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2.3二次函数与一元二次方程、不等式 学习案
一、基础梳理
【1】概念填空
一元二次不等式 定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是①_______的不等式
一般形式：或，其中a，b，c均为常数，且
二次函数与一元二次方程、不等式之间关系 判别式 的图象 的零点两个零点一个零点没有零点 的根②_______个不相等的实数根两个相等的 实数根③_______ 实数根 的解集④_______ 的解集⑤_______
一元二不等式的解法 第1步：化为的形式 第2步：求判别式，若⑥_______0，不等式解集为；若⑦_______0，求的根 第3步：写出解集，若，解集是⑧_______；若，解集是⑨_______
【2】或型不等式的解集
不等式 解集
或 _____ _____
_____ _____
【答案】
2 两 无 或 <
或
或
考点归纳
①一元二次不等式的概念及辨析；②解不含参的一元二次不等式；③分式二次不等式的解法；④解含有参数的一元二次不等式；⑤由一元二次不等式的解确定参数；⑥一元二次不等式在实数集上的恒成立问题；⑦一元二次不等式在某区间上的恒成立问题；⑧一元二次不等式在实数集上的有解问题；⑨一元二次不等式在某区间上的有解问题；⑩二次函数的图象分析与判断.
巩固训练
一、单选题
1．下列不等式：①；②；③；④；⑤；⑥.其中一定是一元二次不等式的有（ ）.
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
2．不等式的解集是（ ）
A． B．或
C． D．或
3．若，则不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
4．已知关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（ ）
A． B． C．或 D．
5．已知当时，恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．若存在，使得不等式成立，则实数m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
7．不等式的解集为，则函数的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
8．某文具店购进一批新型台灯，每盏最低售价为15元，若按最低售价销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少2盏，为了使这批台灯每天获得400元以上(不含400元)的销售收入，则这批台灯的销售单价(单位：元)的取值范围是(　　)
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知不等式的解集是，下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．不等式的解集是
10．（多选）已知不等式，下列说法正确的是（ ）
A．若，则不等式的解为
B．若不等式对恒成立，则整数的取值集合为
C．若不等式对恒成立，则实数的取值范围是
D．若恰有一个整数使得不等式成立，则实数的取值范围是
11．关于的不等式的解集有下列说法，其中正确的是（ ）
A．不等式的解集可以是
B．不等式的解集可以是
C．不等式的解集可以是
D．不等式的解集可以是
三、填空题
12．不等式的解集为____________________.
13．若集合有且只有两个元素，则实数a的取值范围是______.
14．已知是关于的二次方程的两根，则的大小关系是___________.
四、解答题
15．已知函数，
(1)求时，的取值；
(2)求时，的取值范围；
(3)求时，的取值范围．
16．求下列不等式的解集：
(1)；
(2)；
(3)．
17．讨论关于的不等式的解集
18．设命题：，，命题：，.
(1)若为真命题，求实数m的取值范围；
(2)若为假命题、为真命题，求实数m的取值范围.
19．设函数，
(1)若命题：是假命题，求的取值范围；
(2)若存在，使得成立，求实数的取值范围.
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 D D D C D C B B ACD BCD ABD
1．D
【分析】根据一元二次不等式的定义，逐项判定，即可求解.
【详解】根据一元二次不等式的定义不等式①；②是一元二次不等式，
其中当时，不等式和不是一元二次不等式；
不等式是一元三次不等式，不是一元二次不等式；
当时，不等式为一元一次不等式，当时，不等式为二元二次不等式，
所以一定是一元二次不等式的有2个，
故选D.
【点睛】本题主要考查了一元二次不等式的定义，其中解答中熟记一元二次不等式的定义是解答的关键，着重考查了推理与判断能力，属于基础题.
2．D
【分析】将分式不等式等价转化为整式不等式组，结合二次不等式的解法求解即可.
【详解】分式不等式等价于：，即.
解得或.
故不等式的解集为或.
3．D
【详解】由题意可知：一元二次方程的两个根为，
因为，则，
所以不等式的解集是.
4．C
【详解】因关于的不等式的解集为，
则，即，
则，即，
所以，解得或．
5．D
【分析】由不等式的性质，结合任意性的定义进行求解即可.
【详解】因为，
所以由，
当时，恒成立，等价于当时，恒成立，
则有，
故选：D
6．C
【分析】把问题转化成“小于或等于的最大值”，再利用配方法求最大值即可.
【详解】因为，
所以，
要存在，使得不等式成立，则小于或等于的最大值，
因为，当时，取“”，
所以，
故选：C.
7．B
【分析】根据不等式的解集得到，为的两个根，由韦达定理得到，从而根据二次函数的对称轴，开口方向及与轴交点纵坐标的正负得到答案.
【详解】由题意得，为的两个根，
故，即，
开口向下，AC选项错误，
对称轴为，D选项错误.
所以B选项正确.
故选：B
8．B
【分析】根据题意,建立不等关系式,解出不等式即可，需注意这个前提条件
【详解】由题,,则,即
,即
又每盏最低售价为15元,
故选B
【点睛】本题考查不等关系在应用题中的使用,需注意题中对变量的限制条件,考查解一元二次不等式
9．ACD
【详解】因为不等式的解集是，
所以有，，，
所以，，因此选项A正确，选项B错误；
，因此选项C正确；
若，则，即，
解得，选项D正确.
10．BCD
【分析】解一元二次不等式判断A；按照和分类讨论，利用一元二次不等式在实数集上恒成立列不等式求解判断B；由题意对恒成立，利用一次型函数恒成立列不等式组求解判断C；由题意不等式的唯一整数解为，结合二次函数性质列不等式组求解判断D.
【详解】当时，，
所以，解得，故选项A错误.
若不等式对恒成立，则当时，不等式成立，
当时， ，解得，综上，，
则整数的取值集合为.故选项B正确.
若不等式对恒成立，则即对恒成立，
所以，解得，故选项C正确.
若恰有一个整数使得不等式成立，则，即，令，
因为，所以整数，
由题意，解得，故选项D正确.
故选：BCD
11．ABD
【分析】根据一元二次不等式解集的性质，结合二次函数的性质即可判断．
【详解】对于A，若，解集为，故A正确；
对于B，当时，，解集为，故B正确；
对于C，若不等式的解集为，则，
显然该不等式组无解，假设不成立，故C错误；
对于D，若不等式的解集是，
则且方程的两根为，
所以，解得，
所以当时，不等式的解集是，故D正确．
12．或
【分析】先将分式不等式转化为整式不等式，再进行求解即可.
【详解】由题意得不等式可以转化为且，
则解得或，
则不等式的解集为或.
故答案为：或.
13．
【分析】结合二次函数性质列不等式求解即可.
【详解】令.
∵函数对称轴为直线，
∴要使有两个正整数实根，
这两个根只能，
则当时，,且时，，
解得.
故答案为：
14．
【分析】根据一元二次方程的根与二次函数的图象的关系判断．
【详解】如图是函数的图象（图中隐去了轴），
为的两根，为与轴交点的横坐标.为的根，为与交点的横坐标，.
故答案为：.
15．(1)
(2)或
(3)
【分析】（1）解一元二次方程，求出的取值；
（2）结合二次函数图象，求出的取值范围；
（3）结合二次函数图象，求出的取值范围．
【详解】（1）已知，
当时，，即，
解得，
时，的取值为2，3．
（2）函数开口向上，
当时，的取值范围为或．

（3）函数开口向上，
当时，的取值范围为．

16．(1)x＞1或.
(2)
(3)
【分析】（1）直接化简解出一元二次不等式即可；
（2）根据判别式即可得到其解；
（3）移项并通分将分式不等式转化为一元二次不等式即可求解.
【详解】（1）将不等式化简为，即
解得x＞1或，则解集为x＞1或.
（2）将不等式化简为，
因为，
所以该不等式无实数解，即解集为.
（3）因为，即，所以通分可得，
则，解得，
所以解集为.
17．1.当时，不等式化为.
（1）当时，不等式解集为：；
（2）当时，不等式解集为：；
2.当时，不等式化为：.
（1）当时，不等式解集为;
（2）当时，不等式解集为;
3.当时，设不等式对应方程两根.
（1）当时，，不等式解集为：或；
（2）当时，，不等式解集为：；
4.当时，不等式对应方程的根为.
（1）当时，不等式解集为：或；
（2）当时，不等式解集为：；
5.当时，不等式对应方程无解.
（1）当时，不等式解集为：R；
（2）当时，不等式解集为：.
【解析】略
18．(1)
(2)
【详解】（1）由，，得关于的方程无实根，
因此，解得，
所以实数m的取值范围是
（2）由为假命题，则的否定：，为真命题，
即，，
而当时，，
当且仅当时取等号，因此，
因为为假命题且为真命题，则，
则，
所以实数m的取值范围是.
19．(1)
(2)
【分析】（1）先由命题为真命题，求出实数的范围，即可求出命题为假命题时参数范围；
（2）由题意对于，使有解，分离参数得在上能成立，利用基本不等式求得，即得的取值范围.
【详解】（1）若命题：是真命题，则，不等式成立，
当时，，显然不成立；
当时，函数为二次函数，
若即，则抛物线开口向上，显然符合题意；
若即，需使，解得，
综上，或.
故命题：是假命题时，；
（2）存在，使得成立，
即对于，使有解，
即在上能成立，所以，
因为，当且仅当即时等号成立，
所以.试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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