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4.2.2　指数函数的图象和性质
第1课时　指数函数的图象和性质
素养目标 思维导图
1.通过具体实例,了解指数函数的实际意义,理解指数函数的概念(数学抽象). 2.能用描点法或借助计算工具画出具体指数函数的图象,探索并理解指数函数的单调性与特殊点(直观想象).
课前自主学习
问题1.在同一坐标系中用描点法画出y=2x及y=()x的图象.
x … -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 …
y=2x … 0.25 0.35 0.5 0.71 1 1.41 2 2.83 4 …
y=()x … 4 2.83 2 1.41 1 0.71 0.5 0.35 0.25 …
提示:列表
描点画图:
问题2.由y=()x与y=2x的图象说出它们的性质.
提示:它们的定义域都是R,值域都是(0,+∞),都过定点(0,1),y=2x在R上是增函数,y=()x在R上是减函数.
问题3.y=2x与y=3x都是增函数,都过点(0,1),在同一坐标系内如何确定它们两个的相对位置
提示:经描点观察,在y轴右侧,2x<3x,即y=3x的图象在y=2x上方,经(0,1)点交叉,位置在y轴左侧反转,y=2x的图象在y=3x上方.
【核心概念】
y=ax的图象与性质
项目 a>1 0图象
性 质 定义域 __ 值域 ______ 过定点 _____ 单调性 在R上是_______ 在R上是_______
R
(0,+∞)
(0,1)
增函数
减函数
课堂合作探究
探究点一　指数函数的图象
【典例1】(1)已知函数f(x)=ax+5+4(a>0,且a≠1)恒过定点M(m,n),则函数g(x)=m+nx的图象不经过(　　)
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
【思维导引】由题意利用指数函数的单调性和特殊点,求得m,n的值,可得g(x)的解析式,从而得出结论.
【解析】选B.因为f(x)=ax+5+4(a>0,且a≠1)恒过定点(-5,5),所以m=-5,n=5,所以g(x)=-5+5x,则函数g(x)恒过定点(0,-4),其函数图象可以由函数y=5x的图象向下平移5个单位长度而得到,则其函数图象不经过第二象限.
(2)已知函数f(x)=(x-a)(x-b)满足f(1)<0(其中0
【思维导引】方法一:由函数f(x)的图象求得01,再由a,b的范围确定g(x)的单调性及它与y轴的交点的大概位置即可得结果;方法二:由不等式的性质得01,逐个分析每个选项的图象确定其a,b的范围,看与已知是否一致.
【解析】选C.方法一:因为f(x)=(x-a)(x-b),0又因为f(1)<0,所以01,因为g(x)=ax+b-1,所以令x=0得:g(0)=b,即g(x)与y轴的交点为(0,b),又01,所以g(x)在R上单调递减,且g(x)与y轴的交点为(0,b),b>1,只有C选项满足.
方法二:因为f(x)=(x-a)(x-b),f(1)<0,所以(1-a)(1-b)<0,①
又因为01-b,②
所以由①②得:1-a>0且1-b<0且01,
因为g(x)=ax+b-1,所以令x=0得:g(0)=b,即g(x)与y轴的交点为(0,b),
对于A项,由题图知,g(x)在R上单调递减,所以01相矛盾,错误;
对于B项,由题图知,g(x)在R上单调递增,所以a>1,g(x)与y轴的交点为(0,b),01相矛盾,错误;
对于C项,由题图知,g(x)在R上单调递减,所以01,所以01,正确;
对于D项,由题图知,g(x)在R上单调递增,所以a>1,g(x)与y轴的交点为(0,b),b>1,这与已知01相矛盾,错误.
【类题通法】指数函数的图象平移,一般遵循“左加右减、上加下减”的原则.
提醒:(1)牢记指数函数y=ax(a>0,a≠1)的图象恒过定点(0,1),图象分布在第一和第二象限.
(2)明确影响指数函数图象特征的关键是底数.
【定向训练】
(多选题)函数f(x)=ax-b的图象如图所示,其中a,b为常数,
则下列结论正确的是(　　)
A.01
C.b<0 　　　 D.b>0
【解析】选AC.由f(x)=ax-b的图象可以观察出函数f(x)=ax-b在定义域上单调递减,所以0探究点二　指数函数的定义域与值域问题
【典例2】(1)函数y=的定义域为(　　)
A.(-∞,] B.(-∞,)
C.[3,+∞) D.(3,+∞)
(2)函数y=(的值域为　　　　.
【思维导引】(1)根据二次根式的被开方式非负,列出不等式,求解不等式可得答案.
(2)先求指数的范围,再利用指数函数的单调性求解.
【解析】(1)选C.由题意得3x-27≥0,即3x≥33,解得x≥3.
(2)因为x2-1≥-1,所以y=(≤()-1=2,又y>0,所以函数的值域为(0,2].
答案:(0,2]
【类题通法】求函数定义域、值域的方法
对于y=af(x)(a>0,且a≠1)这类函数,
(1)定义域是使f(x)有意义的x的取值范围.
(2)值域问题,应分以下两步求解:
①由定义域求出u=f(x)的值域;
②利用指数函数y=au的单调性求得此函数的值域.
【定向训练】
已知函数f(x)的定义域为[-2,2],则函数g(x)=f(2x)+的定义域为　　　.
【解析】由条件可知,函数的定义域需满足,解得-1≤x≤0,
所以函数g(x)的定义域是[-1,0].
答案:[-1,0]
探究点三　指数函数单调性的应用
【典例3】(1)(2025·宁波高一检测)已知a=30.2,b=30.3,c=20.2,则(　　)
A.b>a>c B.a>b>c C.b>c>a D.a>c>b
【解析】选A.因为y=3x为增函数,所以30.3>30.2,则b>a;
因为y=x0.2为增函数,所以30.2>20.2,则a>c.综上,b>a>c.
(2)(2025·沈阳高一检测)下列各式错误的是 (　　)
A.30.8>30.7 B.0.75-0.1<0.750.1
C.()1.6> D.0.50.4>0.50.6
【解析】选B.对于y=ax,由指数函数的性质可知,当00.750.1,0.50.4>0.50.6,B说法错误,D说法正确;
当a>1时,y=ax在R上单调递增,所以30.8>30.7,()1.6>,A,C说法正确.
【类题通法】比较幂大小的方法
(1)对于底数相同指数不同的两个幂的大小,利用指数函数的单调性来判断.
(2)对于底数不同指数相同的两个幂的大小,利用幂函数的单调性来判断.
(3)对于底数不同指数也不同的两个幂的大小,则通过中间值来判断.
【定向训练】
(2023·天津高考)若a=1.010.5,b=1.010.6,c=0.60.5,则(　　)
A.c>a>b B.c>b>a
C.a>b>c D.b>a>c
【解析】选D.y=1.01x在R上单调递增,0.6>0.5,故1.010.6>1.010.5,所以b>a;
y=x0.5在[0,+∞)上单调递增,1.01>0.6,故1.010.5>0.60.5,即a>c,所以b>a>c.
课堂练习
1.已知函数y=ax+1(a>0,a≠1)的图象恒过定点P,则点P的坐标为 (　　)
A.(1,2) B.(1,1)
C.(0,1) D.(0,2)
【解析】选D.对于函数y=ax+1(a>0,a≠1),令x=0,得f(0)=2,所以图象恒过定点P(0,2).
√
2.若函数y=(1-2a)x是R上的增函数,则实数a的取值范围为 (　　)
A.(,+∞) B.(-∞,0)
C.(-∞,) D.(-,)
【解析】选B.由1-2a>1得a<0,即a的取值范围是(-∞,0).
√
3.函数f(x)=ax-b的图象如图所示,其中a,b为常数,则下列结论正确的是 (　　)
A.a>1,b<0　
B.a>1,b>0
C.00　
D.0【解析】选D.从曲线的变化趋势,可以得到函数f(x)为减函数,从而有0又当x=0时,f(x)<1,即a-b<1=a0,所以-b>0,即b<0.
√
4.比较大小:1.70.3　　　　0.93.1.(填“>”“<”或“=”)
【解析】因为1.70.3>1,而0.93.1<1,
所以1.70.3>0.93.1.
答案:>
5.求函数y=的定义域和值域.
【解析】由1-2x≥0得2x≤1,所以x≤0,
所以y=的定义域为(-∞,0].
由0<2x≤1得-1≤-2x<0,所以0≤1-2x<1,
所以y=的值域为[0,1).
谢 谢

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