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广东广州培英中学2025-2026学年高二下学期期中考试数学试题
1．从包含甲、乙两人的人中选出人分别担任学习委员、宣传委员、体育委员，则甲、乙两人都入选的不同选法共有（　　）种
A． B． C．30 D．20
【答案】C
【知识点】分步乘法计数原理；排列、组合的实际应用；排列与组合的综合
【解析】【解答】解：由题意，甲乙两人都入选，还要先在其他5人里选一人有种，再和甲乙一起全排列有，则甲乙两人都入选的不同选法有（种）.
故答案为：C.
【分析】先从除了甲乙外的人中任选一人，再将甲，乙和所选的人进行全排列，据此求解即可.
2．若，则（　　）
A．0 B．2 C．－2 D．－4
【答案】C
【知识点】导数的概念
【解析】【解答】解：因为，
所以，
则.
故答案为：.
【分析】根据复合函数的求导法则和导数的定义与函数极限的关系，从而得出的值.
3．已知函数在定义域上不是单调函数，则实数不可能是（　　）
A．0 B． C．1 D．
【答案】C
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：函数的定义域为，，
因为函数在定义域上不是单调函数，所以导函数的函数值既有正值又有负值，
则，即，所以，所以实数不可能是.
故答案为：C.
【分析】求函数的定义域，再求导，问题转化为导函数的正负情况，结合二次函数图象的性质确定，求实数的取值范围即可.
4．的展开式中的系数是（　　）
A．10 B． C．5 D．
【答案】D
【知识点】二项展开式的通项
【解析】【解答】解：因为的通项公式为，
当时，；
当时，，
则展开式中的系数为.
故答案为：D.
【分析】先利用二项式定理得到展开式的通项公式，再利用已知条件得到的值， 从而得到展开式的系数.
5．已知函数的定义域为，对任意恒成立，则的解集为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：令，，
易知，则函数在上单调递增，
因为，所以当时，，即，
则的解集为.
故答案为：C.
【分析】构造函数，求导，由题意，利用导数判断函数的单调性，再根据函数的单调性解不等式即可.
6．已知盒子中有6个大小相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回地随机取球两次，每次取一球，记第一次取出的球的数字是，第二次取出的球的数字是.若事件“为偶数”，事件“，中有偶数且”，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；条件概率
【解析】【解答】解：由题意可知： 有放回地随机取球两次所有可能结果为，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共36个结果，
事件包含的基本事件有，，，，，，，
，，，，，，，，，，
，，，，，，，共24个结果；
事件包含的基本事件有，，，，，，共6个结果，
则.
故答案为：C.
【分析】利用列举法，结合条件概率的计算公式求解即可.
7．已知函数在区间上单调递减，则实数a的最小值为（　　）
A． B． C． D．e
【答案】B
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：由已知得，
因为在区间上单调递减，所以在上恒成立，
则，得，
令，则，
令，得，
当时，，单调递减；当时，单调递增，
又因为，
所以a的最小值为．
故答案为：B.
【分析】利用导数的正负判断函数的单调性结合已知条件，则，令，再利用导数求出函数的值域，进而得出实数a的最小值.
8．已知是函数的极大值点，则实数（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】函数在某点取得极值的条件
【解析】【解答】解：因为函数的定义域为，
又因为．
因为是函数的极大值点.
①若，则，
所以在上单调递增，没有极大值点，不符合题意；
②若，令，得，
当时，；当时，，
则在上单调递增，在上单调递减，
所以不是函数的极大值点，不符合题意；
③若，令，得，
当时，；当时，，
所以在上单调递增，
则不是函数的极大值点，不符合题意；
④若，令，得，
当时，；当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
则是函数的极大值点，符合题意，
综上所述，实数.
故答案为：C.
【分析】利用已知条件和分类讨论的方法，再利用导数的正负判断函数的单调性，从而得出函数的极值点，再根据已知条件得出实数a的值.
9．下列结论正确的是（　　）
A．为正整数且
B．满足方程的值可能为或
C．甲、乙、丙等人排成一列，若甲与丙不相邻，则共有种排法
D．把个相同的小球分到个不同的盒子中，每个盒子至少分得一个小球的分法共有种
【答案】A,B,D
【知识点】排列、组合的实际应用；排列数的基本计算；组合数公式
【解析】【解答】解：对于A，因为，故A正确；
对于B，由，
得或，
解得或，故B正确；
对于C，将除甲和丙以外的3人全排列，再将甲与丙插入3人所形成的4个空中的2个空，
共有排法，故C错误；
对于D，由隔板法，得共有种不同的分法，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】利用排列数公式和组合数性质，则判断出选项A和选项B；利用插空法和排列数公式，则判断出选项C；利用隔板法和组合数公式，则判断出选项D，从而找出结论正确的选项.
10．设，，是同一概率空间中的随机事件，满足，，，，则下列结论正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A,B,C
【知识点】互斥事件的概率加法公式；全概率公式；条件概率；条件概率乘法公式
【解析】【解答】解：因为，，，，.
对于选项A：由条件概率公式，
得，故A正确；
对于选项B：由全概率公式，
得，故B正确；
对于选项C：由互斥事件加法求概率公式，
得，故C正确；
对于选项D：由条件概率公式，
得，故D错误．
故答案为：ABC．
【分析】利用条件概率乘法公式，则判断出选项A和选项D；利用全概率公式，则判断出选项B；利用互斥事件加法求概率公式，则判断出选项C，从而找出结论正确的选项.
11．已知函数，则下列说法正确的是（　　）
A．若，则曲线在处的切线与相互平行
B．函数在[1，4]上单调递增的必要不充分条件是
C．记函数的最小值为，则
D．若，，使得在恒成立，则的最大值为3
【答案】A,B,C
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；函数恒成立问题；导数的几何意义；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：依题意，，则，所以，
则曲线在处的切线与相互平行，故A正确；
令，因为，
令，则，所以，
因为，所以，
则函数在上单调递增的必要不充分条件，故B正确；
令，得，
显然，当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增，
所以，
令，则，得，
当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减，
所以，故C正确；
因为，令，则，
令，，
∴当时，，则单调递增，
∵，，
设，并记其零点为，则，且，
所以，当时，，则，单调递减；
当时，，则，单调递增，
所以，
因此，因为且，
所以，
则，故D错误.
故答案为：ABC.
【分析】根据导数的几何意义得出切线的斜率，再利用两直线平行斜率相等，则判断出选项A；利用导数的正负判断函数的单调性和充分条件、必要条件的判断方法，则判断出选项B；利用导数求出函数的最值，则判断出选项C；利用构造法和导数求出函数的最值，再根据不等式恒成立问题求解方法得出实数k的取值范围，从而得出实数k的最大值，则判断出选项D，从而找出说法正确的选项.
12．若，则　 　．
【答案】33
【知识点】二项式定理的应用
【解析】【解答】解：令，则，
令，则，
所以．
故答案为：33.
【分析】由已知条件和赋值法，从而得出的值．
13．将本不同的书（包括本数学书和本英语书）平均分给甲 乙 丙三人，其中数学书和英语书不能分给同一个人，则不同的分配方法种数是　 　.（用数字作答）
【答案】
【知识点】排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：各选两本书与数学书 英语书组成一组，然后再分配给三人，
则不同的分配方法种数是.
故答案为：.
【分析】从除数学、英语的7本书中，各选两本书与数学书 英语书组成一组，然后再分配给三人，利用分组、分配知识求解即可.
14．若不等式对恒成立，则的最大值为　 　．
【答案】
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：设，
因为对任意的恒成立，所以，
求导，得，
令，得，
当时，，函数在区间单调递减；
当时，，函数在区间单调递增，
所以，则，所以，
设，则，
当时，，函数在区间单调递增；
当时，，函数在区间单调递减，
所以，
则的最大值为，的最大值为.
故答案为：.
【分析】设，利用不等式恒成立问题求解方法，则将问题转化为，再利用导数的正负判断函数的单调性，从而求出，转化为，设，再利用导数求出，进而得出的最大值.
15．在二项展开式中，所有项的二项式系数之和为.
（1）求展开式中的系数；
（2）求展开式中二项式系数最大的项.
【答案】（1）解：由题意，可得二项式系数为，
解得，
所以，该二项式为，
则展开式的通项公式为：，
令，解得，
则该二项式的展开式中的的系数为.
（2）解：因为，易知展开式中第三项和第四项二项式系数最大，
所以，，
则展开式中二项式系数最大的项是，.
【知识点】二项式系数的性质；二项式系数
【解析】【分析】（1）由二项式系数和为和已知条件，从而得出的值，再利用二项式定理写出二项展开式的通项，则令的指数为求出参数k的值，代入展开式的通项得出展开式中的系数.
（2）利用n的值和展开式中二项式系数的对称性，易知展开式中第三项和第四项二项式系数最大，再结合二项展开式的通项求出展开式中二项式系数最大的项.
（1）由题意可得，二项式系数为解得，所以该二项式为.
则通项公式为，
令，解得，所以该二项式的展开式中的的系数为.
（2）因为，易知展开式中第三项和第四项二项式系数最大，
即，，
所以展开式中二项式系数最大的项是，.
16．甲和乙两个箱子中各装有5个大小相同的小球，其中甲箱中有3个红球、2个白球，乙箱中有4个红球、1个白球．
（1）从甲箱中随机抽出2个球，在已知抽到红球的条件下，求2个球都是红球的概率；
（2）掷一枚质地均匀的骰子，如果点数小于等于4，则从甲箱随机抽出1个球；如果点数大于等于5，则从乙箱中随机抽出1个球，
（i）求抽到的是红球的概率；
（ii）若抽到的是红球，求它是来自乙箱的概率．
【答案】（1）解：记事件A表示“从甲箱中抽出的2个球中有红球”，
事件B表示“从甲箱中抽出的2个球都是红球”，
则
所以.
（2）解：（i）设事件C表示“从乙箱中抽球”，
则事件表示“从甲箱中抽球”，事件D表示“抽到红球”，
所以，
则
（ii）若抽到的是红球，
则它是来自乙箱的概率为 .
【知识点】全概率公式；条件概率；条件概率乘法公式
【解析】【分析】（1）根据题目给出的已知条件，结合条件概率的计算公式，即可计算得到取出的2个球均为红球的概率。
（2）（i）结合题目给出的各个箱子的组成情况，利用全概率公式，即可计算得到从甲箱经转移后得到的乙箱中随机取出一球，该球为红球的概率。
（ii）根据（i）中得到的概率，结合贝叶斯概率公式，即可计算得到取出红球的条件下，这个红球来自乙箱的概率.
（1）记事件A表示“从甲箱中抽出的2个球中有红球”，事件B表示“从甲箱中抽出的2个球都是红球”，
则
故；
（2）（i）设事件C表示“从乙箱中抽球”，则事件表示“从甲箱中抽球”，事件D表示“抽到红球”，
则，
则
（ii）若抽到的是红球，则它是来自乙箱的概率为 .
17．小明参加一项积分晋级赛，规则如下：初始积分为分，每场比赛胜则加分，负则减分，平则积分不变；当积分达到分（淘汰出局）或分（晋级成功）时终止比赛，否则继续比赛；若三场比赛后仍未终止，则判定为晋级成功并终止比赛.已知每场比赛结果相互独立，小明每场比赛胜 负 平的概率分别为.
（1）比赛终止时小明积分为分的概率；
（2）在比赛进行两场便终止的条件下，小明晋级成功的概率.
【答案】（1）解：设表示比赛终止时小明的积分，
由题意可知，当时，有以下3种情况：
第一种：第一场 第二场结果都为负；
第二种：第一场结果为平，后两场比赛结果都为负；
第三种：第一场结果为负，第二场结果为平，第三场结果为负，
∴.
（2）解：设事件：比赛进行了两场便终止，事件：小明晋级成功，
由题意知，
.
所以，
则在比赛进行两场便终止的条件下，小明晋级成功的概率为.
【知识点】互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式；条件概率
【解析】【分析】（1）设为比赛终止时小明的积分，利用独立事件乘法求概率公式和互斥事件加法求概率公式，从而得出的值，进而得出比赛终止时小明积分为分的概率.
（2）设为“比赛两场便终止”，为“晋级成功”，两场终止只有连胜或连负两种情况，利用独立事件乘法求概率公式和互斥事件加法求概率公式，从而计算出和的值，再代入条件概率公式，从而得出所求概率.
（1）（1）设表示比赛终止时小明的积分，由题可知时，有以下3种情况：
第一种：第一场 第二场结果都为负；
第二种：第一场结果为平，后两场比赛结果都为负；
第三种：第一场结果为负，第二场结果为平，第三场结果为负.
∴.
（2）设事件：比赛进行了两场便终止，事件：小明晋级成功，
由题意知，
.
所以，
所以在比赛进行两场便终止的条件下，小明晋级成功的概率为.
18．已知函数（为常数，且）．
（1）当时，求函数的单调区间和极值；
（2）若函数有两个零点，求实数的取值范围．
【答案】（1）解：当时，函数定义域为，
令，即，解得；
令，即，解得，
则函数的单调递减区间为，单调递增区间为；
在处取得极小值，极小值为，无极大值；
（2）解：因为，所以，得，
设，则，
令，解得，所以在上单调递增，
令，解得，所以在上单调递减，
所以，
又，所以当时，；当时，，且，
由函数有两个零点知，函数与的图象有两个交点，
所以，即实数的取值．
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】（1）将代入，求函数的定义域，再求导，利用导数研究函数的单调性，求极值即可；
（2）由，分离参数可得，构造函数，求导，利用导数判断函数的单调性，求最值，将函数有两个零点的问题转化为方程有两个解的问题，确定的取值范围即可.
（1）当时，，定义域为．
令，即，解得；
令，即，解得．
所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为；
在处取得极小值，极小值为，无极大值．
（2）因为，所以由，得．
设，则．
令，解得，所以在上单调递增，
令，解得，所以在上单调递减．
所以．
又，所以当时，；当时，，且．
由函数有两个零点知，函数与的图象有两个交点，
所以，即实数的取值．
19．已知函数．
（1）当时，证明：有且仅有一个零点．
（2）当时，恒成立，求a的取值范围．
（3）证明：．
【答案】（1）证明：当时，函数定义域为，
则，
令，则在上恒成立，
所以在上单调递增，则，
所以在上恒成立，
则在上单调递增，
因为，，
根据零点存在定理知，有且仅有一个零点．
（2）解：当时，等价于，
令，求导得，
令，则，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
则，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
因此，
所以a的取值范围为．
（3）证明：由（2）可知，当时，有，
则，
因此，
所以．
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；函数零点存在定理
【解析】【分析】（1）利用a的值得出函数的解析式，求导构造函数，再利用导数求出函数g(x)的值域，进而判断出函数f(x)的单调性，再根据零点存在性独立，从而证出函数有且仅有一个零点．
（2）当时，等价于，令，利用导数求出函数的最值，从而得出实数a的取值范围.
（3）利用（2）的结论得出，再利用赋值法和放缩法以及等差数列前n项和公式、等比数列前n项和公式，从而证出得结论成立.
（1）略
（2）当时，等价于，
令，求导得，令，
则，当时，，单调递增，当时，，单调递减，
则，于是当时，，单调递增，
当时，，单调递减，因此，
所以a的取值范围为．
（3）略
1 / 1广东广州培英中学2025-2026学年高二下学期期中考试数学试题
1．从包含甲、乙两人的人中选出人分别担任学习委员、宣传委员、体育委员，则甲、乙两人都入选的不同选法共有（　　）种
A． B． C．30 D．20
2．若，则（　　）
A．0 B．2 C．－2 D．－4
3．已知函数在定义域上不是单调函数，则实数不可能是（　　）
A．0 B． C．1 D．
4．的展开式中的系数是（　　）
A．10 B． C．5 D．
5．已知函数的定义域为，对任意恒成立，则的解集为（　　）
A． B． C． D．
6．已知盒子中有6个大小相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回地随机取球两次，每次取一球，记第一次取出的球的数字是，第二次取出的球的数字是.若事件“为偶数”，事件“，中有偶数且”，则（　　）
A． B． C． D．
7．已知函数在区间上单调递减，则实数a的最小值为（　　）
A． B． C． D．e
8．已知是函数的极大值点，则实数（　　）
A． B． C． D．
9．下列结论正确的是（　　）
A．为正整数且
B．满足方程的值可能为或
C．甲、乙、丙等人排成一列，若甲与丙不相邻，则共有种排法
D．把个相同的小球分到个不同的盒子中，每个盒子至少分得一个小球的分法共有种
10．设，，是同一概率空间中的随机事件，满足，，，，则下列结论正确的是（　　）
A． B． C． D．
11．已知函数，则下列说法正确的是（　　）
A．若，则曲线在处的切线与相互平行
B．函数在[1，4]上单调递增的必要不充分条件是
C．记函数的最小值为，则
D．若，，使得在恒成立，则的最大值为3
12．若，则　 　．
13．将本不同的书（包括本数学书和本英语书）平均分给甲 乙 丙三人，其中数学书和英语书不能分给同一个人，则不同的分配方法种数是　 　.（用数字作答）
14．若不等式对恒成立，则的最大值为　 　．
15．在二项展开式中，所有项的二项式系数之和为.
（1）求展开式中的系数；
（2）求展开式中二项式系数最大的项.
16．甲和乙两个箱子中各装有5个大小相同的小球，其中甲箱中有3个红球、2个白球，乙箱中有4个红球、1个白球．
（1）从甲箱中随机抽出2个球，在已知抽到红球的条件下，求2个球都是红球的概率；
（2）掷一枚质地均匀的骰子，如果点数小于等于4，则从甲箱随机抽出1个球；如果点数大于等于5，则从乙箱中随机抽出1个球，
（i）求抽到的是红球的概率；
（ii）若抽到的是红球，求它是来自乙箱的概率．
17．小明参加一项积分晋级赛，规则如下：初始积分为分，每场比赛胜则加分，负则减分，平则积分不变；当积分达到分（淘汰出局）或分（晋级成功）时终止比赛，否则继续比赛；若三场比赛后仍未终止，则判定为晋级成功并终止比赛.已知每场比赛结果相互独立，小明每场比赛胜 负 平的概率分别为.
（1）比赛终止时小明积分为分的概率；
（2）在比赛进行两场便终止的条件下，小明晋级成功的概率.
18．已知函数（为常数，且）．
（1）当时，求函数的单调区间和极值；
（2）若函数有两个零点，求实数的取值范围．
19．已知函数．
（1）当时，证明：有且仅有一个零点．
（2）当时，恒成立，求a的取值范围．
（3）证明：．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】分步乘法计数原理；排列、组合的实际应用；排列与组合的综合
【解析】【解答】解：由题意，甲乙两人都入选，还要先在其他5人里选一人有种，再和甲乙一起全排列有，则甲乙两人都入选的不同选法有（种）.
故答案为：C.
【分析】先从除了甲乙外的人中任选一人，再将甲，乙和所选的人进行全排列，据此求解即可.
2．【答案】C
【知识点】导数的概念
【解析】【解答】解：因为，
所以，
则.
故答案为：.
【分析】根据复合函数的求导法则和导数的定义与函数极限的关系，从而得出的值.
3．【答案】C
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：函数的定义域为，，
因为函数在定义域上不是单调函数，所以导函数的函数值既有正值又有负值，
则，即，所以，所以实数不可能是.
故答案为：C.
【分析】求函数的定义域，再求导，问题转化为导函数的正负情况，结合二次函数图象的性质确定，求实数的取值范围即可.
4．【答案】D
【知识点】二项展开式的通项
【解析】【解答】解：因为的通项公式为，
当时，；
当时，，
则展开式中的系数为.
故答案为：D.
【分析】先利用二项式定理得到展开式的通项公式，再利用已知条件得到的值， 从而得到展开式的系数.
5．【答案】C
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：令，，
易知，则函数在上单调递增，
因为，所以当时，，即，
则的解集为.
故答案为：C.
【分析】构造函数，求导，由题意，利用导数判断函数的单调性，再根据函数的单调性解不等式即可.
6．【答案】C
【知识点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；条件概率
【解析】【解答】解：由题意可知： 有放回地随机取球两次所有可能结果为，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共36个结果，
事件包含的基本事件有，，，，，，，
，，，，，，，，，，
，，，，，，，共24个结果；
事件包含的基本事件有，，，，，，共6个结果，
则.
故答案为：C.
【分析】利用列举法，结合条件概率的计算公式求解即可.
7．【答案】B
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：由已知得，
因为在区间上单调递减，所以在上恒成立，
则，得，
令，则，
令，得，
当时，，单调递减；当时，单调递增，
又因为，
所以a的最小值为．
故答案为：B.
【分析】利用导数的正负判断函数的单调性结合已知条件，则，令，再利用导数求出函数的值域，进而得出实数a的最小值.
8．【答案】C
【知识点】函数在某点取得极值的条件
【解析】【解答】解：因为函数的定义域为，
又因为．
因为是函数的极大值点.
①若，则，
所以在上单调递增，没有极大值点，不符合题意；
②若，令，得，
当时，；当时，，
则在上单调递增，在上单调递减，
所以不是函数的极大值点，不符合题意；
③若，令，得，
当时，；当时，，
所以在上单调递增，
则不是函数的极大值点，不符合题意；
④若，令，得，
当时，；当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
则是函数的极大值点，符合题意，
综上所述，实数.
故答案为：C.
【分析】利用已知条件和分类讨论的方法，再利用导数的正负判断函数的单调性，从而得出函数的极值点，再根据已知条件得出实数a的值.
9．【答案】A,B,D
【知识点】排列、组合的实际应用；排列数的基本计算；组合数公式
【解析】【解答】解：对于A，因为，故A正确；
对于B，由，
得或，
解得或，故B正确；
对于C，将除甲和丙以外的3人全排列，再将甲与丙插入3人所形成的4个空中的2个空，
共有排法，故C错误；
对于D，由隔板法，得共有种不同的分法，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】利用排列数公式和组合数性质，则判断出选项A和选项B；利用插空法和排列数公式，则判断出选项C；利用隔板法和组合数公式，则判断出选项D，从而找出结论正确的选项.
10．【答案】A,B,C
【知识点】互斥事件的概率加法公式；全概率公式；条件概率；条件概率乘法公式
【解析】【解答】解：因为，，，，.
对于选项A：由条件概率公式，
得，故A正确；
对于选项B：由全概率公式，
得，故B正确；
对于选项C：由互斥事件加法求概率公式，
得，故C正确；
对于选项D：由条件概率公式，
得，故D错误．
故答案为：ABC．
【分析】利用条件概率乘法公式，则判断出选项A和选项D；利用全概率公式，则判断出选项B；利用互斥事件加法求概率公式，则判断出选项C，从而找出结论正确的选项.
11．【答案】A,B,C
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；函数恒成立问题；导数的几何意义；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：依题意，，则，所以，
则曲线在处的切线与相互平行，故A正确；
令，因为，
令，则，所以，
因为，所以，
则函数在上单调递增的必要不充分条件，故B正确；
令，得，
显然，当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增，
所以，
令，则，得，
当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减，
所以，故C正确；
因为，令，则，
令，，
∴当时，，则单调递增，
∵，，
设，并记其零点为，则，且，
所以，当时，，则，单调递减；
当时，，则，单调递增，
所以，
因此，因为且，
所以，
则，故D错误.
故答案为：ABC.
【分析】根据导数的几何意义得出切线的斜率，再利用两直线平行斜率相等，则判断出选项A；利用导数的正负判断函数的单调性和充分条件、必要条件的判断方法，则判断出选项B；利用导数求出函数的最值，则判断出选项C；利用构造法和导数求出函数的最值，再根据不等式恒成立问题求解方法得出实数k的取值范围，从而得出实数k的最大值，则判断出选项D，从而找出说法正确的选项.
12．【答案】33
【知识点】二项式定理的应用
【解析】【解答】解：令，则，
令，则，
所以．
故答案为：33.
【分析】由已知条件和赋值法，从而得出的值．
13．【答案】
【知识点】排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：各选两本书与数学书 英语书组成一组，然后再分配给三人，
则不同的分配方法种数是.
故答案为：.
【分析】从除数学、英语的7本书中，各选两本书与数学书 英语书组成一组，然后再分配给三人，利用分组、分配知识求解即可.
14．【答案】
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：设，
因为对任意的恒成立，所以，
求导，得，
令，得，
当时，，函数在区间单调递减；
当时，，函数在区间单调递增，
所以，则，所以，
设，则，
当时，，函数在区间单调递增；
当时，，函数在区间单调递减，
所以，
则的最大值为，的最大值为.
故答案为：.
【分析】设，利用不等式恒成立问题求解方法，则将问题转化为，再利用导数的正负判断函数的单调性，从而求出，转化为，设，再利用导数求出，进而得出的最大值.
15．【答案】（1）解：由题意，可得二项式系数为，
解得，
所以，该二项式为，
则展开式的通项公式为：，
令，解得，
则该二项式的展开式中的的系数为.
（2）解：因为，易知展开式中第三项和第四项二项式系数最大，
所以，，
则展开式中二项式系数最大的项是，.
【知识点】二项式系数的性质；二项式系数
【解析】【分析】（1）由二项式系数和为和已知条件，从而得出的值，再利用二项式定理写出二项展开式的通项，则令的指数为求出参数k的值，代入展开式的通项得出展开式中的系数.
（2）利用n的值和展开式中二项式系数的对称性，易知展开式中第三项和第四项二项式系数最大，再结合二项展开式的通项求出展开式中二项式系数最大的项.
（1）由题意可得，二项式系数为解得，所以该二项式为.
则通项公式为，
令，解得，所以该二项式的展开式中的的系数为.
（2）因为，易知展开式中第三项和第四项二项式系数最大，
即，，
所以展开式中二项式系数最大的项是，.
16．【答案】（1）解：记事件A表示“从甲箱中抽出的2个球中有红球”，
事件B表示“从甲箱中抽出的2个球都是红球”，
则
所以.
（2）解：（i）设事件C表示“从乙箱中抽球”，
则事件表示“从甲箱中抽球”，事件D表示“抽到红球”，
所以，
则
（ii）若抽到的是红球，
则它是来自乙箱的概率为 .
【知识点】全概率公式；条件概率；条件概率乘法公式
【解析】【分析】（1）根据题目给出的已知条件，结合条件概率的计算公式，即可计算得到取出的2个球均为红球的概率。
（2）（i）结合题目给出的各个箱子的组成情况，利用全概率公式，即可计算得到从甲箱经转移后得到的乙箱中随机取出一球，该球为红球的概率。
（ii）根据（i）中得到的概率，结合贝叶斯概率公式，即可计算得到取出红球的条件下，这个红球来自乙箱的概率.
（1）记事件A表示“从甲箱中抽出的2个球中有红球”，事件B表示“从甲箱中抽出的2个球都是红球”，
则
故；
（2）（i）设事件C表示“从乙箱中抽球”，则事件表示“从甲箱中抽球”，事件D表示“抽到红球”，
则，
则
（ii）若抽到的是红球，则它是来自乙箱的概率为 .
17．【答案】（1）解：设表示比赛终止时小明的积分，
由题意可知，当时，有以下3种情况：
第一种：第一场 第二场结果都为负；
第二种：第一场结果为平，后两场比赛结果都为负；
第三种：第一场结果为负，第二场结果为平，第三场结果为负，
∴.
（2）解：设事件：比赛进行了两场便终止，事件：小明晋级成功，
由题意知，
.
所以，
则在比赛进行两场便终止的条件下，小明晋级成功的概率为.
【知识点】互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式；条件概率
【解析】【分析】（1）设为比赛终止时小明的积分，利用独立事件乘法求概率公式和互斥事件加法求概率公式，从而得出的值，进而得出比赛终止时小明积分为分的概率.
（2）设为“比赛两场便终止”，为“晋级成功”，两场终止只有连胜或连负两种情况，利用独立事件乘法求概率公式和互斥事件加法求概率公式，从而计算出和的值，再代入条件概率公式，从而得出所求概率.
（1）（1）设表示比赛终止时小明的积分，由题可知时，有以下3种情况：
第一种：第一场 第二场结果都为负；
第二种：第一场结果为平，后两场比赛结果都为负；
第三种：第一场结果为负，第二场结果为平，第三场结果为负.
∴.
（2）设事件：比赛进行了两场便终止，事件：小明晋级成功，
由题意知，
.
所以，
所以在比赛进行两场便终止的条件下，小明晋级成功的概率为.
18．【答案】（1）解：当时，函数定义域为，
令，即，解得；
令，即，解得，
则函数的单调递减区间为，单调递增区间为；
在处取得极小值，极小值为，无极大值；
（2）解：因为，所以，得，
设，则，
令，解得，所以在上单调递增，
令，解得，所以在上单调递减，
所以，
又，所以当时，；当时，，且，
由函数有两个零点知，函数与的图象有两个交点，
所以，即实数的取值．
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】（1）将代入，求函数的定义域，再求导，利用导数研究函数的单调性，求极值即可；
（2）由，分离参数可得，构造函数，求导，利用导数判断函数的单调性，求最值，将函数有两个零点的问题转化为方程有两个解的问题，确定的取值范围即可.
（1）当时，，定义域为．
令，即，解得；
令，即，解得．
所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为；
在处取得极小值，极小值为，无极大值．
（2）因为，所以由，得．
设，则．
令，解得，所以在上单调递增，
令，解得，所以在上单调递减．
所以．
又，所以当时，；当时，，且．
由函数有两个零点知，函数与的图象有两个交点，
所以，即实数的取值．
19．【答案】（1）证明：当时，函数定义域为，
则，
令，则在上恒成立，
所以在上单调递增，则，
所以在上恒成立，
则在上单调递增，
因为，，
根据零点存在定理知，有且仅有一个零点．
（2）解：当时，等价于，
令，求导得，
令，则，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
则，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
因此，
所以a的取值范围为．
（3）证明：由（2）可知，当时，有，
则，
因此，
所以．
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；函数零点存在定理
【解析】【分析】（1）利用a的值得出函数的解析式，求导构造函数，再利用导数求出函数g(x)的值域，进而判断出函数f(x)的单调性，再根据零点存在性独立，从而证出函数有且仅有一个零点．
（2）当时，等价于，令，利用导数求出函数的最值，从而得出实数a的取值范围.
（3）利用（2）的结论得出，再利用赋值法和放缩法以及等差数列前n项和公式、等比数列前n项和公式，从而证出得结论成立.
（1）略
（2）当时，等价于，
令，求导得，令，
则，当时，，单调递增，当时，，单调递减，
则，于是当时，，单调递增，
当时，，单调递减，因此，
所以a的取值范围为．
（3）略
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