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广东惠州市华罗庚中学2025-2026学年第二学期期中考试高一数学试题
1．已知复数满足，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：由，得．
故答案为：D.
【分析】利用复数的乘除法运算法则得出复数.
2．已知，，若，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
【解析】【解答】解：因为，所以.
故答案为：D.
【分析】利用已知条件结合向量共线的坐标表示，从而得出x的值，再利用向量的模的坐标表示，从而得出的值.
3．设是两条不同的直线，是三个不同的平面 则下列选项正确的为（　　）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
【答案】B
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；直线与平面平行的判定；平面与平面平行的判定
【解析】【解答】解：对于A，若，则或，故A错误；
对于B，根据平面平行的传递性可知，若，则，故B正确；
对于C，由，当相交时，可得，当时，可能相交，故C错误；
对于D，若，则或与异面，故D错误.
故答案为：B.
【分析】利用已知条件结合空间中直线与直线的位置关系判断方法、直线与平面平行的判定定理、面面平行的判定定理，从而逐项判断找出正确的选项.
4．一圆台的上底面半径为2，下底面半径为3，母线长为8，则该圆台的体积为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】台体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：设圆台的高为，则，
所以，圆台的体积为.
故答案为：B.
【分析】利用已知条件和勾股定理得出圆台的高，再利用圆台的体积公式，从而得出该圆台的体积.
5．已知平面，两条不重合的直线，则“存在直线，使”是“”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；空间中直线与直线之间的位置关系；直线与平面平行的判定
【解析】【解答】解：如果，此时也能找到且，
但并不平行于，而是在内，
所以充分性不成立；
根据线面平行的性质定理：
如果直线平行于平面，那么过作一个平面与相交，交线就满足，且，
所以必要性成立，
则“存在直线，使”是“”的必要不充分条件.
故答案为：B.
【分析】利用已知条件结合线线平行的判断方法、线面平行的判定定理以及充分条件、必要条件的判断方法，从而找出正确的选项.
6．已知向量与，，向量在向量方向上的投影向量是，则（　　）
A．4 B．16 C．1 D．3
【答案】A
【知识点】向量的模；平面向量的数量积运算；平面向量的投影向量
【解析】【解答】解：由题意，设，
则，
由，
得.
故答案为：A.
【分析】利用已知条件和数量积求投影向量的公式，从而得出的值，再利用数量积求向量的模的公式和数量积的运算律，从而得出的值.
7．如图，，两点都在河的对岸（不可到达）.某测量队在，处测得米，，，则（　　）
A．100米 B．200米 C．米 D．米
【答案】C
【知识点】正弦定理；解三角形的实际应用
【解析】【解答】解：由，得是等腰直角三角形，斜边米，
在中，，由正弦定理得，
则米，，因此是等边三角形，米.
故答案为：C.
【分析】利用正弦定理求解即可.
8．在中，角所对的边分别为，若，，则当角取得最大值时，的周长为（　　）
A．6 B． C． D．
【答案】B
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；余弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：由题意，，
根据余弦定理，可得，
化简得，则，
所以，
根据基本不等式，可得，
所以，当且仅当时，即当时，等号成立，
因为，由余弦函数的性质，可知单调递减，
所以，则角的最大值为，且，
由余弦定理，得，
所以，又因为，所以，则，
所以的周长为.
故答案为：B.
【分析】根据余弦定理将角化边，从而可得，由余弦定理和基本不等式得出角的最大值，再根据已知条件和余弦定理，从而得出三角形的三边长可得周长.
9．已知复数，其中，是虚数单位，则（　　）
A．当时，为纯虚数 B．当时，
C．当时， D．当时，
【答案】B,C
【知识点】复数的基本概念；复数的模；共轭复数
【解析】【解答】解：对于A：当时，，故A错误；
对于B：当时，，故B正确；
对于C：当时，，此时，故C正确；
对于D：当时，，所以，故D错误.
故答案为：BC.
【分析】利用m的值和纯虚数的定义、实数的定义，则判断出选项A和选项B；利用m的值和共轭复数的定义，则判断出选项C；利用m的值和复数求模公式，则判断出选项D，从而找出正确的选项.
10．已知向量，，，，则（　　）
A．若，则
B．若，则
C．向量在方向上的投影向量的坐标为
D．若与的夹角为锐角，则的取值范围是
【答案】A,B,D
【知识点】平面向量的坐标运算；平面向量共线（平行）的坐标表示；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量的投影向量；平面向量垂直的坐标表示
【解析】【解答】解：对于A，由题意，可得，
若，则，得，故A正确；
对于B，由题意，可得，
若，则，解得，所以，故B正确；
对于C，由题意，可得，，
则向量在方向上的投影向量的坐标为，故C错误；
对于D， 由题意，得，，
若向量与向量的夹角为锐角，
则，解得，
当向量与向量共线时，
由，得，
此时，，，
因为向量与向量的夹角为，不合题意，
所以的取值范围是，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】根据向量垂直的坐标表示得出实数的值，则判断出选项A；利用向量的坐标运算和已知条件，从而得出的值，进而得出的值，则判断出选项B；利用数量积求投影向量坐标的公式，则判断出选项C；利用已知条件和数量积求向量夹角公式，从而得出实数的取值范围，则判断出选项D，从而找出正确的选项.
11．若正四面体的表面积为，则（　　）
A．该正四面体的棱长为1
B．该正四面体的高为
C．该正四面体的体积为
D．该正四面体的外接球表面积为
【答案】A,C,D
【知识点】棱锥的结构特征；棱柱/棱锥/棱台的侧面积、表面积及应用；球的表面积与体积公式及应用；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：设该正四面体的棱长为，则其表面积为，所以，故A正确；
作平面，垂足为，则为的重心，连接延长交于中点，
则，
所以，该正四面体的高为，故B错误；
由选项A和选项B的分析可知，该正四面体的体积为，
故C正确；
将该四面体放入正方体中，
则正方体的棱长为，且四面体的外接球即为正方体的外接球，其半径为，
所以，该正四面体的外接球的表面积为，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】先根据正四面体的表面积公式，从而计算出正四面体的棱长，则判断出选项A；利用三角形重心的性质和中点的性质以及勾股定理，从而得出正四面体的高，则判断出选项B；利用正四面体的体积公式，则判断出选项C；将四面体放入正方体中，再将正四面体的外接球转化为正方体的外接球，求出正四面体的外接球半径结合球的表面积公式可判断出选项D，从而找出正确的选项.
12．在平行四边形中，点在线段AC上，且.若，其中，，则　 　
【答案】
【知识点】平面向量的基本定理
【解析】【解答】解：由，
因为，所以，
则.
故答案为：.
【分析】利用三角形法则和向量共线定理，再利用平面向量基本定理，从而得出的值，进而得出的值.
13．在中，已知，角　 　.
【答案】
【知识点】余弦定理
【解析】【解答】解：在中，，
由余弦定理，得，
因为，所以.
故答案为：.
【分析】利用已知条件和余弦定理以及三角形中角A的取值范围，从而得出角A的值.
14．正六棱台的上、下底面边长分别是2 cm和6 cm，侧棱长是5 cm，则它的表面积为　 　 cm2.
【答案】
【知识点】棱柱/棱锥/棱台的侧面积、表面积及应用
【解析】【解答】解：如图在正六棱台中，
由题意，得，
所以，侧面的等腰梯形的高为正六棱台斜高，且为，
则梯形的面积为，
所以，正六棱台的侧面积为，
由图可知，该正六棱台的上底面为正六边形，则为6个边长为2的等边三角形组成，
所以，该正六棱台的上底面积为，
同理可得，下底面积为 ，
所以该正六棱台的表面积是．
故答案为：.
【分析】先出等腰梯形的高即正六棱台斜高，从而得出正六棱台的侧面积，再根据正六边形的面积公式得出该正六棱台的上底面积和下底面积，最后由正六棱台的表面积公式，从而得出该正六棱台的表面积.
15．已知向量，与的夹角为
（1）求；
（2）求.
【答案】（1）解：由，
得 ，
则，
又因为与的夹角，
由平面向量数量积的定义，得：.

（2）解：由（1）知，，
所以
，
因此.
【知识点】平面向量数量积定义与物理意义；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量的数量积运算
【解析】【分析】（1）先根据向量的模的坐标表示得出的值，再利用得出的值，由数量积的定义得出的值.
（2）由（1）知，，利用数量积求向量的模的公式和数量积的运算律，从而得出的值.
（1）由，得 ，
又因为与的夹角，由平面向量数量积的定义：.
（2）由（1）知，
所以 ，
因此.
16．如图，为四边形的斜二测直观图，其中.
（1）求平面四边形的面积及周长；
（2）若四边形以为旋转轴，旋转一周，求旋转形成的几何体的体积及表面积.
【答案】（1）解：依题意，，
所以，
画出原图如下图所示：
所以，平面四边形的面积为，
又因为，
所以，平面四边形的周长为.
（2）解：将四边形以为旋转轴，旋转一周，
所得几何体为圆柱和圆锥的组合体，截面如下图：
所以，旋转形成的几何体的体积为，
旋转形成的几何体的表面积为.
【知识点】组合几何体的面积、表面积、体积问题；斜二测画法直观图
【解析】【分析】（1）利用斜二测画法画出原图求出各边长，从而可得出面积与周长.
（2）将四边形以为旋转轴，旋转一周，所得几何体为圆柱和圆锥的组合体，再利用圆柱的体积公式和圆锥的体积公式，从而得出旋转形成的几何体的表面积和体积.
（1）依题意，，
所以，画出原图如下图所示：
所以面积为，
，所以周长为.
（2）四边形以为旋转轴，旋转一周，
所得几何体为圆柱和圆锥的组合体，截面如下图：
所以体积为.
表面积为.
17．已知分别为三个内角的对边，且
（1）求；
（2）若，且△ABC的面积为，求.
【答案】（1）解：，由正弦定理可得，
展开右侧三角式得，
消去同类项后化简为，整理得，
由，得，解得；
（2）解：由三角形面积公式，代入，得，
由余弦定理，代入、，得，
联立，解得.
【知识点】两角和与差的正弦公式；解三角形；余弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）利用正弦定理，结合三角形内角和定理以及两角和的正弦公式、辅助角公式化简求解即可；
（2）利用三角形面积公式、以及余弦定理列方程组，求解即可.
（1）由，
结合正弦定理可得，
展开右侧三角式得，
消去同类项后化简为，
整理得，
由，得，解得.
（2）由三角形面积公式，
代入，得，
由余弦定理，
代入、，得，
联立，解得.
18．在直角梯形ABCD中，已知，，，，，动点E、F分别在线段BC和DC上，AE和BD交于点M，且，，．
（1）当时，求的值；
（2）当时，求的值；
（3）求的取值范围．
【答案】（1）解：当时，，
所以，
则，
，
又因为，
所以
（2）解：当时，，
所以，
则，
，
因为三点共线，
则存在，使得，
又因为三点共线，所以，解得，
所以，
则.
（3）解：因为，
，
所以，
，
则，
所以
，
由题意，知，则
当时，取到最小值，
当时，；
当时，，
则当时，取到最大值，
所以的取值范围是.
【知识点】函数的最大（小）值；向量的模；平面向量的基本定理；三点共线
【解析】【分析】（1）利用的值和三角形法则、向量共线定理，则根据平面向量基本定理得出，，再利用数量积的运算律和数量积的定义，从而得出的值.
（2）利用的值和三角形法则、向量共线定理，则根据平面向量基本定理和三点共线，从而得出的值.
（3）利用三角形法则、向量共线定理和平面向量基本定理，则，两边平方结合数量积运算律，从而得出，再利用和二次函数求值域的方法，从而得出的取值范围．
（1）当时，，所以，
所以，
，
又，
所以
；
（2）当时，，所以，
所以，
，
因为三点共线，所以存在，使，
又因为三点共线，所以，解得，
所以，所以；
（3）因为，
，
所以，
，
所以，
，
，
由题意知，
所以当时，取到最小值，
当时，，
当时，，
所以当时，取到最大值，
所以的取值范围是.
19．如图，正边长为分别是边的中点，现沿着将折起，得到四棱锥，点为中点．
（1）求证：平面
（2）若，求四棱锥的表面积．
（3）过的平面分别与棱相交于点，记与的面积分别为、，若，求的值．
【答案】（1）证明：取中点，连，
因为点为中点，
，且，
又因为分别是边的中点，
，且，
四边形是平行四边形，
，
又因为平面平面，
平面.
（2）解：，，
，
根据对称性得出，又因为，
所以，所以，
所以，
又因为，
四棱锥的面积.
（3）解：由（1）知平面，
又因为平面平面，平面，
，，
又，，.
【知识点】棱柱/棱锥/棱台的侧面积、表面积及应用；直线与平面平行的判定；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）取中点，连接，利用中位线性质证出四边形是平行四边形，则得到，再结合线面平行的判定定理证出平面.
（2）利用勾股定理逆定理证出和，再结合图形的对称性和三角形面积公式以及四棱锥的表面积公式，从而得出四棱锥的表面积．
（3）由题意得出，，再可将三角形面积比转换为线段比的平方，即可得出的值．
（1）取中点，连，
因为点为中点，
，且，
同时因为分别是边的中点，
，且，
四边形是平行四边形，
，
又平面平面，
平面.
（2），
，
，
根据对称性有，而，
所以，
所以，
所以，
而，
四棱锥的面积.
（3）由（1）知平面，
平面平面，平面，
，，
又，，.
1 / 1广东惠州市华罗庚中学2025-2026学年第二学期期中考试高一数学试题
1．已知复数满足，则（　　）
A． B． C． D．
2．已知，，若，则（　　）
A． B． C． D．
3．设是两条不同的直线，是三个不同的平面 则下列选项正确的为（　　）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
4．一圆台的上底面半径为2，下底面半径为3，母线长为8，则该圆台的体积为（　　）
A． B． C． D．
5．已知平面，两条不重合的直线，则“存在直线，使”是“”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6．已知向量与，，向量在向量方向上的投影向量是，则（　　）
A．4 B．16 C．1 D．3
7．如图，，两点都在河的对岸（不可到达）.某测量队在，处测得米，，，则（　　）
A．100米 B．200米 C．米 D．米
8．在中，角所对的边分别为，若，，则当角取得最大值时，的周长为（　　）
A．6 B． C． D．
9．已知复数，其中，是虚数单位，则（　　）
A．当时，为纯虚数 B．当时，
C．当时， D．当时，
10．已知向量，，，，则（　　）
A．若，则
B．若，则
C．向量在方向上的投影向量的坐标为
D．若与的夹角为锐角，则的取值范围是
11．若正四面体的表面积为，则（　　）
A．该正四面体的棱长为1
B．该正四面体的高为
C．该正四面体的体积为
D．该正四面体的外接球表面积为
12．在平行四边形中，点在线段AC上，且.若，其中，，则　 　
13．在中，已知，角　 　.
14．正六棱台的上、下底面边长分别是2 cm和6 cm，侧棱长是5 cm，则它的表面积为　 　 cm2.
15．已知向量，与的夹角为
（1）求；
（2）求.
16．如图，为四边形的斜二测直观图，其中.
（1）求平面四边形的面积及周长；
（2）若四边形以为旋转轴，旋转一周，求旋转形成的几何体的体积及表面积.
17．已知分别为三个内角的对边，且
（1）求；
（2）若，且△ABC的面积为，求.
18．在直角梯形ABCD中，已知，，，，，动点E、F分别在线段BC和DC上，AE和BD交于点M，且，，．
（1）当时，求的值；
（2）当时，求的值；
（3）求的取值范围．
19．如图，正边长为分别是边的中点，现沿着将折起，得到四棱锥，点为中点．
（1）求证：平面
（2）若，求四棱锥的表面积．
（3）过的平面分别与棱相交于点，记与的面积分别为、，若，求的值．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：由，得．
故答案为：D.
【分析】利用复数的乘除法运算法则得出复数.
2．【答案】D
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
【解析】【解答】解：因为，所以.
故答案为：D.
【分析】利用已知条件结合向量共线的坐标表示，从而得出x的值，再利用向量的模的坐标表示，从而得出的值.
3．【答案】B
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；直线与平面平行的判定；平面与平面平行的判定
【解析】【解答】解：对于A，若，则或，故A错误；
对于B，根据平面平行的传递性可知，若，则，故B正确；
对于C，由，当相交时，可得，当时，可能相交，故C错误；
对于D，若，则或与异面，故D错误.
故答案为：B.
【分析】利用已知条件结合空间中直线与直线的位置关系判断方法、直线与平面平行的判定定理、面面平行的判定定理，从而逐项判断找出正确的选项.
4．【答案】B
【知识点】台体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：设圆台的高为，则，
所以，圆台的体积为.
故答案为：B.
【分析】利用已知条件和勾股定理得出圆台的高，再利用圆台的体积公式，从而得出该圆台的体积.
5．【答案】B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；空间中直线与直线之间的位置关系；直线与平面平行的判定
【解析】【解答】解：如果，此时也能找到且，
但并不平行于，而是在内，
所以充分性不成立；
根据线面平行的性质定理：
如果直线平行于平面，那么过作一个平面与相交，交线就满足，且，
所以必要性成立，
则“存在直线，使”是“”的必要不充分条件.
故答案为：B.
【分析】利用已知条件结合线线平行的判断方法、线面平行的判定定理以及充分条件、必要条件的判断方法，从而找出正确的选项.
6．【答案】A
【知识点】向量的模；平面向量的数量积运算；平面向量的投影向量
【解析】【解答】解：由题意，设，
则，
由，
得.
故答案为：A.
【分析】利用已知条件和数量积求投影向量的公式，从而得出的值，再利用数量积求向量的模的公式和数量积的运算律，从而得出的值.
7．【答案】C
【知识点】正弦定理；解三角形的实际应用
【解析】【解答】解：由，得是等腰直角三角形，斜边米，
在中，，由正弦定理得，
则米，，因此是等边三角形，米.
故答案为：C.
【分析】利用正弦定理求解即可.
8．【答案】B
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；余弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：由题意，，
根据余弦定理，可得，
化简得，则，
所以，
根据基本不等式，可得，
所以，当且仅当时，即当时，等号成立，
因为，由余弦函数的性质，可知单调递减，
所以，则角的最大值为，且，
由余弦定理，得，
所以，又因为，所以，则，
所以的周长为.
故答案为：B.
【分析】根据余弦定理将角化边，从而可得，由余弦定理和基本不等式得出角的最大值，再根据已知条件和余弦定理，从而得出三角形的三边长可得周长.
9．【答案】B,C
【知识点】复数的基本概念；复数的模；共轭复数
【解析】【解答】解：对于A：当时，，故A错误；
对于B：当时，，故B正确；
对于C：当时，，此时，故C正确；
对于D：当时，，所以，故D错误.
故答案为：BC.
【分析】利用m的值和纯虚数的定义、实数的定义，则判断出选项A和选项B；利用m的值和共轭复数的定义，则判断出选项C；利用m的值和复数求模公式，则判断出选项D，从而找出正确的选项.
10．【答案】A,B,D
【知识点】平面向量的坐标运算；平面向量共线（平行）的坐标表示；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量的投影向量；平面向量垂直的坐标表示
【解析】【解答】解：对于A，由题意，可得，
若，则，得，故A正确；
对于B，由题意，可得，
若，则，解得，所以，故B正确；
对于C，由题意，可得，，
则向量在方向上的投影向量的坐标为，故C错误；
对于D， 由题意，得，，
若向量与向量的夹角为锐角，
则，解得，
当向量与向量共线时，
由，得，
此时，，，
因为向量与向量的夹角为，不合题意，
所以的取值范围是，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】根据向量垂直的坐标表示得出实数的值，则判断出选项A；利用向量的坐标运算和已知条件，从而得出的值，进而得出的值，则判断出选项B；利用数量积求投影向量坐标的公式，则判断出选项C；利用已知条件和数量积求向量夹角公式，从而得出实数的取值范围，则判断出选项D，从而找出正确的选项.
11．【答案】A,C,D
【知识点】棱锥的结构特征；棱柱/棱锥/棱台的侧面积、表面积及应用；球的表面积与体积公式及应用；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：设该正四面体的棱长为，则其表面积为，所以，故A正确；
作平面，垂足为，则为的重心，连接延长交于中点，
则，
所以，该正四面体的高为，故B错误；
由选项A和选项B的分析可知，该正四面体的体积为，
故C正确；
将该四面体放入正方体中，
则正方体的棱长为，且四面体的外接球即为正方体的外接球，其半径为，
所以，该正四面体的外接球的表面积为，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】先根据正四面体的表面积公式，从而计算出正四面体的棱长，则判断出选项A；利用三角形重心的性质和中点的性质以及勾股定理，从而得出正四面体的高，则判断出选项B；利用正四面体的体积公式，则判断出选项C；将四面体放入正方体中，再将正四面体的外接球转化为正方体的外接球，求出正四面体的外接球半径结合球的表面积公式可判断出选项D，从而找出正确的选项.
12．【答案】
【知识点】平面向量的基本定理
【解析】【解答】解：由，
因为，所以，
则.
故答案为：.
【分析】利用三角形法则和向量共线定理，再利用平面向量基本定理，从而得出的值，进而得出的值.
13．【答案】
【知识点】余弦定理
【解析】【解答】解：在中，，
由余弦定理，得，
因为，所以.
故答案为：.
【分析】利用已知条件和余弦定理以及三角形中角A的取值范围，从而得出角A的值.
14．【答案】
【知识点】棱柱/棱锥/棱台的侧面积、表面积及应用
【解析】【解答】解：如图在正六棱台中，
由题意，得，
所以，侧面的等腰梯形的高为正六棱台斜高，且为，
则梯形的面积为，
所以，正六棱台的侧面积为，
由图可知，该正六棱台的上底面为正六边形，则为6个边长为2的等边三角形组成，
所以，该正六棱台的上底面积为，
同理可得，下底面积为 ，
所以该正六棱台的表面积是．
故答案为：.
【分析】先出等腰梯形的高即正六棱台斜高，从而得出正六棱台的侧面积，再根据正六边形的面积公式得出该正六棱台的上底面积和下底面积，最后由正六棱台的表面积公式，从而得出该正六棱台的表面积.
15．【答案】（1）解：由，
得 ，
则，
又因为与的夹角，
由平面向量数量积的定义，得：.

（2）解：由（1）知，，
所以
，
因此.
【知识点】平面向量数量积定义与物理意义；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量的数量积运算
【解析】【分析】（1）先根据向量的模的坐标表示得出的值，再利用得出的值，由数量积的定义得出的值.
（2）由（1）知，，利用数量积求向量的模的公式和数量积的运算律，从而得出的值.
（1）由，得 ，
又因为与的夹角，由平面向量数量积的定义：.
（2）由（1）知，
所以 ，
因此.
16．【答案】（1）解：依题意，，
所以，
画出原图如下图所示：
所以，平面四边形的面积为，
又因为，
所以，平面四边形的周长为.
（2）解：将四边形以为旋转轴，旋转一周，
所得几何体为圆柱和圆锥的组合体，截面如下图：
所以，旋转形成的几何体的体积为，
旋转形成的几何体的表面积为.
【知识点】组合几何体的面积、表面积、体积问题；斜二测画法直观图
【解析】【分析】（1）利用斜二测画法画出原图求出各边长，从而可得出面积与周长.
（2）将四边形以为旋转轴，旋转一周，所得几何体为圆柱和圆锥的组合体，再利用圆柱的体积公式和圆锥的体积公式，从而得出旋转形成的几何体的表面积和体积.
（1）依题意，，
所以，画出原图如下图所示：
所以面积为，
，所以周长为.
（2）四边形以为旋转轴，旋转一周，
所得几何体为圆柱和圆锥的组合体，截面如下图：
所以体积为.
表面积为.
17．【答案】（1）解：，由正弦定理可得，
展开右侧三角式得，
消去同类项后化简为，整理得，
由，得，解得；
（2）解：由三角形面积公式，代入，得，
由余弦定理，代入、，得，
联立，解得.
【知识点】两角和与差的正弦公式；解三角形；余弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）利用正弦定理，结合三角形内角和定理以及两角和的正弦公式、辅助角公式化简求解即可；
（2）利用三角形面积公式、以及余弦定理列方程组，求解即可.
（1）由，
结合正弦定理可得，
展开右侧三角式得，
消去同类项后化简为，
整理得，
由，得，解得.
（2）由三角形面积公式，
代入，得，
由余弦定理，
代入、，得，
联立，解得.
18．【答案】（1）解：当时，，
所以，
则，
，
又因为，
所以
（2）解：当时，，
所以，
则，
，
因为三点共线，
则存在，使得，
又因为三点共线，所以，解得，
所以，
则.
（3）解：因为，
，
所以，
，
则，
所以
，
由题意，知，则
当时，取到最小值，
当时，；
当时，，
则当时，取到最大值，
所以的取值范围是.
【知识点】函数的最大（小）值；向量的模；平面向量的基本定理；三点共线
【解析】【分析】（1）利用的值和三角形法则、向量共线定理，则根据平面向量基本定理得出，，再利用数量积的运算律和数量积的定义，从而得出的值.
（2）利用的值和三角形法则、向量共线定理，则根据平面向量基本定理和三点共线，从而得出的值.
（3）利用三角形法则、向量共线定理和平面向量基本定理，则，两边平方结合数量积运算律，从而得出，再利用和二次函数求值域的方法，从而得出的取值范围．
（1）当时，，所以，
所以，
，
又，
所以
；
（2）当时，，所以，
所以，
，
因为三点共线，所以存在，使，
又因为三点共线，所以，解得，
所以，所以；
（3）因为，
，
所以，
，
所以，
，
，
由题意知，
所以当时，取到最小值，
当时，，
当时，，
所以当时，取到最大值，
所以的取值范围是.
19．【答案】（1）证明：取中点，连，
因为点为中点，
，且，
又因为分别是边的中点，
，且，
四边形是平行四边形，
，
又因为平面平面，
平面.
（2）解：，，
，
根据对称性得出，又因为，
所以，所以，
所以，
又因为，
四棱锥的面积.
（3）解：由（1）知平面，
又因为平面平面，平面，
，，
又，，.
【知识点】棱柱/棱锥/棱台的侧面积、表面积及应用；直线与平面平行的判定；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）取中点，连接，利用中位线性质证出四边形是平行四边形，则得到，再结合线面平行的判定定理证出平面.
（2）利用勾股定理逆定理证出和，再结合图形的对称性和三角形面积公式以及四棱锥的表面积公式，从而得出四棱锥的表面积．
（3）由题意得出，，再可将三角形面积比转换为线段比的平方，即可得出的值．
（1）取中点，连，
因为点为中点，
，且，
同时因为分别是边的中点，
，且，
四边形是平行四边形，
，
又平面平面，
平面.
（2），
，
，
根据对称性有，而，
所以，
所以，
所以，
而，
四棱锥的面积.
（3）由（1）知平面，
平面平面，平面，
，，
又，，.
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