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分课时学案
课题 1.1.2成比例的线段 单元 一 学科 数学 年级 九
学习 目标 1.理解线段的比、成比例线段、对应成比例概念,能正确判断四条线段是否成比例,会解决简单的成比例线段计算问题,了解黄金分割含义。 2.经历观察、计算、归纳、应用过程,体会数形结合、转化思想,提升几何直观与运算能力。 3.感受成比例线段在几何与生活中的价值,了解黄金分割文化内涵,发展数学应用意识与审美素养。 4.主动参与探究活动,养成规范书写、严谨推理的学习习惯。
重点 1.成比例线段的概念理解与判断方法。 2.对应成比例的简单应用。
难点 对应成比例的顺序理解与成比例线段的实际问题建模求解。
教学过程
导入新课 复习回顾 1.比例的基本性质是什么？ 2.若,求。 情境问题 同一底片洗出的2寸照片和6寸照片,对应边的长度有什么关系？如何用数学式子描述这种关系？
新知讲解 探究活动一:成比例线段 做一做：如图,在方格纸上(小方格的边 长为1)有和,它们的顶点都在格点上.观察或计算出线段的长度,并计算与与与的长度的比值. 由图可知,.利用勾股定理可以计算得出：。 因此,线段与,与与的长度的比值都为. 一般地,如果两条线段的长度分别为,那么把它们的长度的比叫作这两条线段与的比,记作. 如果的比值为,那么上述式子也可写成或. 在图1.1-1中,对于和,有 . 在四条线段中,如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比,那么这四条线段叫作成比例线段. 例如,已知四条线段,若,则是成比例的线段. 类似的,如果,那么称线段与线段对应成比例. 方法总结: 探究活动二:成比例线段的应用 例4已知线段的长度分别为,问是成比例的线段吗？ 例5已知的三边与的三边对应成比例.若的周长为,且,求的三边的长. 方法总结: 探究活动三:黄金分割比 思考：古希腊数学家、天文学家欧多克索斯(约前400—约前347)曾经提出一个问题： 能否将一条线段分成不相等的两部分,使较短线段与较长线段的比等于线段与原线段的比 即,使得成立？ 数学上已经证明这能做到(如图所示),此时称线段被点黄金分割,点叫作线段的黄金分割点,较长线段与原线段的比叫作黄金分割比,并且黄金分割比的数值为(约等于0.618). 黄金分割比被认为是美的比例关系.视觉生理学的研究成果表明,黄金分割比与人的视觉比例)最接近,所以符合黄金分割的比例形式很容易使人产生视觉上的美感.许多世界著名古建筑,如中国故宫、埃及金字塔、希腊帕提侬神庙、印度泰姬陵、法国巴黎圣母院等,在构图布局设计方面都有意无意地运用了黄金分割的法则. 在现代,许多建筑的设计中也采用了黄金分割,如上海的东方明珠塔的上球体就处于整个塔身高度的黄金分割处. 神奇的黄金分割比也出现在许多著名艺术作品中,比如意大利著名画家达·芬奇的名作《蒙娜丽莎》就是完美运用黄金分割的典型例子.
课堂练习 课堂练习 1.如图,是线段上的一点,且,那么等于( ) A.2:3 B.5:3 C.3:2 D.3:5 2.下列四条线段,不是成比例线段的是( ) A.a＝2,b＝5,c＝5,d＝12.5 B.a＝0.5,b＝0.02,c＝0.7,d＝0.3 C.a＝30,b＝2,c＝12,d＝ D.a＝5,b＝3,c＝5,d＝3 3.校园里一片小小的树叶,也蕴含着“黄金分割”,如图,为的黄金分割点(),如果的长度为,那么的长度为________.( ) A. B. C. D. 4.已知线段的长度分别为,如果线段和已知的三个线段是成比例线段,那么线段d的长度不等于( ) A.6B.C.D. 5.央视节目主持人在主持节目时,站在舞台的黄金分割点处最自然得体.如图,若舞台长为米,主持人至少应走到离A点________米处.( ) A.10 B.15 C.10 D.30－10 6.已知四条线段成比例,则的值为____. 7.如图,4×4方格中的四条线段是不是比例线段？请说明理由. 8.如图,以矩形的宽为边作正方形矩形的宽与长的比值等于矩形的宽与长的比值,称矩形为“黄金矩形”.在“黄金矩形”中,若,求的长. 9.如图,在中,点在边上,且,已知. (1)求的度数. (2)我们把有一个内角等于的等腰三角形称为黄金三角形,它的腰长与底边长的比(或者底边长与腰长的比)等于黄金比. ①写出图中所有的黄金三角形,选一个说明理由. ②求的长. ③在直线或上是否存在点(点除外),使是黄金三角形？若存在,在备用图中画出点,并简要说明画出点的方法(不要求证明)；若不存在,请说明理由.
课堂小结 通过本节课的学习你收获了什么？ 知识点:
作业设计 基础达标: 1.已知是线段延长线上一点,且,则为( ) A.3:2 B.2:3C.3:5 D.5:2 2.在中,斜边,试求的值. 3.下列各组线段中是成比例线段的是( ) A.2cm,4cm,6cm,6cm B.2cm,4cm,4cm,8cm C.4cm,8cm,12cm,16cm D.3cm,6cm,9cm,12cm 4.若线段是成比例线段,且,则d=( ) A.6cm B.cm C.1.5cm D.3cm 5.在的交通旅游图上,南京玄武湖隧道长7cm,则它的实际长度是　　km. 6.已知四条线段依次成比例,其中.求的值. 能力提升: 7.若线段,且点是的黄金分割点,则等于( ) A.-1 B.3- C. D.-1或3- 8.如图,2022年国际乒联世界乒乓球团体锦标赛的吉祥物是一只大熊猫.这只大熊猫的头身比接近黄金比.小兰将熊猫的头画成☉A,熊猫的身体画成☉B,☉A与☉B的直径的比按照黄金比画,若☉B的直径为4,请计算☉A的周长. 9.已知,则下列各式中正确的是( ) A.a:b=c:d B.a:c=d:b C.a:b=d:c D.b:a=d:c 10.黄金分割由于其美学性质,受到摄影爱好者和艺术家的喜爱,摄影中有一种拍摄手法叫黄金构图法.其原理是:如图,将正方形ABCD的底边BC取中点E,以E为圆心,线段DE为半径作圆,其与底边BC的延长线交于点F,这样就把正方形ABCD延伸为矩形ABFG,称其为黄金矩形.若CF=4a,则AB=( ) A.(-1)a B.(2-2)aC.(+1)a D.(2+2)a 11.已知P是线段AB上一点,且,则　　　　. 12.若点是线段的黄金分割点,,则的长约是　　.(精确到0.1cm) 拓展迁移: 13.已知是的三边,且满足,试判断的形状,并说明理由. 14. 如图，在 ABCD中，DE⊥AB于点E，BF⊥AD，交AD的延长线于点F. (1)AB，BC，BF，DE这四条线段是否成比例？如果不是，请说明理由；如果是，请写出比例式． (2)若AB＝10，DE＝2.5，BF＝5，求BC的长．
参考答案：
1.若,则。
2.。
3.对应边长度的比值相等,即对应线段成比例。
探究二：
例4. 解：因为,,
所以,从而是成比例的线段.
例5. 解由题意可得,
因此可以设,
则,解得,
从而,,.
所以的三边的长分别为.
课堂练习：
1.B;2.B;3.C;4.D;5.D;6.1/2;
7.不是比例线段,理由如下：,,,,
不是比例线段.
8.四边形是正方形,
,
矩形为黄金矩形,
,即＝
解得：,(舍去).
9.(1),
.
设
则.
又,
,
,
,即.
(2)①图中有个黄金三角形,
即.
,
是黄金三角形.
,
是黄金三角形.
,
.
又,
,
.
又,
是黄金三角形.
②是黄金三角形,
.
,
.
,
.
③存在,有三个符合条件的点P,
即,如图.
(ⅰ)以CD为底边的黄金三角形：作CD的垂直平分线与直线分别交于点
(ⅱ)以为腰的黄金三角形：以点为圆心,为半径作弧与BC的交点为点P3.
课后提升：
1.A;
2.解:设AC=9x,BC=40x,
根据勾股定理可得AC2+BC2=AB2,
即(9x)2+(40x)2=2052,
解得x=5.
∴AC=45,BC=200.
3.B;4.A;5.2.66;
6.解:∵a,b,c,d四条线段依次成比例,
∴a:b=c:d.
∵a=3cm,b=(x-1)cm,c=5cm,d=(x+1)cm,
∴3:=5:,∴x=4cm.
故x的值为4cm.
7.D;
8.解:∵☉A与☉B的直径的比按照黄金比画,☉B的直径为4,
∴☉A的直径为×4=2-2,
∴☉A的周长为(2-2)π.
9.C;10.D;11.7:5;12.12.4cm或7.6cm;
13.【解析】△ABC是直角三角形,理由是:
设===k,
则a=3k-4,b=2k-3,c=4k-8,
∵a+b+c=12,
∴3k-4+2k-3+4k-8=12,
∴k=3,∴a=5,b=3,c=4,
∴b2+c2=32+42=25=a2,
∴△ABC是直角三角形.
14.解:(1)AB，BC，BF，DE这四条线段成比例．
∵在 ABCD中，DE⊥AB，BF⊥AD，
∴S ABCD＝AB·DE＝AD·BF.
∵BC＝AD，∴AB·DE＝BC·BF，即＝.
(2) ∵AB·DE＝BC·BF，
∴10×2.5＝5BC，解得BC＝5.
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