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4.2《角》暑假预习
一、单选题
1．下列图形中，能用，，三种方法表示同一个角的是（ 　 ）
A．B．C． D．
2．下列换算中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．将一副常规三角尺（厚度不计）如图摆放，那么等于（ ）
A． B． C． D．
4．如图，是的平分线，是的平分线，度，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，图中是某航海区域的情况，在灯塔附近有A，B，C，D，E，F，6座海轮，其中到灯塔的距离为，海轮在灯塔和海轮的中点处．且，．则下列说法正确的是（ ）
①若海轮的速度为，则海轮抵达灯塔最少需要20分钟；
②；
③；
④在灯塔的北偏东的方向上．
A．①④ B．①② C．①③④ D．①②③④
二、填空题
6．计算：_____________．
7．已知，，则 _______ （填“<”或“>”或“=”）．
8．3：30时，钟面上时针和分针组成的角是________角；_________时整或________时整，时针和分针的夹角是直角．
9．如图，已知，射线在的内部，且，射线是平面上绕点B旋转的一条动射线，平分．若，则的度数为______．（用含的式子表示）
10．定义：过角的顶点在角的内部作一条射线，得到三个角，若这三个角中有一个角是另外一个角的两倍，则称这条射线为这个角的“二倍角线如图，，射线为的“二倍角线”，则 ______ ．
三、解答题
11．计算：
(1)． (2)．
12．如图，、、在一条直线上，已知平分，是内部的一条射线．
(1)若，，求的度数；
(2)若，，求的度数．
13．解答下列问题：
(1)尺规作图，在的外部作，使得（要求只保留作图痕迹，不写作法）；
(2)，设，
①用x表示；
②求证：；
③探究与的数量关系，并说明理由．
14．已知，过点O作射线，设，将射线逆时针旋转一定的角度得到射线．
(1)如图1，若，求的度数；
(2)如图2，若．
①求的度数（用含α的式子表示）；
②若平分，试探究与的数量关系，并说明理由．
15．【实践操作】三角尺中的数学实践活动课上，“奋进”小组将一副直角三角尺的直角顶点叠放在一起，如图，使直角顶点重合于点．
【问题发现】
(1)①填空：如图，若，则的度数是_____，的度数_____，的度数是______．
②如图，你发现与的大小有何关系？与的大小又有何关系？请直接写出你发现的结论．
【类比探究】
(2)如图2，当与没有重合部分时，上述②中你发现的结论是否还依然成立？请说明理由．
16．特例感知：
（1）如图1，已知线段，点为线段上的一个动点，点，分别是和的中点．
①若，则线段_________；
②若，则线段_________；
知识迁移：
（2）我们发现角的很多规律和线段一样，如图2，若，是内部的一条射线，射线平分，射线平分，_________；
拓展探究：
（3）如图3，已知在内部，，，且，，求（用含的式子表示）．
综合提升：
（4）如图4，若，，射线、分别在和内部，且，，_________．（直接写出答案）
参考答案
一、单选题
1．C
解：A、能用，表示，不能用表示，故选项不符合题意；
B、能用，表示，不能用表示，故选项不符合题意；
C、能用，，表示同一个角，故选项符合题意；
D、和表示不同的角，故选项不符合题意．
2．B
解：对A选项：，故A错误；
对B选项：
，故B正确；
对C选项：
，故C错误；
对D选项：，故D错误．
3．D
解：由图可知，，
故选：D．
4．D
解：∵是的平分线，是的平分线，度，
∴，，
∴.
5．C
解：海轮到灯塔的距离为，速度为，
抵达灯塔需要的时间为小时分钟，
故①正确；
，
故②错误；
、
，，在同一直线上，
故③正确；
，正北方向与夹角为，
在灯塔的北偏东的方向上，
故④正确；
综上所述，说法正确的是①③④．
二、填空题
6．
解：
．
7．
解： ，
，
，且 ，
．
8． 锐 3 9
解：3：30时，钟面上时针和分针组成的角是锐角；3时整或9时整，时针和分针的夹角是直角．
9．或
解：， ，
分两种情况讨论： ①当射线在的内部时，
平分
②当射线在的外部时，
平分
综上所述，的度数为或．
10．或或
解：当时，
，
；
当时，
，
；
当时，
，
；
综上，或或．
三、解答题
11．（1）解：原式；
（2）解：原式．
12．（1）解：平分，，
，
又，
；
（2）解：设，则，
，
平分，
∴∠BOC=2∠COD=6x ,∠BOD=∠COD=3x，
，
∴∠AOC=∠AOE -∠COE=80 -x，
，
∴80 +x+6x=180 ，
解得，
．
13．(1)如图：即为所求．
(2)①；
②证明：∵，
∴，
∴，
；
③与的和等于，理由如下：
∵，，
∴．
14．（1）解：∵，，
∴
。
（2）解：①∵，，，
∴
；
②∵平分，，
∴，
∵，
∴，
∴。
15．（1）解：①由题意可知，，
∵，
∴，，
∴．
②，．理由如下：
∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴．
(2)解：当与没有重合部分时，上述②中你发现的结论依然成立，理由如下：
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
∴上述②中你发现的结论依然成立
16．解：（1）①，，
，
点，分别是和的中点，
，，
；
②，，
，
点，分别是和的中点，
，，
；
（2）是内部的一条射线，射线平分，射线平分，
，，
，
；
（3）∵∠AOB=ɑ，，
，
，，
，
；
（4）设，
∵，，
∴，，
∵，，
∴，，
∴，
∴．

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