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(共39张PPT)
3.2 函数的基本性质 3.2.1 单调性与最大（小）值
第1课时 函数的单调性
德国有一位著名的心理学家艾宾浩斯，对人类的记忆牢固程度进行了有关研究.他经过测试，得到
了有趣的数据.
数据表明，记忆量y是时间
间隔t的函数. 艾宾浩斯根据
这些数据描绘出了著名的
“艾宾浩斯记忆遗忘曲线”,
如图：
1
2
3
t
y
o
20
40
60
80
记忆的数量(百分数)
天数
100
思考1：当时间间隔t逐渐增大时，你能看出对应的函数值y有什么变化趋势吗？通过这个试验，
你打算以后如何对待刚学过
的知识
思考2:“艾宾浩斯记忆遗忘
曲线”从左至右是逐渐下降
的，对此，我们如何用数学观点进行解释？
1
2
3
t
y
o
20
40
60
80
100
记忆的数量(百分数)
天数
1.理解增函数、减函数的概念；（重点）
2.掌握用定义判断函数单调性的方法；（难点）
3.求函数的单调区间.
数学抽象：通过具体函数图象抽象出定义，培养数学抽象的核心素养
逻辑推理：通过具体函数单调性的证明，培养逻辑推理的核心素养
体会课堂探究的乐趣，
汲取新知识的营养，
让我们一起 吧！
进
走
课
堂
能用图象上动点P（x，y）的横、纵坐标关系来说明上升或下降趋势吗？
x
y
o
x
y
o
x
y
o
局部上升或下降
下降
上升
微课 函数单调性的定义
O
x
y
以f(x)=x2为例说明图象的变化特点：
f(x)=x2
O
x
y
O
x
y
O
x
y
O
x
y
O
x
y
O
x
y
O
x
y
O
x
y
x
y
O
（-∞，0]上 随x的增大而减小;
[0，+∞）上 随x的增大而增大.
对区间D内 任意x1，x2 ，
当x1图象在区间D逐渐上升
？
O
x
D
y
区间D内随着x的增大, y也增大
x1
x2
f(x1)
f(x2)
M
N
对区间D内 x1，x2 ，
当x1x
x1
x2
？
D
y
f(x1)
f(x2)
O
M
N
任意
区间D内随着x的增大，y也增大
图象在区间D逐渐上升
对区间D内 x1，x2 ，
当x1x
x1
x2
都
y
f(x1)
f(x2)
O
M
N
任意
区间D内随着x的增大，y也增大
图象在区间D逐渐上升
D
根据以上的探究，同学们互相交流一下，试着总结出增函数的定义.
那么就说函数f(x)在区间D上是减函数，D称为f(x)的 单调 减 区间 .
O
x
y
x1
x2
f(x1)
f(x2)
你能类比增函数的研究方法定义减函数吗？
x
O
y
x1
x2
f(x1)
f(x2)
设函数y=f(x)的定义域为I：
如果对于定义域I内某个区间D上
的任意两个自变量的值x1,x2，
如果对于定义域I内某个区间D上
的任意两个自变量的值x1,x2，
那么就说函数f(x)在区间D上是增函数，D称为f(x)的 单调 增区间 .
当x1<
当x1>
单调区间
设函数y=f(x)的定义域为I：
增函数的定义.
（2）函数单调性是针对某个区间而言的，是一个局部性质;
（3）x1, x2 取值的任意性.
（1）如果函数 y =f(x)在区间I内是单调增函数或单调减函数，那
么就说函数 y =f(x)在区间I上具有单调性.
在单调区间上，增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的.
【特别提醒】
2.定义在R上的函数 f (x)满足 f (2)> f(1)，则函数 f (x)在R上是增函数；
(×)
1.函数 f (x)= x2 在 是单调增函数；
x
y
o
(×)
【易错点拨】
y
x
O
1
2
f(1)
f(2)
提示:在 不是单调的
提示:不具有代表性
x
o
y=(x-1)2-1
1
2
-1
y
x
y =x3
o
增区间为
增区间为
增区间为
减区间为
x
o
y=2x+1
y
y
写出下列函数的单调区间：
【即时训练】
例1.下图是定义在区间[-5,5]上的函数y=f(x)，根据图象说出函数的单调区间，以及在每一个单调区间上，它是增函数还是减函数
解析：函数 的单调区间有
其中 在区间 上是减函数，在区间
上是增函数．
整个上午（8：00—12：00）天气越来越暖，
中午时分（12：00—13：00）一场暴风雨使天气骤
然凉爽了许多.暴风雨过后，天气转暖，直到太阳
下山（18：00）才又开始转凉.画出这一天8：00—
20：00期间气温作为时间函数的一个可能图象，并
说出所画函数的单调区间.
解：单调增区间是
[8,12）,[13,18）; 单调减区间是 [12,13）,[18,20].
【变式练习】
作差变形
定号
判断
取值
证明：根据单调性的定义，设V1,V2是定义域(0,+∞)上的任意两个实数，且V1所以，函数 V∈(0,+∞)是减函数，也就是说，当体积V减小时，压强p将增大.
①取值：即设x1、x2是该区间内的任意两个值,且x1②作差变形：即作差f(x1)-f(x2)(或f(x2)-f(x1)),
并用因式分解、配方、有理化等方法将差式向有利于判断差的符号的方向变形;
③定号：确定差f(x1)-f(x2)(或f(x2)-f(x1))的符号,当符号不确定时,可进行分类讨论;
④判断：根据定义得出结论.
利用定义证明或判断函数在指定区间上的单调性的步骤:
【提升总结】
此为证明的关键点、易错点
画出反比例函数f(x)= 的图象.
（1）这个函数的定义域D是什么？
（2）它在定义域I上的单调性是怎样的？
证明你的结论.
【变式练习】
函数图象如图
根据函数单调性的定义，结合函数的图象可知上述说法是错误的.
【思考交流】
在此题的基础上请同学们继续探究．若f(x)、g(x)均为减函数，判断y＝f(x)＋g(x)的增减性；若f(x)为增函数，g(x)为减函数，判断y＝f(x)－g(x)，y＝g(x)－f(x)的增减性并证明。
并概括：增函数＋增函数为增函数，减函数＋减函数为减函数，增函数－减函数为增函数，减函数－增函数为减函数．
函数的
单调性
核心知识
方法总结
易错提醒
核心素养
当c>0时，函数f(x)与cf(x)的单调性相同;
当c<0时，函数f(x)与cf(x)的单调性相反，
函数f(x)和g(x)单调性相同，则f(x)+g(x)的单调性与其相同
函数f(x)与f(x)+c的单调性相同;
单调递增
单调区间
单调递减
图象
单调性的判断
（1）单调区间必须是函数定义域的子集
（2）若函数f（x)在其定义城内的两个区间A.B上都是增函数(或减函数)。一般不能简单认为
f（x)在A∪B上是增函数
（3）函数单调区间的书写若在区间端点处有定义，则写成开区间或闭区间都可
数学抽象：通过具体函数图象抽象出定义，培养数学抽象的核心素养
逻辑推理：通过具体函数单调性的证明，培养逻辑推理的核心素养
D
C
解析：直线y=kx+b在k<0时，单调递减.
∴2a-1<0,即a<
D
4.函数 f(x)=x2-2ax+3在(-∞，4]上是减函数，则
a的取值范围为________．
[4，+∞)
【解题关键】可利用函数图象求解.
5.已知f(x)是R上的增函数，若f(a)>f(1-2a),则a的
取值范围是 ．
【解题关键】利用增函数的定义可知，a>1-2a,即
　　如果你希望成功，那么就要以恒心为良友，以经验为参谋，以小心为兄弟，以希望为哨兵.

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