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(共18张PPT)
湘教·九年级上册
习题 2.1
学而时习之
1.在Rt△ABC中，∠C=90°， ，求 sinB 的值.
解：在Rt△ABC中，
C
A
B
2.如图在△ABC中，CD是AB边上的高，CD=12，AD=9，BD=5，求 sinA，sinα，sinB 和 sinβ 的值.
B
C
A
D
α
β
解：因为CD是AB边上的高，
所以CD⊥AB.
在Rt△ACD中， CD =12 ，AD=9
AC2 = AD2+CD2 = 92 + 122 = 225.
所以 AC = 15.
2.如图在△ABC中，CD是AB边上的高，CD=12，AD=9，BD=5，求 sinA，sinα，sinB 和 sinβ 的值.
在Rt△BCD中， CD =12 ，BD=5
BC2 = BD2+CD2 = 52 + 122 = 169.
所以 BC = 13.
B
C
A
D
α
β
3.计算：
（1）1+2sin60°sin45°； （2）sin230°+ sin245°.
解：1+2sin60°sin45°
解：sin230°+ sin245°
解：
解：
4. 如图，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D.
CD
AB
CB
AC
AC
CD
B
C
A
D
5.在Rt△ABC中，∠BCA=90°，CD是高线，
BD=4，CD=2，求 sinA，cosA的值.
B
C
A
D
2
4
解：根据题意作出Rt△ABC.
因为CD是高线，BD=4，CD=2，
在Rt△BCD中，由勾股定理可得
BC2=BD2+CD2=42+22=20.
于是BC= .
在Rt△ABC中，
6.计算：
(1) sin245°+cos245°； (2)cos30°·cos45 °· cos60 °；
解：sin245°+cos245°
解：cos30°·cos45 °· cos60 °
2cos260°－1；
(4) cos45 °cos30°－sin45°sin30 °；
解：2cos260°－1
解：cos45 °cos30°－sin45°sin30 °
(5) (sin60 °+cos60°) (sin30 °－cos30°) .
解：(sin60 °+cos60°) (sin30 °－cos30°) .
7.用计算器求下列锐角的正弦值、余弦值(精确到0.000 1) ：
(1) 8°；(2) 15.75°；(3) 26°12′ ；(4) 83°24′36″.
解：(1) sin8° =0.139 2 ； cos8°=0.990 3.
(2) sin15.75° =0.271 4 ； cos15.75°=0.962 5.
(3) sin26°12′ =0.441 5 ； cos26°12′ =0.897 3.
(3) sin83°24′36″=0.993 4 ； cos83°24′ 36″=0.114 8.
8. 已知下列正弦值或余弦值，用计算器求对应的锐角 α (精确到1°) ：
sinα = 0.522 5；(2) sinα = 0.809 0；
(3) cosα = 0.315 2；(4) cosα = 0.516 8.
解：(1) α ≈ 32°； (2) α ≈ 54°；
(3) α ≈ 72°； (4) α ≈ 59°；
温故而知新
9. 设 α 是任一锐角，求证：sin2α + cos2 α =1.
证明：如图，∠ABC=α（0°＜α＜90°），
过 A 点作AC⊥BD于点C，
设AB=c，BC=a，AC=b，则a2+b2=c2，
则
B
C
A
D
c
a
b
α
10. 在平行四边形ABCD中，AB=60，AD=45，∠A=60°，求四边形ABCD的面积.
C
B
A
D
60°
E
解：根据题意作平行四边形ABCD，同时作DE⊥AB于点E.
因为AD = 45，∠A=60°，
所以
所以
所以
11. 如图，观察图中的信息，回答下列问题：
（1）写出sin75°与cos75°的值.
1
0.97
0.5
0.26
0.26
0.5
0.97
1
x
y
80°
70°
60°
50°
40°
30°
20°
10°
P
O
B
A
解：由图可知 AB = 0.97，OB = 0.26， OA = 1.
在Rt△ABO中，
（2）随着锐角θ的增大，sinθ与cosθ的值怎样变化？写出你的结论.
1
0.97
0.5
0.26
0.26
0.5
0.97
1
x
y
80°
70°
60°
50°
40°
30°
20°
10°
P
O
11. 如图，观察图中的信息，回答下列问题：
解：当 0 ≤ θ <45°，sinθ < cosθ；
当 θ = 45°，sinθ = cosθ；
当 45 °< θ ≤ 90°，sinθ >cosθ；
（3）你能估计出锐角θ的正弦值与余弦值范围吗？
1
0.97
0.5
0.26
0.26
0.5
0.97
1
x
y
80°
70°
60°
50°
40°
30°
20°
10°
P
O
11. 如图，观察图中的信息，回答下列问题：
解： －1≤ sinθ ≤ 1；
－1≤ cosθ ≤ 1(共8张PPT)
湘教·九年级上册
习题 2.3
学而时习之
1.在 Rt△ABC 中，∠C= 90°.
（1）若∠A= 60°，b= ，求a，c；
（2）若c= ，b=3，求a，∠A.
解：(1) ∠B = 90°－∠A = 90°－60°= 30°.
因为
所以
因为
所以
解：(2) 在Rt△ABC中，由勾股定理可知
因为
所以∠A=30°
1.在 Rt△ABC 中，∠C= 90°.
（1）若∠A= 60°，b= ，求a，c；
（2）若c= ，b=3，求a，∠A.
2.如图，在△ABC中，已知∠C=90°，sinA= ，
D为AC上一点，∠BDC=45°，DC=6，求 AB 的长.
解：因为∠C=90°，∠BDC=45°，
所以 ∠DBC=45°，
所以 DC = BC = 6.
又因为
所以
A
45°
C
B
D
3.如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB，cos A= ，
求tan∠DBE的值(提示：可设AD=5x ，其中x>0).
解：设AD=5x，
因为
所以 AE = AD·cos A = 3x.
在Rt△ADE中，由勾股定理可知
在菱形ABCD中 AD=AB=5x，
所以
A
C
B
D
E
所以 BE=AB－AE = 2x.
温故而知新
4.如图，在矩形ABCD中，DE⊥AC，垂足为点E，设∠ADE= α，且cos α= ，AB=3，求AD的长.
解：因为四边形ABCD是矩形，DE⊥AC，
所以∠AED=∠BAD = 90°，AD = BC.
因为∠ADE +∠DAE=90°，
∠BAC+∠DAE=90°，
所以 ∠ADE =∠BAC = α.
A
C
B
D
E
在Rt△ABC中，由勾股定理可知
所以 AD = BC = 4.
所以
又因为
A
C
B
D
E
5. 如图，已知一次函数 y=kx+b 的图象与 x 轴的
正半轴交于点 M(2，0)，与 y 轴的正半轴交于点N，且∠OMN=60°.求此一次函数的表达式.
x
y
M
N
O
解：由题可知OM=2，
所以
所以
解得
此一次函数的表达式为：(共15张PPT)
湘教·九年级上册
习题 2.4
学而时习之
1. 如图，渔船在A处看到灯塔C在北偏东60°方向上，渔船向正东方向航行12km到达B处，在B处看到灯塔C在正北方向上，这时渔船与灯塔C的距离是多少？
B
C
60°
A
北
东
解：由图可知∠CAB=30°，∠CBA=90°，AB=12km.
在Rt△ACB中，
因为
答：这时渔船与灯塔 C 的距离是
2. 如图，塔AD的高度为30m，塔的底部 D 与桥
BC 位于同一条水平直线上.由塔顶 A 测得 B 和 C 的俯角∠EAB，∠EAC分别为60°和30°.求 BD，BC的长( ， 结果精确到0.1m)
A
B
D
E
C
解：由题意得∠BAD=90°－60°=30°，
∠CAD=90°－30°=60°，
在Rt△BAD中，
同理可得 CD = (m)，
所以 BC =CD－BD=
答：BD的长为17.3m，BC的长为34.6m.
3. 如图，有一段斜坡 BC 长为10m，坡角
∠CBD = 12°，为方便残疾人的轮椅通行，现准备把坡角降为5°.已知 sin12°≈ 0.20，tan12°≈ 0.21，tan5°≈ 0.09.
（1）求坡高 CD (结果精确到0.1m)；
（2）求斜坡新起点 A 与原起点 B 的距离(结果精确到 0.1m)；
A
B
C
D
12°
5°
A
B
C
D
12°
5°
解：(1) 在Rt△CBD中，
所以 CD=BC·sin∠CBD = 10×sin12°≈ 2.0 (m).
答：坡高 CD 为2.0m.
A
B
C
D
12°
5°
(2) 在△CAD中
所以 AB = AD－BD = 13.8 (m)
答：斜坡新起点 A 与原起点 B 的距离为13.8m.
4. 如图，MN表示水平地面，由地面上 A 处测得
山坡上 B 处的仰角是25°，由山顶C处测得B处的俯角是40°.若AB=120m，BC=180m，求山顶C处到地面MN的垂直距离(sin25°≈ 0.42，sin40°≈ 0.64，结果精确到1m).
B
M
25°
N
A
C
40°
B
M
25°
N
A
C
40°
解：如图，过点B作BD⊥MN于点D，过点C作CE⊥MN于点E，过点B作BF⊥CE于点F，则BD=EF，∠CBF=40°，
因为AB =120m，BC=180m， ∠BAD = 25°， ∠CBF=40°，
在Rt△BAD中，
D
E
F
所以 CE = CF+BD =115.2+50.4 ≈ 166 (m)
答：山顶C处到地面MN的垂直距离为166m.
5. 图(1)是一间安装有壁挂式空调的卧室的一部分，图(2)是该空调挂机的侧面示意图.已知空调挂机底部BC垂直于墙面CD，且当导风板所在直线AE与竖直线AB的夹角α为40°时，空调风刚好吹到床的外边沿E处，若AB=0.02m，BC=0.2m，床铺长DE=2.3m，求空调挂机底部位置距离床的高度CD(tan40°≈ 0.84，结果精确到0.1m).
温故而知新
D
A
C
E
B
α
（2）
（1）
D
A
C
E
B
α
（2）
解：设射线AB交DE于点F，由题意得，DF=BC=0.2m，CD = BF，
F
因为EF=DE－DF=2.3－0.2=2.1(m)，
所以 BF ≈ 2.5(m)，
所以 CD = BF≈ 2.5 (m)，
答： 空调挂机底部位置距离床的高度CD约为 2.5 m.
6. 如图(a)，A，B和C是三个小岛.一艘船由A处出发
向正东方向航行 4km 到达 B 处，然后向正北方向航行
3 km到达 C 处.
(1) 求由 A 处测得 C 处的方位角的大小(tan37°≈ 0.75，结果精确到1°).
C
A
B
北
3km
(a)
P
A
C
M
h
48°
65°
(b)
解：在Rt△ABC中，
所以 ∠CAB ≈ 37°，
答：由 A 测得C的方位角的大小为北偏东53°.
90°－37°= 53°，
6. 如图(a)，A，B和C是三个小岛.一艘船由A处出发
向正东方向航行 4km 到达 B 处，然后向正北方向航行
3 km到达 C 处.
(2) 如图(b)，直升机由 C 处飞往 A 处，其飞行高度一直保持在海平面以上h km.当直升机飞到P处时，由P处测得C 处和 A 处的俯角分别是 48°和65°.已知 A，C，P 和海平面上一点M都在同一个平面上，且 M 位于 P 的正下方，求 h(tan48°≈1.11， tan65°≈2.14，结果精确到0.1km).
C
A
B
北
3km
(a)
P
A
C
M
h
48°
65°
(b)
C
A
B
北
3km
(a)
P
A
C
M
h
48°
65°
(b)
解：由题意得，∠PAM=65°，∠PCM=48°，
在Rt△ABC中，因为AB=4 km，BC=3 km，
在Rt△APM中，
因为 AC = AM+CM，
即 5 = 0.47h+0.90h，
所以 h ≈ 3.6(km).
C
A
B
北
3km
(a)
P
A
C
M
h
48°
65°
(b)
答： h 为 3.6 km.
在Rt△PCM中，(共7张PPT)
湘教·九年级上册
习题 2.2
学而时习之
1.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12cm，AB=13cm，求tan A，tan B的值.
根据勾股定理，得
BC2 = AB2－AC2 = 132 － 122 = 25.
于是 BC=5．
则 ．
解：根据题意作出Rt△ABC.
A
B
C
2. 如图，在平面直角坐标系内有一点P(5，4)，
连接OP，求OP与x轴正方向所夹锐角 α 的正切值.
解：过点P 作 PA⊥x轴，垂足为A.
则 ．
1
2
3
4
5
1
2
3
4
x
y
O
P (5，4)
α
A
3. 求下列各式的值.
解：tan30°tan60°
解：
解：
温故而知新
4. 设α是任一锐角，求证 .
证明：作Rt△ABC，∠C = 90°
则
A
B
C
a
c
b
α
5. 用计算器求锐角α的正切值，并将结果(精确到0.001)填入下表：
锐角α ··· 10° 20° 40° 50° 70° 80° ···
tanα ···
由上表你可以猜测出锐角α不断增大的情况下，它的正切值是如何变化的吗？
当锐角α在其度数不断增大时，tan α逐渐增大.
0.176
0.364
0.839
1.192
2.747
5.671
···

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