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(共24张PPT)
4.2　指数函数
4.2.1　指数函数的概念
素养目标 思维导图
1.通过具体实例,了解指数函数的实际意义(数学抽象). 2.理解指数函数的概念(数学抽象).
课前自主学习
问题1.“每天进步一点点”可以用数学来诠释:假如你今天的数学水平是1,以后每天比前一天增加千分之五,经过x(x∈N)天之后,你的数学水平y与x之间的函数关系式是什么
提示:经过1天后数学水平为1+1×0.005=1.005,经过2天后数学水平为1.005+1.005×0.005 =1.0052,经过3天后数学水平为1.0052+1.0052×0.005=1.0053,
…
以此类推,经过x(x∈N)天后,数学水平y与x之间的函数关系式为y=1.005x.
问题2.某种放射性物质不断变化为其他物质,每经过1年剩余的这种物质是原来的84%,那么经过x年后剩余量y与x的关系是什么
提示:经过1年,剩余量为y=1×84%=0.841;经过2年,剩余量为y=0.84×0.84=0.842;
……
经过x年,剩余量为y=0.84x.
问题3.你能从以上两个例子得到的关系式里找到什么异同点吗
提示:共同点:变量x与y构成的函数关系式是指数的形式,自变量在指数位置,底数是常数;不同点:底数的取值不同.
【核心概念】
1.正整数指数函数的图象特点
前面我们学习过的一次函数与二次函数,它们的图象是连续不间断的,而正整数指
数函数的图象是在第一象限内的一群__________的点.
2.指数函数的定义
函数_____叫做指数函数,其中__________,定义域为___,值域为_______.
3.指数函数y=2x和y=()x的图象与性质
两个函数图象的相同点:都位于_____的上方,都过点_____;不同点:函数y=2x的图象
是________;函数y=()x的图象是________.
　孤立　
y=ax
a>0且a≠1
R
(0,+∞)
x轴
(0,1)
上升的
下降的
课堂合作探究
探究点一　正整数指数函数的应用
【典例1】据不完全统计,某地患呼吸道疾病的人数从2019年到2023年间平均每年上升2%,若按这个增长率进行研究,设从2018年开始经过x(x∈N*)年,患呼吸道疾病的人数为y人,2023年患病人数为11万人.(参考数据1.023≈1.06,1.025≈1.1)
(1)试计算出2018年患呼吸道疾病的人数.
(2)写出x,y之间的关系式,并估计2026年患呼吸道疾病的人数.
【思维导引】利用正整数指数函数模型,列出关系式,计算.
【解析】(1)设2018年患病人数为a万人,则a(1+2%)5≈11,即a×1.025≈11.
因为1.025≈1.1,所以a≈10,所以2018年患呼吸道疾病的人数约为10万人.
(2)2019年患病的人数为10(1+2%),2020年患病的人数为10(1+2%)+10(1+2%)×2%
=10(1+2%)2,2021年患病的人数为10(1+2%)2+10(1+2%)2×2%=10(1+2%)3.
x年后患病的人数为10(1+2%)x.
故y=10(1+2%)x=10×1.02x(x∈N*),
到2026年,x=8,故患病人数y=10×1.028=10×1.025×1.023≈10×1.1×1.06=11.66(万人).
所以2026年患呼吸道疾病的人数约为11.66万人.
【类题通法】
1.由特殊到一般的归纳方法是探究增长型函数问题常用的手段.
2.在实际问题中,对于平均增长率的问题,如果原来产值的基础数为N,平均增长率为p,则对于时间x的总产值或总产量y,可以用公式y=N(1+p)x表示.
【定向训练】
在某个时期,某湖泊中的蓝藻每天以6.25%的增长率呈指数增长,那么经过30天,该湖泊的蓝藻会变为原来的多少倍 (可以使用计算工具)
【解析】设原来的蓝藻量为a,经过30天后的蓝藻量为y,则y=a(1+6.25%)30,
所以=1.062 530≈6.16,所以经过30天,该湖泊的蓝藻会变为原来的6.16倍.
探究点二　指数函数的概念
【典例2】下列是指数函数的是(　　)
A.y=(-4)x B.y=2x+1 C.y=ax D.y=6x
【思维导引】根据指数函数的定义即可判断四个函数是否为指数函数,进而可得正确选
项.
【解析】选D.对于选项A:y=(-4)x,
因为-4<0不满足底数a>0且a≠1,故y=(-4)x不是指数函数,选项A不正确;
对于选项B:y=2x+1=2·2x不满足指数函数系数等于1,故y=2x+1不是指数函数,选项B不正确;
对于选项C:y=ax没有指出a的范围,当a>0且a≠1时才是指数函数,故选项C不正确;
对于选项D:y=6x是指数函数,故选项D正确.
【类题通法】在指数函数的解析式y=ax中,参数a必须大于0,且不等于1,ax前的系数必须是1,自变量x必须在指数的位置上,否则,就不是指数函数.
【定向训练】
若函数y=(a2-5a+7)ax+4-2a是指数函数,则有(　　)
A.a=2 B.a=3
C.a=2或a=3 D.a>2,且a≠3
【解析】选A.因为y=(a2-5a+7)ax+4-2a是指数函数,
所以a2-5a+7=1,a2-5a+6=0,(a-2)(a-3)=0,且4-2a=0,所以a=2.
探究点三　指数函数求值
【典例3】若指数函数y=ax(a>0且a≠1)的图象经过点(2,),当x=6时,y=　　　　.
【思维导引】先根据已知求出参数a的值,然后将x=6代入函数解析式即可求解.
【解析】由题意a2=,注意到a>0且a≠1,所以解得a=,所以指数函数解析式为y=()x,当x=6时,y=()6=.
答案:
【类题通法】
(1)求指数函数的解析式时,一般采用待定系数法,即先设出函数的解析式,然后利用已知条件,求出解析式中的参数,从而得到函数的解析式,其中掌握指数函数的概念是解决这类问题的关键.
(2)求指数函数的函数值的关键是求出指数函数的解析式.
【定向训练】
指数函数y=f(x)的图象经过点(-2,),那么f(2)·f(1)等于(　　)
A.-3　 B.9　 C.27　 D.81
【解析】选C.由指数函数y=f(x)=ax(a>0,且a≠1)的图象经过点(-2,),可得a-2=,
解得a=3,函数的解析式为y=f(x)=3x,f(2)·f(1)=32×31=27.
课堂练习
1.下列函数中,是指数函数的是 (　　)
A.y=x8 B.y=(-8)x
C.y=5x+1 D.y=25x
【解析】选D.A是一个幂函数,故不是指数函数;B中虽然自变量出现在底数上,但-8<0,不满足“大于0且不等于1”这个条件,故不是指数函数;C中指数并不是自变量x,故不是指数函数;D中y=25x符合指数函数的定义,故是指数函数.
√
2.若函数y=(m2-m-1)·mx是指数函数,则m等于 (　　)
A.-1或2　　　B.-1　　　C.2　　　D.
【解析】选C.依题意,有解得m=2(m=-1舍去).
√
3.给出下列函数
①y=2·3x;②y=3x+1;③y=9x;④y=x3;⑤y=(-2)x.
其中指数函数的个数是(　　)
A.0 B.1 C.2 D.3
【解析】选B.①中,3x的系数为2,①不是指数函数.
②中,y=3x+1的指数是x+1,不是自变量x,故②不是指数函数.③中,y=9x是指数函数.
④中,y=x3,底数为自变量,故④不是指数函数.
⑤中,底数-2<0,不是指数函数.
√
4.若指数函数f(x)的图象经过点(2,9),则f(-1)=　 　.
【解析】设f(x)=ax(a>0,a≠1),将点(2,9)的坐标代入,得a2=9,解得a=3或a=-3(舍去),
所以f(x)=3x,所以f(-1)=.
答案:
5.(2024·日照高一检测)一种放射性物质不断变化为其他物质,每经过一年,剩余物质的质量约是原来的,则经过　　 年,剩余物质的质量是原来的.
【解析】经过一年,剩余物质的质量约是原来的;经过两年,剩余物质的质量约是原来的()2=;经过三年,剩余物质的质量约是原来的()3=.
答案: 三
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