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2026中考试卷综合实践题
一、解答题：本题共30小题，共240分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
1.本小题分
已知是的内接三角形，半径与边相交于点．
如图，连接，若，，求的度数；
如图，点是线段延长线上一点，连接．
若，求证：；
在的条件下，若，试判断线段与线段的位置关系，并说明理由．
【答案】 证明：连接，
，
，
，
，
，
，
，
∽，
，
，即；，理由如下：
，
，
设，
，
，，
，
，
，

【解析】解：，
，
，
；
证明：连接，
，
，
，
，
，
，
，
∽，
，
，即；
，理由如下：
，
，
设，
，
，，
，
，
，
．
利用圆周角定理和三角形的外角性质求解即可；
连接，利用圆周角定理结合等边对等角，得到，再证明∽，可推出，即可得到；
设，求得，即可得到．
本题考查了圆的基本性质，相似三角形的性质及判定等，掌握综合知识是解题的关键．
2.本小题分
如图，有一座抛物线形拱桥，桥的两端分别为点、，顶点为，点是的中点且，拱桥右侧远处有一座山，山顶记为点，山高为，已知山顶到点的水平距离为．
请建立适当的直角坐标系，并求出该抛物线形拱桥的函数表达式．
若一人站在拱桥上的点处，且点到点的水平距离为，人的眼睛位置为点，点在点的正上方，且，请判断人眼在点处能否直接看到山顶，并说明理由．
下列结论中，正确的是______ ．
在拱桥的段有一个与不重合的点与人在点处看山顶的仰角相等；
在拱桥的段有一点与人在点处看山顶的仰角相等；
人从点走到点的过程中，当人位于点时，眼睛点到山顶的距离最近；
人从点走到点的过程中，当人位于点时，眼睛点到山顶的距离最近．
【答案】解：以点为原点，以所在直线为轴，以所在直线为轴，建立平面直角坐标系，
则：，，，
因为抛物线顶点为，
设抛物线为：，
把代入：，
，
所以抛物线形拱桥的函数表达式为：；
由可知点坐标为 ，
且点到点的水平距离为，因为在桥上且在的右侧，
所以的横坐标是：，将代入抛物线，
得：，
所以 ，
眼睛在正上方，
所以，
点，山顶到点的水平距离为在右侧，
所以，
由于山高，
所以，
根据 ，，
可求得直线方程为：，
设视线高度为，
桥面高度为，
所以，
，
令，
配方可得：，
所以，
所以视线在拱桥范围内的每一个点上，都比拱桥高出至少，
即视线完全在拱桥上方，没有任何遮挡．所以，人眼在点处能直接看到山顶；
．

【解析】解：以点为原点，以所在直线为轴，以所在直线为轴，建立平面直角坐标系，
则：，，，
因为抛物线顶点为，
设抛物线为：，
把代入：，
，
所以抛物线形拱桥的函数表达式为：；
由可知点坐标为 ，
且点到点的水平距离为，因为在桥上且在的右侧，
所以的横坐标是：，将代入抛物线，
得：，
所以 ，
眼睛在正上方，
所以，
点，山顶到点的水平距离为在右侧，
所以，
由于山高，
所以，
根据 ，，
可求得直线方程为：，
设视线高度为，
桥面高度为，
所以，
，
令，
配方可得：，
所以，
所以视线在拱桥范围内的每一个点上，都比拱桥高出至少，
即视线完全在拱桥上方，没有任何遮挡．所以，人眼在点处能直接看到山顶；
设拱桥段上任意一点的横坐标为，
由抛物线，
人站在点，眼睛在正上方处，
所以眼睛坐标为
从点看山顶，
所以仰角的正切为：，
由于点 ，眼睛，
从看山顶，其仰角为，
所以，

令，解方程：，
化简得：，
解得：，或，当正好是点的横坐标，
在段内因为，且与不重合，
所以确实存在这样一个点横坐标为；
在拱桥的段有一点与人在点处看山顶的仰角相等这个结论是错误的，
根据结论的推导，我们解出的两个使仰角相等的点，
横坐标分别为： 和 这两个点都在段即的左侧，
而段对应的是，
在段内，没有任何一个能满足上述方程，
所以，拱桥的段上不存在这样的点；
用反例说明：
当人位于点时，，眼睛坐标为
到的距离平方为：
，
此时眼睛坐标为，即，
到的距离平方为：，
比较



，
也就是说，在处时，眼睛到山顶的距离比在点处更近，
既然存在比点更近的位置，那么点是最近点的说法就不成立；
同样用反例说明：当人位于点时，，眼睛坐标为，
到的距离平方为：
仍然拿时的距离来比较：此时眼睛坐标为，
到的距离平方为：，
所以




，
也就是说，在处时，眼睛到山顶的距离比在点处更近，
既然存在比点更近的位置，那么点是最近点的说法就不成立；
故答案为：．
建系求函数：以拱底中点为原点，为轴，为轴，设顶点式代入得解析式．
判断视线遮挡：求出和坐标，写出视线直线方程，与抛物线作差，证明差值恒正，即视线在桥面上方．
判断仰角相等点，设段动点，写出仰角正切表达式，令其等于点处仰角正切，解方程得 或，从而判断对错．判断距离最近点，分别别计算点、到的距离的平方，比较时，对应的点到的距离平方即可判断错误．
本意主要考查了二次函数建模、一次函数与二次函数的位置比较视线遮挡、解直角三角形仰角正切以及利用函数思想分析动点最值问题．建立合适的坐标系并准确表示动点坐标，是解题的关键．本题亮点在于将“能否看见”转化为“直线与抛物线是否相交”的代数判断，将仰角相等转化为方程求解，将 距离最近转化为特殊值计算，体现了数形结合和转化思想．对初中生而言计算量稍大，但对巩固二次函数应用能力很有价值．
3.本小题分
综合与实践
【提出问题】
同一平面内，有条直线两两相交，设它们最多有个交点，相交所成的最小角为某数学学习小组提出了下列探究问题．
问题一：与的关系；
问题二：的最大值与的关系．
【特例感知】
如图，当时，学习小组发现，的最大值为．
【实验探究】
步骤一：动手操作
学习小组画出了当时的两种情况，如图，图．
步骤二：观察分析
一由图，图得；
二在图中，的最大值为；
三在图中，的最大值为．
【规律探索】
完成下表：
______ ______
的最大值 ______ ______
【解决问题】
用关于的代数式表示，直接写出即可；
的最大值与的关系是什么？写出并说明理由．
【答案】解：条直线相交，最多有个交点，的最大值为，
条直线相交，最多有个交点，的最大值为，
条直线相交，最多有个交点，的最大值为，
条直线相交，最多有个交点，的最大值为，
填表如下：

的最大值
故答案为：，，，；
由规律可得，；
的最大值为，理由如下：
将所有直线平移至交于同一点，直线间的夹角大小保持不变，此时条直线将周角分割为个相邻的角对顶角两两相等，
设为，，，，，
则，
最小角为，
，，，，，
，
解得，
的最大值为．

【解析】找出规律即可求解；
根据中填表得到的规律求解即可；
将所有直线平移至交于同一点，直线间的夹角大小保持不变，此时条直线将周角分割为个相邻的角对顶角两两相等，设为，，，，，可得不等式，即可求解．
本题主要考查了规律型：图形的变化类，列代数式，相交线，掌握其相关知识点是解题的关键．
4.本小题分
如图，设为坐标原点，二次函数的图象经过点，与轴交于点，其对称轴与轴交于点，连接，．
求二次函数的解析式；
求的值；
如图，动点在线段上，过点作的垂线，与二次函数在第二象限的图象交于点，求的最大值．
【答案】
【解析】解：二次函数的图象经过点，
，
解得：，
二次函数的解析式为；
，
抛物线的对称轴为直线，
，
当时，，
，
如图，过点作于，
，，，
，，，
，即，
，
，
；
过点作轴交、轴于点，，设抛物线顶点为点，对称轴与线段的交点为点，
由知，
，
，
，为等腰直角三角形，
，
为等腰直角三角形，，
，
设，则，
同理设，则，
，
，
将点代入，
则，
整理得，，
，
，
整理得，，
，
，
同理可得为等腰直角三角形，
，
，
，，
，
，
当点与点重合时，则点与抛物线顶点重合，则点为抛物线对称轴与线段的交点，
，
，
当时，取得最大值，
最大值为．
运用待定系数法求解即可；
过点作于点，先由勾股定理求解，然后运用等积法求解，再由勾股定理求解，即可求解；
过点作轴交、轴于点，，可得，为等腰直角三角形，设，则，设，则，表示出，将点代入，整理得，那么得到，整理得，，再由二次函数的性质求解即可．
本题主要考查了待定系数法求函数解析式，勾股定理，等积法，等腰直角三角形的性质，二次函数的性质等，掌握其相关知识点是解题的关键．
5.本小题分
平行四边形连杆是机械结构中常见的一种部件这种连杆在移动时，两对边始终保持平行且连杆的长度保持不变，能方便地进行往复运动如图，四边形是平行四边形，．
【初步感知】
如图，连接，，则______ 度．
【变化探寻】
如图，，，固定点，当为何值时，在移动点的过程中，始终有与相等．
【深入探究】
如图，固定点，若移动点到点，则点随之移动到点．
判断线段与的位置关系与数量关系，并说明理由；
在点处安装一支描图针，在点处安装一支绘图针，当描图针沿着一个直角边长为的等腰直角三角形描摹时，绘图针随之绘出一个平面几何图形，求图形的面积用含的代数式表示
【答案】；
四边形是平行四边形，
，，，
设，，
则，，
，，
∽，
，
，，
，
∽，
，即，
，
，
∽，
，
，，
，
，
当时，在移动点的过程中，始终有与相等．
，，理由如下：
如图，连接，，

同可得，
、、三点共线，、、三点共线，
，
∽，
，
，
，
又，
∽，
，，
，；
由可得，
依题意，与是关于点的位似图形，且位似比为，则面积比为，
等腰直角三角形的直角边长为，面积为，
图形的面积为．
【解析】解：四边形是平行四边形，
，，，，
∽，∽，
，，
，，
，，，
，
，
，
．
∽，
，
，
，
；
故答案为：；
四边形是平行四边形，
，，，
设，，
则，，
，，
∽，
，
，，
，
∽，
，即，
，
，
∽，
，
，，
，
，
当时，在移动点的过程中，始终有与相等．
，，理由如下：
如图，连接，，

同可得，
、、三点共线，、、三点共线，
，
∽，
，
，
，
又，
∽，
，，
，；
由可得，
依题意，与是关于点的位似图形，且位似比为，则面积比为，
等腰直角三角形的直角边长为，面积为，
图形的面积为．
根据平行四边形的性质可得，，，进而可得，根据已知可得，进而证明∽得出，再根据平行线的性质，即可得证；
设，，则，，证明∽，得出，证明∽得出，即可求解；
连接，，证明∽，∽，根据相似三角形的性质，即可得出结论；
依题意，与是关于点的位似图形，且位似比为，则面积比为求得的面积，即可求解．
本题主要考查了位似图形、相似三角形等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键．
6.本小题分
四边形是矩形，点在边上，．
【教材重现提出问题】
如图，，、分别是、的中点，交矩形外角的平分线于点求证：≌．
【模型建构应用意识】
如图，，交矩形外角的平分线于点，延长交的延长线于点，求的值．
【拓展推广实践能力】
如图，，为常数，求的值用含的代数式表示．
【答案】四边形是矩形，
，
，、分别是、的中点，
，
，
，
，
，
，
平分，
，
，
≌
【解析】证明：四边形是矩形，
，
，、分别是、的中点，
，
，
，
，
，
，
平分，
，
，
≌；
解：在上截取一点，使得，如图所示：
四边形是矩形，
，，
，
，
，
，，
，
，，
，，
，
平分，
，
，
≌，
，
，，
是等腰直角三角形，
，
，
；
解：连接，，如图所示：
，，
，
，
，
∽，
，，
，，，
，
∽，
，
，，
，
，
．
由题意易得，，然后可得，，进而问题可求证；
在上截取一点，使得，由题意易得，，然后可得≌，则有，进而根据等腰直角三角形的性质进行求解即可；
连接，，由题意易得，则有∽，然后可得，，进而通过证明∽可进行求解．
本题考查了全等三角形的性质及判定，矩形的性质等，掌握综合知识是解题的关键．
7.本小题分
如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于、两点，与轴交于点．
求反比例函数的表达式及点的坐标．
直接写出不等式的解集．
若点为轴上的动点，当为直角三角形时，求点的坐标．
【答案】反比例函数的表达式为， 不等式的解集为或 点的坐标为或
【解析】解：点在直线上，
，
，
点在双曲线上，
，
反比例函数的表达式为，
联立解得，或，
点，
即反比例函数的表达式为，；
，，
不等式的解集为或；
点，在轴上，
只有两种情况：如图，
当是直角，即轴，
点的坐标为，
当是直角，
点在直线上，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
即点的坐标为或．
先求出点，再用待定系数法求出反比例函数的表达式，联立来个表达式求出点坐标；
由点、坐标和图象，直接得出答案；
分两种情况：利用直角三角形的特征即可得出答案．
此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，直角三角形的性质，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键．
8.本小题分
如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴，轴分别交于，两点，与函数的图象交于点．
求，的值；
将线段绕点逆时针旋转到，连接，将沿直线平移，当点的对应点恰好落在函数的图象上时，求点的坐标．
【答案】，
【解析】解：由题意，在反比例函数上，
，则．
为，
又在一次函数的图象上，
，则．
由题意，结合一次函数为，
令，则，故B；
令，则，故A．
过作轴于，
又由旋转至，
．
可得，，
≌．
，，
．
沿直线平移，
直线，
可设直线为，
，则．
一次函数，
联立方程组，
或，负值不合题意，舍去．
．
依据题意，由在反比例函数上，可得，故C为，结合在一次函数的图象上，从而，则，即可得解；
依据题意，结合一次函数为，故令，则，故B；令，则，故A，又过作轴于，由旋转至，可证明≌，从而，，进而，又沿直线平移，可得直线，则可设直线为，求出一次函数解析式，然后联立方程组，进而计算可以得解．
本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题、一次函数的性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用反比例函数的性质是关键．
9.本小题分
定义：如果二次函数与一次函数的图象有两个不同的交点，且其中一个交点为二次函数的顶点，那么我们把这两点所连线段叫做“顶点弦”．
在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴，轴分别交于，两点．
如图，若点为线段的中点，二次函数的“顶点弦”为线段，且点为顶点，求该二次函数的解析式；
在的条件下，若直线上方抛物线上有一点，使，求点的坐标；
点在线段上，若抛物线：和抛物线：的“顶点弦”分别为和，点为和的顶点，且，求的值．
【答案】
【解析】解：与轴交点，，
点为线段的中点，
，
二次函数的“顶点弦”为线段，且点为顶点，
，
将点代入，，
解得，
；
设直线与轴交于点，过作轴交于，
，
，
，
，
，
直线的解析式为，
当时，解得或，
；
设，
，，
点在抛物线上，点在抛物线上，
，，
，
联立，解得或舍，
过点作轴交于点，
，
．
求出，根据题意可得，将点代入，求出的值即可求解；
设直线与轴交于点，过作轴交于，则，求出，可求直线的解析式为，直线与抛物线的交点即为；
设，则，，再由点在抛物线上，点在抛物线上，可得，，，联立，解得或舍，过点作轴交于点，则．
本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，弄懂定义是解题的关键．
10.本小题分
综合与实践
【问题情境】
在数学活动课上，老师让学生以“矩形”为主题，开展动点问题的研究．
在矩形中，点，分别是边，上的动点．
【观察感知】
如图，当点，运动到时，连接，求证：≌．
【探索发现】
如图，连接，点是上的一点，：：，连接，，与相交于点，连接当平分，平分时，且，试求出与的数量关系，并说明你的理由．
【问题拓展】
如图，当，时，作直线，若直线将矩形分成周长相等的两部分，过点作于点，连接当矩形的边与直线的夹角成时，请你直接写出的正切值自行完成作图并作答
【答案】证明：四边形是矩形，
，
在和中，
，
≌；
解：，理由如下：
如图，连接，过点作于点，

平分、平分，且与相交于点，
点是的内心，
点到三边的距离相等，
设，根据的面积得，，
，
，
，
，
；
，，
∽，
，
，
，
，
，
，
∽，
，
即与的数量关系为；
解：的正切值为或，
理由如下：矩形的边与直线的夹角成，
分以下两种情况讨论，
当时，如图，

过点作于，
，
，
设，则，
，
，
，
，
，
直线将矩形分成周长相等的两部分，
，
过点作于点，
，
四边形是矩形，
，
，
，
在中，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
当时，如图，

由知，，
，
，
，
，
，
，

综上所述，的正切值为或．
【解析】先判断出，即可得出结论；
连接，过点作于点，先判断出点是的内心，设，根据的面积得，，进而得出，再判断出∽，即可得出，进而判断出∽，即可得出答案；
当时，如图，过点作于，先求出，设，则，进而得出，再判断出，，过点作于点，求出，进而得出，建立方程求出，即可得出答案；
当时，如图，由知，，进而建立方程求解，即可得结论．
此题是四边形综合题，主要考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，角平分线的定义，正确作出辅助线是解本题的关键．
11.本小题分
尺规作图：如图，在的内部有一点．
【初步探索】
如图，利用无刻度的直尺和圆规作一个等腰三角形，并使等腰三角形的底边经过点，点，点分别在射线，射线上温馨提示：本小题作图不写作法，但需保留作图痕迹
【拓展探究】
如图，若，连接，以为圆心，为半径画圆，交射线，射线于，两点，则劣弧的长度为______本小题无需在答题卡上作图，只需写出用含的代数式表示的结果
【答案】如图，即为所求；
【解析】解：如图，即为所求；
理由：由作图知：，，
，，
，，
，
，
即为所求；
由作图知：，
劣弧的长度为，
故答案为：．
以为圆心，适当长为半径画弧，弧与射线、射线分别交于点、点，连接，作射线，以为圆心，适当长为半径画弧，弧与射线、线段分别交于点、点，以为圆心，为半径画弧，弧与射线相交于，以为圆心，为半径画弧，两弧相交于，作直线，与射线，射线分别相交于点、点，则即为所求；
直接根据弧长公式求解即可．
本题考查了尺规作图，圆的基本性质等，掌握尺规作图是解题的关键．
12.本小题分
如图，是的直径，弦，垂足为，连接，过点作的垂线，垂足为，交直径于点，交过点的直线于点，连接并延长，交于点，且．
求证：是的切线．
若，，求线段的长．
【答案】证明：连接

是的直径，
，
在中，，
，
，
在中，，
，
，
；
，
，
，
是等腰三角形，
；
，
，
，
，
为的半径，
是的切线；
解：是的直径，，
，，
，
，；
由可知，，
，
≌；
，
设的半径为，
，
，
，
；
，，
∽，
，
，
解得，，
；
，
在中，；
，，
∽，
，
，
解得．
【解析】证明：连接

是的直径，
，
在中，，
，
，
在中，，
，
，
；
，
，
，
是等腰三角形，
；
，
，
，
，
为的半径，
是的切线；
解：是的直径，，
，，
，
，；
由可知，，
，
≌；
，
设的半径为，
，
，
，
；
，，
∽，
，
，
解得，，
；
，
在中，；
，，
∽，
，
，
解得．
连接，根据圆周角定理得到，求得，根据等腰三角形的性质得到，推出是等腰三角形，求得；根据切线的判定定理得到结论；
根据垂径定理得到，，求得，；由可知，，根据全等三角形的性质得到，设的半径为，求得，根据相似三角形的性质得到，根据勾股定理得到，；根据相似三角形的性质即可得到结论．
本题是圆的综合题，考查了切线的判定，垂径定理，等腰三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握各知识点是解题的关键．
13.本小题分
综合与探究
定义：若四边形的一条对角线被另一条对角线平分，且另一条对角线被交点分成的两条线段长度之比为，则称该四边形为“倍四边形”．
如图，在中，对角线与交于点，点为中点．若四边形为倍四边形，则的值为 ；
如图，在倍四边形中，若对角线被平分，则 ；用含的代数式表示
如图，四边形为倍四边形，其对角线平分对角线，且满足，，求的值；
如图，已知定点，，且，点为射线上一动点，点为平面内一点，连接，，，构成四边形若平分，，四边形为倍四边形，求的值．
【答案】(1)
;
(2)解：如图，过点作交于点，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵四边形为倍四边形，其对角线平分对角线，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
设，
∴
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；

(3)解：设交于点，过点分别作的垂线，垂足分别为
①当时，设，如图4，
∵，平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，则，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，即，
解得：，
∴，
在中，，
∴；
②当时，设，如图4，
同①可得，，
∴，
同①可得，
∴，
设，则，
∴，，
∵，即，
解得：，
∴,，
在中，，
∴，
综上所述，的值为或．

【解析】
根据平行四边形的性质可得，根据点为中点，得出，结合倍四边形的定义，即可求解；
过点分别作的垂线，垂足分别为，证明得出，进而根据三角形的面积比，即可求解；
【详解】解：四边形是平行四边形，
，
是的中点，
，
四边形为倍四边形，
；
如图，过点分别作的垂线，垂足分别为，
四边形为倍四边形，对角线被平分，
，
，
，
，

过点作交于点，证明得出，设，进而表示出的长，即可求解；

设交于点，过点分别作的垂线，垂足分别为；分两种情况讨论，当时，设，证明得出，设，则，证明得出，进而求得的值，勾股定理求得，进而根据正切的定义，即可求解；当时，同理可得结论．
14.本小题分
综合与实践
综合实践课上，同学们以矩形的旋转为主题开展探究活动．
已知有公共顶点的矩形和矩形，，，先将矩形的边，分别落在矩形的边，上，再将矩形绕点顺时针旋转，旋转角为，连接，．
【问题初探】
如图，当，时，与的数量关系是______，与的数量关系是______；
【类比推理】
如图，当，时，试探究与的数量关系，请写出结论，并说明理由；
【深入探究】
如图，当，时，点为边的中点，直线交线段于点若，则的长为______；
【拓展延伸】
如图，当，时，过点作，垂足为，在线段上取点，使，连接若的面积为，则的取值范围是______．
【答案】 ，证明如下：
四边形和四边形都是矩形，
，
，
，
，
∽，
，
或
【解析】解：当时，则，
，，
四边形和四边形都是矩形，
，
，
，
≌，
，，
故答案为：，；
，证明如下：
四边形和四边形都是矩形，
，
，
，
，
∽，
，
；
如图所示，当点在上方时，连接，过点作于点，
，
；
点为的中点，
；
四边形是矩形，
，
设，则，
在中，由勾股定理得，
，
，
，，
四边形是矩形，
，
，
，
，
，
，
，
，，，
≌，
，
、、三点共线，即点与点重合；
，
由得；
如图所示，当点在下方时，
四边形是矩形，
，
，
同理可得，
，
；
如图所示，过点作交的延长线于点，
四边形是矩形，
，
，
，，
，
；
，
，
，
又，
∽，
，
；
综上所述，的长为或，
故答案为：或；
如图所示，过点作于点，
，，
，
，
四边形是矩形，
，
，
，
∽，
，
，
，
，
，
，
；
在中，由勾股定理得，
，
，
，
，
又，
，
故答案为：．
证明≌，即可得到，；
证明∽，得到，则；
分两种情况：点在上方和点在下方，分别画出示意图，讨论求解即可；
过点作于点，证明∽，推出，根据，推出；由勾股定理得，则可证明，根据可得答案．
本题考查了矩形的性质，相似三角形的性质及判定等，掌握综合知识是解题的关键．
15.本小题分
综合与探究
如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，作直线，，点为第一象限内抛物线上的动点，过点作轴，垂足为，交直线于点．
求抛物线的解析式；
求的最大值及最大时点的坐标；
如图，若将抛物线沿射线方向平移个单位长度，得到新抛物线，点为新抛物线上一点，且，则点的坐标为______ ；
当最大时，作直线，若点为直线上的一个动点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到，取的中点，过点作，垂足为，连接，，则的最小值为______ ．
【答案】解：将，代入抛物线的解析式，
得，
解得，
抛物线的解析式为；
设点，
当时，，
，
设直线的解析式为，
，
，则，
直线的解析式为 ，
轴，

，
，
当时，的值最大，最大值为，此时点的坐标为；
对于，当时，，则，
，，
将抛物线沿射线方向平移个单位长度，相当于将抛物线先向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到新抛物线，
新抛物线的解析式为，
分两种情况：
当点在轴上方时，如图，
设直线的解析式为，
将代入，得，
解得，
直线的解析式为，
，
，
设直线的解析式为，
将代入，得，解得，
直线的解析式为，
联立方程组，
解得或舍去，
；

当点在轴下方时，如图，设，
，，
，
又，
，
，
，整理得，
解得或舍去，
，
，
综上，满足条件的的坐标为或，
故答案为：或；
如图，

由知，，，直线的解析式为，
设，则，
，
，，
直线的解析式为，则与轴正方向成，
于点，
设，且与轴所形成的锐角为，分别过点、点作轴、轴的平行线，设交点为，如图，则是等腰直角三角形，
，即，
，则，
，
设，
，
，问题转化为求直线上的点到点和点的距离和的最小值，
设点关于直线的对称点为，则，则的最小值为的长度，
，
的最小值为
故答案为：．

【解析】利用待定系数法求解即可；
设点，求得直线的解析式为，则，可得，利用二次函数的性质求解即可；
先求得平移后的新抛物线的解析式，再分为当点在轴上方时和当点在轴下方时两种情况，利用坐标与图形性质求解即可；
由知，，，直线的解析式为，设，则，，求得直线的解析式为 ，设，易得与轴所形成的锐角为，进而得到，则，设，，问题转化为求直线上的点到点和点的距离和的最小值，求出点关于直线的对称点，则的最小值为的长度，利用两点间距离公式求得即可求解．
本题主要考查了待定系数法求解析式，坐标与图形性质平移的性质，二次函数的性质，两点间距离公式，勾股定理等，掌握其相关知识点是解题的关键．
16.本小题分
问题探究
如图，是的角平分线，若：：，则：的值为______；
如图，在中，，，点，在边上若，求的度数；
问题解决
为优化种植结构及水资源配置，某村计划在一块平整的农田内修建两条笔直的田间小路，使得两条小路将该农田分割为四个区域，以种植不同种类的农作物；为方便灌溉，还需在两条小路的交汇处修建一个蓄水池，在蓄水池和水源接入口之间铺设一段地下输水管道．
如图所示，四边形区域为农田，，为小路，小路的出口，分别在农田边界，上，与相交于点，点为蓄水池，点为水源接入口，为地下输水管道根据种植需求，区域与区域的面积之比为：，为了节约成本，还需使地下输水管道最短．
已知，，，，，请你帮助该村计算在满足种植需求的情况下，当地下输水管道最短时，四边形区域的面积结果精确到小路的宽，蓄水池的大小均忽略不计．
【答案】
【解析】解：过点作，，垂足为点，，
是的角平分线，
，
，
，
故答案为：；
，，
，
，
，
，
∽，
，
，
；
，
，
，
，
，
，
，
，
，
∽，
，
，
，
取的中点，连接，，则，
点的轨迹为以为圆心，为直径的一段圆弧，，
，
，
当点，，三点共线时，取得最小值，如图：
过点作交，于点，，
，
，
此时，
，，
，
四边形是矩形，
，
，
∽，
，
，
，，
，
，
四边形是平行四边形，
，
答：当地下输水管道最短时，四边形区域的面积为．
过点作，，垂足为点，，根据角平分线性质定理得到，再由三角形面积公式求解即可；
证明∽，结合等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求解即可；
先证明∽，得到，取的中点，连接，，则，则点的轨迹为以为圆心，为直径的一段圆弧，，故当点，，三点共线时，取得最小值，过点作交，于点，，然后由∽，求出，，再证明四边形是平行四边形，最后由求解．
本题考查了相似三角形的性质及判定，四边形的性质等，掌握综合知识是解题的关键．
17.本小题分
如图，在矩形中，点为边上一点，连接将沿折叠得到点为上一点，连接，．
如图，当直线经过点时，在不添加辅助线的前提下，请你增加一个条件，使是等边三角形，不需要说明理由．
如图，当于点时，判断四边形的形状，并说明理由．
在的条件下，延长交矩形的边于点若，，当时，直接写出的长．
【答案】解：由折叠可得，，
当时，，
，
是等边三角形．
四边形是菱形，理由如下：
连接

四边形是矩形，
，
由折叠可得≌，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，

，
，
四边形是平行四边形，
，
是菱形．
如图，

设，则，
由翻折有，
，
在中，，
，
解得，
，
，
设，则，
，
，
在中，，
即，
解得，
，
．
【解析】解：由折叠可得，，
当时，，
，
是等边三角形．
四边形是菱形，理由如下：
连接

四边形是矩形，
，
由折叠可得≌，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，

，
，
四边形是平行四边形，
，
是菱形．
如图，

设，则，
由翻折有，
，
在中，，
，
解得，
，
，
设，则，
，
，
在中，，
即，
解得，
，
．
由折叠可得，，当时，可得到，即可得出是等边三角形；
连接由矩形的性质得到，由折叠得到，，，根据等角的余角相等得到，从而有，再证明，可得四边形是平行四边形，结合得出 是菱形；
设，则，，在中根据勾股定理构造方程，求得，，设，则，在中根据勾股定理构造方程，求得，由即可解答．
本题主要考查了矩形的性质、折叠的性质、勾股定理、等边三角形等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键．
18.本小题分
如图，是等腰三角形，，，点是中点，平分交于点．
求的度数；
求证：与的外接圆相切；
为外接圆上任意一点，试探究与的数量关系，并说明理由．
【答案】解：，，点是中点，
，
平分，
，
；
证明：由知，
是的外接圆的直径，设圆心为点，连接，

，，
，
，
，
，
为半径，
与的外接圆相切；
解：，理由如下：
连接，设，

，，
，
，
，
，点是中点，
，
，
，
，
，
，
∽，
，
．
【解析】解：，，点是中点，
，
平分，
，
；
证明：由知，
是的外接圆的直径，设圆心为点，连接，

，，
，
，
，
，
为半径，
与的外接圆相切；
解：，理由如下：
连接，设，

，，
，
，
，
，点是中点，
，
，
，
，
，
，
∽，
，
．
根据等腰三角形的“三线合一”性质以及角平分线的定义求解即可；
可得是的外接圆的直径，设圆心为点，连接，先由等腰三角形的性质以及三角形内角和定理得到，再由，得到，则，即可证明；
连接，设，导角证明∽即可求解．
本题主要考查了等腰三角形的“三线合一”性质，角平分线的定义，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，相似三角形的判定与性质等，掌握其相关知识点是解题的关键．
19.本小题分
关于的一次函数的图象与轴，轴分别交于，两点，是坐标原点．
【性质初探】
随的增大而______ 填“增大”或“减小”；
求证：的面积为；
【归纳提炼】
我们把形如的一次函数称为“正向积”函数．
【深入探究】
图象经过点的“正向积”函数是否存在？若存在，求出该函数解析式；若不存在，请说明理由；
已知点不在坐标轴上，若图象过点的“正向积”函数有且只有一个．
求关于的函数解析式；
选取一个符合条件的点，并验证该点是线段的中点．
【答案】增大；
证明：当时，，
，
当时，，
，
的面积；
存在，理由如下：
将点代入中，
，
解得或，
当时，；
当时，；
解：将点代入中，
，
图象过点的“正向积”函数有且只有一个，
，
；
取，则，
，
，
解得，
，
，，
的中点为，
该点是线段的中点．
【解析】解：，
随的增大而增大，
故答案为：增大；
证明：当时，，
，
当时，，
，
的面积；
存在，理由如下：
将点代入中，
，
解得或，
当时，；
当时，；
解：将点代入中，
，
图象过点的“正向积”函数有且只有一个，
，
；
取，则，
，
，
解得，
，
，，
的中点为，
该点是线段的中点．
根据，可得到随的增大而增大，
分别求出，，再由的面积即可证明；
将点代入中，求出或，即可分别求出直线解析式；
将点代入中，再由图象过点的“正向积”函数有且只有一个，可知，即可求；
取任意、满足，代入验证即可．
本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，弄懂定义是解题的关键．
20.本小题分
如图和图，在中，，，正方形的顶点，，分别在的三边，，上当点从点出发沿向点移动时，点，随之分别在，上移动正方形的大小发生变化，当点与点重合时，移动停止．
______ ．
如图，当时，求证：．
如图，当时，求的长．
当时，直接写出正方形的边长．
在移动过程中，每当点移动个单位长度时，点均移动个单位长度，直接写出的值．
【答案】 ；
证明：四边形是正方形，
，，
，
，
，
，
，
≌，
；
解：过点作于点，过点作于点，则，

在中，，
设，，
，，则设，，
四边形是正方形，
，，
，
≌，
，，
在中，由勾股定理得，
，
，
，
，
；
构造同样辅助线，如上图，
，
可得方程组，
解得，
，
；
解：先同样构造问辅助线，再过点作交的延长线于点，

同理可证明≌，
，，
由可知，
，
，
当点运动时，点到的距离不变，为，
当点与点重合时，记作点，作出初始位置时的正方形，则点，，，在同一直线上，
由题意设，
四边形是正方形，
，
，
四边形是矩形，
，，
，，
解得，
，，
，
的值为．

【解析】解：过点作于点，

，，
，
，
，
故答案为：；
见答案；
见答案；
见答案．
过点作于点，根据等腰三角形的性质以及勾股定理求解，，再由正切的定义求解；
证明≌即可；
过点作于点，过点作于点，在中，由，设，，同理可设，，证明≌即可求解；
构造同样辅助线，如上图，由，可得方程组，解方程组求解，，再由勾股定理求解；
先同样构造问辅助线，再过点作交的延长线于点，同理可证明≌，则，，证明当点运动时，点到的距离不变，为，当点与点重合时，记作点，作出初始位置时的正方形，则点，，，在同一直线上，由题意设，可得四边形是矩形，则，，那么，，解得，再由求解即可．
本题考查了四边形的性质，全等三角形的性质及判定等，掌握综合知识是解题的关键．
21.本小题分
在正方形中，对角线，相交于点，为直线上一点，连接，过点作，交边所在的直线于点．
如图，当点在上时，求证：；
如图，当点在上时；如图，当点在的延长线上时，请分别写出线段，，之间的数量关系，不需要证明．
【答案】证明：如图，过点作交的延长线于点，
，
四边形是正方形，，是对角线，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
，
又，，，
≌，
，
，
，
图：；图：
【解析】证明：如图，过点作交的延长线于点，
，
四边形是正方形，，是对角线，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
，
又，，，
≌，
，
，
，
；
解：图：；图：理由如下：
如图，过点作交于点，
，
四边形是正方形，，是对角线，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
，
又，
，
，，，
≌，
，
，
；
如图，过点作交于点，
四边形是正方形，，是对角线，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
，
又，
，
，，，
≌，
，
，
．
过点作交的延长线于点，可得是等腰直角三角形，得出，证明≌得出，进而根据线段和差的关系即可得出结论；
如图，过点作交于点，如图：过点作交于点，同的方法证明即可求解．
本题属于四边形综合题，主要考查了正方形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质．
22.本小题分
如图，在平面直角坐标系中， 的边与轴重合，点在轴负半轴上，点在轴正半轴上，，的长是一元二次方程的两个根．
求点和点坐标；
在边上有一动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿方向匀速运动，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿折线匀速运动已知，两点同时出发，当点运动到点时，，两点都停止运动，设运动时间为秒，求的面积关于运动时间的函数解析式；
在轴上有一点，在轴上有一动点，在第一象限内是否存在一点，使得以，，，四点为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】， 在第一象限内存在一点，使得以，，，四点为顶点的四边形是矩形，点坐标为或或
【解析】解：，
，
解得，，
，的长是一元二次方程的两个根，
，，
点在轴负半轴上，点在轴正半轴上，
，；
，，
，，
在直角三角形中，由勾股定理得：，
四边形是平行四边形，
，，
点从点运动到点用时，点从点运动到点用时，
如图，当时，，过点，分别作，，垂足为点，，
，
，
∽，
，
，
解得：，
中，，，，
，
，
即；
当时，则，，，，
如图，过点作直线交，轴于点，，
中，，，
，，
∽，
，
，
，
，轴，轴，
，
，
，
，
即，
综上所述，；
在第一象限内存在一点，使得以，，，四点为顶点的四边形是矩形，点坐标为或或理由如下：
由知，，，
，
设，，而，
当，是矩形对角线时，
依题意得：，
，，
，
而，则，
，
或
解得：或，
或；
当，是矩形对角线时，
依题意得：，
，此时点不在第一象限，舍去；
当，是矩形对角线时，
依题意得：，
，，
，，
而，则，
解得：，
，
综上所述，在第一象限内存在一点，使得以，，，四点为顶点的四边形是矩形，点坐标为或或．
先用因式分解法解一元二次方程，再根据点，的位置，即可求解点和点坐标；
先由勾股定理以及平行四边形的性质得到，，则点从点运动到点用时，点从点运动到点用时，然后分两种情况讨论，利用三角形面积公式以及割补法建立函数关系式；
先求出，设，，而，然后按照对角线分三种情况讨论，利用矩形的对角线互相平分且相等建立方程组求解即可．
本题属于四边形综合题，主要考查了解一元二次方程，勾股定理，平行四边形的判定与性质，三角形的面积，矩形的判定与性质，解答本题的关键是熟练掌握矩形的性质．
23.本小题分
定义：如果二次函数与一次函数的图象有两个不同的交点，且其中一个交点为二次函数的顶点，那么我们把这两点所连线段叫做“顶点弦”．
在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴，轴分别交于，两点．
如图，若点为线段的中点，二次函数的“顶点弦”为线段，且点为顶点，求该二次函数的解析式；
在的条件下，若直线上方抛物线上有一点，使，求点的坐标；
点在线段上，若抛物线和抛物线的“顶点弦”分别为和，点为和的顶点，且，求的值．
【答案】(1)解：∵一次函数的图象与轴，轴分别交于，两点，
∴令，即，解得，
令，；
∴，，
∵点为线段的中点，
∴，即，
∵二次函数的“顶点弦”为线段，且点为顶点，
∴设二次函数解析式为，
将点代入，得，解得，
∴二次函数解析式为；

(2)解：设直线与轴交于点，过点作轴于点，
，
∴，，
∵，，
∴，
又∵，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴点，
设直线的解析式为，
将点，代入得：
，解得，
∴直线的解析式为，
∴令，解得，（舍去），
∴；

(3)解：设，
∴，，
∵在抛物线上，在抛物线上，
∴①，②，
∵③，
∴联立①②③，得到，解得，（舍去），
∴，
如图，过点作轴于点，
∴轴，
∴．

【解析】
根据题意可求得，两点的坐标，再由中点坐标公式可求得点的坐标，设二次函数解析式的顶点式，再将点的坐标代入，即可求解；

设直线与轴交于点，过点作轴于点，从而求得，得到为等腰直角三角形，由，，得到，，利用待定系数法求得直线的解析式为，根据题意令，即可求解；

设，再根据顶点式可表示出和的解析式，由在抛物线上，在抛物线上，可得，，与，联立即可确定点的坐标，再过点作轴于点，最后根据平行线分线段成比例列式计算即可．
24.本小题分
阅读与思考
阅读下列材料，完成相应任务．
工匠智慧引发的数学思考
【工匠智慧】
如图，木工师傅用一根没有弹性的绳子和一把直尺在矩形木板上画特定度数的角．
【数学抽象】
将图的操作过程抽象成尺规作图，步骤如下：如图，在矩形木板中，以点为圆心，长为半径作弧，交于点；以点为圆心，长为半径作弧，与交于点；连接，，，即可得到特定度数的角，如和等．
【推广迁移】
受上述作法的启发，可以用尺规作出与已知角有关的特定度数的角如图，已知，作图步骤如下：以点为圆心，任意长为半径作弧，分别交，于点，；分别以点，为圆心，长为半径作弧，两弧在内部交于点；连接，可得
结论“”成立的理由如下：
连接．
由步骤可知，
任务：
图中______ ，______ ；
补全“推广迁移”中的说理过程；
如图，四边形表示一块木板，，现要将此木板裁割成两部分，裁割线为线段点在上，使请用尺规在木板上作出裁割线要求：在木板上保留作图痕迹，不写作法．
【答案】解：，，
，
，
是等边三角形，
，
，
故答案为：，；
结论“”成立的理由如下：连接由步骤可知，
连接，，如图，

由步骤可知，，
是等边三角形，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
，

如图，以为圆心，为半径画弧交于，分别以，为圆心，大于长为半径画弧交于点，作射线，在射线上截取，作射线，分别以，为圆心，大于为半径画弧交于点，，作直线交射线于点，连接交于，线段即为所求作的线段．

【解析】根据等腰直角三角形性质可得，再证得是等边三角形，可得，则；
连接，，可证得≌，再运用三角形内角和定理即可；
以为圆心，为半径画弧交于，分别以，为圆心，大于长为半径画弧交于点，作射线，在射线上截取，作射线，分别以，为圆心，大于为半径画弧交于点，，作直线交射线于点，连接交于，线段即为所求作的线段．
本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，尺规作图等，熟练掌握全等三角形的判定和性质等是解题关键．
25.本小题分
如图，在中，，以边为直径作，交于点，交的延长线于点，连接交于点．
如图，过点作于点．
求证：是的切线；
若，，求阴影部分的面积；
如图，连接，若，，求的值．
【答案】证明：如图，连接，，

为的半径，
，即，
，
，即点为的中点，
点是的中点，
是的中位线，
，
，
，
是的半径，
是的切线；
解：如图，连接，，
是的直径，
，
，
，
，
是等边三角形，
，，
，
，
点为的中点，
，
，
；
解：如图，取的中点，连接，

由可得点为的中点，
为的中位线，
，
，
设，，则，
，
是的直径，
，
在中，由勾股定理得：，
，
解得：或舍去，
．
【解析】证明：如图，连接，，

为的半径，
，即，
，
，即点为的中点，
点是的中点，
是的中位线，
，
，
，
是的半径，
是的切线；
解：如图，连接，，
是的直径，
，
，
，
，
是等边三角形，
，，
，
，
点为的中点，
，
，
；
解：如图，取的中点，连接，

由可得点为的中点，
为的中位线，
，
，
设，，则，
，
是的直径，
，
在中，由勾股定理得：，
，
解得：或舍去，
．
连接，，可证明，则点是的中点，是的中位线，进而可证明，再证得，则是的切线；
由圆周角定理可得，则是等边三角形，，，解直角三角形可得，则，根据列式求解即可；
取的中点，连接，可证得为的中位线，则，由平行线分线段成比例定理得到；设，则，由勾股定理得，解方程即可．
本题是圆的综合题，主要考查了切线的判定，等边三角形的判定和性质，三角形中位线定理，平行线的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，扇形面积，构造出相似三角形是解本题的关键．
26.本小题分
定义：若点，在同一抛物线上，且点的横坐标比点的横坐标大，则称点是点的“黄金搭档点”例如，抛物线上，点是点的“黄金搭档点”．
点和点在抛物线上，点是点的“黄金搭档点”，且点的纵坐标为求，的值．
点，在中的抛物线上，且点是点的“黄金搭档点”．
若点，的纵坐标相等，求点，的横坐标．
抛物线上，两点之间的部分含，两点记为图象，设点的横坐标为，当时，若图象上的最高点和最低点到轴的距离之和为，请直接写出的值．
【答案】解：点是点的“黄金搭档点”，，点的纵坐标为，
，
点和点在抛物线上，
，
解得：；
设点的横坐标为，则点的横坐标为，
由得，
点，的纵坐标相等，
，解得：，
，
点的横坐标为，点的横坐标为，
由得，
对称轴为直线，
当时，，
顶点坐标为，
当时，，
，
解得：，，
抛物线与轴的交点为，，
点是点的“黄金搭档点”，点的横坐标为，当时，
点的横坐标为：，，
当时，，抛物线与轴的一个交点为，
当，时，如图所示：

点、均在轴下方，最低点为抛物线的顶点，
，即，，即，
此时点离对称轴较远，最高点为点，
图象上的最高点和最低点到轴的距离之和为，
点到轴的距离为，
此时点的纵坐标为，
，
解得：，不符合题意，舍去；
当，时，如图所示：

点在轴下方，点在轴上方，最低点为抛物线的顶点，
此时点离对称轴较远，最高点为点，
图象上的最高点和最低点到轴的距离之和为，
点到轴的距离为，
此时点的纵坐标为，
，
解得：，不符合题意，舍去；
当时，，
点在轴下方，点在轴上方，最低点为点，最高点为点，
，，
，即，
，
整理得：，
解得：不符合题意，舍去，
综上可得：或．
【解析】解：点是点的“黄金搭档点”，，点的纵坐标为，
，
点和点在抛物线上，
，
解得：；
设点的横坐标为，则点的横坐标为，
由得，
点，的纵坐标相等，
，解得：，
，
点的横坐标为，点的横坐标为，
由得，
对称轴为直线，
当时，，
顶点坐标为，
当时，，
，
解得：，，
抛物线与轴的交点为，，
点是点的“黄金搭档点”，点的横坐标为，当时，
点的横坐标为：，，
当时，，抛物线与轴的一个交点为，
当，时，如图所示：

点、均在轴下方，最低点为抛物线的顶点，
，即，，即，
此时点离对称轴较远，最高点为点，
图象上的最高点和最低点到轴的距离之和为，
点到轴的距离为，
此时点的纵坐标为，
，
解得：，不符合题意，舍去；
当，时，如图所示：

点在轴下方，点在轴上方，最低点为抛物线的顶点，
此时点离对称轴较远，最高点为点，
图象上的最高点和最低点到轴的距离之和为，
点到轴的距离为，
此时点的纵坐标为，
，
解得：，不符合题意，舍去；
当时，，
点在轴下方，点在轴上方，最低点为点，最高点为点，
，，
，即，
，
整理得：，
解得：不符合题意，舍去，
综上可得：或．
根据题意得出，然后利用待定系数法求解即可；
设点的横坐标为，则点的横坐标为，根据题意建立方程求解即可；
根据题意得出对称轴为直线，顶点坐标为，抛物线与轴的交点为，，点的横坐标为：，，然后分情况分析：当，时，当，时，当时，，结合图象建立方程求解即可．
本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质及图象，解一元二次方程等，掌握其相关知识点是解题的关键．
27.本小题分
如图，四边形内接于，是的直径，连接交于点，且，过点作的垂线交的延长线于点．
求证：平分；
求证：是的切线；
若的半径为，，求的长．
【答案】证明：，
，
，
．
四边形内接于，
，
，
，
，
平分 证明：，
，
由知：，
，
，
，
，
，
，
为的半径，
是的切线
【解析】证明：，
，
，
．
四边形内接于，
，
，
，
，
平分；
证明：，
，
由知：，
，
，
，
，
，
，
为的半径，
是的切线；
解：过点作于点，如图，
由知：，
，，
四边形为矩形，
，，
的半径为，
，
，
，
，
是的直径，
，
，
，
，
．
，
，
，
．
延长交于点，
，
，
，．
，
，
，
∽，
，
，
．
利用等腰三角形的性质定理，圆周角定理，圆的内接四边形的性质定理和角平分线的定义解答即可；
利用直角三角形的性质，等腰三角形的性质和等式的性质得到，再利用圆的切线的判定定理解答即可；
过点作于点，利用矩形的判定与性质得到，，利用勾股定理求得，，，，延长交于点，利用垂径定理分推论和等腰三角形的性质得到，利用平行线的判定与性质，相似三角形的判定与性质解答即可得出结论．
本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，垂径定理，圆的切线的判定定理，角平分线的定义，直角三角形的性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，添加适当的辅助线构造直角三角形是解题的关键．
28.本小题分
如图，在平面直角坐标系中，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于点，在射线上取一点，使得：：，过点作轴于点．
求反比例函数的解析式；
直接写出点的坐标______；
在轴上存在一点，使的值最小，求点坐标．
【答案】反比例函数的解析式为
【解析】解：把点代入得，
，
，
把代入得，
反比例函数的解析式为；
过作轴于，
，
，，
轴于点，
，
∽，
，
，
，，
的坐标为，
故答案为：；
作点关于轴的对称点，连接交轴于，
则此时的值最小，
设直线的解析式为，
，
，
，
，
，
直线的解析式为，当时，，
．
把点代入解方程得到，把代入得解方程即可得到结论；
过作轴于，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论；
作点关于轴的对称点，连接交轴于，则此时的值最小，设直线的解析式为，解方程组求得直线的解析式为，解方程即可得到结论．
本题是反比例函数的综合题，考查了相似三角形的判定和性质，待定系数法求函数的解析式，轴对称最短路径问题，熟练掌握各知识点是解题的关键．
29.本小题分
如图，公路与铁路垂直交汇于河岸点处，公路与河岸的另一交点为，其中河岸段为抛物线的一部分，段为线段，，，点到公路的距离，抛物线的顶点到公路与铁路的距离分别为与当地政府为了振兴乡村经济，拟开发河道与公路围成的区域，用于生态放牧为了放牧安全，准备用栅栏与河道围成封闭区域，如图，栅栏紧靠公路与公路的距离忽略不计，栅栏，点在该段抛物线上；栅栏，点在线段上以点为坐标原点，直线与分别为轴与轴，规定个单位长度为，建立平面直角坐标系．
请直接写出点的坐标；
分别求直线与抛物线的函数表达式不要求写出自变量的取值范围；
点到铁路的距离小于，，已知建长栅栏的各项开支为万元，建完栅栏需花费万元求栅栏到铁路的距离．
【答案】解：为原点，为轴，，
，
点到的距离，，
，
，
；
设直线的函数表达式为：，
将、代入得：，
解得，
直线的函数表达式为：，
顶点到的距离为，到的距离为，
，
设抛物线的函数表达式为，
将代入得，
解得：，
，
抛物线的函数表达式为：；
建长栅栏的各项开支为万元，建完栅栏需花费万元，
栅栏总长为，
，
设点的坐标为，且，
点到铁路的距离小于，
，
点在抛物线上，
，
，
设点的坐标为，且，
点在直线上，
，
，
，
，
整理得：，
又，
，
将代入，整理得：，
解得：，，
，
不合题意，舍去，
，
栅栏到铁路的距离为．

【解析】由，确定，利用勾股定理由、，求点的横坐标；
用待定系数法分别求直线和抛物线的解析式；
先由总造价与单价求出栅栏总长为，即，设，利用抛物线解析式写出，利用直线解析式写出；由把用表示，再得到关于的一元二次方程，结合取根，即可得到栅栏到铁路轴的距离．
此题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象及性质等知识，掌握其相关知识点是解题的关键．
30.本小题分
已知抛物线，其对称轴交轴于点，将点向右平移个单位得到点，点与点的横坐标相同，且点的纵坐标为，则点是抛物线的“派生点”，直线称为该抛物线的“派生直线”．
若抛物线的解析式为为常数，求其派生直线的表达式；
已知抛物线的派生点为点，抛物线与其派生直线的公共点为，点为其派生直线上一点，求的值，并判断点是否在该抛物线上．
【答案】 在抛物线上
【解析】解：抛物线的解析式为，
对称轴为直线，即轴，，
，
，
，
，
设直线的表达式为，
将，代入得，
，
解得，
直线的表达式为，即其派生直线的表达式为；
将点、代入直线得，，，
，，
设抛物线解析式为，
则，，，
由题可知直线解析式为，
则，
解得或舍，
点在抛物线上，
，即，
解得，
抛物线解析式为，
当时，，
在抛物线上，
，，
，
，，
．
易得对称轴，可得点、、坐标，即可得解；
易得，，设抛物线解析式为，则，，，根据直线解析式为，可得，，将点代入可得，进而求出点坐标，可得、，即可得解．
本题主要考查了二次函数与一次函数综合等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键．
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2026中考试卷综合实践题
一、解答题：本题共30小题，共240分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
1.本小题分
已知是的内接三角形，半径与边相交于点．
如图，连接，若，，求的度数；
如图，点是线段延长线上一点，连接．
若，求证：；
在的条件下，若，试判断线段与线段的位置关系，并说明理由．
2.本小题分
如图，有一座抛物线形拱桥，桥的两端分别为点、，顶点为，点是的中点且，拱桥右侧远处有一座山，山顶记为点，山高为，已知山顶到点的水平距离为．
请建立适当的直角坐标系，并求出该抛物线形拱桥的函数表达式．
若一人站在拱桥上的点处，且点到点的水平距离为，人的眼睛位置为点，点在点的正上方，且，请判断人眼在点处能否直接看到山顶，并说明理由．
下列结论中，正确的是______ ．
在拱桥的段有一个与不重合的点与人在点处看山顶的仰角相等；
在拱桥的段有一点与人在点处看山顶的仰角相等；
人从点走到点的过程中，当人位于点时，眼睛点到山顶的距离最近；
人从点走到点的过程中，当人位于点时，眼睛点到山顶的距离最近．
3.本小题分
综合与实践
【提出问题】
同一平面内，有条直线两两相交，设它们最多有个交点，相交所成的最小角为某数学学习小组提出了下列探究问题．
问题一：与的关系；
问题二：的最大值与的关系．
【特例感知】
如图，当时，学习小组发现，的最大值为．
【实验探究】
步骤一：动手操作
学习小组画出了当时的两种情况，如图，图．
步骤二：观察分析
一由图，图得；
二在图中，的最大值为；
三在图中，的最大值为．
【规律探索】
完成下表：
______ ______
的最大值 ______ ______
【解决问题】
用关于的代数式表示，直接写出即可；
的最大值与的关系是什么？写出并说明理由．
4.本小题分
如图，设为坐标原点，二次函数的图象经过点，与轴交于点，其对称轴与轴交于点，连接，．
求二次函数的解析式；
求的值；
如图，动点在线段上，过点作的垂线，与二次函数在第二象限的图象交于点，求的最大值．
5.本小题分
平行四边形连杆是机械结构中常见的一种部件这种连杆在移动时，两对边始终保持平行且连杆的长度保持不变，能方便地进行往复运动如图，四边形是平行四边形，．
【初步感知】
如图，连接，，则______ 度．
【变化探寻】
如图，，，固定点，当为何值时，在移动点的过程中，始终有与相等．
【深入探究】
如图，固定点，若移动点到点，则点随之移动到点．
判断线段与的位置关系与数量关系，并说明理由；
在点处安装一支描图针，在点处安装一支绘图针，当描图针沿着一个直角边长为的等腰直角三角形描摹时，绘图针随之绘出一个平面几何图形，求图形的面积用含的代数式表示
6.本小题分
四边形是矩形，点在边上，．
【教材重现提出问题】
如图，，、分别是、的中点，交矩形外角的平分线于点求证：≌．
【模型建构应用意识】
如图，，交矩形外角的平分线于点，延长交的延长线于点，求的值．
【拓展推广实践能力】
如图，，为常数，求的值用含的代数式表示．
7.本小题分
如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于、两点，与轴交于点．
求反比例函数的表达式及点的坐标．
直接写出不等式的解集．
若点为轴上的动点，当为直角三角形时，求点的坐标．
8.本小题分
如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴，轴分别交于，两点，与函数的图象交于点．
求，的值；
将线段绕点逆时针旋转到，连接，将沿直线平移，当点的对应点恰好落在函数的图象上时，求点的坐标．
9.本小题分
定义：如果二次函数与一次函数的图象有两个不同的交点，且其中一个交点为二次函数的顶点，那么我们把这两点所连线段叫做“顶点弦”．
在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴，轴分别交于，两点．
如图，若点为线段的中点，二次函数的“顶点弦”为线段，且点为顶点，求该二次函数的解析式；
在的条件下，若直线上方抛物线上有一点，使，求点的坐标；
点在线段上，若抛物线：和抛物线：的“顶点弦”分别为和，点为和的顶点，且，求的值．
10.本小题分
综合与实践
【问题情境】
在数学活动课上，老师让学生以“矩形”为主题，开展动点问题的研究．
在矩形中，点，分别是边，上的动点．
【观察感知】
如图，当点，运动到时，连接，求证：≌．
【探索发现】
如图，连接，点是上的一点，：：，连接，，与相交于点，连接当平分，平分时，且，试求出与的数量关系，并说明你的理由．
【问题拓展】
如图，当，时，作直线，若直线将矩形分成周长相等的两部分，过点作于点，连接当矩形的边与直线的夹角成时，请你直接写出的正切值自行完成作图并作答
11.本小题分
尺规作图：如图，在的内部有一点．
【初步探索】
如图，利用无刻度的直尺和圆规作一个等腰三角形，并使等腰三角形的底边经过点，点，点分别在射线，射线上温馨提示：本小题作图不写作法，但需保留作图痕迹
【拓展探究】
如图，若，连接，以为圆心，为半径画圆，交射线，射线于，两点，则劣弧的长度为______本小题无需在答题卡上作图，只需写出用含的代数式表示的结果
12.本小题分
如图，是的直径，弦，垂足为，连接，过点作的垂线，垂足为，交直径于点，交过点的直线于点，连接并延长，交于点，且．
求证：是的切线．
若，，求线段的长．
13.本小题分
综合与探究
定义：若四边形的一条对角线被另一条对角线平分，且另一条对角线被交点分成的两条线段长度之比为，则称该四边形为“倍四边形”．
如图，在中，对角线与交于点，点为中点．若四边形为倍四边形，则的值为 ；
如图，在倍四边形中，若对角线被平分，则 ；用含的代数式表示
如图，四边形为倍四边形，其对角线平分对角线，且满足，，求的值；
如图，已知定点，，且，点为射线上一动点，点为平面内一点，连接，，，构成四边形若平分，，四边形为倍四边形，求的值．
14.本小题分
综合与实践
综合实践课上，同学们以矩形的旋转为主题开展探究活动．
已知有公共顶点的矩形和矩形，，，先将矩形的边，分别落在矩形的边，上，再将矩形绕点顺时针旋转，旋转角为，连接，．
【问题初探】
如图，当，时，与的数量关系是______，与的数量关系是______；
【类比推理】
如图，当，时，试探究与的数量关系，请写出结论，并说明理由；
【深入探究】
如图，当，时，点为边的中点，直线交线段于点若，则的长为______；
【拓展延伸】
如图，当，时，过点作，垂足为，在线段上取点，使，连接若的面积为，则的取值范围是______．
15.本小题分
综合与探究
如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，作直线，，点为第一象限内抛物线上的动点，过点作轴，垂足为，交直线于点．
求抛物线的解析式；
求的最大值及最大时点的坐标；
如图，若将抛物线沿射线方向平移个单位长度，得到新抛物线，点为新抛物线上一点，且，则点的坐标为______ ；
当最大时，作直线，若点为直线上的一个动点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到，取的中点，过点作，垂足为，连接，，则的最小值为______ ．
16.本小题分
问题探究
如图，是的角平分线，若：：，则：的值为______；
如图，在中，，，点，在边上若，求的度数；
问题解决
为优化种植结构及水资源配置，某村计划在一块平整的农田内修建两条笔直的田间小路，使得两条小路将该农田分割为四个区域，以种植不同种类的农作物；为方便灌溉，还需在两条小路的交汇处修建一个蓄水池，在蓄水池和水源接入口之间铺设一段地下输水管道．
如图所示，四边形区域为农田，，为小路，小路的出口，分别在农田边界，上，与相交于点，点为蓄水池，点为水源接入口，为地下输水管道根据种植需求，区域与区域的面积之比为：，为了节约成本，还需使地下输水管道最短．
已知，，，，，请你帮助该村计算在满足种植需求的情况下，当地下输水管道最短时，四边形区域的面积结果精确到小路的宽，蓄水池的大小均忽略不计．
17.本小题分
如图，在矩形中，点为边上一点，连接将沿折叠得到点为上一点，连接，．
如图，当直线经过点时，在不添加辅助线的前提下，请你增加一个条件，使是等边三角形，不需要说明理由．
如图，当于点时，判断四边形的形状，并说明理由．
在的条件下，延长交矩形的边于点若，，当时，直接写出的长．
18.本小题分
如图，是等腰三角形，，，点是中点，平分交于点．
求的度数；
求证：与的外接圆相切；
为外接圆上任意一点，试探究与的数量关系，并说明理由．
19.本小题分
关于的一次函数的图象与轴，轴分别交于，两点，是坐标原点．
【性质初探】
随的增大而______ 填“增大”或“减小”；
求证：的面积为；
【归纳提炼】
我们把形如的一次函数称为“正向积”函数．
【深入探究】
图象经过点的“正向积”函数是否存在？若存在，求出该函数解析式；若不存在，请说明理由；
已知点不在坐标轴上，若图象过点的“正向积”函数有且只有一个．
求关于的函数解析式；
选取一个符合条件的点，并验证该点是线段的中点．
20.本小题分
如图和图，在中，，，正方形的顶点，，分别在的三边，，上当点从点出发沿向点移动时，点，随之分别在，上移动正方形的大小发生变化，当点与点重合时，移动停止．
______ ．
如图，当时，求证：．
如图，当时，求的长．
当时，直接写出正方形的边长．
在移动过程中，每当点移动个单位长度时，点均移动个单位长度，直接写出的值．
21.本小题分
在正方形中，对角线，相交于点，为直线上一点，连接，过点作，交边所在的直线于点．
如图，当点在上时，求证：；
如图，当点在上时；如图，当点在的延长线上时，请分别写出线段，，之间的数量关系，不需要证明．
22.本小题分
如图，在平面直角坐标系中， 的边与轴重合，点在轴负半轴上，点在轴正半轴上，，的长是一元二次方程的两个根．
求点和点坐标；
在边上有一动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿方向匀速运动，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿折线匀速运动已知，两点同时出发，当点运动到点时，，两点都停止运动，设运动时间为秒，求的面积关于运动时间的函数解析式；
在轴上有一点，在轴上有一动点，在第一象限内是否存在一点，使得以，，，四点为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点坐标；若不存在，请说明理由．
23.本小题分
定义：如果二次函数与一次函数的图象有两个不同的交点，且其中一个交点为二次函数的顶点，那么我们把这两点所连线段叫做“顶点弦”．
在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴，轴分别交于，两点．
如图，若点为线段的中点，二次函数的“顶点弦”为线段，且点为顶点，求该二次函数的解析式；
在的条件下，若直线上方抛物线上有一点，使，求点的坐标；
点在线段上，若抛物线和抛物线的“顶点弦”分别为和，点为和的顶点，且，求的值．
24.本小题分
阅读与思考
阅读下列材料，完成相应任务．
工匠智慧引发的数学思考
【工匠智慧】
如图，木工师傅用一根没有弹性的绳子和一把直尺在矩形木板上画特定度数的角．
【数学抽象】
将图的操作过程抽象成尺规作图，步骤如下：如图，在矩形木板中，以点为圆心，长为半径作弧，交于点；以点为圆心，长为半径作弧，与交于点；连接，，，即可得到特定度数的角，如和等．
【推广迁移】
受上述作法的启发，可以用尺规作出与已知角有关的特定度数的角如图，已知，作图步骤如下：以点为圆心，任意长为半径作弧，分别交，于点，；分别以点，为圆心，长为半径作弧，两弧在内部交于点；连接，可得
结论“”成立的理由如下：
连接．
由步骤可知，
任务：
图中______ ，______ ；
补全“推广迁移”中的说理过程；
如图，四边形表示一块木板，，现要将此木板裁割成两部分，裁割线为线段点在上，使请用尺规在木板上作出裁割线要求：在木板上保留作图痕迹，不写作法．
25.本小题分
如图，在中，，以边为直径作，交于点，交的延长线于点，连接交于点．
如图，过点作于点．
求证：是的切线；
若，，求阴影部分的面积；
如图，连接，若，，求的值．
26.本小题分
定义：若点，在同一抛物线上，且点的横坐标比点的横坐标大，则称点是点的“黄金搭档点”例如，抛物线上，点是点的“黄金搭档点”．
点和点在抛物线上，点是点的“黄金搭档点”，且点的纵坐标为求，的值．
点，在中的抛物线上，且点是点的“黄金搭档点”．
若点，的纵坐标相等，求点，的横坐标．
抛物线上，两点之间的部分含，两点记为图象，设点的横坐标为，当时，若图象上的最高点和最低点到轴的距离之和为，请直接写出的值．
27.本小题分
如图，四边形内接于，是的直径，连接交于点，且，过点作的垂线交的延长线于点．
求证：平分；
求证：是的切线；
若的半径为，，求的长．
28.本小题分
如图，在平面直角坐标系中，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于点，在射线上取一点，使得：：，过点作轴于点．
求反比例函数的解析式；
直接写出点的坐标______；
在轴上存在一点，使的值最小，求点坐标．
29.本小题分
如图，公路与铁路垂直交汇于河岸点处，公路与河岸的另一交点为，其中河岸段为抛物线的一部分，段为线段，，，点到公路的距离，抛物线的顶点到公路与铁路的距离分别为与当地政府为了振兴乡村经济，拟开发河道与公路围成的区域，用于生态放牧为了放牧安全，准备用栅栏与河道围成封闭区域，如图，栅栏紧靠公路与公路的距离忽略不计，栅栏，点在该段抛物线上；栅栏，点在线段上以点为坐标原点，直线与分别为轴与轴，规定个单位长度为，建立平面直角坐标系．
请直接写出点的坐标；
分别求直线与抛物线的函数表达式不要求写出自变量的取值范围；
点到铁路的距离小于，，已知建长栅栏的各项开支为万元，建完栅栏需花费万元求栅栏到铁路的距离．
30.本小题分
已知抛物线，其对称轴交轴于点，将点向右平移个单位得到点，点与点的横坐标相同，且点的纵坐标为，则点是抛物线的“派生点”，直线称为该抛物线的“派生直线”．
若抛物线的解析式为为常数，求其派生直线的表达式；
已知抛物线的派生点为点，抛物线与其派生直线的公共点为，点为其派生直线上一点，求的值，并判断点是否在该抛物线上．
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