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4.3《多边形和圆的初步认识》暑假预习
一、单选题
1．下列图形中的角是圆心角的是（　　）
A． B． C． D．
2．下列说法正确的是（ ）
A．任意两点之间的部分叫做弦
B．长度相等的两条弧是等弧
C．圆的两条弦所对的两条弧一定是等弧
D．圆上任意两点之间的部分叫做弧
3．一个扇形的圆心角是，（ ）个这样的扇形可以拼成一个圆
A． B． C．
4．从边形的一个顶点出发作对角线，最多可将此边形分成个三角形，则（ ）
A．2023 B．2024 C．2025 D．2026
5．小明把一个半圆平均分成12份，拼成一个新的图形（如图）．这个新图形的周长与半圆周长相比（ ）
A．半圆周长更长 B．新图形的周长更长
C．一样长 D．无法比较．
二、填空题
6．如图，该图形是_______边形，有_______条边，从一个顶点出发的对角线有_______条，把该多边形分成_______个三角形．
7．某新款自动驾驶汽车的环视感知系统，其八个核心传感器均匀分布在一个圆形支架上（可视为正八边形顶点）.该系统内部信号连接时，若每两个传感器均需建立独立通道（相邻传感器间已由支架直连），则需要额外建立的连接通道数量为______条．
8．如图，把圆形茶杯垫片沿直径剪开，得到两个近似的三角形，再拼成平行四边形，如下图所示．已知平行四边形的底是，那么圆形茶杯垫片的面积是_______．（ 取）
9．用对角线把多边形分成几个三角形，叫做“多边形的三角剖分”． 20世纪，数学家乌尔班发现并证明了下面的公式：（其中表示凸n边形的三角剖分数）．如图，凸四边形，有两种剖分方式（即：），请你用上面的公式计算______．
10．如图，将大小不同的两块量角器的零度线对齐，大、小量角器的中心分别为、，且恰好在大量角器的圆周上，设图中两圆周的交点为，点在小量角器对应的刻度为，则点在大量角器上对应的刻度为_______．（只考虑小于的角）
三、解答题
11．圆的有关概念：
(1)圆的两种定义方式：
（a）在一个平面内线段绕它固定的一个端点旋转一周，另一个端点随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点叫做　　　　　．线段叫做　　　　．
（b）圆是所有点到定点的距离　　　　　　定长的点的集合．
(2)弦：连接圆上任意两点的　　　　　　叫做弦．（弦不一定是直径，直径一定是弦，直径是圆中最长的弦）；
(3)弧：圆上任意两点间的部分叫　　　　　　（弧的度数等于这条弧所对的圆心角的度数，等于这条弧所对圆周角的两倍）
(4)等弧：在同圆与等圆中，能够　　　　　　的弧叫等弧．
(5)等圆：能够　　　　　　的两个圆叫等圆，半径　　　　　　的两个圆也叫等圆．
12．如图所示，分别以AB，BC和AC为直径作弧．已知，．
(1)比较①②两条从点A到点C的路线，走哪条路更近？
(2)如果，，那么①②两条从点A到点C的路线的长度相比，有什么变化呢？你得到了什么样的结论？
13．古时候人们往往会用八卦罗盘来测量建筑的方位．小明自制了一个类似的玩具：以点O为中心，共有内外两圈，均可以绕着点O旋转，外圈有A，B，C，D，E，F，G，H 8个点将圆八等分，内圈仅有J，K两个点，且点A，K，O，J四点共线，连接．
(1)求的度数；
(2)固定内圈，顺时针转动外圈一周，恰好经过．求外圈只转一周且当与一边垂直时，经过多少时间？
14．观察、探究及应用．
(1)观察如图所示的图形并填空．
一个四边形有 条对角线；
一个五边形有 条对角线；
一个六边形有 条对角线；
一个七边形有 条对角线；
(2)分析探究：由n边形的一个顶点出发，可作 条对角线，多边形有n个顶点，若允许重复计数，共可作 条对角线；
(3)结论：一个n边形有 条对角线；
(4)应用：一个十二边形有多少条对角线？
15．阅读与思考
连接多边形任意两个不相邻顶点的线段叫做多边形的对角线．
如图所示，过多边形的一个顶点作出所有的对角线，可以把多边形分割成若干个三角形．请仔细观察下面的图形和表格，并回答下列问题：
多边形的顶点数/个 4 5 6 7 8 ……
从一个顶点出发的对角线的条数/条 1 2 3 4 5 …… ①_____
分割成的三角形个数/个 2 3 4 5 6 …… ②_____
(1)观察探究：请仔细观察上面的图形和表格，并用含的代数式填写表格①______，②______；
(2)n边形有n个顶点，那么所有对角线的条数可表示为______；
(3)类比应用：数学社团共有11名同学，大家约定，春节期间每人都要给同社团的其他同学打一个电话拜年．请问，按照此约定，数学社团的同学们一共将拨打电话多少个？
参考答案
一、单选题
1．A
解：A．顶点在圆心上，是圆心角，故本选项符合题意；
B．顶点在圆上，是圆周角，故本选项不符合题意；
C．顶点不在圆心上，不是圆心角，故本选项不符合题意；
D．顶点不在圆心上，不是圆心角，故本选项不符合题意；
故选：A．
2．D
解：A、弦的定义是连接圆上任意两点的线段，A选项中“任意两点之间的部分”表述不符合弦的定义，故此选项错误，不符合题意；
B、等弧的定义是在同圆或等圆中能够互相重合的弧，长度相等的弧不一定在同圆或等圆中，也不一定能重合，故此选项错误，不符合题意；
C、只有在同圆或等圆中，相等的弦所对的优弧与优弧、劣弧与劣弧才是等弧，两条弦不一定相等，即使相等所对的弧也可能一条是优弧一条是劣弧，故此选项错误，不符合题意；
D、弧的定义是圆上任意两点之间的部分，与D选项表述一致，故此选项正确，符合题意．
故选：D．
3．B
解：∵一个完整的圆的圆心角是，单个扇形的圆心角是，
∴需要的扇形个数为，
∴个这样的扇形可以拼成一个圆．
4．C
解：从边形的一个顶点出发作对角线，则最多可将该边形分成个三角形，
由题意可得，则．
5．C
解：通过观察图形可知，把这个半圆平均分成12份，拼成一个新的图形，这个新图形的两条边之和等于半圆的弧，另外两条边之和等于半圆的直径，所以这个新图形的周长等于半圆的周长．
二、填空题
6． 五 5 2 3
解：如图，图中的图形是五边形，有5条边，从一个顶点出发的对角线有2条，把该多边形分成3个三角形．
故答案为：五；5；2；3．
7．
解：∵对于每个核心传感器，除去相邻传感器，还需要连5个传感器，故需额外建立5条连接通道，
∴一共需要额外建立的连接通道数量为（条）．
故答案为：．
8．
解：根据题意可得，圆的直径为：，
∴圆的半径为，
∴圆形茶杯垫片的面积为．
9．14
解：∵，，
∴，
∵，
∴；
故答案为14．
10．
解：连接，如图所示：
点P在小量角器对应的刻度为，
，
，
，
，
点P在大量角器上对应的刻度为．
故答案为：．
三、解答题
11．（1）解：（）在一个平面内线段绕它固定的一个端点旋转一周，另一个端点随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点叫做圆心．线段叫做半径；
（）圆是所有点到定点的距离等于定长的点的集合；
（2）解：弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦．（弦不一定是直径，直径一定是弦，直径是圆中最长的弦）；
（3）解；弧：圆上任意两点间的部分叫弧（弧的度数等于这条弧所对的圆心角的度数，等于这条弧所对圆周角的两倍）；
（4）解：等弧：在同圆与等圆中，能够完全重合的弧叫等弧；
（5）解：等圆：能够完全重合的两个圆叫等圆，半径相等的两个圆也叫等圆．
12．（1）解：路线①的长度，
路线②的长度．
故走两条路一样近．
（2）解：路线①的长度，
路线②的长度．
故①②两条路线的长度相比，没有变化，仍然相等．
结论：不论的长度怎么变化，①②两条路线的长度都相等．
13．（1）解：由题意得：将圆8等分，占其中的3份，
∴．
（2）解：由题意得，外圈转动速度为：,
①当时，点A在右侧半圆上，时间，
点A在左侧半圆上，时间；
②当时，点D在右侧半圆上，时间；
点D在左侧半圆上，时间．
综上所述，外圈只转一周且当与一边垂直时，经过或或或．
14．（1）解：一个四边形有条对角线；
一个五边形有条对角线；
一个六边形有条对角线；
一个七边形有条对角线；
（2）解：由（1）归纳总结可得：
由n边形的一个顶点出发，可作条对角线，多边形有n个顶点，若允许重复计数，共可作条对角线；
（3）解：由（1）归纳总结可得：
一个n边形有条对角线．
（4）解：当时，
一个十二边形有条对角线．
15．（1）∵4边形从一个顶点出发的对角线有条，分割成的三角形有个，
5边形从一个顶点出发的对角线有条，分割成的三角形有个，
6边形从一个顶点出发的对角线有条，分割成的三角形有个，
7边形从一个顶点出发的对角线有条，分割成的三角形有个，
8边形从一个顶点出发的对角线有条，分割成的三角形有个，
…，
∴n边形从一个顶点出发的对角线有条，分割成的三角形有个，
故答案为：①，②；
（2）当多边形的顶点数为n时，从一个顶点可以引出条对角线，则n个顶点可以引出条对角线，其中每一条都重复算了一次，因此实际的对角线条数为．
故答案为：；
（3）11名学生看成是顶点数为11的多边形，每人都要给同社团的其他同学打一个电话拜年是这个多边形的对角线，则由（2）可得，数学社团的同学们一共将拨打电话（个）．

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