资源简介

(共14张PPT)
湘教·九年级上册
习题 1.1
学而时习之
1.求下列各式中 x 的值.
（1） ；
（2） .
解：
5x = 144×25
x = 720
解：
13(x+2) = 65x
52 x = 26
x = 0.5
2. 已知 a∶b∶c = 5∶4∶3，求 的值.
解：由于 a∶b∶c = 5∶4∶3
设 a = 5k，b = 4k，c = 3k.
所以
3. 如图在△ABC中，AB=12cm，点 D，E分别
在AB，AC上，AE=6cm，EC=4cm，且 .
（1）求 AD 的长；
解：设 AD 的长为x cm，由题意得
解得
x =
答： AD 的长为 cm.
A
B
C
D
E
（2）试说明线段 DB，AB， EC， AC 是否成比例.
A
B
C
D
E
3. 如图在△ABC中，AB=12cm，点 D，E分别
在AB，AC上，AE=6cm，EC=4cm，且 .
解：因为
所以 ，从而线段 DB，AB， EC， AC 成比例.
4. 已知 a，b，c是△ABC的三边长，且
，a + b + c = 12，试判断△ABC的形状.
所以 a = 3k－4， b = 2k－3，
c = 4k－8
解：由于
设 .
又因为 a + b + c = 12
所以 3k－4 + 2k－3 + 4k－8 = 12
所以 k = 3
则 a = 5， b = 3，c = 4
又因为 a2 = b2 + c2
所以△ABC为直角三角形.
5. 主持人在主持节目时，站在舞台的黄金分割点
处最自然得体，若舞台 AB 长为 20m，则主持人站在离 A 点多远处最自然得体 (结果精确到0.1m)？
A
B
答：主持人站在离 A 点12.4 m或 7.64 m 处最自然得体.
20× ≈12.4（m）
或20× ≈7.6（m）
温故而知新
6. 已知 ，求 的值(至少用三种方法求解) .
①由于 .
解：
所以 3(a－2b) = 5b
即 3a = 11b
所以
所以 .
②由于 .
设 a－2b = 5k，b = 3k .
所以 a = 11k.
所以 .
6. 已知 ，求 的值(至少用三种方法求解) .
③由于 .
所以 .
所以 .
所以
7. 已知 ，求 的值.
解：
由于 ，则 .
所以
8. 已知 a，b，c 为正数，且 ，
试判断点(-6，-3)是否在正比例函数 y=kx的图像上.
解：由于
所以 a = k(b+c)， b = k(c+a) ，
c = k(a+b)
所以 a+b+c = k(b+c)+k(c+a)+k(a+b)
a+b+c = 2k(a+b+c)
k =
所以 y = x
将 x = -6代入函数
将 y = -6× = -3
所以点(-6，-3)在正比例函数y=kx的图像上.
9. 如图，对于一条给定的线段 AB，找出它的黄金分
割点的作法如下：①过点B作AB的垂线，并在垂线上取 BC= AB；②连接AC，以点 C 为圆心，以CB的长为半径画弧，交AC于点E；③以点 A 为圆心，AE 为半径画弧，交 AB 于点 P. P 即为所求作的线段 AB 的黄金分割点.
（1）试证明 .
（2）任意画一条线段，试按照上述方法找出它的黄金分割点.
A
B
C
E
P
A
B
C
E
P
（1）证明：
设 AB=a， AP =x
则 AC= x+
在Rt△ABC中，由勾股定理可得
整理得
即 AP2 = AB·PB
所以
（2）
A
B
D
E
C
已知线段 AB
①过点 B 作AB的垂线，并在垂线上
取 BD = AB；
②连接AD，以点 D 为圆心，以DB的长为半径画弧，交AD于点E ；
③以点 A 为圆心，AE 为半径画弧，
交 AB 于点 C.则点 C 即为所求作的线段 AB 的黄金分割点.(共7张PPT)
湘教·九年级上册
习题 1.3
学而时习之
1. 在下面两组图形中，每组的两个三角形相似，试分别确定α，x的值.
A
B
C
A'
B'
C'
12.32
15
7.5
100°
26°
x
100°
α
解：因为△ABC∽△A′B′C′，
所以∠C=∠C′，
即 α =180°－ 100° －26°= 54°.
所以
因为 AB=12.32，BC=15，B′C′=7.5，
所以 ，即 x=6.16.
(1)
1. 在下面两组图形中，每组的两个三角形相似，试分别确定α，x的值.
A
B
C
O
D
x
60°
α
70°
70°
6.78
6
4
(2)
解：因为△BOA∽△COD，
所以∠COD=∠BOA=60°，
所以 α =180°－70° － 60°=50°，
所以
因为AB=x，CD=6.78，OB=4，OC=6，
所以 ，即 x = 4.52.
2.如图，已知两个四边形相似，试分别确定
α，x的值.
8
120°
4
4
x
α
45°
45°
135°
解：因为两个四边形相似，
所以 α =360°－120° － 45° － 135°= 60°，
所以 ，即 x=2.
温故而知新
3.如图，把△ABC平移，使顶点A移动到点A′处，得到△A′B′C′； 把△A′B′C′绕顶点A′顺时针旋转90°，得到△A′B″C″；以点A′为一个顶点画△A′DE，使边A′D，A′E的长分别为边A′B″，A′C″的长的 ， 且点D，E分别在边A'B"，A'C"上.问画出的△A'DE与△ABC是相似图形吗？
A
B
C
A'
A
B
C
B '
C '
B''
C''
D
E
解：由题意可知
△A′DE∽ △A′B′′C′′，且相似比为 ，
△ ABC≌△A′B′C′≌△A′B′′C′′，
所以 △ ABC∽ △A′DE.
A
B
C
A'
A
B
C
B '
C '
B''
C''
D
E
4.如图，E，F分别为矩形ABCD的边AD，BC的中
点.若矩形ABCD与矩形EABF相似，且AB=1，求矩形ABCD的面积.
A
B
C
D
E
F
解：因为矩形ABCD∽矩形EABF，
所以
因为E是AD中点，
所以 AD=2EA，
所以 ，即2EA2=1，所以EA= ，
所以AD=2EA= ,
所以 S矩形ABCD= .(共8张PPT)
湘教·九年级上册
习题 1.7
学而时习之
1.下列图形中，哪些是位似图形？若是，找出它们的位似中心.图(1)中 图(2)中
A
B
C
D
E
D'
C'
E'
A'
B'
O
O
A'
B'
C'
A
B
C
(1)
(2)
图(2) △ABC与△A′B′C′是位似图形，位似中心是点O.
图(1) △OAB与△OA′B′，△OBC与△OB′C′，△OCD与△OC′D′，△ODE与△OD′E′，△OEA与△OE′A′，五边形ABCDE与五边形A′B′C′D′E′是位似图形，位似中心都是点O.
2.如图，以点O为位似中心，将四边形ABCD放大为原图形的 2 倍.
A
B
C
D
O
D′
C′
B′
A′
A
B
C
D
O
D′
C′
B′
A′
3. 在平面直角坐标系中，四边形 OABC 的顶点坐标为
O(0，0)， A(2，0)， B(2，1)， C(0，1)，将其各顶点的坐标扩大为原来的2倍，画出得到的四边形.这两个四边形是位似图形吗？若是，位似比是多少？
O
2
4
6
2
4
6
-2
-4
-2
y
x
B
C
A
A′
B′
C′
四边形OABC与四边形O'A'B’C'是以坐标原点O为位似中心，位似比为 2 的位似图形.
O
2
4
2
4
-2
-4
-2
x
B
A
C
D
4. 在平面直角坐标系中，已知正方形 ABCD 的顶点坐
标为A(2，0)， B(4，0)， C(4，2)， D(2，2)，以坐标原点O为位似中心，作正方形ABCD的位似图形，位似比为 .
y
A′
B′
C′
D′
依次连接点A'，B'，C'，D'，正方形A'B'C'D'即为所求作的图形.
解：正方形 ABCD的各顶点坐标分别乘 ，得A'(1，0 ) ， B'( 2，0 ) ，
C'(2，1) ， D'( 1，1 ) ，
温故而知新
5. 画一个正方形ABCD，任选一点O，以点O为位似中心，将其放大为原图形的 2 倍.
O
A
B
C
D
A′
B′
C′
D′
B′'
D′'
A′'
C′'
6. 在平面直角坐标系中，△ AOB的顶点坐标为
A(－1，3)， O(0，0)， B(－3，1)，以坐标原点O为位似中心，将三角形AOB放大，记所得三角形为△A'OB'，若点A的对应点A'的纵坐标为－6，求点B'的横坐标.
由点A(－1，3)的对应点A′的纵坐标为－6，所以位似比为－2，则点 B′ 的坐标为(6， －2) ，所以点 B′ 的横坐标为6.(共8张PPT)
湘教·九年级上册
习题 1.2
学而时习之
1. 如图，点D，E分别在△ABC的边AB，AC上，DE∥BC，且DB=AE.若AB=5，AC=10，求AE的长.
B
A
C
D
E
解：由平行线分线段成比例可知，
因为
所以
所以
2. 如图，点D，E，F分别在 △ABC 的边AB， AC，
BC上，DE∥BC， EF∥AB.求证：
B
A
C
D
E
F
证明：在△ABC中，
因为 DE∥BC，
所以
又因为 EF∥AB，
所以
所以
3. 如图，在 △ABC 中D为AC上的一点，且 ，
过点 D 作DE∥CB，交AB于点E，连接CE，过点 D 作DF∥CE交AB于点F.若AB=15，求 EF 的长.
B
A
C
E
D
F
解：因为DE∥CB，
所以
又因为 DF∥CE
所以
因为 AB = 15
所以 AE = 10，BE = 5
所以 EF =
4. 如图，在△ABC 中 D 是 AC 的中点，E 是 BC 延
长线上的一点，过点 A 作AH∥EB，连接ED并延长交AB于点F，交 AH 于点H，若AB=5AF，EH=10，求DF的长.
B
A
C
E
D
F
H
解：因为AH∥EB，
所以
因为 EH = 10
所以 DH=DE = 5.
又因为 AB=5AF
所以
所以 FH= 2，FE= 8.
所以 DF= FE－DE = 8－5 = 3.
温故而知新
5. 如图，l1∥l2∥l3 ，点 A，C，E 在直线 l1 上，点 B，D，F在直线 l3上，直线 l2 与 AB，CD 分别相交于 M，K，直线EF 经过点 M.已知 AM=2，MB=3，EM=4，CD=12，求FM，CK，DK 的长.
B
A
C
E
D
F
l1
l2
l3
M
K
解：由平行线分线段成比例可知，
所以
B
A
C
E
D
F
l1
l2
l3
M
K
由平行线分线段成比例可知，
因为 CD=CK+DK=12，
所以
6. 如图，在△ABC 的边 BC 上任取两点D，E，过点 D
作 AB 的平行线交 AC 于点 M，连接 AE ，过点 M 作 AE 的平行线交 BC 于点 N .求证： .
B
A
C
E
D
M
N
证明：在△ABC中，
因为 MD∥AB,
所以
在△ACE中，
因为 MN∥AE,
所以
所以(共14张PPT)
湘教·九年级上册
习题 1.4
学而时习之
1. (多选题)下列结论正确的有 ( )
（A）有一个锐角相等的两个直角三角形相似
（B）有一个锐角相等的两个等腰三角形相似
（C）有一个角等于 120°的两个等腰三角形相似
（D）有一个角为 60°的两个等腰三角形相似
A C D
2. 证明：有一个底角相等的两个等腰三角形相似.
A
B
C
A′
B′
C′
证明：因为△ABC和△A′B′C′是等腰三角形，
且AB=AC，AB′=AC′，
所以∠B=∠C，∠B′=∠C′.
所以 △ABC∽△A′B′C′. (两角分别相等的两个三角形相似.)
又因为∠B=∠B′，所以∠C=∠C′.
3. 如图，已知△ABC和△DBE，且BD=2BA，BE=2BC，DE=2EF，试指出图中有几对相似三角形，并说明理由.
A
C
B
D
E
F
解：图中有3对相似三角形，理由：
所以△BED∽△BCA.
因为 BD=2BA，BE=2BC，
又因为∠B=∠B，
因为DE=2EF，
又因为∠D=∠D，
所以△BED∽△AFD.
所以△BCA∽△AFD.
4. 如图，已知∠1= ∠2，AB·AD=AC·AE.
求证：△ABC∽△AED.
A
C
B
D
E
1
2
证明：
又因为∠1=∠2，
所以∠1+∠EAC=∠2+∠EAC，
所以∠BAC=∠EAD.
所以 △ABC∽△AED.
5. 如图，在正方形ABCD中，E为边AD的中点，点
F在边CD上，且CF=3FD，△ABE与△DEF相似吗？为什么？
A
C
B
D
E
F
证明：因为四边形 ABCD 为正方形，
△ABE与△DEF相似.
所以 ∠A= ∠D=90°.
又因为E为边 AD 的中点，CF=3FD，
所以
又因为 AD = AB = DC，
所以
所以
所以 △ABE∽△DEF.
6. 如图，方格纸上的三角形①②③中与△ABC相似的是 ( )
(A) ①
(B) ②
(C) ③
(C) 都不与△ABC相似
①
②
③
A
B
C
C
7. 如图，已知 O 是△ABC内任一点，连接OA，OB，OC，且D，E，F分别是OA，OB，OC的中点.求证：△ABC ∽△DEF.
A
C
B
D
E
F
O
证明：因为D，E，F分别是OA，OB，OC的中点，
所以 △ABC∽△DEF.
8. 如图，在△ABC 和△ADE中，
求证：△ABD ∽△ACE .
A
C
B
D
E
证明：因为
所以 △ABC ∽△ADE
所以 ∠BAC = ∠DAE
又因为 ∠BAC = ∠BAD+ ∠DAC
∠DAE = ∠CAE+ ∠DAC
所以 ∠BAD = ∠CAE
因为
所以
所以△ABD ∽△ACE .
温故而知新
9. 如图，在方格纸上有六个三角形：
①△ABC；②△BCD； ③△BDE； ④△BFG； ⑤△FGH；
⑥△EFK. 三角形② ~ ⑥ 中，与三角形 ① 相似的有______________(只填序号).
A
C
B
D
E
F
H
G
K
③ ⑤
10. 如图，在△ABC 中，D 为边AC上的一点.选择下列条件①∠2=∠A， ②∠1=∠CBA，③ ④
中的一个，不能得出△ABC 和△BDC相似的是_________
(只填序号).
A
C
B
D
1
2
③
11. 在△ABC 中，∠C =90°，BC=16cm，AC=12cm，
如图所示.点 P 从点 B 出发，沿 BC 以 2m/s 的速度向点 C 移动，同时点 Q 从 C 点出发，沿 CA 以 1cm/s 的速度向点A移动.若点
P，Q 分别到达点 C，A 后就停止移动，问：运动多少秒时，△CPQ 和 △CBA 相似？
A
C
B
P
Q
则 PC = (16－2t) cm， CQ = t cm
解：设运动 t 秒时，△CPQ 和△CBA相似.
因为∠C = ∠C =90°
A
C
B
P
Q
解得 t = 4.8.
情况二：△CPQ ∽△CAB
情况一：△CPQ ∽△CBA
解得 t =
答：运动 4.8秒或 秒时，△CPQ 和△CBA相似.
12. 如图，O 是 △ABC 外一点，分别在射线OA，OB，
OC上任取点A'，B'，C'，使得 连接A'B' ，B'C' ，A'C'.问所得到的△A'B'C'是否与△ABC相似？说明你的理由.
A
C
B
O
A'
B'
C'
证明：因为 ∠AOB=∠A′OB′，
所以 △AOB∽△A′OB′.
所以 △ABC∽△A′B′C′.
△ABC与△A′B′C′相似.
同理可证：(共10张PPT)
湘教·九年级上册
习题 1.6
学而时习之
1.小杰打网球时，要使球恰好能打过网，而且落在离网水平距离为 5m 的位置上，如图所示，则球拍击球的高度 h 应为多高(假设球沿直线飞行)？
5m
10m
0.8m
h
因为 AB=5m，CB=0.8m，
AD=10m，
解得 h=1.6m.
答：球拍击球的高度h应为1.6m.
A
B
C
D
E
解：因为CB∥ED，
所以 △ACB∽△AED.
2.比例规是一种画图工具，它由长度相等的两脚AC和
BD交叉构成，如图所示.把比例规的两脚合上，使螺丝钉固定在刻度m的地方，此时 然后张开双脚，使A，B两个尖端分别在线段 l 的两个端点上，这时 CD 与 AB 的长度有什么关系？位置有什么关系？为什么？
D
C
O
A
B
l
所以 AB∥CD.
3.宣传栏 BC 后面 2m 处植有与宣传栏平行的 6 棵树，
即DE∥BC，且相邻两棵树的间隔均为 2m，如图所示. 一人站在宣传栏前面的点 A 处正好看到两端的树干，其余的 4 棵树均被宣传栏挡住.已知AF⊥BC，AF= 3m，求宣传栏BC的长(不计宣传栏的厚度与树的宽度).
解：延长AF交DE于点H，由题意可知，FH=2m，DE=10m
所以 BC=6m.
答：宣传栏BC的长度是6m.
H
因为 DE∥BC.
所以 △ABC∽△ADE.
因为 AF=3m，AH=3+2=5m，DE=10m，
4. 在阳光下某一时刻，1.2m 长的标杆的影子长为 3m.
同时一棵大树 AB 的影子一部分落在墙 DE 上，如图所示.已知 CD=4m，BD =6m，求大树的高度.
解：因为
所以
所以 AB = 4 m.
答：大树的高度是 4m.
学而时习之
5. 一张梯子共有 5 级互相平行的踏板，每相邻两级踏板的距离都相等，如图所示.已知梯子最上面一级踏板的长度A1B1=0.5m，最下面一级踏板的长度A5B5=0.8m，求剩余几级踏板的长度（提示：过点A1作B1B5的平行线）.
A1
A2
A3
A4
A5
B1
B2
B3
B4
B5
A1
A2
A3
A4
A5
B1
B2
B3
B4
B5
解：过 A1作直线B1B5的平行线l，分别交A2B2， A3B3， A4B4，A5B5，于点C2，C3，C4，C5，
所以 A1B1=B2C2=B3C3=B4C4=B5C5=0.5m，
且△A1A2C2∽△A1A3C3∽△A1A4C4∽△A1A5C5.
所以 A2C2 =0.075m.
同理可得 A3C3 =0.15m，A4C4 =0.225m.
所以 A2B2 =0.575m， A3B3=0.65m， A4B4=0.725m.
C2
C3
C4
C5
6. 在一次活动课上，王老师让同学们到操场上想办法测量旗杆的高度.小芳同学的测量方法是：拿一根高3.5m的竹竿(EC)直立在离旗杆(AB)一定距离的C处，通过调整自己的位置，使得眼睛F、竹竿顶点E和旗杆顶点A恰好在同一直线上.测得小芳的目高(眼睛到地面的距离)DF为1.5m，此时她与竹竿的距离DC=3m，竹竿与旗杆的距离CB=27m，这样便可计算出旗杆AB的高度.你认为这种测量方法是否可行？如果可行，求出旗杆的高度；如果不行，试说明理由.
答：旗杆的高度为 21.5 m.
G
H
设旗杆 AB 的高度为 x m，过点 F作 FG⊥AB 于点G，交 CE 于点 H.
所以 △AGF∽△EHF.
因为 EC∥AB，
所以 EH = EC-CH = 3.5－1.5 = 2(m)，
AG =（x-1.5）m.
因为 DF = 1.5 m，GF = 27+3 = 30(m) ，
HF = 3 m，EC = 3.5 m，CH = DF，
因为 △AGF∽△EHF，
所以
解：这种测量方法可行.理由如下:(共10张PPT)
湘教·九年级上册
习题 1.5
学而时习之
1. 如图，已知△ABC ∽ △A'B'C'， CD，C'D'分别是△ABC，△A'B'C' 的中线，BM，B'M'分别是△ABC，△A'B'C' 的角平分线，CD=8，BM=4，求C'D'，B'M'的长.
A
B
C
D
M
A'
M'
D'
B'
C'
解：因为△ABC∽△A′B′C′，
又因为CD = 8，BM = 4，
2. 如图，△ABC ∽ △A'B'C'，且AD，BE是△ABC
的高，A'D'，B'E'是△A'B'C' 的高，求证：AD·B'E'= A'D'·BE.
A
B
C
D
E
A'
E'
D'
B'
C'
证明：因为△ABC∽△A′B′C′，
3. 两个相似三角形的一组对应边的长分别为 10 cm 和 20 cm.
（1）若它们的周长之差是 60cm，则较大的三角形的周长是多少？
解：(1)
C大－C小= 60 cm，
所以 C大=120cm.
4. 如图，AB与CD相交于点O，△BOD∽ △AOC，
，OB=6，S△AOC = 50.
（1）求 OA 的长；
（2）求 S△BOD ；
A
B
C
D
O
又因为 OB = 6，
解：(1) 因为△BOD∽△AOC，
（1）求 OA 的长；
（2）求 S△BOD ；
A
B
C
D
O
又因为 S△AOC = 50，
解：(2) 因为△BOD∽△AOC，
5. 如图，AB与CD相交于点O，△BOD∽ △AOC，
，OB=6，S△AOC = 50.
温故而知新
6. 如图，△ABC为锐角三角形，AD 是边 BC 上的高，正方形EFGH的一边 EF 在 BC 上，顶点 G，H 分别在 AC，AB 上，已知 BC=30，AD=20，求这个正方形的边长.
A
B
C
D
E
F
G
H
解：设正方形EFGH的边长为x cm，AD与HG相交于点M.
因为 HG∥BC，
解得 x=12.
所以正方形EFGH的边长为 12 cm.
所以 △AHG∽△ABC.
M
7. 如图，在□ABCD中，AE∶EB=2∶3，
DE 交 AC 于点 F.
（1）求证：△AEF ∽ △CDF；
（2）求△AEF与△CDF的周长之比；
（3）如果△CDF的面积为 20cm2，求 △AEF 的面积.
A
B
C
D
E
F
解：（1）因为四边形ABCD为平行四边形，
所以 AB∥DC，
所以 △AEF ∽ △CDF，
7. 如图，在□ABCD中，AE∶EB=2∶3，
DE 交 AC 于点 F.
（2）求△AEF与△CDF的周长之比；
（3）如果△CDF的面积为 20cm2，求 △AEF 的面积.
A
B
C
D
E
F
(2) 因为四边形ABCD为平行四边形，
所以 AB = DC，
因为 AE∶EB=2∶3，
所以 AE∶AB=2∶5，
所以 AE∶CD=2∶5，
又因为 △AEF ∽ △CDF，
（1）求证：△AEF ∽ △CDF；
7. 如图，在□ABCD中，AE∶EB=2∶3，
DE 交 AC 于点 F.
（2）求△AEF与△CDF的周长之比；
（3）如果△CDF的面积为 20cm2，求 △AEF 的面积.
A
B
C
D
E
F
(3) 因为 △AEF ∽ △CDF，
又 因为 △CDF的面积为 20cm2，
（1）求证：△AEF ∽ △CDF；

展开更多......

收起↑