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湖南省岳阳市2026年中考二模考试数学试题
1．2026 的相反数是(　　)
A．-2026 B．2026 C． D．
【答案】A
【知识点】求有理数的相反数的方法
【解析】【解答】解：2026的相反数是，
故选：A．
【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数解答即可．
2．下列精美的剪纸图案中，是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A．不是中心对称图形，不符合题意；
B．不是中心对称图形，不符合题意；
C．不是中心对称图形，不符合题意；
D．是中心对称图形，符合题意．
故选：D.
【分析】把一个图形绕某一点旋转180度后能够完全重合的图形叫中心对称图形，这个点叫它的对称中心.
3．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；单项式乘多项式；合并同类项法则及应用
【解析】【解答】解：A、，计算正确，符合题意；
B、，原式计算错误，不符合题意；
C、，原式计算错误，不符合题意；
D、，原式计算错误，不符合题意．
故选：A.
【分析】
A、合并同类项，只把系数相加减，字母与字母的指数都不变；
B、同底数幂的除法，底数不变指数相减；
C、同底数幂的乘法，底数不变指数相加；
D、单项式乘以多项式，用单项式和多项式的每一项相乘，再把得的积相加.
4．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【知识点】在数轴上表示不等式的解集
【解析】【解答】解：不等式组的解集为：，
在数轴上表示为：
故选：．
【分析】在同一数轴上表示不等式组的解集时，一是注意不等号的方向，即大于向右、小于向左；
二是注意空心圆圈与实心圆圈的区别，空心不包括该点表示的数字，实心包括该点对应的数字.
5．试估算 在哪两个整数之间 （　　）
A．1与2 B．2与3 C．3与4 D．4与5
【答案】C
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：∵，
∴，即，
∴在3与4之间．
故答案为：C .
【分析】对无理数估算解答即可.
6．湖南境内主要河流有湘江、资水、沅江和澧水，这四条河流构成了湖南水系的骨架，并最终都汇入洞庭湖．如右图所示，图中阴影部分表示常德市，有两条河流经过该市汇入洞庭湖．现有一艘游轮从洞庭湖出发，随机进入一条河流，则游轮经过常德市的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】几何概率
【解析】【解答】解：由题意可知，共有湘江、资水、沅江、澧水4条河流，其中经过常德市的河流有2条．
根据概率公式，P（游轮经过常德市）
故选：A．
【分析】
直接利用简单事件概率公式求解即可．
7．如图，把一块含有角的直角三角板的两个顶点放置在直尺的对边上，若，那么的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】角的运算；平行线的应用-求角度；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：如图，
，
直尺的两边平行，
．
【分析】
如图，先利用平行线的性质把转化到的位置，再用60度减去的度数即可.
8．等腰三角形的两边长分别为3和7，则这个三角形的周长为 （　　）
A．13 B．17 C．13或17 D．21
【答案】B
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的概念；分类讨论
【解析】【解答】解：分两种情况讨论：
情况1：当为腰长时，三角形三边长为3，3，7，
∵，不满足三角形两边之和大于第三边，不能构成三角形，
∴此情况舍去；
情况2：当为腰长时，三角形三边长为3，7，7，
∵，，满足三角形三边关系，可以构成三角形，
∴三角形的周长为．
故答案为：B .
【分析】分为腰长或为腰长两种情况，根据三角形三边关系判断能否构成三角形，然后计算周长即可．
9．《九章算术》卷七“盈不足”中记载：今有童子分桃，人得四桃，则余二桃；人得六桃，则缺八桃，问童子与桃各几何？翻译为：现在有一群儿童分桃子，如果每人分4个桃子，就会多出2个桃子；如果每人分6个桃子，就还差8个桃子，求儿童和桃子分别有多少．设儿童有人，根据桃子总数不变，所列方程正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】一元一次方程的实际应用-古代数学问题；列一元一次方程
【解析】【解答】解：设儿童有人，
根据题意得，．
故选：B.
【分析】根据题意列关于x的一元一次方程即可.
10．如图，在中，，以点为圆心，适当长度为半径画弧，交，于点，，再分别以点，为圆心，大于为半径画弧．两弧在内相交于点，作射线交边于点，若，下列结论正确的是（ ）
A． B．
C．点到的距离为4 D．
【答案】C
【知识点】角平分线的性质；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：由作图得，平分
∵，
∴点到的距离，故C正确；
根据题意无法得到，，，故A，B，D错误．
故选：C.
【分析】
由基本尺规作图知AG平分，再由角平分线的性质可得点G到AB的距离等于CG等于4，由于的度数未知，则剩余3个结论无法确定.
11．某校以“阳光运动，健康成长”为主题开展体育训练.已知某次训练中7名男生引体向上的成绩为(单位： 个)： 5， 6， 7， 8， 8， 9， 10.则这组数据的中位数是　 　.
【答案】8
【知识点】中位数
【解析】【解答】解：将这组数据从小到大排列为：，，，，，，，
这组数据共有个，为奇数个，位于最中间的数为第个数，
因此这组数据的中位数是．
故答案为：8 .
【分析】根据中位线的定义“把一组数据从小到大排列后，居于中间的一个数或两个数的平均数是中位数”解答即可.
12．平面直角坐标系中，点关于轴的对称点的坐标为　 　．
【答案】
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵在平面直角坐标系中，关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数，
∴点关于轴的对称点的坐标为．
故填：.
【分析】
关于轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数．
13．如图，要测算池塘两端，之间的距离，先在地面上取一点，然后通过测量分别找到和的中点，，并测得的长，就可测算池塘两端，之间的距离．若的长为10米，则池塘两端，之间的距离是　 　米．
【答案】20
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵和的中点分别为点，，
∴是的中位线
∴（米）．
故填：20.
【分析】三角形中位线定理的实际应用，即AB＝2DE.
14．已知，则代数式的值为　 　.
【答案】-1
【知识点】求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵，
∴
∴.
故答案为：﹣1.
【分析】由可得，再对代数式的前两项提取公因式并代入求值即可.
15．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AB＝5，BD＝6，则菱形ABCD的面积是　 　．
【答案】24
【知识点】勾股定理；菱形的性质；平行四边形的面积
【解析】【解答】∵四边形ABCD是菱形，
∴OB＝OD＝3，OA＝OC，AC⊥BD，
在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，
根据勾股定理，得：，
∴AC＝2OA＝8，
∴S菱形ABCD＝×AC×BD＝×6×8＝24.
故答案为：24.
【分析】根据菱形的对角线具有互相垂直的性质，由勾股定理求出OA的长度；再结合菱形对角线互相平分的性质，得到对角线AC的长度，根据菱形面积等于两条对角线乘积的一半，代入数值即可得出结果.
16．令，其中为整数，为常数且．
（1）若时，是关于的反比例函数，则　 　．
（2）下列结论正确的是　 　．（填写正确结论的序号）
①若是关于的一次函数，则其函数图象一定经过第二象限．
②若是关于的二次函数，则其函数图象一定经过第二象限．
③若是关于的二次函数，则其与一次函数的图象一定有两个不同的交点．
【答案】；①②
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一次函数的概念；反比例函数的概念；二次函数的定义；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】解：（1）当时，，
∵是反比例函数，
∴，
解得；
（2）①若是关于的一次函数，
∵，
∴，
∴，
当时，即时，，
∴函数恒过定点，该点在第二象限，
∴函数图象一定经过第二象限，故①正确；
②若是关于的二次函数，
∴，
∴，
当时，，
∴函数过点，
∴函数图象一定经过第二象限，故②正确；
③联立得，，
整理得：，
∴当时，，此时方程有两个相同的实数根
∴此时只有一个交点，故③错误．
综上所述，正确的结论是①②．
【分析】
（1）由反比例函数的定义结合0次幂的概念可得关于a的方程并求解即可；
（2） ① 由题意知m=1，则该直线解析式为，即当时，即该直线必然经过第二象限内的定点；
② 由题意知m=2，则抛物线解析式为，即抛物线交y轴于点，则无论抛物线开口向上还是向下，其图象必然过第二象限；
③ 由题意可得关于x的一元二次方程，由根的判别式知，则两图象最少有一个交点．
17．计算：．
【答案】解：
．
【知识点】零指数幂；求算术平方根；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】实数的混合运算，先分别乘方和开方，并求特殊角的三角函数值，最后再进行加减即可.
18．先化简，再求值：，其中．
【答案】解：
，
∵
∴原式．
【知识点】分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】分式的化简求值，先对括号内的异分母分式通分并进行加法运算，再化除法为乘法并对分子分母分别分解因式，再约分化结果为最简分式或整式，最后再代值计算即可.
19．每年4月23日是世界读书日．为传承先贤文脉，厚植校园读书氛围，引导全体师生“爱读书、读好书、善读书”，某校开展了“书香阅读周”的活动，王老师针对学生的阅读打卡积分进行了调查，他分别从A班和B班各随机抽取10名学生，收集了他们的打卡积分数据：
A班：10名学生的积分通过条形统计图展示（见下图）
B班：10名学生的积分直接以数据形式给出（单位：分）：7，8，8，8，8，9，9，9，10，10
王老师对所抽取学生成绩进行了整理与分析，并汇总得到了如下表所示的相关数据：
A班 B班
平均数 8.2
中位数 8 8.5
众数 8
方差 1.56 0.84
根据以上信息，解答下列问题．
（1）补全条形统计图，并直接写出表中，的值：________，________；
（2）若9分及9分以上为班级“阅读小达人”，若B班共50人，请估计B班的“阅读小达人”有多少人？
（3）为了让更多同学坚持阅读、爱上阅读，学校将给阅读氛围更好的班级颁发奖状，请根据统计结果，说明A班与B班哪个班级阅读氛围更好．（写出一条理由即可）
【答案】（1）答：，
补全条形统计图如图所示：
（2）解：（名）．
（3）解：B班阅读氛围更好．
理由：B班的平均分高于A班．
【知识点】条形统计图；平均数及其计算；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）；众数
【解析】【解答】
（1）
解：成绩为10分的人数，
补全条形统计图如图所示：
由图可知，得8分的学生最多，故众数为8分，即，
．
【分析】
（1）观察条形统计图和统计表，可先求出成绩为10分的人数，再补画出条形统计图即可；
（2）用样本估算总体，即用50乘以B班的成绩在8分以上人数占全班总人数的比值即可；
（3）通过比较两班平均分或中位数大小均可．
（1）解：成绩为10分的人数，
补全条形统计图如图所示：
由图可知，得8分的学生最多，故众数为8分，即，
．
（2）解：（名）．
（3）解：B班阅读氛围更好．
理由：B班的平均分高于A班（答案不唯一，合理即可）．
20．为弘扬传统文化，某中学计划开展“戏曲广播体操”活动，为此采购了A、B两种花鼓戏风格的表演服.已知采购1件A款和2件B款共需190元；采购2件A款和3件B款共需320元.
（1）求A、B两款服装的单价.
（2）学校计划用不超过13500元的预算，采购这两种服装共200件.问：最多能采购A款服装多少件
【答案】（1）解：设A款服装的单价为x元，B款服装的单价为y元，
根据题意得
解得
答：A款服装的单价为70元，B款服装的单价为60元；
（2）解：设采购A款服装a件，则采购B款服(200-a)件，根据题意得
70a+60(200-a)≤13500
解得a≤150
因为a整数，所以a的最大值为150.
答：最多采购A款服装150件.
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设A款服装单价为x元，B款服装单价为y元，根据“ 采购1件A款和2件B款共需190元；采购2件A款和3件B款共需320元 ”列出二元一次方程组解答即可；
（2）设采购A款服装a件，则采购B款服装件，根据“ 用不超过13500元的预算，采购这两种服装共200件 ”列一元一次不等式，求出a的最大值解答即可．
21．如图，是的外接圆，是的直径，是延长线上一点，连接，使．
（1）求证：是的切线．
（2）过点作，垂足为，若，，求的长．
【答案】（1）证明：连接
是 的直径，
即：
又
是的切线．
（2）解：，
即
【知识点】圆周角定理；切线的判定；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—边角关系；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【分析】
（1）连接，则由等边对等角可得，再由圆周角定理可得，则等量代换可得即可；
（2）先解直角三角形可得AC＝10，再利用勾股定理可得BC，再解直角三角形CBD即可．
（1）证明：连接
是 的直径，
即：
又
是的切线．
（2）解：，
即
22．综合与实践：岳阳文庙历史悠久，是传承中华优秀传统文化的重要场所．庙前古银杏挺拔苍劲，孔子像庄严肃穆，承载着深厚的人文内涵．为了在真实情境中运用数学知识解决实际问题感受数学与生活、数学与文化的紧密联系，某校数学社团的同学们想要利用所学的知识测量文庙前银杏树的高度，他们分成了三个小组并分别设计了不同的方案，测量方案与数据如下表．
课题 测量银杏树的高度
测量工具 测量角度的仪器、皮尺等
测量小组 第一小组 第二小组 第三小组
测量方案示意图
说明 点，在点的正西方向，． 是银杏树旁的房屋，，，． 是银杏树正西方向的孔子像，借助进行测量，使，，三点在一条直线上，点，在点的正西方向，，．
测量数据 ，，． ，，． ，．
（1）第______小组的数据无法计算出银杏树的高度；
（2）请选择其中一个方案及其测量数据求出银杏树的高度．（结果精确到，参考数据：，，，）
【答案】（1）三
（2）解：选择一：∵，，
∴在中，
设，则，
∴，
在中，
∴
∴
解得
∴
答：银杏树的高度为．
【知识点】解直角三角形的其他实际应用；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】
（1）
解：第三小组的数据无法计算出银杏树的高度，因为数据中只给出了的度数，虽然能证明，但还缺少如的度数，的长度等信息；
【分析】
（1）
第三小组在测量过程中虽然构造出了相似三角形，但由于中三条边的长度都不确定，则无法利用相似比求得AB的长；
（2）可选择方案一：设，则解可得，再解可得，则可得关于x的方程并求解即可．
（1）解：第三小组的数据无法计算出银杏树的高度，因为数据中只给出了的度数，虽然能证明，但还缺少如的度数，的长度等信息；
（2）解：选择一：
∵，，
∴在中，
设，则，
∴，
在中，
∴
∴
解得
∴
答：银杏树的高度为；
选择二：延长交于点，
∵，，
∴
∵．
∴四边形是平行四边形，
∵
∴
∴四边形是矩形，
∴，
在中，
∴
在中，，
∴
∴
答：银杏树的高度为．
23．【问题情境】
在矩形中，点为线段上一点，连接，将沿所在的直线翻折，得到，延长交线段边于点，射线与射线交于点，如图（1）．
（1）【问题解决】若，．
①当点是的中点时，求的长；
②当时，求的长；
（2）【问题探究】连接，如图（2）．若为直角三角形，且满足，试探究线段与线段的数量关系．
【答案】（1）解：①∵四边形为矩形，
∴，，，，
∵点O是的中点，
∴，
根据折叠可得：；
②∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
根据折叠可得：，
∵，
∴，
∴，
∴，
设，则，
在中，根据勾股定理得：，
即，
解得：，
即；
（2）解：当，点E与C重合时，为直角三角形，如图所示：
根据（1）可得：，
∵，
∴，
设，则，设，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
在中，，
即，
整理得：，
解得：或（舍去），
，
∴；
当，如图所示：
∵，
∴，
设，则，设，
∵，
∴，
∴，
∴，
根据（1）可得：，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴；
综上，或．
【知识点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；同侧一线三垂直全等模型；异侧一线三垂直全等模型；倍长中线构造全等模型
【解析】【分析】（1）①由翻折对称得OP＝OB＝2；
②由矩形的对边平行结合三角形相似的预备定理可证明，则，即，再利用折叠的性质结合平行线的性质可证明，即有，再设，则，再利用勾股定理即可；
（2）若为直角三角形，则有两种情况，即或，当时则点C与点E重合，则有CA＝CF，此时可设OC＝2k、OB＝2x，则AC＝CF＝3k，再解直角三角形可得AB＝3x，AD＝2x+2k，再利用勾股定理可得关于x的一元二次方程并求解，再代值计算即可；当时，同理有AE＝EF，则由等腰三角形三线合一知OA＝OF，则由倍长中线构造全等模型知OB＝OC，再设OC＝2k，则OB＝2k、AB＝3k，即BC＝4k，则AB与BC的比可得．
（1）解：①∵四边形为矩形，
∴，，，，
∵点O是的中点，
∴，
根据折叠可得：；
②∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
根据折叠可得：，
∵，
∴，
∴，
∴，
设，则，
在中，根据勾股定理得：，
即，
解得：，
即；
（2）解：当，点E与C重合时，为直角三角形，如图所示：
根据（1）可得：，
∵，
∴，
设，则，设，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
在中，，
即，
整理得：，
解得：或（舍去），
，
∴；
当，如图所示：
∵，
∴，
设，则，设，
∵，
∴，
∴，
∴，
根据（1）可得：，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴；
综上，或．
24．如图：已知抛物线与轴交于原点、点，其顶点为点，抛物线过点，与轴交于点，点与点是轴上的两个动点，且，过点作直线轴，分别交，于点与点，过点作直线轴，分别交，于点与点；
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）如图（1），请证明：若，则；
（3）如图（2），连接，交于点，设面积为，连接，，设，面积分别为，，当且时，请求出的值．
【答案】（1）解：∵抛物线，
∴其顶点，
把代入得，
∴
∴抛物线的函数表达式为．
（2）证明：∵点与点，且，轴，轴，且，
∴，，，，
∴，，
∴，
∵，
∴
∴，
∵，
∴，即．
（3）解：设直线解析式为，把代入，得，
∴直线解析式为，
∵，
当时，则，
∴，
设直线的解析式为，
把，代入，得
，解得，
∴直线的解析式为，
联立，
解得：，
∴，
如图，过点作交x轴于点
∵直线解析式为，
∴
∴是等腰直角三角形
∴
∴
∴
∵，
∴，
∵
∴
解得：．
经检验，是方程的解，也符合题意．
∴的值为．
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=a（x-h）²+k的性质；二次函数-面积问题
【解析】【分析】（1）先利用顶点式直接求得到顶点，再利用待定系数法求出b的值即可；
（2）先利用抛物线上点的坐标特征分别设出P、Q、S、R的坐标，则由两点距离公式可分别得出PQ、RS的长，再利用已知m、n的数量关系可得PQ+RS是关于m的一次函数，且一次项系数为负，即PQ+RS随着m的增大而减小，即在范围内；
（3）先利用待定系数法求出直线解析式为，再利用抛物线上点的坐标特征结合已知可得，再求出直线的解析式为，则联立可得关于x的方程组并求解可得，再过点作交x轴于点，则有，即可分别得到，，，再结合已知可得关于m的方程并求解即可．
（1）解：∵抛物线，
∴其顶点，
把代入得，
∴
∴抛物线的函数表达式为．
（2）证明：∵点与点，且，轴，轴，
∵，
∴，，，，
∴，，
∴，
∵，
∴
∴，
∵，
∴，即．
（3）解：设直线解析式为，
把代入，得，
∴直线解析式为，
∵，
当时，则，
∴，
设直线的解析式为，
把，代入，得
，解得，
∴直线的解析式为，
联立，
解得：，
∴，
如图，过点作交x轴于点
∵直线解析式为，
∴
∴是等腰直角三角形
∴
∴
∴
∵，
∴，
∵
∴
解得：．
经检验，是方程的解，也符合题意．
∴的值为．
1 / 1湖南省岳阳市2026年中考二模考试数学试题
1．2026 的相反数是(　　)
A．-2026 B．2026 C． D．
2．下列精美的剪纸图案中，是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．试估算 在哪两个整数之间 （　　）
A．1与2 B．2与3 C．3与4 D．4与5
6．湖南境内主要河流有湘江、资水、沅江和澧水，这四条河流构成了湖南水系的骨架，并最终都汇入洞庭湖．如右图所示，图中阴影部分表示常德市，有两条河流经过该市汇入洞庭湖．现有一艘游轮从洞庭湖出发，随机进入一条河流，则游轮经过常德市的概率为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，把一块含有角的直角三角板的两个顶点放置在直尺的对边上，若，那么的度数是（ ）
A． B． C． D．
8．等腰三角形的两边长分别为3和7，则这个三角形的周长为 （　　）
A．13 B．17 C．13或17 D．21
9．《九章算术》卷七“盈不足”中记载：今有童子分桃，人得四桃，则余二桃；人得六桃，则缺八桃，问童子与桃各几何？翻译为：现在有一群儿童分桃子，如果每人分4个桃子，就会多出2个桃子；如果每人分6个桃子，就还差8个桃子，求儿童和桃子分别有多少．设儿童有人，根据桃子总数不变，所列方程正确的是（ ）
A． B． C． D．
10．如图，在中，，以点为圆心，适当长度为半径画弧，交，于点，，再分别以点，为圆心，大于为半径画弧．两弧在内相交于点，作射线交边于点，若，下列结论正确的是（ ）
A． B．
C．点到的距离为4 D．
11．某校以“阳光运动，健康成长”为主题开展体育训练.已知某次训练中7名男生引体向上的成绩为(单位： 个)： 5， 6， 7， 8， 8， 9， 10.则这组数据的中位数是　 　.
12．平面直角坐标系中，点关于轴的对称点的坐标为　 　．
13．如图，要测算池塘两端，之间的距离，先在地面上取一点，然后通过测量分别找到和的中点，，并测得的长，就可测算池塘两端，之间的距离．若的长为10米，则池塘两端，之间的距离是　 　米．
14．已知，则代数式的值为　 　.
15．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AB＝5，BD＝6，则菱形ABCD的面积是　 　．
16．令，其中为整数，为常数且．
（1）若时，是关于的反比例函数，则　 　．
（2）下列结论正确的是　 　．（填写正确结论的序号）
①若是关于的一次函数，则其函数图象一定经过第二象限．
②若是关于的二次函数，则其函数图象一定经过第二象限．
③若是关于的二次函数，则其与一次函数的图象一定有两个不同的交点．
17．计算：．
18．先化简，再求值：，其中．
19．每年4月23日是世界读书日．为传承先贤文脉，厚植校园读书氛围，引导全体师生“爱读书、读好书、善读书”，某校开展了“书香阅读周”的活动，王老师针对学生的阅读打卡积分进行了调查，他分别从A班和B班各随机抽取10名学生，收集了他们的打卡积分数据：
A班：10名学生的积分通过条形统计图展示（见下图）
B班：10名学生的积分直接以数据形式给出（单位：分）：7，8，8，8，8，9，9，9，10，10
王老师对所抽取学生成绩进行了整理与分析，并汇总得到了如下表所示的相关数据：
A班 B班
平均数 8.2
中位数 8 8.5
众数 8
方差 1.56 0.84
根据以上信息，解答下列问题．
（1）补全条形统计图，并直接写出表中，的值：________，________；
（2）若9分及9分以上为班级“阅读小达人”，若B班共50人，请估计B班的“阅读小达人”有多少人？
（3）为了让更多同学坚持阅读、爱上阅读，学校将给阅读氛围更好的班级颁发奖状，请根据统计结果，说明A班与B班哪个班级阅读氛围更好．（写出一条理由即可）
20．为弘扬传统文化，某中学计划开展“戏曲广播体操”活动，为此采购了A、B两种花鼓戏风格的表演服.已知采购1件A款和2件B款共需190元；采购2件A款和3件B款共需320元.
（1）求A、B两款服装的单价.
（2）学校计划用不超过13500元的预算，采购这两种服装共200件.问：最多能采购A款服装多少件
21．如图，是的外接圆，是的直径，是延长线上一点，连接，使．
（1）求证：是的切线．
（2）过点作，垂足为，若，，求的长．
22．综合与实践：岳阳文庙历史悠久，是传承中华优秀传统文化的重要场所．庙前古银杏挺拔苍劲，孔子像庄严肃穆，承载着深厚的人文内涵．为了在真实情境中运用数学知识解决实际问题感受数学与生活、数学与文化的紧密联系，某校数学社团的同学们想要利用所学的知识测量文庙前银杏树的高度，他们分成了三个小组并分别设计了不同的方案，测量方案与数据如下表．
课题 测量银杏树的高度
测量工具 测量角度的仪器、皮尺等
测量小组 第一小组 第二小组 第三小组
测量方案示意图
说明 点，在点的正西方向，． 是银杏树旁的房屋，，，． 是银杏树正西方向的孔子像，借助进行测量，使，，三点在一条直线上，点，在点的正西方向，，．
测量数据 ，，． ，，． ，．
（1）第______小组的数据无法计算出银杏树的高度；
（2）请选择其中一个方案及其测量数据求出银杏树的高度．（结果精确到，参考数据：，，，）
23．【问题情境】
在矩形中，点为线段上一点，连接，将沿所在的直线翻折，得到，延长交线段边于点，射线与射线交于点，如图（1）．
（1）【问题解决】若，．
①当点是的中点时，求的长；
②当时，求的长；
（2）【问题探究】连接，如图（2）．若为直角三角形，且满足，试探究线段与线段的数量关系．
24．如图：已知抛物线与轴交于原点、点，其顶点为点，抛物线过点，与轴交于点，点与点是轴上的两个动点，且，过点作直线轴，分别交，于点与点，过点作直线轴，分别交，于点与点；
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）如图（1），请证明：若，则；
（3）如图（2），连接，交于点，设面积为，连接，，设，面积分别为，，当且时，请求出的值．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】求有理数的相反数的方法
【解析】【解答】解：2026的相反数是，
故选：A．
【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数解答即可．
2．【答案】D
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A．不是中心对称图形，不符合题意；
B．不是中心对称图形，不符合题意；
C．不是中心对称图形，不符合题意；
D．是中心对称图形，符合题意．
故选：D.
【分析】把一个图形绕某一点旋转180度后能够完全重合的图形叫中心对称图形，这个点叫它的对称中心.
3．【答案】A
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；单项式乘多项式；合并同类项法则及应用
【解析】【解答】解：A、，计算正确，符合题意；
B、，原式计算错误，不符合题意；
C、，原式计算错误，不符合题意；
D、，原式计算错误，不符合题意．
故选：A.
【分析】
A、合并同类项，只把系数相加减，字母与字母的指数都不变；
B、同底数幂的除法，底数不变指数相减；
C、同底数幂的乘法，底数不变指数相加；
D、单项式乘以多项式，用单项式和多项式的每一项相乘，再把得的积相加.
4．【答案】C
【知识点】在数轴上表示不等式的解集
【解析】【解答】解：不等式组的解集为：，
在数轴上表示为：
故选：．
【分析】在同一数轴上表示不等式组的解集时，一是注意不等号的方向，即大于向右、小于向左；
二是注意空心圆圈与实心圆圈的区别，空心不包括该点表示的数字，实心包括该点对应的数字.
5．【答案】C
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：∵，
∴，即，
∴在3与4之间．
故答案为：C .
【分析】对无理数估算解答即可.
6．【答案】A
【知识点】几何概率
【解析】【解答】解：由题意可知，共有湘江、资水、沅江、澧水4条河流，其中经过常德市的河流有2条．
根据概率公式，P（游轮经过常德市）
故选：A．
【分析】
直接利用简单事件概率公式求解即可．
7．【答案】D
【知识点】角的运算；平行线的应用-求角度；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：如图，
，
直尺的两边平行，
．
【分析】
如图，先利用平行线的性质把转化到的位置，再用60度减去的度数即可.
8．【答案】B
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的概念；分类讨论
【解析】【解答】解：分两种情况讨论：
情况1：当为腰长时，三角形三边长为3，3，7，
∵，不满足三角形两边之和大于第三边，不能构成三角形，
∴此情况舍去；
情况2：当为腰长时，三角形三边长为3，7，7，
∵，，满足三角形三边关系，可以构成三角形，
∴三角形的周长为．
故答案为：B .
【分析】分为腰长或为腰长两种情况，根据三角形三边关系判断能否构成三角形，然后计算周长即可．
9．【答案】B
【知识点】一元一次方程的实际应用-古代数学问题；列一元一次方程
【解析】【解答】解：设儿童有人，
根据题意得，．
故选：B.
【分析】根据题意列关于x的一元一次方程即可.
10．【答案】C
【知识点】角平分线的性质；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：由作图得，平分
∵，
∴点到的距离，故C正确；
根据题意无法得到，，，故A，B，D错误．
故选：C.
【分析】
由基本尺规作图知AG平分，再由角平分线的性质可得点G到AB的距离等于CG等于4，由于的度数未知，则剩余3个结论无法确定.
11．【答案】8
【知识点】中位数
【解析】【解答】解：将这组数据从小到大排列为：，，，，，，，
这组数据共有个，为奇数个，位于最中间的数为第个数，
因此这组数据的中位数是．
故答案为：8 .
【分析】根据中位线的定义“把一组数据从小到大排列后，居于中间的一个数或两个数的平均数是中位数”解答即可.
12．【答案】
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵在平面直角坐标系中，关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数，
∴点关于轴的对称点的坐标为．
故填：.
【分析】
关于轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数．
13．【答案】20
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵和的中点分别为点，，
∴是的中位线
∴（米）．
故填：20.
【分析】三角形中位线定理的实际应用，即AB＝2DE.
14．【答案】-1
【知识点】求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵，
∴
∴.
故答案为：﹣1.
【分析】由可得，再对代数式的前两项提取公因式并代入求值即可.
15．【答案】24
【知识点】勾股定理；菱形的性质；平行四边形的面积
【解析】【解答】∵四边形ABCD是菱形，
∴OB＝OD＝3，OA＝OC，AC⊥BD，
在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，
根据勾股定理，得：，
∴AC＝2OA＝8，
∴S菱形ABCD＝×AC×BD＝×6×8＝24.
故答案为：24.
【分析】根据菱形的对角线具有互相垂直的性质，由勾股定理求出OA的长度；再结合菱形对角线互相平分的性质，得到对角线AC的长度，根据菱形面积等于两条对角线乘积的一半，代入数值即可得出结果.
16．【答案】；①②
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一次函数的概念；反比例函数的概念；二次函数的定义；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】解：（1）当时，，
∵是反比例函数，
∴，
解得；
（2）①若是关于的一次函数，
∵，
∴，
∴，
当时，即时，，
∴函数恒过定点，该点在第二象限，
∴函数图象一定经过第二象限，故①正确；
②若是关于的二次函数，
∴，
∴，
当时，，
∴函数过点，
∴函数图象一定经过第二象限，故②正确；
③联立得，，
整理得：，
∴当时，，此时方程有两个相同的实数根
∴此时只有一个交点，故③错误．
综上所述，正确的结论是①②．
【分析】
（1）由反比例函数的定义结合0次幂的概念可得关于a的方程并求解即可；
（2） ① 由题意知m=1，则该直线解析式为，即当时，即该直线必然经过第二象限内的定点；
② 由题意知m=2，则抛物线解析式为，即抛物线交y轴于点，则无论抛物线开口向上还是向下，其图象必然过第二象限；
③ 由题意可得关于x的一元二次方程，由根的判别式知，则两图象最少有一个交点．
17．【答案】解：
．
【知识点】零指数幂；求算术平方根；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】实数的混合运算，先分别乘方和开方，并求特殊角的三角函数值，最后再进行加减即可.
18．【答案】解：
，
∵
∴原式．
【知识点】分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】分式的化简求值，先对括号内的异分母分式通分并进行加法运算，再化除法为乘法并对分子分母分别分解因式，再约分化结果为最简分式或整式，最后再代值计算即可.
19．【答案】（1）答：，
补全条形统计图如图所示：
（2）解：（名）．
（3）解：B班阅读氛围更好．
理由：B班的平均分高于A班．
【知识点】条形统计图；平均数及其计算；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）；众数
【解析】【解答】
（1）
解：成绩为10分的人数，
补全条形统计图如图所示：
由图可知，得8分的学生最多，故众数为8分，即，
．
【分析】
（1）观察条形统计图和统计表，可先求出成绩为10分的人数，再补画出条形统计图即可；
（2）用样本估算总体，即用50乘以B班的成绩在8分以上人数占全班总人数的比值即可；
（3）通过比较两班平均分或中位数大小均可．
（1）解：成绩为10分的人数，
补全条形统计图如图所示：
由图可知，得8分的学生最多，故众数为8分，即，
．
（2）解：（名）．
（3）解：B班阅读氛围更好．
理由：B班的平均分高于A班（答案不唯一，合理即可）．
20．【答案】（1）解：设A款服装的单价为x元，B款服装的单价为y元，
根据题意得
解得
答：A款服装的单价为70元，B款服装的单价为60元；
（2）解：设采购A款服装a件，则采购B款服(200-a)件，根据题意得
70a+60(200-a)≤13500
解得a≤150
因为a整数，所以a的最大值为150.
答：最多采购A款服装150件.
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设A款服装单价为x元，B款服装单价为y元，根据“ 采购1件A款和2件B款共需190元；采购2件A款和3件B款共需320元 ”列出二元一次方程组解答即可；
（2）设采购A款服装a件，则采购B款服装件，根据“ 用不超过13500元的预算，采购这两种服装共200件 ”列一元一次不等式，求出a的最大值解答即可．
21．【答案】（1）证明：连接
是 的直径，
即：
又
是的切线．
（2）解：，
即
【知识点】圆周角定理；切线的判定；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—边角关系；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【分析】
（1）连接，则由等边对等角可得，再由圆周角定理可得，则等量代换可得即可；
（2）先解直角三角形可得AC＝10，再利用勾股定理可得BC，再解直角三角形CBD即可．
（1）证明：连接
是 的直径，
即：
又
是的切线．
（2）解：，
即
22．【答案】（1）三
（2）解：选择一：∵，，
∴在中，
设，则，
∴，
在中，
∴
∴
解得
∴
答：银杏树的高度为．
【知识点】解直角三角形的其他实际应用；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】
（1）
解：第三小组的数据无法计算出银杏树的高度，因为数据中只给出了的度数，虽然能证明，但还缺少如的度数，的长度等信息；
【分析】
（1）
第三小组在测量过程中虽然构造出了相似三角形，但由于中三条边的长度都不确定，则无法利用相似比求得AB的长；
（2）可选择方案一：设，则解可得，再解可得，则可得关于x的方程并求解即可．
（1）解：第三小组的数据无法计算出银杏树的高度，因为数据中只给出了的度数，虽然能证明，但还缺少如的度数，的长度等信息；
（2）解：选择一：
∵，，
∴在中，
设，则，
∴，
在中，
∴
∴
解得
∴
答：银杏树的高度为；
选择二：延长交于点，
∵，，
∴
∵．
∴四边形是平行四边形，
∵
∴
∴四边形是矩形，
∴，
在中，
∴
在中，，
∴
∴
答：银杏树的高度为．
23．【答案】（1）解：①∵四边形为矩形，
∴，，，，
∵点O是的中点，
∴，
根据折叠可得：；
②∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
根据折叠可得：，
∵，
∴，
∴，
∴，
设，则，
在中，根据勾股定理得：，
即，
解得：，
即；
（2）解：当，点E与C重合时，为直角三角形，如图所示：
根据（1）可得：，
∵，
∴，
设，则，设，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
在中，，
即，
整理得：，
解得：或（舍去），
，
∴；
当，如图所示：
∵，
∴，
设，则，设，
∵，
∴，
∴，
∴，
根据（1）可得：，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴；
综上，或．
【知识点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；同侧一线三垂直全等模型；异侧一线三垂直全等模型；倍长中线构造全等模型
【解析】【分析】（1）①由翻折对称得OP＝OB＝2；
②由矩形的对边平行结合三角形相似的预备定理可证明，则，即，再利用折叠的性质结合平行线的性质可证明，即有，再设，则，再利用勾股定理即可；
（2）若为直角三角形，则有两种情况，即或，当时则点C与点E重合，则有CA＝CF，此时可设OC＝2k、OB＝2x，则AC＝CF＝3k，再解直角三角形可得AB＝3x，AD＝2x+2k，再利用勾股定理可得关于x的一元二次方程并求解，再代值计算即可；当时，同理有AE＝EF，则由等腰三角形三线合一知OA＝OF，则由倍长中线构造全等模型知OB＝OC，再设OC＝2k，则OB＝2k、AB＝3k，即BC＝4k，则AB与BC的比可得．
（1）解：①∵四边形为矩形，
∴，，，，
∵点O是的中点，
∴，
根据折叠可得：；
②∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
根据折叠可得：，
∵，
∴，
∴，
∴，
设，则，
在中，根据勾股定理得：，
即，
解得：，
即；
（2）解：当，点E与C重合时，为直角三角形，如图所示：
根据（1）可得：，
∵，
∴，
设，则，设，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
在中，，
即，
整理得：，
解得：或（舍去），
，
∴；
当，如图所示：
∵，
∴，
设，则，设，
∵，
∴，
∴，
∴，
根据（1）可得：，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴；
综上，或．
24．【答案】（1）解：∵抛物线，
∴其顶点，
把代入得，
∴
∴抛物线的函数表达式为．
（2）证明：∵点与点，且，轴，轴，且，
∴，，，，
∴，，
∴，
∵，
∴
∴，
∵，
∴，即．
（3）解：设直线解析式为，把代入，得，
∴直线解析式为，
∵，
当时，则，
∴，
设直线的解析式为，
把，代入，得
，解得，
∴直线的解析式为，
联立，
解得：，
∴，
如图，过点作交x轴于点
∵直线解析式为，
∴
∴是等腰直角三角形
∴
∴
∴
∵，
∴，
∵
∴
解得：．
经检验，是方程的解，也符合题意．
∴的值为．
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=a（x-h）²+k的性质；二次函数-面积问题
【解析】【分析】（1）先利用顶点式直接求得到顶点，再利用待定系数法求出b的值即可；
（2）先利用抛物线上点的坐标特征分别设出P、Q、S、R的坐标，则由两点距离公式可分别得出PQ、RS的长，再利用已知m、n的数量关系可得PQ+RS是关于m的一次函数，且一次项系数为负，即PQ+RS随着m的增大而减小，即在范围内；
（3）先利用待定系数法求出直线解析式为，再利用抛物线上点的坐标特征结合已知可得，再求出直线的解析式为，则联立可得关于x的方程组并求解可得，再过点作交x轴于点，则有，即可分别得到，，，再结合已知可得关于m的方程并求解即可．
（1）解：∵抛物线，
∴其顶点，
把代入得，
∴
∴抛物线的函数表达式为．
（2）证明：∵点与点，且，轴，轴，
∵，
∴，，，，
∴，，
∴，
∵，
∴
∴，
∵，
∴，即．
（3）解：设直线解析式为，
把代入，得，
∴直线解析式为，
∵，
当时，则，
∴，
设直线的解析式为，
把，代入，得
，解得，
∴直线的解析式为，
联立，
解得：，
∴，
如图，过点作交x轴于点
∵直线解析式为，
∴
∴是等腰直角三角形
∴
∴
∴
∵，
∴，
∵
∴
解得：．
经检验，是方程的解，也符合题意．
∴的值为．
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