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第2课时 函数奇偶性的应用
生活中有很多美好的东西，上面的这两个图片美在什么地方呢？而具有奇偶性的函数图象都很美，它们又有哪些性质呢？
1.进一步理解函数的单调性和奇偶性的概念及具有奇偶性的函数的图象特征.
2.能够根据函数的奇偶性求函数解析式.(难点）
3.会根据函数的奇偶性判断函数的单调性.（重点）
直观想象：研究函数奇偶性，通过运用函数图象利用数形结合思想解决问题，培养直观想象的核心素养
体会课堂探究的乐趣，
汲取新知识的营养，
让我们一起 吧！
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课
堂
微课1 根据函数奇偶性画函数图象
偶函数的图象关于y轴对称，如果能够画出偶函数在y轴一侧的图象，则根据对称性就可补全该函数在y轴另一侧的图象.
奇函数的图象关于坐标原点对称，如果能够画出函数在坐标原点一侧的图象，则根据对称性可以补全该函数在原点另一侧的图象.
已知f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，试将下图补充完整。
【即时训练】
解：
例1.画出下列函数的图象
（1）
（2）
分析：（1）根据函数奇偶性的定义，不难知道函数是偶函数，这样只要画出了在x≥0时的函数图象就可以根据对称性画出函数在x<0时的图象.
（2）函数是奇函数，同样根据对称性解决.
解：（1）当 时，
其图象是以点(1,-1)为顶点，开口向上的抛物线，
与x轴的交点坐标是(0,0)(2,0).
此时函数图象在y轴右半部分如图所示：
根据函数图象的对称性得到整个函数的图象，如图.
（2）函数是奇函数，可以证明这个函数在区间（0，1]上单调递减，在区间（1，+∞）上单调递增，且在（0，+∞）上函数值都是正值，函数在（0，+∞）上的最小值为2.（这些都可以根据函数单调性的定义进行证明）
根据函数在（0，+∞）上的性质，作出函数的图象，如图第一象限内部分.
根据奇函数图象关于坐标原点对称画出这整个函数的图象，如图。
设奇函数f(x)的定义域为［-5,5]，当x∈［0,5]时，函数y=f(x)的图象如图所示，
（1）作出函数在［-5,0]上的图象.
（2）求使函数y＜0的x的取值范围.
【变式练习】
解：利用奇函数图象的性质，画出函数在[－5,0]上的图象，直接从图象中读出信息．
由原函数是奇函数，所以y＝f(x)在[－5,5]上的图象关于坐标原点对称，由y＝f(x)在[0,5]上的图象，知它在
[－5,0]上的图象，如图所示．由图象知，使函数值y<0的x的取值范围为(－2,0)∪(2,5)．
微课2 根据函数的奇偶性求函数解析式
例2.已知函数f(x)在（0,+∞）上的解析式是f(x)=2x+1，根据下列条件求函数在（-∞，0）上的解析式.
（1）f(x)是偶函数；
（2）f(x)是奇函数.
分析：求函数f(x)在(-∞，0）上的解析式，就是求
当 时，如何用含x的表达式表示f(x).
能够利用的已知条件是函数在（0，+∞）上的函数解析式，这样就要把（-∞，0）上的自变量转化到（0，+∞）上的自变量.
根据偶函数、奇函数的定义，具备奇偶性的函数在定义
域的对称区间上的函数值是符合奇偶性定义的，对偶函
数就是f(x)=f(-x)，这样当 时， ，
而在（0，+∞）上的函数解析式是已知的.对奇函数同
样处理.
解：（1）当函数f(x)是偶函数时，满足f(x)=f(-x)，
当 时， ，
所以，当 时，
(2)当函数f(x)是奇函数时，满足f(x)=-f(-x).
当 时， ，
所以，当 时，
已知y＝f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x2－2x，则f(x)在R上的表达式为________．
【变式练习】
微课3 利用函数的奇偶性研究函数的单调性
回顾例1中两个函数的图象
从第（1）个函数图象上可以看出函数在定义域关于原点对称的区间上的单调性恰好相反，这也是偶函数的单调性的一般规律.
从第（2）个函数图象上可以看出函数在定义域关于原点对称的区间上具有相同的单调性，这也是奇函数的单调性的一般规律.
例3.已知函数f(x)是奇函数，且在（0，+∞）上是减函数，证明函数在（-∞，0）上也是减函数.
分析：根据证明函数单调性的一般步骤，先在(-∞，0)
上取值，然后作差，通过函数是奇函数把函数在
(-∞，0)上的函数值转化到（0，+∞）上的函数值，
再根据函数在（0，+∞）上是减函数，确定所作的
差的符号，最后根据函数单调性的定义得到证明的
结论.
所以-f(x1)+f(x2)<0 ，即f(x1)-f(x2)>0.
证明：在（-∞，0）上任取x1-x2>0
因为函数在（0，+∞）上是减函数，所以
由于函数f(x)是奇函数，所以
根据减函数的定义，函数f(x)在（-∞，0）上是减函数.
函数的单调性与奇偶性的关系
(1)若f(x)是奇函数,则f(x)在定义域关于原点对称的区间上单调性一致;若f(x)是偶函数,则f(x)在定义域关于原点对称的区间上单调性相反.
(2)奇函数在定义域关于原点对称的区间上的最值相反,且互为相反数;偶函数在定义域关于原点对称的区间上的最值相等.
【总结规律】
设f(x)是定义在R上的奇函数，f(1)=2,且f(x+1)=f(x+6),那么f(10)+f(4)的值为_____.
【解析】因为f(x)为奇函数，
f(1)=2,f(x+1)=f(x+6),
所以f(0)=0,f(-1)=-2,f(10)=f(5)=f(0)=0,
f(4)=f(-1)=-2,故f(10)+f(4)= -2.
答案： -2
【变式练习】
-2
例4：若f(x)是偶函数，其定义域为(-∞,+∞)，且
在[0,+∞)上是减函数，则 与 的
大小关系是________________.
【解题关键】要比较各函数值的大小，需将要比较的自变量的值化到同一单调区间上，然后再根据单调性比较大小.
【解析】因为
又因为f(x)在［0,+∞)上是减函数,
所以
又因为f(x)是偶函数，所以
所以
答案：
函数f(x)是偶函数，且在(－∞，0]上为增函数，试比较f(－2)与f(1)的大小．
解析：因为f(x)是偶函数，
所以f(1)＝f(－1),
又因为f(x)在(－∞，0]上为增函数，－2＜－1，
所以f(－2)＜f(－1)＝f(1)，
即f(－2)＜f(1).
【变式练习】
核心知识
方法总结
易错提醒
核心素养
既奇又偶函数
奇函数
偶函数
定义
定义域特征
非奇非偶函数
图象特征
(1)若函数(x)为偶函数，则f(x)=f(|x|)=f(-x)
(2）偶±偶=偶，奇±奇=奇，偶
×偶=奇×奇=偶，奇×偶=奇
注意函数的奇偶性与单调性关系在比较大小中的应用
直观想象：研究函数奇偶性，通过运用函数图象利用数形结合思想解决问题，培养直观想象的核心素养
A
ABD
C
D
【解析】由函数y=f（x+6）为偶函数，图象关于y轴对称可得函数
y=f（x）的图象关于x=6对称，由函数f（x）在（6，+∞）上为减函数，可得在（-∞，6）上为增函数，从而可判断.
5.定义域为R的函数f（x）在（6，+∞）上为减函数
且函数y=f（x+6）为偶函数，则（　　）
A．f（4）＞f（5） B．f（4）＞f（7）
C．f（5）＞f（8） D．f（5）＞f（7）
C
12
①②④
8.已知函数f（x）是定义在[-4，4]上奇函数，且
在[-4，4]上单调递增．若f（a+1）+f（a-3）＜0，求实数a的取值范围．
【解析】因为函数f（x）是定义在[-4，4]上的奇函数，且在[-4，4]上单调递增．若f（a+1）+f（a-3）＜0，则f（a+1）＜f（3-a），
解得-1＜a＜1.
　　但凡人能想象到的事物，必定有人能将它实现。
——凡尔纳

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