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(共8张PPT)
习题 21.3
一元二次方程
华师大版·九年级数学上册
21
A 组
1. 如图，学校课外生物小组的试验园地是长 35 m、宽 20 m
的矩形，为便于管理，现要在中间开辟一横两纵共三条
等宽的小道.要使种植面积为 600 m ，求小道的宽.
（精确到 0.1 m)
解:设小道的宽为 x m.
由题意，得 (35－2x)(20－x)＝ 600，
解得 x1 ＝ (不合题意，舍去)，x2 ＝ ≈ 1.4.
答:小道的宽约为 1.4 m.
2. 某商店2月份的营业额为 50 万元，3 月份下降了 30%，
4 月份比 3 月份有所增长，5 月份的增长率又比 4 月份
的增长率增加了 5 个百分点 (即 5 月份的增长率要比 4 月
份的增长率多 5%，营业额达到 48.3 万元. 问：4、5 两月
的营业额增长率各是多少？
解: 设 4 月份的营业额增长率为 x .
由题意，得 50×(1－30％)(1 + x)(1 + x + 5％ )＝ 48.3，
解得 x1 ＝－2.2 (不合题意，舍去)，x2 ＝ 0.15.
所以 0.15 + 5％ ＝ 0.2 ＝ 20％ .
答: 4 月份的营业额增长率是 15％ ，5 月份的营业额增长率是 20％ .
3. 学校准备在图书馆后面的场地边建一个面积为 50m 的
矩形自行车棚. 一边利用图书馆的后墙，并利用已有总
长为 25 m 的铁围栏. 请你设计，如何搭建较合适？
解: 设垂直于墙的边长为 x m.
由题意，得 (25－x2)x ＝ 50，解得 x1 ＝10，x2 ＝ 2.5.
故有两种搭建方案:
①与墙平行的一边长 5 m，与墙垂直的两边均长 10 m，
②与墙平行的一边长 20 m，与墙垂直的两边均长 2.5 m.
4. 一块长 30 m、宽 20 m 的矩形操场，现要将它的面积
增加一倍，但不改变操场的长、宽之比，问：长和宽
应各增加多少米？ (精确到 0.1 m)
解: 因为 30 ∶ 20 ＝ 3 ∶ 2，所以由题意可设改变后的矩形的长为 3x m，宽为 2x m.
由题意，得 3x · 2x ＝ 2×30×20.
解得 x1 ＝10 ≈ 14.14，x2 ＝－10 (不合题意，舍去).
所以 3x－30 ≈ 12.4，2x－20 ≈ 8.3.
答:长应增加约 12.4 m，宽应增加约 8.3 m.
5. 水果店花 1500 元进了一批水果，按 50% 的利润定价，
无人购买，决定打折出售，但仍无人购买，结果又一次
打折后才售完. 经结算，这批水果共盈利 500 元. 若两次
打折的折扣相同，问: 每次打几折？（精确到 0.1 折)
B 组
解:设每次打 x 折.
由题意，得 1500(1 + 50％ )()2 ＝ 1500 + 500，
解得 x1 ≈ 9.4，x2 ≈－9.4 (不合题意，舍去).
答: 每次约打 9.4 折.
6. 为了绿化学校附近的荒山，某校九年级学生已连续三年春季
上山植树，至今已成活了 2000 棵. 已知这些学生在七年级时
植树 400 棵，若平均成活率为 95%，求这些学生后两年植树
棵数的年平均增长率.（精确到 1%)
解: 设这些学生后两年植数棵数的年平均增长率为 x .
由题意，得 [400 + 400(1 + x) + 400(1 + x)2 ]×95％ ＝2000，
解得 x1 ≈ 0.62，x2 ≈ －3.62 (不合题意，舍去).
答:这些学生后两年植树棵数的年平均增长率约为 62％ .(共5张PPT)
习题 21.1
一元二次方程
华师大版·九年级数学上册
21
A 组
1. 关于 x 的方程 mx2－3x = x2－mx + 2 是一元二次方程，
解: 移项，得 (m－1) x2 + (m－3)x －2 ＝ 0.
因为该方程是一元二次方程，
则有 m－1 ≠ 0，所以 m ≠ 1.
m 应满足什么条件？
2. 已知关于 x 的一元二次方程 (m－2) x2 + 3x + m2－4 = 0
解: 由一元二次方程根的定义可知，把 x ＝ 0 代入
方程得 m2－4 ＝ 0.
由平方根意义可得 m ＝ ±2，但 m－2 为二次项
系数，不为零，
所以 m ≠ 2，所以 m ＝－2.
有一个根是 0，求 m 的值.
3. 根据题意，列出方程(不必求解）：
学校中心大草坪上准备建两个同样大小的圆形花坛，要求使花坛的面积是余下草坪面积的一半. 已知草坪是长和宽分别为 80 m 和 60 m 的矩形， 求花坛的半径.
解: 设圆形花坛的半径为 x m，
则两个圆形花坛面积为 2πx2 m2 ，
由题意可得 2πx2 + 2×2πx2 ＝ 80×60，
整理，得 πx2 ＝ 800.
4. 根据题意，列出方程 (不必求解):
在制造变压器中所用的某种规格的硅钢片时，要把长为 300 mm、宽为 200 mm的矩形硅钢片从中间截去一块面积为 14400 mm 的矩形， 使四周剩下的边一样宽. 求这个宽度.
B 组
200
300
x
x
x
x
解: 设宽度为 x.
(300－2x)(200－2x) = 14400
x2－250x + 7800 = 0(共17张PPT)
习题 21.2
一元二次方程
华师大版·九年级数学上册
21
A 组
1. 解下列方程：
解:（1）x1 ＝ ，x2 ＝－.
（1）2x2－6 = 0； （2）27 = 4x2；（3）3x2 = 4x；
（2）x1 ＝ ，x2 ＝－.
（3）x1 ＝ ，x2 ＝ .
（4）x(x－1) + 3(x－1) = 0； （5）(x + 1)2 = 2；
（6）3(x － 5)2 = 2(5－x).
（4）x1 ＝ ，x2 ＝ .
（5）x1 ＝ ，x2 ＝ .
（6）x1 ＝ ，x2 ＝ .
2. 解下列方程：
（1）(2x－1)2－1 = 0； （2） (x + 3)2 = 2；
（3）x2 + 2x－8 = 0；
解:（1）x1 ＝ ，x2 ＝.
（2）x1 ＝ ，x2 ＝－.
（3）x1 ＝ ，x2 ＝ .
（4） 3x2 = 4x－1 （5）x(3x－ 1)－6x2 = 0；
（6）(2x － 3)2 = x2 .
（4）x1 ＝ ，x2 ＝ .
（5）x1 ＝ ，x2 ＝ .
（6）x1 ＝ ，x2 ＝ 3.
3. 求满足下列要求的 x 的所有值：
（1）3x －6 的值等于 21;
（2）3x －6 的值与 x－2 的值相等.
解:（1）由题意，得 3x2 －6 ＝ 21，
解得 x1 ＝－3，x2 ＝ 3.
（2）由题意，得 3x2 －6 ＝ x－2，
解得 x1 ＝－1，x2 ＝ .
4. 用适当的方法解下列方程：
（1）3x2－4x = 2x； （2） (x + 3)2 = 1；
（3）x2 + ( + 1)x = 0；（4）x(x－6) = 2(x－8)；
解:（1）x1 ＝ ，x2 ＝.
（2）x1 ＝ ，x2 ＝－.
（3）x1 ＝ ，x2 ＝.
（4）x1 ＝ x2 ＝.
（5）(x + 1)(x－1) = 2x； （6）x(x + 8) = 16；
（7）(x + 2)(x－5) = 1； （8）(2x + 1)2 = 2(2x + 1).
（5）x1 ＝ ，x2 ＝ .
（6）x1 ＝ ，x2 ＝ .
（7）x1 ＝ ，x2 ＝ .
（8）x1 ＝ ，x2 ＝ .
5. 已知 A = 2x2 + 7x－1， B = 6x + 2， 当 x 为何值时，
A = B？
解: 由题意，得 2x2 + 7x－1 ＝6x + 2，
解得 x1 ＝－，x2 ＝1.
6. 已知两个连续奇数的积是 255，求这两个奇数.
解:设这两个奇数分别为 2n－1、2n + 1.
由题意，得 (2n－1)(2n + 1)＝ 255，
解得 n1＝8，n2 ＝－8.
当 n ＝－8 时，2n－1＝－17，2n + 1＝－15；
当 n ＝ 8 时，2n－1＝15，2n + 1＝17.
7. 不解方程，判断下列方程的根的情况：
（1）3x2 = 4x + 2； （2）2(x + 2)2－(8－x) = 0；
解: （1）原方程可变形为 3x2 －4x－2＝0.
因为Δ ＝40 > 0，所以方程有两个不相等的实数根.
（2）原方程可变形为 2x2 + 9x ＝0.
因为 Δ ＝81 > 0，
所以方程有两个不相等的实数根.
（3）x2 + 3 －2x = 0；
（4）(2y + 3)2+ (3y－2)2 = 0；
（3）因为 Δ ＝0，
所以方程有两个相等的实数根.
（4）原方程可变形为 13y2 －24y + 13 ＝0 .
因为 Δ ＝－100 < 0，
所以方程没有实数根.
8. 不解方程，求下列方程的两根之和与两根之积:
（1）(x + 1)(x－2) = 2； （2）3x2 + 7x = 6.
解: 设两根分别为 x1 、x2 .
（1）方程化为 x2－x－4＝ 0，
所以 x1 + x2 ＝1，x1 · x2 ＝－4.
（2）方程化为 3x2 + 7x－6 ＝ 0，
所以 x1 + x2 ＝ ，x1 · x2 ＝－2.
9. 已知关于 x 的方程 x2－(2k + 1)x + k2 = 2.
B 组
解: 因为Δ ＝[－(2k + 1)]2 －4×1×(k2 －2)＝ 4k + 9，
所以当 4k + 9 < 0，即 k<－ 时，方程没有实数根；
（1）当 k 取何值时，方程没有实数根？
（2）当 k 取何值时，方程有实数根？
当 4k + 9 ≥ 0，即 k ≥－ 时，方程有实数根.
10. 证明：对于任何实数 m，关于 x 的方程 x2－2mx + 2m－2 = 0
总有两个不相等的实数根.
证明:因为 Δ ＝ (－2m)2 －4×1×(2m－2) ＝ 4m2 －8m + 8
＝ 4(m－1)2 + 4 > 0，
所以对于任何实数 m，关于 x 的方程 x2 －2mx + 2m－2＝0
总有两个不相等的实数根.
11. 解答下列问题，并考虑有哪些不同的解法：
（1）已知关于 x 的方程 x2－px + q = 0 的两个根是 0 和 －3，
求 p 和 q 的值；
解: （1）设两根分别为 x1 、x2 ，
则 x1 + x2 ＝ p ＝－3，x1 · x2 ＝ q ＝ 0，
所以 p ＝－3，q ＝ 0.
（2）已知关于 x 的方程 x2－6x + p2－2p + 5 = 0 的一个根是 2，
求它的另一个根和 p 的值.
（2）把 x ＝ 2 代入方程，
得 22 －6×2 + p2 －2p + 5 ＝ 0，
所以 p2 －2p－3 ＝ 0，
解得 p1 ＝－1，p2 ＝ 3.
设两根分别为 x1 、x2 ，
其中 x1 ＝ 2，则 x1 + x2 ＝ 6，
所以 x2 ＝ 4，
所以方程的另一个根为 4，p 的值为－1 或 3.

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