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第十三章 三角形 章末检测
一、选择题
1.从10米长的木条两边各截取一根x米长的木条.若得到的三根木条首尾顺次相接能组成三角形，则x的值可能为( ) ( )
A.2 B.2.5 C.3 D.6
2.如图,AD,CE都是△ABC的中线,连接ED,△ABC的面积是10cm ,则△BDE的面积是( )
A.1.25 cm B.2cm C.2.5 cm D.5cm
3.如图,在△ABC 中,∠BAC=36°,∠ACB=62°,BE平分∠ABC,点D 为BE 延长线上一点,且DF⊥AC于点 F,则∠BDF的度数为( ) ( )
A.8° B. 12° C.13° D.15°
4.如图,AC=6,BC=8,AB=10,点D 是平面内一点,且满足AD=2CD,则2BD+AD的最小值是( ) ( )
A. 12 B. 14 C. 16 D. 18
二、填空题
5.如图,在△ABC中,AD是边 BC上的中线,△ABD 的周长比△ADC的周长多3,AB与AC的和为13,则AB的长为 .
6.已知△ABC 中AE是角平分线,AD 是BC 边上的高线,∠EAD=30°,∠DAC=10°,则∠BAC 的度数为 . 对点专练 P18,P22
7.如图，一张三角形纸片ABC中，∠A=30°，点D 在边AC上，先将纸片沿BD折叠，点A 落在点A'处,A'B交AC于点E(如图①),再将△BCE沿BE折叠,点C恰好落在折痕BD上的点C'处,此时∠C'EB=72°(如图②),则∠ABC的度数是 . 对点专练 P8,P21
三、解答题
8. 已知a,b,c是△ABC的三边长,a=4,b=6,设三角形的周长是x.
(1)直接写出c及x的取值范围.
(2)若x是小于18的偶数.
①求c 的长;②判断△ABC 的形状.
9. 如图,在△ABC中,∠ABC=60°,∠ACB=40°,BE⊥AC于点 E,AD 与BE交于点 F.
(1)求∠ABE 的度数;
(2)若AD平分∠BAC,DG平分∠ADC,试说明DG∥BE.
10.如图,在△ABC中,∠ABC与∠ACB的平分线相交于点P,△ABC的外角∠MBC与∠NCB 的平分线交于点 Q，延长线段 BP，QC 交于点 E.
(1)若∠A=30°,求∠BPC 的度数;
(2)探究∠BPC与∠Q之间的数量关系，并证明；
(3)在△BQE中，若存在一个内角等于另一个内角的3倍，求∠A的度数.
1. C解析：由题意可知，三根木条的长度分别为x米，x米，(10-2x)米,∵三根木条要组成三角形,∴x-x<10-2x2. C 解析:∵AD是△ABC的中线,△ABC 的面积是 10 cm ,∴△ABD的面积=△ABC的面积∵CE 是△ABC的中线,∴△BDE的面积=△ABD的面积 故选 C.
3. C 解析:∵ △ABC 中, ∠BAC = 36°, ∠ACB = 62°,∴∠ABC=180°-36°-62°=82°.∵ BE 平分∠ABC,∴ ∠ABE= ∴ ∠CEB = 180°﹣41°﹣62°= 77°,∴∠DEF=77°,∴∠BDF=90°-77°=13°.故选 C.
4. C 解析:∵AD=2CD, ∴2BD+AD=2(BD+ ∴当B，C，D在同一直线上时，BD+CD有最小值,最小值为BC,BC=8,∴2BD+AD的最小值为2BC=2×8=16.
5. 8 解析:∵AD是BC边上的中线,∴BD=CD,∴△ABD的周长-△ADC的周长=(AB+AD+BD)-(AC+AD+CD)=AB-AC=3,即AB-AC=3 ①.又AB+AC=13 ②,①+②,得2AB=16,解得AB=8.
6. 40°或 80° 解析:如图①,∠EAD = 30°,∠DAC= 10°,∴∠CAE=30°+10°=40°.∵AE 是角平分线, ∴ ∠BAC =2∠CAE=80°.如图②,∠EAD=30°,∠DAC=10°,∴ ∠CAE=30°-10°=20°.∵AE 是角平分线, ∴∠BAC=2∠CAE=40°.综上,∠BAC的度数为40°或80°.
7. 63° 解析:由题意可得,∠ABC' = ∠C'BE = ∠EBC = 设∠ABC=x,则∠ABC'= ∵三角形的内角和等于 180°，∴在△ABC中,∠A+∠ABC=180°-∠C,即: ∴在△BCE中,∠CEB+∠CBE=180°-∠C,即 解得x=63°.
8. (1)2(2)①因为周长为小于18的偶数,所以x=16或x=14.
当x=16时,c=6;当x=14时,c=4.
②当c=6时,b=c,△ABC为等腰三角形;
当c=4时,a=c,△ABC为等腰三角形.
综上，△ABC是等腰三角形.
9.(1)∵ ∠ABC+∠BAC+∠ACB = 180°,∴ ∠BAC= 180°-∠ABC-∠ACB=180°-60°-40°=80°.∵AC⊥BE,∴ ∠AEB=90°,∴∠ABE=90°-∠BAC=90°-80°=10°.
(2)∵AD 平分∠BAC,∴ ∴ ∠ADC=∠ABC+∠BAD=60°+40°=100°.
∵DG平分∠ADC,.
∵∠EBC=∠ABC-∠ABE=60°-10°=50°,∴ ∠EBC=∠GDC.∴DG∥BE.
10. (1)∵ ∠ABC+∠ACB+∠A=180°,∴ ∠ABC+∠ACB=180°-∠A.∵ BP,CP 分别平分∠ABC,∠ACB,∴ ∠PBC= ∴∠PBC+∠PCB= (∠ABC+ ∵ ∠BPC+∠PBC+∠PCB=180°,∴ ∠BPC = 180°-(∠PBC+∠PCB)= 180°- ·∠A=30°,∴∠BPC=90°+
(2)∠BPC+∠Q=180°,证明如下:∵ BP 平分∠ABC,BQ平分∠MBC, ∴∠PBC+ 即 ∠MBC).∵ ∠ABC+∠MBC = 180°, ∴∠PBQ= 90°,同理,∠PCQ=90°,根据四边形的内角和等于 360°得,∠PBQ+∠PCQ+∠BPC+∠Q=360°,∴ ∠BPC+∠Q=180°.
(3)由(1)可知, 由(2)可知,∠BPC+∠Q= 180 在△BQE 中,∠EBQ =90°, 如果存在一个内角等于另一个内角的3倍，有以下四种情况：
①当∠EBQ=3∠E时,则 ∴∠A=60°;
②当∠EBQ=3∠Q时,则 .∠A=120°;
③当∠Q=3∠E时,则 ∠A=45°;
④当∠E=3∠Q 时,则 ∴∠A=135°.综上所述,∠A的度数是60°或120°或45°或135°.

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