资源简介

浙江省绍兴市柯桥区2025-2026学年下学期七年级期末学业质量诊断卷数学卷
1．若分式 无意义，则x的值是(　　)
A．4 B．0 C．3 D．-3
2．下列多项式乘法中，可以用平方差公式计算的是(　　)
A．(x+2)(2+x) B．(-a+b) (a-b)
C．(m-n)(-m-n) D．(2a+b)(2a-2b)
3．下列各因式分解正确的是(　　)
A． B．
C． D．
4．将方程 两边同乘(x-1)后，可变形为(　　)
A．1+3=-3x B．1+3(x-1)=-3x
C．1+3=3x D．1+3(x-1)=3x
5．体重指数(BMI)是国际上衡量人体胖瘦程度及健康状况的常用标准，主要用于筛查是否存在超重、肥胖或体重不足.体重指数计算公式为：体重指数=体重(kg)÷身高2(m).某中学为了解七年级600名男生的体重指数情况，随机抽取了50名男生，测得他们的体重指数并整理如下：
等级 偏瘦 正常 超重 肥胖
体重指数 ≤15.4 15.5~22.1 22.2~24.9 ≥25.0
人数/名 6 35 7 2
根据以上信息，估计该校七年级600名男生中体重指数等级为正常的是(　　)
A．35名 B．42名 C．350名 D．420名
6．满足二元一次方程 ax+by=0和 cx+dy=4的部分x，y值分别如表1、表2所示，则方程组 的解是(　　)
表1 x -2 -1 0 1
　 y 4 2 0 -2
表 2 x -2 -1 0 1
　 y -8 -6 -4 -2
A． B． C． D．
7．共享单车是一种低碳环保的出行方式，图①是某品牌共享单车，图②是其示意图，其中AB， CD 都与地面平行， CE平分∠ACD， ∠BAC=58°， 则当∠MAC为 (　　) 度时， AM与BC平行.
A．64 B．58 C．61 D．52
8．计算(　　)
A． B． C． D．
9．我们把M={1，3，x}叫集合M，其中1，3，x叫做集合M的元素，集合中的元素具有确定性，互异性(如x≠1，x≠3)，无序性(即改变元素的顺序后，新集合与原集合相等).已知集合 集合B={y， |x|，-1}，若A=B，则x+y的值是(　　)
A．4 B．2 C．0 D．-1
10．某段待检修的高铁轨道总长为a米.检修组长说：“若再铺设4米新轨，就能刚好分成x段8米和y段10米的标准检测段”.技术员说：“若裁去6米破损段，就能刚好分成(x+2)段6米和(y-1)段7米的合格施工段”，则a可能是 (　　)米.
A．50 B．51 C．52 D．53
11．分解因式 =　 　.
12． 计算 的结果为　 　.
13．若分式的值为0，则x的值为　 　．
14． 若 则 　 　．
15．《代微积拾级》中用””来表示相当于 的代数式.若“”的值为2， “”的值为 ，则“天”与“地”的和为　 　.
16．某小组开展平行线性质探究时将一副三角板按图1方式放在两条平行线AB，CD之间，其中点E， F在直线AB 上， 点H，N在直线CD上， ∠EGH=∠FMN=90°， ∠GEH=45°，∠MFN=30°. ∠EFN的平分线 FP 交直线 CD于点 P，若∠EHD=50°. 现保持三角板 EGH不动，将三角板 FMN 从如图位置向左平移，若在运动过程中 MN与 EH始终平行，则∠FPN=　 　.
17．计算下列各题：
（1）
（2）
18． 解方程(组) ：
（1）
（2）
19．下面是小柯同学进行分式化简的过程，请认真阅读并完成任务：
化简：
解：原式①
②
③
④
（1）请指出小柯同学第一次出现错误步骤的序号： ▲ ；并写出正确的化简过程.
（2）请在-2，0，1，2中选择一个合适的数代入求值.
20．某校计划组织七年级学生外出开展研学活动，在选择研学活动地点时，随机抽取了部分学生进行调查，要求被调查的学生从A.鲁迅故里、B.安昌古镇、C.柯岩风景区、D.东湖、E.兰亭五个研学活动地点中选择自己最喜欢的一个.根据调查结果，绘制了如下两幅不完整的统计图.
（1）本次调查的学生人数为 ▲ 人，并在图1中补全条形统计图；
（2）请写出图2中研学活动地点C所在扇形的圆心角的度数是 ▲ ；
（3）若该校七年级共有800名学生，请估计最喜欢去D地研学的学生人数.
21． 如图， 在△ABC中， 点E在AC上， 点F在BC上， 点D， G 在AB上，DF∥AC， 且.
（1） 求证： EG||CD；
（2） 若∠EGD=70°， DF 平分∠BDC， 求∠AEG的度数.
22．《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部数学巨著，他在第二卷“几何与代数”中，阐述了数与形是 一家，即通过“以数解形”和“以形助数”，可以把代数公式与几何图形相互转化．
（1）观察图1，它所对应的公式为 ▲ (填写对应公式的序号).
（2）如图2，边长为a， b的长方形， 它的周长为20， 面积为8， 求(2a+1)(2b+1)的值.
（3）如图3，将A，B两张纸片放置于一个大正方形的纸片中，若已知A，B两张纸片的边长差为2，A，B两张纸片的面积和为20，求阴影部分的面积.
23．绍兴“朝花夕拾”文创店主打鲁迅语录盲盒、古风手账本、故乡主题钥匙扣，六 推出促销活动，借文创让青少年了解鲁迅精神．
素材1
素材2 文创盲盒进价比手账本进价贵15元，且用210元购买文创盲盒的数量与用120元购买古风手账本的数量相等．
素材3 为了刺激消费，商店实行以下优惠：
盲盒买5个首盒送2个钥匙扣手账本买4 本手账送1个钥匙扣
问题解决
任务1 求文创盲盒和古风手账本的进价．
任务2 小桥班按优惠方案购买盲盒与手账本，获赠若干钥匙扣，三种物品共39件，总花费 1200元，求盲盒数量．
24．新定义：如果两个实数m，n使得关于x的分式方程 的解是 成立，那么我们就把实数m，n组成的数对[m，n]称为关于x的分式方程 的一个“友好数对”.
例如：m=3，n=-5使得关于x的分式方程 的解是 成立，所以数对[3，-5]就是关于x的分式方程 的一个“友好数对”.
（1）判断下列数对是否为关于x的分式方程 的“友好数对”，若是，请在括号内打“√”.若不是，打“×”.
①[-1，2] 　 　； ②[2，-5] 　 　； ③[3，0] 　 　 ；
（2）若数对 是关于x的分式方程 的“友好数对”，求k的值；
（3）若数对[p-q，q] (p≠-l且p≠0， q≠1)是关于x的分式方程 的“友好数对”，且关于x的方程 有整数解，求整数p的值.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】解：若分式 无意义，则x-3=0，
解得x=3，
故选： C.
【分析】分式无意义即分母为0，由此计算即可.
2．【答案】C
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：根据平方差公式特征逐项分析判断如下：
A选项： 不能用平方差公式计算；
B选项： 不能用平方差公式计算；
C选项： 可以用平方差公式计算；
D选项：(2a+b)(2a-2b)，不能用平方差公式计算.
故选： C.
【分析】平方差公式的结构特征为：两个二项式相乘，其中一项完全相同，另一项互为相反数，满足该特征即可用平方差公式计算.
3．【答案】A
【知识点】因式分解的正确性判断
【解析】【解答】解：A、 ，因式分解正确，A 符合题意；
B、 不能分解为 ，故 B 错误，不符合题意；
C、 是整式乘法，不是因式分解，因式分解是将多项式化为几个整式乘积的形式，故 C 错误，不符合题意；
D、 ，原分解没有分解彻底，故 D 错误，不符合题意。
故选：A.
【分析】根据因式分解定义逐项判断即可.
4．【答案】B
【知识点】去分母法解分式方程
【解析】【解答】解：将分式方程变形为： 方程两边同时乘((x-1)，得1+3(x-1)=-3x.
故选： B.
【分析】根据解分式方程的方法解答即可.
5．【答案】D
【知识点】用样本估计总体
【解析】【解答】解：根据题意可知样本中正常等级的占比为
∴估计八年级600名男生中正常等级的人数为600×0.7=420名.
故选： D.
【分析】根据用样本估计总体的方法解答即可.
6．【答案】C
【知识点】列表法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：由表格数据可得二元一次方程ax+by=0和cx+dy=4相同的一组解是x=1，y=-2，
那么方程组 的解是
故选： C.
【分析】根据题意及表格，找出两个方程公共解即可.
7．【答案】C
【知识点】角平分线的概念；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解： ∵AB， CD都与地面l平行，
∴AB∥CD，
∴∠BAC+∠ACD=180°，
∵∠BAC=58°，
∴∠ACD=122°，
∵CE平分∠ACD，
∴当∠MAC=∠ACB=61°时， AM与CB平行，
故选： C.
【分析】根据“平行于同一直线的两直线互相平行”求出AB∥CD，根据平行线的判定与性质及角平分线定义求解即可.
8．【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：
故选：B.
【分析】先根据有理数的乘方法则、合并同类项法则分别计算，再根据同底数幂的乘法法则计算即可.
9．【答案】D
【知识点】偶次方的非负性；绝对值的非负性；化简含绝对值有理数
【解析】【解答】解：因为
由集合元素互异性：因为 所以x≠0，
所以x≠y，
y≠-1，
因为
所以x>0，
因为A=B，
所以
解得：x=-1，y=0，
x+y=-1+0=-1.
故选： D.
【分析】先利用集合元素不能重复的特点，排除：x=0、x=1的情况；因为两个集合相等，A里有元素0，所以B里的y=0；代入y=0后，根据集合元素对应相等，算出x=-1；最后计算x+y即可.
10．【答案】A
【知识点】解二元一次方程；二元一次方程组的其他应用
【解析】【解答】解：由题可得，
两式相减可得2x+3y=15，
∵x，y为正整数且y≥1，
∴或，
当x=6，y=1时，a=8x+10y-4=54，
当x=3，y=3时，a=8x+10y-4=50，
故答案为：A.
【分析】根据题意列方程组，然后两式相减得到2x+3y=15，求出x，y的正整数解，燃弧代入求出a的值解答即可.
11．【答案】 ．
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】 = x（2x-1）.
故答案为：x（2x-1）.
【分析】直接提公因式即可。
12．【答案】3a-1
【知识点】多项式除以单项式
【解析】【解答】解： ，
故答案为：3a-1；
【分析】根据多项式除以单项式的法则解答即可.
13．【答案】1
【知识点】分式的值为零的条件
【解析】 【解答】∵的值为0，∴x2=1，x=1或-1，∵x+1≠0，∴x≠-1，∴x=1
【分析】根据分式的值为零的条件可以求出x的值．
14．【答案】16
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：因为
所以
=9-m+7+m
=16.
故答案为：16.
【分析】通过将两个已知等式相加，消去含m的项，再利用完全平方公式变形求出 的值.
15．【答案】9
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题
【解析】【解答】解：设“天”与“地”分别为x，y，
由题意得：
整理得：
①+②得：5x+5y=45，
∴“天”与“地”的和为9.
故答案为：9.
【分析】设“天”与“地”分别为x，y，根据题意列方程组求解即可.
16．【答案】55°
【知识点】平行线的性质；角平分线的概念；平行线的应用-三角尺问题
【解析】【解答】解：∵MN∥EH，
∴∠MND=∠EHD=50°，
又∵∠MFN=30°，∠FMN=90°，
∴∠FNM=60°，
又∵AB∥CD，
∴∠AFN=∠FND=∠FNM+∠MND=50°+60°=110°，
∵FP平分∠AFN，
∴∠AFP=，
∵AB∥CD，
∴∠FPD=∠AFP=55°，
故答案为：55°.
【分析】根据两直线平行，同位角相等得到∠MND=50°，然后根据平角的定义求出∠FNP的度数，进而根据两直线平行，内错角相等求出∠AFN=110°，然后根据角平分线的额性质得到∠AFP=55°，再根据两直线平行，内错角相等得到∠FPD的度数即可.
17．【答案】（1）解：原式=1-8=-7；
（2）解：原式
【知识点】整式的混合运算；零指数幂；负整数指数幂
【解析】【分析】 (1)先计算零次幂和负整数次幂，再算加减即可；
(2)先运算完全平方、平方差公式展开，再去括号合并同类项解答即可.
18．【答案】（1）解：
①×2，得2x+4y=14③，
③-②，得y=11，
把y=11代入①，得x+2×11=7，
解得： x=-15，
∴方程组的解为
（2）把分式方程变形为：
方程两边同时乘(x-3)，得3=-4-(x-3)，
去括号，得3=-4-x+3，
移项、合并同类项，得x=-4，
检验：把x=-4代入x-3≠0，
∴分式方程的解为x=-4.
【知识点】加减消元法解二元一次方程组；去分母法解分式方程
【解析】【分析】(1)利用加减消元法解方程组即可；
(2)先把分式方程变形，然后再把分式方程转变为整式方程，解整式方程求出x的值，最后检验即可.
19．【答案】（1）②
原式
（2）解：
当 时，原式 .
【知识点】分式的混合运算
【解析】【解答】解：(1)由化简过程可知，第②步出现错误，
故答案为：②；
分析：(1)根据题中给出的化简过程解答即可；然后先运算括号内分式的加减，然后把除法化为乘法，约分化简即可；
(2)选出合适的 的值代入进行计算即可.
20．【答案】（1）100
选择A的人数为1100-20-40-25-5=10(人)，
补全条形统计图为：
（2）144°
（3）解： (人)，
答：最喜欢去D地研学的学生人数共有200人.
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解： (人)
∴本次调查的学生人数为100人，
故答案为：100；
(2)研学活动地点C所在扇形的圆心角的度数为：36
故答案为：
【分析】(1)根据选择B的人数是20人，所占的比例是20%，据此即可求得本次参加抽样调查的学生人数，进而求得选择A的人数，即可补全统计图；
(2)利用 乘以选择C的人数所占总人数的比即可得解；
(3)利用总人数800乘以对应的百分比即可求得.
21．【答案】（1）证明： ∵DF∥AC，
∴∠CDF=∠ACD.
∵∠CDF+∠CEG=180°，
∴∠ACD+∠CEG=180°，
∴EG∥CD；
（2）解： ∵EG∥CD，
∴∠EGD=∠BDC=70°，
∵DF平分∠BDC，
∵DF∥AC，
∴∠CDF=∠ACD=35°.
∵EG∥CD，
∴∠AEG=∠ACD=35°.
【知识点】平行线的判定与性质；角平分线的概念
【解析】【分析】(1)根据两直线平行，内错角相等得到∠CDF=∠ACD，然后根据等量代换得到∠ACD+∠CEG=180°，根据同旁内角互补，两直线平行证明结论；
(2)根据平行线的性质可得∠EGD=∠BDC=70°，然后根据角平分线的定义求出∠CDF=35°，再根据平行线的性质解答即可.
22．【答案】（1）①
（2）解：∵边长为a，b的长方形，它的周长为20，面积为8，
=4ab+2(a+b)+1
=40+16+1
=57.
（3）解：设正方形ABCD与正方形AEFG的边长分别为x、y，
∵两个正方形的面积和为20，BE=2，
解得：xy=8，
或x+y=-6(负数舍去)，
∴阴影部分的面积为： 正方形ABCD-S梯形ABFG
=6.
答：图中阴影部分的面积是6.
【知识点】完全平方公式的几何背景；数形结合
【解析】【解答】(1)解：∵大正方形的面积的第一种表示方法为 第一种表示方法为
故答案为：①.
【分析】(1)大正方形的面积的第一种表示方法为( 第二种表示方法为 据此即可解答；
(2)由题意可得 ab=8、a+b=10，然后将(2a+1)(2b+1)展开，然后将 ab=8、a+b=10整体代入计算即可；
(3)设正方形ABCD与正方形AEFG的边长分别为x、y，由题意可得 求出xy=8，得 所以x+y=6，可得(x+y)(x- 再根据S阴影=S正方形ABCD- 求解即可.
23．【答案】解：任务1：设文创盲盒的进价为x元，则古风手账本的进价为((x-15)元，
由题意得：
解得：x=35，
经检验，x=35是原方程的解，且符合题意，
答：文创盲盒的进价为35元，古风手账本的进价为20元；
任务2：设购买盲盒m个，手账本n个，
由题意得：
解得：
答：盲盒数量为10个.
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】任务1：设文创盲盒的进价为x元，则古风手账本的进价为(x-15)元，根据用210元购买文创盲盒的数量与用120元购买古风手账本的数量相等，列出分式方程，解方程即可；
任务2：设购买盲盒m个，手账本n个，根据三种物品共39件，总花费1200元，列出二元一次方程组，解方程组即可.
24．【答案】（1）×；√；×
（2）解：∵m=k2-2，n=-k2，
∴x=，
代入方程可得-2(k2-2)+1=-k2，
解得k=±；
（3）解：∵m=p-q，n=q，
∴x=，
代入方程得，即p2+1=pq+q
方程 可化为q(p+1)x-(p-1)(p+1)=-2px，
即(pq+q+2p)x=p2-1，
代入得(p2+2p+1)x=p2-1，即x=，
∵x为正数，p为正数，
∴p+1为2的约数，即p+1=±1，p+1=±2，
解得p=0（舍去），p=-2，p=1，p=-3，
又∵q≠1，即p2+1≠p+1，解得p≠1且p≠0，
故p的值为-2或-3.
【知识点】分式方程的解及检验；解系数含参的一元一次方程；已知分式方程的解求参数
【解析】【解答】解：（1）①当m=-1，n=2时，这时x=，代入左边=-1+1=0≠2，故不是“友好数对”；
②当m=2，n=-5时，x=，代入左边=-6+1=-5，是“友好数对”；
③当m=3，n=0时，x=，代入左边=9+1=10≠0，不是“友好数对”；
故答案为： × ， √ ， × ；
【分析】(1)根据“友好数对”的定义进行验证即可；
(2)根据“友好数对”的定义求出x的值，然后代入方程求出k的值解答即可；
(3)根据“友好数对”的定义求出x的值，然后代入方程得到p2+1=pq+q，然后解方程 得到x=1-，根据x，p均为整数求出p的值，然后根据q≠1得到p≠1，即可得到p的值解答即可.
1 / 1浙江省绍兴市柯桥区2025-2026学年下学期七年级期末学业质量诊断卷数学卷
1．若分式 无意义，则x的值是(　　)
A．4 B．0 C．3 D．-3
【答案】C
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】解：若分式 无意义，则x-3=0，
解得x=3，
故选： C.
【分析】分式无意义即分母为0，由此计算即可.
2．下列多项式乘法中，可以用平方差公式计算的是(　　)
A．(x+2)(2+x) B．(-a+b) (a-b)
C．(m-n)(-m-n) D．(2a+b)(2a-2b)
【答案】C
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：根据平方差公式特征逐项分析判断如下：
A选项： 不能用平方差公式计算；
B选项： 不能用平方差公式计算；
C选项： 可以用平方差公式计算；
D选项：(2a+b)(2a-2b)，不能用平方差公式计算.
故选： C.
【分析】平方差公式的结构特征为：两个二项式相乘，其中一项完全相同，另一项互为相反数，满足该特征即可用平方差公式计算.
3．下列各因式分解正确的是(　　)
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】因式分解的正确性判断
【解析】【解答】解：A、 ，因式分解正确，A 符合题意；
B、 不能分解为 ，故 B 错误，不符合题意；
C、 是整式乘法，不是因式分解，因式分解是将多项式化为几个整式乘积的形式，故 C 错误，不符合题意；
D、 ，原分解没有分解彻底，故 D 错误，不符合题意。
故选：A.
【分析】根据因式分解定义逐项判断即可.
4．将方程 两边同乘(x-1)后，可变形为(　　)
A．1+3=-3x B．1+3(x-1)=-3x
C．1+3=3x D．1+3(x-1)=3x
【答案】B
【知识点】去分母法解分式方程
【解析】【解答】解：将分式方程变形为： 方程两边同时乘((x-1)，得1+3(x-1)=-3x.
故选： B.
【分析】根据解分式方程的方法解答即可.
5．体重指数(BMI)是国际上衡量人体胖瘦程度及健康状况的常用标准，主要用于筛查是否存在超重、肥胖或体重不足.体重指数计算公式为：体重指数=体重(kg)÷身高2(m).某中学为了解七年级600名男生的体重指数情况，随机抽取了50名男生，测得他们的体重指数并整理如下：
等级 偏瘦 正常 超重 肥胖
体重指数 ≤15.4 15.5~22.1 22.2~24.9 ≥25.0
人数/名 6 35 7 2
根据以上信息，估计该校七年级600名男生中体重指数等级为正常的是(　　)
A．35名 B．42名 C．350名 D．420名
【答案】D
【知识点】用样本估计总体
【解析】【解答】解：根据题意可知样本中正常等级的占比为
∴估计八年级600名男生中正常等级的人数为600×0.7=420名.
故选： D.
【分析】根据用样本估计总体的方法解答即可.
6．满足二元一次方程 ax+by=0和 cx+dy=4的部分x，y值分别如表1、表2所示，则方程组 的解是(　　)
表1 x -2 -1 0 1
　 y 4 2 0 -2
表 2 x -2 -1 0 1
　 y -8 -6 -4 -2
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】列表法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：由表格数据可得二元一次方程ax+by=0和cx+dy=4相同的一组解是x=1，y=-2，
那么方程组 的解是
故选： C.
【分析】根据题意及表格，找出两个方程公共解即可.
7．共享单车是一种低碳环保的出行方式，图①是某品牌共享单车，图②是其示意图，其中AB， CD 都与地面平行， CE平分∠ACD， ∠BAC=58°， 则当∠MAC为 (　　) 度时， AM与BC平行.
A．64 B．58 C．61 D．52
【答案】C
【知识点】角平分线的概念；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解： ∵AB， CD都与地面l平行，
∴AB∥CD，
∴∠BAC+∠ACD=180°，
∵∠BAC=58°，
∴∠ACD=122°，
∵CE平分∠ACD，
∴当∠MAC=∠ACB=61°时， AM与CB平行，
故选： C.
【分析】根据“平行于同一直线的两直线互相平行”求出AB∥CD，根据平行线的判定与性质及角平分线定义求解即可.
8．计算(　　)
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：
故选：B.
【分析】先根据有理数的乘方法则、合并同类项法则分别计算，再根据同底数幂的乘法法则计算即可.
9．我们把M={1，3，x}叫集合M，其中1，3，x叫做集合M的元素，集合中的元素具有确定性，互异性(如x≠1，x≠3)，无序性(即改变元素的顺序后，新集合与原集合相等).已知集合 集合B={y， |x|，-1}，若A=B，则x+y的值是(　　)
A．4 B．2 C．0 D．-1
【答案】D
【知识点】偶次方的非负性；绝对值的非负性；化简含绝对值有理数
【解析】【解答】解：因为
由集合元素互异性：因为 所以x≠0，
所以x≠y，
y≠-1，
因为
所以x>0，
因为A=B，
所以
解得：x=-1，y=0，
x+y=-1+0=-1.
故选： D.
【分析】先利用集合元素不能重复的特点，排除：x=0、x=1的情况；因为两个集合相等，A里有元素0，所以B里的y=0；代入y=0后，根据集合元素对应相等，算出x=-1；最后计算x+y即可.
10．某段待检修的高铁轨道总长为a米.检修组长说：“若再铺设4米新轨，就能刚好分成x段8米和y段10米的标准检测段”.技术员说：“若裁去6米破损段，就能刚好分成(x+2)段6米和(y-1)段7米的合格施工段”，则a可能是 (　　)米.
A．50 B．51 C．52 D．53
【答案】A
【知识点】解二元一次方程；二元一次方程组的其他应用
【解析】【解答】解：由题可得，
两式相减可得2x+3y=15，
∵x，y为正整数且y≥1，
∴或，
当x=6，y=1时，a=8x+10y-4=54，
当x=3，y=3时，a=8x+10y-4=50，
故答案为：A.
【分析】根据题意列方程组，然后两式相减得到2x+3y=15，求出x，y的正整数解，燃弧代入求出a的值解答即可.
11．分解因式 =　 　.
【答案】 ．
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】 = x（2x-1）.
故答案为：x（2x-1）.
【分析】直接提公因式即可。
12． 计算 的结果为　 　.
【答案】3a-1
【知识点】多项式除以单项式
【解析】【解答】解： ，
故答案为：3a-1；
【分析】根据多项式除以单项式的法则解答即可.
13．若分式的值为0，则x的值为　 　．
【答案】1
【知识点】分式的值为零的条件
【解析】 【解答】∵的值为0，∴x2=1，x=1或-1，∵x+1≠0，∴x≠-1，∴x=1
【分析】根据分式的值为零的条件可以求出x的值．
14． 若 则 　 　．
【答案】16
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：因为
所以
=9-m+7+m
=16.
故答案为：16.
【分析】通过将两个已知等式相加，消去含m的项，再利用完全平方公式变形求出 的值.
15．《代微积拾级》中用””来表示相当于 的代数式.若“”的值为2， “”的值为 ，则“天”与“地”的和为　 　.
【答案】9
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题
【解析】【解答】解：设“天”与“地”分别为x，y，
由题意得：
整理得：
①+②得：5x+5y=45，
∴“天”与“地”的和为9.
故答案为：9.
【分析】设“天”与“地”分别为x，y，根据题意列方程组求解即可.
16．某小组开展平行线性质探究时将一副三角板按图1方式放在两条平行线AB，CD之间，其中点E， F在直线AB 上， 点H，N在直线CD上， ∠EGH=∠FMN=90°， ∠GEH=45°，∠MFN=30°. ∠EFN的平分线 FP 交直线 CD于点 P，若∠EHD=50°. 现保持三角板 EGH不动，将三角板 FMN 从如图位置向左平移，若在运动过程中 MN与 EH始终平行，则∠FPN=　 　.
【答案】55°
【知识点】平行线的性质；角平分线的概念；平行线的应用-三角尺问题
【解析】【解答】解：∵MN∥EH，
∴∠MND=∠EHD=50°，
又∵∠MFN=30°，∠FMN=90°，
∴∠FNM=60°，
又∵AB∥CD，
∴∠AFN=∠FND=∠FNM+∠MND=50°+60°=110°，
∵FP平分∠AFN，
∴∠AFP=，
∵AB∥CD，
∴∠FPD=∠AFP=55°，
故答案为：55°.
【分析】根据两直线平行，同位角相等得到∠MND=50°，然后根据平角的定义求出∠FNP的度数，进而根据两直线平行，内错角相等求出∠AFN=110°，然后根据角平分线的额性质得到∠AFP=55°，再根据两直线平行，内错角相等得到∠FPD的度数即可.
17．计算下列各题：
（1）
（2）
【答案】（1）解：原式=1-8=-7；
（2）解：原式
【知识点】整式的混合运算；零指数幂；负整数指数幂
【解析】【分析】 (1)先计算零次幂和负整数次幂，再算加减即可；
(2)先运算完全平方、平方差公式展开，再去括号合并同类项解答即可.
18． 解方程(组) ：
（1）
（2）
【答案】（1）解：
①×2，得2x+4y=14③，
③-②，得y=11，
把y=11代入①，得x+2×11=7，
解得： x=-15，
∴方程组的解为
（2）把分式方程变形为：
方程两边同时乘(x-3)，得3=-4-(x-3)，
去括号，得3=-4-x+3，
移项、合并同类项，得x=-4，
检验：把x=-4代入x-3≠0，
∴分式方程的解为x=-4.
【知识点】加减消元法解二元一次方程组；去分母法解分式方程
【解析】【分析】(1)利用加减消元法解方程组即可；
(2)先把分式方程变形，然后再把分式方程转变为整式方程，解整式方程求出x的值，最后检验即可.
19．下面是小柯同学进行分式化简的过程，请认真阅读并完成任务：
化简：
解：原式①
②
③
④
（1）请指出小柯同学第一次出现错误步骤的序号： ▲ ；并写出正确的化简过程.
（2）请在-2，0，1，2中选择一个合适的数代入求值.
【答案】（1）②
原式
（2）解：
当 时，原式 .
【知识点】分式的混合运算
【解析】【解答】解：(1)由化简过程可知，第②步出现错误，
故答案为：②；
分析：(1)根据题中给出的化简过程解答即可；然后先运算括号内分式的加减，然后把除法化为乘法，约分化简即可；
(2)选出合适的 的值代入进行计算即可.
20．某校计划组织七年级学生外出开展研学活动，在选择研学活动地点时，随机抽取了部分学生进行调查，要求被调查的学生从A.鲁迅故里、B.安昌古镇、C.柯岩风景区、D.东湖、E.兰亭五个研学活动地点中选择自己最喜欢的一个.根据调查结果，绘制了如下两幅不完整的统计图.
（1）本次调查的学生人数为 ▲ 人，并在图1中补全条形统计图；
（2）请写出图2中研学活动地点C所在扇形的圆心角的度数是 ▲ ；
（3）若该校七年级共有800名学生，请估计最喜欢去D地研学的学生人数.
【答案】（1）100
选择A的人数为1100-20-40-25-5=10(人)，
补全条形统计图为：
（2）144°
（3）解： (人)，
答：最喜欢去D地研学的学生人数共有200人.
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解： (人)
∴本次调查的学生人数为100人，
故答案为：100；
(2)研学活动地点C所在扇形的圆心角的度数为：36
故答案为：
【分析】(1)根据选择B的人数是20人，所占的比例是20%，据此即可求得本次参加抽样调查的学生人数，进而求得选择A的人数，即可补全统计图；
(2)利用 乘以选择C的人数所占总人数的比即可得解；
(3)利用总人数800乘以对应的百分比即可求得.
21． 如图， 在△ABC中， 点E在AC上， 点F在BC上， 点D， G 在AB上，DF∥AC， 且.
（1） 求证： EG||CD；
（2） 若∠EGD=70°， DF 平分∠BDC， 求∠AEG的度数.
【答案】（1）证明： ∵DF∥AC，
∴∠CDF=∠ACD.
∵∠CDF+∠CEG=180°，
∴∠ACD+∠CEG=180°，
∴EG∥CD；
（2）解： ∵EG∥CD，
∴∠EGD=∠BDC=70°，
∵DF平分∠BDC，
∵DF∥AC，
∴∠CDF=∠ACD=35°.
∵EG∥CD，
∴∠AEG=∠ACD=35°.
【知识点】平行线的判定与性质；角平分线的概念
【解析】【分析】(1)根据两直线平行，内错角相等得到∠CDF=∠ACD，然后根据等量代换得到∠ACD+∠CEG=180°，根据同旁内角互补，两直线平行证明结论；
(2)根据平行线的性质可得∠EGD=∠BDC=70°，然后根据角平分线的定义求出∠CDF=35°，再根据平行线的性质解答即可.
22．《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部数学巨著，他在第二卷“几何与代数”中，阐述了数与形是 一家，即通过“以数解形”和“以形助数”，可以把代数公式与几何图形相互转化．
（1）观察图1，它所对应的公式为 ▲ (填写对应公式的序号).
（2）如图2，边长为a， b的长方形， 它的周长为20， 面积为8， 求(2a+1)(2b+1)的值.
（3）如图3，将A，B两张纸片放置于一个大正方形的纸片中，若已知A，B两张纸片的边长差为2，A，B两张纸片的面积和为20，求阴影部分的面积.
【答案】（1）①
（2）解：∵边长为a，b的长方形，它的周长为20，面积为8，
=4ab+2(a+b)+1
=40+16+1
=57.
（3）解：设正方形ABCD与正方形AEFG的边长分别为x、y，
∵两个正方形的面积和为20，BE=2，
解得：xy=8，
或x+y=-6(负数舍去)，
∴阴影部分的面积为： 正方形ABCD-S梯形ABFG
=6.
答：图中阴影部分的面积是6.
【知识点】完全平方公式的几何背景；数形结合
【解析】【解答】(1)解：∵大正方形的面积的第一种表示方法为 第一种表示方法为
故答案为：①.
【分析】(1)大正方形的面积的第一种表示方法为( 第二种表示方法为 据此即可解答；
(2)由题意可得 ab=8、a+b=10，然后将(2a+1)(2b+1)展开，然后将 ab=8、a+b=10整体代入计算即可；
(3)设正方形ABCD与正方形AEFG的边长分别为x、y，由题意可得 求出xy=8，得 所以x+y=6，可得(x+y)(x- 再根据S阴影=S正方形ABCD- 求解即可.
23．绍兴“朝花夕拾”文创店主打鲁迅语录盲盒、古风手账本、故乡主题钥匙扣，六 推出促销活动，借文创让青少年了解鲁迅精神．
素材1
素材2 文创盲盒进价比手账本进价贵15元，且用210元购买文创盲盒的数量与用120元购买古风手账本的数量相等．
素材3 为了刺激消费，商店实行以下优惠：
盲盒买5个首盒送2个钥匙扣手账本买4 本手账送1个钥匙扣
问题解决
任务1 求文创盲盒和古风手账本的进价．
任务2 小桥班按优惠方案购买盲盒与手账本，获赠若干钥匙扣，三种物品共39件，总花费 1200元，求盲盒数量．
【答案】解：任务1：设文创盲盒的进价为x元，则古风手账本的进价为((x-15)元，
由题意得：
解得：x=35，
经检验，x=35是原方程的解，且符合题意，
答：文创盲盒的进价为35元，古风手账本的进价为20元；
任务2：设购买盲盒m个，手账本n个，
由题意得：
解得：
答：盲盒数量为10个.
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】任务1：设文创盲盒的进价为x元，则古风手账本的进价为(x-15)元，根据用210元购买文创盲盒的数量与用120元购买古风手账本的数量相等，列出分式方程，解方程即可；
任务2：设购买盲盒m个，手账本n个，根据三种物品共39件，总花费1200元，列出二元一次方程组，解方程组即可.
24．新定义：如果两个实数m，n使得关于x的分式方程 的解是 成立，那么我们就把实数m，n组成的数对[m，n]称为关于x的分式方程 的一个“友好数对”.
例如：m=3，n=-5使得关于x的分式方程 的解是 成立，所以数对[3，-5]就是关于x的分式方程 的一个“友好数对”.
（1）判断下列数对是否为关于x的分式方程 的“友好数对”，若是，请在括号内打“√”.若不是，打“×”.
①[-1，2] 　 　； ②[2，-5] 　 　； ③[3，0] 　 　 ；
（2）若数对 是关于x的分式方程 的“友好数对”，求k的值；
（3）若数对[p-q，q] (p≠-l且p≠0， q≠1)是关于x的分式方程 的“友好数对”，且关于x的方程 有整数解，求整数p的值.
【答案】（1）×；√；×
（2）解：∵m=k2-2，n=-k2，
∴x=，
代入方程可得-2(k2-2)+1=-k2，
解得k=±；
（3）解：∵m=p-q，n=q，
∴x=，
代入方程得，即p2+1=pq+q
方程 可化为q(p+1)x-(p-1)(p+1)=-2px，
即(pq+q+2p)x=p2-1，
代入得(p2+2p+1)x=p2-1，即x=，
∵x为正数，p为正数，
∴p+1为2的约数，即p+1=±1，p+1=±2，
解得p=0（舍去），p=-2，p=1，p=-3，
又∵q≠1，即p2+1≠p+1，解得p≠1且p≠0，
故p的值为-2或-3.
【知识点】分式方程的解及检验；解系数含参的一元一次方程；已知分式方程的解求参数
【解析】【解答】解：（1）①当m=-1，n=2时，这时x=，代入左边=-1+1=0≠2，故不是“友好数对”；
②当m=2，n=-5时，x=，代入左边=-6+1=-5，是“友好数对”；
③当m=3，n=0时，x=，代入左边=9+1=10≠0，不是“友好数对”；
故答案为： × ， √ ， × ；
【分析】(1)根据“友好数对”的定义进行验证即可；
(2)根据“友好数对”的定义求出x的值，然后代入方程求出k的值解答即可；
(3)根据“友好数对”的定义求出x的值，然后代入方程得到p2+1=pq+q，然后解方程 得到x=1-，根据x，p均为整数求出p的值，然后根据q≠1得到p≠1，即可得到p的值解答即可.
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