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四川省仁寿县2025-2026年下学期七年级期末教学质量监测数学试卷
1．下列各式中，是一元一次方程的是(　　)
A．x-6 B．x-2y=12 C．5x+8=2x D．
【答案】C
【知识点】一元一次方程的概念
【解析】【解答】解：∵是代数式，不是等式，不属于方程，
∴A不符合题意；
∵含有两个未知数，不是一元方程，
∴B不符合题意；
∵只含有一个未知数，且未知数的最高次数为1，是整式方程，属于一元一次方程，
∴C符合题意；
∵中未知数的最高次数是2，不是一元一次方程，
∴D不符合题意
故答案为：C
【分析】根据一元一次方程的定义“只含有一个未知数，且未知数最高次数为1的整式方程”判断即可.
2．中国“二十四节气”已被列人联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别代表“立春”“立夏”“芒种”“大雷”，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是(　　)
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】轴对称图形；中心对称图形
【解析】【解答】解：A选项：该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故A选项不符合题意；
B选项：该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故B选项不符合题意；
C选项：该图形既不是轴对称图形，又不是中心对称图形，故C选项不符合题意；
D选项：该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故D选项符合题意．
故答案为：D.
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义“一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形”逐项判断即可．
3．下列不等式组中，无解的是(　　)
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：选项A：，由同小取小得解集为，有解；
选项B：，由大小小大中间找得解集为，有解；
选项C，，由同大取大得解集为，有解；
选项D，，由大大小小无解得不存在实数同时满足且，该不等式组无解．
故答案为：D.
【分析】根据“大大小小无解了”解答即可．
4．下列等式变形错误的是(　　)
A．若x=y，则x-6=y-6 B．若 mx= my，则x=y
C．若 则x=y D．若-2x=-2y， 则x=y
【答案】B
【知识点】利用等式的性质将等式变形
【解析】【解答】解：根据等式的基本性质判断：
对于A，∵，等式两边同时减同一个数6，等式仍然成立，
∴，变形正确；
对于B，若，当时，无论是否相等，等式都成立，
∴无法推出，变形错误；
对于C，∵，分式分母不为0，可得，等式两边同时乘，等式仍然成立，
∴，变形正确；
对于D，∵，等式两边同时除以非零数，等式仍然成立，
∴，变形正确；
故答案为：B．
【分析】根据等式的基本性质“等式的两边同时加上或减去同一个数或字母，结果仍相等；等式的两边同时乘以或除以同一个不为0的数或字母，结果仍相等”逐项判断即可．
5．在△ABC中，作BC边上的高，下列选项中正确的是(　　)
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】三角形的高
【解析】【解答】解：在中，作边上的高，作法正确的是：
故选：D.
【分析】根据三角形高线的定义“过三角形的顶点向对边引垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线”判断即可．
6．小林同学在学了“用正多边形铺设地面”这个知识后，建议妈妈对他家房屋地面进行装修.妈妈选中了一种漂亮的正八边形地砖，他告诉妈妈，只用一种正八边形地砖是不能铺满地面的，需要与另外一种边长相等的正多边形地砖组合使用，小林应建议妈妈选择另一种地砖的形状为(　　)
A．正三角形 B．正方形 C．正五边形 D．正六边形
【答案】B
【知识点】平面镶嵌（密铺）
【解析】【解答】解：A项，正八边形、正三角形的每个内角度数分别为，，显然不能构成的周角，所以不能铺满，不符合题意；
B项，正方形、正八边形的每个内角度数分别为，，由于，所以能铺满，符合题意
C项，正六边形和正八边形的每个内角度数分别为，，显然不能构成的周角，所以不能铺满；
D项，正八边形、正五边形的每个内角度数分别为，，显然不能构成的周角，所以不能铺满，不符合题意．
故选：B．
【分析】先求出正八边形和选项中多边形的内角度数，然后根据镶嵌即可在顶点处围成360°，据此判断即可．
7． 如图， ∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H=(　　)
A．180° B．360° C．540° D．720°
【答案】B
【知识点】三角形外角的概念及性质；多边形的外角和公式
【解析】【解答】解：如图，
，，，，
，
又，
．
故选：B．
【分析】根据三角形的外角得到，，，，然后根据多边形的外角和为360°解答即可．
8．《九章算术》是我国古代经典著作，书中有一个问题：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等；交易其一，金轻十三两.问金、银一枚各重几何 ”意思是甲袋中装有黄金9枚(每枚黄金重量相同)，乙袋中装有白银11枚(每枚白银重量相同)，两袋称重后相等，两袋相互交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13 两 (袋子重量忽略不计).问黄金、白银每枚各重多少两 设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，则可列方程组为(　　)
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：∵ 原来9枚黄金总重量与11枚白银总重量相等，每枚黄金重两，每枚白银重两，
∴；
∵ 交换1枚后，甲袋重量为，乙袋重量为，甲袋比乙袋轻13两，即乙袋重量比甲袋重量多13两，
∴；
因此可得方程组.
故答案为：A.
【分析】设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，根据题意列方程组即可.
9．若不等式组 有且只有两个整数解，且关于x的方程2+a=3(4-x)有整数解，那么符合条件的所有整数a的和为(　　)
A．- 2 B．- 5 C．- 7 D．- 8
【答案】C
【知识点】解一元一次不等式组；解系数含参的一元一次方程；一元一次不等式组的含参问题
【解析】【解答】解：解不等式 得 ，
不等式组的第二个不等式解集为 ，
∴不等式组的解集为 ，
∵不等式组有且只有两个整数解，大于的两个连续整数为，
∴
∴
解得 ，
∵是整数，
∴的可能取值为，
解一元一次方程
去括号得
整理得
即 ，
∵方程有整数解，
∴是的整数倍，
逐个验证得，符合条件的为和，
∴所有符合条件的整数的和为 ．
故答案为：C.
【分析】先解不等式组，根据 有且只有两个整数解求出a的取值范围，然后解方程求出 ，即可得到是的整数倍，然后求出a的整数值，求和解答即可．
10． 如图， 在△ABC 中， ∠ACB=90°， CD⊥AB 于点 D， AN 是角平分线，延长AN 交△ABC 的外角∠CBE 的平分线 BF 于点F，H为AF上一点，且∠FBH=45°，则下列结论：
①∠CMN=∠CNM； ②∠F=45°； ③BH⊥AF； ④∠NCD=2∠HBN，其中正确的是(　　)
A．②③ B．①②③ C．①④ D．①②③④
【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：平分，
，
，
，
，
，
，
，
，
①正确；
，
又平分，
，
，
，
，
，即，
，
②、③正确；
，，
，
，
，
④正确．
故答案为：D.
【分析】根据角平线的定义得到∠CAN=∠BAF，再根据等角的余角相等得到∠CMN=∠CNM判断①；然后根据三角形的外角和角平分线的定义的得到，又根据，即可得到∠HBN=∠CAN，进而根据三角形的内角和得到∠BHN=90°，求出∠F的值判断②、③；根据三角形的内角和和得到∠NCD与∠HBN的倍数关系判断④解答即可.
11． 在方程2x-y=3中， 用含x的代数式表示y， 则y=　 　.
【答案】2x-3
【知识点】解二元一次方程
【解析】【解答】解：移项得，-y=3-2x，
系数化为1得，y=2x-3．
故答案为：2x-3．
【分析】把x看作已知量，先移项，再把y的系数化为1即可．
12．若关于x的方程是一元一次方程，则k的值是=　 　.
【答案】2
【知识点】一元一次方程的概念
【解析】【解答】解：∵关于的方程是一元一次方程，
∴，且，
∴，
故答案为：．
【分析】根据一元一次方程的定义可得，且，求出k的取值范围即可．
13． 已知△ABC的三边长分别为a， b， c， 其中a=2， b=3， c的长度为奇数， 则c=　 　.
【答案】3
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：根据三角形三边关系得
即.
又因为的长度为奇数，
所以．
故答案为：3.
【分析】根据三角形三边关系得到第三边的取值范围，求出奇数c的值即可．
14． 如图， D，E分别是△ABC 的AB， BC 上的点， 连接AE， CD 相交于点 F， 且 AD=2BD，BE=CE. 设△ADF 的面积为S1， △CEF 的面积为 S2. 如果 则 的值为=　 　．
【答案】2
【知识点】三角形的面积；利用三角形的中线求面积
【解析】【解答】解：，
，
，
．
，，
，
，
即．
故答案为：2．
【分析】根据中线分出的两个三角形的面积相等得到△ABE的面积为6，然后根据三等分点得到△BCD的面积为4，再根据解答即可.
15． 如图，P 是∠AOB 内任意一点，OP=6cm， 点 M 和点 N分别是射线 OA 和射线OB 上的动点， △PMN周长的最小值是6cm，则∠AOB 的度数是　 　.
【答案】30°
【知识点】等边三角形的判定与性质；轴对称的应用-最短距离问题；将军饮马模型-两线一点（两动一定）
【解析】【解答】解：分别作点P关于OA、OB的对称点D、C，连接CD，分别交OA、OB于点M、N，连接OC、OD、PM、PN，如图所示：
∵点P关于OA的对称点为D，关于OB的对称点为C，
∴PM=DM，OP=OD，∠DOA=∠POA；
PN=CN，OP=OC，∠COB=∠POB，
∴OC=OP=OD，∠AOB=∠COD，
∵△PMN周长的最小值是6cm，
∴PM+PN+MN=6，
∴DM+CN+MN=6，
即CD=6=OP，
∴OC=OD=CD，
即△OCD是等边三角形，
∴∠COD=60°，
∴∠AOB=30°，
故答案为：30°．
【分析】分别作点P关于OA、OB的对称点D、C，连接CD，分别交OA、OB于点M、N，根据对称性得到OP=OC=OD，∠COA=∠POA，∠DOB=∠POB，即可得到∠AOB=∠COD，然后得到△OCD是等边三角形解答即可．
16．解方程：3(2-x)=4-x.
【答案】解：
．
【知识点】解含括号的一元一次方程
【解析】【分析】根据去括号，移项，合并同类项，系数化为1解方程即可．
17．解不等式组： 并把它的解集在如图所示的数轴上表示出来.
【答案】解：
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集为：．
在数轴上表示为：
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【分析】先求出每个不等式的解集，在数轴上表示不等式组的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集，再在数轴上表示出不等式组的解集即可．
18．如图，在10×10的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，△ABC 的三个顶点均在小方格的格点上.
（1）画出△ABC 向下平移4个单位长度后的△A1B1C1；
（2）画出△ABC 关于点O 成中心对称的图形△A2B2C2；
（3）画出△ABC绕点O 顺时针旋转90°后的△A，B3C3.
【答案】（1）解：如图，即为所求；
（2）解：如图，即为所求；
（3）解：如图，即为所求；
【知识点】作图﹣平移；作图﹣旋转；作图﹣中心对称
【解析】【分析】（1）根据平移的性质作出点A，B，C的对应点，再首尾顺次连接得到△A1B1C1即可；
（2）根据中心对称的性质得到作出A、B、C关于点对称的对应点，然后顺次连接△A2B2C2 即可；
（3）根据旋转的性质将点A，B，C绕点O顺时针旋转得到点，，，再首尾顺次连接得出即可．
19．已知关于x，y的方程组
（1）若该方程组的解满足x+y>10，求m的取值范围；
（2） 若该方程组的解满足3x+2y=12， 求m 的值.
【答案】（1）解：得：，
则，
∵，
∴
∴；
（2）解：得：
，
把代入①得：，
∴方程组的解为，
∵，
∴
．
【知识点】二元一次方程（组）的同解问题；已知二元一次方程组的解求参数
【解析】【分析】（1）两式相加可得，然后根据求出m的取值范围即可；
（2）解方程组求出，然后代入求出的值．
20．在数学活动课上，某同学在一个大长方形中画出如图所示的8个大小一样的小长方形.
（1）求小长方形的长和宽.
（2）求大长方形中阴影部分的面积.
【答案】（1）解：设小长方形的长为，宽为，
根据图形可得，即
解方程组得，
长方形的长和宽分别为5，2；
（2）解：设大长方形长为，宽为，
由题意得，，
∴，，
∴，
故大长方形中阴影部分的面积28.
【知识点】二元一次方程组的应用-几何问题
【解析】【分析】（1） 设小长方形的长为x，宽为y，由矩形的对边都相等和边长的构成可得关于x、y的方程组，解之可求解；
（2）根据S阴影=S大长方形-8S小长方形可求解.
21．如图，在△ABC中，AF平分∠BAC交BC 于点 F， 点 D， 点E分别在CA，BA 的延长线上，AF∥CE， ∠D=∠E.
（1）试说明： BD∥AF；
（2）若∠BAD=80°， ∠ABD=2∠ABC， 求∠AFC的度数.
【答案】（1）证明：∵
∴．
∵平分，
∴，
∴．
又∵，
∴，
∴；
（2）解：∵平分，
∴．
由（1）得，
∴．
∵，
∴
∴，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
【知识点】平行线的判定与性质；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）先根据两直线平行，同位角相等可得，根据角平分线的定义得到，根据等量代换得到，根据同位角相等，两直线平行证明结论即可；
（2）根据角平分线的定义可得，结合（1）得，即可求出的度数，再根据三角形内角和求出，根据角的和差求出，最后根据两直线平行，内错角相等解答即可．
22．为响应习主席提出的“足球进校园”的号召，某中学开设了“足球大课间活动”，购买A种品牌的足球50个，B种品牌的足球25个，共花费4500元，已知B种品牌足球的单价比A种品牌足球的单价高30元.
（1）求A，B两种品牌足球的单价各多少元
（2）根据需要，学校决定再次购进A，B两种品牌的足球50个，正逢体育用品商店“优惠促销”活动，A种品牌的足球单价优惠4元，B种品牌的足球单价打8折.若此次学校购买A，B两种品牌足球的总费用不超过2750元，且购买B种品牌的足球不少于23个，则学校可有几种购买方案
【答案】（1）解：设甲种品牌足球的单价是x元，乙种品牌足球的单价是y元，
由题意可得：，解得
答：甲种品牌足球的单价是元，乙种品牌足球的单价是元；
（2）解：设购买m个乙种品牌的足球，则购买个甲种品牌的足球，
由题意可得：，
解得，
又∵m为正整数，
∴m可以为，，，
∴共有3种购买方案，
方案1：购买个甲种品牌的足球，个乙种品牌的足球；
方案2：购买个甲种品牌的足球，个乙种品牌的足球；
方案3：购买个甲种品牌的足球，个乙种品牌的足球．
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题；一元一次不等式组的实际应用-方案问题
【解析】【分析】（1）设甲种品牌足球的单价是x元，乙种品牌足球的单价是y元，根据题意列方程组求出x，y的值即可；
（2）设购买m个乙种品牌的足球，则购买个甲种品牌的足球，根据“学校购买甲、乙两种品牌足球的总费用不超过元，且购买乙种品牌的足球不少于个”列不等式组求出m的取值范围，再根据整数m的值得到方案即可．
23．已知数轴上两点A，B对应的数分别为-1，3，点 P 为数轴上一个动点，其对应的数为x.
（1）若点 P 到点A，点 B 的距离相等，则点 P 对应的数为　 　；
（2）数轴上是否存在点 P，使点 P到点A，点B 的距离之和为8 若存在，请求出x的值；若不存在，说明理由；
（3）现在点A，点 B 分别以2个单位长度/秒和1个单位长度/秒的速度同时向右运动，点P 以6个单位长度/秒的速度同时从O点向左运动.当PA-AB的值为10时，求点 P 所对应的数是多少
【答案】（1）1
（2）解：①当点P在A左边时，
解得：；
②点P在B点右边时，，
解得：，
综上所述，当或5时，点P到点A、点B的距离之和为8；
（3）解：设运动时间为t，
根据题意得，运动后点A表示的数为，点B表示的数为，点P表示的数为，
∴，
∵的值为10
∴
∴当时，
解得（舍去）；
当时，
解得
∴点P表示的数为；
当时，
解得（舍去）；
综上所述，点P所对应的数是．
【知识点】解含绝对值符号的一元一次方程；一元一次方程的实际应用-几何问题；数轴上两点之间的距离；数轴的点常规运动模型
【解析】【解答】（1）解：∵点P到点A、点B的距离相等，
∴点P是线段的中点，
∵点A、B对应的数分别为、3，
∴点P对应的数是；
故答案为：1；
【分析】（1）根据中点的计算公式计算即可；
（2）分两种点P在A左边时，点P在B点右边两种情况列方程求出x的值即可；
（3）首先表示出运动后点A，B，P表示的数，即可得到，长，然后根据题意得到，然后分为，，三种情况去绝对值解方程求出t的值即可．
24．【问题背景】
数学活动课上，老师和同学们一起探究三角形中双角平分线的性质.
（1）【初步探究】
如图1，在△ABC 中，∠A=m°，∠ABC，∠ACB 的平分线交于点O，的外角∠CBD，∠BCE 的平分线交于点 O'.∠BOC 的度数为　 　，的度数为　 　，∠BOC 与∠BO'C 的数量关系是　 　；
（2）【操作探究】
如图2，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线交于点O，将沿 MN折叠使得点A 与点O重合，请写出∠1+∠2与∠BOC的一个等量关系式，并说明理由；
（3）【深化拓展】
如图3， △ABC 的外角∠CBD， ∠BCE的平分线交于点 O'， 过点O'作直线 PQ 交 AD于点 P，交AE 于点 Q. 当. 时，请求出与 的数量关系.
【答案】（1）；；∠BOC+∠BO'C=180°
（2）解：，理由如下：
由折叠的性质可知，，，
，，
，
，
由（1）同理可证，，
，
；
（3）解：四边形的内角和为，
，
平分，平分，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；角平分线的概念；多边形的内角和公式
【解析】【解答】（1）解：，
，
平分，平分，
，，
，
，
∵，
∴∠ECB+∠DBC=360°-(∠ABC+∠ACB)=180°+m°，
又∵O'C、O'B是∠ECB、∠DBC的平分线，
∴
∴∠O'=180°-(∠O'CB+∠O'BC)=，
∴∠BOC+∠BO'C=180°，
故答案为：；；∠BOC+∠BO'C=180°；
【分析】（1）根据三角形的内角和得到，再根据角平分线的定义求出，再根据三角形的内角和求出∠BOC的度数；根据三角形外角的定义求出，再根据角平分线的定义可得，然后利用三角形内角和定理求出的度数；进而得到∠BOC与的数量关系解答即可；
（2）由折叠得到，，即可得到，，然后利用三角形内角和定得到，即可得到，据此解答即可；
（3）根据多边形内角和与角平分线的定义得到，再根据三角形外角得到，再利用解答即可．
1 / 1四川省仁寿县2025-2026年下学期七年级期末教学质量监测数学试卷
1．下列各式中，是一元一次方程的是(　　)
A．x-6 B．x-2y=12 C．5x+8=2x D．
2．中国“二十四节气”已被列人联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别代表“立春”“立夏”“芒种”“大雷”，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是(　　)
A． B．
C． D．
3．下列不等式组中，无解的是(　　)
A． B． C． D．
4．下列等式变形错误的是(　　)
A．若x=y，则x-6=y-6 B．若 mx= my，则x=y
C．若 则x=y D．若-2x=-2y， 则x=y
5．在△ABC中，作BC边上的高，下列选项中正确的是(　　)
A． B．
C． D．
6．小林同学在学了“用正多边形铺设地面”这个知识后，建议妈妈对他家房屋地面进行装修.妈妈选中了一种漂亮的正八边形地砖，他告诉妈妈，只用一种正八边形地砖是不能铺满地面的，需要与另外一种边长相等的正多边形地砖组合使用，小林应建议妈妈选择另一种地砖的形状为(　　)
A．正三角形 B．正方形 C．正五边形 D．正六边形
7． 如图， ∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H=(　　)
A．180° B．360° C．540° D．720°
8．《九章算术》是我国古代经典著作，书中有一个问题：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等；交易其一，金轻十三两.问金、银一枚各重几何 ”意思是甲袋中装有黄金9枚(每枚黄金重量相同)，乙袋中装有白银11枚(每枚白银重量相同)，两袋称重后相等，两袋相互交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13 两 (袋子重量忽略不计).问黄金、白银每枚各重多少两 设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，则可列方程组为(　　)
A． B．
C． D．
9．若不等式组 有且只有两个整数解，且关于x的方程2+a=3(4-x)有整数解，那么符合条件的所有整数a的和为(　　)
A．- 2 B．- 5 C．- 7 D．- 8
10． 如图， 在△ABC 中， ∠ACB=90°， CD⊥AB 于点 D， AN 是角平分线，延长AN 交△ABC 的外角∠CBE 的平分线 BF 于点F，H为AF上一点，且∠FBH=45°，则下列结论：
①∠CMN=∠CNM； ②∠F=45°； ③BH⊥AF； ④∠NCD=2∠HBN，其中正确的是(　　)
A．②③ B．①②③ C．①④ D．①②③④
11． 在方程2x-y=3中， 用含x的代数式表示y， 则y=　 　.
12．若关于x的方程是一元一次方程，则k的值是=　 　.
13． 已知△ABC的三边长分别为a， b， c， 其中a=2， b=3， c的长度为奇数， 则c=　 　.
14． 如图， D，E分别是△ABC 的AB， BC 上的点， 连接AE， CD 相交于点 F， 且 AD=2BD，BE=CE. 设△ADF 的面积为S1， △CEF 的面积为 S2. 如果 则 的值为=　 　．
15． 如图，P 是∠AOB 内任意一点，OP=6cm， 点 M 和点 N分别是射线 OA 和射线OB 上的动点， △PMN周长的最小值是6cm，则∠AOB 的度数是　 　.
16．解方程：3(2-x)=4-x.
17．解不等式组： 并把它的解集在如图所示的数轴上表示出来.
18．如图，在10×10的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，△ABC 的三个顶点均在小方格的格点上.
（1）画出△ABC 向下平移4个单位长度后的△A1B1C1；
（2）画出△ABC 关于点O 成中心对称的图形△A2B2C2；
（3）画出△ABC绕点O 顺时针旋转90°后的△A，B3C3.
19．已知关于x，y的方程组
（1）若该方程组的解满足x+y>10，求m的取值范围；
（2） 若该方程组的解满足3x+2y=12， 求m 的值.
20．在数学活动课上，某同学在一个大长方形中画出如图所示的8个大小一样的小长方形.
（1）求小长方形的长和宽.
（2）求大长方形中阴影部分的面积.
21．如图，在△ABC中，AF平分∠BAC交BC 于点 F， 点 D， 点E分别在CA，BA 的延长线上，AF∥CE， ∠D=∠E.
（1）试说明： BD∥AF；
（2）若∠BAD=80°， ∠ABD=2∠ABC， 求∠AFC的度数.
22．为响应习主席提出的“足球进校园”的号召，某中学开设了“足球大课间活动”，购买A种品牌的足球50个，B种品牌的足球25个，共花费4500元，已知B种品牌足球的单价比A种品牌足球的单价高30元.
（1）求A，B两种品牌足球的单价各多少元
（2）根据需要，学校决定再次购进A，B两种品牌的足球50个，正逢体育用品商店“优惠促销”活动，A种品牌的足球单价优惠4元，B种品牌的足球单价打8折.若此次学校购买A，B两种品牌足球的总费用不超过2750元，且购买B种品牌的足球不少于23个，则学校可有几种购买方案
23．已知数轴上两点A，B对应的数分别为-1，3，点 P 为数轴上一个动点，其对应的数为x.
（1）若点 P 到点A，点 B 的距离相等，则点 P 对应的数为　 　；
（2）数轴上是否存在点 P，使点 P到点A，点B 的距离之和为8 若存在，请求出x的值；若不存在，说明理由；
（3）现在点A，点 B 分别以2个单位长度/秒和1个单位长度/秒的速度同时向右运动，点P 以6个单位长度/秒的速度同时从O点向左运动.当PA-AB的值为10时，求点 P 所对应的数是多少
24．【问题背景】
数学活动课上，老师和同学们一起探究三角形中双角平分线的性质.
（1）【初步探究】
如图1，在△ABC 中，∠A=m°，∠ABC，∠ACB 的平分线交于点O，的外角∠CBD，∠BCE 的平分线交于点 O'.∠BOC 的度数为　 　，的度数为　 　，∠BOC 与∠BO'C 的数量关系是　 　；
（2）【操作探究】
如图2，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线交于点O，将沿 MN折叠使得点A 与点O重合，请写出∠1+∠2与∠BOC的一个等量关系式，并说明理由；
（3）【深化拓展】
如图3， △ABC 的外角∠CBD， ∠BCE的平分线交于点 O'， 过点O'作直线 PQ 交 AD于点 P，交AE 于点 Q. 当. 时，请求出与 的数量关系.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】一元一次方程的概念
【解析】【解答】解：∵是代数式，不是等式，不属于方程，
∴A不符合题意；
∵含有两个未知数，不是一元方程，
∴B不符合题意；
∵只含有一个未知数，且未知数的最高次数为1，是整式方程，属于一元一次方程，
∴C符合题意；
∵中未知数的最高次数是2，不是一元一次方程，
∴D不符合题意
故答案为：C
【分析】根据一元一次方程的定义“只含有一个未知数，且未知数最高次数为1的整式方程”判断即可.
2．【答案】D
【知识点】轴对称图形；中心对称图形
【解析】【解答】解：A选项：该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故A选项不符合题意；
B选项：该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故B选项不符合题意；
C选项：该图形既不是轴对称图形，又不是中心对称图形，故C选项不符合题意；
D选项：该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故D选项符合题意．
故答案为：D.
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义“一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形”逐项判断即可．
3．【答案】D
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：选项A：，由同小取小得解集为，有解；
选项B：，由大小小大中间找得解集为，有解；
选项C，，由同大取大得解集为，有解；
选项D，，由大大小小无解得不存在实数同时满足且，该不等式组无解．
故答案为：D.
【分析】根据“大大小小无解了”解答即可．
4．【答案】B
【知识点】利用等式的性质将等式变形
【解析】【解答】解：根据等式的基本性质判断：
对于A，∵，等式两边同时减同一个数6，等式仍然成立，
∴，变形正确；
对于B，若，当时，无论是否相等，等式都成立，
∴无法推出，变形错误；
对于C，∵，分式分母不为0，可得，等式两边同时乘，等式仍然成立，
∴，变形正确；
对于D，∵，等式两边同时除以非零数，等式仍然成立，
∴，变形正确；
故答案为：B．
【分析】根据等式的基本性质“等式的两边同时加上或减去同一个数或字母，结果仍相等；等式的两边同时乘以或除以同一个不为0的数或字母，结果仍相等”逐项判断即可．
5．【答案】D
【知识点】三角形的高
【解析】【解答】解：在中，作边上的高，作法正确的是：
故选：D.
【分析】根据三角形高线的定义“过三角形的顶点向对边引垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线”判断即可．
6．【答案】B
【知识点】平面镶嵌（密铺）
【解析】【解答】解：A项，正八边形、正三角形的每个内角度数分别为，，显然不能构成的周角，所以不能铺满，不符合题意；
B项，正方形、正八边形的每个内角度数分别为，，由于，所以能铺满，符合题意
C项，正六边形和正八边形的每个内角度数分别为，，显然不能构成的周角，所以不能铺满；
D项，正八边形、正五边形的每个内角度数分别为，，显然不能构成的周角，所以不能铺满，不符合题意．
故选：B．
【分析】先求出正八边形和选项中多边形的内角度数，然后根据镶嵌即可在顶点处围成360°，据此判断即可．
7．【答案】B
【知识点】三角形外角的概念及性质；多边形的外角和公式
【解析】【解答】解：如图，
，，，，
，
又，
．
故选：B．
【分析】根据三角形的外角得到，，，，然后根据多边形的外角和为360°解答即可．
8．【答案】A
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：∵ 原来9枚黄金总重量与11枚白银总重量相等，每枚黄金重两，每枚白银重两，
∴；
∵ 交换1枚后，甲袋重量为，乙袋重量为，甲袋比乙袋轻13两，即乙袋重量比甲袋重量多13两，
∴；
因此可得方程组.
故答案为：A.
【分析】设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，根据题意列方程组即可.
9．【答案】C
【知识点】解一元一次不等式组；解系数含参的一元一次方程；一元一次不等式组的含参问题
【解析】【解答】解：解不等式 得 ，
不等式组的第二个不等式解集为 ，
∴不等式组的解集为 ，
∵不等式组有且只有两个整数解，大于的两个连续整数为，
∴
∴
解得 ，
∵是整数，
∴的可能取值为，
解一元一次方程
去括号得
整理得
即 ，
∵方程有整数解，
∴是的整数倍，
逐个验证得，符合条件的为和，
∴所有符合条件的整数的和为 ．
故答案为：C.
【分析】先解不等式组，根据 有且只有两个整数解求出a的取值范围，然后解方程求出 ，即可得到是的整数倍，然后求出a的整数值，求和解答即可．
10．【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：平分，
，
，
，
，
，
，
，
，
①正确；
，
又平分，
，
，
，
，
，即，
，
②、③正确；
，，
，
，
，
④正确．
故答案为：D.
【分析】根据角平线的定义得到∠CAN=∠BAF，再根据等角的余角相等得到∠CMN=∠CNM判断①；然后根据三角形的外角和角平分线的定义的得到，又根据，即可得到∠HBN=∠CAN，进而根据三角形的内角和得到∠BHN=90°，求出∠F的值判断②、③；根据三角形的内角和和得到∠NCD与∠HBN的倍数关系判断④解答即可.
11．【答案】2x-3
【知识点】解二元一次方程
【解析】【解答】解：移项得，-y=3-2x，
系数化为1得，y=2x-3．
故答案为：2x-3．
【分析】把x看作已知量，先移项，再把y的系数化为1即可．
12．【答案】2
【知识点】一元一次方程的概念
【解析】【解答】解：∵关于的方程是一元一次方程，
∴，且，
∴，
故答案为：．
【分析】根据一元一次方程的定义可得，且，求出k的取值范围即可．
13．【答案】3
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：根据三角形三边关系得
即.
又因为的长度为奇数，
所以．
故答案为：3.
【分析】根据三角形三边关系得到第三边的取值范围，求出奇数c的值即可．
14．【答案】2
【知识点】三角形的面积；利用三角形的中线求面积
【解析】【解答】解：，
，
，
．
，，
，
，
即．
故答案为：2．
【分析】根据中线分出的两个三角形的面积相等得到△ABE的面积为6，然后根据三等分点得到△BCD的面积为4，再根据解答即可.
15．【答案】30°
【知识点】等边三角形的判定与性质；轴对称的应用-最短距离问题；将军饮马模型-两线一点（两动一定）
【解析】【解答】解：分别作点P关于OA、OB的对称点D、C，连接CD，分别交OA、OB于点M、N，连接OC、OD、PM、PN，如图所示：
∵点P关于OA的对称点为D，关于OB的对称点为C，
∴PM=DM，OP=OD，∠DOA=∠POA；
PN=CN，OP=OC，∠COB=∠POB，
∴OC=OP=OD，∠AOB=∠COD，
∵△PMN周长的最小值是6cm，
∴PM+PN+MN=6，
∴DM+CN+MN=6，
即CD=6=OP，
∴OC=OD=CD，
即△OCD是等边三角形，
∴∠COD=60°，
∴∠AOB=30°，
故答案为：30°．
【分析】分别作点P关于OA、OB的对称点D、C，连接CD，分别交OA、OB于点M、N，根据对称性得到OP=OC=OD，∠COA=∠POA，∠DOB=∠POB，即可得到∠AOB=∠COD，然后得到△OCD是等边三角形解答即可．
16．【答案】解：
．
【知识点】解含括号的一元一次方程
【解析】【分析】根据去括号，移项，合并同类项，系数化为1解方程即可．
17．【答案】解：
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集为：．
在数轴上表示为：
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【分析】先求出每个不等式的解集，在数轴上表示不等式组的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集，再在数轴上表示出不等式组的解集即可．
18．【答案】（1）解：如图，即为所求；
（2）解：如图，即为所求；
（3）解：如图，即为所求；
【知识点】作图﹣平移；作图﹣旋转；作图﹣中心对称
【解析】【分析】（1）根据平移的性质作出点A，B，C的对应点，再首尾顺次连接得到△A1B1C1即可；
（2）根据中心对称的性质得到作出A、B、C关于点对称的对应点，然后顺次连接△A2B2C2 即可；
（3）根据旋转的性质将点A，B，C绕点O顺时针旋转得到点，，，再首尾顺次连接得出即可．
19．【答案】（1）解：得：，
则，
∵，
∴
∴；
（2）解：得：
，
把代入①得：，
∴方程组的解为，
∵，
∴
．
【知识点】二元一次方程（组）的同解问题；已知二元一次方程组的解求参数
【解析】【分析】（1）两式相加可得，然后根据求出m的取值范围即可；
（2）解方程组求出，然后代入求出的值．
20．【答案】（1）解：设小长方形的长为，宽为，
根据图形可得，即
解方程组得，
长方形的长和宽分别为5，2；
（2）解：设大长方形长为，宽为，
由题意得，，
∴，，
∴，
故大长方形中阴影部分的面积28.
【知识点】二元一次方程组的应用-几何问题
【解析】【分析】（1） 设小长方形的长为x，宽为y，由矩形的对边都相等和边长的构成可得关于x、y的方程组，解之可求解；
（2）根据S阴影=S大长方形-8S小长方形可求解.
21．【答案】（1）证明：∵
∴．
∵平分，
∴，
∴．
又∵，
∴，
∴；
（2）解：∵平分，
∴．
由（1）得，
∴．
∵，
∴
∴，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
【知识点】平行线的判定与性质；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）先根据两直线平行，同位角相等可得，根据角平分线的定义得到，根据等量代换得到，根据同位角相等，两直线平行证明结论即可；
（2）根据角平分线的定义可得，结合（1）得，即可求出的度数，再根据三角形内角和求出，根据角的和差求出，最后根据两直线平行，内错角相等解答即可．
22．【答案】（1）解：设甲种品牌足球的单价是x元，乙种品牌足球的单价是y元，
由题意可得：，解得
答：甲种品牌足球的单价是元，乙种品牌足球的单价是元；
（2）解：设购买m个乙种品牌的足球，则购买个甲种品牌的足球，
由题意可得：，
解得，
又∵m为正整数，
∴m可以为，，，
∴共有3种购买方案，
方案1：购买个甲种品牌的足球，个乙种品牌的足球；
方案2：购买个甲种品牌的足球，个乙种品牌的足球；
方案3：购买个甲种品牌的足球，个乙种品牌的足球．
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题；一元一次不等式组的实际应用-方案问题
【解析】【分析】（1）设甲种品牌足球的单价是x元，乙种品牌足球的单价是y元，根据题意列方程组求出x，y的值即可；
（2）设购买m个乙种品牌的足球，则购买个甲种品牌的足球，根据“学校购买甲、乙两种品牌足球的总费用不超过元，且购买乙种品牌的足球不少于个”列不等式组求出m的取值范围，再根据整数m的值得到方案即可．
23．【答案】（1）1
（2）解：①当点P在A左边时，
解得：；
②点P在B点右边时，，
解得：，
综上所述，当或5时，点P到点A、点B的距离之和为8；
（3）解：设运动时间为t，
根据题意得，运动后点A表示的数为，点B表示的数为，点P表示的数为，
∴，
∵的值为10
∴
∴当时，
解得（舍去）；
当时，
解得
∴点P表示的数为；
当时，
解得（舍去）；
综上所述，点P所对应的数是．
【知识点】解含绝对值符号的一元一次方程；一元一次方程的实际应用-几何问题；数轴上两点之间的距离；数轴的点常规运动模型
【解析】【解答】（1）解：∵点P到点A、点B的距离相等，
∴点P是线段的中点，
∵点A、B对应的数分别为、3，
∴点P对应的数是；
故答案为：1；
【分析】（1）根据中点的计算公式计算即可；
（2）分两种点P在A左边时，点P在B点右边两种情况列方程求出x的值即可；
（3）首先表示出运动后点A，B，P表示的数，即可得到，长，然后根据题意得到，然后分为，，三种情况去绝对值解方程求出t的值即可．
24．【答案】（1）；；∠BOC+∠BO'C=180°
（2）解：，理由如下：
由折叠的性质可知，，，
，，
，
，
由（1）同理可证，，
，
；
（3）解：四边形的内角和为，
，
平分，平分，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；角平分线的概念；多边形的内角和公式
【解析】【解答】（1）解：，
，
平分，平分，
，，
，
，
∵，
∴∠ECB+∠DBC=360°-(∠ABC+∠ACB)=180°+m°，
又∵O'C、O'B是∠ECB、∠DBC的平分线，
∴
∴∠O'=180°-(∠O'CB+∠O'BC)=，
∴∠BOC+∠BO'C=180°，
故答案为：；；∠BOC+∠BO'C=180°；
【分析】（1）根据三角形的内角和得到，再根据角平分线的定义求出，再根据三角形的内角和求出∠BOC的度数；根据三角形外角的定义求出，再根据角平分线的定义可得，然后利用三角形内角和定理求出的度数；进而得到∠BOC与的数量关系解答即可；
（2）由折叠得到，，即可得到，，然后利用三角形内角和定得到，即可得到，据此解答即可；
（3）根据多边形内角和与角平分线的定义得到，再根据三角形外角得到，再利用解答即可．
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