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2025～2026 学年第二学期高二期末监测
数学试题参考答案
一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分．
题 1 2 3 4 5 6 7 8
选号 C A C D B A C A
项
二、选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分．
题号 9 10 11
选项 AC ABD ABC
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分．
12． 13． 14．
8．【解析】因为 的定义域为 ，
又 ,
所以 是偶函数，
又 ,
令 ，则 恒成立，
所以当 时， ，即 ，
又 在 上单调递增，所以 ，
所以 在 上恒成立，则 在 上单调递增，
构造函数 ，则 ，
令 ，得 ，令 ，得 ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 ，又 ，
所以 ,所以 ，
所以 ，所以 .
故选：A.
11.【解析】初始时，甲盒有 1白 2黑，乙盒有 1白 2黑.
选项 A：一次操作后，甲盒恰有 1个白球（事件 ）的情况：
从甲取黑且从乙取黑，或从甲取白且从乙取白.
甲取黑的概率为 ，乙取黑的概率为 ；甲取白的概率为 ，乙取白的概率为 .
故 ，A正确.
选项 B： 表示“第二次操作后甲盒有 1个白球的前提下，
第一次操作后甲盒有 0个白球”的概率.
第一次操作后甲盒有 0个白球（ ）：甲取白、乙取黑，概率 .
第二次操作后甲盒有 1个白球（ ）的情况：若 发生，甲盒 0白 3黑，乙盒 2白 1黑，
此时从甲取黑、乙取白的概率为 ，故 .
若 发生，甲盒 1白 2黑，乙盒 1白 2黑，此时 （同 ）.
若 发生，甲盒 2白 1黑，乙盒 0白 3黑，此时 （甲取白、乙取黑的概率为 ）.
由全概率公式： .
由条件概率公式： ，B正确.
选项 C：递推关系： .
整理为： .
初始值 ，故 .
因此 ，即 ，
选项 D： 表示“第一次操作后甲盒有 0个白球，或第二次操作后甲盒有 1个白球”的概率.
由概率的加法公式： .
其中 .
代入得： ，D错误.
故选：ABC
14．【解析】如图，设该正三棱锥 的底面边长 ，高 ，
外接球的球心为 ，设 交 于 ,
则 ，
因为球的面积为 ，所以球的半径为 ，
在 中， ，即 ，
整理得 ,因为 ，所以 ，
所以正三棱锥的体积为
则 ，
当 时， ，当 时， ，
所以 在 上递增，在 上递减，
所以当 时，函数取得最大值 .
15．（13 分）
解：（1）假设 认为使用线上学习工具的频率与学段无关. .............1 分
由 列联表中的数据，可得
..............4 分
因为 ，故否定假设 ，
所以有 的把握认为使用线上学习工具的活跃度与学段有关. 6 分
（2）由前 5周的活跃用户数，可得
， ， ............8 分
又 ， ，
所以 ， ......................10 分
则 ， ..............................12 分
故所求的线性回归方程为 . .......................13 分
16.（15 分）
解：（1）由题意可得 ..................................1 分
当 时， ，函数 在R上单调递减. ...............2 分
当 时，令 得
因 在R上单调递增, ...........................3 分
所以当 时， 单调递减； .............4 分
当 时， ， 单调递增； ...............5 分
综上所述：当 时， 的单调递减区间是 ；
当 时， 单调递减区间是 单调递增区间是 ； 6分
（2）法 1：当 时，由（1）知 在R上单调递减，
....................8 分
当 时， 恒成立. ..........................10 分
当 时， 在区间 上单调递减,在区间 上单调递增,
所以 的最小值为
..........................................................13 分
令 ，得
综上，实数 的取值范围是 . ............................15 分
法 2：由 恒成立,得 ................7 分
当 时， 恒成立. .............................8 分
当 时，由 恒成立，可得 恒成立； ........9 分
当 时,由 恒成立，可得 恒成立； .........10 分
设 ，则 ， ........................11 分
令 得 ，故当 时， 在 上单调递减，
13 分
所以当 当时， 的最小值为 ，此时 .
当 时, 且当 时， ，此时
综上， 的取值范围是 .................................15 分
17.（15 分）
解：（1）连接 ，在正三棱柱 中， 为等边三角形， ...1 分
又因为 为 的中点，所以 . .....................2 分
又因为 ，
,所以 ..........3 分
又因为
所以 . .................5 分
又因为 ,所以 . 6 分
（2）设 为 的中点，由（1）知 ，
如图，以 为原点，以 的方向为 轴建立空间直角坐标系.
因为 ， ，设 = ,
所以 ......7 分
设平面 的法向量为
所以
令 得 ，
所以平面 的一个法向量为 ..............9 分
由已知得 ，所以 的中点
所以平面 的一个法向量为 ...............10 分
设平面 与平面 的夹角为 ，
因为二面角 的余弦值为 ，
所以 ................12 分
化简得
解得 ,因为 ,所以 .....................13 分
所以平面 的一个法向量为 ,
又 ，所以
所以点 到平面 的距离
所以点 到平面 的距离为 .......................15 分
18.（17 分）
解：（1）（ⅰ）设 “甲同学所选的题目回答正确”， “所选的题目为数学相关知识的题目”， “所
选的题目为物理相关知识的题目”， “所选的题目为化学相关知识的题目”，则
，且 两两互斥．
根据题意得 ， ， ，
， ..........................2 分
则 ，
所以甲同学在该题库中任选一道题作答，他回答正确的概率为 ，
即 ..................................................4 分
（ⅱ） 的可能取值为 ， ..............................5 分
，
，
，
， ..................................9 分
则 的分布列为：
-3 1 5 9
所以 ． ................11 分
（2）当 时， 为答对题目的数量，由题意可知 ，
故当 时，获得奖励的概率 ， ............12 分
当 时，获得奖励的情况可以分为如下情况：
①前 8道题答对题目的数量大于等于 5，
②前 8道题答对题目的数量等于 4，且最后 2道题至少答对 1道题，
③前 8道题答对题目的数量等于 3，且最后 2道题全部答对，
故当 时，获得奖励的概率 ，14 分
所以
，
因为 ，所以 ，即 ，所以 ． ........17 分
19.（17 分）
解：（1）由题意，函数 的定义域为 ，求导得
. ....................................2 分
由题意，切点为 ，切线斜率为 .
所以 ， ,
解得 . ...........................................4 分
（2）（i）法 1：当 时， ，求导得 .
............................................................................................... 5分
因 有两个极值点 ，故方程 有两个正实根，因此 ，
解得 . ................................................................................................ 6分
因 是方程 的根，故 .
由 ，又因为 ，则 .
将 代入 ，得 . ............... 8分
要证 ，即证 ，
即证 ，即证 ，
令 ， ，则 ，
在 上单调递增，
故 ，即 . ..................... 11分
法 2：当 时， ，求导得 .
............................................................................................... 5分
因 有两个极值点 ，故方程 有两个正实根，因此 ，
解得 . ................................................................................................ 6分
因为
又 ，所以 ........................................................................ 8分
因为 在 单调递减
所以
所以 ............................................................................................. 11分
（ii）令 ，由 ，得 ， ，故 .
. ..................................................... 13分
令 ， ， .
令 ，则 ， 在 上单调递增，
故 ， ， 在 上单调递增.
已知 ，故 ，即 . .................... 17分

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