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第2课时 函数的最大值、最小值
喷泉喷出的抛物线型水柱到达“最高点”后便下落，经历了先“增”后“减”的过程，从中我们发现单调性与函数的最值之间似乎有着某种“联系”，让我们来研究——
函数的最大值与最小值.
1.理解函数的最大（小）值及其几何意义；(重点）
2.学会运用函数图象理解和研究函数的性质；（难点）
逻辑推理：通过具体函数单调性的证明，培养逻辑推理的核心素养
体会课堂探究的乐趣，
汲取新知识的营养，
让我们一起 吧！
进
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课
堂
下图为某天的气温f(t)随时间t变化图,请指出单调区间.
最高气温：______最低气温：______
递增区间
递减区间
1.观察下列两个函数的图象：
y
x
o
x0
图2
M
B
微课1 函数的最大值
【提示】第一个函数图象有最高点A,第二个函数图象有最高点B,也就是说,这两个函数的图象都有最高点.
思考2 设函数y=f(x)图象上最高点的纵坐标为M,则对函数定义域内任意自变量x,f(x)与M的大小关系如何
【提示】 f(x)≤M
思考1 这两个函数图象有何共同特征？
最高点的纵坐标即
是函数的最大值！
当一个函数f(x)的图象有最高点时，就说函数f(x)有最大值.
函数 在_______上为增函数，_______上
为减函数;图象有_____(最高（低） )点，坐标为_____.
2.观察下面函数的图象，并回答问题
对任意
所以 y=4 是所有函数值中最大的，
故函数 f(x)有最大值4.
最高
函数最大值定义：一般地，设函数y=f(x)的定义
域为I，如果存在实数M满足：
（1）对于任意的x∈I，都有f(x)≤M；
（2）存在x0∈I，使得f(x0)=M.
那么，我们称M是函数y=f(x)的最大值.
可以这样理解：函数的最大值是所有函数值中最大的
一个，并且是能够取到的.
函数图象最高点处的函数值的刻画：函数图象在最高点处的函数值是函数在整个定义域上最大的值.对于函数f(x)=-x2而言，即对于函数定义域中任意的x∈R，都有f(x)≤f(0)
函数最大值的“形”的定义：当一个函数的图象有最高点时，我们就说这个函数有最大值.当一个函数的图象无最高点时，我们就说这个函数没有最大值.
【即时训练】
B
【互动探究】
【解题关键】
根据函数在区间上的单调性求解。
C
图1
y
o
x0
x
m
x
y
o
x0
图2
m
1.观察下列两个函数的图象：
微课2 函数的最小值
思考:这两个函数图象各有一个最低点，函数图象上最低点的纵坐标叫什么名称？
提示：函数图象上最低点的纵坐标是所有函数值中的最小值,即函数的最小值.
2.函数 在_______上为增函数，_______上
为减函数；图象有_____(最高（低） )点坐标为______.
观察下面函数的图象，并回答问题
对任意
所以y=-4是所有函数值中最小的,
故函数有最小值-4.
最低
当一个函数f(x)的图象有最低点时，就说函数f(x)有最小值.
仿照函数最大值的定义，怎样定义函数的最小值？
提示：一般地，设函数y=f(x)的定义域为A，如果存在x0∈A,使得对于任意的x∈A，都有f(x)≥f(x0) ,那么称f(x0)为函数y=f(x)的最小值，记为ymin=f(x0).
思考交流
函数最小值的定义：一般地，设函数y=f(x)的定
义域为I，如果存在实数N满足：
（1）对任意的 ，都有f(x)≥N ；
（2）存在 ，使得f(x0)=N.
那么，我们称N是函数y=f(x)的最小值.
可以这样理解：函数的最小值是所有函数值中最小的
一个，并且是能够取到的.
函数图象最低点处的函数值的刻画：函数图象在最低点处的函数值是函数在整个定义域上最小的值.对于函数f(x)=x2而言，即对于函数定义域中任意的x∈R，都有f(x)≥f(0).
最小值的“形”的定义：当一个函数的图象有最低点时，我们就说这个函数有最小值.当一个函数的图象没有最低点时，我们就说这个函数没有最小值.
下列函数是否存在最大值、最小值？函数在何处取得最大值和最小值,并求出其值.
没有
当x=1时取得最小值2；
当x=3时取得最大值6.
当x=1时取得最小值2；没有最大值
【即时训练】
1.函数最大值首先应该是某一个函数值，即存在
使得 .并不是所有满足 的函数都有
最大值M.如函数 ,虽然对定义域上
的任意自变量都有 ，但1不是函数的最大值.
2.函数的最值是函数在定义域上的整体性质，即这个函数值是函数在整个定义域上的最大的函数值或者是最小的函数值.
【提升总结】
例1.“菊花”烟花是最壮观的烟花之一.制造时一般
是期望在它达到最高点时爆裂.如果烟花距地面的高
度h(m)与时间t(s)之间的关系为h(t)=-4.9t2+14.7t+18，
那么烟花冲出后什么时候是它爆裂的最佳时刻？这时
距地面的高度是多少（精确到1 m）？
分析：烟花的高度h是时间t的二次函数，根据题意就是求出这个二次函数在什么时刻达到最大值，以及这个最大值是多少.
显然，函数图象的顶点就是烟花上升的最高点，顶点的横坐标就是烟花爆裂的最佳时刻，纵坐标就是这时距地面的高度.
解：画出这个函数h(t)=-4.9t2+14.7t+18的图象.
由二次函数的知识，对于函数
我们有：
于是，烟花冲出后1.5s是它爆裂的最佳时刻，这时距地面的高度约为29m.
某公司在甲乙两地同时销售一种品牌车，利润（单位：
万元）分别为L1=-x2+21x和L2=2x，其中x为销售量（单
位：辆）.若该公司在两地共销售15辆，则能获得的最大
利润为( )
A.90万元 B.60万元
C.120万元 D.120.25万元
提示:设公司在甲地销售品牌车x辆,则在乙地销售品牌车(15-x)辆,根据利润函数表示出利润,利用配方法求出函数的最值.
C
【变式练习】
【解析】设公司在甲地销售品牌车x辆，则在乙地销
售品牌车（15-x）辆，根据题意得，利润y=-x2+21x+
2（15-x）=
∵x是正整数，∴x=9或10时，能获得最大利润，
最大利润为120万元
由于20,(x1-1)(x2-1)>0,于是
所以，函数 是区间[2,6]上的减函数.
解：任取x1, x2∈ [2,6] ，且x1＜x2
例2.已知函数 ，求函数的最大
值和最小值.
因此,函数 在区间[2,6]上的两个端点上分别取得最大值和最小值，即在点x=2时取最大值，最大值是2，在x=6时取最小值，最小值为0.4 .
【提醒】利用函数的单调性来求函数的 最大值与最小值是一种十分常用的方法，要注意掌握.
【总结提升】函数在定义域上是减函数必需进行证明，然后再根据这个单调性确定函数取得最值的点.因此解题过程分为两个部分，先证明函数在[2，6]上是减函数，再求这个函数的最大值和最小值.
【变式练习】
C
例3 若函数f(x)=x2+ax+b在区间[0,1]上的最大值是M,最小值是m,则M-m　(　　)
A.与a有关,且与b有关 B.与a有关,但与b无关
C.与a无关,且与b无关 D.与a无关,但与b有关

1.利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大(小)值
2. 利用图象求函数的最大(小)值
3.利用函数的单调性判断函数的最大(小)值
如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递增，则函数
y=f(x)在x=a处有最小值f(a),在x=b处有最大值f(b)；
如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递减，在区间[b，c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b)；
【总结提升】
判断函数的最大(小)值的方法：
已知函数f（x）=-x2+6x+9在区间[a，b]，（a＜b＜3）上有最大值9，最小值-7，求实数a，b的值．
【解析】因为y=-（x-3）2+18
因为a＜b＜3，所以当x=a时，函数取得最小值ymin=-7；
当x=b时，函数取得最大值ymax=9；
即
解得：a=8或-2；b=0或6．又因为a所以a=-2；b=0．
【变式练习】
利用函数的单调性
求函数的最值
图象法
函数的最大值在最高点取得
先确定或证明单调函数的单调性及
相应的单调区间，再求函数在何处
取得最大值或最小值
注意：两种方法经常结合应用
C
2．设二次函数f(x)=x2+4x-3，函数值f(2),f(1),
f(-1),f(5)中，最小的一个是( )
A.f(2) B.f(1) C.f(-1) D.f(5)
【解析】由题意知抛物线的对称轴为x=-2，
函数f(x)=x2+4x-3在［-2,+∞)上是增函数，有
f(-1)＜f(1)＜f(2)＜f(5).
C
3.函数f(x)＝9-ax2(a>0)在[0,3]上的最大值为(　　)
A．9 B．9(1-a)
C．9-a D．9-a2
A
D
D
　　在科学上进步而道义上落后的人，不是前进，而是后退.
——亚里士多德

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