答案】解：
；
由于，即，，
故取；
当时，．
【知识点】分式的化简求值-择值代入
【解析】【分析】分式的化简求值，先对括号里的异分母分式通分并作减法运算，再化除法为乘法并对分子分母分别分解因式，再约分化结果为最简分式或整式，最后取合适的数代入求值即可．
19．【答案】（1）解：把，两点坐标代入，
得，
解得；
（2）解：由（）得，，即，把代入，得，
解得；
∴，
∴，
∵，
∴，
∴图象与坐标轴围成的面积为；
（3）解：由（）知，一次函数表达式为：，∵，
∴随的增大而增大，
当时，，当时，，
∴当时，，
∴的取值范围为．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数图象与坐标轴交点问题；一次函数图象、性质与系数的关系；一次函数图象上点的坐标特征；一次函数中的面积问题
【解析】【分析】（）直接利用待定系数法即可；
（）先利用直线上点的坐标特征令y=0可得x=4，即点A坐标可得，则OA长可得，再利用三角形面积公式求解即可；
（）由于直线的一次项系数，则随的增大而增大，则对于，当时，当时，即的取值范围可求．
（1）解：把，两点坐标代入，
得，
解得；
（2）解：由（）得，，即，
把代入，得，
解得；
∴，
∴，
∵，
∴，
∴图象与坐标轴围成的面积为；
（3）解：由（）知，一次函数表达式为：，
∵，
∴随的增大而增大，
当时，，当时，，
∴当时，，
∴的取值范围为．
20．【答案】（1）解：设共享单车单价为x元，则共享电动车单价为元，
由题意得：
解得，
经检验，是原分式方程的解，
共享电动车单价：（元），
答：共享单车单价500元，共享电动车单价700元．
（2）解：设采购共享单车m辆，总费用w元，则采购共享电动车辆，
，
又，
，
，
w随m的增大而减小，
当时，w取得最小值，
（元），
答：采购20辆共享单车时总费用最少，最少费用17000元．
【知识点】一元一次不等式的应用；一次函数的性质；一次函数的实际应用-销售问题；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设共享单车单价为x元，则共享电动车单价为元，相等关系“用9000元购买共享单车的数量与用12600元购买共享电动车的数量相同”可得关于x的分式方程并求解即可；
（2）设采购共享单车m辆，总费用w元，则采购共享电动车辆，根据不等关系可得关于m的不等式并求解，则m的取值范围可得，再由题意可得w是关于m的一次函数，且一次项系数为负，则w随m的增大而减小，即当m=20时w有最小值，再求出这个最小值即可．
（1）解：设共享单车单价为x元，则共享电动车单价为元，
由题意得：
解得，
经检验，是原分式方程的解，
共享电动车单价：（元），
答：共享单车单价500元，共享电动车单价700元．
（2）解：设采购共享单车m辆，总费用w元，则采购共享电动车辆，
，
又，
，
，
w随m的增大而减小，
当时，w取得最小值，
（元），
答：采购20辆共享单车时总费用最少，最少费用17000元．
21．【答案】（1）把A（1，4）代入y=，得：m=4，
∴反比例函数的解析式为y=，把B（4，n）代入y=，
得：n=1，
∴B（4，1），
把A（1，4）、（4，1）代入y=kx+b，
得：，
解得：，
∴一次函数的解析式为；
（2）0＜x≤1或x≥4；
（3）如图，设直线与轴交于点，
∵直线与轴交于点，
∴点坐标为，
的面积为6，
∴
，
∴点的坐标为或．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的面积
【解析】【解答】解：（2）根据图象得：当或时，；
∴不等式的解集为或；
【分析】（1）把点A的坐标（1，4）代入反比例函数解析式y=，即可求出m的数值，进而得到反比例函数的解析式；再借助得到的反比例函数解析式求出点B的坐标，最后结合A、B两点的坐标推导出一次函数的解析式；
（2）观察两个函数的图象，即可直接得出不等式kx+b≤的解集；
（3）运用面积和差的计算方法，即可求出该题要求的面积，得到最终结果.
22．【答案】1或
【知识点】分式方程的无解问题
【解析】【解答】解：
去分母，得，
．
∵关于x的分式方程无解，
当时，原方程无解，
∴，
当最简公分母，
，
当时，得，
综上m的值为1或，
故答案为：1或．
【分析】先将给定的分式方程去分母整理为整式方程可得，已知关于x的分式方程无解，分两种情况进行讨论：一是分式方程产生增根，导致原方程无解；二是整理后得到的整式方程本身无解，据此即可求出对应的m值.
23．【答案】
【知识点】分式的化简求值-倒数法
【解析】【解答】解：∵3，，
∴，
整理得，①，②，③，
①+②+③得，，
∴，
，
∴．
故答案为：．
【分析】
由于一对倒数的积为1，则由已知可得、，再整体代入计算并求出结果的倒数即可．
24．【答案】
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；轴对称的性质；轴对称的应用-最短距离问题；一次函数图象与坐标轴交点问题；将军饮马模型-一线两点（一动两定）
【解析】【解答】解：如图，作点关于轴的对称点，连接，交轴于点，当点与点重合时，的周长最小，
．
．
∵点在直线上，
∴．
∴．
在直线中，当时，，
∴．
∵点为线段的中点，
∴．
∴．
设直线解析式为，
∴，解得，
∴直线解析式为．
当时，，
∴点的坐标为．
故答案为：．
【分析】作点关于轴的对称点，连接，设与轴的交点为，根据两点之间线段最短，当点与点重合时，的周长取得最小值；对已知直线，计算得到点，；点是的中点，由此可得点，根据对称点的坐标规律，得到点；求解得到直线的解析式为，令解析式中y=0，计算即可得到点P的坐标.
25．【答案】；
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；正方形的性质；探索规律-函数上点的规律；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵，，
∴正方形的边长为1，正方形的边长为2，
∴，
设直线解析式为，
将代入得，
解得，
∴直线解析式为，
∴．
∵，点的坐标为，
∴的纵坐标为，的横坐标为，
的纵坐标为，的横坐标为，
的纵坐标为，的横坐标为，
∴，
∴，即．
【分析】
先利用正方形的性质可得A1、A2的坐标，再由待定系数法可得直线的解析式，再利用坐标与图形性质可依次得出的坐标，从而可得规律：即可.
26．【答案】（1）①，；②或
（2）是直线上的两点，，，
，
，，
与为“同值点”，
当时，，解得，
当时，，
；
当时，，解得．
综上所述，的值为或．
【知识点】点的坐标；比较一次函数值的大小；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】（1）解∶ ①根据题意得：点到、轴的距离中最大值为，
∵点到、轴的距离中最大值为，
∴点是点的“同值点”；
∵点到、轴的距离中最大值为，，
∴点不是点的“同值点”；
∵点到、轴的距离中最大值为，
∴点是点的“同值点”；
∴与点是“同值点”的点是，；
故答案为：，；
②点在直线上，且，两点为同值点，
点坐标中到、轴距离其中至少有一个为，
当点到轴距离为时，
若点的纵坐标为时，，此时点，到、轴的距离中最大值为；
若点的纵坐标为时，，此时点，到、轴的距离中最大值为；
当点到轴距离为时，
若点的横坐标为时，，此时点，到、轴的距离中最大值为；
若点的横坐标为时，，此时点，到、轴的距离中最大值为；
这些点中与符合“同值点”的是或．
即点的坐标为或；
故答案为：或；
【分析】（1）①只需要找出到x轴、y轴的最大距离为的点，即可得到结果；②先找出直线上的点里，满足到x轴、y轴距离中存在数值为的点，再结合“同值点”的定义筛选出符合要求的点即可；
（2）将代入一次函数解析式，得到，，再结合条件，根据“同值点”的定义，就能列出关于的关系式，进而求解.
（1）解∶ ①根据题意得：点到、轴的距离中最大值为，
∵点到、轴的距离中最大值为，
∴点是点的“同值点”；
∵点到、轴的距离中最大值为，，
∴点不是点的“同值点”；
∵点到、轴的距离中最大值为，
∴点是点的“同值点”；
∴与点是“同值点”的点是，；
故答案为：，；
②点在直线上，且，两点为同值点，
点坐标中到、轴距离其中至少有一个为，
当点到轴距离为时，
若点的纵坐标为时，，此时点，到、轴的距离中最大值为；
若点的纵坐标为时，，此时点，到、轴的距离中最大值为；
当点到轴距离为时，
若点的横坐标为时，，此时点，到、轴的距离中最大值为；
若点的横坐标为时，，此时点，到、轴的距离中最大值为；
这些点中与符合“同值点”的是或．
即点的坐标为或；
故答案为：或；
（2）是直线上的两点，
，，
，
，，
与为“同值点”，
当时，，解得，
当时，，
；
当时，，解得．
综上所述，的值为或．
27．【答案】解：(1)过点A作轴于D，过点B作轴于E，如图，
则，
，
，
，
，
，
，
点B的坐标为，
，
，
，
设直线的函数关系式为，则
解得：
直线的函数关系式为；
(2)①90；
②由①知，
∴，
连接，如图，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴点P与点E重合时，与直线的夹角为，则；
当点P在x轴下方时，过点P作轴于G，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴
∵，
∴，
∴，
在和中，
∴，
∴，
∴
∴，且点P在直线上；
综上所述，点P的坐标为或；
（3）且
【知识点】坐标与图形性质；两一次函数图象相交或平行问题；同侧一线三垂直全等模型；异侧一线三垂直全等模型；一次函数中的角度问题
【解析】【解答】解：
(2)①当时， ，
解得：，
，
当时， ，
，
∴在x轴上取点过点F作轴，交于E，如图，
则，
当时， ，
∴，
∴，
∵D坐标为，
∴，
∴，
在和中，
∴，
∴
∵，
∴，即
故答案为：90；
(3)由(2)知，
同理可得，直线的函数关系式为，直线的函数关系式为，
∵，且
∴当时， ，
∴直线必定经过点，如图，
过点Q分别作和的平行线，交y轴于，
∴或，
∵一次函数的图象与直线相交所夹锐角大于，
∴．
设直线的解析式为，
将分别代入，得
，
解得，
∴直线的解析式为，
当时，一次函数的图象与直线平行，此时一次函数的图象与直线垂直，不符合题意，
∴，
综上所述，且，．
【分析】
(1)过点A作轴于D，过点B作轴于E，由于，则可利用一线三垂直全等模型证明，再由全等的性质结合坐标与图形性质可得A、B的坐标，最后再利用待定系数法求出直线AB的解析式即可 ；
(2)①先由直线上点的坐标特征可分别得和，再分别取MN、MO的中点E、F，则由中点坐标公式可得和，即FM＝OD＝1，再由中位线定理可得EF＝OM＝2，则由SAS可证，再利用全等三角形的对应角相等结合直角三角形两锐角互余即可得；
②由于已证得，则当时是等腰直角三角形且，此时再过点P作x轴的垂线段PG，则由一线三垂直全等模型可证，再由全等的性质可得MG＝DO、PG＝MO，再由坐标与图形性质可得满足条件的点P有两个；
(3)如图，由于直线始终过定点，则设该定点为Q，再过点Q作DP的平行线交y轴于点，再利用待定系数法可得直线DP的解析式为或，则或，由一次函数的图象与直线相交所夹锐角大于，得到，又因为所求直线与直线MN的夹角是锐角，则其一次项系数不能与直线的一次项系数相等，即，又，则K的取值范围为且，．
1 / 1

展开更多......

收起↑