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广东广州市玉岩中学2025-2026学年高一下学期期中教学质量监测数学试卷
1．设复数的共轭复数为，且满足，i为虚数单位，则复数的虚部是（　　）
A． B． C． D．
2．如图，是一个平面图形的直观图，其中，，则这个平面图形的周长是（　　）
A． B． C． D．
3．在中，内角所对的边分别为，已知，则（　　）
A． B． C． D．
4．在平行四边形中，点是边上的点，，点是线段的中点，若，则（　　）
A． B．1 C． D．
5．已知正四棱台的上、下底面边长分别为1，2，侧棱长为1，则其体积为（　　）
A． B． C． D．
6．如图，在三棱锥中，点D，E分别为棱PB，BC的中点.若点F在线段AC上，且满足平面PEF，则的值为（　　）
A．1 B．2 C． D．
7．已知是边长为2的正八边形内的一点，为其中心，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
8．2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86（单位：m），三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一．如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A，B，C三点，且A，B，C在同一水平面上的投影满足，．由C点测得B点的仰角为，与的差为100；由B点测得A点的仰角为，则A，C两点到水平面的高度差约为（）（　　）
A．346 B．373 C．446 D．473
9．若，，则下列结论正确的是（　　）
A． B．若，则或
C．若，则 D．若，则
10．如图，已知圆台形水杯（不计厚度）内盛有牛奶，杯口的直径为4，杯底的直径为2，杯高为4，当杯底水平放置时，牛奶面到杯底的距离为水杯高度的一半，则（　　）
A．该水杯的侧面积为12π
B．该水杯中牛奶的体积为
C．该水杯中牛奶的体积为3π
D．该水杯外接球的表面积为
11．在中，内角所对的边分别为，则下列说法正确的是（　　）
A．若，则可以是钝角三角形
B．若，，，则有两解
C．若，且，则为直角三角形
D．若平面内有一点满足：，且，则为等边三角形
12．在复数范围内，方程的解为　 　
13．甲烷分子是正四面体空间构型，如图，四个氢原子分别位于正四面体的顶点处，碳原子位于正四面体的中心处．若正四面体的棱长为1，则平面和平面位于正四面体内部的交线长度为　 　
14．在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，S为的面积，且，则的取值范围为　 　.
15．已知向量与的夹角，且，．
（1）在上的投影向量；
（2）求向量与夹角的余弦值．
16．如下图所示，多面体是由长方体沿相邻三个面的对角线截出的几何体，其中，，，为的中点，过，，的平面交于．
（1）求该多面体的体积；
（2）求证：平面；
（3）判断直线与直线的位置关系，并对你的结论加以证明．
17．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设．
（1）求A；
（2）若，求sinC．
18．的内角所对的边分别为所在平面内有一点满足，且．
（1）若，求面积的最大值；
（2）若，当取得最小值时，求的值．
19．如图所示，正方体的棱长为分别为的中点，点满足.
（1）若，证明：平面；
（2）连接，点在线段上，且满足平面.当时，求长度的取值范围.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算；共轭复数
【解析】【解答】解：设复数，则，
由，可得，即，
则，复数的虚部是.
故答案为：C.
【分析】设复数，求得共轭复数，再根据复数代数形式的乘除运算，结合复数的概念判断即可.
2．【答案】D
【知识点】斜二测画法直观图
【解析】【解答】解：在直观图中，，所以，
如图对应的原图形为，则，，
所以，故的周长为，
故答案为：D.
【分析】由题意，利用斜二测画法将直观图还原，作出原图形，求得各边的长度，再计算的周长即可.
3．【答案】B
【知识点】同角三角函数间的基本关系；解三角形；余弦定理
【解析】【解答】解：由余弦定理得，
.
故答案为：B.
【分析】利用余弦定理，结合同角三角函数关系求解即可.
4．【答案】A
【知识点】平面向量的线性运算；平面向量的基本定理
【解析】【解答】解：由点是线段的中点，得，
由，且四边形为平行四边形，得，
则
，故.
故答案为：A.
【分析】以为基向量，利用向量的线性运算法则表示，即可得求得的值.
5．【答案】C
【知识点】台体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：正四棱台的上、下底面边长分别为1，2，侧棱长为1，作斜截面，如图所示：
上下底面为正方形，则，，，，，
过作正四棱台的高，可知，所以，
在直角中，根据勾股定理可知，
则正四棱台的体积.
故答案为：C.
【分析】作斜截面，根据正四棱台的几何性质，求得上下底面的对角线长，以及面积，再利用勾股定理求棱台的高，最后再利用棱台体积公式求解即可.
6．【答案】C
【知识点】直线与平面平行的性质
【解析】【解答】解：连接CD，交PE于点G，连接FG，如图所示：
因为平面PEF，平面ADC，平面平面，所以，
因为点D，E分别为棱PB，BC的中点，所以G是的重心，所以.
故答案为：C.
【分析】连接CD，交PE于点G，连接FG，由平面PEF，利用线面平行性质可证，再根据点D，E分别为棱PB，BC的中点，可得G是的重心，利用重心性质求解即可.
7．【答案】A
【知识点】平面向量数量积定义与物理意义；平面向量的数量积运算；向量在几何中的应用
【解析】【解答】解：由正八边形的对称性可知，
，
易知正八边形的每个内角为，
设与的夹角为，则，
所以当最大时，取得最大值，当最小时，取得最小值，
如图，过点作垂直的延长线于点，过点作垂直的延长线于点，
可知当在线段上时，取得最大值，，
此时，
当在线段上时，取得最小值，此时，
此时，
故的取值范围为.
故答案为：A.
【分析】将转化为，设与的夹角为，根据数量积的几何意义，将问题转化为求解的最值，结合图形可得取得最值时的位置，最后结合平面几何知识求解即可.
8．【答案】B
【知识点】两角和与差的正弦公式；正弦定理的应用；解三角形的实际应用
【解析】【解答】解：过作，过作，如图所示：
则，
由题，易知为等腰直角三角形，所以，
所以，
因为，所以，
在中，由正弦定理得：，
因为，
所以
则．
故答案为：B．
【分析】过作，过作，易知为等腰直角三角形，求得，再在中，利用正弦定理求得，进而得到答案．
9．【答案】A,D
【知识点】复数相等的充要条件；复数代数形式的乘除运算；复数的模；共轭复数
【解析】【解答】解：A、设复数，
则，
，
因为，所以，故A正确；
B、设，满足，但且，故B错误；
C、设，则，，
满足，而，故C错误；
D、由，则是的共轭复数，则，故D正确.
故答案为：AD.
【分析】设复数，根据复数代数形式的乘法运算，结合复数模公式求解即可判断A；取特殊复数即可判断B；取特殊复数，结合复数的乘法运算求解即可判断C；根据复数的几何意义和共轭复数的定义即可判断D.
10．【答案】B,D
【知识点】球的表面积与体积公式及应用；球内接多面体；圆柱/圆锥/圆台的表面积及应用；台体的体积公式及应用
【解析】【解答】取水杯上、下底面圆心分别为，过作，垂足为，设该水杯外接球的球心为，如图所示：
A、由题意知水杯的下底面半径，上底面半径，
在中，斜边长，即母线长，
所以该水杯的侧面积为，故A错误.
BC、因为当杯底水平放置时，牛奶面到杯底的距离为水杯高度的一半，
所以由梯形的中位线性质知牛奶面的半径为，牛奶面到杯底的距离为，
所以该水杯中牛奶的体积为，故B正确，C错误.
D、因为，所以，即，
代入数据得，解得，
所以，
所以该水杯外接球的表面积为，故D正确.
故答案为：BD.
【分析】取水杯上、下底面圆心分别为，过作，垂足为，设该水杯外接球的球心为，根据圆台的侧面积，体积公式求解即可判断ABC；设出该水杯外接球的球心，列方程可求出外接球的半径，再求球的表面积即可判断D.
11．【答案】B,D
【知识点】向量在几何中的应用；平面向量的综合题；正弦定理的应用；三角形的形状判断
【解析】【解答】解：A、，，，
，，
又，即，
，即为锐角三角形，故A错误；
B、，故有两解，故B正确；
C、分别是方向上的单位向量，以为邻边的平行四边形是菱形，在的角平分线上，
又，的角平分线垂直于，，
，，，是等边三角形，故C错误；
D、，，两边平方整理得：.
，设，代入上式得，
，，，同理可得.
，是的外心，且，，同理可得，故为等边三角形，故D正确.
故答案为：BD.
【分析】根据三角形内角和定理，结合两角和的正切公式化简判断三角形的形状即可判断A；由，可得有两解，即可判断B；根据向量的性质，结合向量的线性运算化简判断三角形的形状即可判断CD.
12．【答案】
【知识点】方程的解与虚数根
【解析】【解答】解：由，可得，
则，即，即.
故答案为：.
【分析】在复数范围内，利用配方法解方程求解即可.
13．【答案】
【知识点】棱锥的结构特征
【解析】【解答】解：分别取，的中点，，连结，如图所示：
则由正四面体的性质，过正四面体的中心，所以平面即平面，平面即平面，
又因为平面，平面，
所以平面和平面位于正四面体内部的交线为线段，
又因为正四面体的棱长为1，所以由勾股定理可得，
在等腰三角形中，．
故答案为：.
【分析】分别取，的中点，，连结，根据正四面体的性质可得EF即为平面和平面的交线，利用勾股定理求，再在等腰三角形中，求线段EF的长度即可.
14．【答案】
【知识点】函数单调性的性质；正弦定理；余弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：在中，由余弦定理得，且的面积，
由，得，化简得，
又因为，，联立得，
解得或（舍去），
所以，
因为为锐角三角形，
所以，，所以，
所以，所以，所以，
设，其中，所以，
由对勾函数单调性知在上单调递减，在上单调递增，
当时，；当时，；当时，，
所以，即的取值范围是.
故答案为：.
【分析】利用已知条件和余弦定理以及三角形的面积公式，同角三角函数基本关系式，得出满足要求的角A的正弦值，利用正弦定理和三角形内角和定理以及诱导公式、两角和的正弦公式，从而得出，再利用锐角三角形中角C的取值范围得出的取值范围，进而得出的取值范围，设，其中，则，再由对勾函数单调性得出函数在上和在上的单调性，从而得出函数在上的值域，进而得出的取值范围.
15．【答案】（1）解：在上的投影向量为；
（2）解：由，
，即，
则，
即向量与夹角的余弦值为．
【知识点】平面向量的数量积运算；数量积表示两个向量的夹角；平面向量的投影向量
【解析】【分析】（1）直接利用投影向量的定义求解即可；
（2）利用向量的数量积运算，结合向量夹角的计算公式求解即可.
（1）在上的投影向量为；
（2）由，
，即，
则，
即向量与夹角的余弦值为．
16．【答案】（1）解：长方体的体积为，
被截去的三棱锥的体积为，
则多面体的体积为；
（2）证明：在长方体中矩形中，∥，，所以四边形为平行四边形，所以，
又因为平面，平面，所以平面；
（3）直线直线，
证明：由（2）有平面，
因为平面，平面平面，所以.
【知识点】组合几何体的面积、表面积、体积问题；空间中直线与直线之间的位置关系；直线与平面平行的判定
【解析】【分析】（1）根据长方体和棱锥体积公式求解，再作差即可得多面体的体积；
（2）先推出四边形为平行四边形，，再根据线面平行的判定定理证明即可；
（3）由平面，结合平面平面，求证即可.
（1）长方体的体积为，
被截去的三棱锥的体积为，
所以多面体的体积为．
（2）证明：在长方体中矩形中，∥，，
所以四边形为平行四边形．
所以，
又平面，平面，
所以平面．
（3）直线直线
证明：由（2）有平面，
又平面，平面平面，
所以.
17．【答案】解：（1）由，
可得，
则，
由正弦定理可得，则，
因为，所以；
（2）由（1）知，，
若，由正弦定理可得，
整理得，即，
因为，所以，即，
则．
【知识点】解三角形；正弦定理的应用
【解析】【分析】（1）将原式展开，利用正弦定理，结合余弦定理求解即可；
（2）由（1）知，， 若， 利用正弦定理边化角，结合三角形内角和可得，再利用辅助角公式可得，最后利用两角和差正余弦公式求解即可．
18．【答案】（1）解：设，因为，
所以，
所以，
因为，所以，
所以，当且仅当，即时等号成立，
则，
所以面积的最大值为；
（2）解：因为，所以，
在中，利用余弦定理得，，
即，
同理，在中利用余弦定理得，，
所以
，
因为，所以当且仅当，即时等号成立，
此时取最小值，即取最小值，即取得最小值，
此时，．
【知识点】基本不等式；平面向量的数量积运算；解三角形；余弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）设，以为基向量，利用平面向量的线性运算可得，结合平面向量的数量积运算律以及基本不等式求得，再根据三角形的面积公式求解即可；
（2）在中，利用余弦定理可得，在中，利用余弦定理可得，两式作商可得，再利用基本不等式求最值即可.
（1）方法一：设，因为，
所以，
所以，
因为，所以，
所以，当且仅当，即时等号成立，
则，
所以面积的最大值为．
方法二：因为，
所以，
因为，所以，
所以，
即，
所以，
所以，
因为，
所以
所以，
因为，
所以，所以，
当且仅当即时，等号成立，
因为，
所以面积的最大值为．
（2）因为，所以，
在中，利用余弦定理得，，
即，
同理，在中利用余弦定理得，
，
所以
，
因为，
所以当且仅当，即时等号成立，
此时取最小值，即取最小值，即取得最小值，
此时，．
19．【答案】（1）证明：连接，如图所示：
当时，，
因为为的中点，所以为的中点，所以，
又因为且，所以四边形为平行四边形，所以，故，
又因为平面，平面，所以平面；
（2）解：当时，为的中点，连接交于点，连接，
连接交于点，取的中点，连接、，如图所示：
因为分别为的中点，所以，
则为的中点，所以，
又且，所以为平行四边形，
所以，故，
又平面，平面平面，平面，
所以，所以和重合，
又因为，所以，
当时与点重合，在上取点使得，连接，如图所示：
由前述说明可知为的中点，则，
又，所以，又，
所以四边形为平行四边形，所以，
又平面，平面，所以平面，
所以，
综上可得当时，求长度的取值范围为.
【知识点】棱柱的结构特征；直线与平面平行的判定；直线与平面平行的性质
【解析】【分析】（1）连接，易知为的中点，得，再由正方体的性质得到，证明，结合线面平行的判定定理证明即可；
（2）求出和时的长度，即可得到的取值范围.
（1）连接，
因为为的中点，当时，
所以为的中点，所以，
又且，所以四边形为平行四边形，
所以，故，
又平面，平面，所以平面；
（2）当时为的中点，连接交于点，连接，
连接交于点，取的中点，连接、，
因为分别为的中点，所以，
则为的中点，所以，
又且，所以为平行四边形，
所以，故，
又平面，平面平面，平面，
所以，所以和重合，
又，此时，
当时与点重合，在上取点使得，连接，
由前述说明可知为的中点，则，
又，所以，又，
所以四边形为平行四边形，所以，
又平面，平面，所以平面，
所以，
综上可得当时，求长度的取值范围为.
1 / 1广东广州市玉岩中学2025-2026学年高一下学期期中教学质量监测数学试卷
1．设复数的共轭复数为，且满足，i为虚数单位，则复数的虚部是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算；共轭复数
【解析】【解答】解：设复数，则，
由，可得，即，
则，复数的虚部是.
故答案为：C.
【分析】设复数，求得共轭复数，再根据复数代数形式的乘除运算，结合复数的概念判断即可.
2．如图，是一个平面图形的直观图，其中，，则这个平面图形的周长是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】斜二测画法直观图
【解析】【解答】解：在直观图中，，所以，
如图对应的原图形为，则，，
所以，故的周长为，
故答案为：D.
【分析】由题意，利用斜二测画法将直观图还原，作出原图形，求得各边的长度，再计算的周长即可.
3．在中，内角所对的边分别为，已知，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】同角三角函数间的基本关系；解三角形；余弦定理
【解析】【解答】解：由余弦定理得，
.
故答案为：B.
【分析】利用余弦定理，结合同角三角函数关系求解即可.
4．在平行四边形中，点是边上的点，，点是线段的中点，若，则（　　）
A． B．1 C． D．
【答案】A
【知识点】平面向量的线性运算；平面向量的基本定理
【解析】【解答】解：由点是线段的中点，得，
由，且四边形为平行四边形，得，
则
，故.
故答案为：A.
【分析】以为基向量，利用向量的线性运算法则表示，即可得求得的值.
5．已知正四棱台的上、下底面边长分别为1，2，侧棱长为1，则其体积为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】台体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：正四棱台的上、下底面边长分别为1，2，侧棱长为1，作斜截面，如图所示：
上下底面为正方形，则，，，，，
过作正四棱台的高，可知，所以，
在直角中，根据勾股定理可知，
则正四棱台的体积.
故答案为：C.
【分析】作斜截面，根据正四棱台的几何性质，求得上下底面的对角线长，以及面积，再利用勾股定理求棱台的高，最后再利用棱台体积公式求解即可.
6．如图，在三棱锥中，点D，E分别为棱PB，BC的中点.若点F在线段AC上，且满足平面PEF，则的值为（　　）
A．1 B．2 C． D．
【答案】C
【知识点】直线与平面平行的性质
【解析】【解答】解：连接CD，交PE于点G，连接FG，如图所示：
因为平面PEF，平面ADC，平面平面，所以，
因为点D，E分别为棱PB，BC的中点，所以G是的重心，所以.
故答案为：C.
【分析】连接CD，交PE于点G，连接FG，由平面PEF，利用线面平行性质可证，再根据点D，E分别为棱PB，BC的中点，可得G是的重心，利用重心性质求解即可.
7．已知是边长为2的正八边形内的一点，为其中心，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】平面向量数量积定义与物理意义；平面向量的数量积运算；向量在几何中的应用
【解析】【解答】解：由正八边形的对称性可知，
，
易知正八边形的每个内角为，
设与的夹角为，则，
所以当最大时，取得最大值，当最小时，取得最小值，
如图，过点作垂直的延长线于点，过点作垂直的延长线于点，
可知当在线段上时，取得最大值，，
此时，
当在线段上时，取得最小值，此时，
此时，
故的取值范围为.
故答案为：A.
【分析】将转化为，设与的夹角为，根据数量积的几何意义，将问题转化为求解的最值，结合图形可得取得最值时的位置，最后结合平面几何知识求解即可.
8．2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86（单位：m），三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一．如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A，B，C三点，且A，B，C在同一水平面上的投影满足，．由C点测得B点的仰角为，与的差为100；由B点测得A点的仰角为，则A，C两点到水平面的高度差约为（）（　　）
A．346 B．373 C．446 D．473
【答案】B
【知识点】两角和与差的正弦公式；正弦定理的应用；解三角形的实际应用
【解析】【解答】解：过作，过作，如图所示：
则，
由题，易知为等腰直角三角形，所以，
所以，
因为，所以，
在中，由正弦定理得：，
因为，
所以
则．
故答案为：B．
【分析】过作，过作，易知为等腰直角三角形，求得，再在中，利用正弦定理求得，进而得到答案．
9．若，，则下列结论正确的是（　　）
A． B．若，则或
C．若，则 D．若，则
【答案】A,D
【知识点】复数相等的充要条件；复数代数形式的乘除运算；复数的模；共轭复数
【解析】【解答】解：A、设复数，
则，
，
因为，所以，故A正确；
B、设，满足，但且，故B错误；
C、设，则，，
满足，而，故C错误；
D、由，则是的共轭复数，则，故D正确.
故答案为：AD.
【分析】设复数，根据复数代数形式的乘法运算，结合复数模公式求解即可判断A；取特殊复数即可判断B；取特殊复数，结合复数的乘法运算求解即可判断C；根据复数的几何意义和共轭复数的定义即可判断D.
10．如图，已知圆台形水杯（不计厚度）内盛有牛奶，杯口的直径为4，杯底的直径为2，杯高为4，当杯底水平放置时，牛奶面到杯底的距离为水杯高度的一半，则（　　）
A．该水杯的侧面积为12π
B．该水杯中牛奶的体积为
C．该水杯中牛奶的体积为3π
D．该水杯外接球的表面积为
【答案】B,D
【知识点】球的表面积与体积公式及应用；球内接多面体；圆柱/圆锥/圆台的表面积及应用；台体的体积公式及应用
【解析】【解答】取水杯上、下底面圆心分别为，过作，垂足为，设该水杯外接球的球心为，如图所示：
A、由题意知水杯的下底面半径，上底面半径，
在中，斜边长，即母线长，
所以该水杯的侧面积为，故A错误.
BC、因为当杯底水平放置时，牛奶面到杯底的距离为水杯高度的一半，
所以由梯形的中位线性质知牛奶面的半径为，牛奶面到杯底的距离为，
所以该水杯中牛奶的体积为，故B正确，C错误.
D、因为，所以，即，
代入数据得，解得，
所以，
所以该水杯外接球的表面积为，故D正确.
故答案为：BD.
【分析】取水杯上、下底面圆心分别为，过作，垂足为，设该水杯外接球的球心为，根据圆台的侧面积，体积公式求解即可判断ABC；设出该水杯外接球的球心，列方程可求出外接球的半径，再求球的表面积即可判断D.
11．在中，内角所对的边分别为，则下列说法正确的是（　　）
A．若，则可以是钝角三角形
B．若，，，则有两解
C．若，且，则为直角三角形
D．若平面内有一点满足：，且，则为等边三角形
【答案】B,D
【知识点】向量在几何中的应用；平面向量的综合题；正弦定理的应用；三角形的形状判断
【解析】【解答】解：A、，，，
，，
又，即，
，即为锐角三角形，故A错误；
B、，故有两解，故B正确；
C、分别是方向上的单位向量，以为邻边的平行四边形是菱形，在的角平分线上，
又，的角平分线垂直于，，
，，，是等边三角形，故C错误；
D、，，两边平方整理得：.
，设，代入上式得，
，，，同理可得.
，是的外心，且，，同理可得，故为等边三角形，故D正确.
故答案为：BD.
【分析】根据三角形内角和定理，结合两角和的正切公式化简判断三角形的形状即可判断A；由，可得有两解，即可判断B；根据向量的性质，结合向量的线性运算化简判断三角形的形状即可判断CD.
12．在复数范围内，方程的解为　 　
【答案】
【知识点】方程的解与虚数根
【解析】【解答】解：由，可得，
则，即，即.
故答案为：.
【分析】在复数范围内，利用配方法解方程求解即可.
13．甲烷分子是正四面体空间构型，如图，四个氢原子分别位于正四面体的顶点处，碳原子位于正四面体的中心处．若正四面体的棱长为1，则平面和平面位于正四面体内部的交线长度为　 　
【答案】
【知识点】棱锥的结构特征
【解析】【解答】解：分别取，的中点，，连结，如图所示：
则由正四面体的性质，过正四面体的中心，所以平面即平面，平面即平面，
又因为平面，平面，
所以平面和平面位于正四面体内部的交线为线段，
又因为正四面体的棱长为1，所以由勾股定理可得，
在等腰三角形中，．
故答案为：.
【分析】分别取，的中点，，连结，根据正四面体的性质可得EF即为平面和平面的交线，利用勾股定理求，再在等腰三角形中，求线段EF的长度即可.
14．在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，S为的面积，且，则的取值范围为　 　.
【答案】
【知识点】函数单调性的性质；正弦定理；余弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：在中，由余弦定理得，且的面积，
由，得，化简得，
又因为，，联立得，
解得或（舍去），
所以，
因为为锐角三角形，
所以，，所以，
所以，所以，所以，
设，其中，所以，
由对勾函数单调性知在上单调递减，在上单调递增，
当时，；当时，；当时，，
所以，即的取值范围是.
故答案为：.
【分析】利用已知条件和余弦定理以及三角形的面积公式，同角三角函数基本关系式，得出满足要求的角A的正弦值，利用正弦定理和三角形内角和定理以及诱导公式、两角和的正弦公式，从而得出，再利用锐角三角形中角C的取值范围得出的取值范围，进而得出的取值范围，设，其中，则，再由对勾函数单调性得出函数在上和在上的单调性，从而得出函数在上的值域，进而得出的取值范围.
15．已知向量与的夹角，且，．
（1）在上的投影向量；
（2）求向量与夹角的余弦值．
【答案】（1）解：在上的投影向量为；
（2）解：由，
，即，
则，
即向量与夹角的余弦值为．
【知识点】平面向量的数量积运算；数量积表示两个向量的夹角；平面向量的投影向量
【解析】【分析】（1）直接利用投影向量的定义求解即可；
（2）利用向量的数量积运算，结合向量夹角的计算公式求解即可.
（1）在上的投影向量为；
（2）由，
，即，
则，
即向量与夹角的余弦值为．
16．如下图所示，多面体是由长方体沿相邻三个面的对角线截出的几何体，其中，，，为的中点，过，，的平面交于．
（1）求该多面体的体积；
（2）求证：平面；
（3）判断直线与直线的位置关系，并对你的结论加以证明．
【答案】（1）解：长方体的体积为，
被截去的三棱锥的体积为，
则多面体的体积为；
（2）证明：在长方体中矩形中，∥，，所以四边形为平行四边形，所以，
又因为平面，平面，所以平面；
（3）直线直线，
证明：由（2）有平面，
因为平面，平面平面，所以.
【知识点】组合几何体的面积、表面积、体积问题；空间中直线与直线之间的位置关系；直线与平面平行的判定
【解析】【分析】（1）根据长方体和棱锥体积公式求解，再作差即可得多面体的体积；
（2）先推出四边形为平行四边形，，再根据线面平行的判定定理证明即可；
（3）由平面，结合平面平面，求证即可.
（1）长方体的体积为，
被截去的三棱锥的体积为，
所以多面体的体积为．
（2）证明：在长方体中矩形中，∥，，
所以四边形为平行四边形．
所以，
又平面，平面，
所以平面．
（3）直线直线
证明：由（2）有平面，
又平面，平面平面，
所以.
17．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设．
（1）求A；
（2）若，求sinC．
【答案】解：（1）由，
可得，
则，
由正弦定理可得，则，
因为，所以；
（2）由（1）知，，
若，由正弦定理可得，
整理得，即，
因为，所以，即，
则．
【知识点】解三角形；正弦定理的应用
【解析】【分析】（1）将原式展开，利用正弦定理，结合余弦定理求解即可；
（2）由（1）知，， 若， 利用正弦定理边化角，结合三角形内角和可得，再利用辅助角公式可得，最后利用两角和差正余弦公式求解即可．
18．的内角所对的边分别为所在平面内有一点满足，且．
（1）若，求面积的最大值；
（2）若，当取得最小值时，求的值．
【答案】（1）解：设，因为，
所以，
所以，
因为，所以，
所以，当且仅当，即时等号成立，
则，
所以面积的最大值为；
（2）解：因为，所以，
在中，利用余弦定理得，，
即，
同理，在中利用余弦定理得，，
所以
，
因为，所以当且仅当，即时等号成立，
此时取最小值，即取最小值，即取得最小值，
此时，．
【知识点】基本不等式；平面向量的数量积运算；解三角形；余弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）设，以为基向量，利用平面向量的线性运算可得，结合平面向量的数量积运算律以及基本不等式求得，再根据三角形的面积公式求解即可；
（2）在中，利用余弦定理可得，在中，利用余弦定理可得，两式作商可得，再利用基本不等式求最值即可.
（1）方法一：设，因为，
所以，
所以，
因为，所以，
所以，当且仅当，即时等号成立，
则，
所以面积的最大值为．
方法二：因为，
所以，
因为，所以，
所以，
即，
所以，
所以，
因为，
所以
所以，
因为，
所以，所以，
当且仅当即时，等号成立，
因为，
所以面积的最大值为．
（2）因为，所以，
在中，利用余弦定理得，，
即，
同理，在中利用余弦定理得，
，
所以
，
因为，
所以当且仅当，即时等号成立，
此时取最小值，即取最小值，即取得最小值，
此时，．
19．如图所示，正方体的棱长为分别为的中点，点满足.
（1）若，证明：平面；
（2）连接，点在线段上，且满足平面.当时，求长度的取值范围.
【答案】（1）证明：连接，如图所示：
当时，，
因为为的中点，所以为的中点，所以，
又因为且，所以四边形为平行四边形，所以，故，
又因为平面，平面，所以平面；
（2）解：当时，为的中点，连接交于点，连接，
连接交于点，取的中点，连接、，如图所示：
因为分别为的中点，所以，
则为的中点，所以，
又且，所以为平行四边形，
所以，故，
又平面，平面平面，平面，
所以，所以和重合，
又因为，所以，
当时与点重合，在上取点使得，连接，如图所示：
由前述说明可知为的中点，则，
又，所以，又，
所以四边形为平行四边形，所以，
又平面，平面，所以平面，
所以，
综上可得当时，求长度的取值范围为.
【知识点】棱柱的结构特征；直线与平面平行的判定；直线与平面平行的性质
【解析】【分析】（1）连接，易知为的中点，得，再由正方体的性质得到，证明，结合线面平行的判定定理证明即可；
（2）求出和时的长度，即可得到的取值范围.
（1）连接，
因为为的中点，当时，
所以为的中点，所以，
又且，所以四边形为平行四边形，
所以，故，
又平面，平面，所以平面；
（2）当时为的中点，连接交于点，连接，
连接交于点，取的中点，连接、，
因为分别为的中点，所以，
则为的中点，所以，
又且，所以为平行四边形，
所以，故，
又平面，平面平面，平面，
所以，所以和重合，
又，此时，
当时与点重合，在上取点使得，连接，
由前述说明可知为的中点，则，
又，所以，又，
所以四边形为平行四边形，所以，
又平面，平面，所以平面，
所以，
综上可得当时，求长度的取值范围为.
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